北师大版数学必修四：《单位圆与诱导公式》导学案(含解析)

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一π2±α的诱导公式 思考1 角α与π2＋α的正弦函数、余弦函数有何关系？答案 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α. 思考2 能否利用公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α得出π2－α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦的关系？ 答案 以－α代换公式中的α得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos(－α)＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin(－α)＝sin α. 梳理 对任意角α，有下列关系式成立：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α(1.13)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α(1.14) 诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.知识点二 诱导公式的记忆方法1.α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.2.π2±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看π2±α的函数值符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”.诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.1.sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝±cos α.(×)提示 当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.2.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.( × ) 提示 应看原三角函数值的符号.类型一 利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值； (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝12.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 反思与感悟 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.跟踪训练1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值.考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 解 ∵α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.类型二 利用诱导公式化简例2 化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2－αsin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z .考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简解 当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π＋π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－π2－αsin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αsin (π＋α)cos α＝－sin αcos α－sin αcos α＝1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z ). 仿上化简得：原式＝1. 故原式＝1.反思与感悟 用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.跟踪训练2 化简：sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋32π.考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 解原式＝sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α·cos α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α·cos α－cos α·sin α＝1.类型三 诱导公式的综合应用例3 已知f (x )＝sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－x cos (3π－x )sin (π－x )sin (－π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋x .(1)化简f (x )；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π.考点 诱导公式的综合应用 题点 诱导公式的综合应用解 (1)f (x )＝sin x (－cos x )cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos (π－x )sin x [－sin (π－x )]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x＝sin x (－cos x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －cos x sin x (－sin x )cos x＝sin xcos x.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－sin π3cos π3＝－ 3.反思与感悟 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 跟踪训练3 已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos(α－π)＝15，求f (α)的值.考点 诱导公式的综合应用 题点 诱导公式的综合应用解 (1)f (α)＝sin α·cos α·(－cos α)cos α·sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－π)＝15，所以cos α＝－15，所以f (α)＝－cos α＝15.1.已知sin α＝513，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α等于( ) A.513 B.1213 C.－513 D.－1213 考点 利用诱导公式求值答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 2.若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( )A.－53 B.－23C.53 D.±53考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α＝－53.3.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ＋sin(φ－π)的值为( ) A.－33B.33C.－3D. 3考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－φ＋sin ()φ－π＝－sin φ－sin φ＝3，故选D.4.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝.考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 35解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35.5.已知sin(π＋α)＝－13.计算cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2.题点 给值(式)求值问题解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.一、选择题 1.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45B.－45C.±45D.35 答案 B 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α＝－35，且α是第四象限角，∴cos α＝45，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－45.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cos A ＋C2＝sin BD.sinB ＋C2＝cos A2考点 诱导公式在三角形中的应用 题点 诱导公式在三角形中的应用 答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 项不正确；∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 项正确. 4.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m2考点 利用诱导公式求值 题点 综合利用诱导公式求值 答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m 2. 5.已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C.－13D.－23 考点 利用诱导公式求值题点 给值(式)求值问题 答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.6.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2·sin(π－θ)等于( ) A.－1225 B.－625C.－25 D.1225考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 A解析 由sin θ－cos θ>1，可知cos θ<0. 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝45，得sin θ＝45，∴cos θ＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin(π－θ)＝cos θsin θ＝－1225，故选A. 二、填空题7.若cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝. 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 －13解析 因为cos α＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－13.8.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝.考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式化简 答案 －1解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1.9.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)＝.考点 诱导公式的综合应用 题点 诱导公式的综合应用 答案 －12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.10.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝. 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 －13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝.考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 －34解析 ∵角α的终边经过点P (－4，3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝sin αcos α＝－34.12.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3，n ∈Z 的结果为.考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式化简答案 34解析 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3·cos 4π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π＝sin 2π3·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π－2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋4π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝34，n ∈Z . 三、解答题13.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (10π＋α)＋sin (11π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin (π＋α).考点 利用诱导公式化简题点 利用诱导公式化简 解 原式＝－cos αsin αcos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝. 考点 利用诱导公式求值题点 给值(式)求值问题答案 －34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值. 考点 诱导公式综合问题题点 诱导公式与函数的综合解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin α cos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α. (1)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15， ∴sin α＝－15， ∴f (α)＝1sin α＝－5. (2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860° ＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》4单位圆与诱导公式（1）导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导角αππαα-±-,,的正、余弦函数 的诱导公式，并会用诱导公式进行简单三角函数式的求值与化简.2. 通过诱导公式的推导，进一步培养用几何法研究代数问题的方法，体会周期性、对称性在研究问题中的价值.【自主学习】1. 锐角α的终边与α-的终边位置关系如何？任意角α与α-呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角α-的终边与单位圆的交点'P 的坐标为 ____.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与α-的正、余弦函数之间的关系吗？2. 锐角α的终边与πα±的终边位置关系如何？任意角α与πα±呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角πα±的终边与单位圆的交点'P 的坐标为______.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与πα±的 正、余弦函数之间的关系吗？3.锐角α的终边与απ-的终边位置关系如何？任意角α与απ-呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，则角απ-的终边与单位圆的交点'P 的坐标为______.由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与απ-的正、余弦函数之间的关系吗？4. 求下列函数值：（1）ο150cos ； （2）)45sin(π-； （3）)1320cos(ο-.【合作探究】1. 在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点)1312,135(-P ，写出点P 关于x 轴、y 轴 和原点对称的点的坐标，并分别求出角απαπααπ-+--2,,,的正弦函数值、余弦 函数值.2.化简：)sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ-----+.3. 利用单位圆，求适合下列条件的角的集合.（1）22cos -=α； （2）21sin ≤α.【课堂检测】 1.下列各式不正确的是（ ）A. ααsin )180sin(-=+οB. )cos()cos(βαβα--=+-C. ααsin )360sin(-=--οD. )cos()cos(βαβα+=-- 2.已知)30(31)sin(πααπ<<-=+，求)sin(απ-的值.3. 化简：)5sin()4sin()2sin()sin()3sin()sin(απαππαπααπαπ+----+--.【课堂小结】【课后训练】。

