高一数学第二学期期末试卷

唐山市2022~2023学年度高一年级第二学期期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和改正带.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z i =-，则复平面内z 表示的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论.【详解】1z i =- ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，因此，复平面内z 表示的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题.2.已知()1,a m = ，()2,4b = ，若//a b，则m 为（）A.3-B.2- C.0D.2【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量平行的坐标表示可得结果.【详解】因为()1,a m = ，()2,4b = ，//a b，所以1420m ⨯-=，得2m =.故选：D3.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（）A.12B.13 C.14D.15【答案】B 【解析】【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.【详解】从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，其可能结果有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共6个，其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有()1,4，()2,3共2个，则所求概率为2163P ==.故选：B.4.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E 为棱AC 的中点，则异面直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（）A.10 B.10-C.5D.5-【答案】A 【解析】【分析】先利用线线平行确定异面直线1A E 与BC 所成角的角，再利用勾股定理求得11,A E A F ，从而利用余弦定理即可得解.【详解】记AB 的中点为F ，连接1,EF A F ，如图，因为E 为棱AC 的中点，F 为AB 的中点，所以//EF BC ，所以1A EF ∠为异面直线1A E 与BC 的所成角（或补角），因为在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，所以1A E ==，1A F =112EF BC ==，所以在1A EF中，2221111cos 210A E EF A F A EF A E EF +-∠==⋅，所以异面直线1A E 与BC所成角的余弦值为10.故选：A.5.为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（）A.62B.63C.64D.65【答案】C 【解析】【分析】根据求百分位数的定义求解可得结果.【详解】因为1040%4⨯=为整数，所以第40百分位数是6365642+=.故选：C6.，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（）A.2B.C.2πD.【答案】A 【解析】【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.【详解】依题意，设圆锥的母线长为l，则2l ==，设圆锥的轴截面的两母线夹角为θ，则(222221cos 2222θ+-==-⨯⨯，因为0πθ<<，所以2π3θ=，则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为2π,0,3αα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故截面的面积为122sin 22S α=⨯⨯⨯≤，当且仅当π2α=时，等号成立，故截面的面积的最大值为2.故选：A.7.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（）A.“至少有1名女生”与“都是女生”B.“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D.“至少有1名女生”与“至多有1名男生”【答案】C 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断ABD 都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C.【详解】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A 错；“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B 错；“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D 错；“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C 正确.故选：C.8.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知π3A =，2a =.若()()()2sin sin sin sin sin 0A B a A b B a b C-+--=，则ABC 的面积为（） A.B.233 C.233D.1或2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理角化边可得a b =或222+=a b c ，分两种情况解三角形可得结果.【详解】由()()()2sin sin sin sin sin 0A B a A b B a b C -+--=及正弦定理得222()()()0a b a b a b c -+--=，得a b =或222+=a b c ，若a b =，因为π3A =，2a =，所以2b c ==，1π1sin 222322ABC S bc ==⨯⨯⨯=!，若222+=a b c ，则三角形ABC 为直角三角形，π2C =，因为π3A =，2a =，所以π6B =，3b =，1122233ABC S ab ==⨯⨯=!.综上所述：ABC 或3.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为x ，方差为2s ，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为x ，方差为2s '，则下列判断正确的是（）A.x x '= B.x x '< C.22s s =' D.22s s '>【答案】AD 【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式求解，即可判断各选项.【详解】对于AB ，()1356991076x =⨯+++++=，()13569910777x '=⨯++++++=，所以x x '=，A 正确，B 错误；对于CD ，()()()()()()2222222119375767979710763s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()()2222222213837576797971077777s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦'所以22s s '>，C 错误，D 正确.故选：AD10.在ABC 中，下列结论正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B >B.若sin sin A B >，则A B >C.若A B >，则sin 2sin 2A B >D.若C 为钝角，则sin cos A B<【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C ，举反例排除即可；对于D ，利用正弦函数的单调性即可判断.【详解】对于A ，由大角对大边知，若A B >，则a b >，所以由正弦定理得sin sin A B >，故A 正确；对于B ，若sin sin A B >，则由正弦定理得a b >，所以由大边对大角A B >，故B 正确；对于C ，取120A =︒，30B =︒，则sin 2sin 2400A =︒<，sin 2sin 600B =︒>，所以sin 2sin 2A B >不成立，故C 错误；对于D ，若C 为钝角，则πππ,0,0222A B A B +<<<<<，所以ππ022A B <<-<，因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.若1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个虚根，则（）A.12z z =B.22120z z +>C.()2120z z +> D.22120z z ⋅>【答案】ACD 【解析】【分析】解方程可得21i 2x ±==±，不妨令121i,1i =+=-z z ，分别计算各选项即可判断.【详解】因为2220x x +=-，所以()224124∆=--⨯⨯=-，根据求根公式可得21i 2x ==±，又1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个虚根，不妨令121i,1i =+=-z z .对于A ，12z z =，A 正确；对于B ，()()2222121i 1i 2i 2i 0z z +=++-=-=，B 错误；对于C ，()2122024z z =+>=，C 正确；对于D ，()()()2222121i 1i 2i 2i 40z z ⋅=+⋅-=⋅-=>，D 正确.故选：ACD12.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，延长边CD 至点E ，使得DE CD =.动点P 从点A 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP AB AE λμ=+，则（）A.满足1λμ+=的点P 有且只有一个B.满足2λμ+=的点P 有两个C.λμ+存在最小值D.λμ+不存在最大值【答案】BC 【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点P 的四种位置进行分类讨论即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为1，(,)P x y，则311(0,0),(1,0),,,,,,222222A B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()11,0,,22AB AE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，(),AP x y =，由AP AB AE λμ=+ ，得()()11,1,0,,2222x y λμλμμ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以122x y λμμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x λμ+=+，①当点P 在AB 上时，01x ≤≤，且0y =，所以[]0,1x x λμ+=+=∈；②当点P 在BC （不含点B ）上时，则BP mBC =，所以()11,,22x y m ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，化简1)y x =-，所以3(1)43x x x x λμ+=+=+-=-，因为312x <≤，所以1433x <-≤，即(]1,3λμ+∈；③当点P 在CD （不含点C ）上时，1322x ≤<，且2y =，所以13332222x +≤+<+，即23x ≤<，所以[)2,3λμ+∈；④当点P 在AD （不含点A 、D ）上时，则AP nAD = ，所以()13,,22x y n ⎛= ⎝⎭，化简y =，所以34x x x x λμ+==+=，因为102x <<，所以042x <<，所以()0,2λμ+∈；对于A ，由①知，当1λμ+=时，1x =，此时点P 与点B 重合；由④可知当1λμ+=时，14x =，34y =，此时点P 在AD 的中点处；其它均不可能，所以这样的点P 有两个，所以A 错误，对于B ，由②知，当2λμ+=时，54x =，4y =，此时点P 在BC 的中点；由③知，当2λμ+=时，12x =，2y =，此时点P 在点D 处；其它均不可能，所以这样的点P 有两个，所以B 正确，对于CD ，由①②③④可得：当0x y ==，即点P 为点A 时，λμ+取到最小值0；当3,22x y ==，即点P 为点C 时，λμ+取到最大值3，所以C 正确，D 错误，故选：BC.