初二数学下册：《一次函数》压轴题精选+答案

一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。

现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点，直线l经过点C，（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数的图形上，求直线l所表达的函数关系式．5．如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．6．首先，我们看两个问题的解答：问题1：已知x＞0，求的最小值．问题2：已知t＞2，求的最小值．问题1解答：对于x＞0，我们有：≥．当，即时，上述不等式取等号，所以的最小值．问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2，于是．由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3．（1）用b表示k；（2）求△AOB面积的最小值．7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有_________个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标_________；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N 的坐标．8．如图，已知AOCE，两个动点B同时在D的边上按逆时针方向A运动，开始时点F在点FA位置、点Q在点O 位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；（2）在前10秒内，求x两点之间的最小距离，并求此时点P，Q的坐标．9．若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C（1）填空：写出A、C两点的坐标，A_________，C_________；（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连接P P'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，求直线AB的解析式；（2）在（1）的条件下，若点P'的坐标是（﹣1，m），求m的值；（3）若点P在第一像限，是否存在a，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．11．如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，A（9，0），C（0，4），AB=5．点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求直线AB的解析式；（2）t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分；（3）当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面内是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（x，y），PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，C（a，0），点E 在y轴上，点D，F在x轴上，AD=OB=2FC，EO是△AEF的中线，AE交PB于点M，﹣x+y=1．（1）求点D的坐标；（2）用含有a的式子表示点P的坐标；（3）图中面积相等的三角形有几对？14．如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、OC的长是方程x2﹣15x+36=0的两根．（1）求P点坐标；（2）求AP的长；（3）在x轴上是否存在点Q，使四边形AQCP是梯形？若存在，请求出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．15．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．16．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC 边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求线段OA和OC的长；（2）求点D的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA=OB，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y=﹣3x+30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．（1）求点B坐标；（2）点P沿折线BC﹣OC以每秒1个单位的速度运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α=90°﹣∠AOB时，求t值．（参考数据：在（3）中，取．）18．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，﹣3），与x轴交于点B，且与直线平行．（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，﹣6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．19．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x 轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（0，1），以OA、OC为边在第一象限内作矩形OABC，点D（x，0）（x＞0），以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直线MA交y轴于点N，连接ND．（1）求证：①A、B、M、D四点在同一圆周上；②ON=OA；（2）若0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；（3）再点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．（1）若C（3，m），求m的值；（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由．22．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；（2）求（1）中S的最大值；（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．23．直线l：y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰直角△CDM斜边落在x轴上，且CD=6，如图1所示．若直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动，如图2所示，设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点，以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ．设运动时间为t秒．（1）求运动后点M、点Q的坐标（用含t的代数式表示）；（2）若设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t相应的取值范围；（3）若直线l和△CDM运动后，直线l上存在点T使∠OTC=90°，则当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时，求t的取值范围．24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．25．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．28．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO 向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．（1）求B点坐标；（2）设运动时间为t秒；①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．29．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S 的坐标；（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．30．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．考点：一次函数综合题。

一次函数压轴题(含答案)如图，已知直线 $y=2x+2$ 与 $y$ 轴。

$x$ 轴分别交于$A$。

$B$ 两点，以 $B$ 为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形 $\triangle ABC$。

1）求点 $C$ 的坐标，并求出直线 $AC$ 的关系式。

2）如图，在直线 $CB$ 上取一点 $D$，连接 $AD$，若$AD=AC$，求证：$BE=DE$。

3）如图，在（1）的条件下，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于$M$，$P（，k）$ 是线段 $BC$ 上一点，在线段 $BM$ 上是否存在一点$N$，使直线$PN$ 平分$\triangle BCM$ 的面积？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

考点：一次函数综合题。

分析：（1）如图，作 $CQ\perp x$ 轴，垂足为 $Q$，利用等腰直角三角形的性质证明 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$，根据全等三角形的性质求 $OQ$，$CQ$ 的长，确定$C$ 点坐标；2）同（1）的方法证明 $\triangle BCH\cong \triangle BDF$，再根据线段的相等关系证明 $\triangle BOE\cong \triangle DGE$，得出结论；3）依题意确定 $P$ 点坐标，可知 $\triangle BPN$ 中$BN$ 变上的高，再由 $\frac{1}{2}S_{\trianglePBN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCM}$，求 $BN$，进而得出$ON$。

解答：解：（1）如图，作$CQ\perp x$ 轴，垂足为$Q$。

因为 $\angle OBA+\angle OAB=90^\circ$，$\angleOBA+\angle QBC=90^\circ$，所以$\angle OAB=\angle QBC$。

又因为 $AB=BC$，$\angle AOB=\angle Q=90^\circ$，所以 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$。

八年级下册----一次函数压轴题一．选择题（共17小题）1．（2013?平塘县二模）如图，是一个下底小而上口大的圆台形容器，将水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，则h与t的函数图象只可的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y﹣x+3≤标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶﹣为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；点C、D在线段AB 上且AC=BD，当点P从点C运动到点D时，设点G到直线AB的距离为y，则能表示y与P点移动的10．（2011?浙江二模）某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资w（吨）与时间t（小时）5合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则能够正确反映y与x之间的函：相交于点设点P运动的距离为x，△PAB的面积为y，y与x的函数图象如图所示．给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△PAB面积为4时，点P移动的距离是2．你认为其中正确的结论是．（只填所有正确结论的序号例如①）19．（2007?衢州）一个水池有2个速度相同的进水口，1个出水口，单开一个进水口每小时可进水10立方米，单开一个出水口每小时可出水20立方米．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图所示（至少打开一个进水口）．给出以下三个论断：（1）0点到3点只进水不出（填（3）4点到6点不进水也不出水．则错误的论断是．水；（2）3点到4点不进水只出水，序号）20．（2007?开封）已知函数y=，则x的取值范围是；若x是整数，则此函数的最小值是．21．（2008?昌平区二模）当光线射到x轴的点C后进行反射，如果反射的路径经过点A（0，1）和点B（3，4），如图，则入射线所在直线的解析式为．22．（2009?萧山区模拟）当k取不同整数时，经过第一、二、四象限的所有直线y=（2k﹣1）x+k+2与坐标轴在第一象限围成一个多边形，这个多边形的面积等于．三．解答题（共8小题）23．（2015?建邺区二模）小林家、小华家与图书馆依次在一条直线上．小林、小华两人同时各自从家沿直线匀速步行到图书馆借阅图书，已知小林到达图书馆花了20分钟．设两人出发x（分钟）后，小林离小华家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示．（1（224．（驶向A25．（速驶往C（326．（（1112的函数解析式．l2（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．27．（2014?天津）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．28．（2014?江阴市二模）如图，A、B两点分别在x轴和y轴上，且OA=OB=，动点P、Q分别在AB、OB上运动，运动时，始终保持∠OPQ=45°不变，设PA=x，OQ=y．（1）求y与x的函数关系式．（2）已知点M在坐标平面内，是否存在以P、Q、O、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（3）已知点D在AB上，且AD=，试探究：当点P从点A出发第一次运动到点D时，点Q运动的路径长为多少？29．（2013?绥化）为了迎接“十?一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种千克，的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为yAP=，即y=，则其函数时，y=x+3+，其函数图象是直线的一部分．y=的图象问题，在初中阶段没有学×﹣x+3x+3=0∴，∴（﹣a+3a+﹣，=3AP=x OC=，然后根据三角形x?AP=OC===OC?AP=x?（匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为y，点P运动的路程为x，则表示y与x的函数关系的图象为（）y=AP?AM=×S=xS=﹣（﹣标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶BC=BE=AE=EO=GF=OA=2OF=DG=BG=CG=BC=1将两点坐标代入得：解得：始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资w（吨）与时间t（小时）AC==PC=﹣（﹣xBE?PF=x x﹣xx x＜＜（，+1=6=6∴时，﹣1+﹣∴R从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停止．设点R运动的路程为x，△EFR的面积为y，x+中，得18．（2007?随州）在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线B?C?D?A由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△PAB的面积为y，y与x的函数图象如图所示．给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△PAB面积为4时，点P移动的距离是2．你认为其中正确的结论是①③．（只填所有正确结论的序号例如①）解：=y=，则x≤﹣，，此函数的最小值是﹣21．（2008?昌平区二模）当光线射到x轴的点C后进行反射，如果反射的路径经过点A（0，1），解：因为图象过第一、二、四象限，所以，解得﹣＜×××=．后，小林离小华家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示．（1）小林的速度为60 米/分钟，a= 960 ，小林家离图书馆的距离为1200 米；（2）已知小华的步行速度是40米/分钟，设小华步行时与家的距离为y1（米），请在图中画出y1（米）与x（分钟）的函数图象；，得：=小时从t=+1=；，t=x+4，x+4，y=x=，）；，）（，（，M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含，）﹣））﹣）﹣，的交点，则，P的坐标是（，．﹣﹣）））））﹣．或OA=OB=BQ==，即=y=，，BP=OA=，﹣，PE==AE=﹣轴对称，，﹣（）或（，，，，=，，+=2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？=，根据题意得，，30．（2013?常州）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该根据题意得，。

数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)一．选择题（共9小题）1．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x 的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜102．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠34．关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个5．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．6．下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线7．已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m8．如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或109．若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣二．填空题（共9小题）10．直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=．11．已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第象限．12．已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a 与b的大小关系是a b．（填“＞”“＜”或“=”）13．已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x的增大而减小，则m的值是．14．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为．15．已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是．16．如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C 为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是．17．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是．18．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD 沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=．三．解答题（共22小题）19．已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．20．如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直线l经过点B，并且与直线AB垂直．点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形．（1）求直线AB的解析式；（2）求点P的坐标；（3）点Q（a，b）在第二象限，且S=S△PAB．△QAB①用含a的代数式表示b；②若QA=QB，求点Q的坐标．22．某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时6吨，下图是从早晨上班开始库存量y（吨）与时间x（小时）的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有乙、丙车工作，BC段只有甲、乙工作．（1）甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨．23．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．25．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF2=OE2+AF2；（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．26．如图1，点A的坐标是（﹣2，0），直线y=﹣x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S的值等于？②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．27．如图，一次函数y=﹣x+6的图象分别与y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，当点P到达点A时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动的过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P点坐标；（2）在（1）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当PQ+BQ的值最小时，求Q 点坐标；（3）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（﹣2，0），作直线AD 并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为．（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．29．有一根直尺，短边的长为2cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②．设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤10，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm2．（1）当x=0时，S=；当x=4时，S=；当x=10时，S=．（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为11cm2？若存在，求出此时x的值．30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为，则（1）AO=；AD=；OC=；（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．32．已知在平面直角坐标系中，A（a、o）、B（o、b）满足+|a﹣3|=0，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．（1）求a、b的值．（2）当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．（3）若∠OPD=45°，求点D的坐标．33．如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P=，求此时点P的坐标．作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE34．在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q 为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．35．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；②求四边形KLMN的面积的最大值．36．在平面直角坐标系中，已知A，B两点分别在x轴，y轴上，OA=OB=4，C在线段OA上，AC=3，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，直线AE交y轴于D．（1）求点D坐标．（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向以每秒1个单位长度运动，设点P的运动时间为t秒，△POB的面积为y，求y与t之间的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．（3）在（2）问的条件下，当t=1，PB=5时，在y轴上是否存在一点Q，使△PBQ 为以PB为腰的等腰三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，一次函数y=﹣x+的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．（1）求点C的坐标；（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标；（3）在坐标平面内，是否存在点Q（除点C外），使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理．39．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程x2﹣4=0的解，点C的纵坐标恰好是方程x2﹣4x+4=0的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点．1）求直线BC的解析式；2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值．40．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5h与乙相遇，…请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016春•农安县月考）已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜10【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得则0＜20﹣2x＜2x，由20﹣2x＞0，解得x＜10，由20﹣2x＜2x，解得x＞5，则5＜x＜10．故选D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的解法，正确列出不等式组是解题的关键．2．（2012秋•镇赉县校级月考）如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．【解答】解：∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则|k|越大，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y=kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x 的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．3．（2016春•重庆校级月考）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，解得：x≤2且x≠3，自变量的取值范围x≤2，故选A．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（2016春•南京校级月考）关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．【解答】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）点，正确；②当y=0时，y=﹣x﹣2中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误；④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；⑤因为y=﹣x﹣2与y=﹣x的k值（斜率）相同，故两图象平行，正确．故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．5．（2016春•重庆校级月考）一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．6．（2015春•浠水县校级月考）下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线【分析】分别利用一次函数和反比例函数的定义以及其性质分析得出即可．【解答】解：A、所有的正比例函数肯定是一次函数，正确，不合题意；B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），故此选项错误，符合题意；C、正比例函数和一次函数的图象都是直线，正确，不合题意；D、正比例函数的图象是一条过原点的直线，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，正确把握其性质是解题关键．7．（2016春•无锡校级月考）已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可．【解答】解：根据图示知，关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0；∴|n﹣m|﹣=n﹣m﹣（﹣m）+（n﹣m）=2n﹣m．故选D．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，绝对值的意义．一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象，当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限．8．（2015秋•盐城校级月考）如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或10【分析】由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得，解得．即kb=10；当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得，解得．即kb=﹣2．所以kb的值为﹣2或10．故选D．【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．9．（2015秋•西安校级月考）若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣【分析】根据一次函数的定义列出算式计算即可．【解答】解：由题意得，2m+1=0，解得，m=﹣，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．二．填空题（共9小题）10．（2014春•邹平县校级月考）直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=﹣3．【分析】根据一次函数与正比例函数的关系可得直线y=kx向下平移2个单位后得y=kx﹣2，然后把（﹣4，10）代入y=kx﹣2即可求出k的值．【解答】解：直线y=kx向下平移2个单位后所得解析式为y=kx﹣2，∵经过点（﹣4，10），∴10=﹣4k﹣2，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．11．（2016春•南京校级月考）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．【分析】根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣b＜0，∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．故答案是：二、三、四．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．12．（2016春•大丰市校级月考）已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a与b的大小关系是a＜b．（填“＞”“＜”或“=”）【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据﹣4＜﹣2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=x+k（k为常数）中，k=＞0，∴y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣2，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．（2015春•建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x 的增大而减小，则m的值是3．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得m=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．14．（2016春•天津校级月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=1，∴D（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．（2015春•宜兴市校级月考）已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是0≤a＜．【分析】根据y随x的增大而增大可得x的系数大于0，图象不经过第四象限，那么经过一三或一二三象限，那么此函数的常数项应为非负数．【解答】解：∵x1＞x2时，y1＞y2，∴﹣3a+1＞0，解得a＜，∵图象不经过第四象限，∴经过一三或一二三象限，∴a≥0，∴0≤a＜．故答案为：0≤a＜．【点评】考查了一次函数图象上的点的坐标的特点；得到函数图象可能经过的象限是解决本题的关键．16．（2015秋•靖江市校级月考）如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP 的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是2．【分析】由函数的图象可知点P从点A运动到点D用了2秒，从而得到AD=2，当点P在DE上时，三角形的面积不变，故此DE=4，从而可求得DC=2，于是得到AC=2+2，从而可求得BC的长为2+．【解答】解：由函数图象可知：AD=1×2=2，DE=1×（6﹣2）=4．∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC===2．∴AC=2+2．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC===．故答案为：．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由函数图象判断出AD、DE的长度是解题的关键．17．（2016春•盐城校级月考）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是（a，a）．【分析】根据题意得出直线BB1的解析式为：y=x，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（a，0），AO∥A1B1，∠B1OC=60°，∴OC=a，CB1=OB1sin60°=a，∴B1的坐标为：（a，a），∴点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，∵B1（a，a），∴A1（a，a），∴A2（2a，a），…A n（a，）．∴A2015（a，a）．故答案为．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．18．（2016春•泰兴市校级月考）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=3．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），∴点A的坐标为（﹣1，4），当y=4时，﹣x+5=4，解得x=2，∴点A向右移动2+1=3时，点A在MN上，∴m的值为3，故答案为3．【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单．三．解答题（共22小题）19．（2016春•武城县校级月考）已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6求出m的值即可得到一次函数解析式；（2）根据两直线平行的问题得到m+1=2，解出m=1，从而可确定一次函数解析式．（3）两直线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6得﹣（m+1）+2m﹣6=2，解得m=9，所以一次函数解析式为y=10x+12；（2）因为函数y=（m+1）x+2m﹣6的图象与直线y=2x+5平行，所以m+1=2，解得m=1，所以一次函数解析式为y=2x﹣4．（3）解得，∴两直线的交点为（1，﹣2）．【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．20．（2015秋•兴化市校级月考）如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；（3）△ADF和△ADC的面积相等，则F的纵坐标与C的总坐标一定互为相反数，代入l2的解析式即可求解；（4）求得C关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．【解答】解：（1）设l2的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y=﹣x+4；（2）在中令y=0，解得：x=﹣2，则D的坐标是（﹣2，0）．。

