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分析：如何依据换算公式？（抓住：终边在坐标轴上时的正弦线、余弦线、正切线的情况？α的大小.3π与4sin 5π；2tan 3π与4tan 5π.P45 5题7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起．．．．．．．点无关）．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固： 例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例3下列命题正确的是（ ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,） 课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题OABaaab bb如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定：a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａa)(-+t OA tOB te是同一平面内的两个向量，则有例2（教材P98）已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3（教材P99）设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a=(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD 吗？ 四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若AB =i +2j ， DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ） A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 五、小结本节课主要讲述了平面向量的坐标的概念及平面向量的坐标运算；大家要会根据向量的坐标，判断向量是否共线.C对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .。
必修4 第一章§4-1任意角及任意角的三角函数【课前预习】阅读教材217P -完成下面填空 1．任意角（正角、负角、零角、锐角、钝角、区 间角、象限角、终边相同角等）的概念；终边 相同的角定义。
2．把长度等于 的弧所对圆心角叫1弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 ．1︒= rad, 1 rad=o。
3．任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，(,)P x y 是α终边上的任一异于原点的点，则=αsin ，=αcos ，=αtan 。
4．角α的终边交单圆于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则角α的正弦线用有向线段 表示，余弦线用 表示，正切线用什么表示呢？ 5．（1）终边落在第一象限的角的集合可表示为 ；（2）终边落在X 轴上的角的集合可表示为 。
6．sin α的值在第 象限及 为正；cos α在第 象限及 为正值；tan α 在第 象限及 象限为正值． 7．扇形弧长公式l = ; 扇形面积公式S= 。
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．0570- = 弧度，是第___ _象限的角；=π53度，与它有相同终边的角的集合为__________，在[－2π，0]上的角是 。
2．3tan 2cos 1sin ⋅⋅的结果的符号为 。
3．已知角α的终边过点)3,4(-P ,则a sin =_______,a cos =_______,a tan =_______。
4．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x y ++=的 值域是 。
5．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角θ的弧度数是 。
【课中35分钟】 边听边练边落实6.．已知α是第二象限的角,问：(1)α2是第几象限的角？(2)2α是第几象限的角？7．已知角α的终边过点(,2)(0)P a a a -≠，求：(1)tan α；(2)sin cos αα+。
2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。
第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
第一章三角函数复习(一)教学目的【过程与方法】一、知识结构：二、知识要点：1. 角的概念的推广：(1) 正角、负角、零角的概念：(2) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：}Z ,360|{∈+︒⋅==k k S αββ ① 象限角的集合：第一象限角集合为： ；第二象限角集合为： ；第三象限角集合为： ；第四象限角集合为： ；② 轴线角的集合：终边在x 轴非负半轴角的集合为： ；终边在x 轴非正半轴角的集合为： ；故终边在x 轴上角的集合为： ；终边在y 轴非负半轴角的集合为： ；终边在y 轴非正半轴角的集合为： ；故终边在y 轴上角的集合为： ；终边在坐标轴上的角的集合为： .2. 弧度制：我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制. 在弧度制下，1弧度记做1rad .(1) 角度与弧度之间的转换：① 将角度化为弧度： π2360=︒ π=︒180 rad 01745.01801≈=︒πrad n n 180π=︒② 将弧度化为角度：︒=3602π ︒=180π 815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ︒=) 180(πn n (2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示.(3) 上述象限角和轴线角用弧度表示：; α⋅=r l 弧长公式：. 21lR S =扇形面积公式： 3. 任意角的三角函数：. 0 ),( (1)22>+=y x r y x P 是它与原点的距离，的坐标是其终边上任意一点是一个任意大小的角，设α ①;sin sin ry r y =ααα，即的正弦，记作叫做比值 ②;cos cos rx r x =ααα，即的余弦，记作叫做比值 ③.tan tan x y x y =ααα，即的正切，记作叫做比值(2) 判断各三角函数在各象限的符号：(3) 三角函数线：4. 同角三角函数基本关系式：(1) 平方关系： 1cos sin 22=+αα(2) 商数关系：αααcos sin tan =5. 诱导公式诱导公式(一) )Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ诱导公式(二)tan )tan(cos )cos(sin )sin(ααπααπααπ=+-=+-=+诱导公式(三)tan )tan(cos )cos(sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式(四)sin(π－α)=sin αcos(π －α)=－cos αtan (π－α)=－tan α诱导公式(五)ααπααπααπtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=-=--=-对于五组诱导公式的理解 ：可以是任意角；公式中的α .1.360,180, 180 , , )Z ( 360 .2符号看成锐角时原函数值的前面加上一个把它的同名三角函数值，于等的三角函数值，括为：这五组诱导公式可以概αααααα-︒-︒+︒-∈+︒⋅k k 函数名不变，符号看象限3.利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：三、基础训练： ) ( sin ],2,[,23)(cos .1的值为则且已知αππααπ∈=+ 23 D. 21 C. 21- B. 21 A.±±23 D. 23 C. 21- B. 21 A.) ( )647(-cos .2-的值为π . __________)3cos(,tan )3tan(,101-)sin(3 .3=--=-=+παααπαπ则且若. _______)tan()cos(-)sin( .4=--⋅+απααπ化简： ) (cot tan ,32cos sin .5的值是则已知θθθθ+=+ 518- D. 45 C. 49 B. 185 A. . _____cos sin ,83cos sin .6=+=⋅ααααα是第三象限角，则且已知 四、典型例题：.),360,360(),2,2()2( _____630(1) 1.中绝对值最小的角，并求出的集合试写出角并且的终边经过点若角象限角；是第角，则后成为角边在按顺时针方向旋转是第二象限角，当其终若例A A P αααααθ︒︒-∈-︒ . ,30 125 (2) ___,43tan ___,34cos ___,3sin 2.(1)2求扇形的弧长和半径长弧度，面积为已知扇形的圆心角为计算：例cm πππππ===例3. 化简：设Z,∈k .])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ-++++-k k k k 五、课堂小结1. 任意角的三角函数；2. 同角三角函数的关系；3. 诱导公式.六、课后作业1. 阅读教材P.67-P.68；2. 《习案》作业十六中1至6题.。
