中考数学重难点专题讲座动态几何与函数问题含答案(终审稿)

中考数学专题8 动态几何与函数问题【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【解】（1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==，； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线，∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为：()()112441222AB OC OA +⋅=+⨯=..... (3分) （2）当24t <<时，阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ∆的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)∴1122S OD OE =-⋅∵142OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- .∴()()()21122441242S t t t =-⨯-⋅-=--284S t t =-+-.【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记O E F E C F S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等． （2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33kE ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△2112S k k ∴=-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值． （3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠． 又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF ∴△∽△．EN EM MB MF ∴=，11414312311331412k k MB k k⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 94MB ∴=．D图1222MB BF MF +=，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =． 21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．【例3】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。

中考数学复习专题讲座：动点型问题（建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题、双动点问题、因动点产生的最值问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1（2012•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．思路分析：根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，∵正方形ABCD的边长为a，∴BD=a，则当0≤x＜a时，y=x，当a≤x＜（1+）a时，y=，当a（1+）≤x＜a（2+）时，y=，当a（2+）≤x≤a（2+2）时，y=a（2+2）﹣x，结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，根据当a≤x＜（1+）a时，函数图象被P在BD中点时，分为对称的两部分，故B选项错误，再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，故选：D．点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．对应训练1．（2012•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C 的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．如图，D为AB的中点，连结CD，则：AD=BD=1.5（cm），cm）。

中考数学专题8 动态几何与函数问题1 、如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E . （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t ≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.2、已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。

动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。

设运动的时间为t （秒）。

（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。

龙文教育个性化辅导教案提纲学生: 日期: 年 月 日 星期: 时段:中考数学专题8 动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。

整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。

所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。

其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。

不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。

但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

第一部分 真题精讲【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。

2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 的横坐标为-2.（1）求 的值；（2）直接写出当 且 时， 的取值范围；（3）设点 是直线AB 上的一点，过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝ 的图象上．（1）求反比例函数y ＝ 的表达式； （2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点 ， 在 轴上，以 为边的正方形 在 轴上方，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过 的中点 ， 是 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数 的表达式； （2）若点 落在 轴上，求线段 的长及点 的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （ ， ），B （ ， ）且 （1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且 ，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝ 的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－ 的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于点 与点Q ． （1）求点Q 的坐标；（2）若存在点 ，使得 ，求c 的值； （3）过点 平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数 、反比例函数数 的图象相交于点 、点 ，当 时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP 上，过点 作AB 的垂线，交射线AP 于点 ，交直线MN 于点 ，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求 的面积；（2）当点 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1） ， ；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数 图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝ 上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为 ，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。

动态几何与函数10题(1)请直接写出1y ，2y 与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围；
(2)请在平面直角坐标系中画出1y ，2y 的图象，并写出1y 的一条性质；
(3)求当12y y >时，t 的取值范围．
(1)求出12,y y与x的函数关系式，并注明
(2)先补全表格中1y的值，再画出
x123456
y12632
1
(3)在直角坐标系内直接画出2y的函数图像，结合1y和2y的函数图像，x的取值范围．(结果取精确值)
(1)请求出1y 和2y 关于x 的函数解析式，并说明x 的取值范围；
(2)在图2中画出1y 关于x 的函数图象，并写出一条这一函数的性质：(3)若12103
y y -≥，请结合函数图像直接写出x 的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
4．
（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿折线A B C D →→→运动，当它到达D 点时停止运动；同时，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AD 运动，过Q 点做直线l 平行于AB ，点M 为直线l 上的一点，满足AMQ △的面积为2，设点P 点Q 的运动时间为t （0t >），ADP △的面积为1y ，QM 的长度为2y ．
(1)分别求出1y ，2y 与t 的函数关系，并注明t 的取值范围；
(2)在坐标系中画出1y ，2y 的函数图象；
(3)结合函数图象，请直接写出当12y y <时t 的取值范围．。

中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分 真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN M N t D DE AB ∥BC E ABEDABMCNED AB DE ∥AB MN ∥DE MN∥MC NC EC CD =1021035t t -=-5017t =MN NC =NF BC ⊥BC F 2MC FC =4sin 5DF C CD ∠==3cos 5C ∠=310225tt -=⨯258t =ABMCNFD MN MC =M MH CD ⊥2CN CH =()321025t t =-⨯6017t =A B MCN HD MC CN =102t t -=103t =258t =6017103MNC △423=BC x x （3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45o ，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ， 易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45o ，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ． 过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ， 则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =+， 24x CP x ∴=+．【例3】（2010，怀柔，一模）已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．GA BCDE F ADM【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。

中考动态几何问题动态几何问题通常包括:（1）动点;（2）动直线;（3）动型问题。

通过这些问题，有效的区分学生的档次，在做这类题前一定要基本知识扎实，“化动为静”，通常前两问较简单，有时是“静态”的题，所以一定要认真冷静，有时又需要用数学方法（分类讨论数形结合等），因此一定要多多训练，独立思考，充满信心。

