安徽省2019年中考数学总复习第四章三角形第二节三角形的基本性质课件

中考数学总复习考点系统复习2.第⼆节三⾓形及其性质第四章三⾓形第⼆节三⾓形及其性质(建议时间：_____分钟)基础过关1. (2019⾃贡)已知三⾓形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三⾓形的周长为()A. 7B. 8C. 9D. 102.(2019毕节)如图，△ABC中，CD是AB边上的⾼，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()A. 线段CA的长度B. 线段CM的长度C. 线段CD的长度D. 线段CB的长度第2题图3. (2019杭州)在△ABC中，若⼀个内⾓等于另两个内⾓的差，则()A. 必有⼀个内⾓等于30°B. 必有⼀个内⾓等于45°C. 必有⼀个内⾓等于60°D. 必有⼀个内⾓等于90°4. (2019天⽔)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为()A. (1，1)B. (1，3)C. (3，1)D. (3，3)第4题图5. (2019南充)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为()C. 16D. 17第5题图6. (2019西安交⼤附中模拟)如图，AD是△ABC的⾼，AB＝10，AD＝8，BC＝12，则△ABC为()A. 等腰三⾓形B. 等腰直⾓三⾓形C. 直⾓三⾓形D. 钝⾓三⾓形第6题图7.(2019眉⼭)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°第7题图8. (2019⾚峰)如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为()第8题图A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°9. (2019⼤庆)如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外⾓∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A ＝60°，则∠BEC 是( )A. 15°B. 30°第9题图10. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的⾼，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，则图中共有等腰三⾓形( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个第10题图11. (2019西安⾼新⼀中模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝9，D 是AB 的中点，连接CD ，F 为CD 上⼀点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A. 6B. 4C. 7D. 12第11题图12. (2019西安交⼤附中模拟)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，AF ⊥BC ，垂⾜为点F ，∠ADE ＝30°，DF ＝3，则BF 的长为( )第12题图A. 4B. 2 3C. 3 313. (2019陕师⼤附中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D.若AC ＝3，AB＝5，则CD的长为()A. 32 B.43 C.53 D.85第13题图14. (2019长沙)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选⼀点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是________m.第14题图15. (2019⽢肃省卷)定义：等腰三⾓形的顶⾓与其⼀个底⾓的度数的⽐值k称为这个等腰三⾓形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．16. (2019西安⾼新⼀中模拟)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC＝________．第16题图17. (2019西安⾼新⼀中模拟)把两个同样⼤⼩的含45°⾓的三⾓尺按如图所⽰的⽅式放置，其中⼀个三⾓尺的锐⾓顶点与另⼀个的直⾓顶点重合于点A，且另三个锐⾓顶点B，C，D在同⼀直线上．若AB＝2，则CD＝__________．第17题图能⼒提升1. (2019黄⽯)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的⾓平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD ＝CF，则∠ACD＋∠CED＝()A. 125°D. 190°第1题图2. (2019西安铁⼀中模拟)如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝7，MN＝3，则AC的长为()A. 14B. 13C. 12D. 11第2题图3. (2019西安铁⼀中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，CD⊥AB，垂⾜为D，CE 为△ABC的中线．若DE ＝22，则AD的长为()A. 4－2 2B. 6－22 C. 2 D. 4第3题图4. (2019青岛)如图，BD是△ABC的⾓平分线，AE⊥BD，垂⾜为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE 的度数为()第4题图A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°5. (2019铜仁)如图，D是△ABC内⼀点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为()A. 12B. 14第5题图6.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的⾯积是________．第6题图满分冲关1. (2019盐城)如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．第1题图2.(2019泸州)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂⾜为F，则AD的长为________．第2题图【每⽇加练】每天多点努⼒，结果超乎想象，32开加练册，今天你打卡了吗？参考答案第⼆节三⾓形及其性质基础过关1.C【解析】设这个三⾓形的第三边长为c，则4－1＜c＜4＋1，即3＜c＜5，∵c是整数，∴c＝4，∴这个三⾓形的周长为1＋4＋4＝9.2. C 【解析】根据点到直线的距离概念理解，点C 到AB 所在直线的距离是垂线段CD 的长度．3. D 【解析】设这三个内⾓分别为∠A ，∠B ，∠C ，则∠A ＝∠B －∠C ，移项得∠A ＋∠C ＝∠B ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴2∠B ＝180°，即∠B ＝90°.4. B 【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△OAB 为等边三⾓形，边长为2，∴∠BOA ＝60°，OA ＝OB ＝2.∴OD ＝1，BD ＝OB · sin60°＝2×32＝3，∴点B 的坐标为(1，3)．第4题解图5. B 【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ，∴AE ＋CE ＝BC ＝6 ，∴△ACE 的周长＝AC ＋AE ＋CE ＝AC ＋BC ＝5＋6＝11 .6. A 【解析】∵AD 是△ABC 的⾼，AB ＝10，AD ＝8，∴BD ＝AB 2－AD 2＝6，∴CD ＝BD ＝6，∴AC ＝AB ＝10.∴△ABC 是等腰三⾓形．∵AB 2＋AC 2≠BC 2，∴△ABC 不是等腰直⾓三⾓形．7. C 【解析】∵∠ADC ＝70°，∠B ＝30°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝40°，∴∠C ＝180°－70°－40°＝70°. 8. B 【解析】在△AEF 中，∠AFE ＝90°－∠A ＝55°.∴∠DFC ＝∠AFE ＝55°.⼜∵∠ACB 是△DCF 的外⾓，∴∠ACB ＝∠DFC ＋∠D ＝55°＋15°＝70°.9. B 【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，CE 是∠ACM 的平分线，∴∠CBE ＝12∠ABC ，∠ECM ＝12∠ACM ，∵∠BEC ＝∠ECM －∠CBE ，∴∠BEC ＝12(∠ACM －∠ABC )，∵∠ACM ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋∠ABC ，∴∠BEC ＝12(60°＋∠ABC －∠ABC )＝30°.10. B 【解析】∵∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的⾼，∴∠DAC ＝45°，∴CD ＝AD ，∴△ADC 为等腰直⾓三⾓形；∵∠ABC ＝60°，BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE ＝∠CBE ＝30°，在△ABD 中，∠BAD ＝180°－∠ABD －∠ADB ＝180°－60°－90°＝30°，∴∠ABF ＝∠BAD ＝30°，∴AF ＝BF ，即△ABF 是等腰三⾓形；在△ABC 中，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝180°－60°－45°＝75°，∵∠AEB ＝∠CBE ＋∠ACB ＝30°＋45°＝75°，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴△ABE 是等腰三⾓形，∴等腰三⾓形有△ACD 、△ABF 、△ABE 共3个．11. A 【解析】∵在Rt △ABC 中，AB ＝9，点D 为AB 的中点，∴AD ＝CD ＝12AB ＝92，∵CF ＝13CD ，D 为AB 中点，∴DF ＝23CD ＝3.∵BE ∥CD ，∴DF 是△ABE 的中位线，∴BE ＝2DF ＝6.12. C 【解析】在Rt △ABF 中，∵∠AFB ＝90°，AD ＝DB ，DF ＝3，∴AB ＝2DF ＝6，∵AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴DE ∥BC ，∴∠ABF ＝∠ADE ＝30°，∴AF ＝12AB ＝3，∴BF ＝AB 2－AF 2＝62－32＝3 3.13. A 【解析】如解图，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DC ＝DH ，设DC ＝DH ＝x ，在Rt △ACB 中，∵∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，∴BC ＝52－32＝4，∵∠ACD ＝∠AHD ＝90°，AD ＝AD ，DC ＝DH，∴Rt △ADC ≌Rt △ADH (HL)，∴AH ＝AC ＝3，BH ＝5－3＝2，在Rt △HBD 中，则有(4－x )2＝x 2＋22，解得x ＝32，∴CD ＝32.