2016-2017学年高中数学每日一题（3月6日-3月12日）文新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学每日一题（3月6日-3月12日）文新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3月6日 复数代数形式的加减运算及其几何意义高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★☆☆☆☆已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b ∈R ,若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第二象限，则b a -的取值范围为____________． 【参考答案】(,1)-∞-【试题解析】因为13i z b =-,22i z a =-+,所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第二象限，所以2030b a -<⎧⎨->⎩，所以2b <且3a -<-,所以1b a -<-，所以b a -的取值范围为(,1)-∞-．【解题必备】（1）把复数的代数形式看成关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项"就可以了．复数的加法可以推广到多个复数相加的情形:各复数的实部分别相加,虚部分别相加．实数加法、减法的运算性质对复数的加法、减法仍然成立．但应注意：两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数,例如(34i)4i 3+-=，3为实数．(2）在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减"的方法确定．（3)设复数1z ,2z 在复平面内对应的点之间的距离为d ，则由复数的几何意义，可得复平面内两点间的距离公式为12||d z z =-．1．在复平面内，复数1z 对应的点为(2,3)，复数212i z =-+,若复数12z z z =-，则复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(25i)(3i)-+-+=____________;(4i)(23i)---=____________．3．如图所示,平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0，32i +，24i -+，则向量AO ,CA ，OB 对应的复数分别为____________、____________、____________．1．A 【解析】因为复数1z 对应的点为(2,3),所以123i z =+,又复数12z z z =-，所以23i (12i)z =+--+3i =+，所以复数z 对应的点为(3,1)，其在第一象限．故选A ．2．14i -- 22i + 【解析】(25i)(3i)14i -+-+=--，(4i)(23i)22i ---=+．3．32i -- 52i - 16i + 【解析】向量AO 对应的复数为0(32i)32i -+=--；因为CA OA OC =-,所以向量CA 对应的复数为32i 24i ()()52i +--+=-;因为OB OA OC =+，所以向量OB 对应的复数为32i 24i ()()16i ++-+=+．【名师点睛】向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB 对应的复数是B A z z -（终点对应的复数减去起点对应的复数）．3月7日 复数代数形式的乘法运算高考频度：★★★☆☆ 难易程度:★★☆☆☆若复数(2i)(1i)z a =-+的实部为1,则实数a 的值为 A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【参考答案】B【试题解析】因为(2i)(1i)2(2)i z a a a =-+=++-的实部为1，所以21a +=，解得1a =-．故选B ．【解题必备】（1）两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把2i 换成1-,并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．（2）在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立．即对于任意复数z ,1z ，2z 和正整数m ，n ，有m n m n z z z +=，)(m n mn z z =,1212()n n n z z z z =．（3)i 具有周期性，且最小正周期为4,有如下性质： ①41i i n +=，42i 1n +=-,43i i n +=-，4i 1()n n =∈*N ; ②4414243i i i i 0()n n n n n ++++++=∈*N ．（3）120z z =的充要条件是10z =或20z =,依据复数的乘法运算可得121212||||||00z z z z z z =⋅⇔=⇔0=⇔10z =或20z =．1．在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数12i z =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z = A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．已知(i)(1i)2i a b +-=，其中a,b 均为实数，i 为虚数单位，则|i |a b +等于 A ．2 B ．2 C ．1D ．1或21．A 【解析】因为复数2i(2i)i 2i 12i -=-+=+，所以复数i(2i)-对应的点是(1,2)，位于第一象限，故选A ．2．A 【解析】由题意可知22i z =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选A ．3．B 【解析】因为(i)(1i)(1)i 2i a b a b ab +-=++-=，所以012a b ab +=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，所以|i |2a b +=．故选B ．3月8日 共轭复数高考频度:★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆已知复数(1i)i z =-,给出下列四个结论:①||2z =;②22i z =；③z 的共轭复数1i z =-+;④z 的虚部为i ．其中正确结论的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3【参考答案】B【试题解析】复数(1i)i 1i z =-=+,故22||112z =+=，①不正确；2(1i)(1i)2i z =++=，②正确；1i z =-，③不正确；1i z =+的虚部为1，④不正确,故只有②正确．