中考数学重难点专题讲座动态几何与函数问题
含答案
Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考数学重难点专题讲座
第八讲动态几何与函数问题
【前言】
在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例1】
如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E.
（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.
（2）当24
t<<时，求S关于t的函数解析式.
【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。
【解】
（1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8）
∴由此判断：24AB OA ==，
； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO =
∴直角梯形OABC 的面积为：()()11244122
2
AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时，
阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)
∴1122
S OD OE =-? ∵
1
42
OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- .
∴()()()2
1122441242
S t t t =-?-?-=--
284S t t =-+-.
【例2】
已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数
(0)k
y k x
=
>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上若存
在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE 和△FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F 点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K 。所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF 的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT △面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT △面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK.
【解析】
（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ， 由题意得11
k y x =
，22k
y x =．
1111122S x y k ∴=
=，22211
22
S x y k ==．
12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．
（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ?? ???，，44k F ??
???
，， (想不到这样设点也可以直接用X 去代入,麻烦一点而已)
1111432234ECF S EC CF k k ????
∴=
=-- ???????
△， 11
121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形
11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ????
∴=-=--=--?-- ???????
△△△
2
112
S k k ∴=-
+． 当
16
1212k =-
=???- ???
时，S 有最大值．
1
31412S -=
=??
?- ???
最大值． （3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．
由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，1
34MF CF k ==-，
90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．
又90ENM MBF ∠=∠=，
ENM MBF ∴△∽△．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)
EN EM MB MF ∴=，11414312311331412k k MB k k ??-- ???∴
==??-- ?
??， 9
4
MB ∴=
． 222MB BF MF +=，2
2
2
913444k k ?????
?∴+=- ? ? ??????
?，解得218k =．
21432
k BF ∴=
=． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432??
???
，．
【例3】
如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形
（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当P,Q 运动时，△BPQ 的高的长度始终不变，即为CD 长，所以只需关注变化的底边BQ 即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量—高，过Q 做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明△PEQ 和△BCD 是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE 是未知的，于是得解。 这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。
【解析】
D
图1
解： （1）如图1，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。 ∴PM ＝DC ＝12 ∵QB ＝16－t ，∴S ＝
1
2
×12×(16－t)＝96－t （2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。热以B 、P 、Q 三点
为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。
①若PQ ＝BQ 。在Rt △PMQ 中，22212PQ t =+，由PQ2＝BQ2 得 22212(16)t t +=-，解得t ＝72
；
②若BP ＝BQ 。在Rt △PMB 中，222(162)12BP t =-+。由BP2＝BQ2 得：
222(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=。
由于Δ＝－704＜0
∴23321440t t -+=无解，∴PB ≠BQ …
③若PB ＝PQ 。由PB2＝PQ2，得222212(162)12t t +=-+ 整理，得23642560t t -+=。解得1216
163
t t ==，（舍）（想想看为什么要舍函数自变量的取值范围是多少）
综合上面的讨论可知：当t ＝716
23
t =秒或秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。
（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。如图2，过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，
得DC PE BC EQ =，即121612
t =。解得t ＝9 所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD 。 【例4】
图2
在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点
P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C?时，请直接写出t 的值．
【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE 保持垂直平分PQ 这一条件，然后判断t 可能的范围.因为给出了AC 和CB 的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE 后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ 的等量关系去求解.
解：（1）1，85
；
（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴AP 由△AQF ∽△ABC ，4BC =， 得
45QF t =．∴4
5
QF t =． ∴14(3)2
5S t t =-?， 即22655
S t t =-+． （3）能．
A )
P 图3
A P
①当DE ∥QB 时，如图4．
∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ?∽△ABC ，得AQ AP
AC AB
=， 即33
5t
t -=
． 解得9
8
t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED
此时∠APQ =90°．
由△AQP?∽△ABC ，得
AQ AP
AB AC
=， 即35
3t t -=
．
解得15
8
t =．
（4）52
t =或4514
t =
． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．
PC t =，222QC QG CG =+2234
[(5)][4(5)]55
t t =-+--．
由22PC QC =，得2223
4[(5)][4(5)]55
t t t =-+--，解得5
2
t =． 方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得
B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==
．∴52
t =．
②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．
22234(6)[(5)][4(5)]55
t t t -=-+--，45
14t =
【例5】
如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于
R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．
A P
图5 A 图6
A 图7
（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH 的长度实际上就是后面PQ 的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH 的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ 和QC 所在的△QRC 和△BAC 是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下.