第13题解图14. 100 【解析】∵D 是AC 的中点，E 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ，∵DE＝50 m ，∴AB ＝2DE ＝100 m.15. 85 或 14 【解析】当∠A 为顶⾓时，则底⾓∠B ＝∠C ＝12×(180°－∠A )＝50°，此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底⾓时，则顶⾓(∠B 或∠C )＝180°－2∠A ＝20°，此时的特征值k ＝ 20°80° ＝14.故特征值k 为85或14. 16. 6 【解析】∵在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB ，MN ∥BC ，且MN 平分∠AMC ，∴∠AMN ＝∠NMC ＝∠B ，∠NCM ＝∠BCM ＝∠NMC ，∴∠ACB ＝2∠B ，NM ＝NC ，∴∠B ＝30°，∵AN ＝1，∴MN ＝2，∴AC ＝AN ＋NC ＝3，∴BC ＝6. 17. 3－1 能⼒提升1. C 【解析】如解图，连接DF .∵CD ⊥AB ，F 为AC 的中点，∴DF ＝CF ，∵CD ＝CF ，∴△CDF 是等边三⾓形，∠ACD ＝60° .∵∠B ＝50°，∴∠BCD ＋∠BDC ＝130°，∵CE 平分∠BCD ，DE 平分∠BDC ，∴∠CED ＝180°－(∠DCE ＋∠CDE )＝180°－12(∠BCD ＋∠BDC )＝115°，∴∠ACD ＋∠CED ＝60°＋115°＝175°.第1题解图2. B 【解析】如解图，延长BN ，交AC 于点D.∵AN 平分∠BAC ，∴∠BAN ＝∠DAN ，∵∠ANB ＝∠AND ＝90°，AN ＝AN ，∴△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝7，BN ＝DN ，⼜∵M 是BC 边的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，∴CD ＝2MN ＝6，∴AC ＝AD ＋CD ＝13.第2题解图3. A 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝22.5°，∵CE 为△ABC 的中线，∴AE ＝CE ＝BE ＝12AB ，∠CED ＝2∠B ＝45°.∵CD ⊥AB ，DE ＝22，∴△CDE 是等腰直⾓三⾓形．∴CE ＝4，∴AE ＝4.∴AD ＝AE －DE ＝4－2 2.4. C 【解析】如解图，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.∵AE ⊥BD ，∴AF ＝EF .∴BD 为AE 的垂直平分线．∴AD ＝DE ，∴∠3＝∠4.∴∠5＝2∠3.∵∠ABC ＝35°，∠C ＝50°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝95°，∠1＝∠2＝12∠ABC ＝17.5°.∵AE ⊥BD ，∴∠6＝90°－∠1＝72.5°.∴∠3＝∠BAC －∠6＝22.5°.∴∠CDE＝2∠3＝45°.第4题解图5. A 【解析】∵BD ⊥CD ，BD ＝4，CD ＝3，∴由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝5.∵点E ，H 分别是AB ，AC 的中点，∴EH 是△ABC 的中位线，∴EH ∥BC ，EH ＝12BC ＝52，∵F ，G 分别是BD ，CD 的中点，∴FG 是△BDC 的中位线，∴FG ＝12BC ＝52；同理可得EF ＝GH ＝12AD ＝72，∴四边形EFGH 的周长为EF ＋GH ＋EH ＋FG ＝72＋72＋52＋52＝12.6. 83 【解析】如解图，取AC 的中点E ，连接ED ，∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝12×4＝2.∴∠CDE ＝∠BC D.∵DC ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠BCD ＝90°.∵∠ACB ＝120°，∴∠DCE ＝30°，∠CED ＝60°.在Rt △EDC 中，CD ＝ED ·tan ∠CED ＝23，∴S △BCD ＝12BC ·DC ＝12×4×23＝4 3.∵D 为AB 的中点，∴S △ABC＝2S △BCD ＝8 3.第6题解图满分冲关1. 2 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADC ＝90°.在Rt △ACD 中，∵∠C ＝45°，∴∠DAC ＝90°－∠C ＝90°－45°＝45°.∴∠DAC ＝∠C.∴AD ＝C D.设AD ＝CD ＝x ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得AC ＝AD 2＋CD 2＝x 2＋x 2＝2x .∵AB ＝2AC ，∴AB ＝2×2x ＝2x .在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝（2x ）2－x 2＝3x .∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝(3＋1)x .∵BC ＝6＋2＝2×(3＋1)，∴(3＋1)x ＝2×(3＋1)，解得x ＝2，∴AC ＝2.第1题解图2. 92 【解析】如解图，过E 作EG ⊥AB 于点G ，∵△ABC 是等腰直⾓三⾓形，∴AC ＝BC ＝15，⼜∵CE ＝2EB ，∴CE ＝10，EB ＝5.∵∠ACE ＝90°，∴AE ＝AC 2＋EC 2＝513.∵S △ACE ＝12AC ·CE ＝12AE ·CF ，即15·10＝513·CF ，∴CF ＝301313.∴AF ＝AC 2－CF 2＝451313，∵∠B ＝45°，∠EGB ＝90°，∴EG ＝BG ＝522，∴AG ＝2522.易得△AFD ∽△AGE ，∴AF AG ＝AD AE .即4513132522＝AD513，解得AD ＝9 2.第2题解图。

第二节三角形的根本概念及全等三角形,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答17全等三角形全等三角形的判定及其性质882021 解答17三角形中位线利用三角形的中位线的性质得条件，证三角形全等882021选择5全等三角形以等腰梯形为背景，判断三角形全等3填空15三角形内外角关系利用三角形的内外角关系求角362021选择5三角形中位线以测量池塘为背景，利用三角形中位线的性质得33到两点间的距离2021解答19全等三角形以等腰梯形为背景证三角形全等10填空11三角形中位线以平行四边形为背景，利用三角形中位线的性质求线段的长度3132021选择2三角形内外角的关系利用三角形的外角及内角的关系比拟大小33命题规律纵观怀化七年中考，“三角形的根本概念及全等三角形〞这一考点其余各年都有考察，根本概念考察层次偏低，全等三角形考察中等，其中，三角形内外角关系考察2次，三角形中位线考察3次，全等三角形考察3次．命题预测预计2021年怀化中考会以三角形中的重要线段，三主要考察对象，全等三角形的判定与性质也会在解答题中考察.,怀化七年中考真题及模拟)三角形的内外角关系(2次)1．(2021怀化中考)如下图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B)A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1(第1题图)(第2题图)2．(2021怀化中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC 到D，那么∠ACD＝__80°__．三角形的中位线(3次)3．(2021怀化中考)如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14 m，那么A，B间的距离是( C)A．18 m B．24 m C．28 m D．30 m(第3题图)(第4题图)4．(2021怀化中考)如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD 的中点，那么EF＝__4__．全等三角形(3次)5．(2021怀化中考)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC及BD相交于点O，那么以下判断不正确的选项是( B)A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC(第5题图)(第6题图)6．(2021怀化二模)如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上．添加以下条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是( D )A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC ＝OD C ．∠OPC ＝∠OPD D ．PC ＝PD7．(2021怀化学业考试指导)一个等腰三角形的两边长分别为2与5，那么它的周长为( C )A ．7B ．9C ．12D ．9或128．(2021鹤城模拟)三角形的两边长分别为3与6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，那么这个三角形的周长是( D )A ．2或4B ．11或13C ．11D ．139．(2021芷江模拟)在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB 边长为10，AC 边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．(2021怀化考试说明)如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE，假设AC ＝5，BC ＝3，那么BD 的长为( D )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．111．(2021怀化中考)如图，在等腰梯形ABCD 中，点E 为底边BC 的中点，连接AE ，DE.求证：AE ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠B ＝∠C，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE(SAS )，∴AE ＝DE.12．(2021怀化中考)如图，AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA 及OB 相等吗？假设相等，请说明理由．