天体的追及与相遇问题

天体的追及相遇问题1．高度为R ，此时a 、b 恰好相距最近。

已知地球质量为M 、半径为R 、地球自转的角速度为ω，万有引力常量为G ，忽略卫星间的引力，下列说法中正确的是（ ）A ．发射卫星b 时速度要大于11.2km/sB ．卫星a 受到的合力大于卫星b 受到的合力C ．卫星a 和b 到再次相距最近，至少还需时间38t GM R ω=-D ．若要卫星c 与b 实现对接，可让卫星c 直接在原轨道加速 【答案】C【详解】A ．卫星b 绕地球做匀速圆周运动，7.9km/s 是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，11.2km/s 是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以发射卫星b 时速度大于7.9km/s ，而小于11.2km/s ，A 错误；B ．卫星受到的合力等于地球对卫星的万有引力，两卫星的质量未知，不能判断其所受合力的大小，B 错误；C ．b 、c 在地球的同步轨道上，所以卫星b 、c 和地球具有相同的周期和角速度。

由万有引力提供向心力，即22GMmmr rω= 得3GMr ω=a 距离地球表面的高度为R ，所以卫星a 的角速度38GMR ω=此时a 、b 恰好相距最近，到卫星a 和b 下一次相距最近，()2a t ωωπ-=得：328t GM R πω=-C 正确；D ．若要卫星c 与b 实现对接，应让卫星c 降至低轨道再加速，D 错误； 故选C 。

2．北斗卫星导航系统由地球同步静止轨道卫星a 、与地球自转周期相同的倾斜地球同步轨道卫星b ，以及比它们轨道低一些的轨道卫星c 组成，它们均为圆轨道卫星。

若轨道卫星c 与地球同步静止轨道卫星a 运动轨迹在同一平面内，已知卫星c 的离地高度为h ，地球自转周期为T ，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，下列说法正确的是（ ）A ．若卫星a 与卫星c 的周期之比为3:1，某时刻两者相距最近，则经过2T时间后，两者再次相距最近 B ．卫星a 与卫星b 一定具有相同的机械能C ．可以发射一颗地球同步静止轨道卫星，每天同一时间经过杭州正上空同一位置D ．卫星c ()2R h gRπ+【答案】A【详解】A ．卫星a 的周期为T ，两者再次相距最近的过程满足222ca t T T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 代入数据解得2Tt= A 正确；B ．机械能包括卫星的动能和势能，与卫星的质量有关，而卫星a 与卫星b 的质量不一定相同，故卫星a 与卫星b 不一定具有相同的机械能，B 错误；C ．地球同步静止轨道卫星只能在赤道上空的特定轨道上，与地球自转周期相同，不可能经过杭州上空，C 错误；D ．对卫星c ，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得()()2224MmGm R h TR h π=++解得()()2R h g R h T gRπ++=D 错误。

