福建省龙岩市2018届高三数学下学期教学质量检查2月试题_含答案 师生通用

017-2018学年龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．4 14 15．98π 16．()1(,]221e e -三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，2221n n n S a S =-，即21221n n n n S S S S --=-，整理得112?n n n n S S S S ---=，所以1112n n S S --= ………2分 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个公差为2的等差数列， 又111a S ==，所以121nn S =-，所以121n S n =-， ………4分 此时10,2n n S S ≠≠符合题意所以1121n n n a S S n -=-=-－321-n ＝2(2)2123n n n -≥--()()． 当1n =时，上式不成立，所以1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112121n n S S n n +⋅=-+（）（）111()22121n n =--+， ………8分所以111111[(1)()()]23352121n T n n =-+-++-=-+12+n n． ………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设一位顾客进店购物结算时间为T ，根据统计图表可知，T 的可能值为10，20，40，60， ……………2分所以(10)0.4,(20)0.2,(40)0.3,(60)0.1,P T P T P T P T ======== 4分 所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为100.4200.2400.3600.126⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）． …………6分（Ⅱ）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若3位顾客付款时间总计不少于2分钟，则3人的付款时间可能有如下情况： ①3个60秒；②2个60秒和另一个可以是10秒，20秒，40秒中任意一个； ③一个60秒，另外两个付款时间可以是20秒，40秒或40秒，40秒； ④三40秒． ………9分 所以对应的概率为3221133320.10.1(0.40.20.3)0.1(0.20.30.30.3)0.3P c c c =+⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯+⨯+0.118=．答：该顾客等候时间不少于2分钟的概率为0.118． ……12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：过点D 在平面ABCD 内作//DN BC ，交AB 于点N ，因为2AB CD =，ABC BCD ∠=∠，所以四边形DNBC 为一个底角是60°的等腰梯形， ……………3分 所以BN AN CD ==，所以N 为AB 中点，由题知90BAD ∠=︒，在Rt NAD ∆中，2DN AN =， 又60ABC BCD ∠=∠=︒，所以32BC ND =， 而23BF CE BC ==，所以,E F 为BC 的三等分点，连接EN ，所以////NE AF DC ，又在DEC ∆中，2EC DC =，60BCD ∠=︒， 所以30DEC ∠=︒，所以DE CD ⊥，所以DE AF ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，所以PA DE ⊥， 因为PAAF A =，所以DE ⊥平面PAF ． ……………6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，所以平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)m =， ……………7分 又由（Ⅰ）知60,90ABC AND BAD ∠=∠=︒∠=︒， 所以在AND ∆中，AD ==所以D ，150ADC ∠=︒，1(,22C ，(0,0,1)P ，所以1331(,,1),(,2222PC DC ==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，AN BEFDP所以00PC n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即102102x y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令x =(3,1,n =-， ……………10分 设二面角P CD A --的平面角为θ，且θ为锐角，所以21cos =7||||n m n m θ=．……………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得：1c =，221a b -=，2c =所以 22a =220a -=，解得a b =椭圆的方程22132x y += ………4分 （Ⅱ）①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ， ………5分联立222361x y x my ⎧+=⎨=+⎩得22(23)440m y my ++-=则12122244,2323m y y y y m m --+=⋅=++ ………6分 1ABF ∆中AB边上的中线长为11112F A F B+=====………8分 令223t m =+则223m t =-得1112F A F B +== 由22F A F B λ=，得1122,yy y y λλ=--=，22121222112()142223y y y y m y y y y m λλ+---+=++==+ ………10分 12λ≤≤，22142(3)12[0,]232m t m t λλ-+-==∈+………11分 11134,43t t ∴≤≤≤≤，1112F A F B +2]∈1ABF ∆中AB 边上中线长的取值范围是2] ………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，2()(1)(2)x g x x e a x =+-+，得()(2)2(2)(2)2)x x g x x e a x x e a '=+-+=+-（（i ）当0a ≤时，在(,2)-∞-上，()0g x '<，在(2,)-+∞上，()0g x '>2分（ii ）当0a >时，令()0g x '=，解得2x =-或ln(2)x a =．①若212a e =，ln(2)2a =-，()0g x '≥恒成立； ②若212a e>，ln(2)2a >-，在(2,ln(2))a -上，()0g x '<；在(,2)-∞-，(ln(2),)a +∞，()0g x '> ………4分③若212a e<， ln(2)2a <-，在(ln(2),2)a -上，()0g x '<；在（(,ln(2))a -∞,与(2,)-+∞上，()0g x '>．综上，当0a ≤时，()g x 极小值点为2-，无极大值点；当2102a e<<时，()g x 极小值点为2-，极大值点为 ln(2)a ；当212a e>时，()g x 极小值点为ln(2)a ，极大值点为2-；当212a e=时，()g x 无极值点 ………6分（Ⅱ）设22()(22)(22)42x h x x e a x a =--+++,因为2()(42)88x h x x e ax a '=---，得2()88x h x xe a ''=-(0)x ≥,且函数()h x ''在[0,)+∞上单调递增（i ）当80a -≥时，有()0h x ''≥，此时函数()h x '在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)28h x h a ''≥=--， ①若280a --≥即14a ≤-时，有函数()h x 在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)0h x h ≥=，符合题意； …………8分②若280a--<即104a -<<时，存在00x >满足()h x '=０0，0(0,),'()0x x h x ∈<，此时函数()h x 在00,)x （ 上单调递减，()(0)0h x h <=不符合题意；（ii ）当80a -<时，有()80h a ''=-<0，存在10x >满足()h x ''=101(0,),x x ∈1h'(x )0<，此时()h x '在10,)x （上单调递减，()(0)820h x h a ''<=--<，此时函数()h x 在10,)x （ 上单调递减，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围是14a ≤-． …………12分 22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将222cos ,sin ,x y x yρθρθρ===+代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=. ………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(6)25x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，由韦达定理知121214cos ,24t t t t α+=-=① ………7分 ∴12,t t 同号 又∵3||||4PA PB =， ∴1234t t =②由①②可知12t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12==t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩∴14cos α-=或-cos 2α=±，∴tan 1k α==±， 9分 ∴l 的普通方程为(1)y x =±-. ……10分23．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()5f x ≥，即|1|2|2|5x x -++≥， …………1分∴当2x <-时，1245x x -+--≥，解得83x ≤-， ∴83x ≤- ………2分当21x -≤<时，1245x x -++≥，解得0x ≥，∴01x ≤< ………3分当1x ≥时，1245x x -++≥，解得23x ≥，∴1x ≥. ………4分 综上所述，不等式()5f x ≥的解集为8|03x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. ……5分（Ⅱ）由题意知|1||2|x m x x -++>恒成立， ………6分∴当2x <-时，12x mx m x -+-->， 变形得125222x m x x ->=-+++恒成立， ∴2m ≥- ………7分 当2x =-时，m 可以取任意实数； 当21x -<<时，12x mx m x -++>，变形得215222x m x x ->=-++恒成立， ∴512123m ≥-=+ ………8分 当1x ≥时，12x mx m x -++>，变形得12m x >+，∴11123m >=+ ………9分 综上所述，实数m 的取值范围为1(,)3+∞. ……10分。

