高一数学 课堂训练3-4

第4章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·广东江门模拟]若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A. 直角梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形答案：B解析：由AB →＋CD →＝0知，AB →＝D C →， 即AB ＝CD ，AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形． 又(AB →－AD →)·AC →＝0， ∴DB →·AC →＝0，即AD ⊥BD ， 因此四边形ABCD 是菱形，故选B.2．如下图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )A ．a ＋34bB.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b 答案：B解析：AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →，① 同时3AD →＝3AC →＋3CD →＝3b －BD →.②①＋②，得4AD →＝a ＋3b ，∴AD →＝14a ＋34b .故选B.3. [2012·安徽安庆模拟]已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足3PA →＋5P B →＋2P C→＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A. 34SB. 23SC. 12SD. 25S答案：C解析：如图，由于3PA →＋5P B →＋2PC →＝0，设3(P A →＋PB →)＝－2(PB →＋P C →)， 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ， 则PM →＝12(PA →＋P B →)，PN →＝12(P B →＋PC →)，所以3PM →＝－2PN →，即点P 在中位线MN 上， 因此△PAC 的面积为△ABC 面积的一半，故选C.4. △ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A. 12B. 13C. 14D. 1答案：A解析：如图所示，由于B ，M ，C 三点共线，所以AM →＝xAB →＋(1－x )AC →(0<x <1)，又N 为AM 的中点， 且AN →＝λAB →＋μAC →，所以AM →＝2AN →＝2λAB →＋2μAC →，从而x ＝2λ，1－x ＝2μ， 因此λ＋μ＝12，故选A.5．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1λ2－1＝0B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1＝λ2＝－1D ．λ1λ2＋1＝0答案：A解析：A 、B 、C 三点共线⇔AB →∥AC →⇔λ1λ2＝1.故选A.6. [2012·东北三校联考]在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为( )A. 12B. 23C. 34D. 45答案：C解析：∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝P B →，因此P 为AB 的一个三等分点，如图所示． ∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x2CB →＋(x －1)AC →(0<x <1)，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋(x2－1)AC →.又CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →，且CM →＝tCP →(0<t <1)，x 2AB →＋(x 2－1)AC →＝t (－AC →＋13AB →)， 所以x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34，故选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·西安月考]在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝______.答案：23解析：由图知CD →＝CA →＋AD →① CD →＝CB →＋B D →② 且AD →＋2B D →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13→＋23CB →，∴λ＝23.8．单位圆中两个向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧A B 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为______．答案：2解析：如图，设∠AOC ＝α，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OA →＝xOA →·OA →＋yOB →·OA →OC →·OB →＝xOA →·OB →＋yOB →·OB→，即⎩⎨⎧cos α＝x －12y cos (120°－α)＝－12x ＋y ，∴x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6≤2.由已知得，当且仅当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.9. [2012·山东济南一模]如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB→＋211AC →，则实数m 的值为__________．答案：311解析：由AN →＝13NC →，得AN →＝14AC →.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝(1－n )AB →＋14nAC →＝mAB →＋211AC →，由14n ＝211，得n ＝811，m ＝1－n ＝311. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：EF →＝12(AB →＋D C →)．证明：方法一 如图所示，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴E A →＋ED →＝0，F B →＋FC →＝0， 又∵AB →＋B F →＋FE →＋E A →＝0， ∴EF →＝AB →＋B F →＋EA →① 同理EF →＝E D →＋D C →＋CF →② 由①＋②得，2EF →＝AB →＋D C →＋(E A →＋E D →)＋(BF →＋CF →)＝AB →＋D C →. ∴EF →＝12(AB →＋D C →)．方法二 连接EB 、EC ，则EC →＝E D →＋D C →， E B →＝EA →＋AB →， ∴EF →＝12(EC →＋E B →)＝12(ED →＋D C →＋E A →＋AB →) ＝12(AB →＋D C →)． 11. 设a ，b 是两个不共线的非零向量.(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 和k a ＋2b 共线，求实数k 的值．解：(1)∵AB →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ， BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →， ∴AB →、BC →共线． 又AB 、BC 有公共点B ， ∴A 、B 、C 三点共线． (2)∵8a ＋k b 和k a ＋2b 共线，∴存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.12. [2012·山东滕州]如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 、b 表示OM →；(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，O F →＝qOB →，求证：17p ＋37q＝1.解：(1)设OM →＝m a ＋n b ，则 AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线，∴m －1－1＝n12，∴m ＋2n ＝1.① 而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b .∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →共线， ∴m －14－14＝n 1，∴4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .(2)证明：EM →＝(17－p )a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b ，∵EF →与EM →共线，∴17－p－p ＝37q ，∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q ＝1.。