考点3 天体的追及和相遇问题“天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的.状态图示关系（同向）最近（1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、…）（2）圈数关系：tT1－tT2＝n（n＝1、2、3、…）最远（1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、…）（2）圈数关系：tT1－tT2＝2n－12（n＝1、2、3、…）研透高考明确方向7.[相距最近或最远分析/2023湖北]2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”.火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示.根据以上信息可以得出（B）A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前解析r火3r地3＝T火2T地2r火r地＝32]→T火T地＝3√32√2，A错下一次冲日有→t ＝T 火T 地T 火－T 地＞T 地→下次火星冲日在2023年火星与地球→两者速度反向→两者相对速度最大，B 对GMm R 2＝mg →g ＝GMR 2M 火、M 地未知]→不能求g 之比，C 错8.[不在同一轨道平面的“相遇”/2023重庆/多选]某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T 的310，运行的轨道与地球赤道不共面，如图所示.t 0时刻，卫星恰好经过地球赤道上P 点正上方.地球的质量为M ，半径为R ，引力常量为G .则（ BCD ）A.卫星距地面的高度为（GMT 24π2）13－RB.卫星与位于P 点处物体的向心加速度大小比值为59πR（180πGMT 2）13C.从t 0时刻到下一次卫星经过P 点正上方时，卫星绕地心转过的角度为20πD.每次经最短时间实现卫星距P 点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多7π解析 对卫星由万有引力提供向心力有G Mm(R ＋ℎ)2＝m4π2(310T)2(R ＋h )，解得h ＝(9GMT 2400π2)13－R ，A错误；对卫星有m 4π2(310T)2(R ＋h )＝ma ，对地球赤道上P 点处的物体有m'4π2T 2R ＝m'a'，联立解得aa '＝59πR(180πGMT 2)13【点拨：在求比值时，可以先约分，再代入求解，简化运算量】，B 正确；设从t 0时刻到卫星经过P 点正上方的时间为t ，假设下一次卫星经过P 点正上方时是在地球的另一侧关于球心对称的位置，则卫星运动的圈数和地球运动的圈数均为整数 圈加半圈，又地球运动的半周期为0.5T ，卫星运动的半周期为0.15T ，则有t0.5T ＝2k －1，t0.15T ＝2k'－1，k 、k'均为正整数，联立得6k'＝20k －7，显然假设不成立，故下 一次卫星经过P 点正上方时还是在t 0时刻的位置，则卫星运动的圈数和地球运动的圈 数均为整数圈，又地球运动的周期为T ，卫星运动的周期为0.3T ，则有tT ＝n ，t0.3T ＝ n'，n 、n'均为正整数，联立得3n'＝10n ，得最小的满足条件的n'＝10，即从t 0时刻到 下一次卫星经过P 点正上方的过程，卫星运动了10圈，所以卫星绕地心转过的角度 为θ＝10×2π＝20π，C 正确；设实现卫星距P 点最近到最远的时间为t'，则有t '0.5T＝2n 1－1、t '0.3T ＝n 2或t 'T ＝n 3、t '0.15T ＝2n 4－1，n 1、n 2、n 3、n 4均为正整数，解得最小的满足条件的n 1＝2、n 2＝5，此时t'＝1.5T ，即实现卫星距P 点最近到最远的最短时间为1.5T ，故卫星绕地心转过的角度比地球的多2π(t '0.3T －t 'T )＝7π，D 正确.。

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题30 天体运动中追及相遇问题、能量问题和图像问题特训目标特训内容目标1 天体运动中的追及相遇问题（1T—5T）目标2 天体运动中的能量问题（6T—10T）目标3 天体运动中的图像问题（11T—15T）一、天体运动中的追及相遇问题1．屈原在长诗《天问》中发出了“日月安属?列星安陈?”的旷世之问，这也是中国首次火星探测工程“天问一号”名字的来源。

“天问一号”探测器的发射时间要求很苛刻，必须在每次地球与火星会合之前的几个月、火星相对于太阳的位置领先于地球特定角度的时候出发。

火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。

如图所示，不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表，则根据提供的数据可知（）质量半径绕太阳做圆周运动的周期地球M R1年火星约0.1M约0.5R约1.9年B ．地球与火星从第1次会合到第2次会合的时间约为2.1年C ．火星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的1.9倍D ．火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为3：5 【答案】B【详解】A ．设地球最小的发射速度为v 地，则22mv GMm R R=地解得=7.9km/s GMv R =地则火星的发射速度与地球的发射速度之比为0.150.5Mv R v M R=火地57.9km/s v =<火故A 错误； B ．根据(222)t T T πππ-=地火代入数据解得地球和火星从第1次会合到第2次会合的时间约为2.1年，故B 正确；C ．根据开普勒第三定律得3322r r T T =火地地火代入数据解得火星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的1.5倍，故C 错误；D ．不考虑自转时，物体的重力等于万有引力2GMmmg R=火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为220.120.5=5Mg R M g R=火（）故D 错误。

