解直角三角形3d一计算

直角三角形的计算直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在数学中，我们可以通过给定直角三角形的已知边长或角度来进行相关计算。

本文将介绍直角三角形的计算方法，包括三角函数、勾股定理和特殊直角三角形的性质。

一、三角函数的计算在直角三角形中，我们可以使用三角函数来计算各个角的正弦、余弦和正切值。

1. 正弦函数 sin正弦函数（sine）表示一个角的对边与斜边的比值。

在直角三角形中，我们可以通过已知斜边和对边的长度来计算正弦值。

例如，已知一个直角三角形的斜边长为5，对边长为3，我们可以计算出正弦值：sinA = 对边 / 斜边 = 3 / 5 = 0.62. 余弦函数 cos余弦函数（cosine）表示一个角的邻边与斜边的比值。

在直角三角形中，我们可以通过已知斜边和邻边的长度来计算余弦值。

例如，已知一个直角三角形的斜边长为5，邻边长为4，我们可以计算出余弦值：cosA = 邻边 / 斜边 = 4 / 5 = 0.83. 正切函数 tan正切函数（tangent）表示一个角的对边与邻边的比值。

在直角三角形中，我们可以通过已知对边和邻边的长度来计算正切值。

例如，已知一个直角三角形的对边长为3，邻边长为4，我们可以计算出正切值：tanA = 对边 / 邻边 = 3 / 4 = 0.75二、勾股定理的计算勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。

我们可以利用勾股定理来求解直角三角形的边长。

假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，勾股定理可以表示为：c² = a² + b²通过已知条件，我们可以反推出直角三角形的边长。

例如，已知一个直角三角形的直角边a为3，斜边c为5，我们可以计算出另一个直角边b的长度：b² = c² - a² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16b = √16 = 4三、特殊直角三角形的性质在特定的直角三角形中，边长可以通过一些特殊性质直接计算。

解直角三角形口诀
口诀(一)
已知一边一锐角，求其余边和余角．
求出它们很是绕，概括三句口诀妙．
求直角边用乘，求斜边用除灵．
是对边用正，是邻边用余．
有斜边用弦，无斜边用切．
[注] 余边、余角即其余边和其余角．已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除．当已知边为斜边时，求对边用正弦，求邻边用余弦．已知一直角边求另一直角边用正切和余切．
口诀(二)——选用关系式
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便．
已知直边求直边，正切余切理当然．
已知两边求一边，勾股定理最方便．
已知两边求一角，函数关系要选好．
已知锐角求锐角，互余关系要记牢．
已知直边求斜边，用除还需正余弦．
计算方法要选择，能用乘法不用除．
1 / 1。

