硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷一.docx

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程yx y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=L .则线性方程组T A X B =的解是___________. (5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ( )(A) 10(,)dy f x y dx ⎰ (B) 10(,)dy f x y dx ⎰(C)11(,)dx f x y dy ⎰⎰(D) 10(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B)1n nn u v∞=∑收敛,则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛(C) 若正项级数1nn u∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=L ,则级数1nn v∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1()n A A A -**= (B) 1()n A A A +**= (C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m ααL 和1,,m ββL ,若存在两组不全为零的数1,,m λλL和1,,m k k L ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=L L ,则 (A) 1,,m ααL 和1,,m ββL 都线性相关 (B) 1,,m ααL 和1,,m ββL 都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性无关 (D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性相关(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( ) (A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+ (D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+ 三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-. (1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性. 四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z zp y p x x y∂∂+∂∂. 五、(本题满分6分)计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解. 九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()TAP AP 为对角矩阵. 十、(本题满分8分)设向量12,,,t αααL 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++L 线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少? 十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q . 十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)kk EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】()1ln dxx y +【解析】方法1：方程yx y =两边取对数得ln ln ln yx y y y ==,再两边求微分,方法2：把yx y =变形得ln y yx e =,然后两边求微分得由此可得 ()1.1ln dy dx x y =+(2)【答案】C【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰,两边求导数有于是有1()dx f x ⎰212==⎰ (3)【答案】0c a≥(或2ax c =),b 任意 【解析】对2y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+ 所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.=由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a≥(或2ax c =),b 任意. (4)【答案】()1000T,,,L【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0ijA a a =-≠∏.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组TA XB =有唯一解.根据克莱姆法则,对于易见 1230n D A ,D D D .=====L所以TA XB =的解为12310n x ,x x x =====L ,即()1000T,,,,L .【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组 或简记为112nij ji j a xb ,i ,,,n ===∑L其系数行列式 则方程组有唯一解其中j D 是用常数项12n b ,b ,,b L 替换D 中第j 列所成的行列式,即 (5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据因2(,0.9)X N μ:,设有n 个样本,样本均值11ni i X X n ==∑,有20.9(,)X N n μ:,将其标准化,~(0,1)X N 得：由正态分布分为点的定义21P u αα⎫⎪<=-⎬⎪⎭可确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间22x u x u αα⎛-+ ⎝,其中21,(0,1)P U u U N αα⎧⎫<=-⎨⎬⎩⎭:,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题9n =, 5X =, 因此,根据 95.0}96.11{=<-nX P μ,有1.96}0.95P <=,即 {4.412 5.588}0.95P μ<<=, 故μ的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) .方法2：由题设,95.01=-α,查得.96.12=αu20.9σ=,9n =, 5X =代入22(x u x u αα-+得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sin x r y r θθ==中是即是由221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D 的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是0y ,=上边界的方程是y =从而D的直角坐标表示是 故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为 而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形(){}0101x,y |x ,y ,≤≤≤≤所以,他们都是不正确的.故应选(D). (2)【答案】(A) 【解析】由于级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,可见级数()221nn n uv ∞=+∑收敛.由不等式及比较判别法知级数12n nn u v∞=∑收敛,从而12n nn u v∞=∑收敛.又因为()2222n n nnn n u v u v u v ,+=++即级数()21n n n u v ∞=+∑收敛,故应选(A).设()21112n n u ,v n ,,n ===L ,可知(B)不正确. 设()21112n u n ,,n n=-=L ,可知(C)不正确.设()()11112n nn u ,v n ,,nn--==-=L ,可知(D)不正确. 注：在本题中命题(D)“若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=L ,则级数1nn v∞=∑也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA A A A E **==, 现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=. 方法一：由1n A A -*=及1()AA A*-=,可得 故应选(C).方法二：由()A A A E ****=,左乘A 得1()()n AA A AA -***=,即1()()n A E A AA -**=.故应选(C). (4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,,,s γγγL 线性无关,即若11220s s x x x γγγ+++=L ,必有120,0,,0s x x x ===L .既然1,,m λλL 与1,,m k k L 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C). 一般情况下,对于不能保证必有11220,s s k k k ααα+++=L 及110,s s l l ββ++=L 故(A)不正确.由已知条件,有又1,,m λλL 与1,,m k k L 不全为零,故1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性相关. 故选(D).(5)【答案】(B) 【解析】依题意因()0P B >,故有()()1212)(P A B A B P A B P A B +=+.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A 应满足12()0,()0P A P A >>,且12,A A 是对立事件.【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =. 三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时, 22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x ---''+-+-++'== 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数. 四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-.于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦. 五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为 所以20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭故原式ln 2=. 方法2:220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e -+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰ 六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[ ,]a b 上连续,则在[ ,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立： 这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1)在闭区间[ ,]a b 上连续； (2)在开区间()a,b 内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在()a,b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=. 七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则令0,R '=得 00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少.(2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为 八、(本题满分6分) 【解析】令y z x =,则dy dz z x dx dx=+.当0x >时,原方程化为dzz xz dx +=-,dx x =-,其通解为1ln(ln z x C =-+ 或C z x=. 代回原变量,得通解(0)y C x =>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下: 令t x =-,于是0t >,而且从而有通解(0)y C t +=>,即(0)y C x =<.综合得,方程的通解为y C =.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yz x=后得 从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记. 九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故 所以2y =.(2)由于TA A =,要2()()TTAP AP P A P ==Λ,而是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形Ty y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换 有 222221234955T x A x y y y y =+++.所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有 211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为其特征多项式2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即和24()0E A x λ-=,即分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)Tα=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中： 取正交矩阵则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k L 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++=L (1)则因12,,,t αααL 是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α==L ,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++=L . (2)由于0A β≠,故120t k k k k ++++=L .对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=L L . (3) 把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=L .由于12,,,t αααL 是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k ===L . 代入(2)式得:0k =.因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++L 线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有 因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=L L由于12,,,t αααL 是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=L ,又β必不能由12,,,t αααL 线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+L . 所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+L 即向量组12,,,,t ββαβαβα+++L 线性无关. 十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B . 由二项分布的概率计算公式,有设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且 由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)kkn kn P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =L .2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍【相关知识点】古典型概率计算公式：().i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数十三、(本题满分6分)【解析】依题意,12,,,n X X X L 独立同分布,可见22212,,,n X X X L 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有因此,根据中心极限定理的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,,,n X X X L 独立同分布,方差存在,记μ与2σ()0σ<<+∞分别是它们相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有 其中()x Φ是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D X E X E X =-.。

