三次样条插值例题解析matlab

题目背景：对y=1/（1+x^2）在[-1，1]区间以Xn=-1+0.1*（n-1），n=1 (21)为插值点做三次样条插值求解思路简析：以插值为四段三次函数为例进行说明（题干为插值20段三次函数），可看出方程组为q*x=d，其中q为方程组系数矩阵，x为所求三次函数的系数矩阵，其中方程组系数矩阵和d均呈规律性变化（边界点除外，首位两个点特殊堪虑）function qiujieyangtiao %%定义求解函数q=zeros(80); %%方程组的系数矩阵，赋初值为0n=-1:0.1:1; %%插值点的横坐标nd=zeros(80,1); %%插值点q*x=d中的dy=zeros(21,1); %%插值点的纵坐标向量a=1;for i=-1:0.1:1y(a)=1/(1+i^2);a=a+1; %%给插值点的纵坐标y通过原函数赋值endq(1,3)=2;q(1,4)=6*n(1);q(2,1)=1;q(2,2)=n(1);q(2,3)=n(1)^2;q(2,4)=n(1)^3;d(2)=y(1); %%给左端边界点的两个方程组系数赋值j=2;for i=3:4:75q(i,i-1)=1;q(i,i)=2*n(j);q(i,i+1)=3*n(j)^2;q(i,i+3)=-1;q(i,i+4)=-2*n(j);q(i,i+5)=-3*n(j)^2;d(i)=0;q(i+1,i)=2;q(i+1,i+1)=6*n(j);q(i+1,i+4)=-2;q(i+1,i+5)=-6*n(j);d(i+1)=0;q(i+2,i-2)=1;q(i+2,i-1)=n(j);q(i+2,i)=n(j)^2;q(i+2,i+1)=n(j)^3;d(i+2)=y(j);q(i+3,i+2)=1;q(i+3,i+3)=n(j);q(i+3,i+4)=n(j)^2;q(i+3,i+5)=n(j)^3;d(i+3)=y(j);j=j+1;end %%给系数矩阵赋值q(79,79)=2;q(79,80)=6*n(21);d(79)=0;q(80,77)=1;q(80,78)=n(21);q(80,79)=n(21)^2;q(80,80)=n(21)^3;d(80)=y(21); %%给右端边界点的两个方程组系数赋值result=q\d; %%求解系数矩阵function A=fun(x)if x>=-1&&x<-0.9A=result(1)+result(2)*x+result(3)*x*x+result(4)*x*x*x;elseif x>=-0.9&x<-0.8A=result(5)+result(6)*x+result(7)*x*x+result(8)*x*x*x;elseif x>=-0.8&x<-0.7A=result(9)+result(10)*x+result(11)*x*x+result(12)*x*x*x; elseif x>=-0.7&x<-0.6A=result(13)+result(14)*x+result(15)*x*x+result(16)*x*x*x; elseif x>=-0.6&x<-0.5A=result(17)+result(18)*x+result(19)*x*x+result(20)*x*x*x; elseif x>=-0.5&x<-0.4A=result(21)+result(22)*x+result(23)*x*x+result(24)*x*x*x; elseif x>=-0.4&x<-0.3A=result(25)+result(26)*x+result(27)*x*x+result(28)*x*x*x; elseif x>=-0.3&x<-0.2A=result(29)+result(30)*x+result(31)*x*x+result(32)*x*x*x; elseif x>=-0.2&x<-0.1A=result(33)+result(34)*x+result(35)*x*x+result(36)*x*x*x; elseif x>=-0.1&x<0A=result(37)+result(38)*x+result(39)*x*x+result(40)*x*x*x; elseif x>=0&x<0.1A=result(41)+result(42)*x+result(43)*x*x+result(44)*x*x*x; elseif