解直角三角形问题直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

解直角三角形问题即是指求解一些与直角三角形相关的问题，包括求解三角形的边长、角度、面积等。

一、勾股定理的应用勾股定理是解直角三角形问题中最常用的定理之一。

它表明，在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边长的平方和。

例如，已知直角三角形的一条直角边长为a，另一条直角边长为b，我们可以使用勾股定理求解斜边长c，计算公式为：c = √(a² + b²)。

通过勾股定理，我们可以方便地计算出直角三角形的边长。

二、三角函数的应用除了勾股定理，三角函数也是解直角三角形问题中常用的工具之一。

常见的三角函数有正弦、余弦和正切函数。

1. 正弦函数的应用在直角三角形中，正弦函数的定义为：sinθ = 对边/斜边。

例如，已知一个直角三角形，斜边长为c，对边长为a，我们可以使用正弦函数求解角度θ，计算公式为：θ = arcsin(a/c)。

2. 余弦函数的应用在直角三角形中，余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边。

例如，已知一个直角三角形，斜边长为c，邻边长为b，我们可以使用余弦函数求解角度θ，计算公式为：θ = arccos(b/c)。

3. 正切函数的应用在直角三角形中，正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边。

例如，已知一个直角三角形，对边长为a，邻边长为b，我们可以使用正切函数求解角度θ，计算公式为：θ = arctan(a/b)。

通过三角函数的应用，我们可以在已知一些边长或角度的情况下，求解直角三角形的其他边长或角度。

三、应用实例下面举例说明如何应用勾股定理和三角函数来解直角三角形问题。

例题一：已知一个直角三角形的直角边长是3，斜边长是5，求另一条直角边长。

解析：根据勾股定理，直角边的平方等于斜边长的平方减去另一条直角边长的平方，即：3² = 5² - x²解方程得到：x = √(5² - 3²) = 4。

解直角三角形五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。

解直角三角形常用解题方法与技巧 解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下： 一、巧妙应变，走出解题陷阱 例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°，⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ．简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理222b c a +=求解．解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=，又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=．⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=．评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．二、巧设参数，化繁难为简易例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只有“sin A =35”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）．∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=，∴tan AC B BC ==3344k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．三、巧建模型，以不变应万变例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那么它会有触礁危险吗？简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问题．不妨设OH =x ，则由AH －BH =AB 可得方程cot30°x －cot45°x =30，从中解出x 的值，接下去只需将OH 的值与40进行比较即可得解．解 过点O 作OH ⊥AB 于H ，设OH =x ，由题意可知∠OAH =30°，∠OBH =45°，AB =30．在Rt △OAH 与Rt △OBH 中，∵cot ∠OAH =AH OH ，cot ∠OBH =BH OH∴AB =AH －BH = OH (cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x =30，解之得x =15＋153≈40.98＞40．所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．例4 如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC =60°，∠ACB =45°，现量得BC =30m ，求河的宽度．简析 河的宽度即为△ABC 中BC 边上的高，为此，过点A 作AD ⊥BC于D ，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过设AD =x 然后建立方程即可求得AD 的长．解 过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x ．在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵cot cot 60BD ABC AD =∠=︒，cot cot 45CD ACB AD=∠=︒， ∴BC =BD ＋CD =AD (cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x =30，解之得x =45－153， ∴所求河的宽度为(45－153)m ．评注 在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结为如下的数学模型——⑴如图⑤a ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的同侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，且α＜β，则有AB (cot α－cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β；⑵如图⑤b ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的两侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，则有AB (cot α＋cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β．。