练习:（注：题目难度按照动态几何题目难度编排，并非中考试卷难度） 1.（2000吉林省）如图，在矩形ABCD 中，BC=acm ，AB=bcm ，a>b,且a,b 是方程84231(5)5x x x x x -++=++的两个根,P 是BC 上一动点,动点Q 在PC 或其延长线上，BP=PQ ，以PQ为一边的正方形为PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP=x 。

cm ，正方形PQRS与矩形ABCD 重叠部分的面积为ycm 2． (1)求a 和b ；(2)分别求出0≤x ≤2和2≤x ≤4时，y 与x 之间的函数关系式．2.（2001吉林省）如图，A ，B 是直线l 的两点,AB ＝4厘米,过l 外一点C 作CD//l ，射线BC 与l 所成的锐角∠l ＝60°，线段BC= 2厘米．动点P,Q 分别从B ，C 同时出发，P 以每秒1厘米的速度沿由B 向C 的方向运动，Q 以每秒2厘米的速度沿由C 向D 的方向运动．设P ，Q 运动的时间为t （秒），当t ＞2时，PA 交CD 于E ． （1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长； （2）求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？CPEQD 13. （江西2001）如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC ＝2cm ．现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1㎝/s 的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2㎝/s 的速度向点C 运动．设点E 离开点B 的时间为t （s ）． (l)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行？(2)设1＜t ＜2，当t 为何值时，EF 与半圆相切？(3)当1≤t ＜2，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP ：PC 的值．CABD4. (2001湖南长沙市)已知：Rt △AOC 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3厘米，OB ＝4厘米．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．设P 、Q 分别为AB 边、OB 边上的动点，它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速移动，移动的速度都为1厘米/秒．设P 、Q 移动时间为t 秒（40≤≤t ）.（l ）过点P 作PM ⊥OA 于M ．证明:ABAPBO PM AO AM ==，并求出P 点的坐标（用t 表示）． （2）求△OPQ 的面积S （厘米2）与移动时间t （秒）之间的函数关系式；当t 为何值时，S 有最大值，并求出S 的最大值．（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）①试证明无论t 为何值，△OPQ 不可能为正三角形；②若点P 的移动速度不变，试改变点Q 的运动速度；使△OPQ 为正三角形，求出点Q 的运动速度和此时的t 值．yx5.（2002上海市）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ． 探究：设A 、P 两点间的距离为x ． （1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（1） 当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的取值范围；（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△P CQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）6.（2000吉林省）如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值； （2）当t=5秒时，求S 的值；（3）当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．A B C D A B CD A B C D图2图1图37.（2002年吉林省）如图，菱形OABC的边长为4㎝，∠AOC=60°，动点P从O出发，以每秒1㎝的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2s后。

