1.6-7 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较

第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：（一） 无穷小与无穷大 一、无穷小量定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。

无穷小量只是极限的一个特殊情况（A =0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出无穷小的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分大时有定义。

若 ∀ M >0，∃ X >0，∍ |x |> X ⇒ ⎪f (x ) ⎪>M ，则称函数f (x )当x →∞时为无穷大量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。

且若函数是无穷大，则函数必无极限。

但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。

如：x →0时，x 1是无穷大；x → -1时，2)1(1x +也是无穷大；x →∞时，1-ln x 是无穷大。

显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x →∞，的值非负且越来越大，而1-ln x 则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。

将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正无穷大和负无穷大的定义。

共有21种无穷大的定义。

例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ∀ M >0，要使⎪f (x ) ⎪=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取 δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，⇒ │11-x │>M ， ∴ ∞=-→11lim1x x . 注❶ 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。

❷ 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。

课时授课计划课次序号：05一、课题：§1.6极限存在准则两个重要极限§1.7 无穷小的比较二、课型：新授课三、目的要求：1.了解极限的两个存在准则，并会利用它们求极限；2.掌握利用两个重要极限求极限的方法；3.掌握无穷小阶的概念以及利用等价无穷小替换求极限的方法.四、教学重点：利用两个重要极限以及等价无穷小替换求极限.教学难点：利用极限的存在准则求极限.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–6 1（1）（6），2（3）；习题1–7 1，4（3）八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则. 有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，再用其他方法求得.下面先介绍判定函数极限存在的两个准则，然后介绍两个重要极限.在此基础上，进一步介绍无穷小的比较与等价无穷小的性质．第六节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则1. 夹逼准则定理1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件： （1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ， （2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。