2019届高一数学上册课堂练习题4（答案）本文导航1、首页2、***一、选择题1.对于集合A，B，AB不成立的含义是()A.B是A的子集B.A中的元素都不是B的元素C.A中至少有一个元素不属于BD.B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] AB成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素.不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2.集合M={(x，y)|x+y0，xy0}，P={(x，y)|x0，y0}那么()A.P?MB.M?PC.M=PD.M P[答案] C[解析] 由xy0知x与y同号，又x+y0x与y同为负数x+y0等价于x0M=P.3.设集合A={x|x2=1}，B={x|x是不大于3的自然数}，AC，BC，则集合C中元素最少有()A.2个B.4个C.5个D.6个[答案] C[解析] A={-1，1}，B={0，1，2，3}，∵AC，BC，集合C中必含有A与B的所有元素-1，0，1，2，3，故C 中至少有5个元素.4.若集合A={1，3，x}，B={x2，1}且BA，则满足条件的实数x的个数是()A.1B.2C.3D.4[答案] C[解析] ∵BA，x2A，又x21x2=3或x2=x，x=3或x=0.故选C.5.已知集合M={x|y2=2x，yR}和集合P={(x，y)|y2=2x，yR}，则两个集合间的关系是()A.M?PB.P?MC.M=PD.M、P互不包含[答案] D[解析] 由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，故选D.6.集合B={a，b，c}，C={a，b，d}；集合A满足AB，AC.则满足条件的集合A的个数是()C.4D.1[答案] C[解析] ∵AB，AC，集合A中的元素只能由a或b构成.这样的集合共有22=4个.即：A=，或A={a}，或A={b}或A={a，b}.7.设集合M={x|x=k2+14，kZ}，N={x|x=k4+12，kZ}，则()A.M=NB.M?NC.M?ND.M与N的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k=-2，-1，0，1，2可得M={-34，-14，14，34，54}，N={0，14，12，34，1}，M?N，故选B.解法2：集合M的元素为：x=k2+14=2k+14(kZ)，集合N的元素为：x=k4+12=k+24(kZ)，而2k+1为奇数，k+2为整数，M?N，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解.注意若k是任意整数，则k+m(m是一个整数)也是任意整数，而2k+1，2k-1均为任意奇数，2k为任意偶数.8.集合A={x|03且xN}的真子集的个数是()A.16B.8[答案] C[解析] 因为03，xN，x=0，1，2，即A={0，1，2}，所以A 的真子集个数为23-1=7.9.(09广东文)已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是()[答案] B[解析] 由N={x|x2+x=0}={-1，0}得，N?M，选B.10.如果集合A满足{0，2}?A{-1，0，1，2}，则这样的集合A个数为()A.5B.4C.3D.2[答案] C[解析] 集合A里必含有元素0和2，且至少含有-1和1中的一个元素，故A={0，2，1}，{0，2，-1}或{0，2，1，-1}. 本文导航1、首页2、***二、填空题11.设A={正方形}，B={平行四边形}，C={四边形}，D={矩形}，E={多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________. [答案] A?D?B?C?E[解析] 由各种图形的定义可得.12.集合M={x|x=1+a2，aN*}，P={x|x=a2-4a+5，aN*}，则集合M与集合P的关系为________.[答案] M?P[解析] P={x|x=a2-4a+5，aN*}={x|x=(a-2)2+1，aN*}∵aN*a-2-1，且a-2Z，即a-2{-1，0，1，2，}，而M={x|x=a2+1，aN*}，M?P.13.用适当的符号填空.(，，，，?，?，=)a________{b，a}；a________{(a，b)}；{a，b，c}________{a，b}；{2，4}________{2，3，4}；________{a}.[答案] ，，?，?，?*14.已知集合A=x|x=a+16，aZ，B={x|x=b2-13，bZ}，C={x|x=c2+16，cZ}.则集合A，B，C满足的关系是________(用，?，=，，，中的符号连接A，B，C).[答案] A?B=C[解析] 由b2-13=c2+16得b=c+1，对任意cZ有b=c+1Z.对任意bZ，有c=b-1Z，B=C，又当c=2a时，有c2+16=a+16，aZ.A?C.也可以用列举法观察它们之间的关系.15.(09北京文)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k-1A，那么k是A的一个孤立元.给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含孤立元的集合共有______个.[答案] 6[解析] 由题意，要使k为非孤立元，则对kA有k-1A.k最小取2.k-1A，kA，又A中共有三个元素，要使另一元素非孤立元，则其必为k+1.所以这三个元素为相邻的三个数.共有6个这样的集合.三、解答题16.已知A={xR|x-1或x5}，B={xR|ax[解析] 如图∵A?B，a+4-1或者a5.即a-5或a5.17.已知A={x|x-1或x2}，B={x|4x+a0}，当BA时，求实数a 的取值范围.[解析] ∵A={x|x-1或x2}，B={x|4x+a0}={x|x-a4}，∵AB，-a4-1，即a4，所以a的取值范围是a4.18.A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1}，a、xR，求：(1)使A={2，3，4}的x的值；(2)使2B，B?A成立的a、x的值；(3)使B=C成立的a、x的值.[解析] (1)∵A={2，3，4}x2-5x+9=3解得x=2或3(2)若2B，则x2+ax+a=2又B?A，所以x2-5x+9=3得x=2或3，将x=2或3分别代入x2+ax+a=2中得a=-23或-74(3)若B=C，则x2+ax+a=1①x2+(a+1)x-3=3②①-②得：x=a+5 代入①解得a=-2或-6我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。