三角函数章节复习与小结总第 16课时授课时间; 年月日学习目标：1、对本章知识系统化，网络化。
2、通过本章学习，感受三角函数与实际生活地紧密联系，感受数学地价值. 学习重点：三角函数地图象与性质.学习难点：三角函数知识地综合运用.学习过程：一、背景设置1、三角函数章节有关知识点：⑴三角函数地定义，符号，任意角三角函数⑵三角函数线，弧长公式，弧度与角度地互化⑶同角三角函数关系式⑷诱导公式⑸三角函数地性质，定义域，值域，周期性，奇偶性，最值，对称轴，对称中心本章内容结构图：二、探究研究1 .一个半径为R 地扇形，它地周长为4R ，则这个扇形所含弓形地面积是：A ．))1sin(cos 2(212R - B ．)1sin(cos 212RＣ．221R Ｄ．221cos 1sin R R -２.设θ是第二象限角，则必有：Ａ.2cot2tanθθ>；Ｂ.2cot2tanθθ<；Ｃ.2cos2sinθθ>；Ｄ.2cos2sinθθ<3. 已知Ｐ（-4k ，3k ）(0≠k )是角α终边上一点，则ααcos sin 2+ 地值等于：Ａ.52± Ｂ. 52Ｃ. 52- Ｄ.51± ４.将函数()x f y =地图象沿x 轴向左平移6π个单位，再使图象上所有点地纵坐标不变，横坐标变为原来地２倍，得到x y cos =地图象，则)(x f 可能是：Ａ.)62cos()(π+=x x f Ｂ.)62cos()(π-=x x fＣ. )32cos()(π+=x x f Ｄ. )32cos()(π-=x x f 5 .在ABC∆中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则ABC∆形状是A 、等腰∆B 、∆RtC 、等腰∆RtD 、等腰或∆Rt6 .比较大小：.47cos ,101sin ,23cos -____________________.7 .已知,21cos sin 1-=+x x 则=-xx sin 1cos ____________. 8 .已知)(x f 为奇函数，且)()4(x f x f =+，则____________)2006(=f .三、教学精讲 例1 已知,57cos sin =+αα且1tan >α，求αcos 地值。
三角函数复习与小结【学习目标】：1.掌握任意角的概念和弧度制；2.掌握任意角的上哪交函数，诱导公式一级同角三角函数的基本关系；3.掌握三角函数的图像和性质；4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；5.能应用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描写周期变化现象的重要教学模型.【重点难点】：三角函数的综合应用一、典例分析例1、已知角α的终边经过点)0)(4,3(≠-m m m P ，求sin α，cos α，tan α的值.例2、求下列函数的定义域：(1)y =(2)lg sin y x =+例3、求证22cos sin 1tan 12sin cos 1tan αααααα--=++例4、已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，(0,2)θπ∈，求：（1）sin cos 1cos 1tan θθθθ+--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根以及此时θ的值.例5、已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在一周期内，当12π=x 时，y取得最大值3，当127π=x 时，y 取得最小值3-，求函数的解析式.例6、设函数m x x f ++=)62sin()(π（1）写出函数()f x 的周期以及单调区间；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，函数()f x 的最小值为2，求当x 取何值时，函数()f x 取最大值. （3）在（2）的条件下，怎样由cos y x =变换到()f x ?二、课堂练习：1、（1）若α是第四象限角，πα-是第_______象限角.（2）已知α为第三象限角，则2α所在的象限为__________. （3）若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角α的终边在第_______象限.2、若51cos =，且α为第四象限角，则)2cos(πα+=______________. 3、定义在R 上的函数()f x 既是偶函数有事周期函数，若()f x 得最小正周期是π，且当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，x x f sin )(=，则=)35(πf ______________.4、已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ---+=-+-+（1）化简()f α； （2）若81)(=αf ，且24παπ<<，求cos sin αα-的值； （3）若πα447-=，求()f α的值.三、拓展延伸1、是否存在实数a ，使得函数2385cos sin 2-++=a x a x y 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为1?若存在，求出对应的a 值；若不存在，请说明理由.2、设函数()sin(2)(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8π=x . (1)求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间；（3）画出函数()y f x =在区间[]π,0上的图像.【课堂小结】。
正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。
人教版高中数学高一必修4第一章三角函数章末复习第1课时教案◆一、核心素养1.会用弧度制来表示角度，以及弧长公式和面积公式，借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切的定义；2.能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。
3.掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．4.在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。
◆二、教学重点、难点重点：能正确地进行弧度和角度的换算；会判断三角函数值的符号；能熟练地运用终边相同角的集合及诱导公式研究相关问题；能利用公式化简，证明三角函数式、三角恒等式。
难点：熟记特殊角的三角函数值，同角三角函数关系，善于运用特殊值解决问题。
◆三、教学过程设计回顾本章的整体内容，构建知识网络，启发、引导学生建立各节内容的知识结构图知识梳理：1、角的概念推广，零角，正角，负角推广到实数集R2、角度值与弧度制的互化特殊角的转化结果0 3、任意角的三角函数定义(1)与a 终边相同的角的集合A={x|x=a+k.360}(2)第一象限角的表示方法从而推到所以象限角的表示以及坐标角的表示方法︒306π︒454π3π︒602π︒12032π︒13543π︒15065π︒270π23π︒180 ︒0︒360π2︒90y x x r y r x y rx r y ======ααααααcot ,sec ,csc tan ,cos ,sin符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦4、同角三角函数关系式aa a cos sin tan = 1cos sin 22=+a a5、三角函数线6、诱导公式 奇变偶不变，符号看象限例题练习：本题目的是为了练习弧长公式以及三角函数定义的应用例2、已知扇形周长为20cm ，当半径和圆心角为多少时，才能使扇形面积最大，最大面积为多少？本题是为了明确弧度制实际上是实数集范围内的，又结合了二次函数求值域的方法。