证 ,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε1,n n N y a ε>-<当时,恒有 2,n n N z a ε>-<当时,恒有},,max{21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n所以恒有时当,N n >,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n.lim a x n n =∴∞→例1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解11112222+<++++<+n n nn n nn n ，而 11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ， 所以原式极限为1.定理1/ 设在点x 0的某去心邻域有12()()()F x f x F x ≤≤, 且0lim x x →F 1(x )= 0lim x x →F 2(x )=A ，则0lim ()x x f x →=A .证 由已知条件, ∃δ1＞0,当x ∈0U (x 0,δ1)时, 12()()()F x f x F x ≤≤.又由0lim x x →F 1(x )=0lim x x →F 2(x )=A 知: ∀ε＞0,∃δ2＞0,当x ∈0U (x 0,δ2)时,｜F 1(x )-A ｜＜ε,∃δ3＞0,当x ∈0U (x 0,δ3)时,｜F 2(x )-A ｜＜ε.取δ=min(δ1,δ2,δ3),则当x ∈0U (x 0,δ)时,得 A -ε＜12()()()F x f x F x ≤≤＜A +ε.由极限定义可知，0lim ()x x f x A →=.夹逼定理虽然只对x →x 0的情形作了叙述和证明,但是将x →x 0换成其他的极限过程,定理仍成立,证明亦相仿.例如,若∃X ＞0使x ＞X 时有12()()()F x f x F x ≤≤,且lim x →+∞F 1(x )=lim x →+∞F 2(x )=A , 则lim x →+∞f (x )=A.2. 单调有界准则定义 数列{}n x 的项若满足x 1≤x 2≤…≤x n ≤x n +1≤…，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满足x 1≥x 2≥…≥x n ≥x n +1≥…，则称数列{}n x 为单调减少数列．当上述不等式中等号都不成立时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列．定理2 单调有界数列必有极限．该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去．例2 证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．证 只需证明11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加且有上界．当a ＞b ＞0时，有 a n +1-b n +1=(a -b )(a n +a n -1b +…+ab n -1+b n )＜(n +1)(a -b )a n , 即a n ［(n +1)b -na ］＜b n +1． （8）取a =1+1n ，b =1+11n +代入(8)式，得 11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1111n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调增加的．取a =1+12n ，b =1代入(8)式，得 112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜2，从而2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，n =1，2，…，又由于 211121n n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，所以11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4对一切n =1，2，…成立，即数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界，由收敛准则可知11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．我们将11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限记为e ，即 1l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e ．二、两个重要极限利用夹逼定理，可得两个非常重要的极限.1. 第一个重要极限 0sin lim1x x x→=我们首先证明0sin lim1x x x+→=.因为x →0+，可设x ∈（0，2π）.如图1－35所示，其中， EAB为单位圆弧，且OA =OB =1，∠AOB =x ，则OC =cos x ，AC =sin x ，DB =tan x ，又△AOC 的面积＜扇形OAB 的面积＜△DOB 的面积， 即 cos x sin x ＜x ＜tan x .因为x ∈（0，2π），则cos x ＞0，sin x ＞0，故上式可写为cos x ＜sin x x＜1cos x.由0lim cos 1x x →=，01lim1cos x x→=，运用夹逼定理得 0sin lim 1x x x+→=. 注意到sin x x是偶函数，从而有0sin sin()sin limlim lim 1x x z x x z xxz--+→→→-===-.图1－35综上所述，得 0s i n l i m1x x x →=.例3 证明0tan lim1x x x→=.证 0tan sin 1limlimcos x x x x xxx→→=⋅sin 1limlim1cos x x x xx→→=⋅=.例4 求21cos limx xx→-.解 22220002(sin )sin1cos 1122lim lim lim 222x x x xx x xx x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 例5 求3tan sin lim x x xx →-.解 33tan sin sin (1cos )limlimcos x x x xx x xx x→→--=20s i n 1c o s 11l i m c o s 2x x x x x x→-=⋅⋅=.例6 求1lim sinx x x→∞.解 令u =1x，则当x →∞时，u →0，故01sin lim sinlim1x u u x x u→∞→==.从以上几例中可以看出，0sin lim1x x x→=中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中有lim ()0u x =（()u x ≠0），则sin ()lim1()u x u x =.2.第二个重要极限 1lim (1)e x x x→∞+=前面我们已证明了1lim (1)e nn n→∞+=.对于任意正实数x ，总存在n ∈N ，使n ≤x ＜n +1，故有1+11n +＜1+1x≤1+1n，及1111(1)(1)(1)1nxn n xn++<+<++.由于x →+∞时，有n →∞，而11(1)11lim (1)lime 1111n nn n n n n +→∞→∞+++==+++，1111lim (1)lim (1)(1)e n nn n nnn+→∞→∞+=++= ，由夹逼定理使得1lim (1)e xx x→+∞+=.