证明：(1)在△ADB 与△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )；(2)OA ＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OAB＝∠OBA，∴OA ＝OB.13．(2021怀化一模)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D，∠B ＝∠C，求证：AB ＝DC.证明：∵BE＝CF ，∴BF ＝CE ，又∵∠A＝∠D，∠B ＝∠C，∴△ABF ≌△DCE ，∴AB ＝DC.14．(2021洪江模拟)△ABN 与△ACM 的位置如下图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 与△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC.又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC，∴∠MDO ＝∠NEO.∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M ＝∠N.考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形 三边相等的三角形 三边互不相等的三角形 __等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之与__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之与大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角与定理及内外角关系4．内角与定理：三角形的内角与等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之与．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段四线定义性质 图形中线连接一个顶点及它对边中点的线段BD ＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°续表角平分线一个内角的平分线及这个角的对边相交，顶点及交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝12BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定类型图形条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA ∠B1＝是AAS∠B 2， ∠C 1＝∠C 2， A 1C 1＝A 2C 2 A 1B 1＝A 2B 2， ∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是 __SAS __续表直角 三角 形的 判定A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2，是__HL __【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS 一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2021 洪江模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．假设调整木条的夹角时不破坏此木框，那么任意两个螺丝间距离的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．10【解析】4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，那么三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，那么三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，那么三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，那么三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7. 【学生解答】C1．(2021岳阳中考)以下长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2021原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，那么∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B ＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【学生解答】A2．(2021乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE ＝60°，那么∠A＝( C )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，那么OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE ＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∴OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【学生解答】1.253．(2021枣庄中考)如图，△ABC 的面积为6，AC ＝3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，那么线段BP 的长不可能是( A )A ．3B ．4C ．5.5D ．10全等三角形的证明及性质【例4】如图，点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，，且DC ＝DM ，试探究线段ME 及BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC ，在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD ，又AC ＝BC ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD ，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM ＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.4．(2021南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，以下结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA ＝DC ，其中正确结论的序号是__①②③__．图形旋转中全等三角形的判定及性质【例5】(2021 苏州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)假设EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE.(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 与△FCE中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)第 11 页 由(1)可知△BCD≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E ，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.5．(2021怀化三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF⊥AC，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F.求证：AB ＝BF.提示：证Rt △ABC ≌Rt △FBD 即可．6．(2021淄博中考)如图，△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.求证：(1)AE ＝AF ；(2)BE ＝12(AB ＋AC)． 证明：(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF ，∠CAD ＝∠AFE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ；(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G ，∴∠AGC ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE.∵∠AEF ＝∠AFE，∴∠AGC ＝∠ACG，∴AG ＝AC.∵BM＝CM ，EM ∥CG ，∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．。

第二节三角形的基本概念及全等三角形1．(荆门中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C )A．5 B．6 C．8 D．10(第1题图)(第2题图)2．(2019怀化中考)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( B )A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD3．(邵阳中考)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( A )A．AC>BC B．AB＝BCC．∠A>∠ABC D．∠A＝∠ABC(第3题图)(第4题图)4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝( B )A．36° B．54° C．18° D．64°5．在平面直角坐标系中，点A(2，2)，B(32，32)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为( B )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( C )A．带①去 B．带②去C．带③去 D．带①和②去(第6题图)(第7题图)7．(东莞中考)如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是__4__．8．(南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO.下列结论： ①AC ⊥BD ； ②CB＝CD ； ③△ABC ≌△ADC ； ④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是__①②③__．(第8题图)(第9题图)9．