x>=0.1&x<0.2A=result(45)+result(46)*x+result(47)*x*x+result(48)*x*x*x; elseif x>=0.2&x<0.3A=result(49)+result(50)*x+result(51)*x*x+result(52)*x*x*x; elseif x>=0.3&x<0.4A=result(53)+result(54)*x+result(55)*x*x+result(56)*x*x*x; elseif x>=0.4&x<0.5A=result(57)+result(58)*x+result(59)*x*x+result(60)*x*x*x; elseif x>=0.5&x<0.6A=result(61)+result(62)*x+result(63)*x*x+result(64)*x*x*x; elseif x>=0.6&x<0.7A=result(65)+result(66)*x+result(67)*x*x+result(68)*x*x*x; elseif x>=0.7&x<0.8A=result(69)+result(70)*x+result(71)*x*x+result(72)*x*x*x; elseif x>=0.8&x<0.9A=result(73)+result(74)*x+result(75)*x*x+result(76)*x*x*x; elseA=result(77)+result(78)*x+result(79)*x*x+result(80)*x*x*x; endend %%插值函数用子函数表达，方便调用x=linspace(-1,1);for i=1:length(x)A(i)=fun(x(i));endY=1./(1+x.^2);plot(x,Y,'--',x,A,':')legend('primitive','fitting') %%将原函数与该插值函数画在同一图上进行比较grid ontitle('三次样条插值')for m=1:20fprintf("S%d=%.3f+%.3f*x+%.3f*x.^2+%.3f*x.^3\n",m,result(4*m-3,1),result(4*m-2,1),result(4*m-1,1),result(4*m,1)) %%输出结果endend输出结果：S1=2.049+3.619*x+3.104*x.^2+1.035*x.^3S2=1.010+0.156*x+-0.743*x.^2+-0.390*x.^3S3=1.137+0.632*x+-0.149*x.^2+-0.143*x.^3S4=1.054+0.273*x+-0.660*x.^2+-0.386*x.^3S5=1.023+0.120*x+-0.916*x.^2+-0.528*x.^3S6=1.003+-0.002*x+-1.160*x.^2+-0.691*x.^3S7=0.997+-0.044*x+-1.265*x.^2+-0.779*x.^3S8=0.998+-0.034*x+-1.233*x.^2+-0.743*x.^3S9=1.000+-0.010*x+-1.113*x.^2+-0.543*x.^3S10=1.000+-0.000*x+-1.010*x.^2+-0.200*x.^3S11=1.000+-0.000*x+-1.010*x.^2+0.200*x.^3S12=1.000+0.010*x+-1.113*x.^2+0.543*x.^3S13=0.998+0.034*x+-1.233*x.^2+0.743*x.^3S14=0.997+0.044*x+-1.265*x.^2+0.779*x.^3S15=1.003+0.002*x+-1.160*x.^2+0.691*x.^3S16=1.023+-0.120*x+-0.916*x.^2+0.528*x.^3S17=1.054+-0.273*x+-0.660*x.^2+0.386*x.^3S18=1.137+-0.632*x+-0.149*x.^2+0.143*x.^3S19=1.010+-0.156*x+-0.743*x.^2+0.390*x.^3S20=2.049+-3.619*x+3.104*x.^2+-1.035*x.^3对比图。