解：（1）
Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．
点D 为AB 中点，1
32
BD AB ∴=
=． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．
BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴
=，312
8105
BD DH AC BC ∴==?=．
（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．
C C ∠=∠，RQC ABC ∴
△∽△， RQ QC AB BC ∴
=，10610
y x
-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：3
65y x =-+．
（3）存在，分三种情况：
①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．
1290∠+∠=，290C ∠+∠=，
A B
C
D E
R P H Q
1C ∴∠=∠． 84
cos 1cos 105
C ∴∠==
=，45QM QP ∴
=， 1364251255
x ??
-+ ???∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312
655
x -+=，
6x ∴=．
③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，
11
224CR CE AC ∴===．
tan QR BA
C CR CA ==
， 3
6
6528
x -+∴=，152
x ∴=
． 综上所述，当x 为185或6或15
2时，PQR △为等腰三角形．
【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。
第二部分 发散思考
【思考1】
A B
C
D E R P
H
Q
如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，60
∠=°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出
B
发，点P以1厘米/秒的速度沿A C B
→→→
→→的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A B C D 的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，APQ
△与ABC
△重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；
△是等边三角形时x的值是秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当APQ
（3）求y与x之间的函数关系式．
【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将x运动分成三个阶段,第一个阶段是0≤X≤3，到3时刚好Q到B.第二阶段是3≤X≤6，Q从B返回来.第三阶段则是再折回去.根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可.
【思考2】
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q 分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
(1)填空：菱形ABCD的边长是、面积是、高BE的长是；
(2)探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.
【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S 的最大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ 为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。
【思考3】
已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
O
x
y A
B
C D
E
C P Q B
A M
N
【思路分析】 第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是PM=QN ，所以此时MN 刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N 过AB 中点之前，其次是N 过中点之后同时M 没有过中点，最后是M,N 都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高MN 是不变的，所以PM 和QN 的长度就成为了求面积S 中变化的部分。
这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】 解：（1）6． （2）8．
（3）①当03x <≤时，
2
111sin 60222APQ y S AP AQ x x x ==?==13
△1····． Q1
A
B
C
D
Q2
P3 Q3
E
P2 P1
O
②当3x <≤6时，
12222221
2
1sin 6021(12-2)2APQ y S AP P Q AP CQ x x ==
?=△=?····
=2
.2
x -
+ ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)
过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．
33333
212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△
3361
,2122
11
(212),
33
CP OC x OE EQ x OC CE x -∴
===-∴==-
3
33
3311
sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°
111(6)(212)(6)223x x x =
--?--·6．
2x =+- （解法二）
如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．
,
.
ACB ACD OF OG ∠=∠∴=
又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-
331
2CQP COQ S S ∴=
△△
3
333321
,3
11
32
11(212)(6)326).6
COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==?=?--=
-△△···又331
sin 602
ACP S CP AC =△··°
1(6)626).x x =-?=-
3AOP y S ∴=△
33
2
6)6)ACP OCP S S x x =-=--△△
262
x x =-
+-
【思考2解析】 解：（1）5 , 24,
5
24
（2）①由题意，得AP=t ，AQ=10-2t.
如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得
△AQG ∽△ABE,∴BA
QA
BE QG =, ∴QG=
2548548t -, …………………………1分 ∴t t QG AP S 5
242524212+-=?=(25
≤t ≤5).
……1分
P3
O
A
B
C
D
Q3
G
H
F
∵6)2
5(25242+--
=t S (25
≤t ≤5).（这个自变量的范围很重要）
∴当t=2
5
时，S 最大值为6.
② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰
三角形即可.
当t=4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP=4. 以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q 在CB 上时, ∵PQ ≥BE>PA ，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P. 如图2,过点Q1作Q1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q1M 交AC 于点 F,则AM=
1
22
AP =.由△AMF ∽△AOD ∽△CQ1F,得 4311===AO OD CQ F Q AM FM , ∴2
3
=FM , ∴1033
11=
-=FM MQ F Q . ∴CQ1=QF 34=225.则11CQ AP t k t =??, ∴11110
CQ k AP == . 第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.
