相似三定理

初中数学例题：相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由△B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，△AB=8cm，BC=16cm，△BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，△△B是公共角，△①当=，即=时，△PBQ△△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP △△ABC ，解得：x=1.6，△经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8，∴12AC BC AB DF EF DE ===， ∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．2BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．。

相似三角形判定定理1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC ∽A2B2C21．（2010北京） 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AE =6，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．6D ． 8 【答案】D2．（2010河南）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD ABAE AC.其中正确的有(A)3个 (B)2个(C)1个 （D ）0个 【答案】A 3．（2010年上海）如图2，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.BACD ABC AC/AB=AD/AC 【答案】DB=34．（2010陕西西安）如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆与ABC ∆相似，应添加的条件是 。

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

三角形相似中的三边比例定理与三角比例定理在几何学中，相似三角形是一种十分重要的概念。

相似三角形之间存在着一些重要的比例关系，其中包括三边比例定理和三角比例定理。

本文将详细介绍这两个定理的概念、原理和应用。

一、三边比例定理相似三角形中的三边比例定理是指：如果两个三角形相似，那么它们对应边的比例相等。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应顶点分别为A和D、B和E、C和F。

那么我们可以得到以下的比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF这个定理的证明可以通过三角形的直角性质和等角性质来推导，具体的证明过程在此不再详述。

三边比例定理在实际应用中有广泛的用途。

例如，在地理学中，我们可以利用三边比例定理来测量难以直接测量的距离。

在工程中，我们可以利用这个定理来判断建筑物的相似性以及比例尺的选择等。

二、三角比例定理相似三角形中的三角比例定理是指：如果两个三角形相似，那么它们对应角度的正弦、余弦或正切值相等。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应顶点分别为A和D、B和E、C和F。

那么我们可以得到以下的比例关系：sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠Fcos∠A/cos∠D = cos∠B/cos∠E = cos∠C/cos∠Ftan∠A/tan∠D = tan∠B/tan∠E = tan∠C/tan∠F这个定理的证明同样可以通过三角形的直角性质和等角性质来推导，具体的证明过程也在此不再详述。

三角比例定理的应用非常广泛。

在导航中，我们可以利用三角比例定理来计算两地之间的距离。

在工程测量中，我们可以利用此定理来测量高楼大厦的高度或者无法直接测量的距离。

综上所述，三角形相似中的三边比例定理和三角比例定理是相似三角形中的重要概念。

这两个定理不仅具有理论意义，而且在实际应用中有着广泛的用途。

熟练掌握这些定理，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识，从而解决一些实际问题。

相似第一定理是以现象相似为前提研究彼此相似的现象具有的性质，可以表述为：彼此相似的现象，其相似准数的数值相同。

这样，根据在与原型相似的模型上得出的相似准数的数值，就可得出原型上相应相似准数的数值，进而得出所研究的物理量的值。

这样，在模型上的试验结果就可推广到其他与之相似的现象上。

根据相似现象的相似准数数值相同可确定出各物理量的相似常数之间的关系(即模型定律)，这是设计模型试验的依据。

相似第二定理是关于物理量之间函数关系结构的定理，可以表述为：一个包含n个物理量G1，G2，…，G n(其中有k个具有独立量纲的物理量)的物理方程，可以转换为m=(n-k)个由这些物理量组成的无量纲数群(指数幂乘积)π1，π2，…，πm之间的函数关系，即f (Gi) =0可以转换为Φ (πj) =0，i=1，2，…，n;j=1，2，…，m。

相似第二定理是用量纲分析法推导相似准数的依据。

另外，因为彼此相似的现象相似准数数值相同，因此它们的准数关系式也应相同。

如果把某现象的模型试验结果整理成准数关系式，那么得到的准数关系式就可推广到其他与之相似的现象上去。

因为准数关系式中各项都是无量纲π项，这样的关系式不随使用的物理量单位的变化而变化。

除此之外，准数关系式是由一个多元的物理量函数关系式转化而来的少元的只有无量纲π项的准数关系式，就使研究时实验次数减少，简化了试验过程。

相似第二定理又称相似逆定理，其内容是：凡是有同一特性的现象，当单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似准则在数值上相等，则这些现象必定相似。