(2019黔东南中考)如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，已知FB ＝CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件__∠A＝∠D(答案不唯一)__使得△ABC≌△DEF.10．(2019温州中考)如图，在五边形ABCDE 中，∠BCD ＝∠EDC＝90°，BC ＝ED ，AC ＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE 的度数． 解：(1)∵AC＝AD ， ∴∠ACD ＝∠ADC，又∵∠BCD ＝∠EDC＝90°， ∴∠ACB ＝∠ADE， 在△ABC 和△AED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝ED ，∠ACB ＝∠ADE，AC ＝AD ，∴△ABC≌△AED(SAS)；(2)当∠B＝140°时，∠E＝140°，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴在五边形ABCDE中，∠BAE＝540°－140°×2－90°×2＝80°.11．(2019湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( C )A．8 B．6C．4 D．212．(陕西中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE 交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( B )A．7 B．8 C．9 D．10(第12题图)(第13题图)13．(2019大庆中考)如图，从①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为( D )A．0 B．1 C．2 D．314．(2019达州中考)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是__1＜m＜4__．15．(2019武汉中考)如图，点C，F，E，B在一条直线上∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE.写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．解：CD＝AB，CD∥AB.证明如下：∵CE＝BF，∴CF＝BE.在△CDF和△BAE中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝BE ，∠CFD ＝∠BEA，DF ＝AE ，∴△CDF ≌△BAE ， ∴AB ＝CD ，∠C ＝∠B， ∴AB ∥CD.16．(泰安中考)如图，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE.点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M. (1)求证：∠FMC＝∠FCM； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．解：(1)∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 的中点， ∴DF ⊥AE ，DF ＝AF ＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余， ∴∠DCF ＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°， ∴△DFC ≌△AFM ，∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM；(2)AD⊥MC.理由如下：延长AD 交MC 于点G. 由(1)知∠MFC＝90°，FD ＝FE ，FM ＝FC ， ∴∠FDE ＝∠FMC＝45°， ∴DE ∥CM.∴∠AGC ＝∠ADE＝90°， ∴AG ⊥MC ， 即AD⊥MC.17．在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D＝60°，连接AC. (1)如图①，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE ＝CF.求证： ①△ABE≌△ACF； ②△AEF 是等边三角形；(2)若点E 在BC 的延长线上，在直线CD 上是否存在点F ，使△AEF 是等边三角形？请证明你的结论．(图②备用)解：(1)①∵AB＝BC ，∠B ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝AC.同理，△ADC 也是等边三角形， ∴∠ACF ＝∠B＝60°.又∵BE＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)；②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形；(2)存在，在CD延长线上取点F，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1)①同理可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE.∴∠EAF＝∠BAC＝60°.∴△AEF是等边三角形．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A. B.C. D.3．将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转120°后可得到的图形是（）A．B．C．D．4．由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，设CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，则下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数是（）(1)a2+b2=c2(2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4)+=A.1个B.2个C.3个D.4个5．关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有三个整数解，则a 的取值范围是( )A ．5924a -<-… B ．5924a -<<- C ．5924a --剟D ．5924a -<-… 6．如图，AB 是O 的直径，120BOD =∠，点C 为BD 的中点，AC 交OD 于点E ，1DE =，则AE 的长为（ ）ABC．D．7．下列运算正确的是（ ） A ．5210()a a -= B ．6262144a a a a-÷⋅=- C ．32264()a b a b -=D ．23a a a -+=-8．下列运算中，正确的是（ ） A ．（﹣12）﹣1＝﹣2 B ．a 3•a 6＝a 18C ．6a 6÷3a 2＝2a 3D ．（﹣2ab 2）2＝2a 2b 49．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ）A ．2B ．8CD ．10．计算2231366x x x x x+-⋅-+的结果为( ) A.6x x+ B.6x x - C.6x x + D.6x +11．一元二次方程2x 2﹣5x ﹣4＝0根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定该方程根的情况12．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为( )D.10二、填空题13．已知关于x 的方程240x x m -+=有一个根为3，则m 的值为_______．14．用一组,a b ab =”是错误的，这组值可以是a =____，b =_____. 15．分解因式：= ．16．如图，A 、B 是反比例函数y=图象上关于原点O 对称的两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，连线AC 过点D （0，-1．5）．若△ABC 的面积为7，则点B 的坐标为 ．17．计算﹣（﹣2）+（﹣2）0的值是_____．18．一个圆锥的底面积是40cm 2，高12cm ，体积是__________cm 3． 三、解答题19．如图是一张锐角三角形纸片，AD 是BC 边上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，现从硬纸片上剪下一个长是宽2倍的周长最大的矩形，则所剪得的矩形周长为_____________cm ．20．如图，将矩形ABCD 沿GH 折叠，点C 落在点Q 处，点D 落在AB 边上的点E 处若∠AGE ＝32°，则∠GHC 等于多少度？21．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA ＝∠PBD ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）如果tan BDE ∠=PD ，求PA 的长．22．观察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④…… (1)第⑤个式子____，第⑩个式子_____；(2)请用含n(n 为正整数)的式子表示上述的规律，并证明． 23．（1）先化简，再求值：211121a a a a -÷+++，其中a ＝2； （2）如图，在▱ABCD 中，E 为BC 边上的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点为点F ，延长AF 与CD 交于点G ，求证：GC ＝GF ．24．如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥BC 交AD 于点E ，连接BE ，点F 是BE 上一点，连接CF ． （1）如图1，若∠ECD ＝30°，BC ＝4，DC ＝2，求tan ∠CBE 的值；（2）如图2，若BC ＝EC ，过点E 作EM ⊥CF ，交CF 延长线于点M ，延长ME 、CD 相交于点G ，连接BG 交CM 于点N 且CM ＝MG ，①在射线GM 上是否存在一点P ，使得△BCP ≌△ECG ？若存在，请指出点P 的位置并证明这对全等三角形；若没有，请说明理由． ②求证：EG ＝2MN ．25．如图所示，一次函数y ＝x+3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，将直线AB 向下平移与反比例函数m y x =（x ＞0）交于点C 、D ，连接BC 交x 轴于点E ，连接AC ，已知BE ＝3CE ，且S △ACE ＝94．（1）求直线BC 和反比例函数解析式；（2）连接BD ，求△BCD 的面积．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．14．1-答案不唯一 1答案不唯一 15．（m+2）（m ﹣2）． 16．（，3）． 17．3 18．160 三、解答题19．72cm【解析】【分析】设所剪得的矩形的长为2xcm ，宽为xcm ，根据相似三角形的对应高的比等于相似比即可列方程求解.