故选B ．【解题必备】（1）若复数z 的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出z ,再进行复数的四则运算．必要时,需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式,再根据共轭复数的定义求z ． （1）实数的共轭复数是它本身,即z z z =⇔∈R ,利用这个性质可证明一个复数为实数． （2)若0z ≠且0z z +=,则z 为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数．（3）若i z a b =+，它的共轭复数(i ,)z a b a b =-∈R ,则222(i)(i)||z z a b a b a b z ⋅=+-=+=． （4）互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称（如下图所示）．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上．1．已知复数(1i)(1i)5i z =+-+,i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数43i z =+，i 为虚数单位,则||zz = A ．1B ．—1C ．43i 55+D ．43i 55-3．已知复数201711(i)i 22z =+，i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数是A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--1．D 【解析】复数(1i)(1i)5i 25i z =+-+=+，其共轭复数为25i -，在复平面内对应的点为(2,5)-,位于第四象限，故选D ．【易错提醒】本题考查的是复数的代数运算和几何意义，互为共轭复数的两个复数的关系是它们的实部相等、虚部互为相反数，本题中的复数(1i)(1i)5i 25i z =+-+=+的虚部为5，所以共轭复数的虚部为5-．本是容易题，但容易忽略“共轭”二字，对题目表述认识不清就匆匆答题，属于非智力因素导致的错误,因此准确审题是正确答题的前提． 2．D 【解析】43i 43i ||555z z -==-，故选D ． 3．D 【解析】因为20172016i i i i =⋅=，所以2017111111(i)i (i)i i 222222z =+=+=-+，所以11i 22z =--，所以复数z 的共轭复数是11i 22--．故选D ．3月9日 复数代数形式的除法运算高考频度：★★★★★ 难易程度：★★☆☆☆-1，则复数z b -在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【参考答案】B因为复数z 的实部为—1，所6b =,z b -在复平面内对应的点为(7,5)-，位于第二象限．故选B ．的共轭复数i c d -,化简后就可得到上面的结果．复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时,分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化";复数的除法是分子、1．已知复数1iz =-，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数4i17z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 A ．4i + B ．4i - C ．4i -+D ．4i --3．25i 3i -=-+____________；3i2i+=-____________．1．B 【解析】因为()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z +===-+--+，所以复数z 所对应的点位于第二象限，故选B ． 2．B 【解析】因为1717(4i)4i 4(4i)(4i i )z +===+--+，所以4i z =-，故复数z 的共轭复数为4i -，故选B ．3．1113i 1010-+ 1i + 【解析】25i (25i)(3i)1113i 1113i 3i (3i)(3i)101010-----+===-+-+-+--；3i (3i)(2i)2i (2i)(2i)+++==--+ 55i1i 5+=+．3月10日复数范围内的解方程问题高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆已知关于x的方程2()2i2i0x k x k++++=有实数根,求实数k的值．【参考答案】22-或22【试题解析】设x是方程2()2i2i0x k x k++++=的实数根，将x代入方程并整理得20002()(20)ix kx x k++++=,由复数相等的充要条件可得2002020x kxx k⎧++=+=⎪⎨⎪⎩，解得0222xk⎧==-⎪⎨⎪⎩或0222xk⎧=-=⎪⎨⎪⎩，所以实数k的值为22-或22．【解题必备】复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．注意：由于虚数单位i的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．1．已知z∈C，解方程3i13iz z z⋅-=+．2．已知1iz=-+是方程20z az b++=的一个根，a，b∈R．（1）求实数a，b的值；（2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．1．11z=-，213iz=--．【解析】原方程可化为3i3i1z z z--=-⋅，因为2||z z z ⋅=∈R ，所以3i 3i 3i 3i 3i 3i z z z --=--=+， 所以()3i 6i z z +=-，所以2z z +=-， 令i(,)a b z a b =∈+R ，则1a =-，把1i z b =-+代入原方程可得0b =或3b =-， 所以原方程的解为11z =-，213i z =--． 2．(1）2a =，2b =；（2）1i --．【解析】（1）把1i z =-+代入方程20z az b ++=,得()(20)i a b a -++-=, 所以020a b a -+=⎧⎨-=⎩，解得2a =，2b =．（2)由(1）知方程为2220z z ++=．设另一个根为2z , 由根与系数的关系,得21i 2z -++=-，所以21i z =--．把21i z =--代入方程2220z z ++=，则左边2()(1i 21i)20=--+--+==右边， 所以21i z =--是方程2220z z ++=的另一个根．