热点专题8动点几何问题考向1图形的运动与最值1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．【解析】如图，过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E，⊙⊙AEP＝⊙ABD，⊙APE⊙⊙ATB，⊙，⊙AB＝4，⊙AE＝AB+BE＝4+BE，⊙，⊙BE最大时，最大，⊙四边形ABCD是矩形，⊙BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊙BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，⊙BD是⊙C的切线，⊙⊙GME＝90°，在Rt⊙BCD中，BD＝＝5，⊙⊙BHC＝⊙BCD＝90°，⊙CBH＝⊙DBC，⊙⊙BHC⊙⊙BCD，⊙，⊙，⊙BH＝，CH＝，⊙⊙BHG＝⊙BAD＝90°，⊙GBH＝⊙DBA，⊙⊙BHG⊙⊙BAD，⊙＝，⊙，⊙HG＝，BG＝，在Rt⊙GME中，GM＝EG•sin⊙AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，⊙GE最大时，BE最大，⊙GM最大时，BE最大，⊙GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，⊙GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F，⊙BE最大时，点E落在点F处，即：BE 最大＝BF ，在Rt⊙GP 'F 中，FG ＝＝＝＝，⊙BF ＝FG ﹣BG ＝8， ⊙最大值为1+＝3，故答案为：3．2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ．【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ，过A 作AN ⊙BC 于N ，过E 作EH ⊙HG 于H ，延长ED 交BC 于M ．易证⊙EHD ⊙⊙DGC ，可设DG ＝HE ＝x ，⊙AB ＝AC ＝5，BC ＝AN ⊙BC ，⊙BN ＝12BC ＝，AN ⊙G ⊙BC ，AN ⊙BC ， ⊙DG ⊙AN ， ⊙2BG BNDG AN==，⊙BG ＝2x ，CG ＝HD ＝- 2x ；易证⊙HED ⊙⊙GMD ，于是HE HDGM GD =，x GM =MG 2= ，所以S ⊙BDE＝ 12BM ×HD ＝12×(2x 2)×(4- 2x )＝252x -+＝2582x ⎛-+ ⎝⎭，当x 时，S ⊙BDE 的最大值为8． 因此本题答案为8． 3. (2019 江苏省宿迁市)如图，⊙MAN ＝60°，若⊙ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当⊙ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 ．【解析】如图，过点B作BC1⊙AN，垂足为C1，BC2⊙AM，交AN于点C2在Rt⊙ABC1中，AB＝2，⊙A＝60°⊙⊙ABC1＝30°⊙AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt⊙ABC2中，AB＝2，⊙A＝60°⊙⊙AC2B＝30°⊙AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当⊙ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．4. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边⊙EFG，连接CG，则CG的最小值为．【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将⊙EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到⊙EFB⊙⊙EHG从而可知⊙EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊙HN，则CM即为CG的最小值作EP⊙CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边⊙ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把⊙ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1⊙AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，⊙ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求⊙ACB′面积的最大值．【解析】（1）如图1中，⊙⊙ABC是等边三角形，⊙⊙A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，⊙PB＝4，⊙PB′＝PB＝P A＝4，⊙⊙A＝60°，⊙⊙APB′是等边三角形，⊙AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．⊙PE⊙AC，⊙⊙BPE＝⊙A＝60°，⊙BEP＝⊙C＝60°，⊙⊙PEB是等边三角形，⊙PB＝5，⊙⊙B，B′关于PE对称，⊙BB′⊙PE，BB′＝2OB⊙OB＝PB•sin60°＝，⊙BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．⊙B，B′关于直线l对称，⊙BB′⊙直线l，⊙直线l ⊙AC ， ⊙AC ⊙BB ′， ⊙S ⊙ACB ′＝S ⊙ACB ＝•82＝16．（4）如图4中，当B ′P ⊙AC 时，⊙ACB ′的面积最大，设直线PB ′交AC 于E ，在Rt⊙APE 中，⊙P A ＝2，⊙P AE ＝60°， ⊙PE ＝P A •sin60°＝，⊙B ′E ＝6+，⊙S ⊙ACB ′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．6. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP＝.如图⊙，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ∆的面积为S （cm²），S 与t 的函数关系如图⊙所示：（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;（2）如图⊙，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ⊙求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;⊙试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）2/cm s ；10cm（2）⊙解：⊙在边BC 上相遇，且不包含C 点 ⊙57.515 2.5C vB v⎧⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩＜在点在点⊙2/6/3cm s v cm s ≤＜⊙如右图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊙AC，则12MH CM ==①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.515-2x2x-5(N )⊙ ⊙22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅ =2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254.7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角⊙GDC ，⊙G ＝90°．点M 在线段AB 上，且AM ＝a ，点P 沿折线AD ﹣DG 运动，点Q 沿折线BC ﹣CG 运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ⊙A B ．设PQ 与AB 之间的距离为x ． （1）若a ＝12．⊙如图1，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x 的值为 ； ⊙在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．