则21BQ CB AP t k t +=??,∴232
CB BQ k AP +=
=. ②若PA=PQ3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ，
由△ANP ∽△AEB,得
AB AP
AE AN =. ∵AE=5722=-BE AB , ∴AN ＝28
25
.
∴AQ3=2AN=56
25
, ∴BC+BQ3=10-251942556=
则31BQ CB AP t k t +=??.∴50
973=+=AP BQ CB k .
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或50
97.
【思考3解析】
过点A '作A N AB '⊥垂足为N 点， 在Rt H CD '△中， 若HDH '∠不小于60°，
则
sin 60H C H D '?=
'≥
即H C H D ''=
B M H
C ''=≥
Rt Rt A NP B MP ''△∽△ A N A P B M B P
''∴=''
3.5cm A P B M A N B P '''∴=
='· ∴踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm ．
26．（10分）
（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ． 则2AD =，
当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP
是矩形，
即3
2AM =时，四边形MNQP 是矩形，
3
2
t ∴=秒时，四边形MNQP 是矩形．
tan 60PM AM =°=，
MNQP S ∴=四边形
D
A ′
C
P
Q
A
M D N
（2）1°当01t <<时，
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
11)2
t ?=+?
2
=+
2°当12t ≤≤时
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
1)12t ?=-?·
=3°当23t <<时，
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
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初中三年级中考复习平面几何证明题一题多解 如图：已知青AB=AC ，E 是AC 延长线上一点，且有BF=CE ，连接FE 交BC 于D 。求证：FD=DE 。 分析：本题有好多种证明方法，由于新课标主 要用对称、旋转方法证明，但平行四边形的性质、平行线性质等都是证题的好方法，我在这里向初中三年级同学面对中考需对平面几何证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。 下边我将自己证明这道题的方法给各位爱好者作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每 中方法的异同和要点，从中能得到提高。我是一位数学业余爱好者，不是学生，也不是老师，如有错误，请批评指证。信箱： wangsj629@https://www.doczj.com/doc/0019362304.html, . 证法一 ∧≌∠⊥∥△□° 证明：过E 点作EM ∥AB 交DC 延长线于M 点，则∠M=∠B ，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M ，所以CE=EM ， 又EC=BF 从而EM=BF ，∠BFD=∠DEM 则△DBF ≌△DME ，故 FD=DE ； 证法二 证明：过F 点作FM ∥AE ，交BD 于点M ， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM ， 又 ∠4=∠3 ∠5=∠E 所以△DMF ≌△DCE ，故 FD=DE 。 证法三 以BC 为对称轴作△BDF 的对称△BDN ，连接NE ，则△DBF ≌△DBN ，DF=DN ，BN=BF ， NF ⊥BD ，∠FBD=∠NBD ，又因为∠C=∠FBD 所以∠NBD=∠C 。 BN ∥CE ，CE=BF=BN ，所以四边形BNCE 为平行四边形。故NF ∥BC ， 所以NF ⊥NE ，因FN 衩BD 垂直平分，故D 是FE 的中点，所以FD=DE 。（也可证明D 是直角△NEF 斜边的中点）。 证法四： F C A E N E
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题） 专题35：平面几何基础 一、选择题 1. （2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于【】 A．38?B．104?C．142?D．144? 【答案】C。 【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。 【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。 由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。 ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。 2. （2012重庆市4分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为【】 A．60°B．50°C．40°D．30° 【答案】B。 【考点】平行线的性质，角平分线的定义。 【分析】∵EF∥AB，∠CEF=100°，∴∠ABC=∠CEF=100°。 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=1 2 ∠ABC= 1 2 ×100°=50°。故选B。 3. （2012山西省2分）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于【】
A ． 35° B ． 40° C ． 45° D ． 50° 【答案】B 。 【考点】平行线的性质，平角定义。 【分析】∵∠CEF =140°，∴∠FED =180°﹣∠CEF =180°﹣140°=40°。 ∵直线AB ∥CD ，∴∠A =∠FED =40°。故选B 。 4. （2012海南省3分）一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是【 】 A ．3cm B ．4cm C ．7cm D ．11cm 【答案】C 。 【考点】三角形的构成条件。 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，此三角形的第三边的长应在7－3=4cm 和7＋3=10cm 之间。要此之间的选项只有7cm 。故选C 。 5. （2012海南省3分）小明同学把一个含有450 角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n ，上，测得0120α∠=，则β∠的度数是【 】 A ．450 B ．550 C ．650 D ．750 【答案】D 。 【考点】平行线的性质，平角定义，对顶角的性质，三角形内角和定理。 【分析】∵m n ∥，∴∠ABn =0120α∠=。∴∠ABC =600 。 又∵∠ACB =β∠，∠A =450， ∴根据三角形内角和定理，得β∠=1800－600－450=750。故选D 。 6. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】 A ． 5 B ． 6 C ． 11 D ． 16 【答案】C 。 【考点】三角形三边关系。 【分析】设此三角形第三边的长为x ，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C 。
初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。 考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。 考察内容： ①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式，平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。 考察内容： ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 初一下册