文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。

而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。

本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。

2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。

在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。

3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。

这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。

通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。

4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。

spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。

5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。

在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。

6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。

在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。

我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。

通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。

在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。

如何运用MATLAB 三次样条插值的问题，今天做作业，突然想用Matlab搞搞。

题目如下：清华大学出版社的《数值分析（第5版）》P49,20题。

x=[0.25 0.3 0.39 0.45 0.53];y=[ 0.5 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 ]pp=csape(x,y,'second',[0,0.0]);disp(pp.coefs);其中COEFS的含义是在Xi-Xi+1区间上的多项式是，例如COEFS数组第一行的意思是在X=0.25到X=0.3的区间上时表达式是-6.2652*（X-0.25)^3+0.9697*(X-0.25)^1+0.5;-6.2652 0.0000 0.9697 0.50001.8813 -0.9398 0.9227 0.5477-0.4600 -0.4318 0.7992 0.62452.1442 -0.5146 0.7424 0.6708关于csape的用法引用自：/ck436/blog/item/6fe40c46400d3c046b63e52b.htmlcsape，是计算在各种边界条件下的三次样条插值。

pp = csape(x,y,conds)其中conds主要有以下的选项variational（自然边界条件，首末点二阶导数均为0），second （指定首末点的二阶导数），periodic（周期性边界条件，首末点的0~2阶导数相等），complete （给定导数情况，默认）function pp = csape(x,y,conds,valconds)%pp=csape(x,y,'变界类型','边界值'),生成各种边界条件的三次样条插值. 其中,(x,y)为数据向量%边界类型可为:'complete',给定边界一阶导数.% 'not-a-knot',非扭结条件,不用给边界值.% 'periodic',周期性边界条件,不用给边界值.% 'second',给定边界二阶导数.% 'variational',自然样条(边界二阶导数为0)% .%例考虑数据% x | 1 2 4 5% ---|-------------% y | 1 3 4 2%边界条件S''(1)=2.5,S''(5)=-3,% x=[1 2 4 5];y=[1 3 4 2];% pp=csape(x,y,'second',[2.5,-3]);pp.coefs % xi=1:0.1:5;yi=ppval(pp,xi);% plot(x,y,'o',xi,yi);。

MATLAB作业给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插（题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。

）理论基础：时间序列的概念：时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况（1）把一个时间序列的值变动为N 个组成部分，通常可以分为四种 a、倾向变动，又称长期趋势变动 b、循环变动，又称周期变动 c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动 d、不规则变动，即随机变动。

然后把这四个综合到一起得出预测的结果。

虽然分成这四部分，但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测（2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等）（3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。

三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。

从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。

注意：采用的是Lagrange插值的第二种情况实验二Lagrange插值【实验目的】1.了解插值法及Lagrange插值的基本概念.2.学习、掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验原理】插值法定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知f(x)在[a,b]上n+1个互异点a x0<x1<…<xn b处的值yi=f(xi),i=0,1,2,…,n.若存在一个简单函数P(x),使P(xi)=yi (i=0,1,2,…,n)（2.1）成立，则称P(x)为f(x)的插值函数，f(x)称为被插函数，点xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点，[a,b]称为插值区间，(2.1)式为插值条件。

求插值函数的方法为插值法。

利用n次插值基函数可以将满足条件Ln(xn)=yk(k=0,1,2,…,n)的插值多项式Ln(x)表示为yk （2.2）称Ln(x)为拉格朗日插值多项式【实验内容】在区间[-5,5]上取截点n=11，等距间隔h=1的节点为插值节点，对函数f(x)=1/(1+x2)进行拉格朗日插值，并绘图。

下面的程序基于公式(2.2)，且在xi点，Ln(xi)= yk相应的Matlab代码为function yi=lagrange(x,y,xi)%Lagrange插值%x,y为已知节点及其函数值向量%xi为插值点（可以是多个），yi为插值n=length(x);m=length(xi);%length是x的长度，for i=1:mz=xi(i);s=0;for k=1:n%for循环语句p=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));endends=p*y(k)+s;endyi(i)=s;end下面用MATLAB运行程序得到以下结果，如下图：用Matlab实现了3次样条曲线插值的算法。

边界条件取为自然边界条件，即：两个端点处的2阶导数等于0；共包含3各个函数文件，主函数所在文件（即使用的时候直接调用的函数）为spline3.m,另外两个函数文件是在splin3函数文件中被调用的自定义函数。