高一年级数学导学案课题：单位圆与诱导公式 时间： 一、学习目标1巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式2能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值二、重难点运用诱导公式求出任意角的三角函数值三、学习过程1、(1)利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：(,)P x y 为角α的终边与单位圆的交点则 sin y α=，cos x α=；2、诱导公式由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．(1)公式一:思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？当角α的终边与角β的终边关于x 轴对称时，α与β的三角函数值之间的关系为： 。

(2)公式二：当角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，或是关于原点对称时，α与β的三角函数值之间的关系为：(3)公式三：（4)公式四：说明：①公式中的α指使公式两边有 意义的任意一个角；②若α是角度制，同样成立, 如0sin(180)α+=sin α-，cos(180)α+=-o cos α； ③公式特点：函数名不变，符 号看象限例1例1．求下列三角函数值：（1）sin 960o ； （2）43cos()6π-； （3）tan(1560)-o ．分析：先将不是)0,360⎡⎣o o 范围内角 的三角函数，转化为)0,360⎡⎣o o 范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角的三角函数的值。

【解】【归纳总结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化大于的正角的三角函数)0,360⎡⎣oo 内的三角函数；③化)0,360⎡⎣o o 内的角的三角函数为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，小化锐”（有时也直接化到锐角求值）．例2判断下列函数的奇偶性：（１）()1cos f x x =- （２）()sin g x x x =-说明:公式二可直接对应三角函数的奇偶性．环节设计四、课堂练习：，求下列各式的值（1）．sin( - )（2）．sin( - ) ．判断下列函数的奇偶性：(1)()sin (2)()sin cos f x x f x x x ==延伸】例3．化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．：关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分五、课堂小结与作业布置 六、教与学反思431π316π。

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

单位圆的对称性与诱导公式班级姓名组号编写人：王松涛审核人：【学习目标】、感受数学探索的成功感，提高学习数学的兴趣；、经历诱导公式的探索过程，感悟由未知到已知、复杂到简单的数学转化思想。

、能借助单位圆的对称性理解记忆诱导公式，能用诱导公式进行简单应用。

【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用【学习过程】一、预习自学（一）温故知新（）单位圆中任意角α的正弦、余弦的定义：在平面直角坐标系单位圆中，若角α的终边与单位圆交于（），则 ;（）对称性：已知点()，那么，点关于轴、轴、原点对称的点坐标分别是（二）学习新知阅读书第页——页内容，通过对－α、π－α、π＋α、π－α、α的终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：()与的正弦函数、余弦函数关系()角与角的正弦函数、余弦函数关系()角与角的正弦函数、余弦函数关系()角与角的正弦函数、余弦函数关系二、合作探究探究、求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。

（）（） ()(－ )；探究:化简：探究、书页练习第（）三、学习小结（）你本节课学了的哪些知识内容？涉及到什么数学思想方法？（）你能说说化任意角的正（余）弦函数为锐角正（余）弦函数的一般思路吗？（）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？【达标检测】、在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（，）,则(－α)(α±π)(π－α).求下列函数值:（）（）； () º、若α,则α的集合。

