1 一次函数图象的画法及其平移

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.（2）上面的规律如下页图（51）所示.图（51）一次函数图象的平移及其解析式的变化规律1. 将直线x y 3=向下平移2个单位,得到直线________________.2. 将直线5--=x y 向上平移5个单位,得到直线________________.3. 将直线32+=x y 向下平移5个单位,得到直线________________.4. 将直线23-=x y 向左平移1个单位,得到直线________________.5. 将直线12--=x y 向上平移3个单位,得到的直线是________________.6. 将一次函数32-=x y 的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为 【 】（A ）52-=x y （B ）52+=x y（C ）82+=x y （D ）82-=x y7. 将直线x y 2=向右平移2个单位所得的直线是 【 】（A ）22+=x y （B ）22-=x y（C ）()22-=x y （D ）()22+=x y8. 将函数x y 3-=的图象沿y 轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式为 【 】（A ）23+-=x y （B ）23--=x y（C ）()23+-=x y （D ）()23--=x y9. 直线43+=x y 向下平移4个单位,得到直线________________.10. 函数32-=x y 的图象可以看作由函数72+=x y 的图象向_________平移_________个单位得到.11. 把函数32+-=x y 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为 【 】 （A ）72+-=x y （B ）36+-=x y（C ）12--=x y （D ）52--=x y12. 将直线42-=x y 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________. 13. 直线23+=x y 沿y 轴向下平移5个单位,则平移后直线与y 轴的交点坐标为_________.14. 若直线b kx y +=平行于直线43-=x y ,且过点()2,1-,则该直线对应的函数表达式是 【 】（A ）23-=x y （B ）63--=x y（C ）53-=x y （D ）53+=x y15. 将直线x y 2=先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是________________.16. 直线12-=x y 向上平移3个单位长度后,所得直线与y 轴的交点坐标为_________.17. 已知直线()3252-+-=k x k y ,若该直线经过原点,则=k _________;若该直线与直线53--=x y 平行,则=k _________.18. 若把直线32-=x y 向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是 【 】 （A ）x y 2= （B ）62-=x y（C ）35-=x y （D ）3--=x y19. 要从直线x y 34=的图象得到直线324-=x y ,就要将直线x y 34= 【 】 （A ）向上平移32个单位 （B ）向下平移32个单位 （C ）向上平移2个单位 （D ）向下平移2个单位20. 函数4-=kx y 的图象平行于直线x y 2-=,求函数的表达式.21. 已知一次函数4-=kx y ,当2=x 时,3-=y .（1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x 轴的交点的坐标.22. 一次函数b kx y +=的图象与y 轴交于点)2,0(-,且与直线213-=x y 平行,求它的函数关系式.23. 在直线321+-=x y 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: （1）横坐标是4-;（2）和x 轴的距离是2个单位.图（52）分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律:一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y .（2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y .注意:（1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±.（2）上面的规律如下页图（51）所示.图（51）一次函数图象的平移及其解析式的变化规律1. 将直线x y 3=向下平移2个单位,得到直线________________.2. 将直线5--=x y 向上平移5个单位,得到直线________________.3. 将直线32+=x y 向下平移5个单位,得到直线________________.4. 将直线23-=x y 向左平移1个单位,得到直线________________.5. 将直线12--=x y 向上平移3个单位,得到的直线是________________.6. 将一次函数32-=x y 的图象沿y 轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为 【 】（A ）52-=x y （B ）52+=x y（C ）82+=x y （D ）82-=x y7. 将直线x y 2=向右平移2个单位所得的直线是 【 】（A ）22+=x y （B ）22-=x y（C ）()22-=x y （D ）()22+=x y8. 将函数x y 3-=的图象沿y 轴向上平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式为 【 】（A ）23+-=x y （B ）23--=x y（C ）()23+-=x y （D ）()23--=x y9. 直线43+=x y 向下平移4个单位,得到直线________________.10. 函数32-=x y 的图象可以看作由函数72+=x y 的图象向_________平移_________个单位得到.11. 把函数32+-=x y 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为 【 】 （A ）72+-=x y （B ）36+-=x y（C ）12--=x y （D ）52--=x y12. 将直线42-=x y 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________. 13. 直线23+=x y 沿y 轴向下平移5个单位,则平移后直线与y 轴的交点坐标为_________.14. 若直线b kx y +=平行于直线43-=x y ,且过点()2,1-,则该直线对应的函数表达式是 【 】（A ）23-=x y （B ）63--=x y（C ）53-=x y （D ）53+=x y15. 将直线x y 2=先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是________________.16. 直线12-=x y 向上平移3个单位长度后,所得直线与y 轴的交点坐标为_________.17. 已知直线()3252-+-=k x k y ,若该直线经过原点,则=k _________;若该直线与直线53--=x y 平行,则=k _________.18. 若把直线32-=x y 向上平移3个单位长度,得到的图象的表达式是 【 】 （A ）x y 2= （B ）62-=x y（C ）35-=x y （D ）3--=x y19. 要从直线x y 34=的图象得到直线324-=x y ,就要将直线x y 34= 【 】 （A ）向上平移32个单位 （B ）向下平移32个单位 （C ）向上平移2个单位 （D ）向下平移2个单位20. 函数4-=kx y 的图象平行于直线x y 2-=,求函数的表达式.21. 已知一次函数4-=kx y ,当2=x 时,3-=y .（1）求一次函数的关系式;（2）将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x 轴的交点的坐标.22. 一次函数b kx y +=的图象与y 轴交于点)2,0(-,且与直线213-=x y 平行,求它的函数关系式.23. 在直线321+-=x y 上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标: （1）横坐标是4-;（2）和x 轴的距离是2个单位.图（52）分析:若不借助于图象,只通过计算,你能确定上面问题的答案吗?。