数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)一．选择题（共9小题）1．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x 的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜102．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠34．关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个5．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．6．下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线7．已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m8．如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或109．若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣二．填空题（共9小题）10．直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=．11．已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第象限．12．已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a 与b的大小关系是a b．（填“＞”“＜”或“=”）13．已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x的增大而减小，则m的值是．14．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为．15．已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是．16．如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C 为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是．17．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是．18．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD 沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=．三．解答题（共22小题）19．已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．20．如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直线l经过点B，并且与直线AB垂直．点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形．（1）求直线AB的解析式；（2）求点P的坐标；（3）点Q（a，b）在第二象限，且S=S△PAB．△QAB①用含a的代数式表示b；②若QA=QB，求点Q的坐标．22．某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时6吨，下图是从早晨上班开始库存量y（吨）与时间x（小时）的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有乙、丙车工作，BC段只有甲、乙工作．（1）甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨．23．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．25．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF2=OE2+AF2；（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．26．如图1，点A的坐标是（﹣2，0），直线y=﹣x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S的值等于？②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．27．如图，一次函数y=﹣x+6的图象分别与y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，当点P到达点A时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动的过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P点坐标；（2）在（1）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当PQ+BQ的值最小时，求Q 点坐标；（3）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（﹣2，0），作直线AD 并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为．（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．29．有一根直尺，短边的长为2cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②．设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤10，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm2．（1）当x=0时，S=；当x=4时，S=；当x=10时，S=．（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为11cm2？若存在，求出此时x的值．30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为，则（1）AO=；AD=；OC=；（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．32．已知在平面直角坐标系中，A（a、o）、B（o、b）满足+|a﹣3|=0，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．（1）求a、b的值．（2）当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．（3）若∠OPD=45°，求点D的坐标．33．如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P=，求此时点P的坐标．作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE34．在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q 为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．35．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；②求四边形KLMN的面积的最大值．36．在平面直角坐标系中，已知A，B两点分别在x轴，y轴上，OA=OB=4，C在线段OA上，AC=3，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，直线AE交y轴于D．（1）求点D坐标．（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向以每秒1个单位长度运动，设点P的运动时间为t秒，△POB的面积为y，求y与t之间的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．（3）在（2）问的条件下，当t=1，PB=5时，在y轴上是否存在一点Q，使△PBQ 为以PB为腰的等腰三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，一次函数y=﹣x+的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．（1）求点C的坐标；（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标；（3）在坐标平面内，是否存在点Q（除点C外），使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理．39．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程x2﹣4=0的解，点C的纵坐标恰好是方程x2﹣4x+4=0的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点．1）求直线BC的解析式；2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值．40．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5h与乙相遇，…请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016春•农安县月考）已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜10【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得则0＜20﹣2x＜2x，由20﹣2x＞0，解得x＜10，由20﹣2x＜2x，解得x＞5，则5＜x＜10．故选D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的解法，正确列出不等式组是解题的关键．2．（2012秋•镇赉县校级月考）如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．【解答】解：∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则|k|越大，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y=kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x 的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．3．（2016春•重庆校级月考）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，解得：x≤2且x≠3，自变量的取值范围x≤2，故选A．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（2016春•南京校级月考）关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．【解答】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）点，正确；②当y=0时，y=﹣x﹣2中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误；④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；⑤因为y=﹣x﹣2与y=﹣x的k值（斜率）相同，故两图象平行，正确．故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．5．（2016春•重庆校级月考）一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．6．（2015春•浠水县校级月考）下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线【分析】分别利用一次函数和反比例函数的定义以及其性质分析得出即可．【解答】解：A、所有的正比例函数肯定是一次函数，正确，不合题意；B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），故此选项错误，符合题意；C、正比例函数和一次函数的图象都是直线，正确，不合题意；D、正比例函数的图象是一条过原点的直线，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，正确把握其性质是解题关键．7．（2016春•无锡校级月考）已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可．【解答】解：根据图示知，关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0；∴|n﹣m|﹣=n﹣m﹣（﹣m）+（n﹣m）=2n﹣m．故选D．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，绝对值的意义．一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象，当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限．8．（2015秋•盐城校级月考）如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或10【分析】由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得，解得．即kb=10；当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得，解得．即kb=﹣2．所以kb的值为﹣2或10．故选D．【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．9．（2015秋•西安校级月考）若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣【分析】根据一次函数的定义列出算式计算即可．【解答】解：由题意得，2m+1=0，解得，m=﹣，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．二．填空题（共9小题）10．（2014春•邹平县校级月考）直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=﹣3．【分析】根据一次函数与正比例函数的关系可得直线y=kx向下平移2个单位后得y=kx﹣2，然后把（﹣4，10）代入y=kx﹣2即可求出k的值．【解答】解：直线y=kx向下平移2个单位后所得解析式为y=kx﹣2，∵经过点（﹣4，10），∴10=﹣4k﹣2，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．11．（2016春•南京校级月考）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．【分析】根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣b＜0，∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．故答案是：二、三、四．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．12．（2016春•大丰市校级月考）已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a与b的大小关系是a＜b．（填“＞”“＜”或“=”）【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据﹣4＜﹣2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=x+k（k为常数）中，k=＞0，∴y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣2，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．（2015春•建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x 的增大而减小，则m的值是3．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得m=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．14．（2016春•天津校级月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=1，∴D（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．（2015春•宜兴市校级月考）已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是0≤a＜．【分析】根据y随x的增大而增大可得x的系数大于0，图象不经过第四象限，那么经过一三或一二三象限，那么此函数的常数项应为非负数．【解答】解：∵x1＞x2时，y1＞y2，∴﹣3a+1＞0，解得a＜，∵图象不经过第四象限，∴经过一三或一二三象限，∴a≥0，∴0≤a＜．故答案为：0≤a＜．【点评】考查了一次函数图象上的点的坐标的特点；得到函数图象可能经过的象限是解决本题的关键．16．（2015秋•靖江市校级月考）如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP 的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是2．【分析】由函数的图象可知点P从点A运动到点D用了2秒，从而得到AD=2，当点P在DE上时，三角形的面积不变，故此DE=4，从而可求得DC=2，于是得到AC=2+2，从而可求得BC的长为2+．【解答】解：由函数图象可知：AD=1×2=2，DE=1×（6﹣2）=4．∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC===2．∴AC=2+2．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC===．故答案为：．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由函数图象判断出AD、DE的长度是解题的关键．17．（2016春•盐城校级月考）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是（a，a）．【分析】根据题意得出直线BB1的解析式为：y=x，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（a，0），AO∥A1B1，∠B1OC=60°，∴OC=a，CB1=OB1sin60°=a，∴B1的坐标为：（a，a），∴点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，∵B1（a，a），∴A1（a，a），∴A2（2a，a），…A n（a，）．∴A2015（a，a）．故答案为．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．18．（2016春•泰兴市校级月考）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=3．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），∴点A的坐标为（﹣1，4），当y=4时，﹣x+5=4，解得x=2，∴点A向右移动2+1=3时，点A在MN上，∴m的值为3，故答案为3．【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单．三．解答题（共22小题）19．（2016春•武城县校级月考）已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6求出m的值即可得到一次函数解析式；（2）根据两直线平行的问题得到m+1=2，解出m=1，从而可确定一次函数解析式．（3）两直线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6得﹣（m+1）+2m﹣6=2，解得m=9，所以一次函数解析式为y=10x+12；（2）因为函数y=（m+1）x+2m﹣6的图象与直线y=2x+5平行，所以m+1=2，解得m=1，所以一次函数解析式为y=2x﹣4．（3）解得，∴两直线的交点为（1，﹣2）．【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．20．（2015秋•兴化市校级月考）如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；（3）△ADF和△ADC的面积相等，则F的纵坐标与C的总坐标一定互为相反数，代入l2的解析式即可求解；（4）求得C关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．【解答】解：（1）设l2的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y=﹣x+4；（2）在中令y=0，解得：x=﹣2，则D的坐标是（﹣2，0）．。