下面证1lim (1)e xx x→-∞+=.令x =-（t +1），则x →-∞时，t →+∞，故(1)(1)11lim (1)lim (1)lim ()11xt t x t t t xt t -+-+→-∞→+∞→+∞+=+=++lim ()()e 11tt t t t t →+∞==++.综上所述，即有 1l i m (1)e xx x→∞+=.在上式中，令z =1x，则当x →∞时，z →0，这时上式变为1lim (1)e z z z →+=.为了方便地使用以上公式，常将它们记为下列形式：（1） 在某极限过程（x →x 0，x →∞，x →-∞，x →+∞）中，若lim ()u x =∞，则()1lim 1e ()u x u x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；（2） 在某极限过程中，若lim ()0u x =，则 []1()lim 1()e u x u x +=.例7 求lim (1)xx k x→∞+（k ≠0）.解 l i m (1)l i m (1)xkxk x x k k xx →∞→∞+=+ l i m (1)ekx kkx k x →∞⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. 例8 求1lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭. 解 22111lim lim 1lim 1222xxx x x x x x x x +-→∞→∞→∞+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111lim 1lim 1e22x x x x x +--→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .例9 求0ln(1)limx x x→+.解 1ln(1)limlim ln(1)ln e =1x x x x x x→→+=+=.例10 求0e 1limxx x→-.解 令u =e x -1，则x =ln （1+u ），当x →0时，u →0，故e 11limlimlim1ln(1)ln(1)xx u u u u xu u→→→-===++.例11 求ln ln limx ax a x a→--（a ＞0）.解 令u =x -a ，则x =u +a ，当x →a 时，u →0，故ln ln ln()ln limlimx au x a u a ax au→→-+-=-011limln(1)au u u aaa→=+=.第七节 无穷小的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度.一、无穷小阶的概念定义 设(),()x x αβ是同一极限过程中的两个无穷小量：lim ()0,lim ()0x x αβ==.若()lim0()x x αβ=，则称()x α为()x β的高阶无穷小，记为α（x ）= o （β（x ））. 若()lim()x x αβ=∞，则称()x α为()x β的低阶无穷小，记为β（x ）= o （α（x ））. 若()lim ()x A x αβ=（A ≠0），则称()x α是()x β的同阶无穷小. 特别地，当A =1时，则称α（x ）与β（x ）是等价无穷小，记为α（x ）~β（x ）. 若在某极限过程中，α是βk的同阶无穷小量（k ＞0），则称α是β的k 阶无穷小. 例如：因为01cos lim0x xx →-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 的高阶无穷小量，即1-cos x =o （x ） （x →0）.因为21cos 1lim2x xx→-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 2的同阶无穷小量，即1-cos x =O （x 2）（x →0）.因为0sin lim1x x x→=，所以当x →0时，与sin x 与x 是等价无穷小量，即sin x x （x →0）.二、等价无穷小的性质等价无穷小在极限计算中有重要作用.定理1 设α ，β为同一极限过程的无穷小量，则()o αββαα⇔=+ .定理2 设,,,ααββ''为同一极限过程的无穷小量，,ααββ'' ，若limαβ存在，则 limlimααββ'='.证 因为,ααββ'' ，则lim1αα'=,lim1ββ'=，由于αααββαββ'''=',又limαβ存在，所以 l i m l i m l i ml i m l i m αααβαβαβββ''==''. 定理2表明,在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代，这个结论可写为以下的推论.推论1 设,ααββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大量，则 ()()limlimf x f x ααββ'='.推论2 设αα' ，若lim ()f x α存在或为无穷大，则 lim ()lim ()f x f x αα'=. 在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x →0时，sin ,tan ,arcsin ,arctan ,x x x x x x x x ，1-cos x ~212x ，ex-1~x ，ln （1+x ）~x，1~2x ，(1)a x +-1~αx （α∈R ）.例1 当x →0时,22~2x x x -,232~x x x -, 2sin ~x x x +, c o s ~2x x .例2 求0tan 7limsin 5x x x→.解 因为x →0时，tan7x ~7x ，sin5x ~5x ，所以 00tan 777limlimsin 555x x x x xx→→==.例3 求0eelimsin sin axbxx ax bx→-- (a ≠b ).解 ()0e ee [e 1]limlimsin sin 2cossin22axbxbx a b xx x a ba b ax bxx x-→→--=+--()0e e1limlim cos2sin22bx a b xx x a b a b xx-→→-=+- 0()lim1()22x a b x a b x→-==- .例4 求223lim ln(1)x x x→∞+. 解 当x →∞时，2233ln(1)xx+，故222233lim ln(1)lim 3x x x x xx→∞→∞+== .例5 当x →0时，tan x -sin x 是x 的几阶无穷小量？解 23330tan sin tan (1cos )12limlimlim2x x x xx x xx x xxx →→→⋅--===， 所以，当x →0时，tan x -sin x 是x 的三阶无穷小量. 例6求21limsin 2x x x→+.解211~()~22x x x +，2sin 2~sin 2~2x x x x +，所以20112limlim sin 224x x xx xx →→==+. 课堂总结1.极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2.两个重要极限：1sin 1lim1,lim (1)e lim (1)e xx x x x x x xx→→∞→=+=+=或；3.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k 阶；4.等价无穷小替换求极限的方法.。

