数值分析复习资料
一、重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法
1）二分法的基本原理，误差：~12kbax
2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c
3）单点迭代收敛定理：
定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；
定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，
②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有
则对任意初值0,xab迭代收敛，且：
110111iiiiixxxllxxxl
定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；
定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）
4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛
5）Newton迭代法收敛定理：
设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：
①：()()0fafb；
②：'()0,,fxxab；
③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx；
则Newton迭代法收敛于根。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx
收敛阶：152P
7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改
①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）
②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。
第四章 矩阵范数理论及其应用
知识要点：
1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n
维向量的1-
范数
1x
、2-
范数
2x
、p
-
范数
px
和
范数x
，
p
plimxx
，
aPaxPx
，
2HH
PxPxxPPx
，有限维赋范
空间的范数是等价的）
2、矩阵范数及其相容性（Frobenius
范数，
FEn
，
相容性：ABAB
，1E
）
3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）
4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）
§4.1 向量范数及其性质
一、范数与赋范线性空间
定义1：如果线性空间V
中的任一向量x
，都对应—个实值函数()fx
（记为x
），并满足
以下三个条件（称为范数公理）：
(1)非负性：0x
时
, x
＞0；0x
时
, x
=0。
(2)
齐次性：ax
=ax
,aK
，xV
。
(3)
三角不等式：xy
≤x+y，,xyV
。
则称x
为V
上向量x
的范数（norm），V
称为赋范线性空间（normed linear space）。 易证xy满足距离公理，称之为x
与y
的范数诱导的距离。
若0
nxx
，则称
nx
收敛于x
，记为
nxx
。
例1：对于连续函数空间[,]Cab
中的向量()fx
，
可如下定义范数为：
1()()b
aftftdt，
()max()
atbftft
，1
()()bp
p
p
aftftdt
，1p
。分别称之为1-范数，
-
范数，p
-范数。
注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。
性质1：对于赋范线性空间V
上任意的x
，定义实函数()fxx
，则()fx
为V
上的连续
函数，即
0xx
时，
0()()fxfx
，其中
0xV
。
证明
：由
000()()fxfxxxxx
可知，
0xx
时，
0()()fxfx
。
因此，()fx
为V
上的连续函数。
性质2：设P
为n
阶可逆矩阵，对于n
维向量n
xC，
1x为n
C中的一个范数，令
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数
一 、 向量、矩阵范数
为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nnnRR或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此，这就需要对量空间nR(或nnR矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。
(一)向量范数：向量范数是3R中向量长度概念的推广。
定义8 (1)},{1为复数innxxxxxC称为n维复向量空间。
},)({为复数ijnnijnnaaAAC称为nn复矩阵空间。
(2)设nnnCACx,,称TnHxxxx),,(1为x的共轭转置，THAA称为A共轭转置矩阵。
在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。
定义9(向量范数)关于向量nRx(或nCx)的某个实值非负函数xxN)(，如果满足下述条件
(1)正定性 00,0xxx
(2)齐次性 xax其中R(或C) (3)三角不等式 )(,,nnCRyxyxyx或，称xxN)(是nR上(或nC)一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)yxyx
下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。
定义10 设)(),,(1nnTnCxRxxx或
(1)向量的“”范数 inixxxN1max)(
(2)向量的“1”范数 niixxxN111)(
(3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(niixxxxxN
(4)向量的能量范数 设nnRA为对称正定阵
2/1),()(xAxxxNRxAAn 称为向量的能量范数。
定理19 设nRx(或nCx)，则)(),(),(12xNxNxN是nR上(或nC)的向量范数。
第五专题 矩阵的数值特征
（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）
一、行列式
已知Ap×q, Bq×p, 则|Ip+AB|=|Iq+BA|
证明一：参照课本194页，例4.3.
证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的数目
相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹
矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：nniiii1i1tr(A)a，etrA=exp(trA)
性质：
1. tr(AB)tr(A)tr(B)，线性性质； 2. Ttr(A)tr(A)；
3. tr(AB)tr(BA)；
4. 1tr(PAP)tr(A)；
5. HHtr(xAx)tr(Axx),x为向量；
6. nnkkiii1i1tr(A),tr(A);
从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明；
7. A0,则tr(A)0,且等号成立的充要条件是A=0；
8. AB(AB0)即,则tr(A)tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B（iiAB(A)(B)）；
9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr(A)=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。
若干基本不等式
对于两个m×n复矩阵A和B，tr(AHB)是m×n维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式
[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
得
定理：对任意两个m×n复矩阵A和B
|tr(AHB)|2≤tr(AHA)﹒tr(BHB) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时