4.3 单位圆与诱导公式问题导学1．周期函数的理解与应用活动与探究1已知f（x＋a)＝－f(x）(a＞0），求证：f(x）是周期函数,并求出它的一个周期．迁移与应用(1）若钟摆的高度h(mm)与时间t(s）之间的函数关系如图所示．则该函数的周期及在t＝25 s时钟摆的高度为( ）A．2 s,10 mm B．1 s，20 mmC．1 s，10 mm D．2 s,20 mm（2）已知函数f（x)是R上的周期为5的周期函数，且f（1)＝2 012，求f（11）．(1）周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T）＝f（x）,则不能说T是f(x)的周期．（2）从等式f（x＋T)＝f（x）来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如f（2x＋T）＝f（x），不能说T是f（x)的周期．2．利用诱导公式求值活动与探究2求下列三角函数值．（1)cos 945°；(2)sin错误!π；(3）cos错误!；（4）sin错误!．迁移与应用求下列三角函数值．（1)sin错误!；(2）cos错误!；（3)cos（－60°）－sin(－210°)．解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角,然后再把大于360°的角利用诱导公式转化到0°～90°之间的角进行求值．在公式的选取上没有固定格式，关键在于熟练运用．活动与探究3已知cos错误!＝m（|m｜≤1），求cos错误!，sin错误!的值．迁移与应用已知sin（45°＋α)＝错误!，求sin(135°－α）的值．利用诱导公式解决条件求值问题的方法(1)仔细分析条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算的差异及联系．(2)当条件式与所求式中未知角的符号相同时,将两角相减，当未知角符号相反时, 将两角相加可得出两角的关系，再选用恰当诱导公式求值．3．三角函数式的化简问题活动与探究4化简求值:错误!．迁移与应用化简:错误!．化简三角函数式的策略角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点,据此解答此类问题时要注意以下几点：（1）化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数）的绝对值尽量小，能求值的要求出值．（2）认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如错误!＋α可写成2π－错误!或π＋错误!，不同的表达方式,决定着使用不同的诱导公式．当堂检测1．cos 300°＝( )A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!2．已知f(x）是R上的奇函数，且f（1）＝2，f（x＋3)＝f（x)，则f（8)＝( )A．2 B．－2 C．0 D．83．sin（π－2）－cos错误!化简的结果为( )．A．0 B．－1 C．2sin 2 D．－2sin 24．已知cos错误!＝错误!，则cos错误!＝__________．5．化简：错误!．答案：课前预习导学【预习导引】1．（1）sin x cos x（2)f(x＋T)＝f(x) 周期（3)周期周期最小的正数最小的正数预习交流1略2．（1)－sin αcos α－sin αcos αsin α－cos α－sin α－cos α。

北师大版高中必修44.3单位圆与诱导公式课程设计一、前言《北师大版高中必修4》中第44章主要讲述三角函数，其中第3节讲述了单位圆与诱导公式，是整个章节的重点内容。

本文将介绍一个面向高中数学教学的课程设计，旨在更好地引导学生理解诱导公式的概念和运用。

二、教学目标本次课程设计的教学目标如下：1.了解单位圆的概念和性质；2.了解三角函数在单位圆上的坐标表现形式；3.掌握诱导公式的定义和推导；4.学会在计算三角函数值时应用诱导公式。

三、教学过程1. 导入环节在这个环节，我们将介绍一些概念，为后续的学习做铺垫。

1.1. 三角函数三角函数是指正弦、余弦、正切等函数的统称，它们通常用来表示任意角的值。

在本章节中，我们将主要学习正弦和余弦函数。

1.2. 单位圆单位圆是指半径为1的圆，它是一个重要的几何工具，尤其在三角函数中有广泛的应用。

因此，我们需要了解单位圆在三角函数中的地位和性质。

2. 讲解环节在导入环节中，我们已经介绍了一些概念，现在需要更深入地了解单位圆和诱导公式的相关内容。

2.1. 单位圆与三角函数在单位圆上，任意一点都可以表示为$(\\cos\\theta,\\sin\\theta)$ 的形式，其中 $\\theta$ 是点对应的角度，那么正弦、余弦函数与 $\\theta$ 之间的关系是什么呢？我们来看一个简单的例子：设角度 $\\theta$ 的终边与单位圆交于点P，如图所示。

单位圆显然，点P在单位圆上，坐标为$(\\cos\\theta,\\sin\\theta)$。

考虑点P与坐标轴的交点分别为A和B，则PA和PB分别是 $\\theta$ 的正弦和余弦值，即$$ \\sin\\theta = PA, \\cos\\theta = PB $$这说明正弦、余弦函数可以看作是单位圆上的坐标值。

换句话说，对于任意角度 $\\theta$，其正弦和余弦值等于单位圆上对应点的纵坐标和横坐标。

2.2. 诱导公式在三角函数计算中，诱导公式是非常重要的一种运算工具。

2021版北师大版数学必修四：《单位圆与诱导公式》导学案（含解析2021版数学精品资料（北师大版）第4课时单位圆与诱导公式1.借助单位圆和点的对称性，公式-α，π+α，π-α，α+”并将应用该公式求任意角度的三角函数值2.会应用公式进行简单的三角函数的化简与求值.3.通过公式的应用，学习从未知到已知，从复杂到简单的转换方法我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sinα(k∈z)与cos(2kπ+α)=cosα(k∈z),公式体现了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦、余弦函数值,那么我们能否将0°~360°间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?问题1：如何将任何角度转换为0°~360°之间的角度因为任意角都可以通过终边相同的角转化成0°~360°间的角,对于任意0°~360°的角β,只有四种可能(其中α为锐角),则有β=问题2:(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系如图所示，对于任何角度∠ 单位圆中的mop=α，如下所示∠ mop'=-α，这两个角的终端边缘与单位圆的交点分别为p和p'。

