泸州市高2011级高二学期末统一考试数学(理工类)

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B﹣ACD=V D﹣ABC可知所以，h=故选C．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C2018∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C2018=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S （，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98× (81)（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．祝福语祝你考试成功!。

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，共三大题21小题，总分150分，考试时间120分钟。

考生答题前需在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

选择题需用2B铅笔将答案标号涂黑，如需更改，需用橡皮擦干净后重新涂写。

填空题和解答题需使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的对应区域内回答，试题卷上的回答无效。

考试结束时，请一并上交试题卷和答题卡。

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=1+i，z为其共轭复数，则zz-z-1=A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函数y=2x(x≥0)的反函数为A)y=(x∈R)B)y=(x≥0)C)y=4x2(x∈R)D)y=4x2(x≥0)3.以下四个条件中，使a>b成立的充分必要条件是A)a>b+1B)a>b-1C)a>bD)以上条件都是4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，且Sk+2-Sk=24，则k=A)8(B)7(C)6(D)55.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移2π/3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A)1/3B)3C)6D)96.已知直二面角α-ℓ-β，点A∈α，AC⊥ℓ，C为垂足，B∈β，BD⊥ℓ，D为垂足，且AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于A)2√3/3B)√2C)1D)2√3/37.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A)4种B)10种C)18种D)20种8.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=-x和y=x围成的三角形的面积为A)1/12B)1/2C)1/3D)1/329.设f(x)是周期为2的奇函数，当-1≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-5/4)=A)-11/16B)-1/4C)1/4D)11/16210.已知抛物线C：y=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A、B两点，则cos∠AFB=(A)解析：首先，求出抛物线C的准线方程为y=-4x，焦点为F(0,1)。