三次样条插值多项式——计算物理实验作业四陈万物理学2013级主程序：clear,clc;format ratx = [1,4,9,16,25,36,49,64];y = [1,2,3,4,5,6,7,8];f1 = ;fn = 1/16;[a,b,c,d,M,S] = spline(x,y,f1,fn);子程序1：function [a,b,c,d,M,S]=spline(x,y,f1,fn)% 三次样条插值函数% x是插值节点的横坐标% y是插值节点的纵坐标% u是插值点的横坐标% f1是左端点的一阶导数% fn是右端点的一阶导数% a是三对角矩阵对角线下边一行% b是三对角矩阵对角线% c是三对角矩阵对角线上边一行% S是插值点的纵坐标n = length(x);h = zeros(1,n-1);deltay = zeros(1,n);miu = zeros(1,n-1);lamda = zeros(1,n-1);d = zeros(1,n-1);for j = 1:n-1h(j) = x(j+1)-x(j);deltay(j) = y(j+1)-y(j);end % 得到h矩阵for j = 2:n-1sumh = h(j-1) + h(j);miu(j) = h(j-1) / sumh;lamda(j) = h(j) / sumh;d(j) = 6*( deltay(j)/h(j)-(deltay(j-1)/h(j-1)))/sumh; end% 根据第一类边界条件，作如下规定lamda(1) = 1;d(1) = 6*(deltay(1)/h(1)-f1)/h(1);miu(1) = 1;d(n) = 6*(fn-deltay(n-1)/h(n-1))/h(n-1);% 输出三对角矩阵的a,b,ca = miu;b = 2*ones(1,n);c = lamda;M = chase(a,b,c,d); %调用chase函数得到Msym u;for j = 1:n-1u = x(j)::x(j+1);v = ones(size(u));S = (M(j)*(x(j+1)*v-u).^3/(6*h(j))+M(j+1)*(u-x(j)*v).^3/(6*h(j))... +(y(j)-M(j)*h(j)^2/6)*(x(j+1)*v-u)/h(j)+(y(j+1)...-M(j+1)*h(j)^2/6)*(u-x(j)*v)/h(j));plot(u,S,'-k');hold onendplot(x,y,'-.*r');xlabel('x'),ylabel('y'),title('cubic spline interp');end子程序2：function M = chase(a,b,c,f)% 追赶法求解三对角矩阵方程，Ax=f% a是对角线下边一行的元素% b是对角线元素% c是对角线上边一行的元素n = length(b);beta = ones(1,n-1);y = ones(1,n);M = ones(1,n);for i = (n-1):(-1):1a(i+1) = a(i);end% 将a矩阵和n对应beta(1) = c(1)/b(1);for i = 2:(n-1)beta(i) = c(i)/( b(i)-a(i)*beta(i-1) );endy(1) = f(1)/b(1);for i = 2:ny(i) = (f(i)-a(i)*y(i-1))/(b(i)-a(i)*beta(i-1)); endM(n) = y(n);for i = (n-1):(-1):1M(i) = y(i)-beta(i)*M(i+1);endend三次样条插值结果：与拉格朗日插值作对比：分析图一知，三次样条插值结果与预期结果吻合得很好，曲线平滑连续性好，在左右短点处的小区间也吻合得很好，可以延伸到区间[a,b]外的一小段,用最邻近的小区间插值函数可以近似求得[a,b]区间外一小段范围内的函数值。

23、汽车门曲线三次样条插值曲线相关程序以及结果原始数据点：x = 0:10; %取自变量为1,2,3， (10)y = [2.51 3.30 4.04 4.70 5.22 5.54 5.78 5.40 5.57 5.70 5.80];%输入因变量y的值xx = linspace(min(x),max(x),200);%在x的上下界之间取200个插值节点pp = csape(x,y,'comlete',[0.8,0.2]);%分段三次样条插值，边界条件为左右端点的一阶导数为0.8和0.2 yy = ppval(pp,xx);%计算200个插值节点对应的y值plot(x,y,'ko',xx,yy,'k') %画出给定的11个点以及插值函数的图像24、飞鸟外形上部自然边界条件的三次样条插值曲线相关程序以及结果原始数据如下：x =[0.9 1.3 1.9 2.1 2.6 3.0 3.9 4.4 4.7 5.0 6.0 7.0 8.0 9.2 10.5 11.3 11.6 12.0 12.6 13.0 13.3];y = [1.3 1.5 1.85 2.1 2.6 2.7 2.4 2.15 2.05 2.1 2.25 2.3 2.25 1.95 1.4 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.25];xx = linspace(min(x),max(x),200);pp = csape(x,y,'second'); %分段三次样条插值，边界条件为左右端点的二阶导数为0，也称为自然边界条件yy = ppval(pp,xx);plot(x,y,'ko',xx,yy,'k')。

MATLAB 程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。

其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：对插值区间[]b a ,进行划分：b x x x a n ≤<⋯⋯<<≤10，函数()x f y =在节点i x 上的值()()n i x f y i i ⋯⋯==,2,1,0，并且如果函数()x S 在每个小区间[]1,+i i x x 上是三次多项式，于[]b a ,上有二阶连续导数，则称()x S 是[]b a ,上的三次样条函数，如果()x S 在节点i x 上还满足条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0则称()x S 为三次样条插值函数。