数学篇数苑纵横解直角三角形在实际生活问题中的应用十分广泛，主要应用于测量距离、度量尺寸、测高或测角等方面.解答这类应用问题的一般步骤是：（1）弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；（3）寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解.本文就三类解直角三角形的应用问题举例说明.一、仰角与俯角问题初中阶段的“俯角与仰角”问题主要是测量问题，如图1，其中的仰角是指从下向上看时，水平线与视线的夹角；俯角是指视线从上往下看时，水平线与视线的夹角.在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛.解答此类问题时往往要用到解直角三角形的知识点与“转化”思想.图1例1数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 前的椰子树CD 的高度．如图2，当无人机从位于楼底B 点与椰子树底D 点之间的地面F 点，垂直起飞到正上方50米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 和椰子树的顶端C 的俯角分别为30°和76°（点B 、F 、D 三点在同一直线上）．已知楼AB 高44米，楼底端B 与椰树底D 的水平距离为20米．（1）填空：∠AEC ＝，∠ECD ＝；（2）求点E 到楼顶A 的距离AE ；（3）求椰树CD 的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00，3≈1.732)图2图3解：（1）如图3，延长DC 交GH 于点M ，由题意得：DM ⊥GH ，∴∠DME ＝90°，∵∠ECD 是△EMC 的一个外角，运用“解直角三角形”知识解答实际问题的三种类型重庆陈永安23数学篇数苑纵横∴∠ECD ＝∠EMC +∠MEC ＝166°，∵∠GEA ＝30°，∴∠AEC ＝180°-∠GEA -∠MEC ＝74°，故答案为：74°；166°；（2）如图3，延长BA 交GH 于点N ，由题意得：EF ＝BN ＝MD ＝50（米），∵AB ＝44（米），∴AN ＝BN -AB ＝50-44＝6（米），在Rt△AEN 中，∠AEN ＝30°，∴AE ＝2AN ＝12（米），∴点E 到楼顶A 的距离AE 为12（米）；（3）由题意得：BD ＝NM ＝20（米），在Rt△AEN 中，∠AEN ＝30°，AN ＝6（米），∴EN ＝3AN ＝63（米），∴EM ＝NM -NE ＝（20-63）（米），在Rt△EMC 中，∠MEC ＝76°，∴MC ＝EM ⋅tan 76°≈4×(20-63)=(80-243)（米），∴CD ＝MD -MC ＝50-(80-243)=243-30≈11.6（米），∴椰树CD 的高度约为11.6米．点评：解答仰角俯角问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.同时，要善于读懂题意，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题加以解决．二、方向角问题方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的角，一般表示为北(或南)偏东(或西)多少度，可借助十字坐标帮助理解，如图4.在实际生活中，方位角可以用来确定物体的位置；在示意图中，通过方位角确定几个物体的位置后，可以量出它们之间的距离，进而算出物体之间的实际距离.在解答有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系.有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，就需要用到等角转化为所需要的角．图4例2如图5，某动物园熊猫基地D 新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A 、B 之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A 进入园区之后可步行到达点C ，然后可以选择乘坐空中缆车从C →D ，也可选择乘坐观光车从C →B →D ．已知点C 在点A 的北偏东45°方向上，点D 在点C 的正东方向，点B 在点A 的正东方向300米处，点D 在点B 的北偏东60°方向上，且BD ＝400米．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236）（1）求CD 的长度（精确到个位）；（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D ，应选择乘坐空中缆车还是观光车？图5图6解：（1）作CM ⊥AB 于M ，BN ⊥CD 于N ，24数学篇数苑纵横如图6，∵CD ∥AB ，∴四边形MBNC 是矩形，∴CM ＝BN ，CN ＝MB ，∵∠DBN ＝60°，∴BN ＝12BD ＝12×400＝200（米），∵tan∠NBD ＝DN BN =3，∴DN ＝2003（米），∵∠CAM ＝45°，∴△AMC 是等腰直角三角形，∴AM ＝CM ＝200（米），∴MB ＝AB -AM ＝100（米），∴CD ＝CN +ND ＝100+2003≈446（米）；（2）由勾股定理得到BC ＝MC 2+MB 2=1005（米），∴BC +BD ＝400+1005≈623.6（米），∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446÷200＝2.23（分钟），∴应选择乘坐观光车．点评：本题考查了方向角问题以及勾股定理.解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数的定义来解决问题．三、坡度、坡角问题坡度、坡角问题，涉及的知识点有:①坡角，如图7，坡角指坡面与水平面的夹角，记作α.②坡度，坡面的铅垂高度h 与水平长度l 的比，是坡面的坡度，记作i ，即i =hl，一般情况下坡度要写成1:n 的形式，如1:2.③坡度与坡角的关系为:坡度是坡角的正切值，即i =h l=tan α.坡度和坡角是两个相关概念.坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡，因此常被用来衡量地势的陡峭程度、山坡的高度以及河流的坡度.例3如图8所示，已知BC 是水平面，AB 、AD 、CD 是斜坡．AB 的坡角为42°，坡长为200米，AD 的坡角为60°，坡长为100米，CD 的坡比i ＝1：22．（1）求坡顶A 到水平面BC 的距离；（2）求斜坡CD 的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，3≈1.73）图8图9解：（1）过点A 作AE ⊥BC 于E ，如图9所示.在Rt△ABE 中，∠B ＝42°，AB ＝200（米），则AE ＝AB ⋅sin B ≈200×0.70＝140（米），答：坡顶A 到水平面BC 的距离约为140米；（2）过点D 作DF ⊥BC 于F ，DG ⊥AE 于G ，如图9所示.则四边形EFDG 为矩形，∴GE ＝DF ，在Rt△AGD 中，∠ADG ＝60°，AD ＝100(米)，则AG ＝AD ⋅sin ∠ADG ＝100×（米），∴DF ＝GE ＝AE -AG ＝53.5（米），∵CD 的坡比i ＝1：22，∴DF ：FC ＝1：22，∴DF ：CD ＝1：3，∴CD ＝3DF ＝160.5≈161（米），答：斜坡CD 的长度约为161（米）．点评:掌握坡度的概念和锐角三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．图725。

名师推荐 精心整理 学习必备 解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）

1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤

Rt△ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a，b） 由tan A＝ab，求∠A；∠B＝90°－A，c＝

22ba

斜边，一直角边（如c，a） 由Sin A＝ac，求∠A；∠B＝90°－A，b＝22a-c

一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A，b） ∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝bcosAcosA

锐角，对边 （如∠A，a） ∠B＝90°－A，b＝atanA，c＝asinA

斜边，锐角（如c，∠A） ∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tanα＝1x，tanβ＝2x ＝a·tanα·tanβtanα＋tanβ 直角 三角 形的 边角 关系

tanα＝xa tanβ＝x ＝a·tanα·tanβtanβ－tanα

2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理

皮尺 镜子 目高a1 水平距离a2 水平距离a3 3ah＝21aa，h＝231aaa 反射 定律

β α a x

1 x

2

ι

α β x a

ι

镜子 1a

2a 3

a

h 名师推荐 精心整理 学习必备 皮尺 标杆 标杆高a1 标杆影长a2 物体影长a3 1ah＝23aa,h＝231aaa 同一时刻物高与影长成正比

皮尺 侧倾器 侧倾器高a1 水平距离a2

倾斜角α

tanα＝21aah, h＝a1＋a2tanα

矩形的性质和直角三角形的边角关系

仰角α 俯角β 水平距离a1 tanα＝11ah, tanβ＝12ah h＝h1＋h2＝a1（tanα＋tanβ） 矩形的性质和直角三角形的边角关系