2022年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）模拟试卷一解答一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）答案：选（D）.解由()0lim[1]0f x x e →-=，有0lim ()0(0)x f x f →==，故22()000ln(1)lim lim lim 1()(0)1()f x x x x x x x f x f e f x x→→→+===--，可得0()(0)(0)lim 0x f x f f x→-'==.又因20lim 10()x x f x →=>，由保号性知,在 (0)U内，()0(0)f x f >=，从而()f x 在0x =处取极小值(0)0f =.选（D）.（2）答案:选(D).解由题设极限可知(0,0)0,(0,0)2,(0,0)1x y f f f ''===，且函数在(0,0)点可微.()22221ln(1(1cos ,1))sin sin 0lim 1(1cos ,1)lim x f x e x xxx x f x e e+--→→+--=，222200ln(1(1cos ,1))(1cos ,1)limlimsin x x x x f x e f x e x x →→+----=0x →=2222001(0,0)(0,0)2lim lim 112,x y x x f x f x x x→→'⋅'⋅=+=+=所以原极限，故选(D).（3）答案:选（B）.解224222004cos sin cos sin cos sin 111x x x x x x I J dx dx dx x x x ππππ----==++++⎰⎰⎰.对后一个积分，令2x t π=-，得024202244cos sin sin cos sin cos (11()1()22x x t t x x dx dt dx x t x ππππππ---=-=++-+-⎰⎰⎰），故42211(cos sin )[]011()2I J x x dx xx ππ-=-->++-⎰，即I J >.故选（B）.（4）答案:选(C).解原极限211221lim(n nn i j i j f n n n n →∞===+⋅∑∑，令2ix n=，当:1()i n n →→∞时，:02x →，令jy n=，当:12()j n n →→∞时，:02y →，所以区域为{(,)|02,02}D x y x y =≤≤≤≤，因此原极限22()dx f x y dy =+⎰⎰.故选(C).（5）答案：选（Ｄ）.解法1因为220()(())()A bA cE A kE A k E k E b bk c ++=⇒-+=-+++，若矩阵A 对任何实数k ，A kE -可逆，需20k bk c ≠++.欲对任何实数k ,20k bk c ≠++,即方程20k bk c =++无实数解,故,b c 需满足204b c <-.所以（Ｄ）正确.解法2A kE -可逆k ⇔不是A 的特征值20k bk c ⇔++=无实数解20.4⇔<-b c 故选（Ｄ）.（6）答案：选（B）.解由题设10,0A A x β==知有非零解，故()2r A ≤，又()()r AB r A <，从而()1r AB ≤；由20,A β≠2β不是方程组0Ax =的解，即AB O ≠，故()1r AB ≥.综上得()1r AB =，故选（B ）.（7）答案：选（B ）.解由()r A m =知A 一定可以只经过一系列的初等列变换化为(),,m E O ①不正确；由()r A m =知(,)r A b m =，则Ax b =有解，但无法判定是无穷多解还是有唯一解，故②不正确；m 阶方阵B 满足BA O =⇒()()r B r A m +≤，且知()r A m =()0r B B O ⇒=⇔=，故③正确；TAA 为m 阶方阵，又()()T r A r A m ==，则知0T A x = 仅有零解，即对0,()()0T T T T T T x x AA x A x A x AA ∀≠=>⇒为正定矩阵.④正确．选（B ）.（8）答案：选（C ）.解设A 表示6次射击恰好命中4次；B 表示4次射击恰好命中3次；2313244262121()()()()()23333()21()5()()33C C P AB P B A P A C ===，故选（C ）.（9）答案:选（C）.解22222222ˆˆˆ()()[()]E D E σσσσσσ-=-+-2222ˆˆ(),D E σσσ=+-222211ˆˆn n S E n nσσσ--=⇒=,()()22422422211222ˆ()1n n n D D S n n n n σσσ---==⋅=-故22244422222121ˆ()n n E n n nσσσσσ---=+=22244422222121ˆ()n n E n n nσσσσσ---=+=故选（C）.（10）答案：选（A ）.解由0{0}1{1}2{2}EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅=2{1}2(1)2(1)P X θθ==+-=-得{1}2(1)P X θθ==-,故2{0}.P X θ==22244()[2(1)](1)4(1)L θθθθθθθ=⋅--=-，ln ()ln 44ln 4ln(1)L θθθ=++-ln ()4401d L d θθθθ=-=-解得1ˆ2θ=，故选（A ）.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸指定位置上．(11)答案：填20212-．解21cos 2121()(12)cos (12)cos 2cos 2222x x f x x x x x x x ++=+=+⋅=++,()(cos 2)=2cos(2)2n n n x x π+,于是(2022)2021(0)2f =-．(12)答案：填()22112ln 44f x x x e =--．解设1()x f e dx A =⎰，由题设，有120()2()x x x f e xe f e dx =-⎰.两边积分，得1202x A xe dx A =-⎰,则11221222120000111112[][][1]22224xx x x A xe dx xe e dx e e e ==-=-=+⎰⎰.故()22112ln 44f x x x e =--.（13）答案：填32sin 44(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰.(14)答案：填2k <.解由于x →+∞时，333113(1)x x x e ee e e x +-=- ，原积分与331111kkx dx dx x x +∞+∞-⋅=⎰⎰的敛散性相同，312k k ⇒->⇒<.（15）答案：填2-..解由合同矩阵所对应的二次型具有相同的规范形，于是B 的正、负惯性指数均为1，()112r B =+=.则2(1)(2)01B a a a =--+=⇒=或2a =-.若1a =，则()1r B =不合题意；若2a =-，由0B E B λ-=⇒的特征值为0,3,3-，此时B 的正、负惯性指数均为12a ⇒=-.（16）答案：填23e .