相似第二定理给出了现象相似的充分必要条件。

设两个运动系统的相似准则数值相等，则两个运动系统可以用符号完全相同的方程来表示。

当两个运动系统的单值条件完全相同，则得到的解是一个，两个运动系统是完全相同的。

若两个运动系统的单值条件相似，则得到的解是互为相似的，两个运动是相似运动。

若两个运动的单值条件即不相同又不相似，则仅是服从同一自然规律的互不相似运动。

相似三角形判定定理1相似三角形判定定理1是在几何学中常用的一个定理，用来判断两个三角形是否相似。

相似三角形是指具有相同的形状但尺寸不同的三角形。

这个定理的应用十分广泛，不仅可以用于解决几何学题目，还可以应用于工程、建筑、地理等领域。

相似三角形判定定理1可以通过三个角的对应关系来判断两个三角形是否相似。

根据这个定理，如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

具体来说，如果两个三角形的对应角分别为A、B、C和A'、B'、C'，并且满足∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，那么这两个三角形就是相似的。

通过相似三角形判定定理1，我们可以快速判断两个三角形是否相似，从而简化问题的解决过程。

并且，相似三角形的性质与比例有关。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边长之比是相等的。

例如，如果三角形ABC与三角形A'B'C'相似，那么可以得到以下比例关系：AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。

相似三角形判定定理1的应用非常广泛。

在工程和建筑领域，我们可以利用这个定理来计算物体的高度、长度、角度等信息，以便进行设计和施工。

在地理学中，我们可以通过测量地图上的角度和长度来判断两地之间的距离和相对位置。

在解决几何学问题时，我们可以利用这个定理简化计算过程，快速得到结果。

总之，相似三角形判定定理1是一个非常有用的定理，可以帮助我们判断两个三角形是否相似。

它的应用范围广泛，不仅可以用于几何学问题的解决，还可以应用于工程、建筑、地理等领域。

通过相似三角形判定定理1，我们可以更加便捷地解决问题，简化计算过程，得到准确的结果。

三角形相似的三个判定定理是:
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。

2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

性质定理：
1、对应角相等。

2、对应边成比例。

3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

常用的判定定理有以下：
1、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）
2、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

）（SSS）
3、两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

）
4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似。

（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）（HL）
定理推论的性质：
1、相似三角形对应角相等，对应边成正比例。

2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比。

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。

相似三角形的判定定理证明过程《相似三角形判定定理的奇妙之旅》
嘿，大家好呀！今天咱来聊聊相似三角形判定定理，这可是几何世界里超级有趣的一部分哦！
先来说说三边对应成比例的判定定理吧。

你看哈，就好比有三个小朋友，一个高一点，一个矮一点，还有一个中等个儿，他们的身高比例如果和另外三个小朋友的身高比例一模一样，那这两组小朋友就很相似啦，三角形也是这样哦。

如果两个三角形的三条边的比例都一样，那它们肯定也是相似的啦，是不是很好理解呀。

再讲讲两边对应成比例且夹角相等。

这就像两个队伍，每队都有两个人，一队里的两个人身高比例和另一队的差不多，而且两队对应的两个人之间的夹角也一样大，那这两个队伍看起来就很像啦，三角形同理哟。

然后是两角对应相等。

想象一下，有两个三角形就像两副拼图，它们对应的角都能完美地对上，那这两副拼图肯定很相似呀，三角形也是这个道理呢。

我记得我以前学这个的时候，一开始还觉得有点迷糊，但是多做几道题，多比划比划，慢慢就清楚啦。

就像走迷宫一样，一开始可能会迷路，但走着走着就找到出路啦。

学习相似三角形判定定理就像是一场冒险，每一个定理都是一个小线索，我们要把这些线索串起来，才能解开相似三角形的秘密。

在这个过程中，我们可能会犯错，可能会绕弯路，但没关系呀，这也是学习的乐趣所在嘛。

其实生活中也有很多相似的东西呀，比如同样款式的衣服，相似风格的建筑。

我们可以用相似三角形的眼光去观察周围的一切，会发现很多有趣的现象呢。

所以呀，相似三角形判定定理并不是什么高深莫测的东西，只要我们用心去理解，去感受，就一定能掌握它。

大家一起加油哦，让我们在几何的世界里尽情遨游吧！。

三角形相似的三个判定定理在数学中，相似是一个重要的概念。

在几何学中，相似是指两个图形形状相同但大小不同。

在三角形中，相似的概念也非常重要。

本文将介绍三角形相似的三个判定定理。

第一定理：AA相似定理AA相似定理是指如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

这个定理的证明非常简单。

假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E。

我们需要证明这两个三角形相似。

首先，我们可以通过角的对应关系得到∠C=∠F。

然后，我们可以使用正弦定理得到：AB/DE=sin∠B/sin∠EAC/DF=sin∠C/sin∠F因为∠B=∠E，∠C=∠F，所以sin∠B/sin∠E=sin∠C/sin∠F。

因此，AB/DE=AC/DF，这意味着三角形ABC和DEF相似。

第二定理：SAS相似定理SAS相似定理是指如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的对应边成比例，则这两个三角形相似。