【解析】 ⊙P 在线段AD 上，PQ ＝AB ＝20，AP ＝x ，AM ＝12，112152S MH AP x =⋅=-+四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；⊙当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，⊙0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊙AB于M，交CD于N，作GE⊙CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，⊙⊙GDC是等腰直角三角形，⊙DE＝CE，GE＝CD＝10，⊙GF＝GE+EF＝20，⊙GH＝20﹣x，由题意得：PQ⊙CD，⊙⊙GPQ⊙⊙GDC，⊙＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，⊙梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，⊙当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，⊙0≤x≤20，⊙10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，⊙10≤x≤20，二次函数图象开口向下，⊙当x＝20时，S最小，⊙﹣202+×20≥50，⊙a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．考向2动点与函数的结合问题1．(2019 江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2＋bx＋c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分⊙PCR．若OQ⊙PR，求出点Q的坐标．【解析】（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，⊙抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，⊙当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得，x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；⊙当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣x2﹣x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x＝﹣，此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分⊙PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊙TR于点H，则有⊙PSC＝⊙RTC＝90°，由CA平分⊙PCR，得⊙PCA＝⊙RCA，则⊙PCS＝⊙RCT，⊙⊙PSC⊙⊙RTC，⊙，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt⊙PRH中，tan⊙PRH＝＝过点Q作QK⊙x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ⊙PR，则需⊙QOK＝⊙PRH，所以tan⊙QOK＝tan⊙PRH＝2，所以2m＝，解得，m＝，所以点Q坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．2．(2019 江苏省常州市)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：⊙半径为1的圆：；⊙如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．⊙若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；⊙若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【解析】（1）⊙半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．⊙如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt⊙ODC中，OC＝＝＝⊙OP+OC≥PC，⊙PC≤1+，⊙这个“窗户形“的宽距为1+．故答案为1+．（2）⊙如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．⊙如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊙x轴于T．⊙AC≤AM+CM，又⊙5≤d≤8，⊙当d＝5时．AM＝4，⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），当d＝8时．AM＝7，⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），⊙满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．考向3运动过程中的定值问题1．(2019 江苏省宿迁市)如图⊙，在钝角⊙ABC中，⊙ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将⊙BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图⊙，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：⊙BDA⊙⊙BEC；（2）如图⊙，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，⊙AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将⊙BDE从图⊙位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【解析】（1）如图⊙中，由图⊙，⊙点D为边AB中点，点E为边BC中点，⊙DE⊙AC，⊙＝，⊙＝，⊙⊙DBE＝⊙ABC，⊙⊙DBA＝⊙EBC，⊙⊙DBA⊙⊙EBC．（2）⊙AGC的大小不发生变化，⊙AGC＝30°．理由：如图⊙中，设AB交CG于点O．⊙⊙DBA⊙⊙EBC，⊙⊙DAB＝⊙ECB，⊙⊙DAB+⊙AOG+⊙G＝180°，⊙ECB+⊙COB+⊙ABC＝180°，⊙AOG＝⊙COB，⊙⊙G＝⊙ABC＝30°．（3）如图⊙﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边⊙ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙⊙AGC＝30°，⊙AOC＝60°，⊙⊙AGC＝⊙AOC，⊙点G在⊙O上运动，以B 为圆心，BD 为半径作⊙B ，当直线与⊙B 相切时，BD ⊙AD ， ⊙⊙ADB ＝90°， ⊙BK ＝AK ， ⊙DK ＝BK ＝AK ， ⊙BD ＝BK ， ⊙BD ＝DK ＝BK ， ⊙⊙BDK 是等边三角形， ⊙⊙DBK ＝60°， ⊙⊙DAB ＝30°，⊙⊙DOG ＝2⊙DAB ＝60°， ⊙的长＝＝，观察图象可知，点G 的运动路程是的长的两倍＝．2．(2019 江苏省无锡市)如图1，在矩形ABCD 中，3BC =，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称PAB ∆'，设点P 的运动时间为()t s ．（1）若AB =⊙如图2，当点B '落在AC 上时，显然PAB ∆'是直角三角形，求此时t 的值；⊙是否存在异于图2的时刻，使得PCB ∆'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由．（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB '与直线CD 相交于点M ，且当3t <时存在某一时刻有结论45PAM ∠=︒成立，试探究：对于3t >的任意时刻，结论“45PAM ∠=︒”是否总是成立？请说明理由．【解析】（1）⊙勾股求的易证CB P CBA'V:V,故''43B P=解得⊙1°如图，当⊙PCB’=90 °时，在⊙PCB’中采用勾股得：222(3)t t+-=，解得t=22°如图，当⊙PCB’=90 °时，在⊙PCB’中采用勾股得：222(3)t t+-=，解得t=6B'CB'CBA A BDPD33°当⊙CPB’=90 °时，易证四边形ABP’为正方形，解得（2）如图，⊙⊙PAM=45°⊙⊙2+⊙3=45°，⊙1+⊙4=45°又⊙翻折⊙⊙1=⊙2，⊙3=⊙4又⊙⊙ADM=⊙AB’M（AAS）⊙AD=AB’=AB即四边形ABCD是正方形如图，设⊙APB=xB'CA BDA⊙⊙PAB=90°-x ⊙⊙DAP=x易证⊙MDA⊙⊙B’AM （HL ） ⊙⊙BAM=⊙DAM ⊙翻折⊙⊙PAB=⊙PAB’=90°-x⊙⊙DAB’=⊙PAB’-⊙DAP=90°-2x ⊙⊙DAM=21⊙DAB’=45°-x ⊙⊙MAP=⊙DAM+⊙PAD=45°4321MB'BCB'A D PP。