2015-2016学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60° D．30°2．设命题p：∃x0∈R，x﹣1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x﹣1≤0B．∃x0∈R，x﹣1＜0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜03．已知三点（2，3），（6，5），（4，b）共线，则实数b的值为（）A．4 B．﹣C．D．﹣24．若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（）A．＞B．＞C．＞D．|a|＞﹣b5．在空间直角坐标系中，在x轴上的点P（m，0，0）到点P1（4，1，2）的距离为，则m的值为（）A．﹣9或1 B．9或﹣1 C．5或﹣5 D．2或36．圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外切 B．相交 C．内切 D．外离7．抛物线y=x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（﹣，0）C．（﹣，0）D．（0，）8．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．19．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）10．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．12．已知函数f（x）=x+b﹣2﹣，若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则实数b的取值范围是（）A． C．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.13．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线的距离为．14．函数f（x）=，则不等式xf（x）﹣x≤2的解集为15．已知抛物线C：y2=﹣4x的焦点F，A（﹣1，1），则曲线C上的动点P到点F与点A的距离之和的最小值为．16．已知关于x的方程x2+ax+2b=0（a∈R，b∈R）的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，则的取值范围为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤17．已知直线l1：x+y﹣3m=0和l2：2x﹣y+2m﹣1=0的交点为M．（Ⅰ）若点M在第四象限，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当直线l1在y轴上的截距为3是，求过点M且与直线l2垂直的直线方程．18．已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．命题q：实数m满足m2﹣4am+3a2＜0，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1且p∧q为真命题时，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．已知圆C与两平行线5x+2y+3=0和5x+2y﹣63=0都相切，且圆心在x轴上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过原点的动直线l与圆C相交于不同的两点A，B，求线段AB的中点M的轨迹C1的方程．20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，F1为椭圆的左焦点．（1）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点；（2）试求椭圆C上是否存在点P，使F1APB为平行四边形？若存在，求出F1APB的面积，若不存在，请说明理由．请在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的方程为x2+（y﹣4）2=16在与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1．C2交于A，B两点，求|AB|．23．（2015•商丘三模）已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．2015-2016学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60° D．30°【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解：设直线的倾斜角为α（0°＜α＜180°），则tanα=．所以α=150°．故选A．【点评】本题考查了直线的一般式方程，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．2．设命题p：∃x0∈R，x﹣1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x﹣1≤0B．∃x0∈R，x﹣1＜0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0【考点】命题的否定．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x2﹣1≤0，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．已知三点（2，3），（6，5），（4，b）共线，则实数b的值为（）A．4 B．﹣C．D．﹣2【考点】三点共线．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】直接利用两点的斜率公式相等，即可判定三点共线，求出a的值．【解答】解：∵三点（2，3），（6，5），（4，b）共线，∴=，解得：b=4，故选：A．【点评】本题考查三点共线的应用，斜率相等是求解三点共线的方法之一，必须掌握．4．若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（）A．＞B．＞C．＞D．|a|＞﹣b【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】选项A，利用作差法可证明真假，选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式不成立，故可判断真假；选项C，根据a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，进行判断真假；选项D，根据a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，从而|a|=﹣a＞﹣b，即可判断真假，从而选出正确选项．【解答】解：选项A，﹣=＞0，故正确；选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式＞不成立，故不正确；选项C，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴＞，故正确；选项D，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|=﹣a＞﹣b，故正确；故选B．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，以及列举法的运用，同时考查了利用作差法比较大小，属于基础题．5．在空间直角坐标系中，在x轴上的点P（m，0，0）到点P1（4，1，2）的距离为，则m的值为（）A．﹣9或1 B．9或﹣1 C．5或﹣5 D．2或3【考点】空间两点间的距离公式．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．【解答】解：（1）点P的坐标是（m，0，0），由题意|P0P|=，即=，∴（m﹣4）2=25．解得m=9或m=﹣1．故选：B．【点评】本题考查空间两点之间的距离公式，在两点的坐标，和两点之间的距离，这三个量中，可以互相求解．6．圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外切 B．相交 C．内切 D．外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程分别化为标准方程，找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，可得出d=R﹣r，可得出两圆内切．【解答】解：将圆x2+y2﹣6x+4y+12=0化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+2）2=1，又，（x﹣7）2+（y﹣1）2=36，∴圆心坐标分别为（3，﹣2）和（7，1），半径分别为r=1和R=6，∵两圆心距d==5，∴d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：A．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，圆与圆的位置关系可以由圆心距d与R及r 的关系来判定，当d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．7．抛物线y=x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（﹣，0）C．（﹣，0）D．（0，）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x2=2y，∴2p=2，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选：D．【点评】本题主要考查抛物线的几何形状，关键是把方程化为标准方程，再作研究．8．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过A（2，2）时，z 取得最大值，代入求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，2），由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，由图知，直线过A（2，2）时，z取得最大值，∴z的最大值是2，故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．9．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，化为：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集为：（﹣3，）故选：D．【点评】本题的考点是一元二次不等式的应用，主要考查一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键，属于基础题．10．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】利用两条直线垂直的充要条件化简“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”，然后判断前者成立能推出后者成立，后者成立推不出前者成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充要条件为：3m+（2m﹣1）m=0解得m=0或m=﹣1；若m=﹣1成立则有m=0或m=﹣1一定成立；反之若m=0或m=﹣1成立m=﹣1不一定成立；所以m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件．故选B．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，然后两边互推一下，利用充要条件的有关定义进行判断，属于基础题．11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=x+b﹣2﹣，若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则实数b的取值范围是（）A． C．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直线与圆．【分析】若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象共有3个交点，画出y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象，数形结合可得答案．【解答】解：若|f（x）|=1，则f（x）=x+b﹣2﹣=1，或f（x）=x+b﹣2﹣=﹣1，即x+b﹣3=，或x+b﹣1=，画出y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象如下图所示：若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象共有3个交点，则b﹣1∈【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；分类讨论；转化思想．【分析】对x＞1和x≤1分别利用函数表达式，求出不等式的解集，然后取并集．【解答】解：当x＞1时，不等式xf（x）﹣x≤2化为x2﹣x≤2即：﹣1≤x≤2，所以1＜x≤2；当x≤1时，不等式xf（x）﹣x≤2化为﹣2x≤2可得：﹣1≤x≤1综上不等式xf（x）﹣x≤2的解集为：故答案为：【点评】本题考查不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．15．已知抛物线C：y2=﹣4x的焦点F，A（﹣1，1），则曲线C上的动点P到点F与点A的距离之和的最小值为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P、A和P在准线上的射影点Q三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴2p=4，可得焦点为F（﹣1，0），准线为x=1设P在抛物线准线l上的射影点为Q点，A（﹣1，1）则由抛物线的定义，可知当P、Q、A点三点共线时，点P到点（﹣1，1）的距离与P到该抛物线焦点的距离之和最小，∴最小值为1+1=2．故答案为：2．【点评】本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．16．已知关于x的方程x2+ax+2b=0（a∈R，b∈R）的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，则的取值范围为（，2）．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】设f（x）=x2+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，算出k的取值范围即可得出结论．【解答】解：设f（x）=x2+ax+2b，∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，∴可得．作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0），设点E（a，b）为区域内的任意一点，则k=，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率．∵K AD==，k CD==，∴K AD＜k＜K CD，∴k的取值范围是（，），则的取值范围为（，2）故答案为：（，2）．【点评】本题着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤17．已知直线l1：x+y﹣3m=0和l2：2x﹣y+2m﹣1=0的交点为M．（Ⅰ）若点M在第四象限，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当直线l1在y轴上的截距为3是，求过点M且与直线l2垂直的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】（1）联立方程，求出方程组的解，得到M的坐标，根据点M在第四象限，得到关于m 的不等式解得即可，（2）根据l1在y轴上的截距为3，求出m=1，即可求出M的坐标，设过点M且与直线l2垂直的直线方程x+2y+c=0，将M的坐标代入即可求出c的值，问题得以解决．【解答】解：（1）由，解得x=，y=，∴交点为M的坐标为（，），∵点M在第四象限，∴，解得﹣1＜m＜，（Ⅱ）∵直线l1在y轴上的截距为3m，∴3m=3，解得m=1，∴M（，），设过点M且与直线l2垂直的直线方程x+2y+c=0，将点M（，）代入解得c=﹣，故所求的直线方程为3x+6y﹣16=0．【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的垂直关系和直线的截距式方程，属基础题．18．已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．命题q：实数m满足m2﹣4am+3a2＜0，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1且p∧q为真命题时，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】（Ⅰ）求出命题p，q成立的等价条件进行求解即可．（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义进行不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则，得，得＜m＜2，若a=1，由m2﹣4m+3＜0得1＜m＜3，若p∧q为真命题时，则p，q同时为真，则1＜m＜2．（Ⅱ）由m2﹣4am+3a2＜0，（a＞0）．得（m﹣a）（m﹣3a）＜0，得a＜m＜3a，即q：a＜m＜3a，￢q：x≥3a或0＜x≤a，∵p是￢q的充分不必要条件，∴3a≤或a≥2，即a≤或a≥2，∵a＞0，∴0＜a≤或a≥2即实数a的取值范围是（0，]∪．【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，F1为椭圆的左焦点．（1）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点；（2）试求椭圆C上是否存在点P，使F1APB为平行四边形？若存在，求出F1APB的面积，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意知2b=2，e==，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）（1）设过M（2，0）的直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x﹣8k2x﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点的对称、直线方程等知识结合已知条件能证明直线l过定点（1，0）．（2）椭圆左焦点F1（﹣1，0），设AB的中点N（x0，y0），假设存在点P（x3，y3）使F1APB为平行四边形，则N是F1P的中点，由此利用椭圆性质、弦长公式、点到直线距离公式能求出平行四边形F1APB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，∴由题意知2b=2，解得b=1，∵离心率为e==，∴a2=2c2=2a2﹣2b2，解得a=，∴椭圆C的方程为．证明：（Ⅱ）（1）设过M（2，0）的直线l：y=k（x﹣2），联立，得（1+2k2）x﹣8k2x﹣2=0，∵直线与椭圆交于两点，∴△＞0，即0＜k2＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，∵B点关于x轴的对称点是N，∴N（x2，﹣y2），设直线AN：y﹣y1==（x﹣x1），∵A（x1，y1），B（x2，y2）满足直线l：y=k（x﹣2），∴y=（x﹣x1）+y1=x﹣+y1===﹣，∴直线l过定点（1，0）．解：（2）椭圆左焦点F1（﹣1，0），设AB的中点N（x0，y0），则=，，假设存在点P（x3，y3）使F1APB为平行四边形，则N是F1P的中点，∴x3﹣1=2x0，y3=2y0，即，，∵P（x3，y3）在椭圆C上，∴=1．整理，得92k4+44k2﹣1=0，解得或k2=﹣（舍），∵0≤，∴，此时，|AB|==，左焦点F1（﹣1，0）到直线l：y=k（x﹣2）的距离d==，∴平行四边形F1APB的面积S=2=2×=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点的对称、直线方程等知识点的合理运用．请在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的方程为x2+（y﹣4）2=16在与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1．C2交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；转化思想；对应思想；坐标系和参数方程．【分析】（I）利用cos2α+sin2α=1可把曲线C1的参数方程化为普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得极坐标方程．（II）把曲线C2的方程x2+（y﹣4）2=16化为极坐标方程为：ρ=8sinθ，可得曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1交于A：ρ1，与曲线C2交于B点：ρ2．利用|AB|=|ρ2﹣ρ1|即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α化为普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得极坐标方程：ρ=4sinθ．（II）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．把曲线C2的方程x2+（y﹣4）2=16化为极坐标方程为：ρ=8sinθ，曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1交于A：ρ1==2，与曲线C2交于B点：ρ2==4．∴|AB|=|ρ2﹣ρ1|=2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2015•商丘三模）已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，..故不等式f（x）＞0的解集为{x|x ＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f （）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，求得﹣＜a ＜．【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题．DOC版.。