一次函数图象的变换（一）——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。

知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。

我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b )，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+ h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。

平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+ h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），将点（1，-1）代入y=2x+h中得：-1=2×1+hh=-3所以平移后直线的解析式为y=2x-3例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0,2）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1,2）。

设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k =2不变，以及点（1,2）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，则此点按要求平移后的点为：平移后得到的点（1,2）在直线y=2x+h 上则：2=2×1+hh=0所以平移后的直线解析式为y=2x总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。

一次函数左右平移规律推导过程在平面直角坐标系中，将二次函数图象进行平移，求平移以后的二次函数的解析式，或者已知平移之后的二次函数解析式求平移之前的二次函数解析式，是学生学习中的一个难点，但也是一个充满乐趣，值得探究的知识点．二次函数图象的平移包括上下平移和左右平移．图象的上下平移符合学生直觉，而图象的左右平移恰巧是反直觉的，图象上下平移和左右平移之间的不一致，往往是造成学生理解平移的困难，研究表明，学生理解二次函数左右平移的困难要大于上下平移，上下平移的动作是直接操作在函数上，而左右平移包含的动作首先操作在自变量上，进而再操作到函数上，这是产生困难的原因．无论是哪种平移，都可以用求解析式的方式来解，而且二次函数的平移是可逆的，解题时主要是要理解二次函数平移的整个过程和思路现分类举例说明如下：一、三点法从最直观的角度——三点可以确定一条抛物线，那么就找一条抛物线上的任三点，再找这三点平移之后的对应点坐标，根据待定系数法求解二次函数的解析式．例1 将抛物线y＝－x2－2x＋4向右平移3个单位，求平移后的函数解析式．解在抛物线y＝x2－2x＋4上任取三个点a(1，1)，b（2，－4），c(－1，5)，把点a、b、c分别向右平移3个单位后得a'(4，1)，b'(5，－4)，c'(2，5)设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵a'(4，1)，b'（5，－4），c'(2，5)在y＝ax2＋bx＋c上．∴∴平移后的函数解析式为y＝－x2＋4x＋1．二、顶点法抛物线平移前后形状相同，位置不同，那么它们的二次项系数是相等的，即知道二次函数解析式中的a，再求出原抛物线的顶点，找出平移以后的顶点，根据待定系数法求解二次函数的解析式．例2 将抛物线y＝－x2－2x＋4向左平移2个单位，求平移后的函数解析式．解设平移后的函数解析式为y＝－（x－h）2＋k．∵ y＝－x2－2x＋4＝－（x＋1）2＋5，∴y＝－x2－2x＋4的顶点坐标是a（－1，5)．∴a（－1，5）向左平移2个单位后得到a'(－3，5)，∴h＝－3，k＝5．∴平移后的函数解析式为y＝－（x＋3）2＋5，即y＝－x2－6x－4三、交点法图象分析也是一种颇有意思的解题过程，学生觉得函数图象的平移就要巧妙地利用图象上的一些特殊点，只要找到函数与坐标轴的交点，把合适的坐标轴上点进行平移，通过左右平移找x轴上的点，上下平移找y轴上的点，将x轴上的点左右平移后，或将y轴上的点上下平移后，代入a相同的二次函数解析式求解即可．例3 将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移4个单位，求平移后的函数解析式．解设平移后的函数解析式为y＝－（x－x1）（x－x2）．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的交点为a(－3，0)，b(1，0)．