两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。

其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。

第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。

其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。

这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。

柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。

而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。

这两个定理的应用范围和方法略有不同。

除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。

无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。

对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。

对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。

无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。

对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。

对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。

第三讲 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较教学目的 1.了解两个极限存在准则.2．理解掌握并会运用两个重要极限.3．了解无穷小阶概念，会用等价无穷小求极限.教学重点 两个重要极限及等价无穷小的概念. 教学难点 用两个重要极限和等价无穷小求极限. 教学时数 2学时. 教学过程一、极限存在准则准则I 如果数列{nX }，{n Y }及{n Z }满足下列条件：(1)),3,2,1.( =≤≤n Z XY n nn ,(2) ay n n =∞→lim ，aZ n n =∞→lim ,那么数列{nX }的极限存在，且aXnn =∞→lim .证 因为ay n n =∞→lim所以0,ε∀>∃正整数N 1，当1N n >时，有ε<-a y n ,又a Z n n =∞→lim ，所以对上述0>ε，∃正整数2N ，当2N n >时，ε<-a Z n ，取},m a x {21N N N =，则当N n >时，有εε<-<-a Z a y n n ,同时成立，即.εε+<<-a y a n .εε+<<-a Z a n ,又因为nX 介于nY 和nZ 之间，所以当N n >时，有.εε+<≤≤<-a Z X y a n n n 即ε<-a X n 成立，这就证明了aX n n =∞→lim将数列极限存在准则推广到函数的极限： 准则I 如果(1) 当),(0r x U x∈(或Mx >)时，有)()()(x h x f x g ≤≤,(2)Ax g x x x =∞→→)(lim )(0，A x h x x x =∞→→)(lim )(0，那么)(lim )(0x f x x x ∞→→存在，且等于A ．以上称为夹逼准则．准则II 单调有界数列必有极限．单调增数列：如果数列{n X }满足条件≤≤≤≤≤≤+1321n n x x x x x ,单调减数列：如果数列{n X }满足条件1321+≥≥≥≥≥n n x x x x x .准则II 可具体为：单调增数列有上界或单调减数列有下界时必有极限．准则II 设函数)(x f 在点0x 的某个左领域内单调并且有界,则)(x f 在0x 的左极限)(0-x f 必定存在．例1 求证：1cos lim 0=→x x .证 当20π<<x 时,2)2(22sin2cos 11cos 0222xxx x x =⋅<=-=-<，即2c o s 102xx <-<, 当0→x 时，022→x,由准则'I ，有0)cos 1(lim 0=-→x x ,所以1cos lim 0=→x x .注 用准则I 时，必须构造出两个具有相同极限的函数，并且在要求的函数的两侧．二、两个重要极限1．1sin lim=→xx x函数xx x f sin )(=对于一切0≠x 都有定义，当0→x 求极限时可限制x为锐角．如图1所示的单位圆中，设圆心角)20(π<<=∠x x AOB ，点A 处的切线与OB的延长线相交于D ，又OABC ⊥，则s i n ,,t a n x C B xA B x A D ===．因为AOB ∆的面积<圆扇形 AOB的面积A O D ∆<面积，所以x x x t a n2121s i n 21<<，即x x x t a n s i n <<将上述不等式两边都除以x sin ，就有x xx cos 1sin 1<<或1sin cos <<xx x ，因为当x用x -代替时，x cos 与xxsin 都不变，所以上面的不等式对于开区间)0,2(π-内的一切x 也是成立的．由例1知1cos lim 0=→x x ，11lim 0=→x ,由极限存在准则I '知1sin lim=→xx x .