泸州市高2011级阶段性教学质量评价数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 ()()()P A BP A P B +=+.如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k kn kn n P k C P P -=-第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{|||5}S x x =<，{|(7)(4)0}T x x x =+-<，则S T =A.{|75}x x -<<- B. {|45}x x << C. {|54}x x -<< D.{|75}x x -<<2. 复数31ii -=+A. 12i -B. 12i --C. 12i -+D. 12i +3. 一个容量为20的样本数据分组后，组距与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70)，2.则样本在区间[10,50)上的频率是A. 0.20B. 0.25C. 0.50D. 0.704.已知命题1p ：函数33x x y -=-在R 上为增函数，2p ：函数33x x y -=+在R 上为减函数，则在命题1q ：1p 或2p ，2q ：1p 且2p ，3q ：1p ⌝或2p ，4q ：1p 且2p ⌝中，真命题是A. 1q ，3qB. 2q ，3qC. 1q ，4qD. 2q ，4q5. 已知α是第二象限角，并且4tan 3α=-，则sin α=A. 45-B. 45C.35-D. 356. 如果等差数列{}n a 中，24612a a a ++=，那么1237a a a a ++++=A. 14B. 21C. 28D. 357．已知函数223(1)()11(1)x x x f x x ax x ⎧+->⎪=-⎨⎪+≤⎩在1x =处连续，则a 的值是A. 2B. 3C. 4D. 58．函数()3sin(2)f x x π=-3的图象为C ，则下列关系正确的是A. 图象C 关于（0，0）对称B. 图象C 关于直线56x =π对称 C. 函数()f x 在5()ππ-1212，内是减函数D. 由3sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C9. 若O 是△ABC 所在平面内的一点，且向量OA ，OB ，OC 满足条件OA OB OC +=-，||||||OA OB OC ==，则△ABC 的形状是A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形10. 已知(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 在(,)-∞+∞上是减函数，那么a 的取值范围是A. (0,1)B. 1(0,)3 C. 11[,)73D. 1[,1)711. 某市原来居民用电价为 0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价为0.55元/kW·h ，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/ kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为A. 110 kW·hB. 114 kW·hC. 118 kW·hD. 120 kW·h12. 设2()min{2,16,816}(0)x f x x x x x =--+≥，其中min{,,}a b c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值,则()f x 的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9泸泸州市高2011级阶段性教学质量评价数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）13. 已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|+=a b .14．函数sin 2,[,]22y x x x ππ=-∈-的最大值是 .15. 设数列{}n a的前n 项和为n S ，若113,1n n a S a +==，则通项n a = .16. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，5[]14=），对于给定的n *∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x xx x --+=--+()[1,)x ∈+∞，给出下列命题：（1）3=；（2）2[log 3]1-=-；（3）1.532C =;（4）当3[,3)2x ∈时，函数8xC 的值域是1628(4,](,28]33⋃.其中正确命题的序号为 .(填上所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设函数2(1cos 2)sin ()cos 2sin()2f ααααπα+=+-.（Ⅰ）求函数()f α的最小正周期； （Ⅱ）求使不等式1()82f πα->成立的α的范围.18．（本小题满分12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为1 3.（Ⅰ）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos a B b A =.（Ⅰ）求证:22213a b c -=；（Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B +=--,.20．（本小题满分12分）已知函数32()f x ax bx cx =++的导函数()f x '的图象过点（0，0）和（－1，0），函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12670x y --=，设2()(1)e xg x x x =-+，()()e ()h x g x f x =-,无理数e=2.71828….（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()h x 的单调递减区间；（Ⅲ）若关于x 的方程()0h x m -=在R 上有两个不相同的根，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足12,02nn n n a a a a +=≠+，且112a =， *221()()()2nn n n a c n a -=∈N .（Ⅰ）求证：数列1{}n a 是等差数列，并求通项n a ；（Ⅱ）求1nn ii T c ==∑的值；（Ⅲ）比较n T 与521nn +的大小，并予以证明.22．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x k x =-，常数0k >.（Ⅰ）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()()m x f x x =-的反函数； （Ⅱ）若函数()()g x xf x =在(1,2)上是增函数，求k 的取值范围；（Ⅲ）设函数1()()()F x f x f x =+，求证：(1)(2)(3)(2)2(1)n n F F F F n n >+(n ∈N *).泸州市高2011级阶段性教学质量评价数 学(理工农医类)参考答案一、选择题二、填空题13. 14. 2π 15. 2(1)34(2)n n n a n -1 =⎧=⎨⨯≥⎩ 16. （3）（4）三、解答题17.解：（Ⅰ）2(1cos 2)sin ()cos 2sin()2fααααπα+=+-=22cos sin cos cos αααα+2分=21sin 2cos 2αα+ 3分 1(sin 2cos 21)2αα=++4分1)42πα=++，5分所以函数的周期为22T ππ==；6分（Ⅱ）∵1()82f πα->, ∴11))8422ππα-++>, ∴11222α+>, ∴1sin 22α>,8分∴522266k k πππαπ+<<+,10分∴5,1212k k k πππαπ+<<+∈Z ，∴使不等式成立的α取值范围是5(,)(1212k k k ππππ++∈Z).12分 18．解：（Ⅰ）设甲队获第一且丙队获第二为事件A ，则1111()(1)34318P A =⨯⨯-=, 4分 （Ⅱ）ξ可能的取值为0，3，6；5分甲两场皆输的概率为111(0)(1)(1)432P ξ==-⨯-=， 7分 甲两场只胜一场的概率为11115(3)(1)(1)344312P ξ==⨯-+⨯-=， 9分 甲两场皆胜的概率为111(6)3412P ξ==⨯=, 11分ξ的分布列为：∴1517()036212124E ξ=⨯+⨯+⨯=. 12分19. 解：（Ⅰ）∵cos 2cos a B b A =,∴222222222a c b b c a a bac bc +-+-⋅=，2分∴2222222()a cb bc a +-=+-,∴22233a b c -=,∴222a b c -=13.4分（Ⅱ）2212sin cos 3cos sin B BB B +=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=，∴cos 0B ≠， ∴2tan tan 20B B --=，∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去，∴tan 2B =， 6分∵cos 2cos a B b A =, ∴sin cos 2sin cos A B B A =，∴sin sin 2cos cos A BAB =,tan 2tan A B =， ∴tan 4A =，7分∵tan tan()C A B =-+=tan tan tan()1tan tan A B A B A B +-+=--=23tan 12tan BB --=3261247⨯-=-⨯，9分∴tan tan tan 0A B C >>>, ∴02A B C π>>>>,10分∵6tan 4,tan 7A C ==，∴sin A C = 11分∴由正弦定理sin sin BC ABA C =，∴sin sin BC C AB A ==，∴最小边的边长为.12分20．解：（Ⅰ）32()f x ax bx cx=++，∴2()32f x ax bx c'=++， 1分∵导函数()f x '的图象过点（0，0）和（－1，0）， ∴(0)0f '=，(1)0f '-=，∴0c =，320a b -=，2分∵函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12670x y --=， ∴函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2，∴(1)322f a b '=+=，3分解得：11,32a b ==， ∴3211()32f x x x =+， 4分（Ⅱ）由()()e ()h x g x f x =-，()()e ()h x g x f x '='-'2(21)e (1)e x x x x x =-+-+2()ex x -+ =22()e ()e (1)(e e)x x x x x x x x +-+=+-，5分令()0h x '=，得1x =-，0x =或1x =，7分∴函数()h x 单调递减区间为(,1)-∞-，(0,1).8分（Ⅲ）23211()()e ()(1)e e()32x h x g x f x x x x x =-=-+-+，由（2）知3e ()(1)e 6h x h =-=-极小值，5e()(1)e e 66h x h ==-=极小值， ()(0)101h x h ==-=极大值， 9分∵23e e 9e (1)(1)()e 663e h h ---=--=，e 3<，2e 9<， ∴(1)(1)0h h -->，即(1)(1)h h ->，10分∵关于x 的方程()0h x m -=在R 上有两个根，∴函数y m =的图象与函数()y h x =的图象有两个交点，11分∴(1)(1)h m h <<-，或(0)m h >，∴m的范围为3e e(,)(1,)e66-+∞.12分21．解：（Ⅰ）∵*112111,0,22nn nn n naa a na a a++=≠∈⇒=++N, 2分数列1{}na是首项为11a，公差为12的等差数列，故1112(1)111(1)22nn ana a a+-=+-⋅=, 3分因为11 2a=,所以数列{}na的通项公式为1122(1)23naan a n==-++，4分（Ⅱ）∵1(1)()2nnc n=+，∴23111123()4()(1)()2222nnT n=⨯+⨯+⨯+++，①2341111112()3()4()(1)()22222nnT n+=⨯+⨯+⨯+++，②5分由①-②得231111111()()()(1)()22222n nnT n+=++++-+6分11111[1()]133421(1)()122212nnnnn-++-+=+-+=--7分∴332n nnT+=-,8分（Ⅲ）535(3)(221)3212122(21)nn n nn n n n nTn n n++---=--=+++,9分于是确定nT与521nn+的大小关系等价于比较2n与21n+的大小，由2211<⨯+,22221<⨯+,32231>⨯+,42241>⨯+,52251>⨯+,…, 可猜想当3n≥时，221n n>+，证明如下：证法1：（1）当3n=时，由上验算显然成立，（2）假设n k =时成立，即221kk >+，则1n k =+时222(21)422(1)1(21)k k k k k ⋅>+=+=+++-2(1)1k >++，所以当1n k =+时猜想也成立，综合(1)(2)可知，对一切3n ≥的正整数，都有221nn >+，11分综上所述，当1,2n =时，521n n T n <+,当3n ≥时，521n nT n >+.12分证法2：当3n ≥时，01212(11)C C C C C n n n n n n n n n-=+=+++++011C C C C 2221n nn n nn n n -≥+++=+>+，10分综上所述，当1,2n =时，521n n T n <+,当3n ≥时，521n nT n >+.12分22．解：（Ⅰ）∵()ln f x x k x =-,∴()1(0)kf x x x '=->,1分 ∵1x =是函数()f x 的一个极值点,∴(1)10f k '=-=,2分∴1k =,()ln ln m x x x x x =--=-， ∴()ln (0)m x x x =->的反函数为1()()x m x e x --=∈R ， 3分（Ⅱ） ∵()()g x xf x =在(1,2)是单调递增函数,则()0g x '≥对(1,2)x ∈恒成立，即()2(1ln )0g x x k x '=-+≥对(1,2)x ∈恒成立，4分∴21ln xk x ≤+对(1,2)x ∈恒成立，5分令2()1ln xh x x =+（(1,2)x ∈）6分∵22ln ()0(1ln )xh x x '=>+对(1,2)x ∈恒成立，∴2()1ln xh x x =+ 在(1,2)x ∈单调递增，7分 ∴min ()(1)2h x h >=， 9分 ∴2k ≤ 又0k >, 从而02k <≤，9分（Ⅲ）11()()()F x f x f x x x =+=+， 10分111(1)(2)(3)(2)(1)(2)(2)122F F F F n n n =+++，∵11211(1)(2)(2)(1)1212(2)(1)n m m m n m n m m m n m m n m n m m -+++-+=-+++++-+--+(2)(1)2n m m >-++11分222222(21)n nm m m n m n m =++--=++--22n >+（0,1,2,3,4,1m n =-），12分所以11(1)(2)2212n n n ++>+， 11(2)(21)22221n n n +-+>+-， 11(1)(2)2212m n m n m n m ++-+>++-，……，11()(1)221n n n n n +++>++，13分相乘得：(1)(2)(3)(2)2(1)n nF F F F n n >+.14分10．解:符合条件的a 满足(31)00171log 1a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩故11[,)73.11.解:原来电价0.52200104y =⨯=，设峰时用电量为x kW ·h ，则104[0.550.35(200)]10410%10.4x x -+⨯-≥⨯=，故700.293.6x +≤，118x ≤12．【解析】画出22,16,816(0)x y y x y x x x ==-=-+≥图象，如右图，观察图象可知，当0≤x ≤2时，2,xy =，当2≤x ≤7时，2816y x x =-+，当7x >时，16,y x =-，()f x 的最大值在x ＝7时取得为9，故选D 。

