2002年高考.北京卷.理科数学试题及答案

«« ★启用前2002年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(溜(卷)本试卷分第I卷(选样題)和第11卷(非选择題)两部分c第I卷丨至2页。

第U卷3 至9员，共150分.考试时间120分钟<第丨卷(迭择眩共60分)注意事项；I .衿第I卷前•号生务必将自己的姓名.准考证号•考试科目用铅笔涂写在答題卡上r 2•侮小題选出咨案百•用铅笔把答越K上对应题日的裕案标号涂黑■如需改动•用橡皮擦干净后•冉选涂其它答案•不ft|答It试題卷上3.号试结東•监占人将本试卷和答题卡一并收同：巧是符合■目要求的.(1)満足条件WU-ll = M,2.3i的集合M的个数是(A) 4 (B) 3 (C) 2 (0) I(2)任平面直角坐标系中•已知两点4(ca^.sin8(r),B(eo62(r,Mn2(y).则.4BI的值是(A)寺(B)亨(O (D) 1(3)下列四个旳数中•以穴为最小正周期•且在区间(歩“上为城函数的是•才公式：已角旳散怖枳化和彫公戌恋a心戶=t 7“ O ♦ /J) ♦ FW1< 口■ B)• g own p = *1iin( a ♦月)■ *m( a - .rt> aco 0 ■ g・I<Y*( o ♦ 3> ♦•*«(a■ P〉! >in own^3 ■ £、a * >?)- 2(o ■ 3)J一・迭择《L匸大题共12小題•毎小聽5疋棱台・叫台的僻血枳公式= 1 (r* ♦ r)/<* 上.下敲历聘来M友示餅高球体的休机公式V jt 二—吊Kt 的半栓共60分在每小■绐出的四个送项中•只有一(4)(D) r = - c*r(A) y = c<»x在下列四个止方体中.能得岀AB L(A)(B)(C)(D)(5) 64个直轻都为亍的球，记它们的体枳之和为心•我面积之和为.5 —个直径为。

20０２年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科)及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分．第Ｉ卷1至２页．第ＩＩ卷3至9页．共１５0分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共6０分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共6０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本试卷分第Ｉ卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分.第Ｉ卷1至2页.第ＩI 卷３至9页.共1５0分.考试时间120分钟.(1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 (Ａ）21 (B ）23 （Ｃ)１ （D ）3 （2)复数3)2321(i +的值是 （A ）i - (Ｂ)i （C ）1- (D ）1(3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A)}10|{<≤x x (B ）0|{<x x 且}1-≠x（C ）}11|{<<-x x (D ）1|{<x x 且}1-≠x（4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是(A ）)45,()2,4(ππππ （Ｂ)),4(ππ （Ｃ）)45,4(ππ (Ｄ）)23,45(),4(ππππ (5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==,则 （A)N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （Ｄ)∅=N M(6)点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈)上的点的最短距离为(Ａ)0 (B)1 (C ）2 (D)２(7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 (B ）54 （C)53 (D)53- (8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为１,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是(A)︒90 (B ）︒60 （C)︒45 (D)︒30(9)函数c bx x y ++=2(),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是（A ）0≥b (B)0≤b （Ｃ)0>b （D)0<b(1０)函数111--=x y 的图象是(11）从正方体的6个面中选取３个面，其中有2个面不相邻的选法共有(A ）8种 （B)12种 (Ｃ)16种 (D ）2０种（12)据2０02年３月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2００1年国内生产总值达到9５９33亿元,比上年增长７.3%”,如果“十•五”期间(2０01年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A)１150０0亿元 (Ｂ)１2００00亿元 (C ）127000亿元 (D)1３5000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题４分,共16分.把答案填在题中横线.（1３）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为３，则a =(1４）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k(15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．12．在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ︒︒︒︒B A 则|AB|的值是A ．21B ．22C ．23D ．13．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（ππ,2）上为减函数的是A ．x y cos =B ．|sin |2x y =C ．2cos xy = D ．ctgx y -=4．在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是CD 5．64个直径都为4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则 A ．V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙 B ．V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙 C ．V 甲＝V 乙且S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙6．若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围A ．)3,6[ππ B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2,6[ππ 7．（1+i ）8等于 A ．16i B ．－16i C ．－16 D ．168．若1121=+-θθctg ctg ，则θ2cos 的值为A ．53 B ．－53 C ．552 D ．－552 9．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9610．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 分别表示球的半径D C D D11．已知)(x f 的定义在（0，3）上的函数，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是A ．（0，1）∪（2，3）B ．)3,2()2,1(ππC ．)3,2()1,0(πD ．)3,1()1,0(12．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有A ．)(),(31x f x fB ．)(2x fC ．)(),(32x f x fD ．)(4x f第Ⅱ卷（非选择题 共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．πππ57,56cos ,52sintg 从小到大的顺序是 . 14．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 .15．