【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数12i z =-+，213i z =-，则12z z -=_________.【答案】5【解析】【分析】先根据复数减法法则计算12z z -，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】∵12i z =-+，213i z =-，∴()()12513i 2i 34i z z -=-+-=--+==．故答案为：5．14.甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为__________.【答案】0.8##45【解析】【分析】先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.【详解】因为两人考试相互独立，所以两人都未通过的概率为(10.6)(10.5)0.2-⨯-=，故两人至少有一人通过的概率为10.20.8-=.故答案为：0.815.若ABC 的面积为S ，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()224tan 5S A b c =+-，则=a __________.【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换，结合切化弦得到关于a 的方程，解之即可得解.【详解】因为()224tan 5SA b c =+-，所以()221sin 4sin 52cos A bc A b c A⨯=+-，因为0πA <<，且π2A ≠，所以sin 0A >，则()22125cos bc b c A=+-，即222cos 5bc A b c =+-，所以22222252b c a bc b c bc+-⨯=+-，则222225b c a b c +-=+-，即25a =，所以a =（负值舍去）..16.在正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-中，4AB =，3A B ''=，A A '，设侧棱延长线交于点P ，几何体P A B C D E F ''''''-的外接球半径为1R ，正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球半径为2R ，则此正六棱台的体积为___________，12R R =__________.【答案】①.2②.35##0.6【解析】【分析】第一空，利用棱台的体积公式，结合正六边形的性质即可得解；第二空，先分析正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出关于2R 的方程组，从而求得2R ；再利用平行线分线段成比例求得1PO ，从而确定了几何体P A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，进而求得1R ，由此得解.【详解】依题意，正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-中，4AB =，3A B ''=，A A '则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成，则其面积为216342S =⨯⨯=，其下底面是由六个边长为4的正三角形组成，则其面积为21644S =⨯=其高为1h ==，所以该正六棱台的体积为1371322V ⎛ =⨯+⨯= ⎝⎭.设上底面中心为1O ，下底面中心为O '，连接111O O A O AO ''，，，则1O O '垂直于上下底面，如图，连接11,O A O A '，则113,4O A O A '==，由题意可得11O O h '==，作1A G AO '⊥垂足为G ，则11,1A G AG ==，连接1,A D O D '，则1A D ==，故22211250640A A A D AD +-=+-<，则1AA D ∠为钝角，又由于正六棱台外接球球心位于平面1AA D 上，故设正六棱台外接球球心为O ，则O 在1O O '的延长线上，因为外接球半径为2R ，故22222222111,R O A O O R A O OO ''=+=+，即22222216,9(+1R O O R O O ''=+=+），解得223,25O O R '==，则25R =，连接1PO ，如图，易得1,,P O O '三点共线，且11//AO AO '，所以11134PO AO PO AO ==''，则1133PO O O '==，易知1111111111113AO B O C O D O E O FO ======，所以1O 是几何体P A B C D E F ''''''-的外接球的球心，则13R =，所以1235R R =.故答案为：2；35.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发挥直观想象能力，结合图形确定了正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，从而利用方程组求得2R .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知平面向量a 与b 的夹角为60 ，且1a = ，2b = .（1）求2a b - ；（2）若a b + 与2a kb - 垂直，求k 的值.【答案】（1）2（2）45【解析】【分析】（1）化为平面向量的数量积可求出结果；（2）根据()(2)0a b a kb +⋅-= 可求出结果.【小问1详解】2a b -===2=.【小问2详解】因为a b + 与2a kb - 垂直，所以()(2)0a b a kb +⋅-=，所以222||||(2)0a k b k a b -+-⋅= ，所以124(2)1202k k -+-⨯⨯⨯=，得45k =.18.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：()()22kg m BMI =体重单位:身高单位:，成年人的BMI 数值标准是：BMI <18.5为偏瘦；18.5≤BMI <24为正常；24≤BMI <28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI 值分成以下五组：[)12,16，[)16,20，[)20,24，[)24,28，[]28,32，得到相应的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；（2）该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数.【答案】（1）a =0.08，众数为22；中位数为23.3（2）504【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求得0.08a =，从而可求得该公司员工BMI 的样本数据的众数为22；设设该公司员工BMI 的样本数据的中位数为x ，则40.0140.04(20)0.090.5x ⨯+⨯+-⨯=，求解即可；（2）根据题意可求得该公司员工BMI 数值正常的概率为0.04(2018.5)0.09(2420)0.42⨯-+⨯-=，进而可求解.【小问1详解】根据频率分布直方图可知组距为4，所以4(0.010.040.090.03)1a ⨯++++=，解得0.08a =.该公司员工BMI 的样本数据的众数为22.设该公司员工BMI 的样本数据的中位数为x ，则40.0140.04(20)0.090.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23.3x ≈.故该公司员工BMI 的样本数据的中位数约为23.3.【小问2详解】因为成年人的BMI 数值18.524BMI ≤<为正常，所以该公司员工BMI 数值正常的概率为0.04(2018.5)0.09(2420)0.42⨯-+⨯-=，所以该公司员工BMI 数值正常的人数为12000.42504⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求角C 的大小；（2）若3c =，AB 边上的中线1CD =，求ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）32+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合和角正弦公式、诱导公式，可得1cos 2C =-，从而可求解；（2）根据余弦定理可得229a b ab =++，再根据中线向量公式可得224a b ab =+-，从而求得22513,22ab a b =+=，进而求得周长.【小问1详解】由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，即2sin cos sin()0C C A B ++=，即2sin cos sin 0C C C +=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =-.因为0πC <<,所以2π3C =.【小问2详解】已知3,1c CD ==，在ABC 中，由余弦定理得：229a b ab =++①，由CD 为ABC 的中线，得2CD CB CA =+ ，两边平方得224a b ab =+-②，联立①②得22513,22ab a b =+=，所以ABC 的周长为332a b c ++==.20.如图，在四棱锥B ACED -中，AD CE ∥，AD ⊥平面ABC ，2AD =，1CE =，ABC 是边长为2的等边三角形，F 为棱BD 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求AE 与平面BCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）取AB 中点M ，连接,FM CM ，证明//EF CM ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）取BC 中点N ，连接,AN EN ，可得AEN ∠即为AE 与平面BCE 所成的角，求解即可.【小问1详解】取AB 中点M ，连接,FM CM ，F 为棱BD 的中点，1//,2MF AD MF AD ∴=，又1//,2AD CE CE AD = ，//MF CE ∴且=MF CE ，∴四边形MCEF 是平行四边形，//EF CM ∴，又CM ⊂ 平面,ABC EF ⊂/平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；【小问2详解】取BC 中点N ，连接,AN EN ，ABC是边长为2的等边三角形，AN BC ∴⊥，且AN =，AD ⊥ 平面,//ABC AD CE ，CE ∴⊥平面ABC ，又AN ⊂ 平面,ABC CE AN ∴⊥，又AN BC ⊥ ，且,CE BC C AN ⋂=∴⊥平面BCE ，AEN ∴∠即为AE 与平面BCE 所成的角，在Rt EAC △中，2,1,AC CE AE ==∴=，在Rt AEN △中，则sin5AN AEN AE ∠===，所以AE 与平面BCE 所成角的正弦值为5.21.