解由题意，()11(1)10,f ae a b e--'=-+=故得0b =又00()1,x f x dx axe dx a +∞+∞-===⎰⎰20()2x EX x f x dx x e dx +∞+∞-=⋅==⎰⎰.223{}{2}.x P X EX P X xe dx e+∞-≥=≥==⎰三、解答题:17～22小题，共70分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)解由题意,点P 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-,令0Y =,解得()()f x u x f x =-'.2000()()lim lim[1]1lim ()()→→→=-=-''x x x f x u f x x f x x xf x x其中2000()()()(0)1limlim lim (0),222→→→'''-''===x x x f x f x f x f f x x x 0()lim (0)x f x f x →'''=,故01lim .2→=x u x 220022(0)(0)(0)()()2!lim lim (0)()(0)(0)()2!x x f f f u u o u f u f f x f f x x o x →→'''+++='''+++2220022(0)()12lim lim().(0)4()2→→''+===''+x x f u o u u f x x o x （18）解由对称性可知，区域D 关于x3y为奇函数，所以30D=.再由对称性可知，123212022D I d πθ==⎰⎰⎰2232012(sin cos sin cos )4d πθθθθθ=⋅-⎰332220011sin (cos (1cos ))23d ππθθθθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰1124212335310⎡⎤⎛⎫=--⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.或123212022D I d rdrπθ==⎰⎰⎰2245222000111112(1cos )sin cos sin sin sin .422510πππθθθθθθθ=⋅-==⋅=⎰⎰d d （19）解(Ⅰ)因为00a =，11a =，设1k a ≤，则1112133k k k a a a +-=+≤，由归纳法可知1n a ≤.又因为1!!n n n a x x n n ≤，且级数01!n n x n ∞=∑的收敛域为(),-∞+∞，由比较判别法知，0!n n n a x n ∞=∑的收敛域也为(),-∞+∞.(Ⅱ)0()!n n n a s x x n ∞==∑，所以1110()(1)!!n n n n n n a a s x x x n n ∞∞-+=='==-∑∑，2220().(2)!!n n n n n n a a s x x x n n ∞∞-+==''==-∑∑因为211233n n n a a a ++=+，故21100002112()2()()!3!3!!33n n n n n n n n n n n n n a a a a a s x x x x x s x s x n n n n ∞∞∞∞+++====+⎛⎫'''===+=+ ⎪⋅⎝⎭∑∑∑∑，因此和函数满足的微分方程为12()()()033s x s x s x '''--=.(Ⅲ)设特征方程为212033r r --=，则方程的根分别为1221,3r r ==-，故二阶微分方程的通解为2312()x xs x c e c e-=+，代入01(0)0,(0)1s a s a '====，可得135c =，235c =-，从而2333()55x x s x e e-=-.(20)解(I)(,)P x y 点的切线方程为()(,0)yY y y X x T x y '-=-⇒-'.由222222(()y y xyPT OT y x y y y x y '=⇒+=-⇒=''-，即221()y x y y x '=-.令y u x=,则有222221211(1)du u u u u x du dx dx u u u x +-+⋅=⇒=-+⎰⎰22221lnln ln 11u u x C Cx x y y u u C⇒=+⇒=⇒+=++.把(1,1)代入得12C =，故曲线方程为222x y y +=.（II）221111(1(1V dx dxππ--=-⎰⎰1214=πππ-==⎰⎰（21）解（Ⅰ）由于(2)0A E x -=的基础解系中含3个线性无关的解向量，则12λ=至少是A 的3重特征值，再由41()i i tr A λ==∑得A 的另一个特征值为24λ=-；则A 有4个线性无关的特征向量，故A 可对角化，即A 可相似于一个对角阵.（Ⅱ）由于12λ=是A 的3重特征值，故有212324313234414243(2)102222,22r A E r a a a a a a a a a -==-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪- ⎪-⎝⎭进而解得2131412434424323320,2,2a a a a a a a a a =========-，于是2222002202020220A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭.注意到1234(,,,)T T f x x x x x Ax x Bx ==，其中21111022=120221220T A A B -⎛⎫⎪-+ ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭，B的特征值为123,42,1λλλ===-±当122a =时，则1234(,,,)f x x x x在正交变换下的标准形为2222123422(1(1f y y y y =++-++--.（22）解(Ⅰ){1,}=1,arctan }44Y P U V P X ππ≤≤≤≤1400211==2r d e rdr eπθπ--⎰⎰．(Ⅱ)记(,)U V 的分布函数为,(,)U V F u v ，则,(,){,}U V F u v P U u V v =≤≤．①当0u <或0v <时，,(,)0U V F u v =；②当0,02u v π≥≤≤时，,(,){,}=,arctan}U V Y F u v P U u V v P u v X=≤≤≤22==(1(1))v ur u vd e rdr u e θππ---+⎰⎰；③当0,2u v π≥≥时，,(,){,}=,arctan}2U V Y F u v P U u V v P u X π=≤≤≤≤202==1(1)uru d e rdr u e πθπ---+⎰⎰进而得2,,2(,),0,0,(,)20,.uU V U V F u v ue u v f u v u vππ-⎧∂≥≤≤⎪==⎨∂∂⎪⎩其它(Ⅲ)U 和V 的边缘密度分别为20,2,0,,0,()(,)0,,0,uu U U V ue u ue dv u f u f u v dv ππ--+∞-∞⎧⎧≥≥⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它+0,22,0,,0,()(,)220,0,,uV U V ue du v v f v f u v du ππππ∞-+∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它由于,(,)()()U V U V f u v f u f v =，所以U 和V 相互独立．。