一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题( 含解析)9小题）一．选择题（共1．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤ 2 B．x≥ 2 且x≠3C．x≥2D．x≤ 2 且x≠32．关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x 轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y 随x 的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2 平行的直线，其中正确说法有（）A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个3．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y 与x2x，那么自变量x的取值范围是（）的函数关系式为y=20﹣A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜104．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．一辆慢车以50 千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75 千米/小时发，则的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距500 千米，两车同时出离为图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B． C ．D．6．下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线7．已知x 关于的一次函数y=mx+n 的图象如上图，则| n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m8．如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤ 1 时，﹣1≤y≤7，则k b 的值为（）A．10 B．21 C．﹣10 或2 D．﹣2或102+（1﹣2m）x +1（m 为常数）是一次函数，则m的值为9．若函数y=（2m+1）x（）77页）第2页（共二．填空题（共9小题）10．直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=．11．已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣b x+k经过第象限．12．已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a与b的大小关系是a b．（填“＞”＜“”或“=）”，且y随x的增大而减小，则m的值是．|m﹣2|13．已知正比例函数y=（1﹣m）x14．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段A B最短时，点B的坐标为．15．已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是．16．如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，S与运动时间t（s）的函沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP的面积数图象如图2所示，则BC的长是．17．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，⋯都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，⋯都在同一条直线上，则点A2015的坐标是．18．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD 沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=．19．已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．20．如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直线l经过点B，并且与直线AB垂直．点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形．（1）求直线AB的解析式；（2）求点P的坐标；（3）点Q（a，b）在第二象限，且S△QAB=S△PAB．①用含a的代数式表示b；②若QA=QB，求点Q的坐标．22．某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时6吨，下图是从早晨上班开始库存量y（吨）与时间x（小时）的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有乙、丙车工作，BC段只有甲、乙工作．（1）甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨．23．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．25．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12（1）如图1，求点C的坐标；2=OE2+A F2；（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．26．如图1，点A的坐标是（﹣2，0），直线y=﹣x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S的值等于？②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．27．如图，一次函数y=﹣x+6 的图象分别与y 轴、x 轴交于点A、B，点P从点B出发，沿BA以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，当点P到达点A 时停止运动，设点P的运动时间为t 秒．（1）点P在运动的过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P点坐标；（2）在（1）的基础上，设点Q 为y 轴上一动点，当PQ+BQ的值最小时，求Q 点坐标；（3）在整个运动过程中，当t 为何值时，△AOP为等腰三角形？28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（﹣2，0），作直线ADA D为一边向上作正方形ABCD．并以线段（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为．线DA 向上平移，直至正方形的（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射顶点C落在y 轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面量t 的取值积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变范围．29．有一根直尺，短边的长为2cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点 D 与点A 重合，将直尺沿AB方向平移，如图②．设平移0≤x≤10，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即的长度为x cm，且满足图中阴影部分）为Scm2．（1）当x=0时，S=；当x=4时，S=；当x=10时，S=．（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为11cm2？若存在，求出此时x的值．30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、2+=0，C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为，则（1）AO=；AD=；OC=；（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．32．已知在平面直角坐标系中，A（a、o）、B（o、b）满足+|a﹣3|=0，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．（1）求a、b的值．（2）当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．（3）若∠OPD=4°5，求点D的坐标．33．如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P 作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE=，求此时点P的坐标．34．在平面直角坐标系x oy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非：常距离”，给出如下定义若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．，0），B为y轴上的一个动点，（1）已知点A（﹣①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．35．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；②求四边形KLMN的面积的最大值．36．在平面直角坐标系中，已知A，B两点分别在x轴，y轴上，OA=OB=4，C在线段OA上，AC=3，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，直线AE交y轴于D．（1）求点D坐标．（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向以每秒1个单位长度运动，设点P的运动时间为t秒，△POB的面积为y，求y与t之间的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．（3）在（2）问的条件下，当t=1，PB=5时，在y轴上是否存在一点Q，使△PBQ为以PB为腰的等腰三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，一次函数y=﹣x+的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．（1）求点C的坐标；（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标；（3）在坐标平面内，是否存在点Q（除点C外），使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理．2﹣4=0 39．已知，如图，在平面直角坐标系中，点 A 、B 的横坐标恰好是方程x的解，点 C 的纵坐标恰好是方程x 2﹣4x+4=0 的解，点 P 从 C 点出发沿 y 轴正方向以 1 个单位/ 秒的速度向上运动，连P A 、PB ，D 为 AC 的中点．1）求直线 BC 的解析式；2）设点 P 运动的时间为 t 秒，问：当 t 为何值时， DP 与 DB 垂直且相等？3）如图 2，若 PA=AB ，在第一象限内有一动点 Q ，连Q A 、QB 、QP ，且∠PQA=60°， 问：当 Q 在第一象限内运动时，∠ APQ+∠ABQ 的度数和是否会发生改变？若不 变，请说明理由并求其值．40．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀 速前往 N 地，设乙行驶的时间为 t （h ），甲乙两人之间的距离为 y （km ），y 与 t 的函数关系如图 1 所示，方成思考后发现了图 1 的部分正确信息，乙先出发 1h ， 甲出发 0.5h 与乙相遇， ⋯ 请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段B C ，CD 所在直线的函数表达式；（2）当 20＜y ＜30 时，求 t 的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间 t 的函数表达式，并在图 2 所给 的直角坐标系中分别画出它们的图象．优难题压轴题数学初二一次函数提高练习与常考题和培( 含解析)参考答案与试题解析9小题）一．选择题（共1．（2016 春?重庆校级月考）函数的自变量x 的取值范围是（）A．x≤ 2 B．x≥ 2 且x≠3C．x≥2D．x≤ 2 且x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．3≠0，【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0 且x﹣解得：x≤ 2 且x≠3，自变量的取值范围x≤2，故选A．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（2016 春?南京校级月考）关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x 轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x 的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2 平行的直线，其中正确说法有（）A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．【解答】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）点，正确；②当y=0 时，y=﹣x﹣2 中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；③因为k=﹣1＜0，所以y 随x增大而减小，错误；④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；⑤因为y=﹣x﹣2 与y=﹣x 的k 值（斜率）相同，故两图象平行，正确．故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：在直线y=kx+b 中，当k＞0 时，y 随x 的增大而增大；当k＜0 时，y 随x 的增大而减小．3．（2016 春?农安县月考）已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y 与x 的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x 的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜10【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得则0＜20﹣2x＜2x，由20﹣2x＞0，解得x＜10，由20﹣2x＜2x，解得x＞5，则5＜x＜10．故选D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的解法，正确列出不等式组是解题的关键．4．（2012 秋?镇赉县校级月考）如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据所在象限判断出a、b、c 的符号，再根据直线越陡，则| k| 越大可得答案．【解答】解：∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则| k| 越大，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y=kx中，当k＞0 时，图象经过一、三象限，y随x 的增大而增大；当k＜0 时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．同时注意直线越陡，则| k| 越大．5．（2016 春?重庆校级月考）一辆慢车以50 千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75 千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B． C ．D．【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．6．（2015春?浠水县校级月考）下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线【分析】分别利用一次函数和反比例函数的定义以及其性质分析得出即可．【解答】解：A、所有的正比例函数肯定是一次函数，正确，不合题意；B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），故此选项错误，符合题意；C、正比例函数和一次函数的图象都是直线，正确，不合题意；D、正比例函数的图象是一条过原点的直线，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，正确把握其性质是解题关键．7．（2016春?无锡校级月考）已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣mm、n 的符号，然后由绝对值、【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定二次根式的化简运算法则解得即可．x的一次函数y=mx+n 的图象经过第一、二、四【解答】解：根据图示知，关于象限，∴m＜0，n＞0；∴| n﹣m| ﹣=n﹣m﹣（﹣m）+（n﹣m）=2n﹣m．D．故选【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，绝对值的意义．一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象，当k＜0，b＞0 时，经过第一、二、四象限．8．（2015 秋?盐城校级月考）如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤ 1 时，﹣1≤y≤7，（）则kb 的值为A．10 B．21 C．﹣10 或2 D．﹣2 或10解．【分析】由一次函数的性质，分k＞0 和k＜0 时两种情况讨论求【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0 时，y 随x 的增大而增大，所以得，解得．即kb=10；当k＜0 时，y 随x 的增大而减小，所以得，解得．即kb=﹣2．所以kb的值为﹣2或10．故选D．【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．2+（1﹣2m）x+1（m为常数）9．（2015秋?西安校级月考）若函数y=（2m+1）x是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣【分析】根据一次函数的定义列出算式计算即可．【解答】解：由题意得，2m+1=0，解得，m=﹣，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．二．填空题（共9小题）10．（2014春?邹平县校级月考）直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=﹣3．【分析】根据一次函数与正比例函数的关系可得直线y=kx向下平移2个单位后得y=kx﹣2，然后把（﹣4，10）代入y=kx﹣2即可求出k的值．【解答】解：直线y=kx向下平移2个单位后所得解析式为y=kx﹣2，∵经过点（﹣4，10），∴10=﹣4k﹣2，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．11．（2016春?南京校级月考）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．【分析】根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣b＜0，∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．故答案是：二、三、四．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．12．（2016春?大丰市校级月考）已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k （k为常数）上，则a与b的大小关系是a＜b．（填“＞”＜“”或“=）”【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据﹣4＜﹣2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=x+k（k为常数）中，k=＞0，∴y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣2，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．|m﹣2|，且y随x 13．（2015春?建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m）x的增大而减小，则m的值是3．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得m=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．14．（2016春?天津校级月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=1，∴D（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点．的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键15．（2015春?宜兴市校级月考）已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的是0≤a＜．取值范围【分析】根据y随x的增大而增大可得x的系数大于0，图象不经过第四象限，负数．为非那么经过一三或一二三象限，那么此函数的常数项应【解答】解：∵x1＞x2时，y1＞y2，∴﹣3a+1＞0，解得a＜，∵图象不经过第四象限，∴经过一三或一二三象限，∴a≥0，∴0≤a＜．故答案为：0≤a＜．【点评】考查了一次函数图象上的点的坐标的特点；得到函数图象可能经过的象．限是解决本题的关键16．（2015秋?靖江市校级月考）如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCPB C的长是2．t（s）的函数图象如图2所示，则的面积S与运动时间【分析】由函数的图象可知点P从点A运动到点D用了2秒，从而得到AD=2，D E=4，从而可求得DC=2，于是当点P在DE上时，三角形的面积不变，故此得到AC=2+2，从而可求得BC的长为2+．2）=4．【解答】解：由函数图象可知：AD=1×2=2，DE=1×（6﹣∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC===2．∴AC=2+2．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC===．故答案为：．出AD、DE的【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由函数图象判断．长度是解题的关键17．（2016春?盐城校级月考）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，⋯都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，⋯都在同一条直点A2015的坐标是（a，a）．线上，则【分析】根据题意得出直线B B1的解析式为：y=x，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．B1C，垂足为C，B1向x轴作垂线【解答】解：过由题意可得：A（a，0），AO∥A1B1，∠B1OC=60°，∴OC=a，CB1=OB1sin60=°a，∴B1的坐标为：（a，a），∴点B1，B2，B3，⋯都在直线y=x上，∵B1（a，a），∴A1（a，a），∴A2（2a，a），⋯A n（a，）．∴A2015（a，a）．故答案为．，得出A 【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类点横纵坐标变化规律是解题关键．18．（2016春?泰兴市校级月考）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=3．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），∴点A的坐标为（﹣1，4），当y=4时，﹣x+5=4，解得x=2，∴点A向右移动2+1=3时，点A在MN上，∴m的值为3，故答案为3．【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单．三．解答题（共22小题）19．（2016春?武城县校级月考）已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6求出m的值即可得到一次函数解析式；（2）根据两直线平行的问题得到m+1=2，解出m=1，从而可确定一次函数解析式．（3）两直线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6得﹣（m+1）+2m﹣6=2，解得m=9，所以一次函数解析式为y=10x+12；（2）因为函数y=（m+1）x+2m﹣6的图象与直线y=2x+5平行，所以m+1=2，解得m=1，所以一次函数解析式为y=2x﹣4．（3）解得，∴两直线的交点为（1，﹣2）．【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．20．（2015秋?兴化市校级月考）如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数压轴题精选（含详细答案答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：；点B的坐标：；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG的坐标．折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y 轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．第1页（共99页）的坐标为 ；（1）点C的坐标为的坐标为 ，点B的坐标为（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．两题中任选一题作答，我选择 题．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC 边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求点D的坐标；（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x﹣2上？请说明理由；（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣，0）的两条直线分别交y轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD 上寻找点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y=x +4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y=2x ﹣6上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰Rt △，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△AʹOP，连接BAʹ，当BAʹ取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B 分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P 与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点Bʹ恰好落在AC边上，求点P 的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，当点C移动到点O时，得是等边三角形，当点始终保持△ACP是等边三角形，轴上移动时，始终保持△点C在x轴上移动时，到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）当k=1时，求点P的坐标；（2）如图1，点D为P A的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx+k交x轴，y轴分别于A，C，直线BC过点C交x轴于B，OC=3OA，∠CBA=45°．（1）求直线BC的解析式；（2）动点P从A出发沿射线AB匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP，设△PBC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AB的延长线上运动时，过点O作OD⊥PC于D，交BC于点E，连接AE，当∠EAB=∠CPA时，在坐标轴上有点K，且KC=KP，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x 轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=﹣2x+6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与，与 对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，为坐标原点，点点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD 2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC 上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a 2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若QO=QA，求P点的坐标．（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，平面直角坐标系中，已知直线连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B；直线AB与直线y=x交于点A，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q．（1）求证：OB=OC；（2）当点C坐标为（0，3）时，求点Q的坐标；（3）当△OPC≌△ADP时，直接写出C点的坐标．29．如图1，直线AB：y=﹣x﹣b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B 的直线交x轴负半轴与C，且OB：OC=3：1．（1）求直线BC的函数表达式；（2）直线EF：y=x﹣k（k≠0）交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为Pʹ（点Pʹ不在y轴上），连接PPʹ，PʹA，PʹC．设点P的横坐标为m．（1）若点P在第一象限，记直线AB与PʹC的交点为D．当PʹD：DC=5：13时，求m的值；（2）若∠ACPʹ=60°，试用m的代数式表示n；（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△PʹCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y 轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于y=2x+2，分别令x与y为0求出A与B坐标，根据CO=CD=4，求出D坐标，确定出直线AD解析式即可；（2）存在，如图所示，设出P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时；当BP3=BD时；当BP4=DP4，分别求出P坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=2x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，0），又∵CO=CD=4，∴点D的坐标为（﹣4，4），设直线AD的函数表达式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=﹣x+2；（2）存在，设P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时，可得（﹣1+4）2+（0﹣4）2=（p﹣4）2，解得：p=9或p=﹣1，此时P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣1）；当BP3=BD时，则有（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（﹣1+4）2+（0﹣4）2，解得：p=﹣4，此时P 3（﹣4，﹣4）；当BP 4=DP 4时，（﹣1+4）2+（0﹣p ）2=（p ﹣4）2，解得：p=，此时P 4（﹣4，），综上，共有四个点满足要求．分别是P 1（﹣4，9），P 2（﹣4，﹣4），P 3（﹣4，﹣1），P 4（﹣4，）．【点评】此题属于一次函数综合题，此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：涉及的知识有：涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．2．如图，直线L ：y=﹣x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点N （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动． （1）点A 的坐标：的坐标： （4，0） ；点B 的坐标：的坐标： （0，2） ；（2）求△NOM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）在y 轴右边，当t 为何值时，△NOM ≌△AOB ，求出此时点M 的坐标； （4）在（3）的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，△MGN 沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G 的坐标．【分析】（1）在y=﹣x+2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标；（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标；（4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到=，则可求得OG的长，可求得G点坐标．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，∴A（4，0），B（0，2），故答案为：（4，0）；（0，2）；（2）由题题意可知AM=t，①当点M在y轴右边时，OM=OA﹣AM=4﹣t，∵N（0，4），∴ON=4，∴S=OM•ON=×4×（4﹣t）=8﹣2t；②当点M在y轴左边时，则OM=AM﹣OA=t﹣4，∴S=×4×（t﹣4）=2t﹣8；（3）∵△NOM≌△AOB，∴MO=OB=2，∴M（2，0）；（4）∵OM=2，ON=4，∴MN==2，∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴=，且NG=ON﹣OG，∴=，解得OG=﹣1，∴G（0，﹣1）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．的坐标为 （﹣4，2）；（1）点C的坐标为的坐标为 （0，3），点B的坐标为（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=﹣4代入y=x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y=x+3经过点B、C，设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3x+3中得y=3，∴C（0，3）；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，∴B（﹣4，2）；故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；（2）①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，∴点M的坐标是（﹣4，1）．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得，解得，故直线l的解析式为y=x+3．【点评】此题考查了一次函数综合题，此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，需要综合利用勾股定理，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点A ，过点C 作CB ⊥y 轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段AB ，BC ，AC 的长分别为AB= 8 ，BC= 4 ，AC= 4 ；（2）折叠图1中的△ABC ，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2． 请从下列A 、B 两题中任选一题作答，我选择两题中任选一题作答，我选择 A 题． A ：①求线段AD 的长；②在y 轴上，是否存在点P ，使得△APD 为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． B ：①求线段DE 的长；②在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外），使得以点A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OA=4，OC=8，进而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC ；（2）A 、①利用折叠的性质得出BD=8﹣AD ，最后用勾股定理即可得出结论； ②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；B 、①利用折叠的性质得出AE ，利用勾股定理即可得出结论； ②先判断出∠APC=90°，再分情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，∴A （4，0），C （0，8）， ∴OA=4，OC=8，∵AB ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，∠AOC=90°， ∴四边形OABC 是矩形， ∴AB=OC=8，BC=OA=4，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC==4，故答案为：8，4，4；（2）A 、①由（1）知，BC=4，AB=8， 由折叠知，CD=AD ，在Rt △BCD 中，BD=AB ﹣AD=8﹣AD ， 根据勾股定理得，CD 2=BC 2+BD 2， 即：AD 2=16+（8﹣AD ）2， ∴AD=5，②由①知，D （4，5）， 设P （0，y ）， ∵A （4，0），∴AP 2=16+y 2，DP 2=16+（y ﹣5）2， ∵△APD 为等腰三角形， ∴Ⅰ、AP=AD ， ∴16+y 2=25，∴y=±3，∴P （0，3）或（0，﹣3） Ⅱ、AP=DP ， ∴16+y2=16+（y ﹣5）2，∴y=， ∴P （0，），Ⅲ、AD=DP ，25=16+（y ﹣5）2， ∴y=2或8，∴P （0，2）或（0，8）．B 、①、由A ①知，AD=5， 由折叠知，AE=AC=2，DE ⊥AC 于E ，在Rt △ADE 中，DE==，②、∵以点A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 全等， ∴△APC ≌△ABC ，或△CPA ≌△ABC ， ∴∠APC=∠ABC=90°， ∵四边形OABC 是矩形，∴△ACO ≌△CAB ，此时，符合条件，点P 和点O 重合， 即：P （0，0）， 如图3，过点O 作ON ⊥AC 于N ， 易证，△AON ∽△ACO ， ∴，∴， ∴AN=，过点N 作NH ⊥OA ， ∴NH ∥OA ，∴△ANH ∽△ACO ， ∴，∴，∴NH=，AH=， ∴OH=， ∴N （，），而点P 2与点O 关于AC 对称， ∴P 2（，），同理：点B 关于AC 的对称点P 1，同上的方法得，P 1（﹣，）， 即：满足条件的点P 的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，主要考查了矩形的性质和判定，主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，对称的性质，解（1）的关键是求出AC ，解（2）的关键是利用分类讨论的思想解决问题．5．如图，一次函数y=x +6的图象交x 轴于点A 、交y 轴于点B ，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D ，交y 轴于点E ． （1）求直线CE 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与点A ，B 重合），过点P 分别作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足为点M 、N ，是否存在点P ，使线段MN 的长最小？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN 2 =（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA ﹣AC=3， ∴C （﹣3，0），∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO ，∠EBD=∠ABO ， ∴△EBD ≌△ABO ， ∴BE=AB=10， ∴OE=BE ﹣OB=4， ∴E （0，﹣4），设直线CE 的解析式为y=kx ﹣4， ∴﹣3k ﹣4=0， ∴k=﹣，∴直线CE 的解析式为y=﹣x ﹣4，（2）解：存在，（﹣，），如图，∵点P 在直线y=x +6上，∴设P （﹣m ，﹣m +6），∴PN=m ，PM=﹣m +6，根据勾股定理得，MN 2=PN2+PM2=m2+（﹣m +6）2=（m ﹣）2+，∴当m=时，MN 2有最小值，则MN 有最小值，当m=时，y=﹣x +6=﹣×+6=，∴P （﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，主要考查了待定系数法，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C 的坐标，解（2）的关键是得出MN 2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．6．如图1，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B 在第四象限，点P 是▱ABCD 边上的一个动点． （1）若点P 在边BC 上，PD=CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x ﹣1上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．（直接写出答案）【分析】（1）由题意点P 与点C 重合，可得点P 坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P 在边AD 上时，②当点P 在边AB 上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P 在线段CD 上时．②如图2中，当点P 在AB 上时．③如图3中，当点P 在线段AD 上时．分别求解即可； 【解答】解：（1）∵CD=6， ∴点P 与点C 重合， ∴点P 坐标为（3，4）．（2）①当点P 在边AD 上时， ∵直线AD 的解析式为y=﹣2x ﹣2， 设P （a ，﹣2a ﹣2），且﹣3≤a ≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNMʹ中，∵PM=PMʹ=6，PN=4，∴NMʹ==2，在Rt△OGMʹ中，∵OG 2+OMʹ2=GMʹ2，∴22+（2+m）2=m2，解得m=﹣， ∴P （﹣，4）根据对称性可知，P （，4）也满足条件．②如图2中，当点P 在AB 上时，易知四边形PMGMʹ是正方形，边长为2，此时P （2，﹣4）．③如图3中，当点P 在线段AD 上时，设AD 交x 轴于R ．易证∠MʹRG=∠MʹGR ，推出MʹR=MʹG=GM ，设MʹR=MʹG=GM=x ．∵直线AD 的解析式为y=﹣2x ﹣2， ∴R （﹣1，0），在Rt △OGMʹ中，有x 2=22+（x ﹣1）2，解得x=，。