天体运动中的相遇、急追及问题引言天体运动中的相遇、急追问题是天体力学研究中的一个重要方面。

它能够帮助我们了解天体之间的相互作用规律，及其对天体系统演化的影响。

在太阳系中，行星之间的相对运动状态对于行星成型、轨道演化、甚至是地球存在的稳定性都有着重要的影响。

因此，对于相遇、急追等问题的研究，有着重要的科学意义和应用价值。

相遇问题天体运动中的相遇问题是指两个天体在一个瞬间处于非常接近的状态。

在实际应用中，我们通常定义两个天体之间的相遇状态为：1.两个天体之间的相对距离小于它们的半径之和。

2.两个天体相对运动的曲率半径非常小，它们的运动方向将会接近相反。

在天体力学中，相遇问题是一个非线性的多体系统问题，因此相遇问题的分析非常复杂。

相遇问题的一个经典案例就是恒星聚集星团中的相遇。

相遇问题不仅存在于天体力学中，在社会科学中也具有重要意义。

比如，在交通流中车辆的相遇，或是人类的相遇等。

相遇问题的研究能够帮助我们理解各种物理和社会事件的运动规律。

急追问题急追问题是指在天体运动中，一个天体在追赶另一个天体的过程中，它们之间的相对运动状态。

具体来讲，急追问题包括两种情况：一个天体相对另一个天体的运动速度比它们的距离更快或两个天体沿同一方向运动但速度不同的情况。

在恒星演化中，大质量恒星在一起形成成团状态，且成团状态下的恒星牵涉到的对其他恒星的急追问题有助于解释恒星演化的起源。

问题分析在天体力学中，相遇、急追问题的计算基本上都是建立在二体问题的基础之上。

因此，在分析问题的时候，我们通常也是基于二体问题进行研究。

二体系统主要包括两个方面的因素：运动的质量和运动的形态。

运动的质量代表系统受到的重力和其他外界力量，运动的形态则是由系统运动状态决定的。

对于相遇、急追问题，我们主要考虑的是运动的形态因素。

在求解相遇、急追问题的时候，我们通常会采用数学建模的方法，通过分析已知的物理量来推导出未知的物理量。

在对问题进行建模时，我们通常需要考虑众多因素，如速度、方向、质量等等。

万有引力与航天考点微专题6 天体运动的追及和相遇问题一知能掌握1.根据GMmr2=mrω2,可判断出谁的角速度大.2.两星追上或相距最近时,两星运行的角度之差等于2π的整数倍;相距最远时,两星运行的角度之差等于π的奇数倍.卫星与地面上物体追及(卫星在地面上物体的正上方)时,要根据地面上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断.注意：(1)轨道在同一平面内的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分,但它们与中心天体都处在同一条直线上.由于它们的轨道不是重合的,因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理,而是通过卫星运动的圆心角来衡量.若它们初始位置与轨道圆心在同一直线上,实际上内轨道上卫星所转过的圆心角与外轨道上卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻.(2)轨道不在同一平面内的两颗卫星也可能发生碰撞,但轨道高度要相同.二探索提升例4我国发射的北斗系列卫星的轨道位于赤道上方,轨道半径为r,绕行方向与地球自转方向相同.已知地球自转角速度为ω,地球半径为R,地球表面重力加速度为g.若某一时刻卫星通过赤道上某建筑物的上方,则当它再一次通过该建筑物上方时,所经历的时间为()A.√gR2r3-ω0B.2π(√rgR2-1ω0) C.2π√rgR2D.2π√gR2r3+ωA.[解析] 人造卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,设卫星的质量为m,地球质量为M,有G Mm r2=mω2r,解得ω=√GMr3,卫星再次经过某建筑物的上空,卫星比地球多转动一圈,有(ω-ω)t=2π,地球表面的重力加速度为g=GMR2,联立解得t=√gR2r3-ω0,选项A正确.变式题如图Z4-7所示,A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星,运行方向相同,A为地球同步卫星,A、B 两卫星的轨道半径的比值为k,地球自转周期为T.某时刻A、B两卫星距离达到最近,从该时刻起到A、B 间距离最远所经历的最短时间为()A .T 02(√k 3+1)B .T 0√k 3-1C .T 02(√k 3-1)D .T 0√k 3+1C.[解析] 根据公式r 3T2=C ,可得r A 3T A 2=r B3T B 2,两卫星间距最远,则正好在一条直线上,即B 比A 多转半圈,有t T B -t T A =12,A 为同步卫星,周期和地球自转周期相同,即T A=T 0,结合rA r B=k ,解得t=T 02(√k 3-1),选项C 正确.练习1：小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍．某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图1所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回．当第一次回到分离点时恰与航天站对接．登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g 0，月球半径为R ，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( A )A ．4.7πRg 0B ．3.6πRg 0C ．1.7πRg 0D ．1.4πR g 0解析 由题可知，月球半径为R ，则航天站的轨道半径为3R ，设航天站转一周的时间为T ，则有GM 月m (3R )2＝m 4π2T 2(3R )，对月球表面的物体有m 0g 0＝GM 月·m 0R 2，联立两式得T ＝63πRg 0.登月器的登月轨道是椭圆，从与航天站分离到第一次回到分离点所用时间为沿椭圆运行一周的时间T ′和在月球停留时间t 之和，若恰好与航天站运行一周所用时间相同时t 最小，则有：t min ＋T ′＝T ，由开普勒第三定律有：(3R )3T2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 23T ′2，得T ′＝42πRg 0，则t min ＝T －T ′≈4.7πRg 0，所以只有A 对． 例题1：科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t 时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R ，周期是T ，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。