年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共小题，每小题分，满分分. 把答案填在题中横线上）（）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在处连续，则λ的取值范围是. （）已知曲线b x a x y +-=233与轴相切，则2b 可以通过表示为=2b .（）设>，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(.（）设维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；为阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中的逆矩阵为，则.（）设随机变量 和的相关系数为, 若4.0-=X Z ，则与的相关系数为.（）设总体服从参数为的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（）设()为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=() 在处左极限不存在. () 有跳跃间断点.() 在处右极限不存在. () 有可去间断点. [ ] （）设可微函数()在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是() ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.() ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. () ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是() 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.() 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.() 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.() 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若的伴随矩阵的秩为，则必有 () 或. () 或≠.() ≠且. () ≠且≠. [ ] （）设s ααα,,,21 均为维向量，下列结论不正确的是() 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.() 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα() s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为.() s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A {掷第一次出现正面}，2A {掷第二次出现正面}，3A {正、反面各出现一次}，4A {正面出现两次}，则事件() 321,,A A A 相互独立. () 432,,A A A 相互独立.() 321,,A A A 两两独立. () 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义()使得()在]1,21[上连续.四 、（本题满分分）设()具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y gx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()及其极值.七、（本题满分分）设()()(), 其中函数()()在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(), .2)()(x e x g x f =+ (1) 求()所满足的一阶微分方程； (2) 求出()的表达式. 八、（本题满分分）设函数()在[，]上连续，在（，）内可导，且()()(), ().试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf 九、（本题满分分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和满足何种关系时，() 方程组仅有零解；() 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵的特征值之和为，特征值之积为. (1) 求的值；(2) 利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分分） 设随机变量的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()是的分布函数. 求随机变量()的分布函数.十二、（本题满分分）设随机变量与独立，其中的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而的概率密度为()，求随机变量的概率密度().年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分. 把答案填在题中横线上）（）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 可直接按公式求导，当时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在处连续.（）已知曲线b x a x y +-=233与轴相切，则2b 可以通过表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点坐标为，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （）设>，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()( 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=Ddxdyx y g x f I )()(dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102.])1[(212112adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（）设维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；为阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中的逆矩阵为，则 .【分析】 这里T αα为阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-= T T T T a a E αααααααα⋅-+-11T T T T a a E αααααααα)(11-+-T T T a a E αααααα21-+-E aa E T =+--+αα)121(,于是有 0121=+--aa ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于< ,故.（）设随机变量 和的相关系数为, 若4.0-=X Z ，则与的相关系数为 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y )(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- () – ()()(), 且.DX DZ =于是有 ()DZDY Z Y ),cov(.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+（）设总体服从参数为的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于 21 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】 这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +=21)21(412=+，因此根据大数定律有 ∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（）设()为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=() 在处左极限不存在. () 有跳跃间断点.() 在处右极限不存在. () 有可去间断点. [ ] 【分析】 由题设，可推出() , 再利用在点处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然为()的间断点，且由()为不恒等于零的奇函数知，(). 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故为可去间断点. 【评注】 本题也可用反例排除，例如(), 则此时(),0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(),(),() 三项，故应选().【评注】 若()在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.（）设可微函数()在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是() ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. () ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. () ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数()在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选().【评注】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在()处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(),(),(), 故正确选项为().（）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是() 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.() 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.() 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.() 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选().（）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若的伴随矩阵的秩为，则必有 () 或. () 或≠.() ≠且. () ≠且≠. [ ]【分析】 的伴随矩阵的秩为, 说明的秩为，由此可确定应满足的条件. 【详解】 根据与其伴随矩阵*秩之间的关系知，秩()，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a b bb a ，即有02=+b a 或.但当时，显然秩()2≠, 故必有 ≠且. 应选().【评注】 （)2≥阶矩阵与其伴随矩阵*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r（）设s ααα,,,21 均为维向量，下列结论不正确的是() 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.() 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα() s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为.() s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（）成立.(): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα ()不成立.() s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为，则s ααα,,,21 线性无关，因此()成立.() s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见()也成立.综上所述，应选().【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A {掷第一次出现正面}，2A {掷第二次出现正面}，3A {正、反面各出现一次}，4A {正面出现两次}，则事件() 321,,A A A 相互独立. () 432,,A A A 相互独立.() 321,,A A A 两两独立. () 432,,A A A 两两独立. [ ]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选().【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三 、（本题满分分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义()使得()在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义()为此极限值即可. 【详解】 因为)(lim 1x f x -→])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππxx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→.1π由于()在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使()在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化.四 、（本题满分分）设()具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， .vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ .22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、（本题满分分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则t t de e A --⎰-=int 0π]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t⎰--πcos t tde]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ.1A e -+-π 因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数()及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当时和为. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n nxxx x f 上式两边从到积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰ 由(), 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点. 由于,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ， 可见()在处取得极大值，且极大值为().【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分分）设()()(), 其中函数()()在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(), .2)()(x e x g x f =+(3) 求()所满足的一阶微分方程； (4) 求出()的表达式.【分析】 ()所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对()求导，并将其余部分转化为用()表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 () 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=')()(22x f x g +)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ (2)x e -2F(), 可见()所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'() ]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-]4[42C dx e e x x +⎰-.22x x Ce e -+ 将()()()代入上式，得 . 于是.)(22x x e e x F --=【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分分）设函数()在[，]上连续，在（，）内可导，且()()(), ().试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf 【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点)3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[]上应用罗尔定理即可. 条件()()()等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为介于()的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为()在[，]上连续，所以()在[，]上连续，且在[，]上必有最大值和最小值，于是 M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为()(), 且()在[]上连续，在()内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和满足何种关系时，() 方程组仅有零解；() 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba A n nn n ++++=321321321321).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩()，方程组仅有零解.(2) 当 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a)0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第行的倍加到其余各行，再从第行到第行同乘以∑=-ni ia11倍）→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（ 将第行n a -倍到第行的2a -倍加到第行，再将第行移到最后一行）→ .0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T =α【评注】 本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为(存在阶子式不为零)，且显然T )1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵的特征值之和为，特征值之积为. (3) 求的值；(4) 利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为的主对角线上元素之和，特征值之积为的行列式，由此可求出 的值；进一步求出的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （）二次型的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 .() 由矩阵的特征多项式)3()2(220202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则为正交矩阵. 在正交变换下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】 本题求，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型的矩阵对应特征多项式为)].2()2()[2(220022b a a bb aA E +----=+----=-λλλλλλλ设的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得.十一、（本题满分分） 设随机变量的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()是的分布函数. 求随机变量()的分布函数.【分析】 先求出分布函数() 的具体形式，从而可确定() ,然后按定义求 的分布函数即可.注意应先确定()的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对分段讨论.【详解】 易见，当<时，(); 当> 时，(). 对于]8,1[∈x ，有 .131)(3132-==⎰x dt t x F x设()是随机变量()的分布函数. 显然，当0<y 时，()；当1≥y 时，(). 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= })1({}1{33+≤=≤-y X P y X P .])1[(3y y F =+于是，()的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若【评注】 事实上，本题为任意连续型随机变量均可，此时()仍服从均匀分布: 当<时，();当 1≥y 时，();当 1<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= )}({1y F X P -≤ .))((1y y F F =- 十二、（本题满分分）设随机变量与独立，其中的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而的概率密度为()，求随机变量的概率密度().【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设()是的分布函数，则由全概率公式，知的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+=}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P }22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于和独立，可见() }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P).2(7.0)1(3.0-+-u F u F 由此,得的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g ).2(7.0)1(3.0-+-u f u f【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷一考生注意事项1．答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号．2．答案必须书写在答题纸指定位置的边框区域内，写在其他地方无效．3．填(书)写必须使用蓝(黑)色字迹钢笔，圆珠笔或签字笔．4．考试结束。