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1}A x y x ==-，{|2,}xB y y x A ==∈，则AB =（ ）A ．(,1)-∞B ．[0,1]C ．(0,1]D ．[0,2) 2.已知函数32()2b f x x x =+，则0b <是()f x 在0x =处取得极小值的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知1z 与2z 是共轭虚数，有4个命题①12z z =；②1212z z z z =；③12z z R +∈；④2212z z <，一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③D ． ①②③ 4.sin ()((,0)(0,))xf x x xππ=∈-大致的图象是（ ）A ．B ． C. D ． 5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ．14B ．642+．862+ D ．842+7.若实数x ，y 满足422log 4log x y +=+8log ()x y =+，则11x y+的值为（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．48.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．99.已知抛物线24y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（ ）A B C D10.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．23π C ．2πD ．34π11.在四面体ABCD 中，BCD ∆与ACD ∆均是边长为4的等边三角形，二面角A CD B --的大小为60，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．2089π B ．529π C ．643π D ．523π12.记函数()2xf x ex a -=--，若曲线3([1,1])y x x x =+∈-上存在点00(,)x y 使得00()f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．22(,6][6,)e e --∞-++∞ B ．22[6,6]e e --+C ．22(6,6)ee --+ D ．22(,6)(6,)e e --∞-++∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知向量(1,0)a =，(,2)b λ=，2a b a b +=-，则λ= ．14.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 ．（用数字作答）15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．16.已知ABC ∆的内角A 的平分线交BC 于点D ，ABD ∆与ADC ∆的面积之比为2:1，2BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S a a =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 是等比数列，且14b =，358b b b =，令2n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中5EC =，4BF =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）已知点H 在线段BD 上，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值. 19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)频数2 250 450 290 8（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布2(51,15)N ，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附：若2(,)XN ϕσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.20.平面直角坐标系xOy 中，圆222150x y x ++-=的圆心为M .已知点(1,0)N ，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的中垂线交TM 于点P .（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设点P 的轨迹为曲线1C ，抛物线2C ：22y px =的焦点为N .1l ，2l 是过点N 互相垂直的两条直线，直线1l 与曲线1C 交于A ，C 两点，直线2l 与曲线2C 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21.已知函数2()2ln f x x x a x =--，()g x ax =. （Ⅰ）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （Ⅱ）若不等式sin ()2cosxg x ≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（Ⅱ）若不等式()3f x x ≤+的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CDDDC 6-10: CBABB 11、12：AB 二、填空题 13. 12-14. 48 15. 6243三、解答题17.解：（Ⅰ）由242n n n S a a =+得211142(2)n n n S a a n ---=+≥， 两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，∴11()()n n n n a a a a --+-12()0n n a a --+=， ∵0n a >，∴12n n a a --=，又由21111442S a a a ==+得10a >得12a =，{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，从而2n a n =.（Ⅱ）设{}n b 公比为q ，则由358b b b =可得247164q q q =， ∴4q =，∴4nn b =，∴数列{}n c 满足4nn c n =⋅，它的前n 项之和23142434n T =⋅+⋅+⋅4nn +⋅⋅⋅+⋅①，2241424n T =⋅+⋅+⋅⋅⋅1(1)44n n n n ++-⋅+⋅②，①-②得2134444n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅14(14)414n n n +-=-⋅-14(41)43n n n +=--⋅， ∴14444399n n n n T +⋅=-⋅+1314499n n +-=⋅+. 18. 解：（Ⅰ）证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥， 平面EDAF平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴AC DE ⊥，由ABCD 为正方形得AC BD ⊥， 又BDDE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ， 又∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BDE .（Ⅱ）由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,0,3)E ，(2,0,2)F ， 设DH DB λ=，则(2,2,0)H λλ， 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由(2,2,3)BE =--，(2,0,1)EF =-，00n BE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得223020x y z x z --+=⎧⎨-=⎩取1x =得(1,2,2)n =， ∵//AH 平面BEF ，(22,2,0)AH λλ=-，∴2240λλ-+=，13λ=，22(,,0)33H，42(,,2)33FH=--，设FH与平面BEF所成的角为θ，则sin cos,n FHθ=214n FHn FH⋅==147=，∴FH与平面BEF所成角的正弦值为14.19. 解：（Ⅰ）设样本的中位数为x，则2250450(40)0.510001000100020x-++⋅=，解得51x≈，所得样本中位数为5100.（Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P xμσ≥+1(22)2P xμσμσ--<<+=10.95440.02282-==，0.0228650001482⨯=，估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上.（Ⅲ）Y的可能取值为0，1，2，3，35385(0)28CP YC===，12353815(1)28C CP YC===，21353815(2)56C CP YC===，33381(3)28CP YC===，∴Y 的分布列为012828EY =⨯+⨯2356568+⨯+⨯=.20.解：（Ⅰ）∵P 为线段TM 中垂线上一点， ∴PM PN PM PT +=+4TM ==， ∵(1,0)M -，(1,0)N ，∵42MN >=，∴P 的轨迹是以(1,0)M -，(1,0)N 为焦点，长轴长为4的椭圆，它的方程为22143x y +=. （Ⅱ）∵22y px =的焦点为(1,0)，2C 的方程为24y x =，当直线1l 斜率不存在时，2l 与2C 只有一个交点，不合题意. 当直线1l 斜率为0时，可求得4AC =，4BD =， ∴182ABCD S AC BD =⋅⋅=. 当直线1l 斜率存在且不为0时，方程可设为(1)(0)y k k k =-≠，代入22143x y +=得 222(34)8k x k x +-24120k +-=，2144(1)0k ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，12AC x =-=2212(1)34k k +=+.直线2l 的方程为1(1)y x k=--与24y x =可联立得22(24)10x k x -++=， 设33(,)B x y ，44(,)D x y ，则212244BD x x k =++=+，∴四边形ABCD 的面积12S AC BD =222112(1)(44)234k k k +=+⋅+22224(1)34k k +=+. 令234k t +=，则23(3)4t k t -=>， 2324(1)4()t S t t-+=31(2)2t t =++， ∴()S t 在(3,)+∞是增函数，()S(3)8S t >=， 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8,)+∞. 21. 解：（Ⅰ）2()2ln F x x x a x ax =--+，22(2)'()x a x a F x x +--=(2)(1)x a x x+-=， ∵()F x 的定义域为(0,)+∞. ①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增， ()1F x a =-极小，()F x 无极大值.②012a <-<即20a -<<时，()F x 在(0,)2a -和(1,)+∞上递增，在(,1)2a-上递减， ()()2aF x F =-极大2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小.③12a-=即2a =-时，()F x 在(0,)+∞上递增，()F x 没有极值. ④12a ->即2a <-时，()F x 在(0,1)和(,)2a -+∞上递增，()F x 在(1,)2a-上递减，∴()(1)1F x f a ==-极大，()()2aF x F =-极小2ln()42a a a a =---.综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()()2aF x F =-极大2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()(1)1F x f a ==-极大，()()2a F x F =-极小2ln()42a a a a =---. （Ⅱ）设sin ()2cos x h x ax x=-+(0)x ≥， 212cos '()(2cos )x h x a x +=-+， 设cos t x =，则[1,1]t ∈-，212()(2)t t t ϕ+=+，42(2)(1)'()(2)t t t t ϕ-+-=+32(1)0(2)t t --=≥+， ∴()t ϕ在[1,1]-上递增，∴()t ϕ的值域为1[1,]3-， ①当13a ≥时，'()0h x ≥，()h x 为[0,]+∞上的增函数， ∴()(0)0h x h ≥=，适合条件.②当0a ≤时，∵1()0222h a ππ=⋅-<，∴不适合条件. ③当103a <<时，对于02x π<<，sin ()3x h x ax <-， 令sin ()3x T x ax =-，cos '()3x T x a =-， 存在(0,)2x π∈，使得0(0,)x x ∈时，'()0T x <，∴()T x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0T x T <<，即在0(0,)x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.综上，a 的取值范围为1[,)3+∞.22. 选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）2sin()306πρθ+-=，sin cos 30θρθ+-=，即l 的普通方程为30x -=，2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.（Ⅱ）在330x +-=中令0y =得(3,0)P ， ∵3k =，∴倾斜角56πα=， ∴l 的参数方程可设为53cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即3312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y +=得23350t t -+=，70∆=>，∴方程有两解， 1233t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，12PA PB t t +=+1233t t =+=23. 选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）1a =时，()4f x ≥2214x x <-⎧⇔⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩， 52x ≤-或x φ∈或32x ≥， 解集为53(,][,)22-∞-+∞. （Ⅱ）由已知()3f x x ≤+在[0,1]上恒成立，∵20x +>，30x +>， ∴1x a -≤在[0,1]上恒成立，∵y x a =-的图象在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增， ∴01110211a a a a ⎧-≤-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤≤-≤⎩⎪⎩， ∴a 的取值范围是[0,1].。