(1) 公式1sin lim=→xx x ，1cos 1sin limtan lim=⋅=→→xxx xx x x .(2)11sinsin 1limlim1x tx t x txt=→→∞=−−→.(3) 注意公式的形式1sin lim=⊗⊗→⊗.例2 求x xx tan lim0→.解1cos sin limtan lim0=⋅=→→x xx x x x x .例3 求xx x 2sin lim→.解=→xx x 2sin lim222sin 2lim=→xx x .注 一定要符合重要极限形式．因为0→x 时02→x ，按公式有122sin lim2=→xx x .例4 求20cos 1limxxx -→.解 =-→2cos 1limxxx 212sin2lim22=→xx x 21)2(2sin lim22=→x xx .例5 求xxx arcsin lim0→.解 令x t arcsin =，则t x s i n =．当0→x 时，有0→t ,于是有x x x a r c s i n lim→=1sin lim 0=→t tx .例6 求)0(,sin sin lim≠→b bxax x .解 bx ax x sin sin lim 0→==→x bx x axx sin sin lim0b a bx bx axax b a x =→sin sin lim 0.注 在求极限时，可上下同除非零数x ．2. 1lim (1)xx ex →∞+=考虑x 取正整数n 而趋于∞+的情形．设nn n x )11(+=，则(1){n X }单调增加．因为nn nx )11(+==n n n n n n n n n n n n n n n n 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!1132⋅+--++⋅--+⋅-+⋅+=)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n ----++--+-++类似地=+1n x++-+-++-++)121)(111(!31)111(!2111n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+11111)!1(1111121111!1n n n n n n n n n比较nx ，1+n x 的展开式，可以看到除两项外，nx 的每一项都小于1+n x 的对应项，并且1+n x 还多了最后一项，其值大于0，因此n x <1+n x ，这就说明数列{n x}是单调增加的．又因为32132112111212111!1!31!211111<-=--+=++++<+++++<--n nn n n x ，数列{nx }有界．由数列存在准则Ⅱ，这个数列{nx }的极限存在，通常用字母e 来表示它，即exxx =+∞→)11(lim .可以证明，当x 取实数而趋于∞+或∞-时，函数xx )11(+的极限都存在且等于e ．因此ex xx =+∞→)11(lim ，这个e 是无理数，它的值是e=2.71828.(1) 这个重要极限必须是∞1型，且第二项与幂指数为到数关系：e=⊗+⊗∞→⊗)11(lim .(2) =-∞→xx x )11(lim 11})]1(1{[lim ---∞→=-+exxx .(3)xt xxx 1)11(lim =+∞→=1lim (1)t t ot e→+=，这是重要极限的等价形式．例7 求xx x)21(lim +∞→.解 ∞→x lim(1+x2)xx.=∞→x lim[(1+x2)2x]2=e 2. 例8 求∞→x lim(1-x 31)x.解 ∞→x lim {[1+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 31]x3-}31-=e 31-.注 必须是1∞型，且第二项与幂指数为倒数关系才能用重要极限公式,即∞→-x 3lim[1+)3(1x -])3(x -=e.例9 求0lim→x (1+2x)x 1. 解 0lim→x (1+2x)x1= 0lim→x [(1+2x)x21]2=e 2.注 这里用的是公式：02lim→x (1+2x)x21=e.三、无穷小的比较 由无穷小的概念知：0lim→x x=0,lim→x x 2=0,0lim→x x 3=0．当x →0时，x ，x 2，2x ，x 3均为无穷小，它们商的极限可以是各种情况．如lim→x 23xx =0，lim→x 2xx =∞,0lim→x x x2=2,即可以是无穷小，也可以是常数．其商的极限也可以不存在．两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度不同．定义 设α,β是在同一变化过程中的无穷小且α≠0．limαβ也是在这个变化过程中的极限(1) 如果lim αβ=0,就是说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α),(2) 如果lim αβ=∞,就是说β是比α低阶的无穷小，(3) 如果lim αβ=c ≠0,就是说β与α同阶的无穷小，(4) lim 0≠=c kαβ,k>0,就说是β关于α的k 阶无穷小,(5) 如果lim βααβαβ~,1是等价无穷小，记做与就说=.注 (1) 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况，c=1．(2) 已知等价无穷小有：x →0时，x s i n ～x , x tan ～x ,x x ~arcsinx x ac ~tan ,(3) 由复合函数的极限运算法则知，当0)(→Φx 时，sin )(x Φ )(x Φ,说明等价无穷小的公式可以灵活运用．