三次样条插值问题提法：对[]b a ,上给定的数表如下.求一个分段三次多项式函数()x S 满足插值条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0 式，并在插值区间[]b a ,上有二阶连续导数。

这就需要推导三次样条插值公式：记()x f '在节点i x 处的值为()i i m x f ='(n i ⋯⋯=,1,0)(这不是给定插值问题数表中的已知值)。

在每个小区间[]1,+i i x x 利用三次Hermite 插值公式，得三次插值公式：()()()()1111+++++++=i i i i i i i i i m m x y x y x x S ββαα，[]1,+∈i i x x x 。

为了得到这个公式需要n 4个条件：(1).非端点处的界点有n 2个；(2).一阶导数连续有1-n 个条件；(3).二阶导数连续有1-n 个条件，其中边界条件：○1()()n n m x S m x S ='=' 00 ○2()()αα=''=''n x S x S 00 ○3()()()()16500403βααβαα=''+'=''+'n n x S x S x S x S○4n y y =0 ()()()()000000-''=+''-'=+'n nx S x S x S x S 其中：()⎩⎨⎧=≠=j i j i x j i,1,0α ()0='j i x α ()0=j i x β 且(1,0,=j i )。

第一型三次样条插值matlab 程序【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）第一型三次样条插值问题求解一：解题过程1. 根据书上关于三次样条的步骤，列出相关的矩阵。

1111212....212n n μλμλ--011n nd d d d -2. 编写追赶法的求解函数，求解矩阵得到011n nM M M M -3. 根据求解结果得到分段函数，画图表示，并求解(i 0.5)S +4. 利用MATLAB 内置三次样条函数求解问题二：结果以及结果比照1. (i 0.5)S +〔因显示问题，把表格中的精度变小了〕自编程序所得的 中间值MATLAB 内置三次样条 中间值2.样条图像自编程序所得的图像MATLAB内置三次样条图像可得，自编程序解得的结果与MATLAB解的结果完全一致。

三：程序通用性分析程序对于输入点的顺序进行优化，自变量X不需要从小到大进行排序，随机输入以后，程序会自动排序。

数据的输入不限点数，自变量之间的间隔也不限。

输入数据相比照拟自由。

四：程序使用演示、通用性演示运行文件 yzy.m，即可得到中间值以及三次样条图像〔里面内置了需要输入的数据〕1.按书上数据输入0123456789102.513.34.04 4.75.22 5.54 5.78 5.4 5.57 5.7 5.8得到图像2.颠倒书上数据输入1012345678905.8 3.3 4.04 4.7 5.22 5.54 5.78 5.4 5.57 5.7 2.51得到同样的图像1.在原有数据上多输入三组数据1012345678901113155.83.3 4.04 4.7 5.225.54 5.78 5.4 5.576 2.516810.3根据上面三张图，可以发现，数据量不同、数据顺序不同、数据自变量X间隔不同，都可以得出结果，可以说明程序具有很好的通用性。

