北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)
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一、选择题
1．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记na为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}na的第n项，则100a的值为（ ）
A．5049 B．5050 C．5051 D．5101
2．记nS为等比数列na的前n项和.若2342SSS，12a，则2a（ ）
A．2 B．-4 C．2或-4 D．4
3．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg20.3010，lg30.4771）
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
4．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知222,,abc成等差数列，则cosB的最小值为（ ）
A．12 B．22 C．34 D．32
5．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ）
A．1629 B．1627 C．1113 D．1329
6．已知等差数列na的首项为1a，公差为d，其前n项和为nS，若直线112yaxm与圆2221xy的两个交点关于直线0xyd对称，则数列1nS的前10项和为（ ）
A．1011 B．910 C．89 D．2
7．数列na的通项公式是*1()(1)nannnN，若前n项的和为1011，则项数为（ ）． A．12 B．11 C．10 D．9
8．已知函数()fxxR满足42fxfx，若函数2xyx与yfx图象的交点为1122,,,,,,nnxyxyxy，则1niiixy（ ）
A．0 B．n C．2n D．3n
9．已知椭圆2222xyab=1(a>b>0)与双曲线2222xymn=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )
A．33 B．22
C．14 D．12
10．已知nS是等差数列na的前n项和，且675SSS，下列说法错误的是（ ）
A．0d B．110S C．120S D．67aa
11．若na是等比数列，其公比是q，且546,,aaa成等差数列，则q等于( )
A．－1或2 B．1或－2 C．1或2 D．－1或－2
12．设na为等比数列，给出四个数列：①2na，②2na，③2na，④2log||na.其中一定为等比数列的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①②
二、填空题
13．已知数列na的前n项和为nS，若11a，22a，0na，111122nnnnnanSaSnS，其中2n，且*nN．设21nnba，数列nb的前n项和为nT，则100T______．
14．设数列{}na中12a，若等比数列{}nb满足1nnnaab，且10101b，则2020a__.
15．已知等差数列na的首项是19，公差是2，则数列na的前n项和nS的最小值是_______.
16．设nS是数列na的前n项和，且112a，110nnnaSS，则2020S______．
17．在数列na中，11a，*11nnaanN；等比数列nb的前n项和为2nnSm．当nN时，使得nnba恒成立的实数的最小值是_________．
18．若数列na是正项数列，且2*123()naaannnN，则na_______．
19．已知下列结论： ①若数列na的前n项和21nSn，则数列na一定为等差数列.
②若数列na的前n项和21nnS，则数列na一定为等比数列.
③非零实数,,abc不全相等，若,,abc成等差数列，则111,,abc可能构成等差数列.
④非零实数,,abc不全相等，若,,abc成等比数列，则111,,abc一定构成等比数列.
则其中正确的结论是_______.
20．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列na中，*12211,1,nnnaaaaanN．用nS表示它的前n项和，若已知2020Sm，那么2022a_______．
三、解答题
21．已知各项为正数的等比数列na，前n项和为nS，若2125,2,logaloga成等差数列，37S，数列nb满足，11b，数列11nnnbba的前n项和为232nn
（1）求na的公比q的值；
（2）求nb的通项公式.
22．已知na是公差不为0的等差数列，若1313,,aaa是等比数列nb的连续三项．
（1）求数列nb的公比；
（2）若11a，数列11nnaa的前n和为nS且99200nS，求n的最小值．
23．在公差为d的等差数列na中，已知110a，且1a，222a，35a成等比数列．
（1）求数列na的通项公式；
（2）若0d，93nnnab，求数列nb的前n项和nS．
24．已知数列nA：1a，2a，…，2nan满足：①11a；②121,2,,1kkakna.记12nnSAaaa.
（1）直接写出3SA的所有可能值；
（2）证明：0nSA的充要条件是0na；
（3）若0nSA，求nSA的所有可能值的和.
25．已知na是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为nA，最小值记为nB，令nnnAbB．
（1）若2(1,2,3,)nann，写出1b，2b，3b的值．
（2）证明：1(1,2,3,)nnbbn．
（3）若nb是等比数列，证明：存在正整数0n，当0nn时，na，1na，2na是等比数列．
26．已知nS为等差数列na的前n项和，59a，13169S.
（1）求数列na的通项公式；
（2）设3nnnab，求数列nb的前n项和nT.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
观察数列的前4项，可得(1)2nnna，将100n代入即可得解.
【详解】
由题意得11a，2312a，36123a，4101234a
观察规律可得(1)1232nnnan，
所以10010010150502a.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.
2．B
解析：B
【分析】
利用等比数列的前n项和公式求出公比，由此能求出结果．
【详解】
∵nS为等比数列na的前n项和， 2342SSS，12a，
∴34212122211qqqqq，解得2q，
∴214aaq，故选B．
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前n项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．C
解析：C
【分析】
本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n的不等式，解出n的值，注意其中对数式的计算．
【详解】
由题意，设从2019年开始，第n年的获利为nanN万元，
则数列na为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a.
2020年的获利为2620120%205a万元，
2021年的获利为223620120%205a万元，
数列na的通项公式为16205nnnNa，
由题意可得1620605nna，即1635n，
65lg3lg3lg3lg30.47711log3610lg6lg52lg2lg3120.30100.47711lglg23lg52n6.03166，
8n，
从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．
故选：C．
【点评】
本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．
4．A
解析：A
【解析】 分析：用余弦定理推论得222cos2acbBac．由222,,abc成等差数列，可得2222acb ，所以22222cos24acbacBacac，利用重要不等式可得2221cos442acacBacac．
详解：因为222,,abc成等差数列，
所以2222acb ．
由余弦定理推论得2222221cos2442acbacacBacacac
当且仅当ac时，上式取等号．
故选A．
点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．
5．A
解析：A
【解析】
由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390aS，求公差d．由等差数列的知识可得30293053902d，解之得1629d，应选答案A．
6．A
解析：A
【分析】
由题意可知，直线112yaxm与直线0xyd垂直，且直线0xyd过圆心，可求得1a和d的值，然后利用等差数列的求和公式求得nS，利用裂项法可求得数列1nS的前10项和.
【详解】
由于直线112yaxm与圆2221xy的两个交点关于直线0xyd对称，
则直线112yaxm与直线0xyd垂直，直线0xyd的斜率为1，则1112a，可得12a，