某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A 类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B 类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.（1）求乙在第一轮比赛中得20分的概率；（2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛?【答案】（1）0.6（2）甲更容易晋级复赛【解析】【分析】（1）对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，设乙能答对的4个问题的编号为a b c d ,,,.利用列举法，根据古典概型概率公式即可求解；（2）按第一轮得20分且第二轮至少得20分和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立乘法公式和对立事件概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.【小问1详解】对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，设乙能答对的4个问题的编号为a b c d ,,,.第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，可用()12,x x 表示选题结果，其中1x ，2x 为所选题目的编号，样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d Ω=,(,),(,)}c e d e 共10个样本点.设“乙在第一轮得20分”事件为E ，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}E a b a c a d b c b d c d =共6个样本点.则乙在第一轮得20分的概率为60.610P ==.【小问2详解】甲晋级复赛分两种情况:①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：()220.610.40.3024⨯-=，②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：()2210.60.60.2304. -⨯=所以甲晋级的概率10.30240.23040.5328P =+=.乙晋级复赛分两种情况:①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：()20.610.60.384⨯-=，②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：()210.60.40.064.-⨯=所以乙晋级复赛的概率为20.3840.0640.448P =+=.因为12P P >，所以甲更容易晋级复赛.22.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22CD AB AD ===，M 是CD 的中点，BD 与AM 交于O 点，将ADM △沿AM 向上折起，得到图2的四棱锥D ABCM '-.（1）证明：BC ⊥平面D OB '；（2）若1D B '=，求二面角D M C B '--的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）利用平面几何的知识证得AM BD ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得解；（2）在图2中证得D H '⊥平面ABCM ，从而证得MC ⊥平面D HQ '，进而得到D QH '∠为二面角D M C B '--的平面角，由此求得所需线段的长即可得解.【小问1详解】在题干图1中连接BM ，如图，由已知得//,2,AB CD CD AB M =是CD 的中点，//,,AB CM AB CM ∴=∴四边形ABCM 是平行四边形，//BC AM ∴，同理，四边形ABMD 是平行四边形，又AB AD =，且AD AB ⊥，∴四边形ABMD 是正方形，AM BD ∴⊥，所以在题干图2中，,AM OD AM OB '⊥⊥，又,,OD OB O OD OB ''=⊂ 平面D OB '，AM ∴⊥平面D OB '，又//BC AM ，BC ∴⊥平面D OB '.【小问2详解】因为在正方形ABMD 中，AB =，1D O OB '∴==，又1,D B D OB ''=∴ 是等边三角形，在题干图2中，过D ¢作D H OB '⊥于点H ，则H 为OB 中点，过H 作HQ MC ⊥交CM 延长线于点Q ，连接D Q '，如图，BC ⊥ 平面,D OB D H ''⊂平面D OB '，BC D H '∴⊥，又,,,D H OB BC OB B BC OB '⊥=⊂ 平面ABCM ，D H ∴'⊥平面ABCM ，又MC ⊂平面ABCM ，D H MC '∴⊥，又,,,HQ MC D H HQ H D H HQ ''⊥=⊂ 平面D HQ '，MC ∴⊥平面D HQ '，又D Q '⊂平面D HQ '，MC D Q '∴⊥，D QH '∴∠为二面角D M C B '--的平面角，在等边D OB ' 中，1D B '=，则2D H '=，又点H 为OB 的中点，HQ MC ⊥，易得//HQ BM ，又BM AD ==，可得344HQ BM ==，在Rt D HQ ' 中，tan23D H D QH HQ ''∠==，所以二面角D M C B '--的正切值为63.【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用二面角的定义，结合线面垂直的判定定理在图2中作出二面角D M C B '--的平面角，从而得解.。

2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4D ．52．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5B ．7C ．7.5D ．83．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣24．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．811258．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112] C ．[3−2√3，3+2√3] D ．[3−√3，3+√3]二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知z 1，z 2为复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若z 1=z 2，则z 1=z 2B ．若z 1+z 2∈R ，则z 1与z 2的虚部相等C ．若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0D ．若z 12+z 22=0，则z 1＝z 2＝010．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中x ＝0.1B ．估计样本数据的第60百分位数约为85C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D ．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 ．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是 ．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 ．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ；（2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？22．（12分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A餐厅评分的频率分布直方图，以及B餐厅评分的频数分布表如下：B餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3 B ．2√5C ．4D ．5解：z =4−2ii=−2−4i ，所以|z|=√(−2)2+(−4)2=2√5． 故选：B ．2．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5 B ．7C ．7.5D ．8解：由题意得a+5+6+7+7+8+11+128=8，解得a ＝8，故这组数据的中位数为7+82=7.5．故选：C ．3．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2解：因为a →=(2，4)，b →=(2，λ)，所以a →+2b →=(6，2λ+4)，2a →+b →=(6，λ+8)，又(a →+2b →)∥(2a →+b →)，∴6×（λ+8）﹣（2λ+4）×6＝0，解得λ＝4． 故选：A ．4．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③解：对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确； 对于②，若m ⊥β，α⊥β，则m ⊂α或m ∥α，所以②错误； 对于③，由l ∥β，得β∥α或β与α相交，故③错误；对于④，α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行，故④正确． 故选：C ．5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i解：由题意可知，(√22+√22i)4=(cos π4+isin π4)4=(e π4i )4=e πi =cosπ+isinπ=−1．故选：A ．6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ， 则2πr =12×2π×2，2πR =12×2π×6， 所以r ＝1，R ＝3，且圆台的母线长为6﹣2＝4， 则圆台的高为ℎ=√42−(3−1)2=2√3，所以圆台的体积为V =13(π⋅12+π⋅32+√π⋅12⋅π⋅32)×2√3=26√33π． 故选：B ．7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．81125解：甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输； ③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．故甲班最终获胜的概率为(35)2+35×(1−35)×35+(1−35)×(35)2=81125．故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A ＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[3−2√3，3+2√3]D ．[3−√3，3+√3]解：∵A ，B ，C ∈（0，π），∴A ﹣B ∈（﹣π，π），B ﹣C ∈（﹣π，π），C ﹣A ∈（﹣π，π），可得cos （A ﹣B ）∈（﹣1，1]，cos （B ﹣C ）∈（﹣1，1]，cos （C ﹣A ）∈（﹣1，1]， 若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，则cos （A ﹣B ）＝1，cos （B ﹣C ）＝1，cos （C ﹣A ）＝1， 可得A ﹣B ＝0，B ﹣C ＝0，C ﹣A ＝0， 所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形． 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB ＝2，∴B （2，0），C(1，√3)．