2017-2018学年福建省龙岩市高考数学二模试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x∈Z|0≤x＜3}，集合B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{0，1}C．[0，1]D．{﹣1，0，1，2}2．若i为虚数单位，则在复平面中，表示复数的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．己知p：∀x＞﹣2，x2＞4，q：∃x∈R，cosx=e x，则下列中为假的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∨￢q4．设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（）A．﹣6 B．0 C．4 D．65．若sinα+2sin2=2（0＜α＜π），则tanα的值为（）A．1 B．C．D．不存在6．在3张奖券中，一等奖、二等奖各有1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则恰有一人获奖的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的单调递增区间是（）A．[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z B．[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈ZC．[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z D．[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z8．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+1）x是奇函数，则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为（）A．y=x B．y=x+1 C．y=1 D．y=09．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输出的a，b分别为17，23，则输入的S，T分别为（）A．S=40，T=120 B．S=40，T=126 C．S=42，T=126 D．S=42，T=13010．在等腰梯形ABCD中，=2，||=1，点M是线段DC上的动点，则•的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知点Q（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点P，使得∠OQP=60°，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]12．一慈善机构为筹集善款决定组织一场咅乐会．为筹备这场音乐会，必须完成A，B，C，D，E，F，G七项任务，每项任务所需时间及其关系（例如：E任务必须在A任务完成后才A．8周B．9周C．10周D．12周二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．双曲线x2﹣=1的焦点到渐近线的距离为______．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为正视图（主视图），侧视图（左视图），俯视图，则此几何体的表面积为______．15．若函数f（x）=2|x+a|（a∈R）满足f（1﹣x）=f（1+x），f（x）在区间[m，n]上的最大值记为f（x）max，最小值记为f（x）min，若f（x）max﹣f（x）min=3，则n﹣m的取值范围是______．16．在边长为1的正三角形ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，沿线段DE折叠三角形ABC，使顶点A正好落在BC边上，则AD长度的最小值为______．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程17．数列{a n}的前n项和为S n，若a2=4，且S n=a n+1﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若c n=﹣20+log2a4n，求{c n}的前n项和T n的最小值．18．某大学为了解某专业新生的综合素养情况，从该专业新生中随机抽取了2n（n∈N*）名学生，再从这2n名学生中随机选取其中n名学生参加科目P的测试．另n名学生参加科目Q的测试．每个科目成绩分別为1分，2分，3分，4分，5分．两个科目测试成绩整理成如图统计图，已知在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人．（Ⅰ）分别求在两个科目中成绩为5分的学生人数〔Ⅱ）根据统计图，分别估计：（i）该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；（ii）该专业新生在这两个科目中，哪个科目的个体成绩差异较为明显．（结论不要求证明）19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC⊥BD，AD⊥AC，CD=2，∠ACD=30°，∠DCB=45°，AO⊥平面BCD，垂足O恰好在BD上．（Ⅰ）证明：BC⊥AD；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD的体积．20．已知点P到两个顶点M（﹣1，0），N（1，0）距离的比为（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程（Ⅱ）过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，设点A关于x轴的对称点为Q（A，Q两点不重合），证明：点B，N，Q在同一条直线上．21．已知函数f（x）=ax﹣lnx．（Ⅰ）若a≤1，证明：x≥1时，x2≥f（x）恒成立；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）的零点个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．AC是圆O的直径，BD是圆O在点C处的切线，AB、AD分别与圆O相交于E，F，EF与AC相交于M，N是CD中点，AC=4，BC=2，CD=8（Ⅰ）求AF的长；（Ⅱ）证明：MN平分∠CMF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C1经过点（2，3），求直线C1的普通方程；若圆C2经过点（2，2），求圆C2的普通方程；（Ⅱ）点P是圆C2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+a|x﹣2|，a∈R（Ⅰ）若函数f（x）存在最小值，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，有f（x）≥，求a的值．2016年福建省龙岩市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x∈Z|0≤x＜3}，集合B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{0，1}C．[0，1]D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】列举出A中的元素确定出A，求出B中不等式解集的整数解确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|0≤x＜3}={0，1，2}，集合B={x∈Z|x2≤1}={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，∴A∩B={0，1}，故选：B．2．若i为虚数单位，则在复平面中，表示复数的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先将复数化简，再确定对应复平面上的点，由此可得结论．【解答】解：由题意，对应复平面上的点为，在第四象限故选D．3．己知p：∀x＞﹣2，x2＞4，q：∃x∈R，cosx=e x，则下列中为假的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∨￢q【考点】复合的真假．【分析】p：是假，例如取x=0时，不成立．q：如图所示，是真．或取x=0即可判断出真假【解答】解：p：∀x＞﹣2，x2＞4，是假，例如取x=0时，不成立．q：∃x∈R，cosx=e x，如图所示，是真．（或取x=0即可判断出真假）．则下列中为假的是p∧q．故选：B．4．设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（）A．﹣6 B．0 C．4 D．6【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（2，4），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：4．故选：C．5．若sinα+2sin2=2（0＜α＜π），则tanα的值为（）A ．1B ．C ．D ．不存在【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角的余弦函数化简已知条件，然后求解所求表达式的值．【解答】解：sin α+2sin 2=2（0＜α＜π），可得sin α+2sin 2﹣1=1（0＜α＜π），即sin α﹣cos α=1（0＜α＜π），可得α=．则tan α的值为：不存在．故选：D ．6．在3张奖券中，一等奖、二等奖各有1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则恰有一人获奖的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】恰有一人获奖的对立事件是两人都获奖，由此利用对立事件概率计算公式能求出恰有一人获奖的概率．【解答】解：∵在3张奖券中，一等奖、二等奖各有1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，∴恰有一人获奖的对立事件是两人都获奖， ∴恰有一人获奖的概率：p=1﹣=．