变式补充训练

变式训练一、变式训练的含义变式教学在中国由来已久，被广大教师自觉或不自觉地运用. 心理学研究表明：“概念的本质特征越明显，学习越容易，非本质特征越多，学习越困难”. 所谓变式就是变更概念或问题的认识角度，以突出概念或问题中那些隐蔽的本质特征，以便学生在变式中思维，从而使学生更好地掌握概念或问题的本质规律. 具体来说，变式训练注重问题的情境变化，把一些解决问题的思想和思路相同或相关的题目用变式的形式串联起来，在变式中（条件变化、形式变化、结论发散、适时引深、过程变化、背景复杂化等等）求不变，从而使学生在解决变式的问题中，感受知识的形成过程，并获得对知识的概括性的认识，提高学生识别、应变、概括的能力，促进学生思维的发展.变式训练其主导思想是：面向全体学生，抓基本，重宗旨，促进全面发展，提高学生综合素质. 其教学思想采用从特殊到一般的归纳法，这有益于学生创新思维的发展. 其教学方法不同于传统的“灌输”法，也不同于“题海战术”，它是在教师的指导下，放手让学生自己去探究、尝试、归纳、总结，从而使学生解决问题的思路由窄变宽，由低到高，分析问题、解决问题的能力逐渐提高，主动钻研的精神和创新思维得到培养，创新能力得到增强.二、变式训练在数学解题教学中的实施数学教学离不开解题训练，变式训练作为在数学解题教学中实施的一种手段，要求教师要有组织地对学生进行变式训练，训练的思维性要有一定的梯度，逐渐增加创造性的层次. 变式训练可以实施在数学解题教学的不同阶段，如用于对概念的理解、掌握和形成的过程中；用于巩固知识、形成技能的过程中；用于对问题引申的过程中；用于解决问题的过程中；用于阶段性综合复习的过程中，等等. 学生通过变式训练，解决这些变化性的问题，便能更清楚地理解概念的本质，更快地探求解题规律并形成技能.1. 用于对概念的理解、掌握和形成的过程每一个数学概念都有一个形成的过程，在进行对数学概念的教学过程中，教师向学生提供变式，让学生体验这个概念的形成过程，促使学生对相关知识进行比较，分析出其中最本质的成份，并对它们进行概括. 如在学习三角形的高这一概念时，教师为学生提供一些在形状（锐角、直角、钝角三角形）位置等方面变化的不同三角形的高的典型题目，让学生从多角度理解并对几种典型高的变式进行思维加工，从中抽象、概括出三角形高的概念. 同时，通过变式训练，使学生懂得怎样从事物千变万化的复杂现象中抓住本质，举一反三，从而培养学生的概括能力以及思维的深刻性和灵活性.2. 用于巩固知识、形成技能的过程变式训练不仅在形成概念的教学中具有重要作用，而且在掌握知识，启发思维，形成技能中也具有着重要作用. 在学习了概念后，教师或学生若能把课后练习或习题进行选择分类，排列层次，适当变式，然后进行训练，会收到事半功倍的效果. 如学习了平方差公式后，教师对书后习题适当调整或进行变式，并做有序练习：①（3x + 2y）（3x - 2y）；②（m + 2n）（2n - m）；③（-2a + b）（-2a - b）；④（-5a - 3）（5a - 3）；⑤（-m + 1）（-m - 1）（m2 + 1），效果定会良好.3. 用于数学问题引申的教学过程适时地对数学教学中的问题进行引申变式，可以培养学生的应用能力和创新能力. 如对高中解析几何题：△abc的两个顶点a，b 的坐标分别是（-6，0），（6，0），边ac，bc所在直线的斜率乘积等于- 求顶点c的轨迹方程. 进行引申变式练习，变式1：若边ac，bc所在直线的斜率乘积为求顶点c的轨迹方程. 变式2：若两个顶点a，b的坐标分别是（a，0），（-a，0），边ac，bc所在直线的斜率乘积为- a > b），求点c的轨迹方程. 变式3：若ac，bc所在的直线的斜率乘积等于 a > b），求点c的轨迹方程. 变式4：若ac，bc所在直线的斜率乘积等于常数k（k ≠ 0），求点c的轨迹方程. 学生通过解决这些变式性的题目，可以创造性地发现椭圆和双曲线还可以有新定义.4. 用于解决问题的过程在解决数学问题时，一条基本思路就是“将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题”. 但由于未知（复杂）问题与已知（简单）问题之间往往没有明显联系，因此需要设置一些过程性的多层次的变式，在两者之间进行适当铺垫，作为化归的台阶，从而使学生对问题解决过程本身的结构有一个清晰认识，这有益于提高学生解决问题的能力，同时也培养了学生的创新思维.当然，变式训练还可以实施在数学解题教学的其他过程中. 同时变式训练的方法可以灵活多样，可以是教师有组织的变式训练，也可以是学生自编题目进行的变式训练. 变式训练可以灵活多样，可以是一些相关题目组合，也可以是一个题目分层次的变化，等等.三、结论《数学课程标准》指出：“既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中表现出来的情感与态度……”教学应是教与学相互统一的过程，学生积极性、主动性的调动，全在于老师创造性地发挥与教学技巧的恰当运用. 总之，变式训练在中学数学解题教学中是富有成效的训练途径. 它符合基础教育课程改革的新形势，有利于克服教学只重结果，而轻过程的现象，也有利于避免学生死记硬背，单纯接受知识的学习方式. 对学生实施变式训练，不仅使中学数学的“双基”教学得到了进一步的加强，而且可使学生亲身体验到了数学知识的形成过程，提高了学生理解、探究、掌握和运用数学知识的能力. 更重要的是培养了学生创新思维的综合品质，促进了学生创新能力的发展.。