由题意设P （cos θ，sin θ）（0≤θ＜2π），则PB →=(2−cosθ，−sinθ)，PC →=(1−cosθ，√3−sinθ)，∴PB →⋅PC →=(2−cosθ)(1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=3−2√3cos(θ−π6)． 因为cos(π6−θ)∈[−1，1]，所以3−2√3cos(θ−π6)∈[3−2√3，3+2√3]． 故选：C ．二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=z2，则z1=z2B．若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0解：对于A，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2，故A正确；对于B，若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部互为相反数，故B错误；对于C，若z1z2＝0，则|z1z2|＝|z1|•|z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故C正确；对于D，取z1＝1，z2＝i，可得z12+z22=1−1=0，故D错误．故选：AC．10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．图中x＝0.1B．估计样本数据的第60百分位数约为85C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人解：对于A，由图知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得x＝0.01，A错误；对于B，成绩在[50，80）内对应的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45＜0.6，成绩在[50，90）内对应的频率为0.1+0.15+0.2+0.3＝0.75＞0.6，因此第60百分位数m位于区间[80，90）内，m=80+0.6−0.450.3×(90−80)=85，所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确；对于C，平均数约为x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5，C正确；对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15：0.2＝2：3：4，则应选取成绩在[60，70）内的学生人数为30×32+3+4=10，D 正确． 故选：BCD ．11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →解：对于A ，由已知可得b →=2a →+BC →=AB →+BC →=AC →， 在正方形ABCD 中可得|AC →|=2√2，故A 错误；对于B ，a →⋅b →=12AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|cos45°=12×2×2√2×√22=2，故B 正确；对于C ，a →在b →上的投影向量的模为|a →⋅b →||b →|=2√2=√22，故C 错误；对于D ，(b →−4a →)⋅b →=b →2−4a →⋅b →=0， 又b →−4a →与b →均不是零向量， 所以(b →−4a →)⊥b →，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32解：对于A ，由已知得AA 1⊥平面ABP ，PB ⊂平面APB ，所以AA 1⊥PB ， 又因为AB 是底面圆的直径，P 在圆周上且异于A 、B 两点，所以BP ⊥AP ， 又A 1A ∩AP ＝A ，AA 1、AP ⊂平面A 1AP ，所以PB ⊥平面A 1AP ，故A 正确； 对于B ，因为AA 1⊥平面ABP ，所以直线A 1P 与平面ABP 所成的角为∠A 1P A ， 因为∠BOP ＝60°，则∠PAO =12∠BOP =12×60°=30°， 所以PB =12AB =12×2=1，PA =√AB 2−PB 2=√22−12=√3，AA 1＝3，故tan ∠APA 1=AA 1AP =33=√3，故直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√3，故B 错误； 对于C ，连接B 1P ，因为AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1，故四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以AB ∥A 1B 1，所以直线A 1P 与直线AB 所成的角为∠B 1A 1P 或其补角， 在△A 1B 1P 中，A 1P =√AP 2+A 1A 2=√(√3)2+32=2√3， B 1P =√BP 2+B 1B 2=√12+32=√10，所以cos ∠B 1A 1P =A 1B 12+A 1P 2−B 1P 22A 1B 1⋅A 1P =22+(2√3)2−(√10)22×2×2√3=√34，故C 正确； 对于D ，设点A 到平面A 1PB 的距离为h ， 则V A−A 1PB =V A 1−APB ，即13⋅S △A 1PB ⋅ℎ=13⋅S △APB ⋅AA 1，又S △APB =12AP ⋅BP =12×√3×1=√32，S △A 1PB =12A 1P ⋅PB =12×2√3×1=√3， 所以13×√3×ℎ=13×√32×3，解得ℎ=32，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 √2 ．解：根据题意可得O ′A ′=√2， 在△ABO 中，OB ＝O ′B ′＝1， OA =2O ′A ′=2√2， 所以△ABO 的面积为S =12×1×2√2=√2 故答案为：√2．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是310．解：总的样本点的个数为A 52=20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有A 32=6个，故所求概率为620=310．故答案为：310．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 (−1，13) ．解：∵DC →=2AD →，∴AC →=3AD →，∴AP →=xAB →+3yAD →． ∵B ，P ，D 三点共线，∴x +3y ＝1，∵x ＞0，∴y =13(1−x)＜13，∴0＜y ＜13， ∴y −x =y −(1−3y)=4y −1∈(−1，13)．故答案为：(−1，13)．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为π3a 2 ．解：如图所示，设O 为大球的球心，大球的半径为R ，大正四面体的底面中心为E ，棱长为a ，高为h ，CD 的中点为F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，BF ， 则BE =23BF =√33a ，正四面体的高ℎ=AE =√AB 2−BE 2=√63a ， 因为V 正四面体＝4V O ﹣ABC ，所以13×S △ABC ℎ=4×13×S △ABC ×R ，所以R =14ℎ=√612a ，设小球的半径为r ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高ℎ小=ℎ−2R =√66a ，所以r =14ℎ小=√624a =R2，故该模型中5个球的表面积之和为4πR 2+4×4πr 2=8πR 2=8π×6144a 2=π3a 2． 故答案为：π3a 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）由z +5i ＝m +（9﹣m 2）i 为实数，可得9﹣m 2＝0， 解得m ＝±3，因为m ＞0，所以m ＝3， 所以z ＝3﹣5i ；（2）由（1）可知z =3+5i ，所以z 1=z(a +i)=(3+5i)(a +i)=(3a −5)+(5a +3)i ， 因为z 1在复平面内对应的点在第二象限， 所以{3a −5＜05a +3＞0，解得−35＜a ＜53，故实数a 的取值范围为(−35，53)．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．解：（1）证明：因为EF ∥AD ，EF =12AD =2，M 是AD 的中点， 所以EF ∥DM ，且EF ＝DM ， 所以四边形DEFM 是平行四边形， 从而MF ∥DE ．因为MF ⊄平面ECD ，DE ⊂平面ECD ， 所以MF ∥平面ECD ． 同理NF ∥平面ECD ， 又MF ∩NF ＝F ，所以平面NMF ∥平面ECD ．（2）设AB 的中点为H ，连接FH ，则FH ⊥AB ．因为平面ABF ⊥平面ABCD ， 平面ABF ∩平面ABCD ＝AB ， FH ⊂平面ABF ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ，所以E 到平面ABCD 的距离为FH =2√3， 所以V E−ABCD =13×(4×4)×2√3=32√33． 19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 解：（1）由题意知15(90+110+x +y +150)=110，则x +y ＝200．因为x ＜y ，所以x ＜100＜y ．从这5天中任选2天，所有的结果为：（90，110），（90，x ），（90，y ），（90，150），（110，x ），（110，y ），（110，150），（x ，y ），（x ，150），（y ，150），共10种， 这2天的空气质量均为优良的结果为（90，x ），只有1种， 故所求的概率为P =110． （2）方差s 2=15×[(90−110)2+(110−110)2+(x −110)2+(y −110)2+(150−110)2] =15[2000+(x −110)2+(90−x)2]=25(x −100)2+440，因为90＜x ＜150，所以当x ＝100时，s 2的值最小，最小值为440． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ； （2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：（1）∵a−b+c c=b a+b−c，∴bc ＝b 2+c 2﹣a 2，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， 又0＜A ＜π，∴A =π3； （2）证明：∵b −c =√33a ， 由正弦定理得sinB −sinC =√33sinA =12，∴sinB −sin(2π3−B)=sinB −√32cosB −12sinB =12sinB −√32cosB =sin(B −π3)=12， ∵B ∈(0，2π3)， ∴B −π3∈(−π3，π3)， ∴B −π3=π6，即B =π2， 故△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？解：（1）（1）∵OO 1＝5dm ，∴PO 1＝2dm ．∴玻璃罩的容积V =13×62×2+62×5=24+180=204(dm 3)=204(L)． （2）连接A 1O 1，设PO 1＝xdm （0＜x ＜4），则O 1O =52xdm ，A 1O 1=√16−x 2dm ，A 1B 1=√2√16−x 2dm ， ∴正四棱柱的侧面积S =4⋅52x ⋅√2√16−x 2=10√2√(16−x 2)x 2．∵S ≤10√2×x 2+16−x 22=80√2，当且仅当x =√16−x 2，即x =2√2时，取等号．∴当PO 1=2√2dm 时，正四棱柱侧面积最大，最大为80√2dm 2．22．（12分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A 餐厅评分的频率分布直方图，以及B 餐厅评分的频数分布表如下： B 餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A 餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．解：（1）学生对A餐厅的评分在[30，50）的频率为（0.02+0.02）×10＝0.4，即学生对A餐厅的满意度指数为2的频率为0.4，所以对A餐厅的满意度指数为2的人数为200×0.4＝80；（2）设“对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低”为事件M，记“对A餐厅的满意度指数为1”为事件A1，“对A餐厅的满意度指数为2”为事件A2，“对B餐厅的满意度指数为2”为事件B2，“对B餐厅的满意度指数为3”为事件B3，则P（A1）＝（0.003+0.005+0.012）×10＝0.2，P（A2）＝0.4，P(B2)=30+80200=0.55，P(B3)=70200=0.35，所以P（M）＝P（A1B2+A1B3+A2B3）＝P（A1）P（B2）+P（A1）P（B3）+P（A2）P（B3）＝0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35＝0.32．。