【详解】解：设所剪得的矩形的长为2xcm ，宽为xcm ，由题意得2304030x x -=或3024030x x -= 解得x=12或12011x = 则周长为()2412272cm +⨯=或2401207202cm 111111⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭ 因为7207211> 所以所剪得的矩形周长为72cm.故答案为：72cm【点睛】相似三角形的应用相似三角形的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.20．∠GHC ＝106°【解析】【分析】由折叠的性质可得∠DGH 的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到结论．【详解】∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折叠可得：∠DGH 12=∠DGE=74°． ∵AD ∥BC ，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．21．（1）证明见解析；（2）PA=1.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA.【详解】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线．（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°∵∠BED=60°，∴∠P=30°∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°在Rt△PDO中，∠P=30°，PD∴tan30°＝ODPD，解得OD=1∴PO 2∴PA=PO-AO=2-1=1【点睛】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22．(1)4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)(n﹣1)(n+1)+1＝n2；证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知等式中的规律即可得；(2)根据整数的平方等于前一个整数与后一个整数乘积与1的和可得，利用整理的运算法则即可验证．【详解】(1)第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102；故答案为：4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)第n 个式子为(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2，证明：左边＝n 2﹣1+1＝n 2，右边＝n 2，∴左边＝右边，即(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2的规律，并熟练加以运用．23．（1）3；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题；（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后利用平行四边形的性质即可证明结论成立．【详解】（1）211121a a a a -÷+++ 21(1)11a a a +=⋅+- 11a a +=- 当a=2时，原式2121+==-3； （2）连接FC ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 为BC 边上的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点为点F ，∴BE=EC=EF ，∠B=∠AFE ，AB ∥DC ，∴∠EFC=∠ECF ，∠B+∠BCD=180°．∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠EFG=∠BCD ，∴∠GCF=∠CGF ，∴GC=GF ．【点睛】本题考查了分式的化简求值、平行四边形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（1）4；（2）①详见解析；②详见解析. 【解析】【分析】 (1)由平行四边形的性质和已知条件得出∠BCE ＝∠CED ＝90°，由直角三角形的性质得出DE ＝12CD ＝1，CE （2）①由等腰直角三角形的性质得出∠MCG ＝∠MGC ＝45°，由线段垂直平分线的性质得出CP ＝CG ，得出∠CPM ＝∠CGM ＝45°，求出∠PCG ＝90°，得出∠BCP ＝∠ECG ，由SAS 证明△BCP ≌△ECG 即可； ②由全等三角形的性质得出BP ＝EG ，∠BPC ＝∠EGC ＝45°，得出∠BPG ＝90°，证出BP ∥MN ，得出BN ＝GN ，MN 是△PBG 的中位线，由三角形中位线定理得出BP ＝2MN ，即可得出结论．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵CE ⊥BC ，∴CE ⊥AD ，∴∠BCE ＝∠CED ＝90°，∵∠ECD ＝30°，DC ＝2，∴DE ＝12CD ＝1，∴CE∴tan ∠CBE ＝CE BC （2）①解：在射线GM 上存在一点P ，MP ＝MG 时，△BCP ≌△ECG ；理由如下：如图2所示：∵CM ＝MG ，∴△CMG 是等腰直角三角形，∴∠MCG ＝∠MGC ＝45°，∵MP ＝MG ，EM ⊥CF ，∴∠CPM ＝∠CGM ＝45°，∴∠PCG ＝90°，∴CP ⊥CG ，∵∠BCE ＝∠PCG ＝90°，∴∠BCP ＝∠ECG ，在△BCP 和△ECG 中，BC EC BCP ECG CP CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ECG （SAS ）；②证明：由①得：△BCP ≌△ECG ，∴BP ＝EG ，∠BPC ＝∠EGC ＝45°，∴∠BPG ＝90°，∴BP ∥MN ，∵PM ＝GM ，∴BN ＝GN ，∴MN 是△PBG 的中位线，∴BP ＝2MN ，∴EG ＝2MN【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．25．（1）BC =，2y x =-；（2）S △BCD ＝32 . 【解析】【分析】（1）作CF ⊥x 轴于F ，根据BE ＝3CE ，且S △ACE ＝94 求得S △ABE ＝274，根据三角形面积求得AE ，从而求得OE 和CF ，由三角形相似求得EF ，得到C 点的坐标，即可根据勾股定理求得BC ，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得反比例函数的解析式；（2）设直线CD 的解析式为y ＝x+b ，令直线CD 交y 轴于H ，根据待定系数法求得解析式，从而求得H 点的坐标，联立方程求得D 点的坐标，然后根据S △BCD ＝S △BCH ﹣S △BDH 求得即可．（1）作CF⊥x轴于F，由直线y＝x+3可知，A（﹣3，0），B（0，3），∵BE＝3CE，且S△ACE＝94，∴S△ABE＝274，∴12AE•OB＝274，即12AE•3＝274，∴AE＝92，∴OE＝32，∵S△ACE＝12AE•CF＝94，∴CF＝1，∵CF∥OB，∴△ECF∽△EBO，∴EF CFOE OB=，即32EF＝13，∴EF＝12，∴OF＝OE+DF＝2，∴C（2，﹣1），∴BC=，∵反比例函数y＝mx（x＞0）经过点C，∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣2x；（2）∵将直线AB向下平移与反比例函数y＝mx（x＞0）交于点C、D，∴设直线CD的解析式为y＝x+b，令直线CD交y轴于H，把C（2，﹣1）代入得，﹣1＝2+b，∴b＝﹣3，∴直线CD的解析式为y＝x﹣3，∴H（0，﹣3），解321212y xx xy yyx=-⎧==⎧⎧⎪⎨⎨⎨=-=-=⎩⎩⎪⎩得或，∴D（1，﹣2），∴S△BCD＝S△BCH﹣S△BDH＝12×3×2﹣12×3×1＝32．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，⊙O与BC相切于点B，弦AB∥OC，若∠C＝40°，则∠AOB的度数是（）A.60B.70°C.80°D.90°2．计算的值等于（）A.1B.C.D.3．下列运算正确的是( )A．(﹣2x2)3＝﹣6x6B．(y+x)(﹣y+x)＝y2﹣x2C．2x+2y＝4xy D．x4÷x2＝x24．如图，直线，若，，则的大小为（）A. B. C. D.5．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，等边三角形ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），则点A的坐标为（）A．（2，3）B．（2，）C．（，2）D．（2，7．2018年，淮南市经济运行总体保持平稳增长，全年GDP约为1130亿元，GDP在全省排名第十三.将1130亿用科学记数法表示为（）A．11.3×1010B．1.13×1010C．1.13×1011D．1.13×10128．如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：29．如图，点A、B、C在半径为2的圆O上，且∠BAC=60°，作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接MN，则MN的长为（）A.1 C.210．在半径为8cm的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A．4cm B．C．8cm D．11．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（）A．中位数31，众数是22 B．中位数是22，众数是31C．中位数是26，众数是22 D．中位数是22，众数是2612．如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；按B3此规律作下去，则点B n的坐标为（）A．（2n，2n﹣1）B．（2n，2n+1）C．（2n+1，2n）D．（2n﹣1，2n）二、填空题13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为_____．14．﹣3的绝对值的倒数的相反数是_____．15．一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是白球的概率是_____．16．含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(-2，0)，B(0，1)，则直线BC 的解析式为______．17．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________． 18．如图所示，是一个运算程序示意图，若第一次输人k 的值为216，则第2019次输出的结果是______．三、解答题19．