人教版八年级下册数学第19章 一次函数 综合（压轴题）示范1．如图，直线l 1的解析式为y =12x+1，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过定点A 、B ，直线l 1与l 2交于点C ．（1）求直线的解析式； （2）求△ADC 的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使△BCE 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l 2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C 的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； （3）求得C 关于y 轴的对称点，然后求得经过这个点和B 点的直线解析式，直线与x 轴的交点就是E ． 【解析】（1）设l 2的解析式是y ＝kx+b ，根据题意得：{4k +b =0−k +b =5，解得{k =−1b =4，则函数的解析式是：y ＝﹣x+4；（2）在y =12x+1中令y ＝0，即y =12x+1＝0，解得：x ＝﹣2，则D 的坐标是（﹣2，0）． 解方程组{y =−x +4y =12x +1，解得{x =2y =2，则C 的坐标是（2，2）．则S △ADC =12×AD ×y C =12×6×2＝6；（3）存在，理由：设C （2，2）关于y 轴的对称点C ′（2，﹣2），连接BC ′交x 轴于点E ，则点E 为所求点， △BCE 的周长＝BC+BE+CE ＝BC+BE+C ′E ＝BC+BC ′为最小，设经过（2，﹣2）和B 的函数解析式是y ＝mx+n ，则{2m +n =−2−m +m =5，解得：{m =−73n =83， 则直线的解析式是y =−73x +83，令y ＝0，则y =−73x +83=0，解得：x =87．则E 的坐标是（87，0）．【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及对称的性质，正确确定E 的位置是本题的关键． 2、矩形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），BC ＝2AB ，直线经过点B ，交AD 边于点P 1，此时直线l 的函数表达式是y ＝2x ＋1． （1）求BC ，AP 1的长；（2）沿y 轴负方向平移直线l ，分别交AD ，BC 边于点P ，E ． ①当四边形BEPP 1是菱形时，求平移的距离；②设AP ＝m ，当直线l 把矩形ABCD 分成两部分的面积之比为3:5时，求m 的值．解：（1）∵直线y ＝2x ＋1经过y 轴上的B 点，∴B （0，1），又∵A 的坐 标为（0，3）；∴AB=2;BC=2AB=4；P 1（1，3）；AP 1=1；（2）①当四边形BEPP 1是菱形时，BP 1=BE=5；∴E （5，1）；设平移之后的直线解析式为：y ＝2x ＋b ，将点E 代入；b=1-25； 与y 轴的交点B ’（0，1-25），∴沿y 轴负方向平移距离为25；②∵AP=m ；AP 1=1；PP 1=BE=m-1；而S 梯形ABEP =83S 矩形ABCD 或S 梯形ABEP =85S 矩形ABCD ； ∴53m 1-m 221或）（=+⨯；m=2或3. 3、如图，一次函数y 1=54x+n 与x 轴交于点B ，一次函数y 2=−34x+m 与y 轴交于点C ，且它们的图象都经过点D （1，−74）．（1）则点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 ；（2）在x 轴上有一点P （t ，0），且t ＞125，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值；（3）在（2）的条件下，在y 轴的右侧，以CP 为腰作等腰直角△CPM ，直接写出满足条件的点M 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y ＝0和x ＝0，可得B 、C 点坐标； （2）根据面积的和差，可得关于t 的方程，根据解方程，可得答案；（3）分情况讨论，注意是在y 轴的右侧，有三个符合条件的点M ，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M 的坐标．【解析】（1）将D （1，−74）代入y =54x+n ，解得n ＝﹣3，即y =54x ﹣3，当y ＝0时，54x ﹣3＝0．解得x =125，即B 点坐标为（125，0）； 将（1，−74）代入y =−34x+m ，解得m ＝﹣1，即y =−34x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1．即C 坐标为（0，﹣1）； （2）如图1，S △BDP =12（t −125）×|−74|=78t −2110，当y ＝0时，−34x ﹣1＝0，解得x =−43，即E 点坐标为（−43，0）， S △CDP ＝S △DPE ﹣S △CPE =12（t +43）×74−12×（t +43）×|﹣1|=38t +12，由△BDP 和△CDP 的面积相等，得：78t −2110=38t +12，解得t ＝5.2；（3）以CP 为腰作等腰直角△CPM ，有以下两种情况： ①如图2，当以点C 为直角顶点，CP 为腰时，点M 1在y 轴的左侧，不符合题意，过M 2作M 2A ⊥y 轴于A ， ∵∠PCM 2＝∠PCO+∠ACM 2＝∠PCO+∠OPC ＝90°，∴∠ACM 2＝∠OPC ，∵∠POC ＝∠CAM 2，PC ＝CM 2，∴△POC ≌△CAM 2（AAS ），∴PO ＝AC ＝5.2，OC ＝AM 2＝1， ∴M 2（1，﹣6.2）；②如图3，当以点P 为直角顶点，CP 为腰时，过M 4作M 4E ⊥x 轴于E ，同理得△COP ≌△PEM 4，∴OC ＝EP ＝1，OP ＝M 4E ＝5.2，∴M 4（6.2，﹣5.2）， 同理得M 3（4.2，5.2）；综上所述，满足条件的点M 的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．【小结】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t 的方程是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出对应边相等是解题关键．4、如图，已知直线y ＝2x+2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点，点C 的坐标为（﹣3，1）． （1）直接写出点A 的坐标 ，点B 的坐标 ． （2）求证△ABC 是等腰直角三角形．（3）若直线AC 交x 轴于点M ，点P （−52，k ）是线段BC 上一点，在线段BM 上是否存在一点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）作CD ⊥x 轴于点D ，证明△CDB ≌△BOA （SAS ）即可解决问题． （3）求出点P 的坐标，利用面积法求出BN 的长即可解决问题．【解答】（1）对于直线y ＝2x+2，令x ＝0，得到y ＝2，令y ＝0，得到x ＝﹣1，∴A （0，2），B （﹣1，0）． （2）证明：作CD ⊥x 轴于点D ，由题意可得CD ＝1，OD ＝3，OB ＝1，OA ＝2，∴CD ＝OB ＝1，BD ＝OA ＝2， ∵∠CDB ＝∠AOB ＝90˚，∴△CDB ≌△BOA （SAS ），∴BC ＝BA ，∠CBD ＝∠BAO ，∵∠ABO+∠BAO ＝90˚，∴∠ABO+∠CBD ＝90˚，即∠ABC ＝90˚，∴△ABC 是等腰直角三角形． （3）∵P （−52，k ）在直线BC ：y =−12x −12上，∴P (−52，34)，∵直线AC ：y =13x +2交x 轴于M ，∴M （﹣6，0），∵S △BCM =12×5×1=52，假设存在点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积，则S △BPN =12⋅BN ⋅34=12×52，∴BN =103，∴ON ＝BN+OB =103+1=133，∴N(−133，0)．【小结】本题考查属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx+8分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，已知A 点坐标（6，0），点C 在直线AB 上，横坐标为3，点D 是x 轴正半轴上的一个动点，连结CD ，以CD 为直角边在右侧构造一个等腰Rt △CDE ，且∠CDE ＝90°．（1）求直线AB 的解析式以及C 点坐标；（2）设点D 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示点E 的坐标；（3）如图2，连结OC ，OE ，请直接写出使得△OCE 周长最小时，点E 的坐标． 【分析】（1）把A （6，0）代入y ＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k =−43，即可求解； （2）证明△CDF ≌△DEG （AAS ），则CF ＝DG ＝4，DF ＝EG ＝3﹣m ，OG ＝4+m ，则E （4+m ，m ﹣3）； （3）过点O 作直线l 的对称点O ′，连接CO ′交直线l 于点E ′，则点E ′为所求点，即可求解． 【解析】（1）把A （6，0）代入y ＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k =−43，∴y =−43x +8，把x ＝3代入，得y ＝4，∴C （3，4）； （2）作CF ⊥x 轴于点F ，EG ⊥x 轴于点G ，∵△CDE 是等腰直角三角形，∴CD ＝DE ，∠CDE ＝90°， ∴∠CDF ＝90°﹣∠EDG ＝∠DEG ，且∠CFD ＝∠DGE ＝90°，∴△CDF ≌△DEG （AAS ）∴CF ＝DG ＝4，DF ＝EG ＝3﹣m ，∴OG ＝4+m ，∴E （4+m ，m ﹣3）； （3）点E （4+m ，m ﹣3），则点E 在直线l ：y ＝x ﹣7上，设：直线l 交y 轴于点H （0，﹣7），过点O 作直线l 的对称点O ′， ∵直线l 的倾斜角为45°，则HO ′∥x 轴，则点O ′（7，﹣7）， 连接CO ′交直线l 于点E ′，则点E ′为所求点，OC 是常数，△OCE 周长＝OC+CE+OE ＝OC+OE ′+CE ′＝OC+CE ′+O ′E ′＝OC+CO ′为最小，由点C 、O ′的坐标得，直线CO ′的表达式为：y =−114x +494联立{y =x −7y =−114x +494，解得：{x =7715y =−2815，故：E(7715，−2815)． 【小结】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大．6．如图①，直线y ＝x ＋1交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，OB ＝30A ，M 在直线AC 上，AC ＝CM ． （1）求直线BM 的解析式；（2）如图①，点N 在MB 的延长线上，BN ＝AC ，连CN 交x 轴于点P ，求点P 的坐标；（3）如图②，连接OM ，在直线BM 上是否存在点K ，使得∠MOK ＝45°，若存在，求点K 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）利用A(-1,0)；C （0,1）；AC=AM;∴M （1,2）；B （3,0）；∴BM ：y ＝-x ＋3．（2）过C 作CS ∥MN 交x 轴与S 点，可证△PCS ≌△PNB ，可证P 为BS 的中点，可证OA=OS=1; 则BS=2；则P （2,0）。

()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 初二一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。