相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。 考察内容： ①平行线的性质（公理） ②平行线的判别方法 ③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。 （2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。 考察主要内容： ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。 考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 （4）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。 主要考察内容： ①一元一次不等式（组）的解法，不等式（组）解集的数轴表示，不等式（组）的整数解等，题型以选择，填空为主。 ②列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。 ③留意不等式（组）和函数图像的结合问题。
中考几何母题的一题多解(多变) 一、三角形一题多解 如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。 证法一 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二 证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM， 又∠4=∠3 ∠5=∠E 所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。 二、平行四边形一题多解
如图4，平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE. 证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。 证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。 证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。 证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE 四\一题多解、多变《四边形面积》 1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行 四边形，则阴影部分面积是多少。 解法一 将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。 (a-c)(b-c) 解法二 重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c）
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四 边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
初中数学重难点 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________
1. 函数（一次函数、反比例函数、二次函数）[点击可查看]中考占总分的15%左右。 函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。 特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。 而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2.整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。 中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。 3.应用题，中考中占总分的30%左右 包括方程（组）应用，一元一次不等式（组）应用，函数应用，解三角形应用，概率与统计应用几种题型。 一般会出现二至三道解答题（30分左右）及2—3道选择、填空题（10分—15分），占中考总分的30%左右。 现在中考对数学实际应用的考察会越来越多，数学与生活联系越来越紧密，因为
这样更能让学生感受学习数学在自己生活中的运用，以激发其学习兴趣。 应用题要求学生的理解辨别能力很强，能从问题中读出必要的数学信息，并从数学的角度寻求解决问题的策略和方法。方程思想、函数思想、数形结合思想也是中学阶段一种很重要的数学思想、是解决很多问题的工具。 4.三角形（全等、相似、角平分线、中垂线、高线、解直角三角形）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形），中考中占总分25%左右。 三角形是初中几何图形中内容最多的一块知识，也是学好平面几何的必要基础，贯穿初二到到初三的几何知识，其中的几何证明题及线段长度和角度的计算对很多学生是难点。 因为几何思维更灵活，定理、定义及辅助线的添加往往都是解决问题的关键，这就要求学生的思维更灵活，能多维度的思考问题，形成自己的解题思路和方法。也只有学好了三角形，后面的四边形乃至圆的证明就容易理解掌握了，反之，后面的一切几何证明更将无从下手，没有清晰的思路。其中解三角形在初三下册学习，是以直角三角形为基础的，在中考中会以船的触礁、楼高、影子问题出现一道大题。因此在初中数学学习中也是一个重点，而且在以后的高中数学学习中会将此知识点挖深，拓宽。成为高考的一个重点，因此，初中的同学们应将此知识点熟练掌握。 四边形在初二进行学习的，其中特殊四边形的性质及判定定理很多，容易混淆，深刻理解这些性质和判定、理清它们之间的联系是解决证明和计算的基础，四边形中题型多变，计算、证明都有一定难度。经常在中考选择题、填空题及解答题的压轴题（最后一题）中出现，对学生综合运用知识的能力要求较高。 5.圆，中考中占总分的10%左右
中考压轴题专题几何（辅助线） 精选1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．精选2．如图，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB与∠CBA的平分线AE，BF相交于点D， 求证：DE＝DF． 精选3.已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC． (1)若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数。 精选4、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P， （1）当OA=时，求点O到BC的距离； （2）如图1，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少 （3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围； （4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少 ． 精选5．如图，已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，AD平分∠BDC， 求证：BD+DC＝AD． 精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（第6题图） （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． 精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF． （1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少
中考数学重难点专题讲座动态几何与函数问题 含答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考数学重难点专题讲座 第八讲动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E. （1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. （2）当24 t<<时，求S关于t的函数解析式.