中考数学重难点专题讲座第八讲 动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。

整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。

所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。

其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。

不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。

但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。

很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。

其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。

脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。

中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．ABMCNED∵AB DE ∥，AB MN ∥．∴DE MN ∥．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MC NCEC CD=．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）∴1021035t t -=-．解得5017t =．【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。

《动态几何问题》专题突破训练（附答案）1．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 以5cm /s 的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿射线AC 以5cm /s 的速度运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动；连接PQ ，设∠APQ 与∠ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（t ＞0）．（1）直接写出AC = cm ；（2）当点A 关于直线PQ 的对称点A '落在线段BC 上时，求t 的值；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）若M 是PQ 的中点，N 是AB 的中点，当MN 与BC 平行时，t = ；当MN 与AB 垂直时，t = ．2．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当4AP =时，求 tan EBP ∠；（3）如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长A-，点3．如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点(8,0)()C BC交y轴于点.D动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度3,4终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：BE=________，OF=________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．4．在∠ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作∠ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．5．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造∠EFM和∠HAM全等，进而可得∠DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）猜想图1中DM、EM的数量关系，位置关系．（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论（“成立”或“不成立”）拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求∠PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使∠PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，AC ＝AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．8．如图，∠O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，∠ABC 的外角平分线AP 交∠O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长；（3）若∠ABC 为非锐角三角形，求PA •AE 的最大值．9．如图1，已知∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 在AB 边的延长线上，且CD ＝AB ．（1）求BD 的长度；（2）如图2，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD 相交于点E ，求DE 的长度；②连接A'D 、BD'，若旋转过程中A'D ＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'，若点M 为AC 的中点，点N 为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN 长度的取值范围．10．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5PA =，4PB =，3PC =，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．（1）求点P 与点Q 之间的距离；（2）求BPC ∠的度数；（3）求ABC 的面积ABC S．11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2/cm s 和1/cm s ，FQ BC ⊥，分别交AC ，BC 于点P 和Q ，设运动时间为()04ts t <<．（1）连接EF ，若运动时间t =_______s 时，EF =；（2）连接EP ，当EPC 的面积为23cm 时，求t 的值；（3）若EQP ADC ∽△△，求t 的值．12．如图，边长为ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°得到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，其延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ．（1）连接CQ ，证明：CQ AP =；（2）设AP x =，CE y =，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）试问当P 点运动到何处时，PB PE +的值最小，并求出此时CE 的长．（画出图形，直接写出答案即可）13．已知：O 是ABC ∆的外接圆，且,60,AB BC ABC D =∠=︒为O 上一动点． （1）如图1，若点D 是AB 的中点，求DBA ∠的度数．（2）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为点E ．①如图2，若点D 在AB 上．求证CD DE AE =+．②若点D 在AC 上，当它从点A 向点C 运动且满足CD DE AE =+时，求ABD ∠的最大值．14．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由15．如图，在平面直角坐标系中，点C 在x 轴上，90,10cm,6cm OCD D AO OC CD ︒∠=∠====．（1）请求出点A 的坐标．（2）如图（2），动点P Q 、以每秒1cm 的速度分别从点O 和点C 同时出发，点P 沿OA AD DC 、、运动到点C 停止，点Q 沿CO 运动到点O 停止，设P Q 、同时出发t 秒． ①是否存在某个时间t （秒），使得OPQ △为直角三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．②若记POQ △的面积为()2cm y ，求()2cm y 关于t （秒）的函数关系式． 16．已知，点O 是等边ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC ．（∠）如图1所示，已知150AOB ∠=︒，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ．①求DAO ∠的度数：②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；（∠）设AOB α∠=，BOC β∠=．①当α，β满足什么关系时，OA OB OC ++有最小值？并说明理由；②若等边ABC 的边长为1，请你直接写出OA OB OC ++的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作∠O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）则∠DPF 是 三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将∠EFP 沿PF 翻折，得到∠QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．18．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD AO =．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且60EOF ∠=︒．（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若75OEB ∠=︒，求证：AD BE =；（2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若75OFB ∠=︒，试说明AF 与BE 的数量关系；（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将OEF 沿OE 所在直线翻折至OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若()20AD a a =>，则当PQ 最短时，求PF 之长．19．如图，在∠ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝34AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，∠BPD与∠CQP是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数．（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边∠CQP？20．如图，Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若∠BPQ与∠ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，∠BPQ是等腰三角形；（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；（4）连接AQ，CP，若AQ∠CP，求t的值．21．如图1，在正方形ABCD 中，4AB m =，点P 从点D 出发，沿DA 向点A 匀速运动，速度是1/cm s ，同时，点Q 从点A 出发，沿AB 方向，向点B 匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、CP 、CQ ，设运动时间为()(02)t s t <<．()1是否存在某一时刻，使得//PQ BD 若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ()2设PQC △的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；()3如图2，连接AC ，与线段PQ 相交于点M ，是否存在某一时刻t ，使QCM S ：4PCM S =：5？若存在，直接写t 的值；若不存在，说明理由．22．如图，在 RtΔABC 中，∠C=90°，BC=5cm ，tanA 512=．点 M 在边 AB 上，以 2 cm/s 的速度 由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动；同时点N 在边AC 上，以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动．当点M 到达A 点时，点M ，N 同时停止运动．连接MN ，设点M 运动的时间为t (单位：s)．（1）求AB 的长；（2）当t 为何值时，ΔAMN 的面积为∠ABC 面积的326； （3）是否存在时间t ，使得以A ，M ，N 为顶点的三角形与ΔABC 相似？若存在，求出时间t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x 12=-．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG∠AC 于点G ． （1）求抛物线的解析式．（2）求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．（1）求k 、b 和m 的值；（2）求ADC ∆的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使BCE ∆的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，清说明理由．25．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．26．正方形ABCD 和等腰Rt DEF △共顶点D ，90DEF ∠=︒，DE EF =，将DEF 绕点D 逆时针旋转一周．（1）如图1，当点F 与点C 重合时，若2AD =，求AE 的长；（2）如图2，M 为BF 中点，连接AM 、ME ，探究AM 、ME 的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）条件下，连接DM 并延长交BC 于点Q ，若22AD DE ==，在旋转过程中，CQ 的最小值为_________．27．综合与探究 如图，抛物线245y x bx c =++经过点()0,4A ，()10B ,，与x 轴交于另一点C （点C 在点B 的右侧），点()P m n ,是第四象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的函数解析式及点C 的坐标；（2）若APC △的面积为S ，请直接写出S 关于m 的函数关系表达式，并求出当m 的值为多少时，S 的值最大？最大值为多少？（3）是否存在点P ，使得PCO ACB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现：（1）如图1，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作等边∠ABD 和等边∠ACE ，连接BE ､CD ，请你完成作图并证明BE =CD ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ､BG ，则线段CE ､BG 有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，AB =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，AD =3，BD =5，求CD 的长．参考答案1．（1）3；（2）38t =；（3）当305t <≤时，210S t =；当315t <≤时，215309S t t =-+-；（4）38；58．2．（1）4y x x =-．定义域为25x <≤；（2）34；（3）4或53+ 3．（1）5－t ，2t ；（2）3t =或133t =；（3）53t =或910t = 4．（1）90°；（2）①α＋β＝180°；②点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．5．（1）DM∠EM ，DM ＝ME ；（2）结论成立；（3）成立；拓展应用： 6．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）3；（3）点P 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）7．（1）60BD CE ，＝；（2）45CEB BD ∠︒＝，；（3）CE 的长为或48．（1）①证明；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80.9．（1）﹣（2）；②45°或225°；（3）﹣＋310．（1）4PQ =；（2）150BPC ∠=︒；（3）9ABC S =． 11．（1）23；（2）2；（3）212．（1）见解析；（2）2(06)y x x =+<<；（3）P 位置如图所示，此时PB PE +的值最小，6CE =-13．（1）30DBA ∠=；（2）①；②当点D 运动到点I 时ABI ∠取得最大值，此时30ABD ∠=．14．（1）334y x =-；（2）①证明；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 15．（1）(8,6)A ．（2）①存在，40 s 9t =或者50 s 9t =．②233(010)10S t t t =-+<<． 16．（1）①90°；②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是OA 2+OB 2=OC 2，证明；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值．证明；②线段OA+OB+OC17．(1)等腰直角;(2)①当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；．18．（1）证明；（2）2AF BE =；（3）.2FP a =19．（1）BPD CQP ≌；（2）60︒（3）4320．（1）1或3241；（2）23或89或6457；（3）329-；（4）78． 21．()1存在，43t =；()2228(02)S t t t =-+<<；()3存在，1t = 22．（1）13cm ；（2）t=2或92s ；（3）存在，15637t =或16938t =s23．（1）y 12=-x 212-x+3；（2）)9108，P(32-，218)；（3）存在，Q 1(，+3)，Q 2(﹣1，2)24．（1）12k =，4b =，2m =；（2）6；（3存在，8(7E ，0)；（4）存在，6-4或2．25．（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）d =26．（1）AE =（2）AM ME =，AM ME ⊥；（3）227．（1）2424455x x y -+=；点C 的坐标为（5，0）；（2）当m ＝52时，S 的值最大，最大值为252；（3）存在点P ，使得使得∠PCO ＝∠ACB ．点P 的坐标为（2，－125）. 28．（1）；（2）CE=BG ；（3）CD=4。