1、答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。

2、答案：A解析：12i i i i i-+=--=-3、答案：B解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 4、答案D解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=5、答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。

6.答案：C 解析：由题意正弦定理22222222211c o s23b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤ 7．答案：A解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。

当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A 8.B 解析：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==9.答案：C解析：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =10.答案：A解析：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩11.答案：D 解析：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-12.答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.答案：20-解析：12111(lg lg 25)100lg20410010--÷=÷=- 14.答案：565解析：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为14，所以1455645c d d a ==⇒=15.答案：22R π 解析：22222max 224()S r R rrR r Sππ=⋅-=-⇒侧侧时，22222222R r R r r r R =-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=16.答案：②③④解析 ：①错，12x x =± ，②③④正确。

泸州市2011年高中阶段学校招生统一考试理科综合试题（物理部分）一、选择题（每小题3分，共33分）1、泸州市从今年5月1日起九类公共场所禁烟，在很多公共场所贴了如图所示的标志。

因为房间里只要有一个人吸烟，整个房间很快就充满刺鼻的烟味，主要原因是（）A、分子间有斥力B、分子间有引力C、分子在不停地运动D、分子之间是有间隙的2、下列关于声现象的说法中正确的是（）A、“未见其人，先闻其声”是根据声音的音调来判断的B、假如你和小华同时登上月球，你们俩之间可以直接面对面谈话，而不需要其他设备C、上课时，教室外面高音喇叭放出的歌声不是噪声D、中考期间，要求考场周围禁用高噪音设备是在声源处减弱噪声3、2011年3月11日，日本东北部海域发生的海底大地震导致福岛第一核电站二号机组受损，引发了较为严重的核泄漏，核电安全再次成为世界各国高度关注的问题。