天体追及相遇问题
嘿，让我们来聊聊超有趣的天体追及相遇问题呀！
比如说，两颗行星就像在浩瀚宇宙赛道上赛跑的运动员，它们啥时候能碰面呢？这就是其中一个问题呀！想象一下，就像你在操场上跑步，你和另一个人跑的速度不一样，那你们会在什么时候碰到一起呢？这是不是很神奇？
还有呀，假如有一颗小行星在绕着恒星转，另一颗星星从远方飞过来，它们会不会恰好相遇呢？这就好像你在路上走，突然看到对面有个人朝你走来，你们会不会在某个点交汇呢？这多有意思啊！
再想想，如果一个星系中有多个天体，它们之间的追及相遇情况那可就更复杂啦！不就像一场混乱但又充满惊喜的宇宙派对吗？它们之中谁会和谁先碰上呢？这难道不让你超级好奇吗？。

天体运动中的“追及”问题在匀变速直线运动的问题中，我们常会遇到追及问题，在天体运动中也有追及问题。

例如，A 、B 两物体都绕同一中心天体做匀速圆周运动，某时刻A 、B 相距最近（A 、B 在中心天体同侧共线）或相距最远（A 、B 在中心天体异侧共线），问A 、B 下一次相距最近或最远需要多长时间或至少需要多长时间等问题。

当然由于天体运动有其自身的力学规律，当天体速度发生变化时会出现变轨，因此天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及。

但处理类此类问题的基本思路与直线运动中的追及问题是类似的，直线运动追及问题中找时间关系和位移关系，天体运动追及问题中找时间关系和角度关系。

直线运动追及问题中可以转换参考系用相对速度求解，天体运动追及问题中同样可以转换参考系用相对角速度求解。

例1．对于钟表的时针和分针而言，从12：00开始经过多长时间它们再次重合？例2．如图所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做匀速圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，在某一时刻两行星相距最近，则（ BD ）A ．经过时间t= T 1+T 2，两行星再次相距最近B ．经过时间t= T 1T 2/(T 2-T 1)，两行星再次相距最近C ．经过时间(T 1+T 2)/2，两行星第1次相距最远D ．经过时间T 1T 2/2(T 2-T 1) ，两行星第1次相距最远例3．如图所示，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M>>m 1，M>>m 2），在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为r a ：r b =1：4，则它们的周期之比T a ：T b = 1：8 ，从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线有 14 次．例4．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间，( 航天飞机的高度低于同步卫星的高度)。

