三角函数的运算公式
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一 关于三角函数的运算公式
1.同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式 212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩ 212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩
2.和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);
22cos()cos()cos sin αβαβαβ
+-=-.
sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决
定,tan b a
ϕ= ). 3.二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα
=-. 4. 三倍角公式
3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33
ππθθθθθθ=-=-+. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33
θθππθθθθθ-==-+-. 5.三角函数的周期公式
函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π
ω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z π
π≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω
=
. 51.正弦定理 2sin sin sin a b c R
A B C
===.
6.余弦定理
2222cos a b c bc A =+-;
2222cos b c a ca B =+-;
2222cos c a b ab C =+-.
53.面积定理
（1）1
1
1
222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.
（2）1
1
1
sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.
(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.
7.三角形内角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+
222C
A B
π
+⇔=-222()C A B π⇔=-+.
55. 简单的三角方程的通解
sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.
s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.
tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.
特别地,有
sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.
s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.
tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.
8.最简单的三角不等式及其解集
sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈. tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z π
ππ>∈⇒∈++∈.
tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z π
ππ<∈⇒∈-+∈.。