高一数学教案(优秀5篇)高一数学教学教案篇一一、教学目标（一）知识与技能了解数轴的概念，能用数轴上的点准确地表示有理数。

（二）过程与方法通过观察与实际操作，理解有理数与数轴上的点的对应关系，体会数形结合的思想。

（三）情感、态度与价值观在数与形结合的过程中，体会数学学习的乐趣。

二、教学重难点（一）教学重点数轴的三要素，用数轴上的点表示有理数。

（二）教学难点数形结合的思想方法。

三、教学过程（一）引入新课提出问题：通过实例温度计上数字的意义，引出数学中也有像温度计一样可以用来表示数的轴，它就是我们今天学习的数轴。

（二）探索新知学生活动：小组讨论，用画图的形式表示东西向马路上杨树，柳树，汽车站牌三者之间的关系：提问1：上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义。

我们知道，正数和负数可以表示具有相反意义的量，那么，如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？学生活动：画图表示后提问。

提问2：“0”代表什么？数的符号的实际意义是什么？对照体温计进行解答。

教师给出定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足：任取一个点表示数0，代表原点；通常规定直线上向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取合适的长度为单位长度。

提问3：你是如何理解数轴三要素的？师生共同总结：“原点”是数轴的“基准”，表示0，是表示正数和负数的分界点，正方向是人为规定的，要依据实际问题选取合适的单位长度。

（三）课堂练习如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数。

（四）小结作业提问：今天有什么收获？引导学生回顾：数轴的三要素，用数轴表示数。

高一数学教案全集5 篇二数学教案-圆1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：①点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备。

难点：① 圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂。

课 题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（4）教学目的：1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－15．周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 7．单调性正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1二、讲解范例：例1 求函数y ＝sin 21x-π的单调增区间 误解：令ｕ＝21x-π ∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上递增 ∴2k π－2π≤21x -π≤2k π＋2π解得－4k ≤x ≤－4k ＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k ，－4k ＋2］(k ∈Z ) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝21x-π，忽视了ｕ是x 的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令ｕ＝21x-π，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上为减函数，∴原函数在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上递增设2k π＋2π≤21x-π≤2k π＋23π解得－4k －2≤x ≤－4k (k ∈Z )∴原函数在［－4k －2，－4k ］(k ∈Z )上单调递增 解法二：将原函数变形为y ＝－sin 21-x π 因此只需求sin 21-x π＝y 的减区间即可 ∵ｕ＝21-x π为增函数 ∴只需求sin ｕ的递减区间 ∴2k π＋2π≤21-x π≤2k π＋23π解之得：4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z )∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z ) 一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1来求三角函数的最值例2 a 、b 是不相等的正数求y ＝x b x a x b x a 2222cos sin sin cos +++的最大值和最小值解：y 是正值，故使y 2达到最大(或最小)的x 值也使y 达到最大(或最小)y 2＝a cos 2x ＋b sin 2x ＋2x b x a 22sin cos +·x b x a 22cos sin +＋a sin 2x ＋b cos 2x＝a ＋b ＋x b a ab 2sin )(422-+ ∵a ≠b ，(a －b )2＞0，0≤sin 22x ≤1 ∴当sin2x ＝±1时，即x ＝22ππ+k (k ∈Z )时，y 有最大值)(2b a +； 当sin x ＝0时，即x ＝2πk (k ∈Z )时，y 有最小值a ＋b二、利用三角函数的增减性 如果f (x )在［α，β］上是增函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (β)，最小值f (α)；如果f (x )在［α，β］上是减函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (α)，最小值f (β)例3 在0≤x ≤2π条件下，求y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y ＝22cos 1x +－2sin2x －3·22cos 1x-＝2(cos2x －sin2x )－1 ＝22 (cos2x cos 4π－sin2x sin 4π)－1＝22cos(2x ＋4π)－1∵0≤x ≤2π，4π≤2x ＋4π≤45πcos(2x ＋4π)在［0，83π）上是减函数 故当x ＝0时有最大值22当x ＝83π时有最小值－1cos(2x ＋4π)在［83π，2π］上是增函数 故当x ＝83π时，有最小值－1当x ＝2π时，有最大值－22综上所述，当x ＝0时，y max ＝1 当x ＝83π时，y min ＝－22－1三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解例4求f (x )＝sin 4x ＋2sin 3x cos x ＋sin 2x cos 2x ＋2sin x cos 3x ＋cos 4x 的最大值和最小值解：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋2sin x cos x (sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x cos 2x =1＋2sin x cos x －sin 2x cos 2x令ｔ＝21sin2x ∴－21≤ｔ≤21①f (ｔ)＝1＋2ｔ－ｔ2＝－(ｔ－1)2＋2 ②在①的范围内求②的最值当ｔ＝21，即x ＝k π＋4π(k ∈Z )时，f (x )max ＝47 当ｔ＝－21，即x ＝k π＋43π(k ∈Z )时，f (x )min ＝－41四、求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1．注意sin x 、cos x 自身的范围例5求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值解：y ＝cos 2x －3sin x ＝－sin 2x －3sin x ＋1＝－(sin x ＋23)2＋413 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3说明：解此题易忽视sin x ∈［－1，1］这一范围，认为sin x ＝－23时，y 有最大值413，造成误解 2．注意条件中角的范围例6已知｜x ｜≤4π，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值解：y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －21)2＋45∵－4π≤x ≤4π∴－22≤sin x ≤22 ∴当sin x ＝－22时 y min ＝－(－22－21)2＋45＝221-说明：解此题注意了条件｜x ｜≤4π，使本题正确求解，否则认为sin x ＝－1时y 有最小值，产生误解3．注意题中字母(参数)的讨论例7求函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23(0≤x ≤2π)的最大值 解：∵y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋85a －23＝－(cos x －2a )2＋42a ＋85a －21∴当0≤a ≤2时，cos x ＝2a ，y max ＝42a ＋85a －21当a ＞2时，cos x ＝1，y max ＝813a －23 当a ＜0时，cos x ＝0，y max ＝85a －21说明：解此题注意到参数a 的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cos x ＝2a时，y 有最大值会产生误解 4．注意代换后参数的等价性例8已知y ＝2sin θcos θ＋sin θ－cos θ(0≤θ≤π)，求y 的最大值、最小值解：设t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－4π) ∴2sin θcos θ＝1－ｔ2∴y ＝－ｔ2＋ｔ＋1＝－(ｔ－21)2＋45 又∵ｔ＝2sin(θ－4π)，0≤θ≤π∴－4π≤θ－4π≤43π∴－1≤ｔ≤2 当ｔ＝21时，y max ＝45当ｔ＝-1时，y min ＝－1说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数ｔ∈［－1，2］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生ｔ＝21时有最大值而无最小值的结论 三、课堂练习：四、小结 三角函数最值的求解：三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