故选：A ．7．已知函数f （x ）=sin （ωx ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）的单调递增区间是（ ）A ．[﹣+2k π， +2k π]，k ∈ZB ．[﹣+2k π， +2k π]，k ∈ZC ．[﹣+k π，+k π]，k ∈Z D ．[﹣+k π，+k π]，k ∈Z【考点】正弦函数的单调性．【分析】由函数的周期求得ω，再由函数的图象平移得到g （x ）的解析式，最后由相位在正弦函数的增区间内求得x 的范围得答案．【解答】解：∵函数f （x ）=sin （ωx ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，∴，得ω=2．则f（x）=sin（2x﹣）．将其图象向左平移个单位，得g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．由，得．∴函数y=g（x）的单调递增区间是[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z．故选：C．8．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+1）x是奇函数，则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为（）A．y=x B．y=x+1 C．y=1 D．y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由奇函数的定义，可得f（﹣x）=﹣f（x），可得a=0，f（x）=x3+x，求出导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即有﹣x3+ax2﹣（a+1）x=﹣x3﹣ax2﹣（a+1）x，可得a=0，即f（x）=x3+x，导数为f′（x）=3x2+1，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为k=1，切点为（0，0），即有曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=x．故选：A．9．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输出的a，b分别为17，23，则输入的S，T分别为（）A．S=40，T=120 B．S=40，T=126 C．S=42，T=126 D．S=42，T=130【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输入S，T的值，当T≥2S，且T=2S能被2整除时，计算b=，a=S﹣b的值，由输出的a，b分别为17，23，即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输入S，T的值，当T≥2S，且T=2S能被2整除时，计算b=，a=S﹣b的值，若输出的a，b分别为17，23，则：17=S﹣23，解得：S=40，由b=，可得：23=，解得：T=126．故选：B．10．在等腰梯形ABCD中，=2，||=1，点M是线段DC上的动点，则•的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，垂足为O，从而便可以O为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B点的坐标，并设OD=d，从而可设M（x，d），且0≤x≤1，从而可以求出向量的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可得到，由x的范围即可求出的最大值．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为O，以O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则由题意得：，设OD=d，M（x，d），0≤x≤1；∴；∴；∵0≤x≤1；∴x=1时，取最大值3．故选：C．11．已知点Q（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点P，使得∠OQP=60°，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点Q（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OQP=60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OQP=60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP=1，=．图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是[﹣，]．故选：D．12．一慈善机构为筹集善款决定组织一场咅乐会．为筹备这场音乐会，必须完成A，B，C，D，E，F，G七项任务，每项任务所需时间及其关系（例如：E任务必须在A任务完成后才A．8周B．9周C．10周D．12周【考点】统筹问题的思想及其应用的广泛性．【分析】根据各筹备任务的先后顺序做出统筹安排，尽量将多项工作同时展开以节约时间．【解答】解：第一周任务ABC，第二周任务AC，第三周任务CE，第四周任务CE，第五周到第七周任务D，第八周任务FG，第九周任务G．故最短需要9周完成筹备任务．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．双曲线x2﹣=1的焦点到渐近线的距离为3．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣，0），（，0），渐近线方程为y=±3x所以焦点到其渐近线的距离d==3．故答案为：3．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为正视图（主视图），侧视图（左视图），俯视图，则此几何体的表面积为9+9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，由面积公式求出各个面，求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是3，且AC⊥BC，PB⊥平面ABC，∴AB==3，PA==3，PC==3，∴PA2=PC2+AC2，即PC⊥AC，则几何体的表面积S==9+9，故答案为：9+9．15．若函数f（x）=2|x+a|（a∈R）满足f（1﹣x）=f（1+x），f（x）在区间[m，n]上的最大值记为f（x）max，最小值记为f（x）min，若f（x）max﹣f（x）min=3，则n﹣m的取值范围是（0，4] ．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据函数f（x）=2|x+a|满足f（1﹣x）=f（1+x）得出f（x）的图象关于x=1对称，求出a的值，写出f（x）的解析式，再讨论m、n的取值范围，求出f（x）在区间[m，n]上的最大值与最小值的差，从而求出n﹣m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=2|x+a|（a∈R）满足f（1﹣x）=f（1+x），∴f（x）的图象关于x=1对称，∴a=﹣1，∴f（x）=2|x﹣1|；当m＜n≤1或1≤m＜n时，离对称轴越远，m、n差越小，极限值是0；当m＜1＜n时，函数f（x）在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为：f（x）max﹣f（x）min=2|±2|﹣20=3，则n﹣m取得最大值是2﹣（﹣2）=4；∴n﹣m的取值范围是（0，4]．故答案为：（0，4]．16．在边长为1的正三角形ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，沿线段DE折叠三角形ABC，使顶点A正好落在BC边上，则AD长度的最小值为2﹣3．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】在图（2）中连接DP，由折叠可知AD=PD，根据等边对等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP为三角形ADP的外角，若设∠BAP为θ，则有∠BDP为2θ，再设AD=PD=x，根据正弦定理建立函数关系，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的最大值，进而得出x 的最小值，即为AD的最小值．【解答】解：显然A，P两点关于折线DE对称，连接DP，图（2）中，可得AD=PD，则有∠BAP=∠APD，设∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，再设AD=DP=x，则有DB=1﹣x，在△ABC中，∠APB=180°﹣∠ABP﹣∠BAP=120°﹣θ，∴∠BPD=120°﹣2θ，又∠DBP=60°，在△BDP中，由正弦定理知=∴x=，∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ=90°，即θ=15°时，sin=1．此时x取得最小值=2﹣3，且∠ADE=75°．则AD的最小值为2﹣3．故答案为：2﹣3．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程17．数列{a n}的前n项和为S n，若a2=4，且S n=a n+1﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若c n=﹣20+log2a4n，求{c n}的前n项和T n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．=a n﹣2（n≥2），作差【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式结合a2=4求得数列首项，得到S n﹣1后可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入c n=﹣20+log2a4n，分组求和后利用二次函数的最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=a n+1﹣2，=a n﹣2（n≥2），∴S n﹣1则a n+1=2a n（n≥2），又a2=4，∴a1=S1=a2﹣2=2，即a2=2a1．