∵a（－3，0），b(1，0)向右平移4个单位后得到a'(1，0)，b'(5，0)，∴x1＝1，x2＝5，∴y＝－(x－1)(x－5)，即y＝－x2＋6x－5例4 将抛物线y＝－x2－2x＋3向下平移4个单位，求平移后的函数解析式．解设平移后的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c．将抛物线y＝－x2－2x＋3向下平移，则其形状大小，对称轴不变，故平移后的函数解析式的a和b值不变，∴a＝－1，b＝－2．又抛物线y＝－x2－2x＋3与y轴交点为a(0，3)，而a(0，3)向下平移4个单位后得到a'（0，－1），∴c＝－1．∴平移后的函数解折式为y＝－x2－2x－1．四、图象法从函数图象平移前后点的变化特征出发，可理解为：将函数向右平移时，函数中的x值会变大，而相应的y值不变，那么就要把因为移动而多的单位数减去（向左平移x值减少就要把少的单位数加上），函数值不变例5 将抛物线y＝－x2－2x＋4向右平移3个单位，求平移后的函数解析式．解抛物线向右平移3个单位时，函数中的x值会增大3个单位，而相应的y值不变，那么就要把x的值减去因为移动而多的3个单位数．故平移后的函数解析式为y＝－（x－3）2－2（x－3）＋4，即y＝－x2＋4x＋1．对于将二次函数向上平移的情况就是函数的y值会增加，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去移动的单位数（向下平移y值减少就要把少的单位数加上），而等式右边不变．例6 将抛物线y＝－x2－2x＋4向上平移3个单位，求平移后的函数解析式．解抛物线向上平移3个单位时，函数的y值会增加3个单位，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去因为移动而多的3个单位数，故平移后的函数解析式为y－3＝－x2－2x＋4，即y＝－x2－2x＋7．将平移前后的二次函数解析式进行比较，可以得到常用的函数平移口诀：“左加右减，上加下减；左右平移在括号内，上下平移在括号外．”例7 将抛物线y＝0.5x2－4x＋3先向左平移5个单位，再向上平移6个单位，求平移后函数解析式．解抛物线向左平移5个单位时，函数中的x值会减少5个单位，而相应的y值不变，那么就要把x的值加上因为移动而少的5个单位数．抛物线向上平移6个单位时，函数的y值会增加6个单位，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去因为移动而多的6个单位数．y－6＝0.5(x＋5)2－4(x＋5)＋3，化简得y＝0.5x2＋x＋1.5例8 抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位得到y＝－2x2＋20x－52，求平移前函数解析式．解根据二次函数的平移是可逆的，则平移前函数解析式是y－2＝－2(x＋3)2＋20(x＋3)－52，化简得y＝－2x2＋8x－8．数学学习需要在知识获取的过程中有完整的体验，这样才能很好的理解每个知识点。

一次函数图像及性质
一次函数是一种基本函数，其形式为y=kx+b,其中k是斜率，b是截距。

一次函数的图像呈现为一条直线，具有一定的性质。

首先，一次函数的图象可以通过将直线y=kx平移Ib1个单位长度得到，具体地，当b>0时，图象向上平移；当b<0时，图象向下平移。

其次，一次函数具有以下主要性质：
-一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式：y=kx+b(k≠O)°
-一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与X轴总是交于(-b∕k,0)o
-正比例函数的图像都是过原点。

-当k>0时，直线必通过一、三象限，y随X的增大而增大；当k<0时，直线必通过二、四象限，y随X的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点；当bVO时，直线必通过三、四象限。

这些性质有助于我们更好地理解和应用一次函数。

一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.一、一次函数平移的三种方式：⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内，.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x －2的关系. .【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．2lx练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。