高一数学第二学期期末试卷（含答案）满分150分，考试时间120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1． tan 83π的值为( ) A.33 B ．－33 C. 3 D ．－ 32．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 23．已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ）A ．x sin 2B ．x sin 2-C ．x cos 2D ．x cos 2-4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为 ( )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35) 5．514cos 4sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-θπθπ,则θ2cos 的值为（ ) A ．-257 B ．257 C. 2524- D. 2524 6． tan70tan503tan70tan50︒+︒-︒︒=（ ）A ． 3B ． 33C ． 33-D ． 3-7．要从已编号（1-50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A ．5、10、15、20、25B ．3、13、23、33、43C ．1、2、3、4、5D ．2、4、8、16、228．一个容量为20的样本数据，分组后组距为10，区间与频数分布如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.则样本在(10，50]上的频率为( )A.120B.14C.12D.7109．下列两变量具有相关关系的是（ ）A ． 正方体的体积与边长B ．人的身高与体重C ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D ．球的半径与体积10．回归直线方程必定过点( )A ．(0,1)B ．(x ，0)C ．(0，y )D ．(x ，y )11．下列说法正确的是( )A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场 B ．某医院治疗一种疾病治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%12. 从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③二、填空题（每小题5分，共计20分）13．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．14．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m ＝________．15．在区间[－2,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．16．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m ＋n ＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知4=a ，2=b ，且a 与→b 夹角为o 120，求（1）b a +； （2）a 与a b +的夹角.18．（本题满分12分）已知tan 222x =- ， 22x ππ<<，求22cos sin 122sin()4x x x π--+的值.19．（本题满分12分）已知x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的最值及相应x 的取值集合.20．（本题满分12分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖；等于5，则中二等奖；等于4或3，则中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．21．（本题满分12分）某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率．22．已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝255. (Ⅰ)求cos(α－β)的值； (Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.。

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。

西宁市2023—2024学年第二学期末调研测试卷高一数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.本试卷为试题卷，不允许作为答题卷使用，答题部分请在答题卡上作答，否则无效.3.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场､座位号填写在答题卡上，同时将学校､姓名､准考证号､考场填写在本试卷上.4.选择题用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号）.非选择题用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡相应的位置，书写工整，字迹清晰.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，则（）A.B.C. D.2.有一个人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）A.至多有1次中靶B.2次都不中靶C.2次都中靶D.只有1次中靶3.已知三点共线，则的值为（）A.-5 B.5 C.-3 D.34.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A.C.15.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”.育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲､乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：如下表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年()i 11z -=z =1i --1i -+1i -1i+()()()1,2,2,4,,6A B C m m O A B '''O A A B =''''2O B ''=kg )甲900920900850910920乙890960950850860890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定6.甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立.若甲､乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（）A.两人都中靶的概率为0.63B.两人都中靶的概率为0.70C.两人都中靶的概率为0.72D.两人都中靶的概率为0.747.在中，内角所对的边分别是，若，则的大小为（）A. B. C. D.8.设向量，则（ ）A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.B.C. D.10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）x ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin sin2sin sin a A b B c C C a B +-=Cπ6π4π22π3()()1,,,2a x x b x =-=- 3x =a b ⊥3x =a ∥b 0x =a b ⊥ 1x =+a ∥bABC V ,,A B C ,,a b c 10,60b c C === 4,60b c B === 2,45a b A === 8,4,60a b A ===2RA.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱､圆锥､球的体积之比为11.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数为虚数单位为纯虚数，则的值为__________.13.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________.14.在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的余弦值为__________.四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证：24πR 22πR 3:1:2,,,,P Q R S T PT AT =CQ TP DS += ES RQ PA-= AT BQ += ES AP DR -= ()221i(,i z m m m m =---+∈R )m ()()4,2,1,1a b == a b 1111ABCD A B C D -E BC DE 1CD 1111ABCD A B C D -H 11B D ,,E F G ,,DC BC HC（1）四点共面；（2）平面平面.16.（15分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：（1）用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率；（2）估计这40名同学周末学习时间的分位数.17.（15分）如图，某海域的东西方向上分别有两个观测塔，它们相距海里，现观测塔发现有一艘轮船在点发出求救信号，经观测得知点位于点北偏东，同时观测塔也发现了求救信号，经观测点位于点北偏西，这时位于点南偏西且与相距30海里的点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.（1）求点到点的距离；（2）若命令处的救援船立即前往点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.,,,F G H B EFG ∥11BDD B [)20,25[]25,3025%,AB A D D A 45 B D B 75 B 45 BC BD C D）18.（17分）如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点，点为棱上一点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的余弦值.19.（17分）对任意两个非零向量，定义.