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则；（Ⅱ）c n=﹣20+log2a4n=．∴T n==2n2﹣18n．∴当n=4或5时，{c n}的前n项和T n的最小值．此时T4=T5=﹣40．18．某大学为了解某专业新生的综合素养情况，从该专业新生中随机抽取了2n（n∈N*）名学生，再从这2n名学生中随机选取其中n名学生参加科目P的测试．另n名学生参加科目Q的测试．每个科目成绩分別为1分，2分，3分，4分，5分．两个科目测试成绩整理成如图统计图，已知在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人．（Ⅰ）分别求在两个科目中成绩为5分的学生人数〔Ⅱ）根据统计图，分别估计：（i）该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；（ii）该专业新生在这两个科目中，哪个科目的个体成绩差异较为明显．（结论不要求证明）【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）求出参加科目P测试的学生人数为8÷0.20=40．参加科目Q测试的学生人数也为40人，即可求在两个科目中成绩为5分的学生人数〔Ⅱ）（i）求出科目P、Q测试成绩的平均值，即可求出该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；（ii）整体上看该专业新生科目P的个体成绩差异更为明显．【解答】解：（Ⅰ）∵在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人．∴参加科目P测试的学生人数为8÷0.20=40．由题意，参加科目Q测试的学生人数也为40人，∴在科目P测试中，成绩为5分的学生人数为40×（1﹣0.375﹣0.25﹣0.20﹣0.075）=4；参加科目Q测试的学生中，成绩为5分的学生人数为40﹣2﹣18﹣15=5；〔Ⅱ）（i）科目P测试成绩的平均值为==3.1分；科目P测试成绩的平均值为==3.575分，∴由此估计该专业新生科目Q的平均成绩高于科目P的平均成绩；（ii）整体上看该专业新生科目P的个体成绩差异更为明显（即较不稳定）．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC⊥BD，AD⊥AC，CD=2，∠ACD=30°，∠DCB=45°，AO⊥平面BCD，垂足O恰好在BD上．（Ⅰ）证明：BC⊥AD；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由AO⊥平面BCD，得AO⊥BC，又已知BC⊥BD，且AO∩BD=O，由线面垂直的判定得BC⊥平面ABD，即可证得BC⊥AD；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AD⊥BC，又AD⊥AC，BC∩AC=C，得AD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，得AD⊥AB，由已知CD，求得BD，AD，进一步可求出AB，得到△ABD为等腰直角三角形，故O为BD的中点，求出OD，即可求出三棱锥A﹣BCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由AO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，得AO⊥BC，又∵BC⊥BD，且AO∩BD=O，∴BC⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，AD⊥BC，又AD⊥AC，BC∩AC=C，∴AD⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，∴AD⊥AB，由已知CD=2，得BD=DCsin45°=，AD=DCsin30°=1，∴AB=1，∴△ABD为等腰直角三角形，故O为BD的中点．∴OD=BD=，∴×．20．已知点P到两个顶点M（﹣1，0），N（1，0）距离的比为（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程（Ⅱ）过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，设点A关于x轴的对称点为Q（A，Q两点不重合），证明：点B，N，Q在同一条直线上．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用点P到两个顶点M（﹣1，0），N（1，0）距离的比为，建立等式，化简，即可求得动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线方程，代入轨迹C的方程，利用韦达定理，证明k BN﹣k QN=0，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：设P（x，y），则∵点P到两个顶点M（﹣1，0），N（1，0）距离的比为，∴=，整理得x2+y2﹣6x+1=0，∴动点P的轨迹C的方程是x2+y2﹣6x+1=0；（Ⅱ）证明：由题意，直线l存在斜率，设为k（k≠0），直线l的方程为y=k（x+1）代入x2+y2﹣6x+1=0，化简得（1+k2）x2+（2k2﹣6）x+k2+1=0，△＞0，可得﹣1＜k＜1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，﹣y1），且x1x2=1，∴k BN﹣k QN=﹣==0，∴B，N，Q在同一条直线上．21．已知函数f（x）=ax﹣lnx．（Ⅰ）若a≤1，证明：x≥1时，x2≥f（x）恒成立；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，确定函数的单调性，求出函数的最小值，从而证明即可；（Ⅱ）求出函数的导数，判断导函数的符号，从而求出函数的单调性，求出函数的最小值，通过讨论a的范围，判断最小值的符号，求出函数的零点个数即可．【解答】证明：（Ⅰ）令g（x）=x2﹣ax+lnx，（x≥1），则g′（x）=2x﹣a+，∵x≥1，∴g′（x）=2x﹣a+≥2﹣a，∵a≤1，∴g′（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数，∴g（x）≥g（1）=1﹣a≥0，即，当x≥1时，x2≥f（x）恒成立；解：（Ⅱ）函数y=f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=a﹣，∵a＞0，令f′（x）=0，得x=＞0，又∵f′（x）=a﹣是增函数，∴在区间（0，）上，f′（x）＜0，y=f（x）是减函数，在区间（，+∞）上，f′（x）＞0，函数y=f（x）是增函数，∴函数y=f（x）的最小值是f（）=1+lna，①当a＞时，∵f（）＞0，∴f（x）没有零点，②a=e时，∵f（）=0，∴f（x）有且只有1个零点，③0＜a＜时，∵f（）＜0，f（1）=a＞0，又当x0＞，且x0＞e a时，f（x0）＞f（e a）=a（e a﹣1）＞0，故函数y=f（x）有且只有2个零点，综上，a＞时，f（x）没有零点，a=e时，f（x）有且只有1个零点，0＜a＜时，函数y=f（x）有且只有2个零点．[选修4-1：几何证明选讲]22．AC是圆O的直径，BD是圆O在点C处的切线，AB、AD分别与圆O相交于E，F，EF与AC相交于M，N是CD中点，AC=4，BC=2，CD=8（Ⅰ）求AF的长；（Ⅱ）证明：MN平分∠CMF．【考点】相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）连接CF，证明AC⊥CD，利用射影定理求AF的长；（Ⅱ）证明CF⊥MN，利用MC=MF，即可证明：MN平分∠CMF．【解答】（Ⅰ）解：连接CF，∵AC是圆O的直径，∴CF⊥AF，∵BD是圆O在点C处的切线，∴AC⊥CD．Rt△ACD中，AD==4，根据射影定理，AC2=AF•AD，∴AF；（Ⅱ）证明：∵AC=4，BC=2，CD=8，∠ACB=∠ACD=90°，∴△ACB∽△DCA，∴∠BAC+∠CAD=90°，∴EF是圆的直径，即M是圆心．∵N是CD中点，∴MN∥AD，∴CF⊥MN．∵MC=MF，∴MN平分∠CMF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C1经过点（2，3），求直线C1的普通方程；若圆C2经过点（2，2），求圆C2的普通方程；（Ⅱ）点P是圆C2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x﹣1）tanα+2，把点（2，3）代入，解得tanα，即可得出直线C1的普通方程．由圆C2：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α化为普通方程，把点（2，2）代入解得t2，即可得出圆C2的普通方程．（II）由题意可得：|OP|max=|OC2|+|t|，代入解得t即可得出．【解答】解：（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x﹣1）tanα+2，∵直线C1经过点（2，3），∴3=tanα+2，解得tanα=1．∴直线C1的普通方程为y=x+1．圆C2：（α为参数），化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=t2，∵圆C2经过点（2，2），∴t2=1，∴圆C2的普通方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．圆心C2=（1，2），半径r=1．（II）由题意可得：|OP|max=|OC2|+|t|，∴4=+|t|，解得t=±（4﹣）．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+a|x﹣2|，a∈R（Ⅰ）若函数f（x）存在最小值，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，有f（x）≥，求a的值．【考点】全称；绝对值不等式的解法．【分析】（I）由题意可知：f（x）=，由于f（x）存在最小值，可得，解得a即可得出．（II）由（I）可知：a≥﹣1，因此，或，解得a即可得出．【解答】解：（I）由题意可知：f（x）=，∵f（x）存在最小值，∴，解得a≥﹣1．（II）由（I）可知：a≥﹣1，因此，或，解得a=．2016年9月20日。