下列关于核能开发的说法中，你认为正确的是（）A、停止开发核能，因为开发核能会带来可怕的核泄漏，弊远大于利B、核能是一种稳定、高效、清洁的可再生能源，是其它新能源不可能替代的C、福岛第一核电站开发核能是利用可控核裂变过程中释放的核能D、核能开发是绝对安全的，即使有核泄漏也是清洁无污染的4、对下列情景涉及的物理知识，描述正确的是（）A、建筑工人砌墙时，利用重锤线可以把墙砌直，因为重力的方向总是竖直向下的B、课本静止放在水平桌面上，课本对桌面的压力与桌面对它的支持力是一对平衡力C、向墙上按图钉时，手对图钉帽产生的压强等于图钉尖对墙壁产生的压强D、宇航员登上月球时，他的质量比在地球上时的质量减少了5、蹦床运动是一项运动员从蹦床反弹起来后在空中表演技巧的竞技运动。

如图所示，在运动员离开蹦床弹向空中上升的过程中，运动员具有的（）A、动能增加，势能减少B、动能增加，势能增加C、动能减少，势能增加D、动能减少，势能减少6、现在，一些大厦用许多大块的平板镀膜玻璃做外墙（俗称“玻璃膜墙”）。

2023_2024学年四川省泸州市泸县泸县高二下册期末数学（理）模拟测试卷一、单选题1．若复数（为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）12z i =+iA ．是纯虚数B ．的实部为2C ．的共轭复数为D ．z z z 12i -+z 【正确答案】D根据纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义逐项判断即可.【详解】解：复数（为虚数单位）显然不是纯虚数，的实部是1，的共12z i =+i 12z i =+z轭复数为，故D 正确，12i -故选：D.考查纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义的应用，基础题.2．已知命题p ：对，有，则为（ ）0x ∀≥1xe ≥p ⌝A ．对，有B ．对，有0x ∀≥1xe <0x ∀<1xe <C ．，使得D ．，使得00x ∃≥01x e <00x ∃<01x e <【正确答案】C【分析】利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定.【详解】根据全称命题p ：对，有的否定为特称命题，0x ∀≥1xe ≥即：为，使得.p ⌝00x ∃≥01x e <故选：C本题考查了含有全称量词的命题的否定，属于基础题.3．若随机变量，则（ ）14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～()21E X +=A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】D根据，求出，然后根据期望的性质求解.14,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭～EX ()21E X +【详解】因为，所以，所以.14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～1422EX =⨯=()21215E X EX +=+=故选：D.本题主要考查随机变量的计算，明确随机变量期望的性质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是()f x ()f x '()f xA ．在区间上为减函数B ．在处取得极小值(2,2)-2x =-C ．在区间，上为增函数D ．在处取得极大值(,2)-∞-(2,)+∞0x =【正确答案】B结合图象，求出函数的单调区间和极值点即可．【详解】由图象得：在递减，在递增，在递减，()f x (,2)-∞-(2,2)-(2,)+∞故在取极小值，在取极大值，()f x 2x =-2x =故选：B.本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道常规题．5．的展开式中的常数项为（ ）622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．240B ．﹣240C ．480D ．﹣480【正确答案】A【分析】求出通项公式，运用指数幂的运算性质，令指数为0，解方程可得，即可得到4r =所求常数项．【详解】解：的通项公式为22(x x -6)26162()()r r r r T C x x-+=- ，1236(2)r r r C x -=- 令，可得，1230r -=4r =则展开式的常数项为．446(2)240C -=故选：．A 本题考查二项式定理的运用，主要是通项公式的运用和指数幂的运算性质，考查运算能力，属于基础题．6．3男2女站成一排，其中2名女生必须排在一起的不同排法有（ ）A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种【正确答案】B【分析】先将2名女生看成整体排序，再将其和其余人一起去安排，相乘即可.【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步，将2名女生看成整体，有种情况；222A =第二步，将这个整体和3名男生全排列，有种情况，44=24A 所以2名女生必须排在一起的不同排法有种.224=48⨯故选：B.本题考查了捆绑法，属于常考题.7．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周）2.0946≈A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.1413【正确答案】A先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.r【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因r 2r π2162r ⨯⨯，则.0.8269== 3.1419π≈故选A本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.8．已知曲线在点处的切线方程为，则e ln xy a x x =+()1,ae 2y x b =+A ．B ．C ．D ．,1a e b ==-,1a e b ==1,1a e b -==1,1a eb -==-【正确答案】D通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．a b 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++，1|12x k y ae ='==+=1a e -∴=将代入得，故选D ．(1,1)2y x b =+21,1b b +==-本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．9．直线与抛物线交于，两点，则（ ）10x-=24y x =AB AB =A ．B ．C ．D ．816【正确答案】D【分析】焦点弦长度等于.12x x p ++【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则24yx =()1,010x -=AB 由得：，2104x y x⎧-=⎪⎨=⎪⎩21410x x -+=所以，，1214x x +=所以，1214216AB x x p =++=+=故选：D.10．已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）()3227f x x ax bx a a =++--1x =ab A ．B ．或2C ．2D ．23-2313-【正确答案】A【分析】求导，根据题意得到，代入数据解得答案，再验证排除即可.()()11010f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩【详解】，则，()3227f x x ax bx a a=++--()'232f x x ax b=++根据题意：，解得或，()()2117101320f a b a a f a b '⎧=++--=⎪⎨=++=⎪⎩21a b =-⎧⎨=⎩69a b =-⎧⎨=⎩当时，，函数在上单调递减，在上单21a b =-⎧⎨=⎩()()()'2341311f x x x x x =-+=--1,13⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞调递增，故处取得极小值，舍去；1x =当时，，函数在上单调递增，在上单69a b =-⎧⎨=⎩()()()'23129313f x x x x x =-+=--(),1∞-()1,3调递减，故处取得极大值，满足.1x =故.6293a b -==-故选：A.本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.11．设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的22221x y a b -=圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为ABC ．2D 【正确答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，PQ x A PQ x ⊥又，为以为直径的圆的半径，||PQ OF c == ||,2c PA PA ∴=∴OF 为圆心．A ∴||2c OA =，又点在圆上，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P 222x y a +=，即．22244c c a∴+=22222,22c c a e a =∴==A．e ∴=本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12．已知在上恰有两个极值点，，且，则的()()21ln f x x a x =-+1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x 2x 12x x <()12f x x 取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭1ln 2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭1,ln 22⎛⎫-∞-⎪⎝⎭13ln 2,ln 224⎛⎫--⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3182a <<由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩21324x <<()12f x x 1x 2x 示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.2x 【详解】由题意得，()()222220a x x a f x x x x x -+'=-+=>令，得，()0f x '=2220x x a -+=由题意知在上有两个根，，2220x x a -+=1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x 2x ∴，得．20,1122044480a a a >⎧⎪⎪⎛⎫⨯-⨯+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∆=->⎩3182a <<由根与系数的关系得，由求根公式得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩1,2x ==∵，∴，∵，∴．12x x <2x =3182a <<21324x <<则()()()()2211121212222221ln 2ln 21ln 1f x x a x x x x x x x x x x x -++===+--，()()222213121ln 1124x x x x ⎛⎫=-+--+<< ⎪⎝⎭令，则．21t x =-1142t <<设，则，()112ln 142g t t t t t ⎛⎫=-++<< ⎪⎝⎭()12ln g t t '=+易知在上单调递增，()g t '11,42⎛⎫⎪⎝⎭∴，()12ln 12ln 2ln04eg t t '=+<-=<∴当时，函数为减函数，1142t <<()g t ∴，且，()11132ln 1ln 24444g t <-+⨯+=-()11112ln ln 1ln 22222g t >-+⨯+=-∴，()1213ln 2,ln 224f x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭故选：D .关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的a 取值范围，以及与之间的关系；1x 2x （2）将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.2x 21t x =-二、填空题13．若直线与直线平行，则 .(1)(5)0m x y m +--+=260x my --=m =【正确答案】2-【分析】根据两直线平行公式，列式即可求解.【详解】根据两直线平行可得：解之得.(1)20,6(1)2(5)0m m m m +-=⎧⎨+-+≠⎩2m =-故2-14．已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估,x y 计得到回归方程，则 .ˆ0.70.35yx =+m =x3456y2.5m44.5【正确答案】3【分析】根据题意计算样本中心点，代入回归方程即可得到答案.【详解】解：，，3456 4.54x +++== 2.54 4.51144m my ++++==所以样本中心点为.114.5,4m +⎛⎫ ⎪⎝⎭因为回归方程，样本中心点在回归方程上，ˆ0.70.35yx =+所以，解得.110.7 4.50.354m+=⨯+3m =故3.本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数，考查学生的计算能力，属于基础题.15．已知直线，圆，若直线与圆相交于:(2)10l mx m y m --+-=22:20C x y x +-=l C 两点,则的最小值为．,M N ||MN【分析】求出直线过的定点，当圆心和定点的连线垂直于直线时，取得最小值，结合l ||MN.||MN =【详解】由题意知，圆，圆心，半径，()22:11C x y -+=()1,0C 1r =直线，，:(2)10l mx m y m --+-=()1210m x y y +--+=，解得，故直线过定点，10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩l 11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭设圆心到直线的距离为，则最大时，d ||MN==d 有最小值，由图可知，时，最大，此时，||MN CP l ⊥d d ==此时.故.||2MN ===||MN 故答案为16．