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）. 16．圆012222=+--+y x y x 的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式x x >+-212. 18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. （Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值； （Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6h V =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面）， 试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.） 19．（本小题满分12分）数列{x n }由下列条件确定：.),(21,011N n x ax x a x nn n ∈+=>=+ （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有a x n ≥；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+≥n n x x ；20．（本小题满分12分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： 用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21 的和∑=++++=ni n iv v v v v1321 .计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.ABCDA 1 C 1B 1D 1abc d为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到∑=i iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．（本小题满分13分）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点.（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G ，F ，H （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹. 22．（本小题满分13分）已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅. （Ⅰ）求f （0），f （1）的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若))(2(,2)2(N n f u f n n ∈==，求证)(1N n u u n n ∈>+.数学试题（文史类）（北京卷）参考解答说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.D8.A9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．πππ5752sin 56costg << 14．4 15．①②③④⑤ 16．2 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.解： ⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-⇔>+-02012)2(12,02,0122122x x x x x x x x 或 221056,22<≤⎩⎨⎧<+-≥⇔x x x x 或2215222151,2<≤<≤⇔<≤⎩⎨⎧<<≥⇔x x x x x 或或521<≤⇔x .所以，原不等式组的解集为}521|{<≤x x .18．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力. 满分12分.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ,过B 1作B 1G ⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD ∥平 面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°，∴AB ⊥PQ ，AB ⊥ B 1P. ∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作 C 1H ⊥PQ ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二 面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形.h G B d b PG =-=1),(21又，),(21d b db h PG B tg >-=∠∴即所求二面角的正切值为d b h -2. （Ⅲ）V 估＜V.证明： ∵a ＞c ，b ＞d ，∴h d b c a d b c a ab cd h V V 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++=-估0))((12)])((3))((222[12>--=++-++++=d b c a hd b c a d b c a ab cd h ∴V 估＜V . 19．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.（Ⅰ）证明：由)(21,011n n n x a x x a x +=>=+及，可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分）.从而有)()(211N n a x ax x a x xnn n n n ∈=⋅≥+=+，所以，当n ≥2时，a x n ≥成立.（Ⅱ）证法一：当n ≥2时，因为)(21,01nn n n x a x x a x +=>≥+，所以021)(2121≤-⋅=-+=-+nn nnn n n x x a x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立. 证法二：当n ≥2时，因为)(21,01nn n n x a x x a x +=>≥+，所以122)(21222221=+≤+=+=+nn n n n n n n n n x x x x a x x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立. 20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心)3,31(c b G +，外心F )2,21(22c b c b -+，垂心)3,(2b b b H -.当21=b 时， G ，F ，H 三点的横坐标均为21，故三点共线；当21≠b 时，设G ,H 所在直线的斜率为GH k ，F ，G 所在直线的斜率为FG k .因为)21(33313222b c b b c b b c b b c kGH--+=-+--=， )21(332131232222b c b b c b c b c b c k FG--+=-+-+-=，所以FG GH k k =，G ，F ，H 三点共线. 综上可得，G ，F ，H 三点共线.（Ⅱ）解：若FH//OB ，由0)21(3322=--+=b c b b c k FH ，得)21,0(0)(322≠≠=+-b c c b b ， 配方得1)23()21()21(,43)21(3222222=+-=+-c b c b 即，即1)23()21()21(2222=+-y x )0,21(≠≠y x . 因此，顶点C 的轨迹是中心在（21，0），长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（21，23），（21，－23）四点.22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.（Ⅰ）解：0)0(0)0(0)00()0(=⋅+⋅=⋅=f f f f . 因为)1(1)1(1)11()1(f f f f ⋅+⋅=⋅=， 所以0)1(=f（Ⅱ）)(x f 是奇函数. 证明：因为0)1(0)1()1(])1[()1(2=-=----=-=f f f f f 所以， ),()1()()1()(x f xf x f x f x f -=-+-=⋅-=-因此，)(x f 为奇函数. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明).