第2章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 化简a 3b 23ab 2(a 14b 12)43b a(a 、b >0)的结果是( )A. ba B. ab C. a b D. a 2b答案：C解析：原式＝a 32ba 16b 13ab 2b 13a －13＝a 32＋16－1－(－13)b1＋13－2－13＝a b. 2. 设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A. f (－2)>f (－1)B. f (－1)>f (－2)C. f (1)>f (2)D. f (－2)>f (2)答案：A 解析：∵f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝(12)－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)，故选A.3. [2011·四川]已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝(12)x ＋1，则f (x )的反函数的图像大致是( )答案：A解析：当x >0时，1<f (x )<2，此时可得反函数. f －1(x )＝log 12(x －1)(1<x <2)，对照选项可知选A.4. [2012·山东滨州一模]已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( )A. [2,4]B. (－∞，0]C. (0,1]∪[2,4]D. (－∞，0]∪[1,2]答案：D解析：y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x －32)2＋34∈[1,7]，∴(2x －32)2∈[14，254].∴2x －32∈[－52，－12]∪[12，52].∴2x ∈[－1,1]∪[2,4].∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]，故选D.5. [2012·辽宁实验中学]已知函数f (x )＝2x －1，对于满足0<x 1<x 2<2的任意实数x 1，x 2，给出下列结论：(1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； (3)f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； (4)f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22).其中正确结论的序号是( ) A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(4) D. (3)(4)答案：C解析：∵f (x )为增函数，x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，故(1)错，排除A 、B ；A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是f (x )＝2x －1在(0,2)上任意两点，则k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1不总大于1，故(3)错，排除D ，选C.6. [2012·上海交大附中月考]对于函数f (x )＝(2x－12x )x 13和实数m ，n ，下列结论中正确的是( )A. 若m <n ，则f (m )<f (n )B. 若f (m )<f (n )，则m 2<n 2C. 若f (m )<f (n )，则m 3<n 3D. 上述命题都不正确 答案：B解析：f (x )＝(2x－12x )x 13是定义在R 上的偶函数，当x >0时，y ＝2x －12x >0且为增函数，y＝x 13>0且为增函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上递增，在(－∞，0]上递减. ∴f (m )<f (n )⇒|m |<|n |⇒m 2<n 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·开封调研]函数y ＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图像经过点(1,7)，其反函数的图像经过点(4,0)，则a b ＝________.答案：64解析：本题考查指数函数与反函数的性质，根据条件建立方程组求出a ，b 的值即可.由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋b ＝7，a 0＋b ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，故a b ＝43＝64. 8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5(x >6)(4－a2)x ＋4(x ≤6)在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是__________.答案：[7,8)解析：由题意知，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>0(4－a 2)×6＋4≤a6－5，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1a <8a ≥7，解得7≤a <8. 9. 若函数f (x )＝2x 2－2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________.答案：[－1,0] 解析：由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，可知2x 2－2ax －a≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立， 解得－1≤a ≤0.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围. 解：由题意，得1＋2x＋4xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立.又∵－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x＝－[(12)x ＋12]2＋14，∵x ∈(－∞，1]， ∴(12)x ∈[12，＋∞). 令t ＝(12)x ，则f (t )＝－(t ＋12)2＋14，t ∈[12，＋∞).则f (t )在[12，＋∞)上为减函数，f (t )≤f (12)＝－(12＋12)2＋14＝－34，即f (t )∈(－∞，－34].∵a >f (t )，∴a ∈(－34，＋∞).11. [2012·江苏淮安]函数f (x )＝2－x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x (a ∈R )的解集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围.解：由2－x x －1≥0，得1<x ≤2，即A ＝{x |1<x ≤2}.∵y ＝2x 是R 上的增函数，∴由22ax <2a ＋x ，得2ax <a ＋x ，∴(2a －1)x <a .(1)当2a －1>0，即a >12时，x <a 2a －1，即B ＝{x |x <a2a －1}又A ⊆B ，∴a 2a －1>2，得12<a <23.(2)当2a －1＝0，即a ＝12时，x ∈R ，即B ＝R ，满足A ∩B ＝A .(3)当2a －1<0，即a <12时，x >a 2a －1，即B ＝{x |x >a2a －1}.∵A ⊆B ，∴a 2a －1≤1，得a ≤1，故a <12.由(1)，(2)，(3)得a ∈(－∞，23).12. [2012·上海吴淞中学月考]已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明； (3)求函数的值域.解：(1)∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数. ∴f (0)＝0，解得a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )为增函数.证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)，∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )为R 上增函数.(3)令y ＝2x －12x ＋1，则2x ＝－1－yy －1，∵2x >0，∴－1－yy －1>0.∴－1<y <1.∴函数f (x )的值域为(－1,1).。