2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。

3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。

4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。

5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。

6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。

7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。

当b=0时,称y 是x 的正比例函数。

9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。

10点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x 轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ ）A ．y=B ．y=C ．y=x ﹣3D ．y=2．下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一次函数y=﹣3x ﹣2的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x 的值是（ ） A ．± B ．4 C ．±或4 D ．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m ，n 为常数，且mn ≠0）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2，m ），B （n ，3），那么一定有（ ）A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜07．已知点（﹣4，y 1），（2，y 2）都在直线y=﹣x+2上，则y 1，y 2大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1=y 2C ．y 1＜y 2D ．不能比较8．一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．2010．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．三．解答题（共13小题）28．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．29．如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三点坐标．（1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；（2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．30．如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．31．如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（0，3）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由．32．某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）33．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数图象关系式；（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．34．某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．35．为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；（1）当用电量是180千瓦时时，电费是元；（2）第二档的用电量范围是；（3）“基本电价”是元/千瓦时；（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？36．某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气种型号沼气池共需费用y万元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．37．一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P=预售总额﹣购机款﹣各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．38．兰新铁路的通车，圆了全国人民的一个梦，坐上火车去观赏青海门源百里油菜花海，感受大美青海独特的高原风光，暑假某校准备组织学生、老师到门源进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需1650元：（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（参加社会实践的学生人数＜x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）y 与x之间的函数关系式．39．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y1（km），小轿车的路程y2（km）与时间x（h）的对应关系如图所示．（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？（2）①写出y1与x的函数关系式；②当x≥5时，求y2与x的函数解析式；（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？40．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．初二一次函数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2012•湘潭）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y=C．y=x﹣3 D．y=【分析】分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．【解答】解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3，故A选项错误；B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3，故B选项错误；C、函数式为整式，x是任意实数，故C选项错误；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（2015春•营山县期末）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．【解答】解：A、是一次函数，正确；B、是二次函数，正确；C、很明显，给自变量一个值，不是有唯一的值对应，所以不是函数，错误；D、是二次函数，正确．故选：C．【点评】本题主要考查函数的自变量与函数值是一一对应的，即给自变量一个值，有唯一的一个值与它对应．3．（2010•綦江县）一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．【解答】解：∵解析式y=﹣3x﹣2中，﹣3＜0，﹣2＜0，∴图象过二、三、四象限．故选A．【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y 随x的增大而减小．4．（2015•甘南州）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣【分析】把y=8直接代入函数即可求出自变量的值．【解答】解：把y=8代入函数，先代入上边的方程得x=，∵x≤2，x=不合题意舍去，故x=﹣；再代入下边的方程x=4，∵x＞2，故x=4，综上，x的值为4或﹣．故选：D．【点评】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．5．（2001•常州）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当mn ＞0，m ，n 同号，同正时y=mx+n 过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；②当mn ＜0时，m ，n 异号，则y=mx+n 过1，3，4象限或2，4，1象限． 故选A ．【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y=kx+b 的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当k ＞0，b ＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．6．（2013•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2，m ），B （n ，3），那么一定有（ ）A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜0【分析】根据正比例函数图象所在象限，可判断出m 、n 的正负．【解答】解：A 、m ＞0，n ＞0，A 、B 两点在同一象限，故A 错误；B 、m ＞0，n ＜0，A 、B 两点不在同一个正比例函数，故B 错误；C 、m ＜0，n ＞0，A 、B 两点不在同一个正比例函数，故C 错误；D 、m ＜0，n ＜0，A 、B 两点在同一个正比例函数的不同象限，故D 正确． 故选：D ．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．7．（2014•永嘉县校级模拟）已知点（﹣4，y 1），（2，y 2）都在直线y=﹣x+2上，则y 1，y 2大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1=y 2C ．y 1＜y 2D ．不能比较【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．【解答】解：∵k=﹣＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵﹣4＜2，∴y 1＞y 2．故选：A ．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．8．（2013•娄底）一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【解答】解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．故选：C．【点评】此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．9．（2008•菏泽）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA 运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．20【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5．∴△ABC的面积为=×4×5=10．故选A．【点评】解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．10．（2009•莆田）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M 方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．【点评】本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析．11．（2011•张家界）关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据图象与y轴的交点直接解答即可．【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．故选C．【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．12．（2015•鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把（5，300）代入可求得k=60，∴y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙=100t﹣100，令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，当100﹣40t=50时，可解得t=，当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，又当t=时，y甲=50，此时乙还没出发，当t=时，乙到达B城，y甲=250；综上可知当t的值为或或或t=时，两车相距50千米，∴④不正确；综上可知正确的有①②共两个，故选B．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．13．（2014•德州）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时【分析】结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y 轴的最高点即为体育场离张强家的距离；进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，体育场离张强家2.5千米；平均速度=总路程÷总时间．【解答】解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故A选项正确；B、由图象可得出张强在体育场锻炼30﹣15=15（分钟），故B选项正确；C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店距离无法确定，因为题目没说体育馆，早餐店和家三者在同一直线上，故C选项错误；D、∵张强从早餐店回家所用时间为95﹣65=30（分钟），距离为1.5km，∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷0.5=3（千米/时），故D选项正确．故选：C．【点评】此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象得出正确信息是解题关键．14．（2014•黔西南州）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③【分析】易得乙出发时，两人相距8m，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙100s跑完总路程500可得乙的速度，进而求得100s时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100即为c的值．【解答】解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；b=5×100﹣4×（100+2）=92（米）；5a﹣4×（a+2）=0，解得a=8，c=100+92÷4=123（秒），∴正确的有①②③．故选：A．【点评】考查一次函数的应用；得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键．二．填空题（共13小题）15．（2013•内江）函数y=中自变量x的取值范围是x≥﹣且x≠1 ．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故答案为：x≥﹣且x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．16．（2013•成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为﹣．【分析】将点（3，5）代入直线解析式，可得出b﹣5的值，继而代入可得出答案．【解答】解：∵点（3，5）在直线y=ax+b上，∴5=3a+b，∴b﹣5=﹣3a，则==．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意直线上点的坐标满足直线解析式．17．（2014•梅州）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第一象限．【分析】首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．【解答】解：∵k+b=﹣5，kb=6，∴k＜0，b＜0，∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．故答案为：一．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．18．（2013•潍坊）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是﹣2＜b＜3 ．【分析】将x=1时，y＜1及x=﹣1时，y＞0分别代入y=﹣2x+b，得到关于b的一元一次不等式组，解此不等式组，即可求出b的取值范围．【解答】解：由题意，得，解此不等式组，得﹣2＜b＜3．故答案为﹣2＜b＜3．【点评】本题考查了一次函数的性质，将已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键．19．（2014•益阳）小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t （分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是80 米/分钟．【分析】他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．【解答】解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，则他步行回家的平均速度是：1600÷20=80（米/分钟），故答案为：80．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．20．（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是7≤a≤9 ．【分析】根据题意得到x的取值范围是2≤x≤3，则通过解关于x的方程2x+（3﹣a）=0求得x的值，由x的取值范围来求a的取值范围．【解答】解：∵直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），∴2≤x≤3，令y=0，则2x+（3﹣a）=0，解得x=，则2≤≤3，解得7≤a≤9．故答案是：7≤a≤9．。

最新初二数学一次函数综合压轴题精选汇总例1．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B 两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．变式练习：1．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=﹣x的图象交于点C，点C的横坐标为﹣3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．）②求点P的坐标．例2．如图1，已知一次函数y=﹣x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC 交x轴负半轴与点C，且OC=OB．（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC；（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式练习：2．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是 ，BC= ．（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．课后作业：1．已知，如图直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1相交于C点，并且与两坐标轴分别交于A、B 两点．（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图①，直线y=﹣x+1分别与坐标轴交于A，B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB（1）求直线AC的解析式；（2）如图②，在x轴上取一点D（1，0），过D作DE⊥AB交y轴于E，求E点坐标．3．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）当M在x轴正半轴移动并靠近0点时，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；当M在O点时，△COM的面积如何？当M在x轴负半轴上移动时，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；请写出每个关系式中t的取值范围；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．参考答案：例1．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）当y=0时，x=﹣5；当x=0时，y=5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA=OB，解得：m=1，即可得出直线L的解析式；（2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN=OM，即可求出BN的长；（3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA=BK，EK=OB，得出EK=BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK=PB，即可得出结果．【解答】解：（1）∵对于直线L：y=mx+5m，当y=0时，x=﹣5，当x=0时，y=5m，∴A（﹣5，0），B（0，5m），∵OA=OB，∴5m=5，解得：m=1，∴直线L的解析式为：y=x+5；（2）∵OA=5，AM=，∴由勾股定理得：OM==，∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∵∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BON=∠OAM，在△AMO和△OBN中，，∴△AMO≌△ONB（AAS）∴BN=OM=；（3）PB的长是定值，定值为；理由如下：作EK⊥y轴于K点，如图所示：∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE，∴AB=BE，∠ABE=90°，BO=BF，∠OBF=90°，∴∠ABO+∠EBK=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠EBK=∠OAB，在△ABO和△BEK中，，∴△ABO≌△BEK（AAS），∴OA=BK，EK=OB，∴EK=BF，在△PBF和△PKE中，，∴△PBF≌△PKE（AAS），∴PK=PB，∴PB=BK=OA=×5=．【点评】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．变式练习：1．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，则易求点B的坐标；（2）由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍；（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．利用△CAO∽△DAC，求出AD的长，进而求出D点坐标，再用待定系数法求出CD解析式，利用点到直线的距离公式求出公式，=，解出a的值即可．【解答】解：（1）把x=﹣3代入y=﹣x得到：y=2．则C（﹣3，2）．将其代入y=mx+5m，得：2=﹣3m+5m，解得m=1．则该直线方程为：y=x+5．令x=0，则y=5，即B（0，5）；（2）由（1）知，C（﹣3，2）．如图1，设Q（a，﹣a）．∵S△QAC=3S△AOC，∴S△QAO=4S△AOC，或S△QAO=2S△AOC，①当S△QAO=4S△AOC时，OA•y Q=4×OA•y C，∴y Q=4y C，即|﹣a|=4×2=8，解得a=﹣12（正值舍去），∴Q（﹣12，8）；②当S△QAO=2S△AOC时，OA•y Q=2×OA•y C，∴y Q=2y C，即|﹣a|=2×2=4，解得a=6（舍去负值），∴Q′（6，﹣4）；综上所述，Q（﹣12，8）或（6，﹣4）．（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．∵C（﹣3，2），A（﹣5，0），∴AC==2，∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，∴△CAO∽△DAC，∴=，∴AD=，∴OD=5﹣=，则D（﹣，0）．设CD解析式为y=kx+b，把C（﹣3，2），D（﹣，0）分别代入解析式得，解得，函数解析式为y=5x+17，设P点坐标为（a，0），根据点到直线的距离公式，=，两边平方得，（5a+17）2=2×4a2，解得a=﹣5±2，∴P1（﹣5﹣2，0），P2（﹣5+2，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注．法二：例2．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据角平分线的性质，可得∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE，根据三角形外角的关系，可得∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA，根据等式的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：AB=AP=10，AB=BP=10，BP=AP，根据线段的和差，可得AB=AP=10时P点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=BP=10时P点坐标；根据两点间的距离公式，可得BP=AP时P点坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=6，即B（0，6），当y=0时，﹣x+6=0，解得x﹣8，即A （8，0）；由OC=OB，得OC=3，即C（﹣3，0）；设BC的函数解析式为，y=kx+b，图象过点B、C，得，解得，直线BC的函数表达式y=2x+6；（2）证明：∵∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，∴∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE．∵∠BAE是△ABC的外角，∠FAE是△FAC的外角，∴∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA．∴∠ABC+∠BCA=∠F+∠BCA，∠ABC=∠F；（3）当AB=AP=10时，8﹣10=﹣2，P1（﹣2，0），8+10=18，P2（18，0）；当AB=BP=10时，AO=PO=8，即P3（﹣8，0）；设P（a，0），当BP=AP时，平方，得BP2=AP2，即（8﹣a）2=a2+62化简，得16a=28，解得a=，P4（，0），综上所述：P1（﹣2，0），P2（18，0），P3（﹣8，0）；P4（，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系求出A、B、C 的值又利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了角平分线的性质，三角形外角的性质，（3）利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键．变式练习：2．【考点】一次函数综合题。