（1）若向量，求的值；（2）若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值；（3）若非零向量满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围.2.65≈≈≈111ABC A B C -16,8,10,5AC BC AB AA ====D AB E 11A B 1AC B C ⊥B ECD -1AC 11BCC B ,m n 2m n m n n ⋅⊗= ()()5,3,3,2a b ==- ()2a a b ⊗+ ,a b ()()5216a b a b +⊗-= a a b - ,a b 3a b …a b ()4b a ⊗ a b ⊗西宁市2023—2024学年第二学期末调研测试卷高一数学参考答案及评分意见一､选择题题号12345678答案C B D A D C B C二､多选题（注意：部分选对的，选项为2个每个3分，选项为3个每个2分.）题号91011答案BC ACDAD三､填空题12.2 13.四､解答题（每题只提供一种方法，如有不同方法，可按评分意见酌情给分）15.证明：（1）连接，分别是的中点为的中位线，，四点共面；（2）由（1）知，()3,3BH,F G,BC HCFG∴CBHVFG∴∥BH,,,F G H B∴FG∥BH平面面，平面；又分别是的中点，平面平面，平面；面面，平面平面.16.解：（1）由图可知，40名学生中周末的学习时间在的人数为人，周末的学习时间在的人数为人，从中用分层抽样抽取6人，则周末的学习时间在的有4人，记为；周末的学习时间在的有2人，记为；则再从中选派3人接受检测的基本事件有，，共有20个，其中检测的3人来自同一区间的基本事件有，共有4个，所以检测的3人来自同一区间的概率；（2）学习时间在5小时以下的频率为，学习时间在10小时以下的频率为，所以分位数在区间内，则，所以这40名同学周末学习时间的分位数为8.75小时.17.解：（1）由题意知，，，FG ⊄ 11,BDD B BH ⊂11BDD B FG ∴∥11BDD B ,E F ,DC BC EF ∴∥DB EF ⊄1,BDD B DB ⊂11BDD B EF ∴∥11BDD B ,EF FG F EF ⋂=⊂ ,EFG FG ⊂EFG ∴EFG ∥11BDD B [)20,250.035406⨯⨯=[]25,300.0155403⨯⨯=[)20,25,,,A B C D []25,30,a b ,,,,,,ABC ABD ABa ABb ACD ACa ACb ,,,,,,,,,,,,ADa ADb Aab BCD BCa BCb BDa BDb Bab CDa CDb Cab Dab ,,,ABC ABD ACD BCD 41205P ==0.0250.10.25⨯=<0.10.0450.30.25+⨯=>25%[)5,100.250.1558.750.30.1-+⨯=-25%AB =904545DAB ∠=-= 907515DBA ∠=-=所以，在中，由正弦定理可得，即所以（海里）；（2）在中，，由余弦定理得所以因为（海里）所以救援船能够在1小时内到达救援地点.18.（1）证明：三棱柱是直三棱柱，平面平面；，，则；1804515120ADB ∠=--= ABD V sin sin BD AB DAB ADB ∠∠=sin45BD = 10BD ===BCD V 180754560,30,10CBD BC BD ∠=--=== 2222cos CD BC BD BC BD CBD ∠=+-⋅⋅1900100230102=+-⨯⨯⨯700=CD ==10 2.6526.530≈⨯=< 111ABC A B C -∴11BCC B ⊥ABC 6,8,10AC BC AB === 222AB AC BC ∴=+AC BC ⊥平面平面平面，平面；又平面，（2）解：是的中点，三棱柱是直三棱柱，点到平面的距离即的长，（3）解：由（1）知平面，为直线与平面所成的角.在中，，，，即直线与平面19.解：（1）因为，11BCC B ⋂,ABC BC AC =⊂ABC AC ∴⊥11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1;AC B C ∴⊥D AB 111222BCD BCA S S AC BC ∴==⨯⋅V V 116822=⨯⨯⨯12,= 111ABC A B C -∴E ABC 1AA 113B ECD E BCD BCD V V S AA --∴==⋅V 11253=⨯⨯20=AC ⊥11BCC B 1AC C ∠∴1AC 11BCC B 1Rt ACC V 116,5AC CC AA ===1AC ∴==111cos CC AC C AC ∠∴===1AC 11BCC B ()()5,3,3,2a b ==-所以，所以故的值为.（2）因为向量是单位向量，所以，由，可得，解得，则，可得，设向量与的夹角为，则，故向量与.（3）设向量与与的夹角为，则，由题意可知，则，()()()25,323,21,7a b +=+-=- ()()222(2)a a b a a b a b ⋅+⊗+=+ ()225137(1)7⨯-+⨯=-+1650=825=()2a a b ⊗+ 825,a b 1,1a b == ()()5216a b a b +⊗-= ()()22222221516(2)4454a b a b a a b b a b a b a a b b a b +⋅-+⋅-⋅+===--⋅+-⋅ 14a b ⋅= 22213()212142a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= a b -=== a a b -θ()2cos a a b a a b aa b a a b θ⋅--⋅====-- a a b - a bϕ22cos cos ||b a b b a b a a a aϕϕ⋅⊗=== π02ϕ<<0cos 1ϕ<<因为，所以，所以.即则.因为是整数，所以，则，即，而，即，所以，因为，则，即，故的取值范围为.3a b (103)b a < …10cos 3b a ϕ<< 10,3b a <⊗< ()4043b a <⊗< ()4b a ⊗ ()41b a ⊗= 14b a ⊗= 1cos 4b a ϕ= 14cos b a ϕ= 103b a < …1104cos 3ϕ<…3cos 14ϕ<…22cos 4cos a a b a b bb ϕϕ⋅⊗=== 2299cos 1,4cos 4164ϕϕ<< (944)a b ⊗< …a b ⊗ 9,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

高一数学第二学期期末卷及答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高一数学第二学期期末卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)°=（ ）A.21B.21- C 23. D 23.- 2.不等式(1)0x x +>的解集是A. {|0}x x >B. {|1}x x <-C.{|10}x x x <->或D. {|10}x x -<< 3.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） .A 41 .B 21 .C 81 .D 324.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速频率 分布直方图如右图所示，则时速在[60,70]之间的 汽车大约有（ ）.A 20辆 .B 40辆 .C 60辆 .D 80辆5. 如右图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记1BC e =，2BA e =，则向量CD =（ ）A ．1212e e -- B ．1212e e -+C ．1212e e -D ．1212e e +DCB6.已知圆2220x y x my +-+=上任意一点M 关于直线x+y=0的对称点N 也在此圆上，则m 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．27.已知正边形ABCD 边长为2，在正边形ABC D 内随机取一点P ，则点P 满足||1PA ≤的概率是（ ） A ．4π B ．8π C ．116π-D ．16π8.从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程y =0．56x+a ，据此模型预报身高为172cm 的高一男生的 体重为（ ）A ．B ． CD ．9.函数3sin(2)3y x π=+，则下列关于它的图象的说法不正确的是（ ）A ．关于点(,0)6π-对称B ．关于点(,0)3π对称C ．关于直线712x π=对称 D ．关于直线512x π=对称10.在△ABC 中，∠BAC= 90°，D 是BC 的中点，AB=4，AC=3, 则AD BC ⋅=（ ）A ．一72B ．72C. -7D ．7第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）新 课 标 第 一 网(11) 已知1tan ,2α=则tan()4απ-=____________.(12) 设a ,b ,c 是ABC △中A ∠,B ∠,C ∠的对 边,23a =,6c =，3cos 3B =-， 则b =_________;ABC △的面积为________. (13) 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的结果是________．(14) 已知n S 是数列{}n a N*n ∈（）的前n 项和，且252nS n n=-，则3a =_________________; 当n =______时，n S 取得最大值.(15) 欧阳修的《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体不出边界．．．．．．．．），则油滴整体（油滴近似看成是直径为的球）恰好落入孔中的概率是 （不作近似计算）．（16）数列{}n a N*n ∈（）中，如果存在,k a 使得“1,k k a a -<且1k k a a +<”成立（其中2,N *k k ≥∈），则称k a 为{}n a 的一个“谷值”. ① 若2101,n a n n =-+则{}n a 的“谷值”为_________________;② 若22,3,8,3,n n tn n a tn n ⎧--<=⎨--≥⎩且{}n a 存在“谷值”，则实数t 的取值范围是__________________.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）（本小题满分14分）已知{}n a 是等差数列， n S 为其前n 项和，且339,21a S ==. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足113,3n n b b b a +==-，求数列{}n b 的前n 项和n T . （18）（本小题满分14分）“交通指数”是反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值.交通指数的取值范围为0至10，分为5个等级：其中[)0,2为畅通，[)2,4为基本畅通，[)4,6为轻度拥堵，[)6,8为中度拥堵，[]8,10为严重拥堵. 晚高峰时段，某市交通指挥中心选取了市区60个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频数分布表及频率分布直方图如图所示：（I ）求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；（II ）用分层抽样的方法从交通指数在[0,2)和[)2,4的路段中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽出2个路段，求至少有一个路段为畅通的概率．(19)（本小题满分14分）已知函数(cos sin )sin2().cos x x xf x x-=（I ）求函数()f x 的单调递减区间; （II ）求函数()f x 在区间11[,]2424ππ上的最大值和最小值. (20)（本小题满分14分）某旅游公司在相距为100km 的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km /h ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km /h 时，燃料费用为每小时60元.