将答题纸和试题一并装入试题袋中交回．一、选择题(1～8小题，每小题4分。

共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上)(1) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷一考生注意事项1．答题前。

考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。

2．答案必须书写在答题纸指定位置的边框区域内，写在其他地方无效．3．填(书)写必须使用蓝(黑)色字迹钢笔。

圆珠笔或签字笔．4．考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回．一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中。

只有一个选项符合题目要求．请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上)(1)数a，b的取值为(A)a<0，b<0．(B)a≥0，b<0．(C)a<0，b>0．(D)a≥0，b>0．(3)已知f(x)的导函数的图形如下图所示，记I1=f(1)-f(o)，I2=f(2)-f(1)，则必有(A)f(1)>f(2)，I1>I2．(B)f(1)<f(2)，I1>I2．(C)f(1)>f(2)，I1<I2．(D)f(1)<f(2)，I1<I2．(4)设某商品的需求函数为Q=80-2p，其中Q，P分别表示需要量和价格，若该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A)10．(B)20．(C)30．(D)40．(5)设A是m×n矩阵，B是m×s矩阵，若矩阵方程AX=B有解，则必有(A)矩阵A的列向量组可由矩阵B的列向量组线性表示．(B)矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示．(C)矩阵A的行向量组可由矩阵B的行向量组线性表示．(D)矩阵B的行向量组可由矩阵A的行向量组线性表示．(6)矩阵是(A)(B)(C)(D)(7)(A)a=b．(B)a=2b．(C)2a=b．(D)a=4b．(8)(A)一1．(B)0．(C)(D)二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上)(9)(10)三、解答题(15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(15)(本题满分l0分)(16)(本题满分ll分)(17)(本题满分ll分)已知某商品的需求量Q和供给量s都是价格P的函数：(1)价格函数P(t)；(18)(本题满分l0分)(19)(本题满分l0分)(20)(本题满分l0分)(21)(本题满分ll分)(I)求a，b的值；(22)(本题满分ll分)(I)求常数k；(IV)求z=y—X的概率密度．(23)(本题满分l0分)某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以x表示命中时已射击的次数.假设他共进行了10轮这样的射击，各轮射击的次数分别为1，2，3，4,4，5，3，3，2，3，试求此人命中率p的矩估计和最大似然估计．2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷一解析一、选择题(1)应选(A)．(2)应选(D)．(3)应选(A)．(4)应选(B)．(5)应选(B)．分析本题考查向量组间的线性表示问题，这需要由条件建立相应的线性表示式——将矩阵A，B按列分块，再由矩阵乘法即可看出．(6)应选(C)．分析本题求A的相似矩阵．首先要清楚二次型的矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵必可相似对角化，且与其特征值为主对角线上元素的对角矩阵相似；另外要清楚可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数(重根计重数)，那么问题便转化为求矩阵A的特征值上来了．这是求抽象矩阵的特征值问题——见到咒阶矩阵A的多项式方程f(A)一O，就知A的特征方程为f(λ)=0(详见《考研数学复习教程》)．(7)应选(B)．分析本题考查已知正态分布求概率问题——见到已知正态分布求概率问题，就要想到以下三点(详见《考研数学复习教程》)：(8)应选(B)．分析本题考查求统计量的数字特征问题，用“运算性质法”及“已知分布法”(详见《考研数学复习教程》)求解即可．二、填空题(9)(10)(12)(13)应填-1．(14)三、解答题(15)分析(16)分析(17)分析本题主要考查微分方程在经济学中的应用．将需求函数Q(p)与供给函数S(p)代人微分方程中，解之，再求极限即可．(18)分析本题考查二重积分的计算问题，先利用对称性化简，然后在直角坐标系下化为累次积分计算即可．(19)分析本题主要考查求函数的幂级数展开式问题．利用间接法解之，即利用逐项求导、积分以及变量代换等恒等变形手段将函数f(x)转化为展开式已知的函数上来，即可求得f(x)的幂级数展开式．(20)分析本题考查两个向量组的等价性问题，即考查这两个向量组能否互相线性表示，为此构造非齐次线性方程组(详细解读请参阅《考研数学复习教程》)(21)分析本题考查矩阵的特征值、特征向量及相似对角化问题．首先由所给条件建 立参数a ，b 满足的两个方程求出a ，b ，然后按矩阵对角化的程序化的方法步骤(详见《考研数学复习教程》)求解即可．但此处用二次型处理较为简单．(22)分析(23)分析本题考查求离散型总体中参数的点估计问题．首先要写出X的分布律，然后按矩估计——“求两矩作方程，解方程得估计”；最大似然估计——“造似然求导数，找驻点得估计”的方法步骤逐一求解即可．解由题设条件可得X的分布律为。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷三考生注意事项1．答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号．2．答案必须书写在答题纸指定位置的边框区域内，写在其他地方无效．3．填(书)写必须使用蓝(黑)色字迹钢笔。

圆珠笔或签字笔．4．考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回．一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上)(1)(A)1． (B)2． (C)3． (D)4．二、填空题(9～14小题。

每小题4分。

共24分，请将答案写在答题纸指定位置上)(9)设一本书各页的印刷错误的个数X服从泊松分布．已知该书中有一个和两个印刷错误的页数相同，现任意随机抽查3页，则此3页中都没有印刷错误的概率为p=——·三、解答题(15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤)(17)(本题满分l0分)(19)(本题满分l0分)(20)(本题满分l0分)(21)(本题满分ll分)(22)(本题满分ll分)(23)(本题满分ll分)2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷三解析一、选择题(1)应选(A)．(2)应选(C)．分析本题考查二元函数在某点处偏导数的存在性问题．由题目特点，要利用偏导数定(4)应选(B)．(6)应选(A)．分析本题考查方阵的相似对角化问题．要先根据题设条件求出参数a ，b 的值，进而求分析本题考查方差的运算性质，利用方差的相应运算性质处理题设等式条件可得．注题中的X和y相互独立的条件不可缺少．二、填空题(9)(10)分析本题实质上考查求二元方程确定的一元隐函数的导数问题，选用“求导法”、“微分法”、“公式法”(详见《考研数学复习教程》)中的某方法求解即可．解方程两边对2求导，得(13)应填2．(14)分析本题考查已知泊松分布求概率问题．要由条件先求出泊松分布的参数．三、解答题(15)分析(16)分析本题考查方程实根问题——见到方程实根或两曲线交点问题，就要先找函数再定区间，然后用零点定理．若还要研究个数，则必用函数的单调性以及极(最)值处理(详见《考研数学复习教程》)．(17)分析本题考查求二元抽象复合函数的偏导数问题，利用复合函数的求导法则解之即可．(18)分析本题考查二重积分的计算问题．要先划分区域D，处理掉被积函数中的最小函数以及绝对值函数，再化为累次积分计算．(19)分析本题主要考查幂级数的运算性质．将幂级数代入题设条件中的微分方程，化简整理后可得．解 (I)因幂级数在(-∞，+∞)内收敛，故其和函数y(x)在(-∞，+∞)内任意阶可导，故有(20)分析本题考杏两个齐次线性方程组解的关系问题．由于方程组(I)容易求解，(21)分析本题考查求抽象矩阵的特征值及其相似对角化问题——见到一组向量的等式，就要想到可将其合并成一个矩阵的等式，有了此矩阵等式，问题便迎刃而解．本题考查一维连续型随机变量的有关问题．对于求概率密度中的参数．由(23)分析本题主要考查二维离散型随机变量的有关问题，其关键是求出u与V的联合分布律——见到求分布律问题，就想“三大纪律”一一定取值，算概率，验证l，其中的求概率是已知二维均匀分布求概率，可利用二维几何概型求解，即只要求得相应的面积比(所求随机事件的面积与样本空问的面积之比)即可．(III)。