天体追及相遇问题公式自古以来，人类就对宇宙深深地着迷。

我们想要了解宇宙的起源，了解星球运转的方式，了解有没有其他的生命存在，等等。

为了研究宇宙，人们付出了很多努力，包括制作各种仪器观察宇宙，想出各种方法计算星球的运转速度和轨道等等。

而在这些方法中，有一个非常常见的计算问题就是天体追及相遇问题。

在本文中，我们将探讨一些有关这一问题的公式。

天体追及相遇问题指的是，当我们知道两个天体的初始位置、速度和加速度时，我们可以计算出它们会在何时何地相遇的问题。

这个问题看似简单，但是要计算出它，需要用到许多数学公式，下面我们就来详细地探讨一下。

1. 速度公式速度公式是计算天体相遇时间和位置的重要公式之一。

设一个天体的初始速度为v1，加速度为a1；另一个天体的初始速度为v2，加速度为a2。

分别用t表示它们相遇所需的时间，x表示它们相对距离的变化，则有：x = v1*t + 1/2*a1*t^2x = v2*t + 1/2*a2*t^2因为它们相遇时，它们处于相同的位置，所以可以将两个等式相等，得到：v1*t + 1/2*a1*t^2 = v2*t + 1/2*a2*t^2移项化简，得到：t = (v1-v2) / (a2-a1)将t带入其中一个式子中，可以得到它们相遇时的位置。

这个公式可以广泛应用于比如计算航空、卫星、导弹等的相遇时间和位置。

2. 相对速度公式在天体追及问题中，相对速度是非常重要的一个概念。

相对速度指的是，两个天体之间的相对速度，是一个把两个天体看作一个整体时，整体的速度与另一个天体的速度差值。

相对速度的大小可以用下面这个公式计算：v = v1 - v2其中，v1和v2分别表示两个天体的速度。

如果v是正数，表示两个天体追上了；如果v是负数，表示两个天体错过了。

3. 圆周运动公式在天体追及问题中，有时候我们需要计算天体的圆周运动速度和半径。

在这种情况下，我们可以使用圆周运动公式。

假设一个天体以半径为r的圆周运动，圆周运动的周期为t，则有：v = 2πr / t其中，v表示天体的圆周运动速度。

高中物理：天体运动中的追及相遇问题，卫星的追及和相遇问题地面上的物体常常出现追及相遇问题，关键是找出它们的位移、速度和时间等关系，运动路线应该在同一轨道上。

天体运动中也有追及相遇问题，它与地面上的追及相遇问题在思维有上相似之处，即也是找出一些物理量的关系，但它也不同之处，有其自身特点。

根据万有引力提供向心力，即，所以当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。

分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。

1、追及问题例1、如图1所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？解析：A 、B 两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，因此T 1<T 2。

可见当A 运动完一周时，B 还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A 、B 行星和恒星M 的连线再次在一条直线上，且A 、B 在同侧，从角度看，在相同时间内，A 比B 多转了2π；如果A 、B在异侧，则它们相距最远，从角度看，在相同时间内，A 比B 多转了π。

所以再次相距最近的时间t1，由；第一次相距最远的时间t 2，由。

如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么结果如何？2、相遇问题1月14日高中物理例2、设地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船由静止开始从P点沿PD方向做加速度为a的匀加速直线运动，1年后在D点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q处掠过地球上空，如图2所示（图中“S”表示太阳）。

根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。

解析：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇，因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度。

设地球的公转周期为T，飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则地球的公转半径为所以 地球与太阳之间的万有引力大小为例3、阅读下列信息，并结合该信息解题：（1）开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。

天体运动中的追及相遇问题信阳高中陈庆威在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。

比如，A、B两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻A、B相距最近，问A、B下一次相距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。

而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身特点。

根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道就会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相遇。

天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂，成为同学们学习中的难点。

而解决此类问题的关键是就要找好角度、角速度和时间等物理量的关系。

一、追及问题【例1】如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？解析：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，因此T1<T2。

可见当A运动完一周时，B还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A、B行星和恒星M的连线再次在一条直线上，且A、B在同侧，从角度上看，在相同时间内，A比B多转了2π；如果A、B在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内，A比B多转了π。