5.4.3 正切函数的性质与图象基 础 练巩固新知 夯实基础1.函数tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．3+,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ B ．3+2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ 2.函数()2tan 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π3.已知13122,log 3,tan53a b c -===︒，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<4.若函数f (x )=tan(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,则 ( )A. f (2)>f (0)>f (-π5) B. f (0)>f (2)>f (-π5) C. f (0)>f (-π5)>f (2) D. f (-π5)>f (0)>f (2)5.(多选)下列关于函数y =tan (x +π3)的说法正确的是( )A.在区间(-π6,5π6)上单调递增 B.最小正周期是πC.图象关于点(π6,0)成中心对称 D.图象关于直线x =π6成轴对称 6.已知函数f (x )＝x ＋tan x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 7.求y ＝3－tan x 的定义域.8.根据正切函数的图象,写出使不等式3+√3tan 2x ≥0成立的x 的取值集合.9.设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．能 力 练综合应用 核心素养10.函数()()2ln 2tan f x x x x =-++的定义域是（ ）A ．ππ0,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()0,2C ．()(),02,-∞+∞D ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－112.函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．4πD ．2π 13.已知函数()tan 3f x x x =，若对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．53,⎛-∞ ⎝⎦B ．53,⎛-∞ ⎝⎭C ．3,⎛-∞ ⎝⎦D ．3,⎛-∞ ⎝⎭14.(多选)已知函数f (x )={tanx ,tanx >sinx ,sinx ,tanx ≤sinx ,则 ( )A. f (x )的值域为(-1,+∞)B. f (x )的单调递增区间为[kπ,kπ+π2)(k ∈Z)C.当且仅当k π-π2<x ≤k π(k ∈Z)时,f (x )≤0 D. f (x )的最小正周期是2π15.已知函数y =-tan 2x +4tan x +1,x ∈[-π4,π4],则其值域为 .16.函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1为________函数(填“奇”或“偶”)．17.函数tan 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标为___________.18.若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3ω=___________.【参考答案】1.A 解析：由()()3424x k k Z x k k Z πππππ-≠+∈⇒≠+∈，故选：A 2.C 解析：函数()2tan 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为212ππ=.故选：C.3.B 解析：∵1030221a -<=<=，1122log 31log 0b =<=，tan531tan 45c ︒>︒==，b ac ∴<<.故选：B.4.C 解析：由函数f (x )=tan (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,可得πω=π,解得ω=1,即f (x )=tan (x +π4),令-π2+k π<x +π4<π2+k π,k ∈Z,得-3π4+k π<x <π4+k π,k ∈Z,当k =1时,π4<x <5π4,即函数f (x )在(π4,5π4)上单调递增,又f (0)=f (π),f (-π5)=f (-π5+π)=f (4π5),且54π>π>4π5>2>π4,所以f (0)>f (-π5)>f (2).故选C .5.BC 解析： 令k π-π2<x +π3<k π+π2,k ∈Z,得k π-5π6<x <k π+π6,k ∈Z,显然(-π6,5π6)不满足上述关系式,故A 中说法错误;显然该函数的最小正周期为π,故B 中说法正确;令x +π3=kπ2,k ∈Z,得x =kπ2-π3,k ∈Z,当k =1时,得x =π6,故C 中说法正确;正切曲线没有对称轴,因此函数y =tan (x +π3)的图象也没有对称轴,故D 中说法错误.故选BC . 6. 0 解析：设g (x )＝x ＋tan x ，显然g (x )为奇函数．∵f (a )＝g (a )＋1＝2，∴g (a )＝1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝0. 7. 解：由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3， 所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ． 8. 解：如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y =tan x ,x ∈(-π2,π2)的图象和直线y =-√3.由图得,在区间(-π2,π2)内,不等式tan x ≥-√3的解集是{x|-π3≤x <π2},∴在函数y =tan x 的定义域x x ≠kπ+π2,k ∈Z 内,不等式tan x ≥-√3的解集是{x|kπ-π3≤x <kπ+π2,k ∈Z}.令k π-π3≤2x <k π+π2(k ∈Z),得kπ2-π6≤x <kπ2+π4(k ∈Z),∴使不等式3+√3tan 2x ≥0成立的x 的取值集合是{x|kπ2-π6≤x <kπ2+π4,k ∈Z}.9. 解：(1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，则x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．10.A 解析：由题意得()220ππ2x x x k k Z ⎧-+>⎪⎨≠+∈⎪⎩, 解得02x <<且π2x ≠,则()f x 的定义域为ππ0,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A . 11.B 解析：∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0. 12.D 解析：函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由tan 2y x =的图象先向右平移6π个单位长度，再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，故()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期与tan 2y x =的相同，为2π，故选：D.13.A 解析：由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可，因为函数tan y x =和3y x=在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数，所以函数()tan 3f x x x =，在,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上是增函数，所以53()tan 3sin 666f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以53a ≤故选：A. 14.AD 解析：当tan x >sin x ,即k π<x <k π+π2(k ∈Z)时, f (x )=tan x ∈(0,+∞);当tan x ≤sin x ,即k π-π2<x ≤k π(k ∈Z)时,f (x )=sin x ∈(-1,1).综上, f (x )的值域为(-1,+∞),故A 正确;f (x )的单调递增区间是(2kπ-π2,2kπ+π2)和2k π+π,2k π+3π2(k ∈Z),故B 错误;当x ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z)时,f (x )>0,故C 错误;结合f (x )的图象可知f (x )的最小正周期是2π,故D 正确.故选AD .15.[-4,4] 解析：∵-π4≤x ≤π4,∴-1≤tan x ≤1.令tan x =t ,则t ∈[-1,1]. ∴y =-t 2+4t +1=-(t -2)2+5,t ∈[-1,1].易知函数在[-1,1]上单调递增,∴当t =-1,即x =-π4时,y min =-4,当t =1,即x =π4时,y max =4.故所求函数的值域为[-4,4]. 16. 奇 解析：由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lg tan －x ＋1tan －x －1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．17.,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k Z ∈ 解析：令26x π-＝2k π (k Z ∈)，得412k x ππ=+ (k Z ∈)，∴对称中心的坐标为(,1)()412k k Z π+∈π． 18.14- 解析：因为函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以0ω<，23ππω≥，则302ω-≤<，又因为函数在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3所以,343k k Z πππωπ-+=+∈，即13,4k k Z ω=--∈，所以14ω=-.。