第一章三角函数章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关注角的概念的推广(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．确定角所在象限的关注点由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α<0时，α终边在第三、四象限或y 轴负半轴上．3．关注正切函数的定义域(1)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，不可写为{x |x ≠k ·360°＋90°，k ∈Z}．(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件． 4．平方关系应用的关注点由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论．5．正确应用诱导公式(1)明确诱导公式的基本功能：将k ·π2±α(k ∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化． 6．关注三角函数的定义域、值域(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性(1)要求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的相应单调区间，再把其中的“x ”用“ωx ＋φ”代替，解关于x 的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A 的正负．(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.专题一 三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．[例1] (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限．(2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．解：(1)依题意得2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z)，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时，α2为第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α2为第三象限角．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0.所以α2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上． 综上所述，α2是第三象限角．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. 所以k π－π6≤x <k π＋π2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .归纳升华1．由α所在象限，判断α2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．[变式训练] (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的正切值． 解：(1)因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－43.专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．[例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2， 所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ 4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝ 8－4－34＋1＝15. 法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2，即sin θcos θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ (2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝ cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. 归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π4等；(3)若式子中有角k π2，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简．[变式训练] 已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)1sin 2α－sin αcos α－cos 2α；(2)2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2α.解：(1)原式＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－sin αcos α－cos 2α＝tan 2α＋1tan 2 α－tan α－1＝4＋14－2－1＝5. (2)原式＝2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan 2α－32tan α＋5tan 2α＋1 ＝2×4－32×2＋54＋1＝2.专题三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．[例3] 函数y ＝A sin(wx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.答案：A1．求解析式的方法：A ＝y max －y min2，k ＝y max ＋y min2，ω＝2πT，由“五点作图法”中方法令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ.2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．[变式训练] 函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析：函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)．答案：B专题四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[例4] 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π6＋k π，k ∈Z.所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z .归纳升华1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解．[变式训练] (2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π，又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.答案：A专题五 转化与化归思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．[例5] 求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调区间．解：将原函数化为y ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4.由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z)，此时函数单调递减．由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z)，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)，此时函数单调递增．故原函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z)．归纳升华1．求形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y ＝－A sin(－ωx －φ)的形式后，再利用函数y ＝sin x 的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是关键．2．在求形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域或最值时，常令t ＝sin x 转化为一元二次函数来求解．[变式训练] 已知函数f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值； (3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)，求f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．解：(1)f (α)＝－cos α·sin α·（－tan α）tan α·（－sin α）＝－cos α.(2)由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α， 因为f (α)·f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，即cos α·sin α＝18，可得(sin α－cos α)2＝34，又5π4≤α≤3π2，cos α≥sin α， 所以f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)结合(2)得sin α＝－2cos α， 联立sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝15，所以f (α)·f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos α·sin α＝2cos 2α＝25.。