初中数学“变式训练”的方法与思维培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。

如何培养学生良好的数学思维呢？经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。

那么，什么是变式训练呢？所谓变式训练，就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件，或结论，或形式，或空间，或内容，或图形等，产生新的情境，引导学生从不同的角度，用不同的思维去探究问题，从而提高对事物认知能力。

也就是通过一个问题的变式，解决一类问题的变化，逐步养成深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系，进而培养数学创新思维的能力。

当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。

1 多题一解，求同存异，通过变式让学生理解数学练习的内在联系许多数学练习看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路，方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集，比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

例1：已知二次函数的图像经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式。

变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B（1，0），求这个二次函数的解析式。

变式2：已知抛物线经过两点B（1，0）、C（0，-3）。

且对称轴是直线x=-1，求这条抛物线的解析式。

变式3：已知一次函数的图像经过点（1，0），且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A（1，m）、B（n，4）两点，又知二次函数的对称轴是直线x=2，求这两个函数的解析式。

变式题的教学，先让学生议练，教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨，在思路上为学生扫除障碍。

对变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A、C两点的坐标。

x2
的平均数是b,且a,b是方程x-4x+3=0的两
个根，求这个样本的众数。
❖ 在直角坐标系中画出以A(-3,0),B(1,0)和C(1,2)为顶点的三角形，并判断三角形的形状。
变式一：求题中a的整数解
变式二：已知方程组
｛
x x
ya7 y3a1
的解x、y满足x>y,求a的取值范围。
变式三：已知方程组｛ 围。
x x
ya7 y3a1
的解x与y的符号相同，求a的取值范
（ - 3 <a<4)
（-1、20、1、2、3）
、a>
1 3
、
统计方程问题
一组样本数据2、3、6、a、7、9，的平均数 是b，且a、b是一元二次方程 - 7x+10=0的一两个根，求这组样本数据的 中位数和从数。
变式训练题
1、当x
时，
x2 5x6 x2 1
有意义？（答案：x≠±1）
变式一：当x
时，x2x25x16 无意义？（x＝1或x＝x2 1
的值为零。（x=6）
变式三：当x＝sin 300
时，求分式
x2 5x 6 x2 1
的值。（x=11）
根式绝对值问题
2、化简 a3 的结果为
x2
变式一:已知一个样本1、4、2、a、3，它的 平均数是b，且a、b是方程 8x+15=0 的两个根，求这个样本的方差。
变式二：已知3、2、a、5、6这五个数字， 其中a是这五个数字的中位数，且a是方 程x-10x+24=0的一介根，求这五个数字 的平均数。
变式三：已知一个样本a、4、2、5、3，它
（答案：-a）
变式一：当1<x<2时，化简 (x 1)2 +︳x-3 ︳的结果是

小学生乘法题的变式与拓展训练近年来，小学生数学水平的提高已成为教育界关注的焦点之一。

而乘法作为数学的基础运算之一，在小学阶段的学习中具有重要的地位。

为了更好地培养小学生的乘法思维能力和解决问题的能力，引入乘法题的变式与拓展训练是非常必要的。

一、乘法题的变式1. 乘法交换律的变式在学习乘法的早期，小学生通常会接触到乘法交换律的概念。

通过交换乘法中的因数，乘法的结果不变。

在此基础上，可以设计以下变式乘法题进行训练：例子1：将乘法算式中的因数位置交换，让学生计算交换后的算式结果。

4 ×5 = ? 变为 5 × 4 = ?例子2：给出乘法的结果，让学生自行确定因数，并列出所有可能的算式。

结果：12，因数可能为 2, 3, 4 或 6；所有可能算式为 2 × 6, 3 × 4, 4× 3, 6 × 2。

2. 乘法分配律的变式乘法分配律是指对于三个数 a、b 和 c，有 a × (b + c) = (a × b) + (a ×c)。

通过引入乘法分配律的变式题，可以让学生更好地理解数学概念，并提高解决实际问题的能力。

例子1：给出两个算式，让学生判断它们的结果是否相等。

3 × (4 + 2) = ? 和 (3 × 4) + (3 × 2) = ? 结果是否相等？例子2：给出一个算式，让学生找出可以使用乘法分配律进行简化的等价算式。

7 × (6 + 2) = ? 可以简化为 7 × 6 + 7 × 2 = ?二、乘法题的拓展训练1. 多位数乘法问题在小学生掌握了基本的乘法概念和计算能力后，可以引入多位数乘法问题进行拓展训练。

通过多位数的乘法运算，培养学生的数字意识和计算能力。

例子：123 × 45 = ?2. 乘法与其他运算的结合将乘法与其他运算结合，可以培养学生的综合运算能力，提高解决实际问题的能力。