地区：浙江省金华市年份：2011 分值：12.0 难度：难 如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长； （2）当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 地区：浙江省湖州市年份：2011 分值：14.0 难度：难 如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M 是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2)当△APD是等腰三角形时，求m的值； (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）
地区：山东省济宁市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C 的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx ＋3. (1)设点P的纵坐标为p，写出p随K变化的函数关系式. (2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值;若不存在，请说明理由. 地区：湖南省邵阳市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0,3） 点B是x轴上一点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C. （1）求角ACB的度数； （2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A，B两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由.
1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A
中考数学专题3 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t = ． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论：
平面几何知识要点（一） 【线段、角、直线】 1.过两点有且只有一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 垂直平分线，简称“中垂线”。 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线（中垂线）。 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的
集合。 中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。 .三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶 点的距离相等。 角 1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。 3.对顶角相等。 角的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。 【平行线】 平行线性质1：两直线平行，同位角相等。 平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线判定1：同位角相等，两直线平行。 平行线判定2：内错角相等，两直线平行。 平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例。
- 1 - 中考数学重难点专题 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲 【例1】 已知：关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数2 3y ax bx c =++的图象 经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个 值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【例2】 关 于 x 的一元二次方程 22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （ 2）点 () 11A --，是抛物线 22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【解析】：
- 2 - 【例3】 已知P （3,m -)和Q （1， m ）是抛物线 221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程2 21x bx ++=0是 否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【解析】 【例4】已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若2 5 a > ，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 【例5】 已知：关于x 的一元二次方程 ()()21210m x m x -+--=（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛 物线()()2 121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个 固定点； （3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程 ()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根， 把抛物线()()2 121y m x m x =-+--向右平移3个 单位长度，求平移后的解析式．
2021年中考数学二轮复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲: 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点: ⑴注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构 造基本图形． ⑵掌握常规的证题方法和思路． ⑶运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运 用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等)． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】(南充，10分)⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点． (1)求证:DF是⊙O的切线．(2)若AE＝14，BC＝12，求BF的长． 解:(1)证明:连接OD，AD． AC是直径， ∴AD⊥BC．⊿ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角， ∴∠C＝∠BED． 故∠B＝∠BED，即DE＝DB． 点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径， 即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．
故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． (2)设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-(不合题意，舍去)． 则 BF 的长为2． 点拨:过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行． 【例2】(重庆，10分)如图，在△ABC 中，点E 在BC 上， 点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证:BD ＝CD 。 证明:因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE 而∠BDE＝∠AB D ＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE ∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 在△ADB 和△ADC 中， ∠BAD＝∠CAD AD ＝AD ∠ADB ＝∠ADC 所以 △ADB≌△ADC 所以 BD ＝CD 。 (注:用“AAS”证三角形全等，同样给分) A B C D E
中考数学中的探究性问 题动态几何 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考数学中的《探究性问题——动态几何》 动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查 学生的综合分析和解决问题的能力。 有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。 一、知识网络 《动态几何》涉及的几种情况动点问题? 动线问题动形问题? ? 二、例题经典 1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式； y (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似 24 A (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为 个平方单位 5 P Q
【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝6 8k＋b＝0 3 解得k＝－b＝6 4 3 所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6． 4 （２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB． t 10 2t 30 所以＝解得t＝ (秒) 6 10 11 2°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． t 10 2t 50 所以＝解得t＝ 10 6 13 (秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E． BO 4 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝ ＝ AB 5 O y y A P Q O A Q y B B B x x x
初中数学平面几何建系专题 一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每 个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 （2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗？对于下面这个根据教师平面 图写的通知，你明白它的意思吗？“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置 ?