这个定理的证明也非常简单。

假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，AB/DE=AC/DF。

我们需要证明这两个三角形相似。

首先，我们可以通过角的对应关系得到∠B=∠E。

然后，我们可以使用正弦定理得到：BC/EF=sin∠B/sin∠E因为∠B=∠E，AB/DE=AC/DF，所以BC/EF=AC/DF。

因此，三角形ABC和DEF相似。

第三定理：SSS相似定理SSS相似定理是指如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

这个定理的证明也非常简单。

假设有两个三角形ABC和DEF，其中AB/DE=BC/EF=AC/DF。

我们需要证明这两个三角形相似。

我们可以使用正弦定理得到：sin∠A/sin∠D=AB/DEsin∠B/sin∠E=BC/EFsin∠C/sin∠F=AC/DF因为AB/DE=BC/EF=AC/DF，所以sin∠A/sin∠D=sin∠B/sin∠E=sin∠C/sin∠F。

因此，三角形ABC和DEF相似。

总结三角形相似的三个判定定理分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS 相似定理。

初中数学公式定理：相似三角形定理
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三大定理题目：相似三大定理：人生、爱情和友情的共通之处一、人生的相似定理人生如一场旅程，每个人都有自己独特的经历和故事。

然而，人生中存在着一些共通的定理，它们揭示了人类共同面对的挑战和机遇。

1. 定理一：人生不是一帆风顺的，困难与挫折是成长的必经之路。

就像一棵树需要经历风雨才能茁壮成长，我们也需要面对挑战来锻炼自己的意志和能力。

2. 定理二：每个人都有自己的价值和使命。

就像花园里的每朵花都有自己独特的美丽，每个人都有自己的特长和贡献。

我们应该珍视自己的价值，并为实现自己的使命而努力奋斗。

3. 定理三：人生的意义在于与他人建立联系和共享。

无论是家人、朋友还是陌生人，我们都生活在一个共同体中。

通过与他人分享喜悦和分担痛苦，我们可以获得更多的快乐和支持。

二、爱情的相似定理爱情是人类共同追求的美好感情，它也有着自己的定理，揭示了爱情中的共通之处。

1. 定理一：爱情需要付出和奉献。

就像花朵需要阳光和水分才能绽放，爱情也需要相互理解和关心的付出才能维系。

2. 定理二：爱情是建立在信任和尊重的基础上。

就像一座建筑需要坚实的基石才能稳固，爱情也需要相互的信任和尊重来构筑和谐的关系。

3. 定理三：爱情需要经营和维护。

就像花园里的花朵需要及时浇水和修剪才能长久美丽，爱情也需要持续的努力和沟通来保持鲜活和美好。

三、友情的相似定理友情是人生中宝贵的财富，它也有着自己的定理，揭示了友情中的共通之处。

1. 定理一：友情是建立在互相理解和支持的基础上。

就像一棵树需要土壤和养分才能茁壮成长，友情也需要相互的理解和关怀来维系。

2. 定理二：友情需要真诚和坦率。

就像一面镜子可以真实反映自己的形象，友情也需要真诚和坦率的交流来建立信任和亲密。

3. 定理三：友情是守望相助和共同成长的伙伴关系。

就像一对舞伴需要相互配合和默契才能跳出美丽的舞蹈，友情也需要相互的支持和共同的努力来创造美好的人生。

总结：通过人生、爱情和友情的相似三大定理，我们可以看到人类共同面对的挑战和机遇，以及人类共同追求的价值和美好。

π定理和相似第三定理在数学中，有两个著名的定理，它们分别被称为“π定理”和“相似第三定理”。

这两个定理都是关于几何图形的定理，它们在计算中广泛应用，对于学生学习数学也具有重要意义。

下面将对这两个定理进行详细介绍。

一、π定理π定理是描述圆周长与圆直径的关系的定理，一般表述为：“一个圆的周长和直径之比是一个常数，这个常数就是圆周率π。

即：周长/直径=π。

”圆周率π是一个无理数，约等于3.1415926，它出现在各种数学公式中，具有重要的物理意义。

例如，在计算圆的面积时，公式为S=πr^2，其中S表示面积，r表示圆的半径，π为常数。

π还出现在三角函数中，例如正弦函数的周期为2π，余弦函数的周期也是2π。

在实际应用中，我们可以利用π定理来计算圆的周长。

例如，当已知一个圆的直径为10cm时，我们可以根据π定理计算出其周长。

周长=直径×π=10×π≈31.4cm。

同理，当已知圆的周长时，我们也可以根据π定理计算出其半径和面积。

二、相似第三定理相似第三定理是关于三角形相似的定理，它可以帮助我们快速计算三角形中各边的长度。

这个定理表述如下：“在任何两个相似的三角形中，它们的对应边的比例相等。

即：如果ΔABC~ΔDEF，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

”根据相似第三定理，我们可以用已知三角形中某条边的长度，或者两条边的比例，来计算另一个三角形中对应边的长度。

例如，当已知一个三角形的三个内角分别是30°、60°、90°时，我们可以根据三角函数计算出其各边长度，也可以利用相似第三定理来计算。

因为这个三角形与另一个30°、60°、90°的三角形相似，所以它们的对应边的比例相等：AB/BC=1/√3，BC/AC=2/√3，AB/AC=1/2。

如果我们已知一条边的长度，例如BC=10cm，那么就可以根据上述比例计算出其他两条边的长度：AB=BC×1/√3=10/√3≈5.77cm；AC=BC×2/√3=20/√3≈11.55cm。

专题: 相似三角形定理与圆幂定理本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【知识要点】1．相似三角形概念相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形．相似比：相似三角形对应边的比．2．相似三角形的判定如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)．如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．3．直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4．相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例．相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．相关结论平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．6．弦切角定理弦切角定义：切线与弦所夹的角．弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．7．圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．8．圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有P A·PB＝PC·PD．【复习要求】1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．3．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【例题分析】例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AFDFAC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt △BAC ∽Rt △BDA ，得出=AC AB ADBD，于是只需证出ADBDAF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可． 