专题七 数学思想方法 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思
想练习 文
一、填空题
1.等比数列{a
n}中，a
3＝7，前3项之和S
3＝21，则公比q的值是
________.
解析 当公比q＝1时，a
1＝a
2＝a
3＝7，S
3＝3a
1＝21，符合要求.
当q≠1时，a
1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).综上可
知，q＝1或－.
答案 1或－
2.过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上任意一点P，引与实轴平行的直线，
交两渐近线于R，Q两点，则·的值为________.
解析 当直线PQ与x轴重合时，||＝||＝a.
答案 a2
3.方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围是________.
解析 求k＝－sin2x－cos x的值域.
k＝cos2x－cos x－1＝－.
当cos x＝时，k
min＝－，当cos x＝－1时，k
max＝1，
∴－≤k≤1.
答案
4.若数列{a
n}的前n项和S
n＝3n－1，则它的通项公式a
n＝________.
解析 当n≥2时，a
n＝S
n－S
n－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n
＝1时，a
1＝S
1＝2，也满足式子a
n＝2×3n－1，
∴数列{a
n}的通项公式为a
n＝2×3n－1.
答案 2×3n－1
5.已知a为正常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的
最大值为________.
解析 原不等式即≥1＋－(x≥0)，(*)
令＝t，t≥1，则x＝t2－1，
所以(*)式可化为≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥1对t≥1恒成立，
又a为正常数，所以a≤[(t＋1)2]
min＝4，
故a的最大值是4.
答案 4
6.已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数k使得＋＝k成立，则k等于
________.
解析 ∵＋＋＝0，
∴M为已知△ABC的重心，取AB的中点D，
∴＋＝2＝2×＝3，
∵＋＝k，∴k＝3.
答案 3
7.设F
1，F
2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F
1 第3讲 分类讨论、转化与化归思想
数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.
热点一 分类讨论思想的应用
应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
【例1】 (1)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
(2)在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝________.
解析 (1)若a>1，有a2＝4，a－1＝m.
解得a＝2，m＝12.
此时g(x)＝－x为减函数，不合题意.
若0
故a＝14，m＝116，检验知符合题意.
(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝3a1＝92，显然成立.
当q≠1时，由a3＝32，S3＝92，
∴a1q2＝32， ①a1（1＋q＋q2）＝92. ②
由②①，得1＋q＋q2q2＝3，
即2q2－q－1＝0，
所以q＝－12或q＝1(舍去).当q＝－12时，a1＝a3q2＝6， 2 综上可知，a1＝32或a1＝6.
答案 (1)14 (2)32或6
探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分01两种情况讨论.
2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的.
【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为( )
从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等核心素养．
1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝(1)(1)2ff，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)(1)2ff.
2、解决排列问题的常见方法：
（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.
（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.
（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. 热点11 计数原理 （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.
3、解决组合问题的常见方法：
组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。
高考备考研讨会心得体会（共5篇）
高考备考研讨会心得体会1
通过本次模考，暴露了近两个月以来高三复习存在的问题，这是我第一次带高三学生，对于高考还没有太多的经验，每次模考对我来说都是学习，尤其是这次召开的“师市历史高考备考研讨会”更让我受益无穷，每位发言的老师，对于试卷分析既到位又深刻，让我印象深刻的是罗老师，考点把握非常准确，而且知识点分析的很细致。还有常老师对于42题小论文的分析，这道题向来是难题，常老师把这道题解题思路分析很透彻，深入融合所学知识点。
这次考试成绩非常不满意，我也和学生交流了考试存在的问题：首先，对于文言文的题目，学生反应是不会翻译，总纠结翻译的对错，而不会找关键的词句。此外，学生普遍反应考的和学的知识没什么关系，其实并非如此，说明学生不会灵活运用所学知识，不会联系生活实际，知识点之间的逻辑还没有掌握。不仅如此，学生不会利用时间，时空观念不强，找不到对应考察的知识点。
这次考试虽然不理想，但也给了我后期复习的方向，为了尽可能多的帮助学生有效提高成绩现结合本次研讨会中各位老师的建议，以及樊主任和李老师的指导，后期复习我准备从以下几方面改进：
1、研究课程标准和课程说明，复习知识点要有所侧重。
2、研究近几年的高考卷，从中寻找到考试方向，并且要将历史核心素养以及史观融入平时的训练中，让学生有意识的去联系，去理解考什么，怎么考。
3、重视基础知识的提高，不能面面俱到，要抓重点，课堂上反复强调，直到学生接受。可采取听写方式抓基础。
4、在运用史料时，要选用得当准确的材料，并且问题设置时要注重引导学生。培养学生知识迁移的能力，历史思辨能力，史料研读能力。
5、在平时考试中，注重时效性，提高学生时间观念，提高做题速度，还要加强文综老师的配合。
高考备考研讨会心得体会2
在校领导的指派下，我有幸参加了3月24日在平顶山市八中举行的2019年高考生物备考研讨会，聆听了广东省正高级教师王建春老师的2019年高考生物备考讲座。虽然时间短暂，收获颇多。