专题09几何动态与函数图象问题题型解读｜模型构建｜通关试练学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力.函数的学习需要学生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型.本专题主要对函数与几何图形结合的相关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型.几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象.题目难度中等，属于中考热点题型．模型01动点问题动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题.在几何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题.模型02线动问题线动问题的函数图象题，该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.模型03函数图象判断函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．模型01动点问题考｜向｜预｜测动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是解本题的关键.这类问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想.本题型主要是以选择、填空为主，具有一定的难度，是学生主要的失分题型之一.答｜题｜技｜巧第一步：根据运动判断图象，关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节点；第二步：找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；第三步：根据选项做出选择；例1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥于点()D AD BD >．动点M 从A 点出发，沿折线AB BC →方向运动，运动到点C 停止．设点M 的运动路程为x ，AMD 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2，则AC 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．13【答案】A 【详解】解：由图2知，213AB BC +=，AB BC = ，13AB ∴=，AB BC = ，BD AC ⊥，2AC AD =∴，90ADB ∠=︒，例2．（2023•北京）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，设圆的半径为R ，∴两个机器人最初的距离是2AM CN R ++，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A ，C ，∴两个机器人之间的距离y 越来越小，故排除A ，C ；当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，保持不变，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C ，故选：D ．模型02线动问题考｜向｜预｜测线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识.答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点P 从点A 出发运动到点B 时停止，过点P 作PQ AB ⊥，交直角边AC （或BC ）于点Q ，设点P 运动的路程为x ，APQ △的面积为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当5x =时，APQ △的面积为（）AB ．CD ．当5x =时，5AP =，BP ∵30B ∠=︒，∴tan 303PQ BP =⨯︒=例2．（2023•海南）如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，BC =D 在折线ACB 上运动，过点D 作AB 的垂线，垂足为E ．设AE x =，ADE S y = ，则y 关于x 的函数图象大致是()A ．B ．C ．D ．∵Rt ABC 中，90C ∠=︒，∴2225AC AB BC =-=，∴1tan CB A ==，∵5EB AB AE x =-=-，tan B ∴()225DE EB x ==-∴()225210y x x x x =-=-+,模型03函数图象判断考｜向｜预｜测函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．答｜题｜技｜巧例1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形ABCD 中，6cm AD =，3cm AB =，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，4cm AE =，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是0.5cm/s ，现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），BPQ V 的面积为2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：在矩形ABCD 中，3cm AB =，6cm AD =，AD BC ∥，点E 在AD 上，且4cm AE =，则在直角ABE 中，根据勾股定理得到2222435cm BE AB AE =+=+=，①当010t ≤<，即点P 在线段BE 上，点Q 在线段BC 上时，过点P 作PF BC ⊥于F ，∵AD BC ∥，∴AEB PBF ∠=∠，∴3sin sin 5AB PBF AEB BE Ð=Ð==，则3sin 10PF BP PBF t =仔=，∴2111332221040y BQ PF t t t =�创=，此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；②当1012t ≤≤，即点P 在线段DE 上，点Q 在线段BC 上时，此时111332224y BQ CD t t =�创=，此时该函数图象是直线的一部分；③当1214t <≤，即点P 在线段DE 上，点Q 在点C 时，BPQ V 的面积21639cm 2=创=，此时该三角形面积保持不变；综上所述，C 正确．故选：C ．例2．（2023•吉林）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B ，C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ，设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．1．（2023•湖北）如图，在Rt ABC ∆中，点D 为AC 边中点，动点P 从点D 出发，沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点，在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示，则BC 的长为()．A ．1323B ．43C 45511D 1453【答案】C【详解】解：∵动点P 从点D 出发，线段CP 的长度为y ，运动时间为x 的，根据图象可知，当x =0时，y =2∴CD =2，∵点D 为AC 边中点，∴AD =CD =2，CA =2CD =4，由图象可知，当运动时间x =()211s +时，y 最小，即CP 最小，根据垂线段最短，∴此时CP ⊥AB ，如下图所示，此时点P 运动的路程DA ＋AP =()()1211211⨯+=+，所以此时AP =()21111AD +-=，∵∠A =∠A ，∠APC =∠ACB =90°，∴△APC ∽△ACB ，∴AP AC AC AB =，即1144AB=，解得：AB =161111，在Rt △ABC 中，BC =2245511AB AC -=．故选C ．2．（2023•山东）如图（1），Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是中线，点P 从点D 出发，沿D C B →→的方向以1cm/s 的速度运动到点B ．图（2）是点P 运动时，ADP △的面积()2cm y 随时间()s x 变化的图象，则a 的值为（）A ．2B ．52C D ∴122AC DE ⋅=∵CD 是中线，∴AD CD =，∴D 为AC 中点，∴DE 是ABC 3．（2023•广西）如图1，点F 从四条边都相等的ABCD Y 的顶点A 出发，沿A D B →→以1cm /s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，FBC 的面积()2cm y 随时间()s x 变化的关系图象，则a 的值为（）A B ．2C ．52D ．∵ABCD Y 的四条边都相等，∴AB BC CD ===由图象可知，点F4．（2023•江苏）如图①，在正方形ABCD 中，点M 是AB 的中点，设DN x =，AN MN y +=．已知y 与x之间的函数图象如图②所示，点(,E a 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（）A ．2B ．C ．4D ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于BD 对称，∴NA NC =，∴AN MN NC MN +=+，故选：C ．5．（2023•贵州）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC FGH 、如图1放置（点C 与点H 重合），若将FGH 绕点C 在平面内旋转，HG HF 、分别交边AB 于点E D 、（点D E 、均不与点A B 、重合）．设,AE x BD y ==，在旋转过程中，y 与x 的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（）A ．a =B ．