3月11日 精编月考卷（1） 测试时间：30分钟 满分：100分一、选择题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2i)1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =A ．13i 55+B ．13i 55-C ．13i 55-+D ．13i 55--2．下表是某工厂69～月份电量（单位：万度)的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是ˆ 1.4yx m =-+，则实数m 等于 A ．12.5 B ．7.25C ．14.5D ．16.53．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对H7N9亚型禽流感病毒的预防作用，把500名注射了疫苗的人与另外500名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种疫苗不能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用”，并计算出2( 4.225)0.05P K ≥≈，则下列说法正确的是A ．这种疫苗能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的有效率为5%B ．若某人未使用该疫苗,则他在半年中有95%的可能性得H7N9亚型禽流感病毒C ．有5%的把握认为“这种疫苗能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用”D ．有95%的把握认为“这种疫苗能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用” 4．已知下列等式:=== …则推测=+b a A ．109 B ．1033 C ．199D ．29二、填空题：本大题共2小题,每小题10分，共20分．将正确的答案填在题中的横线上． 5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是_____________． 6．如图是一个三角形数阵：111351117911111113151719……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第3个数为_____________．三、解答题：本大题共2小题，每小题20分,共40分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本．（1）根据所给样本数据完成下面的22⨯列联表； （2）请问能有多大把握认为药物有效?参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++，其中n a b c d =+++．8．若实数x 、y 、m 满足||||x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．(1）若21x-比1远离0,求实数x的取值范围；(2）对任意两个不相等的正数a，b,证明：33+a b ab+比22a b1．A 【解析】方法一：由已知221i (1i)(2i)(21)3i 13i 2i (2i)(2i)2i 55z +++-+====+--+-,故选A ． 方法二：设i(,)a b z a b =∈+R ,则由已知可得(2i)(i)1i a b -+=+，即(2)(2)i 1i a b b a ++-=+，所以2121a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得1535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以13i 55z =+，故选A ． 2．D 【解析】由题意知7.5x =，6y =，线性回归直线过点(7.5,6),代入方程解得16.5m =，故选D ．3．D 【解析】由于2( 4.225)0.05P K ≥≈,这说明假设不合理的程度约为95%，即这种疫苗不能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用不合理的程度约为95%，所以有95%的把握认为“这种疫苗能起到预防H7N9亚型禽流感病毒的作用”．故选D ． 4．A 【解析】分析所给的等式，可归纳出等式22(2,)11n n n n n n n n +=≥∈--*N ,在1010a ab b+=中，10a =,210199b =-=，于是a+b=109．故选A ． 5．乙 【解析】这四人的供词中，都提到乙，我们假设乙是犯罪，那么，甲和丙的供词是真话，乙和丁的供词是假话，符合题意，假设成立．如果我们假设其他人为罪犯，如丙，那么说真话的就有甲、乙、丁三人；如果丁是罪犯，那么说真话的只有甲；如果罪犯是甲，说真话的只有丙；后面三个假设都与题目要求不符合，假设不成立．故罪犯是乙．6．1245 【解析】前1515(151)1202⨯+=16行从左到右的第3个数为1121231245=⨯-．7．（1）列联表见解析；（2）大概有90％的把握认为药物有效． 【解析】(1）补充完整的22⨯列联表如下：（2)2K的观测值所以有90％的把握认为药物有效． 8．（1）(,(2,)-∞+∞；(2)见解析．【解析】（1）由题意可得2|||1|010x -->-，即2||11x ->， 即211x ->或211x -<-，解得x >x < 故实数x的取值范围为(,(2,)-∞+∞．(2）对任意两个不相等的正数a ,b因为3322222||()()0a b a b ab a a b b +--+-+->=， 所以3322||22a b a b ab +->+-， 故33a b +比22a b ab +3月12日 精编月考卷(2） 测试时间：30分钟 满分：100分一、选择题：本大题共3小题,每小题10分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知回归直线方程中斜率的估计值为 2.5-,样本点的中心为(4,6),则回归直线方程为 A ．ˆ 2.519yx =-+ B ．ˆ 2.54yx =- C ．ˆ 2.56yx =-+D ．ˆ 2.516yx =-+ 3．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人,还会说英语；乙是法国人,还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为 A ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊 C ．甲乙丙丁戊D ．甲丙戊乙丁二、填空题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．将正确的答案填在题中的横线上． 4．已知i 是虚数单位，复数z 满足zz-+i 2=12i +,则复数z 的共轭复数为_____________． 5．观察下列各式：2251233++<；222111712344+++<；……照此规律，当n∈*N 时，222111123(1)n ++++<+_____________． 