可以看出，OP和OP'是轴对称的。

设点p的坐标为（a，b），那么点p'的坐标为（a，-b），因此sin（-α）=-b，cosα=a。

即sin（-α）=，cos（-α）=。

(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系如图所示，在直角坐标系的单位圆内，对于任何角度∠ mop=α，其最终边缘与单位圆的交点为p。

当点p逆时针（顺时针）旋转π到点p'时，点p'的坐标为：（COS）（α+π）、sin（α+π）或（COS）（α-π）、sin（α-π）。

此时，p'和p'关于原点对称，因此横坐标和sin相互对称（α+π）=，COS（α+π）=；sin（α-π）=，cos（α-π）=。

2014高中数学 单位圆与诱导公式导学案 北师大版学习目标：1. 能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数 2. 解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 学习重难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断 自主预习完成：1．公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π+α）=_____ cos （2k π+α）=______ 2．公式二： 任意角α与 －α的三角函数值之间的关系：sin （－α）=______ cos （－α）=______ sin （2π－α）=______ cos （2π－α）=______3．公式三： 设α为任意角，α+π，α－π的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （α+π）= _____ cos （α+π）=________ sin （α－π）= _____ cos （α－π）=________4．公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=______ cos （π－α）=________ 精讲互动例1．求下列各角的三角函数值 （1） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-47sin π （2）32cos π （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-631cos π练习：课本P21 AT7例2.利用单位圆，求适合下列条件的角的集合（1）22cos -=α （2）21sin ≤α （3）23sin >α巩固练习：利用单位圆，求适合下列条件的角的集合 （1）21cos >α （2） 22sin <α （3） 23cos ≤α公式五：2π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （απ+2）=______ cos （απ+2）=________sin （απ-2）=_______ cos （απ-2）= ________推算公式：23π±α与α的三角函数值之间的关系：诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化,例如是指正弦变余弦。

4．3 单位圆与诱导公式(一)[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．[知识链接]设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2π－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系．[预习导引]1．诱导公式1.8～1.12.公式1.8：sin(2k π＋α)＝sin_α，cos(2k π＋α)＝cos_α； 公式1.9：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； 公式1.10：sin(2π－α)＝－sin_α，cos(2π－α)＝cos_α； 公式1.11：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α； 公式1.12：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α. 2．诱导公式1.8～1.12.的记忆这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．要点一 给角求值问题 例1 求下列三角函数的值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π；(2)cos 960°. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π＝－sin 194π＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π＋34π＝－sin 34π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－sin π4＝－22. (2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.规律方法 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再用诱导公式化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角的三角函数值．跟踪演练1 求下列三角函数值： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋76π＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. 要点二 给值求值问题例2 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角． ∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.规律方法 解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．跟踪演练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35，∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15. 要点三 三角函数式的化简例3 化简：(1)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°解 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时， 原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪演练3 化简：sin (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (2π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解 原式＝sin (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－sin θ)·(－sin θ)·cos θcos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝sin θsin θcos θcos θcos θsin θ＝sin θcos θ.1．求下列三角函数的值． (1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π. 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330° ＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°) ＝－sin 30°＝－12.(2)cos(－203π)＝cos 203π＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋23π＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 2．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).解 原式＝(－cos α)·sin α[－sin (α＋180°)]·cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33.4．证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z .证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ， 左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.右边＝(－1)2k cos α＝cos α， ∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ， 左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α， ∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．一、基础达标1．sin 585°的值为( ) A ．－22B.22C.－32D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2．cos 660°的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32 答案 B解析 cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300° ＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°) ＝cos 60°＝12.3．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．4．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝－32. 5．已知sin(490°＋α)＝－45，则sin(230°－α)＝________.答案 45解析 sin(230°－α)＝sin[720°－(490°＋α)] ＝－sin(490°＋α)＝45.6．f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 014)＝1，则f (2 015)＝________. 答案 3解析 ∵f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝1，∴a sin α＋b cos β＝－1.f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝－(a sin α＋b cos β)＋2＝－(－1)＋2＝3. 7．化简：sin ⎝⎛⎭⎫n π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫n π＋43π，n ∈Z. 解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z . 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋43π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos ⎝⎛⎭⎫43π ＝⎝⎛⎭⎫－sin 23π·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z. 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π＋43π＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π ＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34. ∴sin ⎝⎛⎭⎫n π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫n π＋43π＝34，n ∈Z . 二、能力提升8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32 D.－32 答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，∵3π2＜α＜2π，∴α＝53π. 故sin(2π＋α)＝sin α＝sin 53π＝－sin π3＝－32(α为第四象限角)．9．在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.10．下列三角函数，其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是________(只填序号)．①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3. 答案 ②③⑤解析 对于①，当n ＝2m 时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3，∴①错； 对于②，cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3，∴②对；③是正确的； 对于④，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos 5π6＝－sin π3. ∴④不对；对于⑤，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3， ∴⑤对．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx (x <0)，f (x －1)－1(x >0)，求f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值． 解 f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－116π＝sin π6＝12， f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2 ＝－52，∴f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝12－52＝－2. 12．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z .解 方法一 k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则 原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1，k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )仿上可得原式＝－1. 方法二 由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π，[(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)．sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)． 故原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1.三、探究与创新13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ， 平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。