全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试卷（模拟考试）身份证号 姓名 电话 成绩数学三答题号及分值：(4+2+2，4+1+1，5+2+2)1-8题共32分9-14共24分 15 10分1610分1710分1810分1910分20 11分2111分2211分2311分成绩一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．函数∫++=xdt t t x f 02)1ln()(为（）。

(A)偶函数,且在上为单调减。

(B)偶函数，且在),0(+∞),0(+∞上为单调增。

(C)奇函数，且在上为单调减。

(D)奇函数，且在),0(+∞),0(+∞上为单调增。

【解】 答案：（B）。

（函数奇偶性，定积分的换元积分公式） 因为对任意的),(+∞−∞∈x ，∫++=xdt t t x f 02)1ln()(都存在，且∫∫−−++−=++=−−xxdu u u dt t t x f 0202))()(1ln()1ln()()()1ln(11ln202x f du u u du u u xx=++=++−=∫∫。

所以∫++=xdt t t x f 02)1ln()(是偶函数，且在),0(+∞上0)1ln()(2>++=′x x x f 。

2．设在的某邻域内有二阶连续导数，且满足)(x f 0=x 1)1ln()(lim 30=+→x x f x , 则（ ）。

(A),,在0)0(=′f 0)0(≠′′f )(x f 0=x 处有极值(B),在处有极值0)0()0(=′′=′f f )(x f 0=x (C), 在处取得拐点0)0()0(=′′=′f f 0=x (D), 在处取得拐点0)0(,0)0(=′′≠′f f 0=x 【解】13)(lim )(lim )1ln()(lim203030=′==+→→→x x f x x f x x f x x x ，0)0(=′f ，)(x f ′在0=x 的两侧不变号，因此不为极值点。