(0)2(N n f u n n ∈>=（1）当n=1时，02)2(1>==f u ；（2）假设当n=k 时，,0)2(>=k k f u 那么当n=k +1时，)2(2)2(2)2(11f f f u k k k k +==++02)2(21>+=+k k f .由以上两步可知，对任意0)2(,>=∈n n f u N n .因为)(0N n u n ∈> 所以)(22)2(2)2(2)2(111N n u u f f f u n n n n n n n ∈>+=+==+++。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷(非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷(非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．(1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3(2）复数3)2321(i +的值是 （A)i - (B)i (C ）1- （D)1 (3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是(A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x (C)}11|{<<-x x (D ）1|{<x x 且}1-≠x (4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C))45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A)N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M(6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22(其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 (D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A)43 （B ）54 (C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 (C ）︒45 (D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是 （A)0≥b (B)0≤b (C ）0>b （D ）0<b （10)函数111--=x y 的图象是（11)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 (C ）16种 (D)20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 (C)127000亿元 (D ）135000亿元第II 卷（非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18)如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3)当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数,函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ (1）讨论)(x f 的奇偶性; (2)求)(x f 的最小值(22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I)当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式; (II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 (i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13)2 （14）1 （15）1008 （16)27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ,依题意可得MP ∥NQ ,且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ,a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时,22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG , ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解:设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ,即x y 2±=,0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=,因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆,3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ,x b b +⨯=94.012对于1>n ,有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x,即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解:（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时,)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i)当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ,则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减,从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ,则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(,且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ,则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22)解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说,当1+=k n 时,2)1(1++≥+k a k 据①和②,对于所有1≥n ,有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ）,对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。

2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围聘进来的员工化学教案有两个星期的无薪试用期化学教案如果在这两个星期内的表现没有令老板满意化学教案（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；ADE（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形14.∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ） 21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--m y m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是（）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A ．π2B ．π23C ．π332D ．π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种9．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（）A ．2411B ．2417C ．2419D ．242510．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．kk a a a a a a 2122122111+++ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.12．