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4。

４单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1。

了解三角函数的诱导公式的意义和作用。

2.理解诱导公式的推导过程.3．能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点 2kπ±α,-α,π±α的诱导公式思考1 设α为任意角,则2kπ＋α,π+α,-α,2kπ－α,π-α的终边与α的终边有怎样的对应关系?思考2 ２kπ＋α,π+α，－α,2kπ-α,π-α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立:sin(2ｋπ＋α）=sin α, ｃos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)ｓｉn(－α)＝-sｉｎα, cｏs（-α)=cｏs αﻩﻩ(1。

９)sin(2π-α）＝-sin α, coｓ（2π－α）＝ｃos αﻩ(1。

10)ｓin(π－α)＝sｉｎα, cos(π－α）＝-cｏs αﻩﻩ（1。

11)siｎ(π＋α）＝－sｉn α, ｃoｓ(π＋α)＝-cos αﻩ(1.12)公式１.８~1。

1２叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“＿___＿_______＿＿___＿_____＿＿＿__”.其含义是诱导公式两边的函数名称＿_______，符号则是将α看成_＿____＿_时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例１求下列各三角函数式的值.(1)cｏs 210°；(2）sin 错误!;(3）ｓiｎ(－错误!)；（4）cos(－1 92０°).反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正":用公式一或三来转化.（2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”:用公式二或四将大于９0°的角转化为锐角．（4)“锐求值"：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)ｓｉn 1 32０°； (2)cｏs错误!.类型二给值(式)求值问题例2 (1)已知ｓin（π+α)＝－0。