已知函数与的图象在区间上存在关于轴对称的点，()ln f x x m=-()273g x x x=-+[]1,3x 则的取值范围为 .m 【正确答案】35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】与的图象在区间上存在关于轴对称的点，即方程()f x ()g x []1,3x 在区间内有解，即方程在区间有解，所以构造函数()()0f xg x -=[]1,327ln 3m x x x=-+[]1,3，利用导数的知识点求出的值域即可求出答案()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈()h x 【详解】函数与的图象在区间上存在关于轴对称的点，()ln f x x m =-()273g x x x =-+[]1,3x 即方程在区间内有解，27ln 03x x x m -+-=[]1,3所以方程在区间有解.27ln 3m x x x=-+[]1,3令，()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈所以()()()23123176732333x x x x h x x x x x +--++'=-+==-令，解得或()0h x '=13x =-32x =所以当时，，随的变化情况如下表：[]1,3x ∈()h x '()h x xx131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,32⎛⎫ ⎪⎝⎭3()h x '+0-()h x 43极大值ln 32-由上表可知，，又，()413h =()43ln 323h =-<335ln 224h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当时，，[]1,3x ∈()h x ∈35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦故的取值范围是.m 35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦故35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦三、解答题17．为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：健身族非健身族合计男性401050女性302050合计7030100（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式：，其中. 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+=+参考数据：()20P K k ≥0. 500. 400. 250. 050. 0250. 010k 0. 4550. 708 1. 321 3. 840 5. 024 6. 635【正确答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【分析】（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断【详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为小时，1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；76<（2）由联立表可得，， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()210040203010 4.762 3.84070305050⨯-⨯≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.18．已知函数.32()1f x x x x =--+（1）求在点处的切线；()f x (0,(0))f （2）求在区间上的最大值和最小值.()f x [0,2]【正确答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.1x y +=30【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.【详解】（1），又，所以切线方程为，2()321,(0)1f x x x f ''=--=-()01f =11(0)y x -=-⋅-即；1x y +=（2）由（1）知或，∴在上单减，在上单增，()01f x x '>⇒>13x <-()f x [0,1][1,2]又，∴在上的最大值为3，最小值为0.(0)1,(1)0,(2)3f f f ===()f x [0,2]本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的切线方程,单调性以及函数的最值,考查学生的运算能力与逻辑思维,属于中档题.19．如图，在四棱锥中，平面，，，，P ABCD -AB ⊥PAD PA PD ⊥PA PD =2AD =.AC CD =（1）求证：平面；PD ⊥PAB（2）若直线与平面长.PA PDC CD【正确答案】（1）见解析（2）CD =【分析】（1）根据线面垂直性质可得，再根据题中，即可由线面垂直的判PD AB ⊥PD PA ⊥定定理证明平面；PD ⊥PAB （2）先证明为等腰三角形，然后以中点为原点，，，为，，ACD AD O OC OA OP x y 轴，建立空间直角坐标系，设，写出各个点的坐标，并求得平面的法向量，z OC m =PDC 再根据直线与平面所成的线面角的正弦值求得的值，即可求得长.PA PDC m CD 【详解】（1）证明：∵平面，平面，AB ⊥PAD PD ⊆PAD ∴，PD AB ⊥∵，平面，，PD PA ⊥,PA AB ⊆PAB PA AB A = ∴平面.PD ⊥PAB （2）∵，，PA PD ⊥PA AD =∴为等腰直角三角形，PAD ∵，AC CD =∴为等腰三角形.ACD 以中点为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：AD O OC OA OP x y z设，则，，，，OC m =()0,1,0A ()0,0,1P (),0,0C m ()0,1,0D -∴.()0,1,1PA =-设平面的法向量为，PDC (),,n x y z =∵，，(),1,0DC m = ()0,1,1DP =∴，令，则，，∴.00mx y y z +=⎧⎨+=⎩1x =y m =-z m =()1,,n m m =- ∴sin cosPAθ==m =∴CD ==本题考查了线面垂直的判定，由空间向量法依据线面夹角求参数值，属于中档题.20．已知椭圆，且点在椭圆上．2222:1x yE a b +=(0)a b >>E (1)求椭圆的标准方程；E (2)若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足0,2F（）E G H G F H ，求的取值范围.FG FH λ=λ【正确答案】(1)2212x y +=(2)1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）代入点坐标，结合离心率，以及即得解；222a b c =+（2）设直线方程，与椭圆联立，转化为，结合韦达定理和判别式，分GH FG FH λ=12x x λ=析即得解【详解】（1）由题意可知：，解得：2222241331c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎩11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩椭圆的标准方程为：．∴C 2212x y +=（2）①当直线斜率不存在，方程为，则，. GH 0x =13FG FH = 13λ∴=②当直线斜率存在时，设直线方程为，GH GH 2y kx =+联立 得.22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩221()4302k x kx +++=由得.221Δ161202k k =-+>（）232k >设，，11(,)G x y 22(,)H x y 则，，1222481122k kx x k k--+==++1222361122x x k k ==++又，，，则，FG FH λ=1122,2,2x y x y λ-=-（）（）12x x λ=12xx λ=()()2212122122121323222131232x x x x k x x x x k k λλ+∴=++=++==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ，所以，所以 ，解得：,232k >232164133(2)k <<+116423λλ<++<133λ<<又，01λ<<113λ≤<综上所述：的取值范围为.λ1[,1)321．已知函数，其中．()x 2e 24f x mx mx=--R m ∈(1)若函数在单调递增，求m 的取值范围；()f x [)1,+∞(2)已知函数存在两个极值点（），当时，求的取值范()f x 1210x x -<<<211351x x +≤≤+12x x +围．【正确答案】(1);e8m ≤(2).3ln 52ln 32,2]2[--【分析】(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可；（2）根据所给极值点得出，换元后可得构造函数，利用导21211e 1x x x x -+=+12(1)ln 2,1t tx x t ++=--数研究函数单调性，由单调性求范围即可.【详解】（1），，()2e 24x f x mx mx =-- ()e 44x f x mx m'∴=--函数在单调递增，在上恒成立，()f x [)1,+∞()e 440xf x mx m '∴=--≥[)1,+∞即在上恒成立，令，则时，，e 41xm x ≤+[)1,+∞e ()1x h x x =+[)1,x ∞∈+2e ()0(1)x x h x x '=>+所以在时，单调递增，所以，e ()1xh x x =+[)1,x ∞∈+mine ()(1)2h x h ==所以，即.e 42m ≤e 8m ≤（2）因为函数存在两个极值点（），()f x 1210x x -<<<所以，可得，令，则，1212e 440e 440x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩21211e 1x x x x -+=+2111x t x +=+[]3,5t ∈所以取对数可得111e,tx x t t -+-=111ln ,tx x t t -+-=，12ln ln 1,111t t t x x t t ∴+=+=--12(1)ln 2,1t tx x t ++=--令，则，(1)ln ()21t t m t t +=--212ln ()(1)t t tm t t --'=-令，则，1()2ln n t t t t =--22221(1)()10t n t t t t -'=-+=>所以在上单调递增，因为，所以在恒成立，()n t [)1,t ∈+∞(1)0n =()0n t >[]3,5t ∈所以在恒成立，所以在上单调递增，()0m t '>[]3,5t ∈(1)ln ()21t tm t t +=--[]3,5t ∈所以，即，(3)()(5)m m t m ≤≤3ln 52ln 32()22m t -≤≤-即123ln 52ln 32,2]2[x x ∈-+-关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据极值点的定义得出，进而换元21211e 1x x x x -+=+，求出构造函数，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出2111x t x +=+12(1)ln 2,1t tx x t ++=--的范围.12x x +22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐2222tan cos 12tan cos x y αααα⎧=⋅⎨=-⋅⎩α标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．cos 44πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)动点D 在曲线C 上，动点A ，B 均在直线l 上，且，求△ABD 面积的最小值．AB 4=【正确答案】(1)(y ≠ -1)，221xy +=0x y --=(2)6【分析】（1）先对曲线C 的参数方程化简，然后利用正弦与余弦的平方和为1可求出其普通方程，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求出l 的直角坐标方程；（2）设，求出点D 到直线l 的距离，化简变形后利用余弦函数的性质可求出()cos ,sin D t t d 的最小值，从而可求出△ABD 面积的最小值．d 【详解】（1）对于曲线C ，，22tan cos sin2x ααα=⋅=，22212tan cos 12sin cos2y αααα=-⋅=-=所以．221x y +=因为当有意义时，，tan α()ππZ 2k k α≠+∈所以，则，即，()22ππZ k k α≠+∈cos2cos πy α=≠1y ≠-所以C 的普通方程为．()2211x y y +=≠-由，即cos 44πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 4θθ=cos sin ρθρθ-=将，代入上式，可得l 的直角坐标方程为．cos x ρθ=sin y ρθ=0x y --=（2）设，则点D 到直线l 的距离()cos ,sin D t td 所以当且仅当，即（）时，d 取得最小值，cos 14t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2π4t k +=Z k ∈，min 3d 所以△ABD 面积的最小值为143 6.2⨯⨯=23．已知函数，不等式的解集为．()()21R f x x x m x =-+-∈()7f x <2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的值；m (2)若三个实数，，，满足．证明：a b c a b c m ++=()()()222224a c a b c a b c m+++++++≥【正确答案】(1)3m =(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；()47273ff⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩（2）由（1）可知，则3a b c ++=()()()22222a c a b c a b c +++++++，利用柯西不等式即可证明.()()()222333b c a =-++++【详解】（1）∵不等式的解集为，()7f x <2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，即，∴，经检验得符合题意.()47273f f ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩241472221733m m ⎧-+-=⎪⎨--+--=⎪⎩3m =3m =（2）∵，3a b c m ++==∴()()()22222a c a b c a b c +++++++()()()222333b c a =-++++，()()()222333b c a =-++++由柯西不等式可知：，()()()()()()()222222233311133336b c a b c a ⎡⎤-++++++≥-++++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴，()()()22233312b c a -++++≥即，()()()22222124a c a b c a b c m+++++++≥=当且仅当，，时等号成立.1a =-5b =1c =-。