如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC ＝0.6米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.5米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.4米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，≈1.4）20．某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x＜50 50≤x≤90x+50 90任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量p（件）与时间（第x天）满足一次函数关系p＝﹣2x+200．设小王第x天销售利润为W元．（1）直接写出W与x之间的函数关系式，井注明自变量x的取值范围；（2）求小生第几天的销售量最大？最大利润是多少？（3）任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金．请计算小王一共可获得多少元奖金？21．某校为了解七年级学生体育课足球运球的掌握情况，随机抽取部分七年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，制成了如图所示的不完整的统计图：根据所给信息，解答以下问题：(1)在扇形统计图中，求等级C对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；(2)该校七年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A等级的学生有多少人？22．某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到两种水果销路比较好，一种是冰糖橙，一种是睡美人西瓜．通过两次订货购进情况分析发现，买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元．（1）请求出购进这两种水果每箱的价格是多少元？（2）该水果零售商在五一期间共购进了这两种水果200箱，冰糖橙每箱以40元价格出售，西瓜以每箱50元的价格出售，获得的利润为w元．设购进的冰糖橙箱数为a箱，求w关于a的函数关系式；（3）在条件（2）的销售情况下，但是每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍，请你设计进货方案，并计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？23．某单位需要购买一些钢笔和笔记本．若购买2支钢笔和1本笔记本需42元，购买3支钢笔和2本笔记本需68元．（1）求买一支钢笔要多少钱？（2）若购买了钢笔和笔记本共50件，付款可能是810元吗？说明理由．24．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)25．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2=PA•PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圆O的半径．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1514．-13 15．1316．113y x =-+ 17．618．三、解答题19．篮框D 到地面的距离是2.9米．【解析】【分析】延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝,AB BC∴AB ＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22，∴GM ＝AB ＝2.22，在Rt △AGF 中，∵∠FAG ＝∠FHE ＝60°，sin ∠FAG ＝,FG AF∴sin60°＝,2.52FG = ∴FG ＝2.125，∴DM ＝FG+GM ﹣DF≈2.9米．答：篮框D 到地面的距离是2.9米．【点睛】考查解直角三角形的应用，构造直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键.20．（1）221802000(150)W=10010000(5090)x x xx x⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；（3）小王一共可获得6200元奖金.【解析】【分析】（1）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式；（2）依据（1）中函数的增减性求得最大利润；（3）根据销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式，求出利润超过4800元的天数即可求得可获得的奖金金额.【详解】（1）依题意：(50)(150) W=90(5090)p x xp x+≤<⎧⎨≤≤⎩，整理得221802000(150) W=10010000(5090)x x xx x⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）①当1≤x＜50时，W＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，∵﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＝45时，W有最大值为6050；②当50≤x≤90时，W＝﹣100x+10000，∵﹣100＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x＝50时，W有最大值为5000，∵6050＞5000，∴当x＝45时，W的值最大，最大值为6050，即小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；（3）①当1≤x＜50时，令W＝4800，得W＝﹣2（x﹣45）2+6050＝4800，解得x1＝20，x2＝70，∴当W＞4800时，20＜x＜70，∵1≤x＜50，∴20＜x＜50；②当50≤x≤90时，令W＞4800，W＝﹣100x+10000＞4800，解得x＜52，∵50≤x≤90，∴50≤x＜52，综上所述：当20＜x＜50时，W＞4800，即共有51﹣21+1＝31天的销售利润超过4800元，∴可获得奖金200×31＝6200元，即小王一共可获得6200元奖金.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．21．(1)117°；补图见解析；(2)30人.【解析】【分析】(1)先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得，根据以上所求结果即可补全图形；(2)总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得．【详解】解：(1)∵总人数为18÷45%＝40人，∴C等级人数为40﹣(4+18+5)＝13人，则C对应的扇形的圆心角是360°×1340＝117°，补全条形图如下：(2)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×440＝30人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（1）每箱冰糖橙进价为35元，每箱睡美人西瓜进价为40元；（2）w＝﹣5a+2000；（3）当购买冰糖橙30箱，则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润，最大利润为1850元．【解析】【分析】（1）设每箱冰糖橙x元，每箱睡美人西瓜y元，根据“买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元”列出方程组并解答；（2）根据（1）的结论以及“利润＝售价﹣成本”解答即可；（3）设购买冰糖橙a箱，则购买睡美人西瓜为（200﹣a）箱，根据“每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）设每箱冰糖橙进价为x元，每箱睡美人西瓜进价为y元，由题意，得40152000 20301900x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：3540 xy=⎧⎨=⎩，即设每箱冰糖橙进价为35元，每箱睡美人西瓜进价为40元；（2）根据题意得，w＝（40﹣35）a+（50﹣40）（200﹣a）＝﹣5a+2000；（3）设购买冰糖橙a箱，则购买睡美人西瓜为（200﹣a）箱，则200﹣a≥5a且a≥30，解得30≤a1 333≤，由（2）得w＝﹣5a+2000，∵﹣5，w随a的增大而减小，∴当a＝30时，y最大．即当a＝30时，w最大＝﹣5×30+2000＝1850（元）．答：当购买冰糖橙30箱，则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润，最大利润为1850元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．23．（1）16；（2）不可能，理由见解析.【解析】【分析】（1）设一支钢笔x元，一本笔记本y元，根据“购买2支钢笔和1本笔记本需42元，购买3支钢笔和2本笔记本需68元．”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设学校购买m支钢笔，则购买（50﹣m）本笔记本，根据总价＝单价×数量结合购买的费用为810元，即可得出关于m的一元一次方程，解得m的值为不大于50的正整数即可．【详解】解：（1）设一支钢笔x元，一本笔记本y元，根据题意得：242 3268 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：1610 xy=⎧⎨=⎩．答：一支钢笔16元，一本笔记本10元．（2）设学校购买m支钢笔，则购买（50﹣m）本笔记本，根据题意得：16m+10（50﹣m）＝810，解得：m＝52＞50，不符合题意．答：若购买了钢笔和笔记本共50件，付款不可能是810元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．24．篮板顶端D到地面的距离约为3.7m．【分析】延长AC、DE交于点F，则四边形BCFE为矩形，根据sin∠BAC＝BCAB，求EF,根据tan∠DBE＝DEBE，求DE,再求DF即可.【详解】解：延长AC、DE交于点F，则四边形BCFE为矩形，∴BC＝EF，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝BC AB，∴BC＝AB•sin∠BAC＝2.3×0.94＝2.162，∴EF＝2.162，在Rt△DBE中，tan∠DBE＝DE BE，∴DE＝BE•tan∠DBE＝1.5×1.04＝1.56，∴DF＝DE+EF＝2.162+1.56≈3.7(m)答：篮板顶端D到地面的距离约为3.7m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握正切、正弦的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.【解析】【分析】（1）OA=OC，则∠OCA=∠OAC，CD∥AP，则∠OCA=∠PAC，即可求解；（2）证明△PAC∽△PCE，即可求解；（3）利用△PAC∽△CAB、PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，即可求解．【详解】解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠PAC，∴∠OAC=∠PAC，∴AC平分∠BAP；（2）连接AD，∵CD为圆的直径，∴∠CAD=90°，∴∠DCA+∠D=90°，∵CD∥PA，∴∠DCA=∠PAC，又∠PAC+∠PCA=90°，∴∠PAC=∠D=∠E，∴△PAC∽△PCE，∴PA PC PC PE，∴PC2=PA•PE；（3）AE=AP+PC=AP+4，由（2）得16=PA（PA+PA+4），PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，连接BC，∵CP是切线，则∠PCA=∠CBA，Rt△PAC∽Rt△CAB，AP AC PC==，而PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，AC AB BC其中PA=2，解得：AB=10，则圆O的半径为5．【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了三角形相似、勾股定理运用的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．。