6．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点，若它停在奇数点上，则下次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从“5”这点起跳，跳2017次后它停在的点对应的数字是_____________．三、解答题:本大题共2小题，每小题20分，共40分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．已知数列{}n a 满足112a =,且21()n n n a a n a +=-∈*N ．（1）证明：112()nn a n a +≤≤∈*N ； （2)设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明:11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N ．8．某手机厂商推出一款6英寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性,300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1)画出男性用户评分的频率分布直方图，并求男性用户评分的中位数；（2)如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列22⨯列联表，并回答是否有97.5%的把握认为性别和对手机的“认可"有关．参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++，其中n a b c d =+++．1．D 【解析】方法一：因为232i 2i (32i)i (2i)(12i)i i 23i i i 13i i 12i i (12i)(12i)z +++++=+=+=-+⋅=---+,所以位于第四象限，故选D ． 方法二：因为232i 2i (32i)i 2i 1i 23i 113i i 12i i 12iz +++-=+=+=--=---，所以位于第四象限，故选D ． 2．D 【解析】由回归直线方程中斜率的估计值为 2.5-和回归直线方程过样本点的中心(4,6)，可得ˆ 2.516yx =-+．故选D ． 3．D 【解析】首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊5个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且4个备选答案都是从甲开始的，因此我们从甲开始推理． 方法一:正常的思路,根据题干来作答．甲会说中文和英语，那么甲的下一邻居一定是会说英语或者中文的，以此类推，得出答案．故选D ．方法二：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决．首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流,因此,B 、C 不成立,乙不能和甲交流，A 错误，因此D 正确．4．i 4543-- 【解析】因为212i i z z =++-，所以4i 35i 22i 44z -+==-++，所以复数z 的共轭复数为i 4543--． 5．211n n ++ 【解析】观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：不等式的右边的分子是21n +的形式，分母是1n +的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是211n n ++．故填211n n ++．6．1 【解析】由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点,落在1上； 由1起跳，1是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点,落在2上； 由2起跳，2是偶数，沿顺时针跳两个点，落在4上; 由4起跳，4是偶数,沿顺时针跳两个点，落在1上； 1，2，4，1，2，…,周期为3．又201736721=⨯+,所以跳2017次后它停在的点所对应的数字为1． 7．【思路分析】(1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证;(2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n na a +<-≤，从而可得111()2(1)2n a n n n +≤<∈++*N ,即可得证11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N ．【解析】(1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=-可得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤，得211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--， 故112()nn a n a +≤≤∈*N ． (2）由题意得21n n n a a a +=-，所以11n n S a a +=- ①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n na a +<-≤， 所以11112n n n a a +<-≤，因此111()2(1)2n a n n n +≤<∈++*N ②, 由①②得112(2)2(1)n S n n n <≤++，所以11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N ． 8．（1）频率分布直方图见解析，中位数为2203；（2)有97.5%把握认为性别和对手机的“认可”有关．【解析】(1）男性用户评分的频率分布直方图如下：在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等,设中位数为x ，则7080x <<， 于是100.015100.025(70)0.030.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得2203x =． （2）22⨯列联表如下:女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 140180320“不认可”手机 60120 180合计200300 500故2K 的观测值2500(14012018060) 5.208 5.024200300320180k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有97.5%的把握认为性别和对手机的“认可"有关．。