所以再次相距最近的时间t1，由；第一次相距最远的时间t2，由。

如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。

【例2】如图2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。

地球的轨道半径为R，运转周期为T。

地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。

已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。

若某时刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？解析：由题意可得行星的轨道半径θsin R r =设行星绕太阳的运行周期为T /，由开普勒大三定律有：2323T r T R '=，得：θ3sin T T =' 绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球θθπππω33sin )sin 1(222T T T -=-'=∆ 某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是刚看到；二是马上看不到,如图3所示。

天体运动中追及相遇问题、能量问题和图像问题特训目标特训内容目标1天体运动中的追及相遇问题(1T-5T)目标2天体运动中的能量问题(6T-10T)目标3天体运动中的图像问题(11T-15T)【特训典例】一、天体运动中的追及相遇问题1“冲日”是指地球运行轨道外的其他行星或小行星和太阳正好分处地球的两侧，三者几乎成一条直线。

2022年9月17日海王星冲日。

海王星公转轨道半径约为30个天文单位(1个天文单位等于地球和太阳之间的平均距离)，假设海王星和地球绕太阳做匀速圆周运动，取30=5.5()A.海王星和地球公转速度之比约为5.5:1B.海王星和地球公转周期之比约为1:165C.下一次海王星“冲日”发生时间在2023年8月2023年9月之间D.下一次海王星“冲日”发生时间在2023年9月2023年10月之间2如图所示为三颗卫星a、b、c绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动的示意图，其中b、c是地球同步卫星，a在半径为r的轨道上，此时a、b恰好相距最近，已知地球质量为M，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则()A.卫星a、c与地心的连线单位时间扫过的面积相等B.卫星c加速一段时间后就可能追上卫星bC.到卫星a和b下一次相距最近，还需经过时间2πGM-ωr3D.若已知近地卫星的周期为T，则可计算得出地球的平均密度ρ3如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb=1∶4，则下列说法中正确的有()A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶8B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶4C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D.从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次42022年6月23日10时22分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，采取一箭三星方式，成功将遥感三十五号02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。

天体运动中的追及相遇问题做了一定的角度。

根据题意，当行星处于最大视角时，地球和行星的连线与地球和太阳的连线的夹角为θ，即行星与地球的连线与地球的运动方向相同。

因此，行星的角速度比地球的角速度大，行星相对地球做了一定的角度。

设行星与地球的连线与地球的运动方向的夹角为α，则有α=θ/2.因为行星的运动速度比地球快，所以当行星再次处于最佳观察时期时，地球还没有绕完一周，即行星比地球多转了一定的角度。

设行星绕太阳的周期为T'，则有T'=T/α。

因此，下一次行星处于最佳观察时期至少需要经历的时间为T'-T，即为T(1-1/α)。

一、太阳系行星运动问题在太阳系中，行星绕太阳做椭圆形轨道运动，其运动速度和角速度随着位置的不同而不同。

根据开普勒第二定律，行星在相等时间内扫过的面积相等，因此行星的轨道速度是不断变化的。

根据开普勒第三定律，行星的公转周期与其轨道半长轴的立方成正比。

因此，我们可以通过测量行星的运动轨迹和周期来计算出太阳系中各个天体的运动参数。

在某一时刻，如果行星处于最佳观测位置，则有两种情况：一是刚刚进入最佳观测位置；二是即将离开最佳观测位置。

在这两种情况下，行星到达下一次最佳观测位置所需的时间是不同的，可以通过计算行星在轨道上的运动角度来求得。

二、相遇问题在天体运动中，相遇问题是一个重要的研究课题。

例如，当一艘飞船从地球出发，经过一段时间后到达目的地，需要计算出飞船与目的地之间的距离和所需的时间。

这类问题可以通过计算天体的运动轨迹和速度来解决。

例如，当一艘飞船从地球出发，经过一年后到达地球附近，再经过三个月到达另一个地方，我们可以通过计算地球和飞船在这段时间内的运动轨迹和速度来求得地球与太阳之间的万有引力大小。

又例如，当我们向火星发射探测器时，需要计算出探测器的轨道和所需的发射时间。

这类问题可以通过计算天体的运动轨迹和周期来解决。

例如，在某一时刻，当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某一年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60度。