（2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2）在同一位置。 （3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识： （1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。 （2）排数和列数先后顺序对位置有影响。（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。（3）让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示 不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数 对，叫做有序数对,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。（以后学习） 巩固练习：1、教材65页练习 2．如图，马所处的位置为（2，3）. （1）你能表示出象的位置吗？ （2）写出马的下一步可以到达的位置。
2021年温州市中考数学 重难点复习：二次函数 目录 一、历年真题 二、知识点讲解 三、各地真题及模拟题精讲
一、历年真题 一．选择题（共8小题） 1．将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2﹣1 B ．y ＝x 2﹣3 C ．y ＝（x +1）2﹣2 D ．y ＝（x ﹣1）2﹣2 【解答】解：将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2+1，即y ＝x 2﹣1． 故选：A ． 2．如图，抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5交x 轴于点A ，B ，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．5 2 B ． 114 C ．3 D ． 134 【解答】解：将抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5向右平移3个单位后得到y ＝﹣（x +m ﹣3）2 +5， 根据题意得：{y =?(x +m)2+5y =?(x +m ?3)2+5， 解得：{x =3 2?m y =114， ∴交点C 的坐标为（3 2?m ， 114 ）， 故选：B ． 3．已知点A （﹣3，a ），B （﹣2，b ），C （1，c ）均在抛物线y ＝3（x +2）2+k 上，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＜a ＜b B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 【解答】解：函数的对称轴为：x ＝﹣2， a ＝3＞0，故开口向上， x ＝1比x ＝﹣3离对称轴远，故c 最大，b 为函数最小值， 故选：C ．
4．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且对称轴在（﹣1，0）的左边，下列结论一定正确的是（） A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a﹣b+c＞﹣1【解答】解：A、如图所示，抛物线经过原点，则c＝0，所以abc＝0，故不符合题意； B、如图所示，对称轴在直线x＝﹣1的左边，则?b 2a＜?1，又a＞0，所以2a﹣b＜0， 故符合题意； C、如图所示，图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故不符合题意； D、如图所示，当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0，但无法判定a﹣b+c与﹣1的大小，故 不符合题意． 故选：B． 5．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（） A．0B．1C．2D．3 【解答】解：∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0 ∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点． 故选：B． 6．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）
一题多解 探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利 的。 下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的： 例：如图（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，四边形ACED 是平行四边形，延长DC 交BE 于F. 求证：EF=FB 分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下： I E F B C A 证明一：如图所示，作BQ∥AD,交DF 延长线于Q 点，则四边形ABQD 是平行四边形，从而BQ=AD ，再由题设可证△CEF≌△QBF, 得证EF=FB. Q I E F B C A 证明二：如左图所示：作FM∥DA 交AB 于M ，则四边形ADFM 是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证. M I E F B C A 证明三：作CN∥EB 交AB 于N ，则四边形CNBF 是□，从而CN=FB. 再证：△ANC≌△DFE，可得CN=EF ，即EF=FB. N I E F B C A 证明四：作DP ∥FB 交AB 于P ，证明△ADP ≌△CEF ，从而得出结论. P I E F B C A
证明五：延长EC 交AB 于G ，则四边形ADCG 是□，∴CE=AD=GC ，即C 是EG 中点.又CF ∥GB ，∴F 是EB 中点，结论得证. G I E F B C A 证明六：连结AE 交CD 于O 点，则O 是AE 中点，又OF ∥AB ， ∴F 是AB 中点，得证. I E F B C A 证明七：延长ED 交BA 延长线于H 点，则HACD 是□ , ∴CA=DH=ED ∴D 是EH 中点.又DF ∥HB ∴F 是EB 中点，得证. H I E F B C A 证明八：作ES ∥CD 交AD 延长线于S ，则CDSE 是□ ∴DS=CE=AD, ∴D 是AS 中点.又SE ∥CD ∥AB ∴F 是EB 中点，得证. S I E F B C A 证明九：在证明一作的辅助线基础上，连结EQ ，则可得ECBQ 是□，从而F 是□ECBQ 对角线EB 的中点。 总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种： ①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。 ②作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论。 这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。