其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元.（I ）当游船以30km /h 航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入-成本）（II ）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？(21)（本小题满分14分）X K om在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b .（I ）设数列{}n a 为1，2，4，10，，写出1b ，2b ，3b 的值；（II ）若{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}m b 的前m 项的和为m S ，求使得2014m S >成立的m 的最小值；（III ）设p a q=，12p a a a A+++=，12q b b b B++⋅⋅⋅+=，请你直接写出B与A 的关系式，不需写推理过程．数学试卷参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBDBDDBDA（II ）123,32332,n n n b n n a n b a b b +=+=-=+-=因为所以…………10分 所以112,3,n nb b b +==又 {}n b 所以是以3为首项2为公比的等比数列.132,n n b -=⋅…………12分 所以()3123(21).12n n n T ⋅-==--…………14分（18）（本小题满分14分）解：（I ）由频率分布直方图，得交通指数在[2,4)的频率为10.050.10.1250.1520.15-+++⨯=（）.所以，110.0520.1,0.160 6.n m =⨯==⨯=220.15,0.15609.n m ==⨯= 频率分布直方图为：频率………………………6分（II ）依题意知，取出的5个路段中，交通指数在[0,2)内的有2个，设为,,a b交通指数在[2,4)内的有3个，设为,,.x y z …………………………………8分 则交通指数在[0,4)的基本事件空间为{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz Ω=，基本事件总数为10，……………10分 事件A =“至少有一个路段为畅通”，则{},,,,,,A ab ax ay az bx by bz =， 基本事件总数为7.…………12分7()10P A =所以至少有一个路段为畅通的概率为7.10……………………………………14分（19）（本小题满分14分）解：()f x 的定义域为π{|π,R},(Z).2x x k x k ≠+∈∈2(cos sin )sin2()sin22sin sin2cos21cos x x xf x x x xx x-==-=+-π)14x =+- …………………4分（I ）令ππ3π2π22π,242k x k +≤+≤+且+2x k ππ≠,Z k ∈解得，π5π2π22π,44k x k +≤≤+即 π5πππ.88k x k +≤≤+所以，()f x 的单调递减区间为πππ5π[π,π),(π,π],(Z).8228k k k k k ++++∈…………………8分（II ）由117[,],2[,],242443π6ππππx x 得当2,4π2πx 即π8x 时，max π()()1,8f x f =当72,4π6πx即1124πx 时，min 11π()() 1.24f x f ==-…………………14分 （20）（本小题满分14分）解：设游船的速度为v (km /h )，旅游公司单程获得的利润为y （元），因为游船的燃料费用为每小时2k v ⋅元，依题意22060k ⋅=，则320k =.2分所以y =231001006000(240)20v v v-⋅+⋅ =24000600015,(050)v v v--<≤. ················································· 5分11（21）（本小题满分14分） 解：（І）1231,2, 2.b b b ===…………………3分（Ⅱ）21,n a n =-由n a m ≤得12m n +≤. 根据m b 的定义，当21m k =-时，m b k =；当2m k =时，.(N*)m b k k =∈ ①若21m k =-，12312321m m k S b b b b b b b b -=++++=++++ 22(1231).k k k =++++-+=。

天津市和平区2023-2024学年高一下学期期末质量调查数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共27分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上无效。

3．本卷共9小题，每小题3分，共27分。

参考公式：·球的表面积公式，其中R 是球的半径·圆台的侧面积公式，其中，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长．·如果事件A 、B 相互独立，那么．一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知i 为虚数单位，复数的虚部为（A ）（B ）（C ）i （D ）1（2）已知一组样本数据10，10，9，12，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（A ）9（B ）10（C ）11（D ）12（3）若采用斜二测画法画水平放置的的直观图，，则的面积为（A ）2（B ）（C ）4（D ）（4）已知a ，b ，c 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，以下说法中正确的个数为①若，，则；②若，，则；③若，，，则．（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个（5）已知向量，满足，，且，则（A （B ）4（C ）5（D ）（6）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是24S R π=()S r l rl π'=+r '()()()P AB P A P B =11iz i-=+i -1-ABC △111A B C △111A B C △ABC △αβγa α∥b α∥a b ∥αβ⊥βγ⊥αγ⊥αβ⊥l αβ= m l ⊥m β⊥a b (1,2)a =(2,)b y =- a b ∥ a b +=A =B =C =D =（A ）B 与A 不互斥且相互独立（B ）B 与C 互斥且不相互独立（C ）C 与A 互斥且不相互独立（D ）D 与A 不互斥且相互独立（7）用平面截一个球，所得到的截面面积为，则该球的表面积为（A ）4（B ）8（C ）16（D ）28（8）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为①估计居民月均用水量低于1.5的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为2.1③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取3人（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（9）已知圆台的上、下底面半径分别为2，12，侧面积等于280，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的边长为（A ）16（B ）（C ）（D ）8第Ⅱ卷（非选择题 共73分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2024届重庆一中数学高一第二学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A ．2B ．1C ．12D ．182．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =，2DN NC =，设MN AB AD λμ=+，则λμ-=（ ）A ．56B ．56-C ．16D ．16-3．一条光线从点(2,3)-射出，经x 轴反射后与圆22(3)(2)1x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或234．已知向量a =(λ,2), b =(-1,1),若a b a b -=+,则λ的值为（ ） A ．3- B ．1- C ．1D ．2 5．直线与圆交于不同的两点，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图，则（OA OB +）AB ⋅=（ ）A ．0B 3C 3D ．67．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．458．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．359．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥ C ．1//A O 平面11B CDD ．1A O ⊥平面11AB D10．设变量x ，y 满足约束条件510x y x y y +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．5C ．8D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届河北省石家庄市一中、唐山一中等“五个一”名校联盟高一数学第二学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知6,3,12a b a b ==⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．4B ．4-C ．2-D ．22．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知{}n a 为等差数列，1353a a a ++=，则3a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．14．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前60项和等于（ ） A ．1830B ．1832C ．1834D ．18365．在数列{a n }中，a n ＝31﹣3n ，设b n ＝a n a n+1a n+2（n ∈N *）．T n 是数列{b n }的前n 项和，当T n 取得最大值时n 的值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．86．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20187．函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为（）A ．13B ．12C ．23D ．18．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．42C ．54D ．729．已知向量12e e ，满足121210e e e e ==⋅=，.O 为坐标原点，()1222OQ e e =+.曲线{}12|cos sin 002C P OP r e r e r θθθπ==+>≤<，，，区域{}12P PQ Ω=≤≤.若C Ω是两段分离的曲线，则( )A ．35r <<B ．35r <≤C ．35r ≤<D ．35r ≤≤10．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