泸州市高2012级高二上学期末统一考试数学(理工类本试卷分第一部分(选择题和第二部分(非选择题。

第一部分1至2页,第二部分3至4页,共150分。

考试时间120分钟。

注意事项:1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂、写在答题卡规定的位置上。

2、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案。

非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上。

作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚,答在草稿子、试题卷上无效。

3、本部分共10小题,每小题5分,共50分。

第一部分 (选择题共50分一、本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要求的。

1、某单位有老年人30人,中年人18人,青年人42人。

为了调查他们的身体状况,用分层抽样的方法抽取了一个容量为30的样本,则样本中老年人的个数为(A 、10B 、15C 、5D 、32、双曲线2219x y -=的渐近线方程为(A 、13y x =±B 、3y x =±C 、19y x =± D 、9y x =± 3、若a b >且c R ∈,则下列不等式中一定成立的是(A 、22a b > B 、ac bc > C 、a c b c ->- D 、11a b<4、执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( A 、1 B 、2C 、4D 、75、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(④圆锥③正方体①圆台A 、①②B 、①④C 、①③D 、②④ 6、圆22670x y x ++-=和圆228120x y y +-+=的位置关系是( A 、相切 B 、内含 C 、相离 D 、相交 7、设,αβ是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A 、若l α⊥,αβ⊥,则l β⊂ B 、若//l α,//αβ,则l β⊂ C 、若l α⊥,//αβ,则l β⊥ D 、若//l α,αβ⊥,则l β⊥8、设某大学的女生体重y (单位:kg 与身高x (单位:cm具有线性相关关系,根据一组样本数据(,i i x y (1,2,,i n =⋅⋅⋅,建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( A 、y 与x 具有正的线性相关关系B 、回归直线过样本点的中点(,x yC 、若该大学某女生身高增加1cm ,则且体重约增加0.85kgD 、若该大学某女生身高为170cm ,则可断定其体重为58.79kg9、某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15吨。