245y x x =--C ．2222AD BE DE +=D ．8xy =6．（2023•北京）如图，ABC 中，90C ∠=︒，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的-的值为（）对应关系如图所示，则a bA．54B．52C．50D．48168242BDE b S ∴==⨯⨯= ，762452a b ∴-=-=．故选：B ．7．（2023•上海）如图，ABC 中，ACB 90∠= ，A 30∠= ，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC(或边CB)于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：∵∠ACB =90°，∠A =30°，AB =16，∴∠B =60°，BC =12AB =8，∴∠BCD =30°，∴BD =12BC =4，∴AD =AB ﹣BD =12．如图1，当0≤AD ≤12时，AP =x ，PQ =AP •tan30°=33x ，∴y =12x •33x =36x 2；如图2：当12＜x ≤16时，BP =AB ﹣AP =16﹣x ，∴PQ =BP •tan60°=3（16﹣x ），8．（2023•广西）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，∵PE平分∠BPC1，∴∠BPE=∠C1PE，∴∠BPE+∠CPD=90°，∵∠C=90°，∴∠CPD+∠PDC=90°，9．（2023•内蒙古）如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ，设点P 运动的路程为x ，PB y PC =，如图2所示为点P 运动时y 随x 变化的函数关系图象，则等边三角形ABC 的边长是（）A ．B ．4C ．6D ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，∴2PB PC AO ==，，又∵ABC 为等边三角形，10．（2023•杭州）如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PB y PC=，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（）A ．6B ．3C ．D ．【答案】A 【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，∴PB PC =，23AO =，又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，1．（2024·河南·一模）如图1，在ABC 中，CA CB =，直线l 经过点A 且垂直于AB ．现将直线l 以1cm/s 的速度向右匀速平移，直至到达点B 时停止运动，直线l 与边AB 交于点M ，与边AC （或CB ）交于点N ．设直线l 移动的时间是(s)x ，AMN 的面积为．()cm²y ，，若y 关于x 的函数图象如图2所示，则ABC 的周长为（）A ．16cmB ．17cmC ．18cmD ．20cm2．（2024·河南安阳·一模）如图1，Rt ABC △中，点P 从点C 出发，沿折线C B A --匀速运动，连接AP ，设点P 的运动距离为x ，AP 的长为y ，y 关于x 的函数图象如图2所示，则当点P 为BC 的中点时，AP 的长为（）AB ．C ．2D ．53．（2024·四川广元·二模）如图，在梯形ABCD 中，90B ∠=︒，4AB =，3CD =，AD =，点P ，E 分别为对角线AC 和边BC 上的动点，连接.PE 点P 在CA 上以每秒1个单位长度的速度从点C 运动到点A ，在这个过程中始终保持.PE BC ⊥设 CPE 的面积为y ，则y 与点P 的运动时间x 的函数关系图象大致可以表示为（）A ．B ．C．D．则四边形ABCD 是矩形，∵3,4CD AB ==∴4CF AB ==，1FD =4．（2024·河南信阳·一模）如图1，已知ABCD Y 的边长AB 为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（）AB ．CD ．5．（2023·广西）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，AB =，CD AB ⊥，垂足为点D ，动点M 从点A 出发沿AB 的速度匀速运动到点B ，同时动点N 从点C 出发沿射线DC 方向以1cm/s 的速度匀速运动．当点M 停止运动时，点N 也随之停止，连接MN ，设运动时间为s t ，MND 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．6．（2023·辽宁）如图，矩形ABCD 中，8cm AB =，12cm AD =，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B C D →→方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm /s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与OPQ △的面积随时间t 变化的图象最接近的是（）A ．B ．C ．D ．7．（2024·山东淄博·一模）如图1，点P 从ABC 的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M 为最低点，则ABC 的面积是（）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C 【详解】解：由图得，当点P 运动到点C 和店A 处时，BP 长都是5，即5BC BA ==，当BP 最短时，即BP 垂直AC 时长为4，如图，在Rt BCP △中，5BC = ，4BP =，22PC BC BP ∴=-BC BA = ，BP AC ⊥8．（2023·山东）如图，在Rt ABC △中，10AB =cm ，sin 5A =，90ACB ∠=︒，过点C 向AB 作垂线，垂足为D ．直线,m n 垂直于AB ，直线m 分别与,AB AC 相交于点,M N ，直线n 分别与,AB BC 相交于点P 、Q ．直线m 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动；同时，直线n 从点B 出发，沿BA 方向以相同的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动．若运动过程中直线m 、n 及ABC 围成的多边形MNCQP 的面积是()2cm y ，直线m 的运动时间是x （s ），则y 与x 之间函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．（2024·山东聊城·一模）如图，在ABC 中，10AB =，6BC =，8AC =，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，连结MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为．∵10AB =，6BC =，8AC =，∴223664100BC AC +=+=，AB ∵222BC AC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，CP AB ⊥，∴90APC ACB ∠=∠=︒，又∵A A ∠=∠，11．如图①，在菱形ABCD 中，120D ∠=︒，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC 的长度为x ，PE 与P B 的长度之和为y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为．∵0x =即点P 与点C 重合时，∴6BC CE +=，中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示12．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在ABC-=．线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则m n13．如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2BC AB =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P Q 、运动时，BPQ V 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是．sin 60PM BP ∴=⋅︒=12BPQ S BQ PM ∴=⋅= AB CD ∴∥，14．（2024·福建福州一模）如图（1），点D 为等边三角形ABC 的边AB 的延长线上一点，且BD a =，点E 在线段BC 上运动，点F 在AC 的延长线上运动，连接DE EF DEF ∠，，恒为120︒，设BE 的长为x ，CF 的长为y ，且y 与x 之间的函数关系的图象如图（2）所示（当点E 与点C 重合时，不妨设0y =），已知点Q 为该图象的最高点，则a 的值为．15．（2023·江苏连云港·二模）如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以1v 的速度沿折线A B C ——向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发以2v 的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ,P Q ，记EPQ △的面积为S ，其函数图象为折线MN NF —和曲线FG （图②），已知4ON =，1NH =，点G 的坐标为()8,0．(1)点P 与点Q 的速度之比12V V 的值为；AB AD 的值为；(2)如果15OM =．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得154S ≥？若存在，请说明理由．③存在，理由：设直线MN 的表达式为，S 把()0,15M ，()4,0N 代入，得，4015m n n +=⎧⎨=⎩，15m ⎧=-⎪。