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查理科综合能力测试(考试时间:150分钟;满分:300分)本试卷分为第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。

第I卷为必考题,第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。

本试卷共14页。

满分300分,考试时时间150分钟注意事项1.答题前,考生务必先将自己的姓名填写在答题卡上。

2.考生做答时,请将答案填写在答题卡上,在本试卷上答题无效;按照题号在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。

3.选择题答案必须使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、字迹清楚。

4.做选考题时,请考生按照题目要求作答。

请按照题号在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。

5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。

6.可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 O-16 S-32 V-51 Br-80第I卷选择题(共126分)一、选择题:本题共13小题,每小题6分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

1.哺乳动物的防御素是一类小分子抗菌多肽,含有三对二硫键,可以在细菌细胞膜上形成多个通道,让防御素和其他胞外分子进入细菌,同时细菌内的重要物质渗出,从而导致细菌死亡。

下列有关分析不正确的是A.防御素的二硫键是在两个氨基酸的R基之间形成B.防御素改变了细菌细胞膜的通透性C.防御素通过协助扩散进入细菌D.细菌的死亡不属于细胞凋亡2.某研究小组利用3%鸡肝匀浆、3%H2O2溶液、pH缓冲液等,在适宜温度下探究pH对过氧化氢酶活性的影响,实验结果如下表。

该实验能得出的结论是A.过氧化氢酶具有高效性B.鸡肝匀浆中过氧化氢酶最适pH一定为7.0C. pH为7.0时提高温度,酶活性会提高D.过氧化氢酶对酸性环境的耐受性较低3.下图是免疫调节过程的部分模式图,下列相关叙述不正确的是A.物质1作用于细胞③,体现了细胞膜具有进行细胞间信息交流的功能B.细胞②和细胞③是造血干细胞受到抗原刺激后增殖、分化形成的C.二次免疫时,细胞④的产生可不需要细胞①、细胞②、细胞③参与D.当物质Ⅱ攻击自身物质时引起的疾病属于自身免疫病4.油菜素甾醇(BR)是一种植物生长调节物质, BRIL是BR的细胞膜受体。

福建省龙岩市2018届高三毕业班教学质量检查数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解二次不等式可得：，则，由Venn图可知图中阴影部分为：.本题选择D选项.2. 复数（为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则复数（为虚数单位）的虚部为.本题选择B选项.3. 设，满足约束条件，则目标函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标还是的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，其最小值为：.本题选择A选项.4. 如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】频率分布直方图中，考查最高的条形图可知该班学生成绩的众数为，设中位数为，由题意可得：，求解关于实数的方程可得：.综上可估计该班学生成绩的众数、中位数分别为，.本题选择D选项.5. 函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】整理函数的解析式有：结合三角函数的性质可知，函数的单调递增区间满足：，求解不等式可得函数的单调递增区间是.本题选择B选项.6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中两个小矩形面积相等，则该“堑堵”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的侧面积S==4+4，故选：C．7. 已知直线：与：，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则或，经检验，当时，与重合，∴，故是充分不必要条件，故选A．8. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入s=0，n=1＜2018，s=0，n=2＜2018，s=﹣1，n=3＜2018，s=﹣1，n=4＜2018，s=0，n=5＜2018，…，由2018=504×4+2得，输出s=0，故答案为：C．9. 函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示，表示函数在点处切线的斜率，表示函数在点处切线的斜率，表示直线的斜率，结合所给的函数图像可知：，即.本题选择A选项.10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，当点位于第二象限时，过点作，轴于点，由抛物线的定义可得：，由平行线的性质结合相似三角形的性质可得：，据此有：，则，直线的方程为：，联立直线方程与抛物线方程有：.结合焦点弦公式可得：.结合对称性可知，当点位于第三象限时仍然有.综上可得：.本题选择C选项.11. 已知向量，满足，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，，两式相加可得：如图所示，在平面直角坐标系中，，以坐标原点为圆心，为半径绘制单位圆，为圆的直径，则为满足题意的向量，其中，据此可得：，，据此可得：，，据此可得：，结合三角函数的性质可得：当时，，当时，，综上可得：的取值范围是.本题选择D选项.12. 已知正方体的棱长为，点是底面的中点，点是正方形内的任意一点，则满足线段的长度不小于的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，正方形内与点距离相等的点组成的轨迹为圆，该圆与点P构成一个圆锥，如图所示，满足题意时，圆的半径，如图所示，正方形内满足题意的点构成图中的阴影部分，由几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为：.本题选择B选项.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.13. 函数在区间上的最大值为__________．【答案】8【解析】由函数的解析式可知函数是定义在区间上的单调递减函数，则函数的最大值为：.14. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于__________．【答案】3【解析】不妨考查焦点到准线的距离：，由题意结合双曲线的性质有：，求解方程组可得：，则此双曲线的焦距为：.15. 如图，中，，为边上的一点，，，，则__________．【答案】【解析】在△BCD中应用正弦定理有：，则，，则，在△ACD中，由余弦定理有：.16. 已知函数，则的值为__________．【答案】3027【解析】考查函数有：，则，，两式相加有：，函数关于点中心对称，则，则，，两式相加有：，据此可得的值为：.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知是数列的前项和，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.解：（Ⅰ）因为①，所以②，②-①得：，即，又，所以.（Ⅱ），令，则，所以.18. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表：年份储蓄存款（千亿元）为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令，），得到下表：时间储蓄存款（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出关于的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程，其中，.解：（Ⅰ），，，，，，∴.（Ⅱ），，代入得到：，即.（Ⅲ）∴，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.19. 已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.（Ⅰ）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥的体积.解：（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求.证明：取中点，连结，∵为腰长为的等腰三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面，平面，∴平面.又，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又，平面，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，由（Ⅰ）可知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又是边长为的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴平面，∴，又为中点，∴，又，，∴.∴.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于，两点，当直线过点时，的周长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当直线绕点运动时，试求的取值范围.解：（Ⅰ）∵的周长为，∴，又，∴，∴，∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设，两点坐标分别为，，当直线与轴重合时，点与上顶点重合时，，当直线与轴重合时，点与下顶点重合时，，当直线斜率为时，，当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，联立，得，则有，①②设，则，代入①②得③④∴，即，解得，综上，21. 已知，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.解：（Ⅰ），当时，，.∴在上单调递增；当时，由，得.当时，；当时，.所以在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）令，问题转化为在上恒成立，，注意到.当时，，，因为，所以，，所以存在，使，当时，，递减，所以，不满足题意.当时，，当时，，，所以，在上单调递增；所以，满足题意.综上所述：.22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（Ⅰ）求直线和曲线的普通方程；（Ⅱ）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求.解：（Ⅰ），化为，即的普通方程为，消去，得的普通方程为.（Ⅱ）在中令得，∵，∴倾斜角，∴的参数方程可设为即，代入得，，∴方程有两解，，，∴，同号，.23. 已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集包含，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）时，或或，或或，解集为.（Ⅱ）由已知在上恒成立，∵，，∴在上恒成立，∵的图象在上递减，在上递增，∴，∴的取值范围是.。