4.4 单位圆的对称性与诱导公式( 二 )内容要求 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导( 重点 ).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值,化简与证明问题( 难点 )、知识点1π2±α的诱导公式 对任意角α,有下列关系式成立：sin( π2＋α )＝cos α,cos( π2＋α )＝－sin α.( 1.13 )sin( π2－α )＝cos α,cos( π2－α )＝sin α.( 1.14 )诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α,π2＋α的正( 余 )弦函数值,等于α的余( 正 )弦三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”、 【预习评价】请你根据上述规律,完成下列等式、sin( 32π－α )＝－cos_α,cos( 32π－α )＝－sin_α.sin( 32π＋α )＝－cos_α,cos( 32π＋α )＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变,符号看象限、 ( 1 )函数名不变,符号看象限“函数名不变,符号看象限”指的是对于角2k π＋α( k ∈Z ),－α,2π－α,π－α,π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值,前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号、 ( 2 )函数名改变,符号看象限“函数名改变,符号看象限”指的是对于角k π2＋α,k π2－α( k 为奇数 )的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值,前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号、 【预习评价】( 1 )cos( α－π2 )＝________.( 2 )sin( α＋5π2)＝________.( 3 )cos( 3π－α )＝________. ( 4 )sin( 2π＋α )＝________.正确答案 ( 1 )sin α ( 2 )cos α ( 3 )－cos α ( 4 )sin α题型一 条件求值【例1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35,π2≤α≤3π2,求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值、 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2,∴sin( α＋2π3 )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时,要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系,注意π6＋α与π3－α,π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用、【训练1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值、解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式化简和证明【例2】 求证：cos π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 32π－θ－1＋cos2π－θcos π＋θsin π2＋θ－sin 3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明 左边＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ1＋cos θ1－cos θ＝21－cos 2θ＝右边, 所以原式得证、规律方法 利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法有：( 1 )从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简、( 2 )左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子、( 3 )凑合法：即针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除其差异,简言之,即化异为同、【训练2】 设sin( α＋8π7 )＝a cos( α＋8π7 ),求证：sin 15π7＋α＋3cos α－13π7sin 20π7－α－cos α＋22π7＝a ＋3a ＋1.证明 ∵sin( α＋8π7 )＝a cos( α＋8π7)、∴左边＝sin[π＋α＋8π7]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7]－cos[2π＋α＋8π7]＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝－a cos α＋8π7－3cos α＋8π7－a cos α＋8π7－cos α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边、 ∴原等式得证、【例3】 已知sin( α－3π )＝2cos( α－4π ),求sin π－α＋5cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α的值、解 由sin( α－3π )＝2cos( α－4π ) 得sin( α－π )＝2cos α, 即sin α＝－2cos α.∴sin π－α＋5 cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α ＝－34.【迁移1】 若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋αcos π2＋αsin 2π－α的值,则结果如何？解 原式＝cos α－sin α－sin αsin －α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】 若例3中的条件不变改为求sin π－α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos 3π2－α＋cos －π＋α的值、解 由例题知,sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】 若将例3中的条件“sin ( α－3π )＝2cos( α－4π )”改为“已知α＝ －31π3”、求原式的值、解 ∵α＝－31π3,∴sin α＝sin( －31π3 )＝－sin( 5×2π＋π3 )＝－sin π3＝－32,cos α＝cos( －31π3 )＝cos( 5×2π＋π3 )＝cos π3＝12,∵sin π－α＋5cos 2π－α2sin 3π2－α－sin －α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法 所谓化简,就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值、利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,当三角函数式中含有k π±α,k2π±α( k ∈Z )时,要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1、若sin α＝12,则cos( π2＋α )的值为( )A.12 B.32 C 、－12D 、－32详细解析 ∵sin α＝12,∴cos( π2＋α )＝－sin α＝－12.正确答案 C2、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A 、－233B.233C.13D 、－13详细解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.正确答案 D3、代数式sin 2( A ＋45° )＋sin 2( A －45° )的化简结果是________、( 注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立 )详细解析 原式＝sin 2( A ＋45° )＋sin 2( 45°－A ) ＝sin 2( A ＋45° )＋cos 2( A ＋45° )＝1. 正确答案 14、若sin( α＋π12 )＝13,则cos( α＋7π12 )＝________.详细解析 cos( α＋7π12 )＝cos[π2＋( α＋π12 )]＝－sin( α＋π12 )＝－13.正确答案 －135、已知sin( π＋α )＝－13.计算：( 1 )cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2； ( 2 )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin( π＋α )＝－sin α＝－13,∴sin α＝13.