中考数学重难点专题讲座本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数穿插求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析才能进展考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有时机拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一局部 真题精讲【例1】〔2021，密云，一模〕如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间是为t 〔秒〕．D NCM B A〔1〕当MN AB ∥时，求t 的值；〔2〕试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】此题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就此题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件亲密相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】解：〔1〕由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，那么四边形ABED 是平行四边形．AB M CNE D∵AB DE ∥，AB MN ∥．∴DE MN ∥． 〔根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题〕 ∴MC NCEC CD=． 〔这个比例关系就是将静态与动态联络起来的关键〕 ∴1021035t t -=-．解得5017t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。

中考数学专题：动态几何与函数问题以下是查字典数学网为您引荐的中考数学专题：静态几何与函数效果，希望本篇文章对您学习有所协助。

中考数学专题：静态几何与函数效果【前言】在第三讲中我们曾经研讨了静态几何效果的普通思绪，但是那时分没有对其中夹杂的函数效果展开来剖析。

全体说来，代几综合题大约有两个侧重，第一个是侧重几何方面，应用几何图形的性质结合代数知识来调查。

而另一个那么是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的调查了考生的计算功夫。

但是这两种侧重也没有很严厉的分野，很多题型都很相似。

所以相比昨天第七讲的效果，这一讲将重点放在了对函数，方程的运用上。

其中经过图中已给几何图形构建函数是重点调查对象。

不过从近年中考的趋向上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数能够性略小，大多是一个较为复杂的函数式，表达了中考数学的考试说明当中增加复杂性增大灵敏性的主体思想。

但是这也不能抓紧，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

【例1】如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C区分在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线 .将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E.(1)将直线向右平移，设平移距离CD为 (t0)，直角梯形OABC 被直线扫过的面积(图中阴影部份)为，关于的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一局部，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.(2)当时，求S关于的函数解析式.【思绪剖析】此题虽然不难，但是十分考验考生关于函数图像的了解。

很多考生看到图二的函数图像没有数学觉得，反响不下去那个M点是何含义，于是无从下手。

其实M点就表示当平移距离为2的时分整个阴影局部面积为8，相对的，N 点表示移动距离超越4之后阴影局部面积就不动了。

脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时分.所以依据这么几种状况去作答就可以了。