福建省龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的•11-若集合 A={y|y=x 3} , B={x y = l n （x —1）}，则 A“B =（）A. [1,-- ） B . （0,1）C. （1厂）D. （_：：,1）2. 已知纯虚数z 满足（1 -2i ）z =1 ai ，则实数a 等于（）1 1 A.B .C. -2D . 22223. 在等差数列{a n }中，已知是函数f （x ）二x -4x 3的两个零点，贝U {a n }的前9项 和等于（ ） A. -18B . 9C. 18 D . 364.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）5. 下列关于命题的说法错误的是（ ）A.命题“若x 2 -3x • 2 =0，则x =2 ”的逆否命题为“若A. 31 C.-2D.x = 2，贝U x 2 -3x 2 = 0 ”;BB. “ a =2 ”是“函数f（x） =log a x在区间（0,上为增函数”的充分不必要条件;若命题 p: n N , 2n 1000，则—p: -n N , 2n1000 ；7.已知向量OA 与OB 的夹角为60°，且|OA|=3, |OB^2，若OC ^mOA nOB ,寸），若二取3,其体积为13.5 （立方寸），则图中的X 为（（第8邈图）A. 2.4 B . 1.8 C . 1.6 D . 1.2X -1 I9.设不等式组 x - y 乞0，表示的平面区域为 M ，若直线y 二kx - 2上存在M 内的点，则x y 空4实数k 的取值范围是（ ）A [1,3]B .（」：,1]U 【3,二）C. [2,5]D.（」：,2山[5,二）10.已知三棱锥P - ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中ABC 是正三角形，PA —平面 ABC , PA =2AB =2.3，则该球的表面积为（） A. 8 二B . 16二C. 32二D. 36■:J52211.已知离心率为 —的双曲线C : ~ 1（a 0, b 0）的c.D. 命题"-.X 三（- ：：,0） , 2X ：：：3x ”是假命题. 6.（x -1）（x 2）6的展开式中 4X 的系数为（A. 100 B . 15 C.-35 D . -220OC_AB ，则实数m 的值为n1 B.—41 A.-68•中国古代数学著《九章算术》 C. 6 D . 4中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位:左、右焦点分别为F2, M2 a2b2是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM _MF2, O为坐标原点，若S.p M F2 =16，则双曲线C的实轴长是( )A. 32 B . 16 C . 8 D . 412.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(一1,0)中心对称，其导函数f'(x)，当X ::：-1 时，(x • 1)[f (x) (x 1)f '(x)] < 0，则不等式xf (x -1) • f (0)的解集为( ) A. (1,」;) B. (_：：,_1) C. (—1,1) D.(-：：,第u卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)―313. 设v为钝角，若sin(八§)，则COST的值为 ____________ .14. 过抛物线C : y2 = 4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B，若AF = 4BF ，贝U直线I的斜率是_______ .15.已知各项不为零的数列｛a n｝的前n项的和为S n，且满足S n「a n -1，若｛a n｝为递增数列，贝y ■的取值范围为__________ .216.若实数a, b, C, d 满足2a g = 3C ~2=1，则(a - c)2■ (b - d)2的最小值b d三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知f(x) 2 x sin x cos x -(1 )求f(x)的单调增区间;(2)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A为锐角且f(A) ,b，c = 4，2求a的取值范围.18.如图，在梯形ABCD 中，AB // CD，AD = DC =CB = 2，Z ABC =60°，平面ACEF —平面ABCD，四边形ACEF是菱形，• CAF =60。

福建省龙岩高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一上·成都月考) 设全集 R，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·河南模拟) 若复数（为虚数单位）是实数，则实数等于（）A . 2B . 1C . 0D . -13. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P （﹣2≤ξ≤1）=（）A . 0.21B . 0.58C . 0.42D . 0.294. （2分）“a＜﹣4”是函数f（x）=ax+3在[﹣1，1]上存在零点的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分）(2018·临川模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .6. （2分）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）已知正方形ABCD的三个顶点A（1，1），B（1，3），C（3，3），点P（x，y）在正方形ABCD的内部，则z=-x+y的取值范围是（）A . (-2,2)B . (-1,1)C . (-2,1)D . (0,2)8. （2分）在直角坐标系xoy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分） (2016高二上·包头期中) 设双曲线的焦点为F1、F2 ，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则| |=（）A . 5B . 4C . 3D . 210. （2分）已知函数f（x）= ，若方程f（x）=a有四个不同解x1 ， x2 ， x3 ，x4 ，且x1＜x2＜x3＜x4 ，则x3（x1+x2）+ 的取值范围为（）A . [1，）B . [1， ]C . [﹣1， ]D . [﹣1，）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2015高三上·泰安期末) 直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是________．12. （1分） (2017高二下·咸阳期末) 二项式（ax﹣）3的展开式的第二项系数为﹣，则a2的值为________．13. （1分）(2017·深圳模拟) 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷．卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图，是解决这类问题的程序框图，若输入n=40，则输出的结果为________．14. （1分） (2018高二下·辽源月考) 在区间上随机取一个数x，则的概率为________15. （1分） (2018高一上·西宁期末) 已知函数的定义域是，且满足，.如果对于，都有，则不等式的解集为________（表示成集合）．三、解答题 (共6题；共45分)16. （15分）已知函数f（x）=[2sin（x+ ）+sinx]cosx﹣ sin2x．（1）求f（x）的最小正周期（2）若存在x0∈[0， ]使mf（x0）﹣2=0成立，求实数m的取值范围．（3）△ABC为锐角三角形，且∠B=2∠A，求的取值范围．17. （5分） (2017高二下·红桥期末) 现有某批次同一型号的产品共10件，其中有8件合格品，2件次品．（Ⅰ）某检验员从中有放回地连续抽取产品2次，每次随机抽取1件，求两次都取到次品的概率；（Ⅱ）若该检验员从中任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中次品的件数，求X的分布列．18. （5分）(2017·山东) 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（12分）（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．19. （5分） (2016高二上·会宁期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1﹣2an ．证明：数列{bn}是等比数列．20. （5分） (2018高三上·湖南月考) 已知函数．（Ⅰ）若为的极值点，求的值；（Ⅱ）若在单调递增，求的取值范围．（Ⅲ）当时，方程有实数根，求的最大值．21. （10分） (2020高三上·泸县期末) 已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.（1）求椭圆及圆的方程；（2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共45分) 16-1、16-2、16-3、17-1、19-1、21-1、21-2、。

龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{|2,}xB y y x A ==∈，则AB =（ ）A ．(,1)-∞B ．[0,1]C ．(0,1]D ．[0,2) 2.已知函数32()2b f x x x =+，则0b <是()f x 在0x =处取得极小值的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知1z 与2z 是共轭虚数，有4个命题①12z z =；②1212z z z z =；③12z z R +∈；④2212z z <，一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③D ． ①②③ 4.sin ()((,0)(0,))xf x x xππ=∈-大致的图象是（ ）A ．B ． C. D ． 5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ．14 B．6+．8+．8+ 7.若实数x ，y 满足422log 4log x y +=+8log ()x y =+，则11x y+的值为（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．48.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．99.已知抛物线24y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（ ）A ．5或5 C ．5或5D ．5或10.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．23π C ．2πD ．34π11.在四面体ABCD 中，BCD ∆与ACD ∆均是边长为4的等边三角形，二面角A CD B --的大小为60，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．2089π B ．529π C ．643π D ．523π12.记函数()2x f x e x a -=--，若曲线3([1,1])y x x x =+∈-上存在点00(,)x y 使得00()f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．22(,6][6,)e e --∞-++∞ B ．22[6,6]e e --+C ．22(6,6)ee --+D ．22(,6)(6,)e e --∞-++∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.已知向量(1,0)a =，(,2)b λ=，2a b a b +=-，则λ=．14.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是．（用数字作答）15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为．16.已知ABC ∆的内角A 的平分线交BC 于点D ，ABD ∆与ADC ∆的面积之比为2:1，2BC =，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S a a =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 是等比数列，且14b =，358b b b =，令2n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中5EC =，4BF =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）已知点H 在线段BD 上，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值. 19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布2(51,15)N ，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附：若2(,)XN ϕσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.20.平面直角坐标系xOy 中，圆222150x y x ++-=的圆心为M .已知点(1,0)N ，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的中垂线交TM 于点P .（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设点P 的轨迹为曲线1C ，抛物线2C ：22y px =的焦点为N .1l ，2l 是过点N 互相垂直的两条直线，直线1l 与曲线1C 交于A ，C 两点，直线2l 与曲线2C 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21.已知函数2()2ln f x x x a x =--，()g x ax =.（Ⅰ）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （Ⅱ）若不等式sin ()2cosxg x ≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（Ⅱ）若不等式()3f x x ≤+的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CDDDC 6-10: CBABB 11、12：AB 二、填空题13. 12-14. 4843三、解答题17.解：（Ⅰ）由242n n n S a a =+得211142(2)n n n S a a n ---=+≥， 两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，∴11()()n n n n a a a a --+-12()0n n a a --+=， ∵0n a >，∴12n n a a --=，又由21111442S a a a ==+得10a >得12a =，{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，从而2n a n =.（Ⅱ）设{}n b 公比为q ，则由358b b b =可得247164q q q =，∴4q =，∴4nn b =，∴数列{}n c 满足4nn c n =⋅，它的前n 项之和23142434n T =⋅+⋅+⋅4nn +⋅⋅⋅+⋅①，2241424n T =⋅+⋅+⋅⋅⋅1(1)44n n n n ++-⋅+⋅②，①-②得2134444n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅14(14)414n n n +-=-⋅-14(41)43n n n +=--⋅， ∴14444399n n n n T +⋅=-⋅+1314499n n +-=⋅+. 18.解：（Ⅰ）证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥， 平面EDAF平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴AC DE ⊥，由ABCD 为正方形得AC BD ⊥， 又BDDE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ， 又∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BDE .（Ⅱ）由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,0,3)E ，(2,0,2)F ， 设DH DB λ=，则(2,2,0)H λλ， 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由(2,2,3)BE =--，(2,0,1)EF =-，00n BE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得223020x y z x z --+=⎧⎨-=⎩取1x =得(1,2,2)n =， ∵//AH 平面BEF ，(22,2,0)AH λλ=-， ∴2240λλ-+=，13λ=，22(,,0)33H ，42(,,2)33FH =--， 设FH 与平面BEF 所成的角为θ，则sin cos ,n FH θ=214n FHn FH⋅==7=，∴FH 与平面BEF .19. 解：（Ⅰ）设样本的中位数为x ，则2250450(40)0.510001000100020x -++⋅=， 解得51x ≈，所得样本中位数为5100. （Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P x μσ≥+1(22)2P x μσμσ--<<+=10.95440.02282-==，0.0228650001482⨯=，估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上. （Ⅲ）Y 的可能取值为0，1，2，3，35385(0)28C P Y C ===，12353815(1)28C C P Y C ===，21353815(2)56C C P Y C ===，33381(3)28C P Y C ===， ∴Y 的分布列为012828EY =⨯+⨯2356568+⨯+⨯=.20.解：（Ⅰ）∵P 为线段TM 中垂线上一点， ∴PM PN PM PT +=+4TM ==， ∵(1,0)M -，(1,0)N ，∵42MN >=，∴P 的轨迹是以(1,0)M -，(1,0)N 为焦点，长轴长为4的椭圆，它的方程为22143x y +=. （Ⅱ）∵22y px =的焦点为(1,0)，2C 的方程为24y x =，当直线1l 斜率不存在时，2l 与2C 只有一个交点，不合题意. 当直线1l 斜率为0时，可求得4AC =，4BD =， ∴182ABCD S AC BD =⋅⋅=. 当直线1l 斜率存在且不为0时，方程可设为(1)(0)y k k k =-≠，代入22143x y +=得 222(34)8k x k x +-24120k +-=，2144(1)0k ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，12AC x =-=2212(1)34k k+=+. 直线2l 的方程为1(1)y x k=--与24y x =可联立得22(24)10x k x -++=， 设33(,)B x y ，44(,)D x y ，则212244BD x x k =++=+， ∴四边形ABCD 的面积12S AC BD =222112(1)(44)234k k k +=+⋅+22224(1)34k k +=+. 令234k t +=，则23(3)4t k t -=>， 2324(1)4()t S t t-+=31(2)2t t =++，∴()S t 在(3,)+∞是增函数，()S(3)8S t >=， 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8,)+∞.21. 解：（Ⅰ）2()2ln F x x x a x ax =--+，22(2)'()x a x a F x x +--=(2)(1)x a x x+-=，∵()F x 的定义域为(0,)+∞. ①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增， ()1F x a =-极小，()F x 无极大值.②012a <-<即20a -<<时，()F x 在(0,)2a -和(1,)+∞上递增，在(,1)2a-上递减， ()()2aF x F =-极大2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小.③12a-=即2a =-时，()F x 在(0,)+∞上递增，()F x 没有极值. ④12a ->即2a <-时，()F x 在(0,1)和(,)2a -+∞上递增，()F x 在(1,)2a-上递减，∴()(1)1F x f a ==-极大，()()2aF x F =-极小2ln()42a a a a =---.综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()()2aF x F =-极大2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值； 2a <-时，()(1)1F x f a ==-极大，()()2aF x F =-极小2ln()42a a a a =---.（Ⅱ）设sin ()2cos x h x ax x=-+(0)x ≥， 212cos '()(2cos )x h x a x +=-+， 设cos t x =，则[1,1]t ∈-，212()(2)t t t ϕ+=+，42(2)(1)'()(2)t t t t ϕ-+-=+32(1)0(2)t t --=≥+， ∴()t ϕ在[1,1]-上递增，∴()t ϕ的值域为1[1,]3-， ①当13a ≥时，'()0h x ≥，()h x 为[0,]+∞上的增函数， ∴()(0)0h x h ≥=，适合条件.②当0a ≤时，∵1()0222h a ππ=⋅-<，∴不适合条件. ③当103a <<时，对于02x π<<，sin ()3x h x ax <-， 令sin ()3x T x ax =-，cos '()3x T x a =-， 存在(0,)2x π∈，使得0(0,)x x ∈时，'()0T x <，∴()T x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0T x T <<，即在0(0,)x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.综上，a 的取值范围为1[,)3+∞.22. 选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）2sin()306πρθ+-=，sin cos 30θρθ+-=，即l 的普通方程为30x -=，2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.（Ⅱ）在30x +-=中令0y =得(3,0)P ，∵k =，∴倾斜角56πα=， ∴l 的参数方程可设为53cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y +=得250t -+=，70∆=>，∴方程有两解，12t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，12PA PB t t +=+12t t =+=23. 选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）1a =时，()4f x ≥2214x x <-⎧⇔⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩，52x ≤-或x φ∈或32x ≥， 解集为53(,][,)22-∞-+∞. （Ⅱ）由已知()3f x x ≤+在[0,1]上恒成立，∵20x +>，30x +>， ∴1x a -≤在[0,1]上恒成立，∵y x a =-的图象在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增， ∴01110211a a a a ⎧-≤-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤≤-≤⎩⎪⎩， ∴a 的取值范围是[0,1].。