数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)一．选择题（共9小题）1．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x 的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜102．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠34．关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个5．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．6．下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线7．已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m8．如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或109．若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣二．填空题（共9小题）10．直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=．11．已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第象限．12．已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a 与b的大小关系是a b．（填“＞”“＜”或“=”）13．已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x的增大而减小，则m的值是．14．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为．15．已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是．16．如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C 为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是．17．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是．18．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD 沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=．三．解答题（共22小题）19．已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．20．如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知一次函数y=kx +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A （﹣2，0）、B （0，4），直线l 经过点B ，并且与直线AB 垂直．点P 在直线l 上，且△ABP 是等腰直角三角形．（1）求直线AB 的解析式；（2）求点P 的坐标；（3）点Q （a ，b ）在第二象限，且S △QAB =S △PAB ．①用含a 的代数式表示b ；②若QA=QB ，求点Q 的坐标．22．某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时6吨，下图是从早晨上班开始库存量y （吨）与时间x （小时）的函数图象，OA 段只有甲、丙车工作，AB 段只有乙、丙车工作，BC 段只有甲、乙工作．（1）甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨．23．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．25．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF2=OE2+AF2；（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．26．如图1，点A的坐标是（﹣2，0），直线y=﹣x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S的值等于？②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．27．如图，一次函数y=﹣x+6的图象分别与y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，当点P到达点A时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动的过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P点坐标；（2）在（1）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当PQ+BQ的值最小时，求Q 点坐标；（3）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（﹣2，0），作直线AD 并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为．（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．29．有一根直尺，短边的长为2cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②．设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤10，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm2．（1）当x=0时，S=；当x=4时，S=；当x=10时，S=．（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为11cm2？若存在，求出此时x的值．30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为，则（1）AO=；AD=；OC=；（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．32．已知在平面直角坐标系中，A（a、o）、B（o、b）满足+|a﹣3|=0，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．（1）求a、b的值．（2）当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．（3）若∠OPD=45°，求点D的坐标．33．如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P=，求此时点P的坐标．作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE34．在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q 为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．35．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；②求四边形KLMN的面积的最大值．36．在平面直角坐标系中，已知A，B两点分别在x轴，y轴上，OA=OB=4，C在线段OA上，AC=3，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，直线AE交y轴于D．（1）求点D坐标．（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向以每秒1个单位长度运动，设点P的运动时间为t秒，△POB的面积为y，求y与t之间的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．（3）在（2）问的条件下，当t=1，PB=5时，在y轴上是否存在一点Q，使△PBQ 为以PB为腰的等腰三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，一次函数y=﹣x+的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．（1）求点C的坐标；（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标；（3）在坐标平面内，是否存在点Q（除点C外），使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理．39．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程x2﹣4=0的解，点C的纵坐标恰好是方程x2﹣4x+4=0的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点．1）求直线BC的解析式；2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值．40．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5h与乙相遇，…请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016春•农安县月考）已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜10【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得则0＜20﹣2x＜2x，由20﹣2x＞0，解得x＜10，由20﹣2x＜2x，解得x＞5，则5＜x＜10．故选D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的解法，正确列出不等式组是解题的关键．2．（2012秋•镇赉县校级月考）如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．【解答】解：∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则|k|越大，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y=kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x 的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．3．（2016春•重庆校级月考）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，解得：x≤2且x≠3，自变量的取值范围x≤2，故选A．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（2016春•南京校级月考）关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．【解答】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）点，正确；②当y=0时，y=﹣x﹣2中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误；④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；⑤因为y=﹣x﹣2与y=﹣x的k值（斜率）相同，故两图象平行，正确．故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．5．（2016春•重庆校级月考）一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．6．（2015春•浠水县校级月考）下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线【分析】分别利用一次函数和反比例函数的定义以及其性质分析得出即可．【解答】解：A、所有的正比例函数肯定是一次函数，正确，不合题意；B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），故此选项错误，符合题意；C、正比例函数和一次函数的图象都是直线，正确，不合题意；D、正比例函数的图象是一条过原点的直线，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，正确把握其性质是解题关键．7．（2016春•无锡校级月考）已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可．【解答】解：根据图示知，关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0；∴|n﹣m|﹣=n﹣m﹣（﹣m）+（n﹣m）=2n﹣m．故选D．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，绝对值的意义．一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象，当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限．8．（2015秋•盐城校级月考）如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或10【分析】由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得，解得．即kb=10；当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得，解得．即kb=﹣2．所以kb的值为﹣2或10．故选D．【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．9．（2015秋•西安校级月考）若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣【分析】根据一次函数的定义列出算式计算即可．【解答】解：由题意得，2m+1=0，解得，m=﹣，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．二．填空题（共9小题）10．（2014春•邹平县校级月考）直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=﹣3．【分析】根据一次函数与正比例函数的关系可得直线y=kx向下平移2个单位后得y=kx﹣2，然后把（﹣4，10）代入y=kx﹣2即可求出k的值．【解答】解：直线y=kx向下平移2个单位后所得解析式为y=kx﹣2，∵经过点（﹣4，10），∴10=﹣4k﹣2，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．11．（2016春•南京校级月考）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．【分析】根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣b＜0，∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．故答案是：二、三、四．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．12．（2016春•大丰市校级月考）已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k （k为常数）上，则a与b的大小关系是a＜b．（填“＞”“＜”或“=”）【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据﹣4＜﹣2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=x+k（k为常数）中，k=＞0，∴y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣2，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．（2015春•建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x 的增大而减小，则m的值是3．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得m=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．14．（2016春•天津校级月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=1，∴D（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．（2015春•宜兴市校级月考）已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是0≤a＜．【分析】根据y随x的增大而增大可得x的系数大于0，图象不经过第四象限，那么经过一三或一二三象限，那么此函数的常数项应为非负数．【解答】解：∵x1＞x2时，y1＞y2，∴﹣3a+1＞0，解得a＜，∵图象不经过第四象限，∴经过一三或一二三象限，∴a≥0，∴0≤a＜．故答案为：0≤a＜．【点评】考查了一次函数图象上的点的坐标的特点；得到函数图象可能经过的象限是解决本题的关键．16．（2015秋•靖江市校级月考）如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP 的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是2．【分析】由函数的图象可知点P从点A运动到点D用了2秒，从而得到AD=2，当点P在DE上时，三角形的面积不变，故此DE=4，从而可求得DC=2，于是得到AC=2+2，从而可求得BC的长为2+．【解答】解：由函数图象可知：AD=1×2=2，DE=1×（6﹣2）=4．∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC===2．∴AC=2+2．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC===．故答案为：．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由函数图象判断出AD、DE的长度是解题的关键．17．（2016春•盐城校级月考）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是（a，a）．【分析】根据题意得出直线BB1的解析式为：y=x，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（a，0），AO∥A1B1，∠B1OC=60°，∴OC=a，CB1=OB1sin60°=a，∴B1的坐标为：（a，a），∴点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，∵B1（a，a），∴A1（a，a），∴A2（2a，a），…A n（a，）．∴A2015（a，a）．故答案为．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A点横纵坐标变化规律是解题关键．18．（2016春•泰兴市校级月考）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=3．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），∴点A的坐标为（﹣1，4），当y=4时，﹣x+5=4，解得x=2，∴点A向右移动2+1=3时，点A在MN上，∴m的值为3，故答案为3．【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单．三．解答题（共22小题）19．（2016春•武城县校级月考）已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6求出m的值即可得到一次函数解析式；（2）根据两直线平行的问题得到m+1=2，解出m=1，从而可确定一次函数解析式．（3）两直线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6得﹣（m+1）+2m﹣6=2，解得m=9，所以一次函数解析式为y=10x+12；（2）因为函数y=（m+1）x+2m﹣6的图象与直线y=2x+5平行，所以m+1=2，解得m=1，所以一次函数解析式为y=2x﹣4．（3）解得，∴两直线的交点为（1，﹣2）．【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．20．（2015秋•兴化市校级月考）如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。

现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点，直线l经过点C，（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数的图形上，求直线l所表达的函数关系式．5．如图1，直线y=﹣kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．6．首先，我们看两个问题的解答：问题1：已知x＞0，求的最小值．问题2：已知t＞2，求的最小值．问题1解答：对于x＞0，我们有：≥．当，即时，上述不等式取等号，所以的最小值．问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2，于是．由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3．（1）用b表示k；（2）求△AOB面积的最小值．7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有_________个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标_________；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N 的坐标．8．如图，已知AOCE，两个动点B同时在D的边上按逆时针方向A运动，开始时点F在点FA位置、点Q在点O 位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；（2）在前10秒内，求x两点之间的最小距离，并求此时点P，Q的坐标．9．若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C（1）填空：写出A、C两点的坐标，A_________，C_________；（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连接P P'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，求直线AB的解析式；（2）在（1）的条件下，若点P'的坐标是（﹣1，m），求m的值；（3）若点P在第一像限，是否存在a，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．11．如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，A（9，0），C（0，4），AB=5．点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求直线AB的解析式；（2）t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分；（3）当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面内是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（x，y），PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，C（a，0），点E 在y轴上，点D，F在x轴上，AD=OB=2FC，EO是△AEF的中线，AE交PB于点M，﹣x+y=1．（1）求点D的坐标；（2）用含有a的式子表示点P的坐标；（3）图中面积相等的三角形有几对？14．如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、OC的长是方程x2﹣15x+36=0的两根．（1）求P点坐标；（2）求AP的长；（3）在x轴上是否存在点Q，使四边形AQCP是梯形？若存在，请求出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．15．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．16．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC 边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求线段OA和OC的长；（2）求点D的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA=OB，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y=﹣3x+30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．（1）求点B坐标；（2）点P沿折线BC﹣OC以每秒1个单位的速度运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α=90°﹣∠AOB时，求t值．（参考数据：在（3）中，取．）18．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，﹣3），与x轴交于点B，且与直线平行．（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，﹣6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．19．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x 轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（0，1），以OA、OC为边在第一象限内作矩形OABC，点D（x，0）（x＞0），以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直线MA交y轴于点N，连接ND．（1）求证：①A、B、M、D四点在同一圆周上；②ON=OA；（2）若0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；（3）再点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．（1）若C（3，m），求m的值；（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；（3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由．22．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；（2）求（1）中S的最大值；（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．23．直线l：y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰直角△CDM斜边落在x轴上，且CD=6，如图1所示．若直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动，如图2所示，设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点，以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ．设运动时间为t秒．（1）求运动后点M、点Q的坐标（用含t的代数式表示）；（2）若设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t相应的取值范围；（3）若直线l和△CDM运动后，直线l上存在点T使∠OTC=90°，则当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时，求t的取值范围．24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．25．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．28．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO 向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．（1）求B点坐标；（2）设运动时间为t秒；①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．29．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S 的坐标；（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．30．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．考点：一次函数综合题。