例如x 时0→,x x ~sin ,33~sin x x ,x x ~sin等等．例10 求证：2~cos 12xx - (x 0→). 证 因为0lim→x 2cos 12xx-=122lim22sin lim2222==→→x xxx x x .所以由等价定义可知x2~cos 102xx -→时，．注由xo→时,21cos ~2xx -,可得2~1c o s 2xx --.,2~cos1x x -,2~cos 142xx-等等．例11 证明：当xn x x n~110-+→时，.证：因为1]1......)1()1([1)1(lim11lim21=+++++-+=-+--→→nn n n nn x nx x x nx x nx x ，所以xn x x n~110-+→时，.注 比较常用的特例有：当n=2时，2~11xx -+． 当n=3时3~113x x -+.定理一 β与α是等价无穷小的充分必要条件为：)(αοαβ+=. 证 必要性 设0)1lim(lim,~=-=-αβααββα则.所以βααβαοα--=是比高阶的无穷小量，即（）.所以βαοα=+（）充分性设1)(limlim),(=+=+=ααοααβαοαβ则所以~αβ定理2 设,~,~''ββαα且αβlim存在，则''limlimαβαβ=．证 lim lim lim..lim'''''ββαααβββαβ=='''''limlim αβαααβ=.注 求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小来代替，这是一种求00型的极限的一种有效方法.例12 求x xx 5sin 2tan lim0→.解 当x 0→时，x x 2~tan ;x x 5~5sin ,5252lim5sin 2tan lim0==→→xx xx x x .注 此题也可以用重要极限公式去求．但用等价无穷小代换来求极限比较方便简单.例13 求1cos 1)1(lim3/12--+→x x x .解 当x 0→时，(1+x 2).2~1cos ,3~1223/1xx x---原式=3/22131lim22-=-→x xx .例14 求x x xx 3sin lim30+→.解 当x 0→时，x x ~sin ,无穷小x ，所以与它本身显然是等价的x 33+x x xx 3sin lim3+→=3131lim3lim230=+=+→→x xx xx x .例15 求x x x x 3sinsin tan lim-→.解 xx x x 3sinsin tan lim-→=21cos 1.tan lim)cos 1(tan lim203=-=-→→xx x x xx x x x . 注 在用等价无穷小替换求函数极限时要注意在乘积(商)的情况可直接代其中的因式，在和或差的情况下不能代其中的项．四、总结1．极限存在的两个准则，两个重要极限公式都是求极限的方法； 2．等价无穷小替换是求极限的又一重要方法；3．两个重要极限公式在运用时一定要注意结合它们的形式．。

准则1：若数列}{n x 、}{n y 、}{n z 满足以下条件：（i ） N n ∈∃0，当0n n >时，有n n n z y x ≤≤； （ii ）a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。

那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。

证明：因为a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，所以对0,01>∃>∀N ε，当1N n >时，有ε<-a y n ，即εε+<<-a y a n ，对2N ∃，当2N n >时，有ε<-a z n ，即εε+<<-a z a n ，又因为n n n z x y ≤≤，所以当},{21N N Max N n =>时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即有：εε+<<-a x a n ，即ε<-a x n ，所以 a x n n =∞→lim 。

准则1′如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤。

（ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(。

那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A 。

第一个重要极限：1sin lim0=→xxx作为准则I ′的应用，下面将证明第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx 。

证明：作单位圆，如下图： 设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AOD AOB AOB S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<， （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向，若02<<-x π，不等式也成立）当x 改变符号时，x x x sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切 x ，有1si n co s <<x xx 。