【高一】高一数学上册第一章课堂练习题（有答案）第ⅰ卷(选择题共60分)一、多项选择题（本主题共有12个子题，每个子题得5分，共60分。

在每个子题给出的四个选项中，符号题只需要一个选项。

）1．已知集合a＝{0,1,2,3,4,5}，b＝{1,3,6,9}，c＝{3,7,8}，则(a∩b)∪c等于( )a、 {0,1,2,6,8}b、 {3,7,8}c．{1,3,7,8}d．{1,3,6,7,8}[答：]C[解析] a∩b＝{1,3}，(a∩b)∪c＝{1,3,7,8}，故选c.2.（09？陕西文本）定义在R上的偶数函数f（x）满足：对于任何x1，X2∈ [0, + ∞) （x1）≠ x2），如果f（x2）-f（x1）x2-x1<0，那么（）a．f(3)c、 f（－2）[答案] a[分析]如果x2－X1>0，则f（x2）-f（X1）<0，即f(x2)‡f（x）是[0，+∞),∵3>2>1，∴f(3)其中f（x）是偶数函数，f（-2）=f（2），∴f(3)3.表中显示了F（x）和G（x）的相应值x01－1f（x）10－1x01－1g（x）－101则f(g(1))的值为( )a、－1b.0c．1d．不存在[答：]C[解析] ∵g(1)＝0，f(0)＝1，∴f(g(1))＝1.4.如果已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式为（）a．3x＋2b．3x＋1c、 3x－1d.3x＋4[答案] c[分析]设x+1=t，然后x=t-1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.5.如果f（x）=2x-1（x≥ 2） -x2+3x（x<2），F（-1）+F（4）的值为（）a．－7b．3c、－8d.4[答案] b【分析】f（4）=2×4－1＝7，f（－1）＝-1）2＋3×1=-4，——（4）+f（-1）=3，所以选择B6．f(x)＝－x2＋mx在(－∞，1]上是增函数，则m的取值范围是( )a、 {2}b.（-∞，2]c．[2，＋∞)d．(－∞，1][答：]C[解析] f(x)＝－(x－m2)2＋m24的增区间为(－∞，m2]，由条件知m2≥1，∴m≥2，故选c.7.定义集合a和集合B={XX的运算a*B∈ a、或者X∈ B、 X呢？A.∩ B} ，那么（a*B）*a等于（）a．a∩bb．a∪bc、广告[答案] d【分析】a*B的本质是集合a和集合B的组合。