年研究生入学考试数学三模拟试卷参考答案一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分. 把答案填在题中横线上）() 设函数()满足x x f +='1)(ln ，(). 则220cos ln )(lim 2xdt t x f x x ⎰-→ .[解] 应填 –.由x x f +='1)(ln 2)0(1)(='⇒+='⇒f e x f x，于是22cos ln )(lim2x dt t x f x x ⎰-→1cos )(lim202-⎰→x duu f x x 4021)(lim2x duu f x x -⎰→.2)0(22)(lim 320-='-=-⋅→f xxx f x () 设),(y x ϕ连续，若),(),(y x y x y x f ϕ-=在点()处关于的偏导数均存在，则),(y x ϕ应满足.[解] 应填 .000=），（ϕ由题设 )0,()0,(x x x f ϕ=在处关于的导数存在，得.000=），（ϕ () 已知1)(21)(1+=⎰x f dt tx f ，且()，则(). [解] 应填 .由 1)(21)(10+=⎰x f dt tx f ⎰⎰+=⇒+=⇒x x x x xf du u f x f du u f x 00)(21)(1)(21)(1,有 1)(21)(21)(+'+=x f x x f x f ，即 2)()(-=-'x f x f x ，解此微分方程，得 (), 由(), 知, 故 ().() 二次型f x x x x ax x x x x x ax x (,,)123122232122313222=+++--的正负惯性指数都是，则 .[解] 应填A a a a =----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥111111，由于()⇒=--+=A a a ()()1202若, 则(),不合题意； 若λλλλλλλE A -=----+--=-+=⇒112121211330()().330321-===λλλ，， 符合题意，故.() 设独立，(), ()，则)(B A B A P . [解] 应填.85 )(B A B A P )())((1)(1B A P B A AB P B A AB P -=-.85)()(1=-B A P AB P() 设X 和2S 为总体()的样本的样本均值和样本方差，若2kS X -为2mp 的无偏估计，则常数 . [解] 应填 .由题设，)1(,2p mp ES mp X E -==，于是22)1()(mp p kmp mp kS X E =--=-， 知 .二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）() 设 .0,0,0,sin 1,0,1sin )1ln(1)(0232>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎰x x x dt t x x x x x f x 则()() 极限不存在. () 极限存在但不连续.() 连续但不可导. () 可导. [ ] [解] 应选.因为 )0(0)(lim ),0(0)(lim 0f x f f x f x x ====+-→→，所以()在处连续.而 )0(-'f 不存在，故应选().() 设函数 ()在(-∞ , ∞)内连续，⎰--=xdt t x f x t x F 0)()2()(. 如果 ()是单调增加的偶函数，则()是 () 单调增加 的偶函数. () 单调增加 的奇函数.() 单调减少 的偶函数.() 单调减少 的奇函数. [ ][解] 应选.令 - ，() ⎰⎰⎰-=-xxxdu u uf du u f x du u f u x 0)(2)()()2(，所以，⎰xdu u f 0)(为奇函数，⎰x du u uf 0)(为偶函数，即()为偶函数.又0)]()([)()()(0<-=-='⎰⎰xxdu x f u f x xf du u f x F ，即()单调减少. 因此，选().() 设和为常数，且b a dt e e xt x x =+⎰-+∞→][lim 02，则() ， () ， () 1,2-=-=b a π() 0,2=-=b a π[ ][解] 应选 由于⎰⎰-=-=-=∞+--+∞→xt t x dt edt ea 02lim22π，021lim 21lim][lim 02=-=-⋅=+=+∞→--+∞→-+∞→⎰xe xe a dt e e b x x x x xt xx 故应选().() 设 ()连续可导，222:r y x D ≤+，则dxdy y x f r Dr ⎰⎰++→)(1lim 222等于() )0(f π () )0(f ' () π() () )0(f 'π [ ][解] 应选.dxdy yxf rDr ⎰⎰++→)(1lim 2220).0(2)(lim 2)(lim2022020f rrr f r d f d r rr ππρρρθπ==++→→⎰⎰故应选().() 设正项级数∑∞=1n n u 的部分和为n S ，又nn S v 1=，已知级数∑∞=1n n v 收敛，则()∑∞=1n nu收敛 ()∑∞=1n nu发散()∑∞=-11n nnu ）（条件收敛 ())11∑∞=+-n n n u u （收敛 [ ][解] 应选.由收敛的必要性知，0lim =∞→n n v ，于是 ∞=∞→n n S lim ，故应选().() 设为n m ⨯阶矩阵，考虑以下命题：①只有零解；② 有唯一解；③的行向量组线性无关；④的列向量组线性无关. 则有() ①⇒②⇒④ . （） ②⇒①⇒④.() ④⇒①⇒③. () ③⇒②⇒①. [ ] [解] 应选.