一次函数实际应用压轴题型1：利用一次函数解决方案问题题型2：利用一次函数解决销售利润问题题型3：利用一次函数解决行程问题题型4：利用一次函数解决运输问题题型1：利用一次函数解决方案问题【典例1】我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；方案乙：按购买金额打9折付款．学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式．（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？【答案】（1）y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720；（2）方案甲更省钱；（3）学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球．【解答】解：（1）由题意得：y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550，y乙＝25×0.9x+80×0.9×10＝22.5x+720，（2）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，当x＝15时y甲＝25×15+550＝925（元），y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元），∵925＜1057.5，∴方案甲更省钱；（3）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，当y甲＝1800元时，1800＝25x+550，解得：x＝50，当y乙＝1800元时，1800＝22.5x+720，解得：x＝48，∵50＞48，∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球．【变式1-1】已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型和B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．共有几种租车方案，哪种方案租车费用最少？【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨；（2）该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用A型车10辆，B型车1辆；方案2：租用A型车6辆，B型车4辆；方案3：租用A型车2辆，B型车7辆．方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，依题意，得：，解得：．答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．（2）设A型车租a辆，B型车租b辆，依题意，得：3a+4b＝34，∴a＝．∵a，b均为非负整数，∴，，，∴该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用A型车10辆，B型车1辆；方案2：租用A型车6辆，B型车4辆；方案3：租用A型车2辆，B型车7辆．方案1所需租金：100×10+120×1＝1120（元），方案2所需租金：100×6+120×4＝1080（元），方案3所需租金：100×2+120×7＝1040（元）．∵1120＞1080＞1040，∴方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．【变式1-2】2022年秋，郑州新冠疫情牵动全国，社会各界筹集的医用，建设等物资不断从各地向郑州汇集．这期间，恰逢春节承运资源短缺，紧急情况下，多家物流企业纷纷开通特别通道，驰援郑州，为生产药品，口罩，医疗器械等紧急物资的企业提供全方位支持．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）若A型车每辆需租金90元/次，B型车每辆需租金110元/次．物流公司计划共租用8辆车，请写出总租车费用w A型车数量a（辆）的函数关系式．（3）如果汽车租赁公司的A型车只剩了6辆，B型车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用．【答案】（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨；（2）w＝﹣20a+880；（3）租6辆A型车，2辆B型车，租车费用最少，最少费用为760元．【解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，由题意得：，解得，∴1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．（2）由题意可得：w＝90a+110（8﹣a）＝﹣20a+880；（3）在一次函数w＝﹣20a+880中，∵﹣20＜0，∴w随a的增大而小；由题意知：a≤6，则当a＝6时，总租车费用最少，最少费用为：w＝﹣20×6+880＝760．8﹣6＝2．∴最省钱的租车方案为租6辆A型车，2辆B型车，租车费用最少，最少费用为760元．题型2：利用一次函数解决销售利润问题【典例2】2023年第一届全国学生（青年）运动会在南宁市某中学初中部举行火炬传递仪式，有幸参与该盛事的学校的九年级1000名学生将在火炬传递经过的校道两边为火炬手摇旗呐喊，年级制定的活动经费初步方案是采购一些手摇式小国旗，每面小国旗售价为0.8元．经过进一步商讨之后，年级决定再补购印有运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的头戴式小彩旗若干个．询问甲、乙两家吉祥物特许经销商，他们考虑到学校情况给出了不同的销售方案．甲经销商的销售方案是每个头戴式小彩旗卖2.2元．乙经销商的方案是：购买不超过200个头戴式小彩旗，每个售价2.5元；若超过200个，则超过部分每个售价2元．（1）设向乙经销商购买x个头戴式小彩旗，所需费用为y元，求出y关于x的函数关系式；（2）年级最终决定必须要买1000面小国旗及若干个头戴式小彩旗，最终总费用不低于1600元，不超过2000元．若向甲、乙两家经销商中的一家购买头戴式小彩旗，年级该向哪一家购买头戴式小彩旗最合算？【答案】（1）y＝；（2）当总费用大于或等于1600而小于1900元时，向甲经销商购买最合算；当购买小彩旗费用为1900元时，两家一样合算；当购买总费用大于1900元而小于或等于2000元时，向乙经销商购买最合适．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y＝2.5x；当x＞200时，y＝200×2.5+2（x﹣200）＝2x+100；综上，y关于x的函数关系式为y＝．（2）设在甲、乙两家经销商购买x个头戴式小彩旗所需费用分别为y1元、y2元，则y1＝2.2x．由（1）得，y2＝．它们的函数图象如图所示：∵最终总费用不低于1600元，不超过2000元，购买1000面小国旗的费用是1000×0.8＝800（元），∴购买头戴式小彩旗的费用最少800元，最多1200元，即800≤y1≤1200，800≤y2≤1200．当y1＝y2时，2.2x＝2x+100x＝500，此时y1＝y2＝1100．由图象可知，当购买头戴式小彩旗的费用低于1100元时，向甲经销商购买最合算；当购买头戴式小彩旗费用为1100元时，两家一样合算；当购买头戴式小彩旗费用大于1100元时，向乙经销商购买最合适．综上，当总费用大于或等于1600而小于1900元时，向甲经销商购买最合算；当购买小彩旗费用为1900元时，两家一样合算；当购买总费用大于1900元而小于或等于2000元时，向乙经销商购买最合适．【变式2-1】“互联网+”让我国经济更具活力．牡丹花会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款花会纪念钥匙扣进行销售，进货价和销售价如表：（1）网店第一次用1100元购进A、B两款钥匙扣共50件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的花会纪念钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共240件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于5800元．网店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？【答案】（1）购进A款钥匙扣30件，B款钥匙扣20件；（2）当购进40件A款钥匙扣，200件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2800元．【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据题意得：答：购进A款钥匙扣30件，B款钥匙扣20件；（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（240﹣m）件B款钥匙扣，根据题意得：20m+25（240﹣m）≤5800，解得：m≥40．设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（30﹣20）m+（37﹣25）（240﹣m）＝﹣2m+2880．∵﹣2＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝﹣2×40+2880＝2800（元），此时240﹣40＝200（元）．答：当购进40件A款钥匙扣，200件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2800元．【变式2-2】2023年杭州亚运会期间，吉祥物徽章受到了众多人的喜爱．某网店直接从工厂购进A款礼盒120盒，B款礼盒50盒，两款礼盒全部售完．两款礼盒的进货价和销售价如下表：（1）求该网店销售这两款礼盒所获得的总利润．（2）网店计划用第一次所获的销售利润再次去购买A、B两款礼盒共80盒．该如何设计进货方案，使网店获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？【答案】（1）该网店销售这两款礼盒所获得的总利润为2200元；（2）该网店购进A款礼盒和B款礼盒各40盒网店获得最大的销售利润，最大利润为920元．【解答】解：（1）120×（45﹣30）+50（33﹣25）＝1800+400＝2200（元），答：该网店销售这两款礼盒所获得的总利润为2200元；（2）设购进x盒A款礼盒，则购进（80﹣x）盒B款礼盒，网店所获利润为y元，根据题意得：y＝（45﹣30）x+（33﹣25）（80﹣x）＝7x+640，又∵30x+25（80﹣x）≤2200，∴x≤40，∵7＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y有最大值，最大值为920，∴该网店购进A款礼盒和B款礼盒各40盒网店获得最大的销售利润，最大利润为920元．【变式2-3】“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，B 两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需160元；购进6本A类图书和2本B类图书共需170元．（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？（2）该书店计划用2000元购进这两类图书，设购进A类x本，B类y本．①求y关于x的关系式；②进货时，A类图书的购进数量不少于50本，已知A类图书每本的售价为28元，B类图书每本的售价为40元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？【答案】（1）A类图书每本的进价是20元，B类图书每本的进价是25元；（2）①；②购进A类图书50本，B类图书40本时，才能使书店所获利润最大，最大利润为1000元．【解答】解：（1）设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据题意得：，解得：，答：A类图书每本的进价是20元，B类图书每本的进价是25元；（2）①根据题意得：20x+25y＝2000，∴y关于x的关系式为；②设书店所获利润为w元，根据题意得：W＝（28﹣20）x+（40﹣25）y＝8x+15y＝＝﹣4x+1200∵﹣2＜0，∴W随x的增大而减小，∵A类图书的购进数量不少于50本，∴x≥50，∴当x＝50时，W4×50+1200＝1000，此时，答：购进A类图书50本，B类图书40本时，才能使书店所获利润最大，最大利润为1000元．【变式2-4】为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？【答案】（1）甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；（2）安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．【解答】解：（1）设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进（160﹣x）千克，由题意可得：5x+9（160﹣x）＝1000，解得x＝110，∴160﹣x＝50，答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果购进（160﹣m）千克，获得的利润为w元，由题意可得：w＝（8﹣5）m+（13﹣9）（160﹣m）＝﹣m+640，∴w随m的增大而减小，∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴160﹣m≤3m，解得m≥40，∴当m＝40时，w取得最大值，此时w＝600，160﹣m＝120，答：安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．【变式2-5】随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据题意，得，解得x＝70，经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意，70﹣20＝50（元），答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900，解得m≤45，m为正整数，答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；（3）设总利润为w元，w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，∵5＞0，∴w随着m的增大而增大，当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元），此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副），答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．【变式2-6】新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围（2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w 的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆（10﹣x﹣y）辆．7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60，∴y＝﹣2x+10（2≤x≤4）；（2）w＝7×0.15x+6×0.2（﹣2x+10）+5×0.1[10﹣x﹣（﹣2x+10）]，即w＝﹣0.85x+12，∵﹣0.85＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝2时，w有最大值10.3万元，∴装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元．【变式2-7】商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B 型电脑的利润为350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y 元．（1）①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（2）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调了m（0＜m≤50）元，且限定商店最多的进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出售这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）①y＝﹣50x+15000，②商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．（2）①当0＜m＜50时，商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②m＝50时，商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润．【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得：，解得∴y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．（2）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，33≤x≤70①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润．【变式2-8】某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，决定开始销售这两种水果．已知该超市购进甲种水果10千克和乙种水果3千克共需要197元；若购进甲种水果15千克和乙种水果6千克，则共需要324元．（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？（2100千克进行销售，甲种水果的售价为20元/千克，乙种水果的售价为24元/千克．其中甲种水果的数量不少于20千克，但不超过60千克．若超市当天购进的水果当天售完（运输和销售过程中水果的损耗忽略不计），写出每天销售这两种水果获得的利润w（元）与购进甲种水果的数量a（千克）之间的关系式，并求出a为何值时能获得最大利润？最大利润是多少元？【答案】（1）甲种水果每千克的进价是14元，乙种水果每千克的进价是19元；（2）每天销售这两种水果获得的利润w（元）与购进甲种水果的数量a（千克）之间的关系式为w＝a+500；当a＝60时，能获得最大利润，最大利润是560元．【解答】解：（1）设甲种水果每千克的进价是x元，乙种水果每千克的进价是y元，根据题意得：，解得，答：甲种水果每千克的进价是14元，乙种水果每千克的进价是19元；（2）由题意得：w＝（20﹣14）a+（24﹣19）（100﹣a）＝6a+5（100﹣a）＝a+500，∵1＞0，20≤a≤60，∴当a＝60时，w最大，最大值为560，∴每天销售这两种水果获得的利润w（元）与购进甲种水果的数量a（千克）之间的关系式为w＝a+500；当a＝60时，能获得最大利润，最大利润是560元．【变式2-9】某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得，A型电脑的总利润为：120x，B型电脑的总利润为：140（100﹣x），∴A、B电脑的总利润：y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣20x+14000，又B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，∴100﹣x≤3x，解得：x≥25，∴自变量x的取值范围为：25≤x≤100，且x为正整数，∴y＝﹣20x+14000（25≤x≤100，且x为正整数）；（2）∵y＝﹣20x+14000，且﹣20＜0，∴y随x的增大而减小，∵25≤x≤100，且x为正整数，∴x＝25时，y有最大值为：﹣20×25+14000＝13500，∴A型电脑进货25台，B型电脑进货75台，销售利润最大为13500元．【变式2-10】在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A 型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A 型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？最大值是多少？【答案】（1）每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；（2）药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大，总利润最大为375元．【解答】解：（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：，解得，答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；（2）根据题意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；根据题意得，，解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），∵﹣0.05＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝500时，y取最大值为375元，则2000﹣x＝1500，即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元．【变式2-11】第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？（3）在（2）的条件下，该专卖店对A种礼盒以每个优惠m（0＜m＜20）元的价格进行优惠促销活动，B种礼盒每个进价减少n元，售价不变，且m﹣n＝4，若最大利润为4900元，请直接写出m的值．【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000；（2）最大利润为5500元；（3）m＝10．【解答】解：（1）由题意得：y＝（220﹣160）x+（160﹣120）×（100﹣x）＝20x+4000，∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000；（2）由题意得：，∴60≤x≤75，∵y＝20x+4000中，20＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝75时，y有最大值，最大值＝20×75+4000＝5500（元），∴最大利润为5500元；（3）∵m﹣n＝4，∴n＝m﹣4，由题意得：y＝（220﹣160﹣m）x+（160﹣120+n）（100﹣x）＝（60﹣m）x+（40+n）×100﹣（40+n）x＝（24﹣2m）x+100m+3600．∵60≤x≤75，0＜m＜20，∴当0＜m＜12时，24﹣2m＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝75时，y最大＝（24﹣2m）×75+100m+3600＝4900，∴m＝10，符合题意；当m＝12时，y＝100×12+3600＝4800≠4950，不合题意；当12＜m＜20时，24﹣2m＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝60时，y最大＝（24﹣2m）×60+100m+3600＝4900，∴m＝7，不合题意，舍去．综上，m＝10．题型3：利用一次函数解决行程问题【典例3】2023年12月18日，甘肃积石山县发生6.2级地震，全国各地连夜出发实施紧急救援．一辆货车先从甲地出发运送赈灾物资到灾区，稍后一辆轿车从甲地急送医疗团队到灾区，已知甲地与灾区的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达灾区？【答案】（1）1.5h；（2）s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；（3）轿车比货车早1.2h到达灾区．【解答】解：（1）∵货车的速度是60km/h，∴a＝＝1.5（h）；（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：，解得，∴s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；（3）由图象可得货车走完全程需要+0.5＝6（h），∴货车到达乙地需6h，∵s＝100t﹣150，s＝330，解得t＝4.8，∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h），∴货车还需要1.2h才能到达，即轿车比货车早1.2h到达灾区．【变式3-1】我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．（1）哥哥的速度是m/s，哥哥让小明先跑了米，小明后来的速度为m/s．（2）哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？（3）求哥哥跑几秒时，两人相距10米？【答案】（1）8，14，3；（2）7；（3）2或9．【解答】解：（1）根据图象可知，哥哥的速度是24÷3＝8（m/s），哥哥让小明先跑了14m；在哥哥追上小明之前，小明的速度为（32﹣14）÷3＝6（m/s），∴在哥哥追上小明之后，小明的速度为6÷2＝3（m/s），故答案为：8，14，3．（2）设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明．14+6t＝8t，解得t＝7，∴哥哥跑7秒时，哥哥追上小明．（3）设哥哥所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式为y＝kx（k为常数，且k≠0）．将x＝3，y＝24代入y＝kx，得3k＝24，解得k＝8，∴y＝8x；小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式：当哥哥追上小明时，哥哥所跑的路程为8×7＝56（m），∴图象交点坐标为（7，56）．当0≤x＜7时，设y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．将x＝0，y＝14和x＝7，y＝56代入y＝k1x+b1，得，解得，∴y＝6x+14（0≤x＜7）；哥哥出发后8s时，小明跑的总路程为56+（8﹣7）×3＝59（m），∴坐标（8，59）对应的点在图象l3上．当x≥7时，设y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．将x＝7，y＝56和x＝8，y＝59代入y＝k2x+b2，得，解得，∴y＝3x+35（x≥7）；综上，y＝．两人相距10米时：当0≤x＜7时，|6x+14﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝5，解得x＝2或12（不符合题意，舍去）；当x＞7时，|3x+35﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝2，解得x＝5（不符合题意，舍去）或9；∴哥哥跑2秒或910米．【变式3-2】一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，已知汽车的速度为60km/h，摩托车比汽车晚1个小时到达城市C．（1）求摩托车到达城市C所用的时间；（2）求摩托车离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式；（3）当x为何值时，摩托车和汽车相距30km．【答案】（1）4小时；（2）y＝40x+20；（3）或小时．【解答】解：（1）根据图象信息，得到A到C点的距离为180千米，∵汽车的速度为60km/h，∴汽车到达中点的用时，∵摩托车比汽车晚1个小时到达城市C，∴摩托车到达城市C的时间为4小时．（2）设解析式为y＝kx+b，把（0，20），（4，180）分别代入解析式得：，解得，故摩托车离A地的路程y（km）关于时间x（h）的函数表达式为y＝40x+20．（3）根据题意，得到汽车的函数解析式为y＝60x，根据题意，得：60x﹣（40x+20）＝30，解得，40x+20+30＝180，x＝，故经过或小时，摩托车和汽车相距30km．【变式3-3】已知A，B两港口相距150海里，甲船从A港行驶到B港后，休息一段时间，速度不变，沿原航线返回，同时，乙船从A港出发驶向B港，甲、乙两船离A港的距离s（海里）与甲船行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当两船相遇时，两船到A 港的距离为90海里，乙船在行驶过程中，速度不变．（假设甲、乙两船沿同一航线航行）（1）直接写出M点的坐标；（2）分别求线段DM、EF的表达式；（3）甲船行驶多少小时后两船在甲船返航过程中相距30海里？【答案】（1）（13，0）；（2）s＝﹣30t+390（8≤t≤13），；（3）9.6小时或10.4小时．【解答】解：（1）∵甲船返回时速度不变，∴返回时间为5小时，8+5＝13，所以，点M的坐标为（13，0），故答案为：（13，0）；（2）由图可知：点D（8，150），设DM所在直线的解析式为：s＝kt+b，把点D（8，150），点M（13，0）分别代入解析式，得：，解得，故线段DM的表达式为：s＝﹣30t+390（8≤t≤13）；甲船的速度＝150÷5＝30（海里/时），（150﹣90）÷30＝2（小时），∴乙船的速度为：90÷2＝45（海里/时），∴乙船行驶的时间为：（小时），此时，故点G（10，90），由图可知：点E（8，0），设直线EF的表达式为s＝mt+n，把点G（10，90），点E（8，0）分别代入解析式，得：，解得，故线段EF的表达式为：；（3）设甲船行驶x小时后两船相距30海里，①若相遇前相距30海里，则（30+45）×（x﹣8）＝150﹣30，解得x＝9.6，②若相遇后再相距30海里，则（30+45）×（x﹣8）＝150+30，解得x＝10.4，所以，甲船行驶9.6小时或10.4小时后，两船相距30海里．【变式3-4】甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示．（1）A，B两城之间距离是多少？（2）求甲、乙两车的速度分别是多少？（3）乙车出发多长时间追上甲车？（4）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距40km？【答案】（1）A、B两城之间距离是300千米；（2）甲、乙两车的速度分别是60千米/小时和100千米/小时；（3）乙车出发1.5小时追上甲车；（4）分别在上午6：30，8：30，9：20这三个时间点两车相距40千米．【解答】解：（1）由图象可知A、B两城之间距离是300千米；（2）由图象可知，甲的速度＝＝60（千米/小时），乙的速度＝＝100（千米/小时），∴甲、乙两车的速度分别是60千米/小时和100千米/小时；（3）设乙车出发x小时追上甲车，由题意：60（x+1）＝100x，解得：x＝1.5，∴乙车出发1.5小时追上甲车；（4）设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距40千米时甲车行驶了m小时，①当甲车在乙车前时，得：60m﹣100（m﹣1）＝40，解得：m＝1.5，。