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是13．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --=（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值..16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.18．（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f （ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B5．D 6．B7．C8．C9．C10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12．)4(362--=x y 13．)(212b a r +π14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为xx x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x 所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1.所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n=（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x 所以.12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x 时,)1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n 当1≠x时，.12)1()1(212x nx x x x Sn n n----=+17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1，∴四边形BDB 1C 1是平行四边形，∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D.（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角，∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点，.2321==AC BE 在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。

2002年全国卷高考理科数学真题及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 A ．21B ．23C ．1D ．32．复数3)2321(i +的值是 A ．i -B ．iC ．1-D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x xD ．1|{<x x 且}1-≠x4．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是A ．)45,()2,4(ππππB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ5．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则A ．N M =B ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．∅=N M6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为A ．0B ．1C ．2D ．27．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A ．43B ．54C ．53D ．53-8．正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是 A ．︒90B ．︒60C ．︒45D ．︒309．函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 A ．0≥b B ．0≤bC ．0>bD ．0<b10．函数111--=x y 的图象是11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为 A ．115000亿元 B ．120000亿元 C ．127000亿元 D ．135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． 13．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ 14．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 15．72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是16．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值18．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小19．设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？21．设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值22．设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN22cos (2sin 1)(sin 1)0ααα-+=（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。

2002 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 II 卷 (非选择题 ) 两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷 3至 9页．共 150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60 分 )一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第 I 卷 (选择题 ) 和第 II卷 (非选择题 )两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷3 至 9页．共 150 分．考试时间 120 分钟．（1）圆 ( x 1) 2y 21 的圆心到直线 y3x 的距离是3（A ）1（ B ） 3（C ）1（D ） 322（2）复数 (13 i )3 的值是22（A ） i（ B ） i （C ） 1（D ）1（3）不等式 (1 x)(1 | x |) 0 的解集是（A ） { x | 0 x 1}（ B ） { x | x 0 且 x 1}（C ） { x | 1 x 1}（ D ） { x | x 1且 x1}（4）在 (0,2 ) 内，使 sin x cosx 成立的 x 的取值范围是（A ）( ,2)( ,5)（B ） (, ) （C ） ( ,5)（D ）(,)(5,3) 4444 444 2（5）设集合 M { x | xk 1, k Z}，N{ x | xk 1,kZ} ，则2442（A ）MN（B ）MN（C ）MN（D ）MN（6）点 P(1,0) x t 2 R ）上的点的最短距离为到曲线（其中参数 ty2t（A ）0（B ） 1（C ） 2（D ）2（ 7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）3（B ）4（C ）3（D ）34555（8）正六棱柱ABCDEF A 1 B 1C 1 D 1E 1 F 1 的底面边长为 1，侧棱长为2 ，则这个棱柱侧面对角线 E 1 D 与 BC 1 所成的角是（A ） 90（B ） 60（C ） 45（D ） 30（9）函数 y x 2bx c （[0, ) ）是单调函数的充要条件是（A ） b 0（ B ） b 0（ C ） b（ D ） b 0（10）函数 y11的图象是x 1yyyy1111-1O1O1x-1OxOxx(A)(B)(C)(D)（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12 种（C ）16 种 （D ）20 种（12）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 ：“ 2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十 ?