第二节三角形及其性质(含特殊三角形)基础分点练(建议用时:60分钟)考点1三角形及其边、角关系1.[2019广西百色]三角形的内角和等于( )A.90°B.180°C.270°D.360°组成三角形的是( ) 2.[2019贵州毕节]在下列长度的三条线段中,不能．．A.2 cm,3 cm,4 cmB.3 cm,6 cm,6 cmC.2 cm,2 cm,6 cmD.5 cm,6 cm,7 cm3. [2020湖南湘潭]如图,∠ACD是△ABC的外角,若∠ACD=110°,∠B=50°,则∠A=( )A.40°B.50°C.55°D.60°4.[2019浙江杭州]在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则( )A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°5.[2020马鞍山二中一模]将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,则∠1的度数是( )A.95°B.100°C.105°D.110°6.当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“标准三角形”,其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°,那么这个“标准三角形”的最小内角度数为.考点2三角形中的重要线段7. [2020亳州模拟]下列说法不正确的是( )A.三角形的三条高线交于一点B.直角三角形有三条高C.三角形的三条角平分线交于一点D.三角形的三条中线交于一点8. [2020四川宜宾]如图,点M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B=( )A.20°B.45°C.65°D.70°9.[2020辽宁锦州]如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是( )A.80°B.90°C.100°D.110°10.[2020山东济宁]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4,则△DBC的面积是( )A.4√3B.2√3C.2D.411.[2020北京]如图所示的网格是由大小相同的小正方形组成的,A,B,C,D是网格线的交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC S△ABD(填“>”“=”或“<”).12. [2020黑龙江大庆]一个周长为16 cm的三角形,由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm.13.如图,学校有一块三角形空地(△ABC),现准备将它分成面积相等的两块地,栽种不同的花草,请你把它分出来.(作图要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)14.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N.求证:∠BME=∠CNE.考点3等腰三角形的判定与性质15.[2020贵州毕节]已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为( )A.13B.17C.13或17D.13或1016. [2020四川自贡]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为( )A.50°B.40°C.30°D.20°17. [2020四川南充]如图,在等腰三角形ABC中,BD平分∠ABC,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=( )A.a+b2B.a-b2C.a-bD.b-a18. [2020湖北荆门]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2√3,D为BC的中点,AE=14AB,则△EBD的面积为( )A.3√34B.3√38C.√34D.√3819. [2020浙江绍兴]如图,已知边长为2的等边三角形ABC中,分别以点A,C为圆心,m为半径作弧,两弧交于点D,连接BD.若BD的长为2√3,则m的值为.20.[2020江苏常州]如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=°.21.[2020广东]如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.22.[2020浙江绍兴]问题:如图,在△ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.考点4直角三角形的判定与性质23.[2019合肥蜀山区期末]下列各组数中,是勾股数的为 ( )A.13,14,15 B.0.6,0.8,1 C.1,2,3 D .9,40,4124. [2020湖北仙桃]将一副三角尺如图摆放,点E 在AC 上,点D 在BC 的延长线上,EF ∥BC,∠B= ∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED 的度数是( )A.15°B.20°C.25°D.30°25.[2020四川德阳]已知:等腰直角三角形ABC 的腰长为4,点M 在斜边AB 上,点P 为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM 的最小值为 ( )A.2B.2√2-2C.2√2+2D.2√226. [2020浙江宁波]如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD 为中线,延长CB 至点E,使BE=BC,连接DE,F 为DE 的中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF 的长为( )A.2B.2.5C.3D.427. [2020河北]如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图所示的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大．．的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是 ( )A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,428. [2020湖南岳阳]如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, ∠A=20°,则∠BCD=°.29.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=3,CE=5,求CD的长.30.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD于点F,交CB于点E,且∠EAB=∠DCB.(1)求∠B的度数;(2)求证:BC=3CE.综合提升练(建议用时:30分钟)1. [2020江苏无锡中考改编]如图,等边三角形ABC的边长为3,点D在边AC上,AD=12,线段PQ在边BA上运动,PQ=12,则四边形PCDQ周长的最小值为( )A.2+√372B.3+√372C.2+√392D.3+√3922.[2019湖北黄石]如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD的平分线和∠BDC的平分线相交于点E,点F为边AC的中点,且CD=CF,则∠ACD+∠CED=( )A.125°B.145°C.175°D.190°3.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=3√2,∠BCD=75°.连接AC,点M,N是AC的三等分点,点P是四边形ABCD边上的动点,若△PMN的周长为7,则点P的位置有( ) A.8处 B.7处C.6处D.2处4.[2019黑龙江哈尔滨]如图,在四边形ABCD中,AB=AD, BC=DC,∠A=60°,点E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则BC的长为.5. [2020山西]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为点D,点E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为.6.如图,BD⊥AC,垂足为E,△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G,∠B=∠C.(1)求证:EG是△CDE的高.(2)若EG是△CDE的中线,探索△ABE的形状(请写出完整过程).参考答案第二节三角形及其性质(含特殊三角形)基础分点练(建议用时:60分钟)考点1三角形及其边、角关系1.[2019广西百色]三角形的内角和等于( B )A.90°B.180°C.270°D.360°组成三角形的是( C ) 2.[2019贵州毕节]在下列长度的三条线段中,不能．．A.2 cm,3 cm,4 cmB.3 cm,6 cm,6 cmC.2 cm,2 cm,6 cmD.5 cm,6 cm,7 cm3. [2020湖南湘潭]如图,∠ACD是△ABC的外角,若∠ACD=110°,∠B=50°,则∠A=( D )A.40°B.50°C.55°D.60°4.