高考试题的探究(一)：安徽 岳峻 圆锥曲线的内接直角三角形的探究
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圆锥曲线的内接直角三角形的探究新课程高考数学试题，大多源于教材，即便是综合题也是教材例题、习题的组合、加工、引申、拓展和类比，充分体现教材的基础作用，因此，高三复习教学中，教师要紧扣教材，从多个角度精心挖掘教材例题、习题的潜能，使教材中的每一个例题、习题的作用发挥极致，以达到最佳的教学效果．人民教育出版社《全日制普通高中教科书（选修2--1）数学》第73页的第六题主要考查解析几何的基本思想和基本方法，看似平淡无奇，其实是一道呈现简洁、极富韵味的好题，值得我们细细品味．一、题目的再现直线2y x =-与抛物线22y x =相交于,A B 两点，求证：OA OB ⊥． 解析设()()1122,,,A x y B x y ，则222y x y x=-⎧⎨=⎩，消元得：2640x x -+=，12126,4x x x x +==， ()()1212224y y x x =--=-，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，故OA OB ⊥．二、变换条件，领悟习题功能习题中的抛物线方程为22y x =，其特征量22p =，恰是直线l 所过定点()2,0M 的横坐标2，这是不是蕴含着一种规律呢？思考 1 直线l 与抛物线()2:20C y px p =>相交于异于顶点的两个动点,A B ．若直线l 经过点()2,0M p ，求OA OB ⋅的值．解析显然，直线的斜率不为0，设直线为221212:2,,,,22y y l x y p A y B y p p ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222x y py px=+⎧⎨=⎩，消元得：22240y py p --=，212122,4y y p y y p +==-， 所以2212121212022y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=⨯+= ，亦即OA OB ⊥．评注变换已知条件是拓展探究的常见的方式，是由特殊到一般，以合情推理的数学思想方法为基础，使用有目的性、规律性的原则进行引申与推广，使得一道题变为一类题，可以达到知一题会一类的功效．三、逆向探究，优化思维品质经过定点()2,0M p 的直线l 与抛物线()2:20C y px p =>相交于异于顶点的两个动点,A B ，则0OA OB ⋅=，那么它的逆命题的是否正确性呢？思考 2 直线l 与抛物线()2:20C y px p =>相交于异于顶点的两个动点,A B ．若0OA OB ⋅=，求证：直线l 必过定点；解析设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0OA OB ⋅= ，所以221212022y y OA OB y y p p⋅=⨯+= ，即212124,0yy p yy =-=（舍）， 所以21222121222y y pk y y y y p p-==+-()120y y +≠，所以211122:2y p l y x y y y p ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，整理，得：()1212:2l y y y px y y +=+，因为2124y y p =-，所以()()12:22l y y y p x p +=-，显然120y y +=也成立． 故直线l 必过定点()2,0p ．评注 圆锥曲线的定点、定值问题是高考对重要考点考查的视角之一．通过对数学问题的逆向探究，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，从而优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力与素质．四、拓展探究，深化习题潜能通过探究，我们证明了一个结论：直线l 与抛物线()2:20C y px p =>相交于异于顶点的两个动点,A B ，则“直线l 经过点()2,0M p ”的充要条件是“0OA OB ⋅=”．如果把直角顶点从原点()0,0O 移到抛物线上的任意一点，是否还有类似的结论呢？ 思考3点()00,Q x y 在曲线()2:20C y px p =>上，直线l 与抛物线C 相交于异于Q 的两个动点,A B ，若0QA QB ⋅=，直线l 过定点吗？探究设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，200,2y Q y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为0QA QB ⋅=，所以()()22220012102002222y y y y QA QB y y y y p p p p ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()210204y y y y p ++=-，所以()221201204y y y y y y p +++=-直线的方程依然是()1212:2l y y y px y y +=+， 因为()221201204y y y y y y p +++=-，2002y px =所以()()()1200:22l y y y y p x x p ++=--，显然120y y +=也成立． 故直线l 必过定点()002,x p y +-．评注 实际上，本题若直线l 过定点()002,x p y +-，也可证明0QA QB ⋅=（略）．这样一来，我们得到一般性的结论：点()00,Q x y 在曲线()2:20C y px p =>上，直线l 与抛物线C 相交于异于Q 的两个动点,A B ，则“直线l 经过点()002,x p y +-”的充要条件是“0QA QB ⋅=”．五、类比探究，促使能力呈现通过上面的探究，我们得到抛物线的内接直角三角形的斜边恒过定点的结论，那么，椭圆的内接直角三角形的斜边恒过定点吗？双曲线的内接直角三角形的斜边恒过定点吗？思考4（2015年马鞍山市二模（文））已知椭圆C的焦点是((11,0,F F ，点P 在椭圆C 上，且124PF PF +=．（1）求椭圆的方程；（2）若A 是椭圆的下顶点，过点A 的两条相互垂直的直线分别交椭圆C 与点,P Q （,P Q 与A 不重合）．试证明直线PQ 经过定点．解析（1）椭圆的方程22:14y C x +=； （2）由（1）知()0,2A -，设()()1122,,,P x y Q x y ，显然直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ 的方程为y mx n =+，则 2214y mx n y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元，得：()2224240m x mnx n +++-=， ()()()()2222224441640mn m n m n ∆=-+-=-+>，且212122224,44mn n x x x x m m -+=-+=++， 22121222844,44n n m y y y y m m -+==++，所以()()1122,2,2AP AQ x y x y ⋅=++()()()12121222562404n n x x y y y y m ++=++++==+，故6,25n n =-=-（舍）即直线PQ 经过定点60,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．思考5（2015年宿州市三模（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的动点P 到两个焦点的距离之和为6，且它到右焦点的距离的最小值为3-（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，A 是椭圆的右顶点，0AM AN ⋅=，试证明直线PQ 经过定点．（解析略）评注一般的，可以证明：（1）设()00,P x y 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的定点，AB 为椭圆C 的一条动弦，当PA PB ⊥时，弦AB 所在直线必过定点2222002222,a b a b Q x y a b a b ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭． （2）设()00,P x y 为椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>上的定点，AB 为椭圆C 的一条动弦，当PA PB ⊥时，弦AB 所在直线必过定点2222002222,a b a b Q x y a b a b ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭． 类比推理，对于双曲线有如下结论：（1）设()00,P x y 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上的定点，AB 为双曲线C 的一条动弦，当PA PB ⊥时，弦AB 所在直线必过定点2222002222,a b a b Q x y a b a b ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭．（2）设()00,P x y 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上的定点，AB 为双曲线C 的一条动弦，当PA PB ⊥时，弦AB 所在直线必过定点2222002222,a b a b Q x y a b a b ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭． 当然，如果我们把圆视为椭圆的特例，圆的内接直角三角形的斜边必过定点即圆心．至此，圆锥曲线的内接直角三角形的斜边必过定点．六、结束语前苏联教育家维果斯基的最近发展区理论认为，教学决定着学生的智力发展，教学应当走在学生发展的前面，不停地把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平．高考数学试题具有“源于教材，但高于教材；题在书外，但根在书里”的特点，因此，在高三的课堂教学活动中，教师势必需要时刻立足教材，对教材中有潜质的例题、习题进行挖掘，这是活用教材的体现，也是在学生思维水平“最近发展区”的教学，从而启迪学生的思维，开拓解题思路、解题能力，激活数学思维方法．。