( 1 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.( 2 )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α,cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.∵sin α＝13,∴α为第一或第二象限角、①当α为第一象限角时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1、诱导公式的选择方法：先将－α化为正角,再用2k π＋α( k ∈Z )把角化为[0,2π )内的角,再用π±α,π2＋α,2π－α化为锐角的三角函数,还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数、由此看,利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,这也正是：诱导公式真是好,负化正后大化小、2、解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单,结论复杂,可从化简结论入手,用上条件；若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂,可同时化简它们,直到找出它们间的联系为止、无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标,根据需要变形.基础过关1、若sin( 3π＋α )＝－12,则cos( 7π2－α )等于( )A 、－12B.12C.32D 、－32详细解析 ∵sin( 3π＋α )＝－sin α,∴sin α＝12,∴cos( 7π2－α )＝cos( 3π2－α )＝－cos( π2－α )＝－sin α＝－12.正确答案 A2、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A 、－13B.13 C 、－223D.223详细解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.正确答案 A3、若sin( π＋α )＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin( 2π－α )的值为( ) A 、－2m3B.2m 3 C 、－3m 2D.3m 2详细解析 ∵sin( π＋α )＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ,∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin( 2π－α )＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .正确答案 C4、已知sin α＝12,则cos( π2＋α )的值为________、详细解析 cos( π2＋α )＝－sin α＝－12.正确答案 －125、化简：sin θ－5πcos －π2－θcos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－π＝________.详细解析 原式＝sin θ－πcos π2＋θcos －θsin θ＋π2[－sin θ＋π]＝－sin θ－sin θcos θcos θsin θ＝sin θ.正确答案 sin θ6、已知角α终边经过点P ( －4,3 ),求 cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α的值、解 ∵角α终边经过点P ( －4,3 ), ∴sin α＝35,cos α＝－45,∴cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7、求证：2sin θ－32πcos θ＋π2－11－2cos 2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.( 注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立 )证明 ∵左边＝－2sin 32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ ＝－2sin[π＋π2－θ]－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边、 ∴原式成立、能力提升8、已知cos( 75°＋α )＝13,则sin( α－15° )＋cos( 105°－α )的值是( )A.13B.23 C 、－13D 、－23详细解析 sin( α－15° )＋cos( 105°－α ) ＝sin[( 75°＋α )－90°]＋cos[180°－( 75°＋α )] ＝－sin[90°－( 75°＋α )]－cos( 75°＋α ) ＝－cos( 75°＋α )－cos( 75°＋α ) ＝－2cos( 75°＋α )＝－23.正确答案 D9、cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 详细解析 cos 179°＝cos( 180°－1° )＝－co s 1° cos 178°＝cos( 180°－2° )＝－cos 2° ……cos 91°＝cos( 180°－89° )＝－cos 89°∴原式＝( cos 1°＋cos 179° )＋( cos 2°＋cos 178° )＋…＋( cos 89°＋cos 91° )＋( cos 90°＋cos 180° )＝cos 90°＋cos 180°＝0＋( －1 )＝－1. 正确答案 －110、已知α为第二象限角,化简1＋2sin 5π－αcos α－πsin α－3π2－ 1－sin 23π2＋α＝________.( 注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立 )详细解析 原式＝1＋2sin α－cos αcos α－|cos 3π2＋α|＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角,∴sin α＞0,cos α＜0,∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.正确答案 －111、若k ∈{4,5,6,7} ,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α,cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α,则k ＝________.详细解析 利用验证法,当k ＝4时,sin( 2π－α )＝－sin α,cos( 2π－α )＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时,不符合条件、故k ＝4. 正确答案 4 12、化简求值：( 1 )cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；( 2 )sin( 2n π－2π3 )·cos ( n π＋4π3 )( n ∈Z )、解 ( 1 )cosπ5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos( π－2π5)＋cos( π－π5 )＝cos π5＋cos 2π5－cos 2π5－cos π5＝0.( 2 )①当n 为奇数时,原式＝sin( －2π3 )·( －cos 4π3 )＝sin( π－π3 )·cos ( π＋π3 )＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时,原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin( π－π3 )·cos ( π＋π3 )＝sin π3·cos π3＝34.翰翰说设计 翰翰说设计 13、( 选做题 )是否存在角α,β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,β∈( 0,π ),使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立、若存在,求出α,β的值；若不存在,说明理由、( 注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立 )解 由条件,得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2,得sin 2α＋3cos 2α＝2,③又因为sin 2α＋cos 2α＝1,④由③④得sin 2α＝12,即sin α＝±22,因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2,所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时,代入②得cos β＝32,又β∈( 0,π ),所以β＝π6,代入①可知符合、当α＝－π4时,代入②得cos β＝32,又β∈( 0,π ),所以β＝π6,代入①可知不符合、综上所述,存在α＝π4,β＝π6满足条件、。