证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴ADBDAC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ， 又∵∠F ＝∠F ，∴△F AD ∽△FDB ，∴DFBFAD BD =………②， 由①②得⋅=DFBFAC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21=【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ． 由已知易得21=AB AD ，于是只须证明,ABAD BC DE =进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得．证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°∵AB AD 21=，AC AE 21=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==.【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证BDFDAD CD =【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ，∴⋅=BDFDAD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．小结为“横瞧竖看分配相似三角形”． 例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF【分析】化求证的等积式为比例式：DEDFBC AB =，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式DEDFAD CD =证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ， ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DEDFAD CD =∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DEDFBC AB =即AB ·DE ＝BC ·DF ． 【说明】DEDFBC AB =，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDFAD CD =，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°， ∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ， ∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ， ∴△CDQ 是等腰三角形．(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1，.3,121===BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3．∵31+=+=CQ AC AQ ，,23121+==AQ AP∴=-=AP AB BP 2332312-=+-231+=-=AO AP PO 2131-=-，∴3:=PO BP ．【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧．例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求BFBDAF AB =，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可． 证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ， ∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ． (2)在△DBF 与△BAF 中，∵∠FBD ＝∠F AB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，BFBDAF AB =，∴AB ·BF ＝BD ·AF ． 又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ．例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D ．求证：BC ＝2DE【分析】由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由圆内接四边形性质可得∠B ＝∠DEC ，所以∠C ＝∠DEC ，所以DE ＝CD ，连结AD ，可得AD ⊥BC ，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC ＝2CD ，即BC ＝2DE ．证明：连结AD ∵AB 是⊙O 直径 ∴AD ⊥BC ∵AB ＝AC ∴BC ＝2CD ，∠B ＝∠C∵⊙O 内接四边形ABDE∴∠B ＝∠DEC (四点共圆的一个内角等于对角的外角) ∴∠C ＝∠DEC ∴DE ＝DC ∴BC ＝2DE例8 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．【分析】由于FG 切圆O 于G ，则有FG 2＝FB ·FC ，因此，只要证明FE 2＝FB ·FC 成立即可．证明：∵在△BFE 与△EFC 中有∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，∴△BFE ∽△EFC ，FEFCFB FE ，∴FE 2＝FB ·FC ． 又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．作业：一、选择题1．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ） A ．4a B ．3a C ．2a D ．43a 2．如图，AD 是△ABC 高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则(1)AD 2＝BD ·CD (2)AD 2＝AE ·AB (3)AD 2＝AF ·AC (4)AD 2＝AC 2－AC ·CF 中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )A ．135°B ．110°C ．145°D ．120°4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°B ．∠BAD ＞∠CADC ．∠BAD ＝∠CAD D ．∠BAD ＜∠CAD二、填空题5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝______，AD ＝______．6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，S △ABC ＝4S △ABD ，则AB ∶BC ＝______．7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ ，则tan 22θ______．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 与B ，CD 切⊙O 与D ，交BA 的延长线于E ．若AB ＝3，ED ＝2，则BC 的长为______．三、解答题9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点，(Ⅰ)求∠AOD的度数；(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．(1)求证：∠ACO＝∠BCD；(2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．。