泸州市二O 一一年高中阶段学校招生统一考试数学试题(考试时间：120分钟，试卷满分100分)说明：1.试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷(1至2页)为选择题，第Ⅱ卷(3至10页)为非选择题，满分100分；2.本卷中非选择题部分的试题，除题中设计有横线的题目外解答过程都必须有必要的文字说明、演算步骤或推理证明。

第Ⅰ卷(选择题 共24分)注意事项：1.第Ⅰ卷共2页，答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上。

考试结束后，监考人员将试卷和答题卡一并收回；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案，不能答在试卷上。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题2分，共24分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 25的算术平方根是A.5 B .－5 C .5± D .5 2. 如图1，该图形绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是 A.720 B . 1080 C . 1440 D .2160 3.已知函数212-+=x x y ，则自变量x 的取值范围是 A.2≠x B . 2>x C . 21-≥x D 4.如图2，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是 A.450 B . 550 C . 650 D .750 5.小明的父亲饭后出去散步，从家中出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离y(米)与离家的时间x(分)之间的函数关系的是 6.如图3所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为 A. g g 40,10 B. g g 35,15 C. g g 30,20 D. g g 20,307.已知⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm,P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为A.cm 5B. cm 6C. cm 8D. cm 108.设实数b a ,在数轴上对应的位置如图4所示，化简b a a ++2的结果是 A.b a +-2 B. b a +2 C.b - D. b9.如果圆锥的底面周长为π20，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的全面积为A.π100B. π200C. π300D. π40010.如图5是一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多．．块数是 A.8 B. 10C. 1211.如图6，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，使点C 落在BA 上的点C ’，折痕为BE ，则EC 的长度是A.35B. 535-C. 3510- 12.已知二次函数c bx ax y ++=2(c b a ,,为常数，0≠a )的图象如图7所示，有下列结论：①0>abc ，②042<-ac b ，③0>+-c b a ，④024<+-c b a ，其中正确结论的个数是A.1B. 2C. 3D. 4图3图4图5俯视图主视图图6泸州市二O 一一年高中阶段学校招生统一考试数学试题第Ⅱ卷(非选择题 共76分)注意事项：1.第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

泸州市2011级高三第三次教学质量诊断性考试数 学（理工类） 2014.4.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。

考试时间120分钟。

注释：解析部分仅供同学们参考，不作实质性用途.第一部分 （选择题 共50分）注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1、若{1,2,3,4}U =，{1,2}M =，{2,3}N =，则=⋂)(N M C U （ ）【答案】：C【解析】：本题考查集合的基本概念；显然{}2=⋂N M ，∴{}{}4,3,12=U C .选C. A 、{1,2,3} B 、{2} C 、{1,3,4} D 、{4}2、如图，向量OZ 对应的复数为z ，则4z z+对应的复数是（ ） 【答案】：D.【解析】：本题考查复数的基本概率和综合应用；由图得)1,1(-z ，既i z -=1. ∴i i i i i i i i z z +=+=+-++-=-+-=+3262)1)(1()1)(42(14)1(42.选D. A 、13i + B 、3i -- C 、3i - D 、3i +3、命题p ：(,0]x ∀∈-∞，21x ≤，则（ ）A 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x >B 、p 是假命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x ≥C 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∃∈-∞，21x >D 、p 是真命题；p ⌝：(,0]x ∀∈-∞，21x ≥【答案】：C .【解析】：本题考查命题的四种基本形式；显然命题p 是真命题，排除A 、B ；只有C 满足. y x -111ZO。

四川省泸州市高级中学校分校高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果把一个多边形的所有边中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( )A．65 B．96 C.104 D．112参考答案：C2. 已知奇函数f(x)是定义在R上的连续可导函数,其导函数是,当时, 恒成立,则下列不等关系一定正确的是( )A. B. C. D.参考答案：C3. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】分别判断出的范围，可得的大小关系.【详解】，即；，，可得，故选：D.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.4. 极坐标方程表示的曲线为（）A 一条射线和一个圆B 两条直线C 一条直线和一个圆D 一个圆参考答案：C5. 已知随机变量，若，则的值为（）A. 0.4B. 0.2C. 0.1D. 0.6参考答案：B。

故选B。

6. 已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5 B．5：4 C．4：3 D．3：2参考答案：D【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．【点评】本题考查旋转体的表面积，是基础题．7. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A．个 B．个 C．个 D．个参考答案：D 解析：四个点分两类：（1）三个与一个，有；（2）平均分二个与二个，有共计有8. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( )A ．B ．C ．D ．参考答案：C9. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数.A.6B.9C.10D.8参考答案：C10. 在一次试验中，测得（x ，y ）的四组值分别是A （1，1.5），B （2，3），C （3，4），D （4，5.5），则y与x 之间的回归直线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：A【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；分析法；概率与统计．【分析】求出数据中心（，），则（，）必在回归直线上．【解答】解： ==2.5， ==3.5．经验证只有=x+1经过（2，5，3，5），故选：A ．【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列｛｝的前n 项和是, 则数列的通项a n=__参考答案：12. 已知函数f （x ）=x 3+3ax 2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f （x ）=x 3+3ax 2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而可解出a 的范围．【解答】解：∵f（x ）=x 3+3ax 2+3（a+2）x+1∴f'（x ）=3x 2+6ax+3（a+2） ∵函数f （x ）=x 3+3ax 2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值 ∴△=（6a ）2﹣4×3×3（a+2）＞0 ∴a＞2或a ＜﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）13. 如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点M 是侧棱AA 1的中点，点P 、Q 分别是侧面BCC 1B 1、底面ABC 内的动点，且A 1P ∥平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为 ．参考答案：【考点】平面与平面之间的位置关系；棱柱的结构特征．【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，可得答案．【解答】解：∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m，故线段m过△MBC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：×2=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．14. 已知三棱柱ABC-A′B′C′所有的棱长均为2，且侧棱与底面垂直，则该三棱柱的体积是参考答案：略15. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=﹣1相切，则抛物线的方程为．参考答案：y2=4x【考点】抛物线的简单性质．【分析】判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=﹣2，即可求抛物线的标准方程．【解答】解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心M到准线的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切由已知得准线方程为x=﹣1，∴=1，∴p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．16. 将, , 由大到小排列为__________.参考答案：＞＞.本题考查指数函数与幂函数的综合运用.注意到 ＜0,而 ＞0, ＞0;又因为=,且y=在［0,+∞）上是增函数,所以＜.综合得 ＞ ＞ .17. 已知抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点M （4，y 0）到焦点F 的距离|MF|=y 0，则焦点F 的坐标为 ．参考答案：（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线x2=2py 的准线方程，焦点坐标，利用M 到焦点F 的距离等于M 到准线的距离，即可求得p 结论．【解答】解：抛物线x 2=2py 的准线方程为：y=﹣，焦点坐标F （0，） ∵抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点M （4，y 0）到焦点F 的距离|MF|=y 0， M 到焦点F 的距离等于M 到准线的距离，M 的横坐标是4，∴，16=2py 0解得：p=2．焦点F 的坐标为（0，1）． 故答案为：（0，1）．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。