五”期间（ 2001 年－ 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十 ?五”末我国国内年生产总值约为 （A ） 115000 亿元 （ B ） 120000 亿元 （ C ） 127000 亿元（ D ） 135000 亿元第 II 卷(非选择题共 90 分 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．（13 ）函数 y a x在 [0,1] 上的最大值与最小值这和为3，则 a ＝（14 ）椭圆 5x 2ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k（15 ） ( x21)( x 2) 7 展开式中 x 3 的系数是（16 ）已知 f ( x)x 2，那么 f (1) f (2) f ( 1)f (3) f (1)f (4)f ( 1) ＝1 x 2234三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17 ）已知 sin 22sin 2 coscos 21，(0, ) ，求 sin、 tg的值2（18 ）如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 点M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM BN aC（ 0a 2 ）（1）求 MN 的长；DP（2） a 为何值时， MN 的长最小；MBQ（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角的E大小N（19）设点 P 到点 ( 1,0) 、 (1,0) 距离之差为 2m ，到 x 、 y 轴的A F距离之比为 2，求 m 的取值范围（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设 a 为实数，函数 f (x)x 2| x a | 1 ， xR（1）讨论 f (x) 的奇偶性；（2）求 f ( x) 的最小值（22）设数列 {a n } 满足： aa2na1 ， n 1,2,3,n 1 nn（I ）当 a 1 2 时，求 a 2 , a 3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式；（II ）当 a 1 3 时，证明对所的 n 1 ，有（i ） a nn 2（ii ）11 11 11 a 11 a2 1 a 31 a n2参考答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCBBCBABBC二、填空题 （13） 2（14）1（15） 1008（16）72三、解答题（17）解：由 sin 2 2sin 2 coscos2 1，得 4 sin 2 cos 2 2sin cos 22cos 22 cos 2 (2 sin 2 sin 1) 02 cos 2 (2 sin1)(sin1)∵(0, )2∴ sin 1 0 ， cos 2∴ 2sin10 ，即 sin1 2∴6∴ tg33（18）解（ I ）作 MP ∥ AB 交BC 于点 P ，NQ ∥ AB 交BE 于点 Q ，连结 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP NQ ，即 MNQP 是平行四边形∴ MN PQ由已知 CM BN a ， CB ABBE1∴ ACBF2 ， CP BQ2 a2MNPQ(1 CP)2 BQ 2 (1a )2 (a)222(a2 ) 2 1 ( 0 a2)2 2（II ）由（ I ）MN(a 2 )2122所以，当 a22时， MN22即当M、N分别为 AC、 BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为2 2（III ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵ AM AN,BM BN，G为MN的中点∴ AG MN,BG MN ，即AGB即为二面角的平面角又AG BG 6，所以，由余弦定理有4( 6 )2(6 )21cos441663244故所求二面角为arccos13（19）解：设点P的坐标为( x, y)，依题设得| y |2 ，即 y 2 x ，x 0| x |因此，点 P( x, y) 、 M (1,0) 、 N (1,0) 三点不共线，得||PM ||PN || |MN |2∵||PM ||PN|| 2 | m | 0∴0 | m | 1因此，点 P 在以 M 、N为焦点，实轴长为 2 | m |的双曲线上，故x2y21m21m2将 y2x 代入x2y 21，并解得m 2 1 m22m 2 (2 )2x1 m，因 1 m1 5m2所以 1 5 m 2解得 0 | m |55即 m 的取值范围为 (5,0)(0, 5 )55（20）解：设 2001 年末汽车保有量为 b 1 万辆， 以后各年末汽车保有量依次为 b 2 万辆， b 3 万辆，⋯，每年新增汽车x 万辆，则b 1 30 ， b 2 b 1 0.94 x对于 n 1 ，有bn 1b n 0.94 xb n 1 0.942 (1 0.94)x所以 b n1b10.94 n x (1 0.94 0.942b 1 0.94 n 1 0.94 n x0.06 x(30x ) 0.94 n0.060.06当 30x 0 ，即 x 1.8 时0.06b n 1bnb 130当 30x0 ，即 x1.8时0.06x数列 { b n } 逐项增加，可以任意靠近0.06xxlim b nlim [ (30) 0.94n 1]nn0.060.0660 万辆，即因此，如果要求汽车保有量不超过0.94 n )x0.06b n 60 （ n 1,2,3, ）则 x60 ，即 x 3.6 万辆0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆（21）解：（ I ）当 a0 时，函数 f ( x) ( x) 2 | x | 1f ( x)此时， f (x) 为偶函数当 a 0 时， f (a)a 2 1， f ( a)a 22 | a |1，f (a) f ( a) ， f (a)f ( a)此时 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当 x a 时， f ( x) x 2x a 1 ( x1 )2 a 3124当 af (x) 在 (, a] 上单调递减，从而函数f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为，则函数2f ( a) a 21．若 a1 ，则函数 f (x) 在 ( , a] 上的最小值为f (1)22（ii ）当 xa 时，函数 f ( x) x 2 x a 1( x 1 )223 a ，且 f ( 1) f ( a) ． 4 23a4若 a1 ，则函数 f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为 f (1 )3 a ，且 f ( 1) f (a)2 2 4 2若 a1 ，则函数 f (x) 在 [ a,) 上单调递增，从而函数f (x) 在 [ a,) 上的最小值为2f ( a) a 21．综上，当 a1时，函数 f (x) 的最小值为 3a2 411 当a时，函数 f ( x) 的最小值为 a 2 121 2 3当 a 的最小值为a ．时，函数 f ( x)42（22）解（ I ）由 a 12 ，得 a2a 2a1 1 31由 a 2 3 ，得 a 3 a 2 22a 2 1 4 由 a 34 ，得 a 423a 3 1 5a 3由此猜想 a n 的一个通项公式： a nn1 （ n 1）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当 n1时， a 1 3 1 2 ，不等式成立．②假设当 nk 时不等式成立，即 a kk2 ，那么a k 1 a k (a kk) 1 (k 2)( k 2 k ) 1 2k 5 k 3 ． 也就是说，当 n k 1时， a k 1 (k 1) 2据①和②，对于所有n 1，有 a nn 2 ．（ii ）由 a n 1 a n ( a n n) 1及（ i ），对 k 2 ，有a kak 1(ak 1k 1) 1a k 1 (k 1 2 k 1) 1 2a k 1 1⋯⋯ak2k 1 a2k 22 1 2k 1( a 1) 111于是11 1 ， k 21 a k 1 a 1 2k 1n11 1n1 1 n1 2 2 1k 11 a k1 a 11 a 1 k2 2 k 1 1 a 1 k 1 2k 11 a 11 3 2。