4.4 单位圆的对称性与诱导公式Q 情景引入ing jing yin ru对称美是形式美的美学法则之一．人的形体是对称的，鹰、猛虎、雄狮、孔雀、金鱼、知了、蝴蝶等等无一不表现出对称的形态．人和动物的对称能给人以健康的美感，若不对称则给人以不愉快的印象．对称美源于自然亦道法自然．角的终边也有对称的现象，它们存在什么美呢？又隐藏着哪些规律呢？X 新知导学in zhi dao xue1．特殊角的终边对称关系(1)π＋α的终边与角α的终边关于__原点__对称； (2)－α的终边与角α的终边关于__x 轴__对称； (3)π－α的终边与角α的终边关于__y 轴__对称． 2．诱导公式(1)sin (2k π＋α)＝__sin α__，cos (2k π＋α)＝__cos α__. (2)sin (－α)＝__－sin α__，cos (－α)＝__cos α__. (3)sin (2π－α)＝__－sin α__，cos (2π－α)＝__cos α__. (4)sin (π－α)＝__sin α__，cos (π－α)＝__－cos α__. (5)sin (π＋α)＝__－sin α__，cos (π＋α)＝__－cos α__. (6)sin (π2＋α)＝__cos α__，cos (π2＋α)＝__－sin α__.(7)sin (π2－α)＝__cos α__，cos (π2－α)＝__sin α__.[知识点拨]对诱导公式一～六的两点说明(1)诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． (2)公式的记忆口诀和说明①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：(3)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．Y 预习自测u xi zi ce1．sin 600°等于( A ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32[解析] sin 600°＝sin (360°＋240°)＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．cos 300°的值是( A ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32[解析] cos 300°＝cos (360°－60°)＝cos (－60°)＝cos 60°＝12.3．cos (2π－α)＋sin (π2＋α)＋cos (π－α)＋cos (π＋α)等于( A )A ．0B ．2cos αC ．－2cos αD ．4cos α[解析] 原式＝cos α＋cos α－cos α－cos α＝0. 4．sin 95°＋cos 175°的值为( C ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°5．若cos (π－α)＝－12，则cos (－2π－α)的值为( A )A ．12B ．±32C ．－12D ．±12H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨利用诱导公式求值典例1 求下列式子的值：(1)sin (－1665°)；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－103π； (3)cos (3π2＋π3)．[思路分析] 这类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．若是负角则应利用相应诱导公式先化为正角．[解析] (1)解法一：sin (－1665°)＝－sin 1665° ＝－sin (225°＋4×360°)＝－sin 225° ＝－sin (180°＋45°)＝sin 45°＝22. 解法二：sin (－1665°)＝sin (135°－5×360°) ＝sin 135°＝sin (180°－45°)＝sin 45°＝22. (2)解法一：cos ⎝⎛⎭⎫－103π＝cos 103π＝cos ⎝⎛⎭⎫43π＋2π ＝cos 43π＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 解法二：cos ⎝⎛⎭⎫－103π＝cos ⎝⎛⎭⎫23π－4π＝cos 23π ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)cos (3π2＋π3)＝cos (π＋π2＋π3)＝－cos (π2＋π3)＝－(－sin π3)＝32.『规律总结』 这一类问题属于给出角求其三角函数值的问题，一般情况是先将负角的三角函数利用sin (－α)或cos (－α)将其化为正角的三角函数；若角较大，利用sin (2k π＋α)或cos (2k π＋α)(k ∈Z )将角化到0～2π之间，再利用三角函数的诱导公式将0～2π之间的角化为锐角，然后求其三角函数值．〔跟踪练习1〕求下列各式的值： (1)cos47π6； (2)cos (－945°)． [解析] (1)cos47π6＝cos (6π＋11π6)＝cos 11π6＝cos (π＋5π6)＝－cos 5π6＝－cos (π－π6)＝cos π6＝32.(2)cos (－945°)＝cos 945°＝cos (2×360°＋225°) ＝cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－22. 命题方向2 ⇨利用诱导公式化简典例2 化简：cos (3k ＋13π＋α)＋cos (3k －13π－α)，其中k ∈Z .[思路分析] 注意到3k ＋13π＋α＝k π＋π3＋α，3k －13π－α＝k π－(π3＋α)，以下的化简就是把π3＋α看作一个角，注意到k π＋(π3＋α)＋k π－(π3＋α)＝2k π，也可以把k π＋(π3＋α)整体看作一个角先化简．[解析] cos (k π－π3－α)＝cos [2k π－(k π＋π3＋α)]＝cos (k π＋π3＋α)，所以原式＝cos (k π＋π3＋α)＋cos (k π－π3－α)＝2cos (k π＋π3＋α)．当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝2cos (2n π＋π3＋α)＝2cos (π3＋α)；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝2cos [(2n ＋1)π＋π3＋α]＝－2cos (π3＋α).『规律总结』 本题挖掘到了一个隐含条件：(k π＋π3＋α)＋(k π－π3－α)＝2k π，k ∈Z ，从而先利用诱导公式对题目化简，然后再讨论k 的奇偶情况．〔跟踪练习2〕化简：cos (4n ＋14π＋x )＋cos (4n －14π－x )(n ∈Z )．[解析] 由题意知，原式＝cos (n π＋π4＋x )＋cos (n π－π4－x )(n ∈Z )，当n 为奇数时，原式＝－cos (π4＋x )－cos (π4＋x )＝－2cos (π4＋x )．当n 为偶数时，原式＝cos (π4＋x )＋cos (π4＋x )＝2cos (π4＋x )．命题方向3 ⇨利用诱导公式证明恒等式典例3 求证：cos (10π＋α)sin αsin (－α－2π)cos (－π－α)cos (π＋α)＝－1cos α.[思路分析] 所证等式左端较复杂，应以左端化简整理入手．[证明] 左边＝cos αsin α－sin (α＋2π)cos (π＋α)(－cos α)＝cos αsin α－sin α(－cos α)(－cos α)＝－1cos α＝右边，所以原等式成立.『规律总结』 对于三角恒等式的证明问题，一般遵循“化繁为简”的原则，最常用的方法是从左到右或从右到左．一般是从较复杂的一边向比较简单的一边进行证明．〔跟踪练习3〕求证：sin (n π＋α)＝(－1)n sin α(n ∈Z )． [证明] (1)当n 为奇数时，设n ＝2k －1(k ∈Z )，则 sin (n π＋α)＝sin [(2k －1)π＋α] ＝sin (－π＋α)＝－sin (π－α) ＝－sin α＝(－1)n sin α；(2)当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则 sin (n π＋α)＝sin (2k π＋α) ＝sin α＝(－1)n sin α，∴sin (n π＋α)＝(－1)n sin α(n ∈Z )． X 学科核心素养ue ke he xin su yang已知某三角数函数式的值求其他三角函数式的值(给值求值)典例4 (1)已知cos (π6－α)＝33，求cos (5π6＋α)－sin 2(α－π6)的值；(2)已知cos (α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．[思路分析] 1.π6－α与5π6＋α、α－π6存在什么关系？用π6－α表示其他角．2．α－75°与150°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α. [解析] (1)∵cos (5π6＋α)＝cos [π－(π6－α)]＝－cos (π6－α)＝－33，sin 2(α－π6)＝sin 2[－(π6－α)]＝1－cos 2(π6－α)＝1－(33)2＝23，∴cos (5π6＋α)－sin 2(α－π6)＝－33－23＝－2＋33.(2)∵cos (α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限， ∴sin (α－75°)＝－1－cos 2(α－752)＝－1－(－13)2＝－223，∴sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)] ＝－sin (α－75°)＝223. 『规律总结』 解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．〔跟踪练习4〕已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝m (|m |≤1)， 化简cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α. [解析] cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫23π－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＋sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－m ＋m ＝0. Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi对诱导公式理解不透致错典例5 设θ是钝角，则cos (2π－θ)＝________.[错解] 因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos (2π－θ)＝－cos θ，故填－cos θ.[错因分析] 上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．[正解] cos θ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos (2π－θ)＝cos θ，故填cos θ. 〔跟踪练习5〕如果cos α＝13，且α是第四象限角，则sin (α＋π)＝__223__.[解析] 由诱导公式二知，sin (α＋π)＝－sin α， ∵α是第四象限角，∴sin α＝－223∴sin (α＋π)＝223.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( D ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α<2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2．下列各式不正确的是( B ) A ．sin (α＋180°)＝－sin α B ．cos (－α＋β)＝－cos (α－β) C ．sin (－α－360°)＝－sin α D ．cos (－α－β)＝cos (α＋β) 3．cos (－20π3)等于( C )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32[解析] cos (－20π3)＝cos 20π3＝cos (6π＋2π3)＝cos 2π3＝cos (π－π3)＝－cos π3＝－12.4．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝__－1__. [解析] ∵cos (π－θ)＝－cos θ， ∴cos θ＋cos (π－θ)＝0，即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0. ∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1. 5．求值：(1)sin 1320°；(2)cos (－31π6)．[解析] (1)sin 1320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240° ＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos (－31π6)＝cos (－6π＋5π6)＝cos 5π6＝cos (π－π6)＝－cos π6＝－32.。