第3章 第5节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·福建质检]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A. 441 B. 45 C.425D.44141答案：B解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，b ＝5. 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－35，sin C ＝1－cos 2C ＝45.2. [2011·四川]在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A. (0，π6]B. [π6，π)C. (0，π3]D. [π3，π)答案：C解析：根据正弦定理，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 得a 2≤b 2＋c 2－bc ， 根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，∴0<A ≤π3，故选C.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时 答案：A解析：如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)． 4. [2012·福建厦门质检]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32D. 2答案：C解析：由角A 、B 、C 依次成等差数列，得A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2.于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32.5. [2012·广东揭阳一模]如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A. 50 2 mB. 50 3 mC. 25 2 mD.2522m 答案：A解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B＝50×2212＝50 2 (m)．6. [2011·天津]如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A. 33B. 36C.63D.66答案：D解析：设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝(32a )2＋(32a )2－a 22×32a ·32a＝13. 又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C .∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a2a ·223＝66.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2011·安徽]已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__________．答案：15 3解析：由题意设△ABC 三边长分别为a －4，a ，a ＋4， 则cos120°＝a 2＋(a －4)2－(a ＋4)22a (a －4)，解得a ＝10，则S △ABC ＝126×10×sin120°＝15 3.8. [2012·大连联考]如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是__________米．答案：10 6解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin45°＝CD sin30°，BC ＝CD sin45°sin30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan60°＝AB BCAB ＝BC tan60°＝10 6. 9. [2011·课标全国]在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为__________． 答案：27解析：令AB ＝c ，BC ＝a ，则由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝AC sin B ＝332＝2，则c ＝2sin C ，a ＝2sin A ，且A ＋C ＝120°，故AB ＋2BC ＝c ＋2a ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2sin C ＋4(32cos C ＋12sin C )＝4sin C ＋23cos C ＝27sin(C ＋φ)(其中tan φ＝32)． 故当C ＋φ＝90°时，AB ＋2BC 取最大值为27. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10.[2011·湖南]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos(B ＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解：(1)由题意及正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4(2)由(1)知，B ＝3π4－A .于是3sin A －cos(B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A＝2sin(A ＋π6)，因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin(A ＋π6)取最大值2.综上所述，3sin A －cos(B ＋π4)的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.11. [2012·山东临沂一模]在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°. ∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为正三角形．12. [2012·郑州一测]某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H 的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)解：由题意，设|AC |＝x ，则|BC |＝x －217×340＝x －40，在△ABC 内，由余弦定理：|BC |2＝|BA |2＋|CA |2－2|BA |·|CA |·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝x 2＋10000－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，|AC |＝420，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：|CH |sin ∠CAH ＝|AC |sin ∠AHC ，可得|CH |＝|AC |·sin ∠CAHsin ∠AHC＝140 6.答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1406米．。