附录yzy.m1.A=[10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,11,13,15;5.8,3.3,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.4,5.57,5.7,2.51,6,8,10.3];2.A=A'; %转置排序3.A=sortrows(A);4.nn=size(A,1);5.A=A';6.f1=0.8;f2=0.2;7.n=size(A,2);8.M=eye(n);9.M=M*2;10.N=zeros(n,1);11.for i=2:n-112. M(i,i-1)=(A(1,i)-A(1,i-1))/(A(1,i+1)-A(1,i-1));13. M(i,i+1)=1-M(i,i-1);14.N(i)=6*(((A(2,i+1)-A(2,i))/(A(1,i+1)-A(1,i))-((A(2,i)-A(2,i-1)))/( A(1,i)-A(1,i-1)))/(A(1,i+1)-A(1,i-1)));15.end16.M(1,2)=1;17.M(n,n-1)=1; %M为三次样条的矩阵18.N(1)=6*(((A(2,2)-A(2,1))/(A(1,2)-A(1,1))-f1));19.N(n)=6*(f2-((A(2,n)-A(2,n-1))/(A(1,n)-A(1,n-1))));20.NE=zeros(n,n+1); %追赶法21.NE(1,1)=M(1,1);22.NE(1,n+1)=N(1);23.for i=2:n24. l=M(i,i-1)/NE(i-1,i-1);25. NE(i,i)=M(i,i)-l*M(i-1,i);26. NE(i,n+1)=N(i)-l*NE(i-1,n+1);27.end28.AN=zeros(n,1);29.AN(n)=NE(n,n+1)/NE(n,n);30.for i=1:n-131. j=n-i;32. AN(j)=(NE(j,n+1)-M(j,j+1)*AN(j+1))/NE(j,j);33.end34.M=AN; %追赶法结束35.S=zeros(n-1,5);36.for i=1:n-1;37. S(i,1)=A(2,i);38.S(i,2)=(A(2,i+1)-A(2,i))/(A(1,i+1)-A(1,i))-(1/3*M(i)+1/6*M(i+1))*( A(1,i+1)-A(1,i));39. S(i,3)=1/2*M(i);40. S(i,4)=(M(i+1)-M(i))/(6*(A(1,i+1)-A(1,i)));41.S(i,5)=S(i,1)+S(i,2)*((A(1,i+1)-A(1,i))/2)+S(i,3)*((A(1,i+1)-A(1,i ))/2).^2+S(i,4)*((A(1,i+1)-A(1,i))/2).^3; % 三次样条函数系数42.end43.n=size(S,1);44.title('三次样条图像');45.hold on;46.for i=1:n47. x=A(1,i):(A(1,i+1)-A(1,i))/100:A(1,i+1);48.y=S(i,1)+S(i,2)*(x-A(1,i))+S(i,3)*(x-A(1,i)).^2+S(i,4)*(x-A(1,i)).^3;49. plot(x,y);50. plot(A(1,i),A(2,i),'o');51.end52. plot(A(1,n+1),A(2,n+1),'o');53. hold off;54.disp('ÖмäÖµ');55.z=zeros(2,n);56.for i=1:n57. z(1,i)=(A(1,i)+A(1,i+1))/2;58. z(2,i)=S(i,5);59.end60.disp(z);61.X=zeros(1,n);Y=zeros(1,n); % 下面是内置三次样条函数调用62.X(1,1:nn)=A(1,1:nn);63.Y(1,1:nn)=A(2,1:nn);64.pp=csape(X,Y,'c',[f1,f2]);65.pp.coefs;66.XI=0.5:1:9.5;67.YI=ppval(pp,XI);68.disp('MATLAB内置三次样条中间值 ');69.Z=zeros(2,10);70.Z(1,1:10)=XI(1,1:10);71.Z(2,1:10)=YI(1,1:10);72.disp(Z);73.xi=0:0.1:10;yi=ppval(pp,xi);74.plot(x,y,'-',xi,yi);。

(){}21()(11),5,10,20:12521()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()235,20:1100(i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x nx y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+=题目：插值多项式和三次样条插值多项式。

已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max()n k n k n k n k n k n k kkN x S x k E N y N x E S y S x ==-=-和；、计算，；解释你所得到的结果。

算法组织:本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式)(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。

如此，则第三、四问则迎刃而解。

计算两种插值多项式的算法如下：一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下：Newton 插值多项式的表达式如下：)())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N其中每一项的系数c i 的表达式如下：1102110),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-根据i c 以上公式，计算的步骤如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----),,,,(1),,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：所谓三次样条插值多项式)(x S n 是一种分段函数，它在节点i x 011()n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=分成的每个小区间1[,]i i x x -上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.i i i i i i i i i i i i i i ii i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=⋅⋅⋅，， 因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：11111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++⎧===-⎪++⎪⎨--⎪=-=⎪+⎩， 则i M 满足如下n-1个方程：1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==⋅⋅⋅-，方程中有n+1个未知量，则令0M 和n M 分别为零，则由上面的方程组可得到(11)i M i n ≤≤-的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式)(x S n 。

MATLAB作业给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插（题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。

）理论基础：时间序列的概念：时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况（1）把一个时间序列的值变动为N 个组成部分，通常可以分为四种 a、倾向变动，又称长期趋势变动 b、循环变动，又称周期变动 c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动 d、不规则变动，即随机变动。

然后把这四个综合到一起得出预测的结果。

虽然分成这四部分，但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测（2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等）（3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。

三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。

从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。