专题09一次函数与几何变换一．选择题1．（2021春•大同期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（）A．函数的图象与y轴的交点坐标是（4，0）B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向上平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y22．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+3．（2020秋•天桥区期末）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．5B．4C．3D．24．（2020秋•碑林区校级期中）将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣2 5．（2020•碑林区校级模拟）若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1 6．（2019•嘉祥县三模）在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度7．（2018春•雨花区校级月考）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，当M、N位于直线l的异侧时，t应该满足的条件是（）A．3＜t＜6B．4＜t＜7C．3＜t＜7D．＜t＜7二．填空题8．（2021春•安丘市期末）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA′交y轴于点C，则点C 的坐标为．9．（2021春•东台市月考）如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么ABCD面积为．10．（2021•广东模拟）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x 轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为．11．（2020春•黄陂区期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是．12．（2018秋•福田区校级期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B n的坐标为．13．（2017秋•碑林区校级期末）如图，一次函数y＝，的图象向下平移2个单位后得直线l，直线l交x轴于点A、交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A、B重合），过点P分别作PE⊥x 轴点E，PF⊥y轴于点F，当线段EF的长最小时，点P的坐标为．14．（2018春•丰南区期末）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为．15．（2019春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．16．（2019•天津二模）将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是．17．（2019春•常州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．三．解答题18．（2021春•古丈县期末）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向下平移5个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．19．（2021春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，函数y1＝2|x﹣a|，（1）若该函数经过点A（1，0），求该函数的解析式，并在图1中画出函数图象；（2）在（1）的条件下，将函数y2＝x向上平移m个单位后与函数y1的图象相交于点B和C点，若BC ＝，求m；（3）如图2，设直线y3＝6n与直线y4＝2n分别与函数y1＝2|x﹣a|相交于点E、F和M、N，点P为直线y3＝6n上一点，连接PM、PN并延长交直线y5＝kn于点G、H，若2EF＝3GH，求k．20．（2021春•河北区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x 轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．21．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且OA＝OB．（1）试求直线l2的函数表达式；（2）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线l2于点D．试求△BCD的面积．22．（2018秋•宿迁期末）如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．23．（2019•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x﹣2．（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．24．（2018春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．25．（2017春•武昌区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣4，﹣2）和点B（2，4）（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB平移，使其经过原点O，则线段AB扫过的面积为．26．（2017春•安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），当x1＞x2时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？27．（2016春•大兴区期末）阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，若直线l2与直线l1关于y轴对称，求直线l2的表达式．下面是小明的解题思路，请补充完整．第一步：求出直线l1与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l1；第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标；第四步：由点B，点C的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l2的表达式．小明求出的直线l2的表达式是．请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：（1）若直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，则直线l3的表达式是；（2）若点M（m，3）在直线l1上，将直线l1绕点M顺时针旋转90°．得到直线l4，求直线l4的表达式．28．（2016•河北模拟）如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；（3）已知直线l2：y＝x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．29．（2015秋•栖霞区期末）课本P152有段文字：把函数y＝2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y＝2x+3或y＝2x﹣3的图象．【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数y＝﹣2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到A′、B′，直线A′B′就是函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象．请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为．A．y＝﹣2x+3；B．y＝﹣2x﹣3；C．y＝﹣2x+6；D．y＝﹣2x﹣6【解决问题】（2）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．【拓展探究】（3）一次函数y＝﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为．（直接写结果）专题09一次函数与几何变换一．选择题1．（2021春•大同期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（）A．函数的图象与y轴的交点坐标是（4，0）B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向上平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2【思路引导】代入y＝0求出与之对应的x值，即可得出A不正确；根据一次函数的系数结合一次函数的性质，即可得知B选项正确、D选项不正确，根据平移的规律求得平移后的解析式，即可判断C不正确，此题得解．【完整解答】解：A、令y＝﹣2x+4中y＝0，则x＝2，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项不符合题意；B、∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，即函数的图象不经过第三象限，故本选项符合题意；C、根据平移的规律，函数的图象向上平移4个单位长度得到的函数解析式为y＝﹣2x+4+4，即y＝﹣2x+8，故本选项不符合题意；D、∵k＝﹣2＜0，∴一次函数中y随x的增大而减小，∴若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2，故本选项不符合题意．故选：B．【考察注意点】本题考查了一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．2．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+【思路引导】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【完整解答】解：∵一次函数y＝x+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，则A（﹣，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB＝＝2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，由旋转的性质可知∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，又BD＝AB+AD＝2+x，∴2+x＝x，解得：x＝+1，∴AC＝x＝（+1）＝，故选：A．【考察注意点】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．3．（2020秋•天桥区期末）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．5B．4C．3D．2【思路引导】先根据△AEF为等腰直角三角形，可得直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据BD的长即可得到b的值．【完整解答】解：如图1，连接BD并且两端延长，直线y＝x﹣3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y ＝﹣3，即直线y＝x﹣3与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，由图2可得，t＝2时，直线l经过点A，∴AO＝3﹣2×1＝1，∴A（1，0），由图2可得，t＝12时，直线l经过点C，∴当t＝+2＝7时，直线l经过B，D两点，∴AD＝（7﹣2）×1＝5，∴等腰Rt△ABD中，BD＝5，即当a＝7时，b＝5．故选：A．【考察注意点】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数图象与几何变换，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．4．（2020秋•碑林区校级期中）将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣2【思路引导】根据平移性质可由已知的解析式写出新的解析式．【完整解答】解：根据题意，得直线向右平移2个单位，即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，所以得到的解析式是y＝﹣3（x﹣2）＝﹣3x+6．故选：A．【考察注意点】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，解题时注意：y＝kx左右平移|a|个单位长度的时候，即直线解析式是y＝k（x±|a|）；当直线y＝kx上下平移|b|个单位长度的时候，则直线解析式是y ＝kx±|b|．5．（2020•碑林区校级模拟）若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【思路引导】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．【完整解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），代入直线y＝2x+b，可得4+b＝3，解得b＝﹣1，一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），代入直线y＝kx+3，可得2k+3＝﹣1，解得k＝﹣2．故选：D．【考察注意点】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．6．（2019•嘉祥县三模）在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度【思路引导】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【完整解答】解：∵将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，∴2（x+a）﹣2＝2x+4，解得：a＝3，故将y1向左平移3个单位长度．故选：C．【考察注意点】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．7．（2018春•雨花区校级月考）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，当M、N位于直线l的异侧时，t应该满足的条件是（）A．3＜t＜6B．4＜t＜7C．3＜t＜7D．＜t＜7【思路引导】分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围．【完整解答】解：当直线y＝﹣x+b过点M（3，2）时，2＝﹣3+b，解得：b＝5，5＝1+t，解得t＝4．当直线y＝﹣x+b过点N（4，4）时，4＝﹣4+b，解得：b＝8，8＝1+t，解得t＝7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．故选：B．【考察注意点】本题考查了坐标平面内一次函数的图象与性质，关键是利用一次函数图象上点的坐标特征解答．二．填空题8．（2021春•安丘市期末）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA′交y轴于点C，则点C 的坐标为（0，﹣4）．【思路引导】依据轴对称的性质可得OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，进而通过证得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可证得C的坐标为（0，﹣4）．【完整解答】解：∵点A的坐标为（1，），∴AB＝1，OB＝，∴OA＝＝＝2，∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，∴OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，∴A'（﹣，﹣1），∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，∴∠A′CO＝∠A′OB′，∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，∴△A′OB′∽△OCA′，∴＝，即＝，∴OC＝4，∴C（0，﹣4），故答案是：（0，﹣4）．【考察注意点】本题考查了轴对称的性质，正比例函数的性质，求得对称点的坐标是解题的关键．9．（2021春•东台市月考）如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么ABCD面积为8．【思路引导】通过图象中（4，0），（7，2），（8，2）可得直线运动到A，D，B三点时所移动距离，从而求出AB长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解．【完整解答】解：由图象可知，直线经过A时移动距离为4，经过D时移动距离为7，经过B时移动距离为8，∴AB＝8﹣4＝4．如图，当直线经过点D时，交AB于点E，作DF垂直于AB于点F，由图2可知DE＝2，∵直线与AB夹角为45°，∴DF＝EF＝2，∴ABCD面积为AB•DF＝4×2＝8．故答案为：8．【考察注意点】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握k＝﹣1时直线与x轴所夹锐角为45°．10．（2021•广东模拟）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x 轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为y＝﹣2x+2．【思路引导】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．【完整解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵点A（﹣1，0）点B（0，﹣2）在直线AB上，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵AB＝AD，AO⊥BD，∴OD＝OB，∴D（0，2），∴直线CD的函数解析式为：y＝﹣2x+2，故答案为：y＝﹣2x+2．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．11．（2020春•黄陂区期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是y＝2x﹣1．【思路引导】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【完整解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位，所得直线的函数关系式为y＝2x﹣3+2，即y＝2x﹣1；故答案为y＝2x﹣1．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．（2018秋•福田区校级期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B n的坐标为（2n﹣1，2n）．【思路引导】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点B n的坐标．【完整解答】解：∵点A1坐标为（1，0），∴OA1＝1，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2），∵点A2与点O关于直线A1B1对称，∴OA1＝A1A2＝1，∴OA2＝1+1＝2，∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，4），∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8），依此类推便可求出点A n的坐标为（2n﹣1，0），点B n的坐标为（2n﹣1，2n）．故答案为：（2n﹣1，2n）．【考察注意点】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．13．（2017秋•碑林区校级期末）如图，一次函数y＝，的图象向下平移2个单位后得直线l，直线l交x轴于点A、交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A、B重合），过点P分别作PE⊥x轴点E，PF⊥y轴于点F，当线段EF的长最小时，点P的坐标为（﹣，）．【思路引导】利用勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征，列出二次函数关系式，结合二次函数最值的求法解答．【完整解答】解：由已知条件得到直线l解析式为：y＝﹣2，即y＝，设P（a，），所以EF2＝a2+（）2＝a2+a+．当EF取最小值时，a＝﹣＝﹣，此时，＝，即P（﹣，），故答案是：（﹣，）．【考察注意点】考查了一次函数图象与几何变换，解题时，利用了二次函数最值的求法，熟记二次函数顶点坐标公式是解题的关键．14．（2018春•丰南区期末）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝x﹣．【思路引导】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥y轴于点B，过点A作AC⊥x 轴于点C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标，再利用待定系数法可求出该直线l的解析式，再根据平移规律即可得到直线l′的函数解析式．【完整解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB＝5，∴AB＝，∴OC＝，由此可知直线l经过（，3），设直线l为y＝kx，则3＝k，k＝，∴直线l解析式为y＝x，∴直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝（x﹣3），即y＝x﹣，故答案为：y＝x﹣．【考察注意点】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．15．（2019春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过6秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．【思路引导】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝4x+1的直线解析式，从而可得直线y＝4x+1要向下平移，进而可得答案．【完整解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD，∵B（6，2），点C（4，0），∴D（3，1），设DE的解析式为y＝kx+b，∵平行于y＝4x+1，∴k＝4，∵过D（3，1），∴DE的解析式为y＝4x﹣11，∴直线y＝4x+1要向下平移12个单位，∴时间为6秒，故答案为：6【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．16．（2019•天津二模）将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是y＝3x﹣2．【思路引导】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．【完整解答】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的，∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．∵经过点（1，1），则1×3+b＝1，解得b＝﹣2，∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2；故答案为：y＝3x﹣2．【考察注意点】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．17．（2019春•常州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过6秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．【思路引导】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝2x+1的直线解析式，从而可得直线y＝2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．【完整解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD，∵B（6，2），点C（4，0），∴D（3，1），设DE的解析式为y＝kx+b，∵平行于y＝2x+1，∴k＝2，∵过D（3，1），∴DE的解析式为y＝2x﹣5，∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，∴时间为6秒，故答案为：6．【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．三．解答题18．（2021春•古丈县期末）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向下平移5个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．【思路引导】（1）利用待定系数法确定该一次函数的解析式；（2）根据平移规律“上加下减”写出平移后一次函数解析式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求直线与x轴的交点坐标．【完整解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0）和点（2，2），∴．解得k＝，b＝1．∴一次函数的解析式为：y＝x+1；（2）∵一次函数y＝x+1向下平移5个单位的解析式为y＝x+1﹣5＝x﹣4，即y＝x﹣4．∴当y＝0时，x＝8，∴平移后的图象与x轴的交点坐标为（8，0）．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的性质是解答此题的关键．19．（2021春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，函数y1＝2|x﹣a|，（1）若该函数经过点A（1，0），求该函数的解析式，并在图1中画出函数图象；（2）在（1）的条件下，将函数y2＝x向上平移m个单位后与函数y1的图象相交于点B和C点，若BC＝，求m；（3）如图2，设直线y3＝6n与直线y4＝2n分别与函数y1＝2|x﹣a|相交于点E、F和M、N，点P为直线y3＝6n上一点，连接PM、PN并延长交直线y5＝kn于点G、H，若2EF＝3GH，求k．【思路引导】（1）把点A坐标代入函数，求出a，得到函数y1的解析式，画出图象；（2）设出函数y2的解析式，得到B、C的坐标，根据BC＝列出方程，求m的值；（3）由三角形相似得出MN和GH的比例，求出k的值．【完整解答】解：（1）把点A（1，0）代入y1＝2|x﹣a|，得：2|1﹣a|＝0，解得：a＝1，∴y1＝2|x﹣1|，图象如右所示．（2）由题意得y2＝x+m（m＞0），x≤1时，y1＝﹣2x+2，x＞1时，y1＝2x﹣2，由，解得：，∴B（，），由，解得：，∴C（m+2，2m+2），∵BC＝，∴（m+2﹣）2+（2m+2﹣）2＝128，解得：m1＝5，m2＝﹣7（舍），∴m＝5．（3）∵直线y3＝6n与直线y4＝2n间的距离为4n，直线y4＝2n与x轴间的距离为2n，∴EF＝3MN，∵2EF＝3GH，∴MN：GH＝1：2，∴MN是△PGH的中位线，∴y3＝6n与y4＝2n间的距离和y3＝6n与y5＝kn间的距离相等，∴k＝﹣2．【考察注意点】本题考查了分段函数图象和函数图象变换，画图的关键顺序是“列表﹣描点﹣连线”，需要注意的是连线的时候要用平滑的曲线连接．20．（2021春•河北区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x 轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．【思路引导】（1）根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为y＝x+b；把点B和D的坐标代入进行解答即可；（2）根据正方形是中心对称图形，当直线l经过对角线的交点时，恰好平分正方形ABCD的面积，求得交点坐标，代入y＝x+b，根据待定系数法即可求得直线l此时的解析式，然后求得E、F的坐标，根据待定系数法求得直线BE的解析式，得到与y轴的交点Q的坐标，根据三角形面积公式即可求得．【完整解答】解：（1）∵长为3的正方形ABCD中，点A的坐标为（5，4），∴B（2，4），C（2，1），D（5，1），设直线l的解析式为y＝kx，把C（2，1）代入得，1＝2k，解得k＝，∴直线l为y＝，设平移后的直线方程为y＝x+b，。