第3讲 函数的单调性教学内容一、知识梳理单调性定义设函数y ＝)(x f 的定义域为A ，区间A M ⊆.如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2，改变量12x x x -=∆＞0，则 当)()(12x f x f y -=∆＞0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数； 当)()(12x f x f y -=∆＜0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）．二、方法归纳在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．设[]b a x x ,,21∈，若有 （1）2121)()(x x x f x f --＞0，则有[]b a x f ,)(在上是增函数．（2）2121)()(x x x f x f --＜0，则有[]b a x f ,)(在上是减函数．在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． 函数的单调性常应用于如下三类问题： （1）利用函数的单调性比较函数值的大小．（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两 个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值． 若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递增，则函数值域为()(a f ，)(b f )；若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递减,则函数值域为()(b f ，)(a f )； 若函数)(x f y =在定义域[]b a , 上递增，则函数值域为 [)(a f ，)(b f ] ； 若函数)(x f y =在定义域 []b a , 上递减，则函数值域为 [)(b f ，)(a f ]； 若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递增，则函数的最大值为)(b f ，最小值为)(a f ；若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递减，则函数的最大值为)(a f ，最小值为)(b f ；三、典型例题精讲［例1］若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是( )A. 在()+∞∞-,上是增函数B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数，得 a ＜0，又函数xby -=在()+∞,0上是减函数，得 b ＜0， 于是，函数3ax ，bx 在()+∞∞-,上都是减函数， ∴ 函数bx ax y +=3在()+∞∞-,上是减函数，故选C ．【技巧提示】 熟悉函数ax y =，3ax y =，bx y =，xby =的单调性与a 、b 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性．［例2］求函数31)(--+=x x x f 的最大值．解析：由31431)(-++=--+=x x x x x f ，知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3，+∞ )上是减函数． 所以31)(--+=x x x f 的最大值是2)3(=f ．【技巧提示】 显然由31431-++=--+x x x x 使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．又例 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=12的值域是 .解析：∵ x x y --+=12在[]1,0∈x 上单调递增，∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f ．即[]3,12-．再例 求函数x x y 21++=的值域．解析：∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数，∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21．［例3］函数)(x f 在R 上为增函数，求函数)1(+=x f y 单调递减区间． 解析：令1+=x u ，则u 在(－∞,－1]上递减， 又函数)(x f 在R 上为增函数，∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(－∞,－1].【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1+x 的单调性，)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同．如果变函数)(x f 在R 上为减函数，那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数1+x 的单调性相反，即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(－∞,－1].又例 设函数)(x f 在R 上为减函数，求函数)1(xf y =单调区间． 再例 设函数)(x f 在R 上为增函数，且)(x f ＞0，求证函数)(1x f y =在R 上单调递减．［例4］试判断函数xbax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.解析：设120x x >> ，()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x ->故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数，同理可证函数()f x在⎛⎝上为减函数.【技巧提示】 xbax x f +=)()0,0(>>b a 是一种重要的函数模型，要引起足够的重视．事实上，函数()()0,0b f x ax a b x =+>>的增函数区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭，减函数区间为⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．但注意本题中不能说()f x在,⎛-∞ ⎝⎫∞⎪⎪⎭上为增函数，在⎛ ⎝⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．又例：求函数4522++=x x y 的最小值．解析：由()u g uu x x x x y =+=+++=++=1414452222,[)+∞∈,2u ,用单调性的定义法易证()u u u g 1+= 在[)+∞,2上是增函数，易求函数4522++=x x y 的最小值为25为所求． 再例：已知函数()[)+∞∈++=,1,22x xax x x f . 若对于x [)+∞∈,1,)(x f ＞0恒成立，试求a 的取值范围.解析：由)(x f ＝ [)+∞∈++=++,1,222x xax x a x x .当a ＞0时， ()2++=xa x x f 显然有)(x f ＞0 在[)∞+.1恒成立； a ≤0时，由()[)+∞∈++=++=,x ,xax x a x x x f 1222知其为增函数，只需)(x f 的最小值)1(f ＝3＋a ＞0,解之，a ＞－3.∴当a ＞－3时，)(x f ＞0在[)+∞,1上恒成立.［例5］已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)10(f ＝1，设)(x F =)(1)(x f x f +，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论． 解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(2x f ＞)(1x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)10(f ＝1，∴当x ＜10时0＜)(x f ＜1，而当x ＞10时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜10，则0＜)(1x f ＜ )(2x f ＜1， ∴0＜ )(1x f )(2x f ＜1， ∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 2x ＞1x ＞10，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1， ∴)()(1121x f x f -＞0， ∴ )(2x F ＞)(1x F ；综上，)(x F 在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键．［例6］已知113a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．（1）求函数()g a 的表达式； （2）判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求()g a 的最小值． 解析：（1）∵131≤≤a ∴ 函数()f x 的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为].3,1[1∈=ax ∴()f x 有最小值aa N 11)(-= .当2≤a 1≤3时，a ∈[)(],21,31x f 有最大值()()11M a f a ==-； 当1≤a 1＜2时，a ∈()(],1,21x f 有最大值M （a ）＝f (3)＝9a －5；∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=).121(169),2131(12)(a a a a a a a g（2）设1211,32a a ≤<≤则 121212121()()()(1)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=-->∴> ∴ ]21,31[)(在a g 上是减函数．设1211,2a a <<≤ 则121212121()()()(9)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=--<∴< ∴ ]1,21()(在a g 上是增函数． ∴当12a =时，()g a 有最小值21． 【技巧提示】 当知道对称轴为]3,1[1∈=ax 后，要求2()21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，就必须分类讨论．本题对培养学生分类讨论的思想有很好的作用．第（2）问讨论一个分段函数的单调性并求最值，也具有一定的典型性．四、课后训练1、函数1()(0)f x x x x=+≠的单调性描述，正确的是（ ） A 、在(－∞，＋∞)上是增函数； B 、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数； C 、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数； D 、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数 2、证明函数()x f ＝2x 在[0，＋∞）上是增函数．3、证明函数x x y 14+= 在),21[+∞上是增函数． 4、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_____________.5、已知函数)(x f 、)(x g 在R 上是增函数，求证：))((x g f 在R 上也是增函数.6、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数7、函数()f x 是定义在[0,)+∞上的单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =递减区间是9、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最值．11、若函数22)(2+-=x x x f 当]1,[+∈t t x 时的最小值为()g t ，求函数()g t 当]2,3[--∈t 时的最值．12、讨论函数()f x ＝)0(12≠-a x ax，在－1＜x ＜1上的单调性． 五、参考答案1．D 2．略 3．解析：设1x ＞2x ≥21， 则 )(2x f －)(1x f ＝2214x x +－（1114x x +） ＝212112)(4x x x x x x -+-＝21211214)(x x x x x x -⋅-， ∵ 012<-x x ，4121>x x ， ∴ )(2x f －)(1x f ＜0∴ 函数x x y 14+= 在),21[+∞上是增函数． 4．25．证明：设1x ＞2x ，则)(1x f －)(2x f ＞0，)(1x g －)(2x g ＞0， 即 )(1x g ＞)(2x g于是 ))((1x g f －))((2x g f ＞0 ∴ ))((x g f 在R 上也是增函数.6．C 7．]1,0[ 8．)2,(--∞和),2(+∞- ]2,2(- 9．),3[+∞10．解析：函数12)(2--=ax x x f )1()(22+--=a a x ，当 0<a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)0(f ＝－1 )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 10<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 21<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 当 2≥a 时，)(x f 在区间上的最小值为)(min x f ＝)2(f ＝a 43- )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 11．解析：因为函数22)(2+-=x x x f ＝1)1(2+-x 当t ≤0时，最小值)(t g ＝)1(+t f ＝12+t ； 当0＜t ≤1时，最小值)(t g ＝)1(f ＝1； 当t ＞1时，最小值)(t g ＝)(t f ＝222+-t t ；∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+=1,2210,10,1)(22t t t t t t t g ，)(t g 当]2,3[--∈t 时的最大值为)3(-g ＝10；最小值为)2(-g ＝5．12．解析：函数)(x f ＝12-x ax ＝xx a 1- 作函数xx x g 1)(-=， )(x g 为奇函数且在)0,1(-和)1,0(上都是增函数， ∴ 当a ＜0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是增函数； 当a ＞0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是减函数．。