河南省兰考县第一高级中学2024届数学高一第二学期期末复习检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为（ ） A ．200B ．180C ．128D ．1622．函数()()2lg 1f x x x =+-定义域是（ ） A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．[)0,+∞D ．()0,∞+3．在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．已知2()sin ,N 36f x x x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭，则()f x 的值域为（ ）A ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭5．已知函数()xf x e x =+，()lng x x x =+，()h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>6．如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．8π-B ．83π-C ．223D ．88．已知正实数,x y 满足3x y +=，则41x y+的最小值（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．1039．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．22πB ．12πC ．3πD ．9π10．若函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，且在y 轴上的截距为2，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，则ON 在OM 方向上的投影为（ ）A 29B ．29C ．5-D ．55二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年山东省青岛五十八中高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A ．2B ．2或-2C ．-2D ．-41．（5分）若复数z =a 2-4+（a -2）i 为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A．60°B ．45°C ．90°D ．120°2．（5分）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD 1与BD 所成角为（ ）A ．-B ．C ．2D ．-23．（5分）已知向量a =（1，m ），b =（2，-1），且a ∥b ，则m =（ ）→→→→1212A ．100，50B ．100，1050C ．200，50D ．200，10504．（5分）某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（ ）A ．若b ∥a ,a ⊂α，则b ∥αB ．若a ⊂α，b ⊂α，c ⊥a ,c ⊥b ,则c ⊥αC ．若a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥βD ．若a ⊥α，a ∥b ,b ⊂β，则α⊥β5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，a ,b ,c 表示三条不同的直线，（ ）A ．100πB ．120πC ．150πD ．300π6．（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为10π的扇形，则该圆锥的体积为（ ）二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，）D ．（，+∞）8．（5分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,面积为S ，且（+-）=4S ，若c =1，则△ABC 面积的取值范围是（ ）M 3a 2c 2b 2M 38M 34M 38M 32M 34M 32M 38A ．z 0=3+iB ．=10C ．在复平面内z 0对应的向量为（3，-1）D ．|z -z 0|的最小值为-19．（6分）已知复数z 0，z 满足（z 0-2）i =1+i ,|z |=1，则（ ）z 0z 0M 10A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互斥C ．A 与D 独立D ．B 与C 独立10．（6分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，事件C =“两枚骰子出现点数和为8”，事件D =“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）A ．按照折法①，三棱锥D 1-ABC 的外接球表面积恒为4πB ．按照折法①，存在D 1满足AB ⊥CD 1C ．按照折法②，三棱锥A 1-BCD 体积的最大值为D ．按照折法②，存在A 1满足A 1C ⊥平面A 1BD ，且此时BC 与平面A 1BD 所成线面角正弦值为11．（6分）如图，在四边形ABCD 中，△ACD 和△ABC 是全等三角形，AB =AD ，∠ABC =90°，∠BAC =60°，AB =1．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①；将△ACD 沿着AC 折起，得到三棱锥D 1-ABC ，如图1．折法②：将△ABD 沿着BD 折起，得到三棱锥A 1-BCD ，如图2．下列说法正确的是（ ）M 38M 63三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）四、解答题（本大题共5小题，共77分。

高一下学期数学期末试卷(试卷总分:100分,考试时间:100分钟)考生注意：请将正确答案填写在答题卷上规定的位置 ，在本试卷上作答一律无效！ 一、 选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

1.下列命题为真命题的是（ ）.A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C.垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行 2．已知数列{}n a 的通项公式是n a=1(2)2n n +，则220是这个数列的（ ）. A ．第20项 B ．第19项 C ．第21项 D ．第22项3.右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ）. A. 300 B.450 C. 600 D. 9004.右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 的大小是（ ）. A. 300 B.450 C. 600 D. 905. 在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,030A = , 则B 等于( ).A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或1506.已知一个算法，其流程图如右图所示，则输出的结果是（ ）. A. 3 B. 9 C.27 D.81 7．直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ）A.a=2,b=5;B.a=2,b=-5C.a=-2,b=5;D.a=-2,b=-58.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）.A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1) 9. 在△ABC 中，已知ab c b a 2222+=+，则C=( ).A .300 B. 1500 C. 450 D. 135A BD A ’ B ’ D ’C ’ C图1乙甲751873624795436853432110.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 那么十六进制下的 1AF 转化为十进制为 （ ）. A. 431 B.321 C.248 D. 250 11. 等差数列{}n a 中，73,10,d a =-=，则1a 等于（ ）. A ．-39 B ．28 C ．39 D ．3212．圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（ ）.A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).13.直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ）. A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定14.已知等差数列{}n a 中，22a =，46a =，则前4项的和4S 等于（ ）. A.12 B.10 C.8 D.1415.当输入a 的值为2，b 的值为3-时，右边程序运行的结果是( )..2A - .1B - .1C .2D16．10名工人某天生产同一个零件的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>17．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）.A ．9991 B ．10001C ．1000999D ．2118.如图是某赛甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ ）. A ．62 B. 63 C ．64 D ．65二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2024届赣州市重点中学高一数学第二学期期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线3310x y ++=的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°2．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）． （1）l m αβ⇒⊥∥ （2）l m αβ⊥⇒∥ （3）l m αβ⇒⊥∥ （4）l m αβ⊥⇒∥ A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）3．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高23h c =，且25sin 5A =，则cos C 等于( ) A ．1010B ．55C ．3510D ．1054．两数1，25的等差中项为（ ） A ．1B ．13C ．5D ．5-5．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．13B ．23C ．122+D ．226．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2B ．1C ．2或-1D ．-2或17．已知角α的终边经过点()1,1-，则=sin α（ ）A ．22-B ．12-C ．22D ．328．不等式 2340x x --+>的解集为( ) A ．(-4，1)B ．(-1，4)C ．(-∞，-4)∪(1，+∞)D ．(-∞，-1)∪(4,+∞）9．如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )A ．B ．C ．D ．10．在ABC 中，AB 2=，πC 6=，则AC 3BC +的最大值为( ) A ．47B ．37C ．27D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。