[2019浙江杭州]在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则( D )A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°5.[2020马鞍山二中一模]将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,则∠1的度数是( C )A.95°B.100°C.105°D.110°6.当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“标准三角形”,其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°,那么这个“标准三角形”的最小内角度数为30°.考点2三角形中的重要线段7. [2020亳州模拟]下列说法不正确的是( A )A.三角形的三条高线交于一点B.直角三角形有三条高C.三角形的三条角平分线交于一点D.三角形的三条中线交于一点8. [2020四川宜宾]如图,点M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B=( D )A.20°B.45°C.65°D.70°9.[2020辽宁锦州]如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是( C )A.80°B.90°C.100°D.110°10.[2020山东济宁]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4,则△DBC的面积是( B )A.4√3B.2√3C.2D.411.[2020北京]如图所示的网格是由大小相同的小正方形组成的,A,B,C,D是网格线的交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC=S△ABD(填“>”“=”或“<”).12. [2020黑龙江大庆]一个周长为16 cm的三角形,由它的三条中位线构成的三角形的周长为8 cm.13.如图,学校有一块三角形空地(△ABC),现准备将它分成面积相等的两块地,栽种不同的花草,请你把它分出来.(作图要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)解:如图所示,AD将空地分成了面积相等的两块地.14.如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,E,F 分别是BC,AD 的中点,连接EF 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N.求证:∠BME=∠CNE.证明:连接BD,取BD 的中点H,连接HE,HF,如图.∵E,F 分别是BC,AD 的中点,∴FH,EH 分别是△ABD,△BCD 的中位线, ∴FH ∥BM,FH=12AB,EH ∥CN,EH=12CD, ∴∠BME=∠HFE,∠CNE=∠HEF. ∵AB=CD, ∴FH=EH, ∴∠HFE=∠HEF,∴∠BME=∠CNE.考点3等腰三角形的判定与性质15.[2020贵州毕节]已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为( B )A.13B.17C.13或17D.13或1016. [2020四川自贡]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为( D ) A.50°B.40°C.30°D.20°17. [2020四川南充]如图,在等腰三角形ABC中,BD平分∠ABC,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=( C )A.a+b2B.a-b2C.a-bD.b-a18. [2020湖北荆门]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2√3,D为BC的中点,AE=14AB,则△EBD的面积为( B )A.3√34B.3√38C.√34D.√3819. [2020浙江绍兴]如图,已知边长为2的等边三角形ABC 中,分别以点A,C 为圆心,m 为半径作弧,两弧交于点D,连接BD.若BD 的长为2√3,则m 的值为 2或2√7 .20.[2020江苏常州]如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线分别交BC,AB 于点E,F.若△AFC 是等边三角形,则∠B= 30 °.21.[2020广东]如图,在△ABC 中,点D,E 分别是AB,AC 边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE 与CD 相交于点F.求证:△ABC 是等腰三角形.证明:在△BDF 与△CEF 中,{∠ABE =∠ACD,∠BFD =∠CFE,BD =CE,∴△BDF ≌△CEF, ∴BF=CF, ∴∠FBC=∠FCB,∴∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.22.[2020浙江绍兴]问题:如图,在△ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.解:(1)∠DAC的度数不会改变.理由:∵EA=EC,∴∠AED=2∠C,∠EAC=∠C.又∵∠BAE=90°,∴∠BAD=1[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C,2∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠C=45°.(2)设∠B=m°,则∠BAD=12(180°-m°)=90°-12m°,∠AEB=180°-n°-m°, ∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+12m°. 又∵EA=EC,∴∠CAE=12∠AEB=90°-12n°-12m°,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+12m°+90°-12n°-12m°=12n°. 考点4 直角三角形的判定与性质23.[2019合肥蜀山区期末]下列各组数中,是勾股数的为 ( D )A.13,14,15 B.0.6,0.8,1 C.1,2,3 D .9,40,4124. [2020湖北仙桃]将一副三角尺如图摆放,点E 在AC 上,点D 在BC 的延长线上,EF ∥BC,∠B= ∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED 的度数是( A )A.15°B.20°C.25°D.30°25.[2020四川德阳]已知:等腰直角三角形ABC 的腰长为4,点M 在斜边AB 上,点P 为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM 的最小值为 ( B )A.2B.2√2-2C.2√2+2D.2√226. [2020浙江宁波]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE的中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为( B )A.2B.2.5C.3D.427. [2020河北]如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图所示的方式组成图案,使所围的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( B ) 成的三角形是面积最大．．A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,428. [2020湖南岳阳]如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, ∠A=20°,则∠BCD=70°.29.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=3,CE=5,求CD的长.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,CE=5,∴AE=CE=5.∵AD=3,∴DE=5-3=2.在Rt△CDE中,根据勾股定理得CD=√CE2-DE2=√52-22=√21.30.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD于点F,交CB于点E,且∠EAB=∠DCB.(1)求∠B的度数;(2)求证:BC=3CE.(1)解:∵AE⊥CD,∴∠AFC=∠ACB=90°,∴∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠ECF=90°,∴∠ECF=∠CAF.又∵∠EAD=∠DCB,∴∠CAD=2∠DCB.∵CD是斜边AB上的中线,∴CD=BD,∴∠B=∠DCB,∴∠CAB=2∠B.又∵∠B+∠CAB=90°,∴∠B=30°.(2)证明:∵∠B=∠BAE=∠CAE=30°,∴AE=BE,CE=12AE,∴BC=3CE.综合提升练(建议用时:30分钟)1. [2020江苏无锡中考改编]如图,等边三角形ABC的边长为3,点D在边AC上,AD=12,线段PQ在边BA上运动,PQ=12,则四边形PCDQ周长的最小值为( D )A.2+√372B.3+√372C.2+√392D.3+√3922.[2019湖北黄石]如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD的平分线和∠BDC的平分线相交于点E,点F为边AC的中点,且CD=CF,则∠ACD+∠CED=( C )A.125°B.145°C.175°D.190°3.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=3√2,∠BCD=75°.连接AC,点M,N是AC的三等分点,点P是四边形ABCD边上的动点,若△PMN的周长为7,则点P的位置有( C ) A.8处 B.7处C.6处D.2处4.[2019黑龙江哈尔滨]如图,在四边形ABCD中,AB=AD, BC=DC,∠A=60°,点E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则BC的长为2√7.5. [2020山西]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为点D,点E为BC的.中点,AE与CD交于点F,则DF的长为54856.如图,BD⊥AC,垂足为E,△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G,∠B=∠C.(1)求证:EG是△CDE的高.(2)若EG是△CDE的中线,探索△ABE的形状(请写出完整过程).(1)证明:∵BD⊥AC,EF是△ABE的中线,AB,∠BEC=90°,∴EF=BF=12∴∠B=∠BEF,∠BEF+∠CEG=90°.∵∠B=∠C,∴∠C=∠BEF,∴∠C+∠CEG=90°,∴∠EGC=90°,∴EG是△CDE的高.(2)∵EG是△CDE的中线,EG⊥CD,∴直线EG是线段CD的垂直平分线,∴DE=CE,∴∠D=∠C,∴∠B=∠C=∠D=45°,∴∠A=45°,∴AE=BE,∴△ABE是等腰直角三角形.。