有唯一解，知n b A r A r ==)()( ，于是只有零解，进而可推知的列向量组线性无关，故应选().() 设为阶矩阵，考虑以下命题：）与TA 有相同的特征值与特征向量；）若, 则有相同的特征值与特征向量；）若有相同的特征值，则一定相似于同一个对角矩阵；）若有相同的特征值，则()(). 成立的命题有() 个 () 个. () 个. () 个. [ ] [解] 应选.与TA 有相同的特征值但特征向量不相同；, 则有相同的特征值但同样特征向量不一定相同；有相同的特征值，但不一定可对角化，从而不一定相似于同一个对角矩阵；有相同的特征值，推不出()()，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000,0010B A . 故应选(). () 设()为二维随机变量，则与独立的充要条件为() Y X 与独立. () 22Y X 与独立.() 33Y X 与独立. () 44Y X 与独立. [ ] [解] 应选.若 独立，则Y X 与、22Y X 与、33Y X 与、44Y X 与均独立；但反过来，只有33Y X 与独立时，才可推导出与独立，即 ),(),(3333y Y x X P y Y x X P ≤≤=≤≤)()(3333y Y P x X P ≤≤ )()(y Y P x X P ≤≤ 故应选().三、解答题（本题共小题，满分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）() (本题满分分)设())](ln )(ln [sin lim 2x g tx g t x t t -+∞→π, 其中()具有二阶导数，且x x f ln )(π='，0)0()0(='=g g ，求).(x g[解] 令xxxe x g e x x g x g =''⇒='+''⇒))(()()( 1)(C e xe dx xe x g e x x x x +-=='⇒⎰.1)(1xe C x x g -+-='⇒ 11=C .121)(2+--=⇒-x e x x x g() (本题满分分)设函数()在闭区间[，]上连续，在开区间（，）内大于零，并满足223)()(x a x f x f x +='(为常数)，又曲线()与所围的图形的面积值为，求函数()，并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.[解] 直接解微分方程，或.23)(23)()(])([22Cx x a x f a x x f x f x x x f +=⇒=-'=' 由()的连续性知(). 又由已知条件.422]221[)23(1023102a C C a x C ax dx Cx ax -=⇒+=+=+⎰ 因此，所求函数为 .)4(23)(2x a ax x f -+=旋转体的体积为 ππ)31631301()]([)(2102++==⎰a a dx x f a V ，令.50)31151()(-=⇒=+='a a a V π 又0151)(>=''πa V ，故当时，旋转体体积最小.() (本题满分分) 设()在区间[]上可导，且⎰badx x f )(a b -，0])(][)([>--b b f a a f .证明：存在),(b a ∈ξ，使.1)(='ξf[证] 令⎰==⇒-=xab F a F dt t t f x F 0)()(])([)(，x x f x F -=')()(且0)()(>''b F a F . 不妨设 0)(,0)(>'>'b F a F ，则0)(),,(0)(lim)(111>+∈∃⇒>-='+→+x F a a x ax x F a F a x δ,0)(),,(0)(lim )(222<-∈∃⇒>-='-→-x F b b x b x x F b F b x δ),,(21x x c ∈∃⇒ ().0)()(),,(),,(2121='='∈∈∃⇒ξξξξF F b c c a .0)(,=''∃⇒ξξF即结论。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上) (1)若 limSinx (cosx _ b) = 5，贝U a =1 ，b = 「4XT Oe x _ a------- --------------【分析】本题属于已知极限求参数的反问题【详解】因为lim 空艺(cosx_b) =5，且lim sinx (cosx_b) =0，所以 x —；o e x -a x —；olim (e x - a) =0，得 a = 1.极限化为Xr0sin x xlim - (cosx-b) = lim (cosx -b) = 1-b = 5，得二 4. x —；o e x _ ax —；o x因此，a = 1, b 二(2)设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且盘丫) 0, 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。

则丄=—学.:uv g 2(v)【分析】令u = xg(y) , v = y ，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可【详解】令 u = xg(y) , v = y ，则 f (u , v) = —^ g(v), g(v)21 11=21 xe x dxi(-1)dx =0 (-)-2222(4)二次型 f(x 1,x 2,x 3^(x 1 x 2)2 (X 2 - X 3)2 (x 3 x 1)2 的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩 ，亦即标准型中平方项的项数 ，于是利用初等变换或配方法均可得到答案•2 2 2【详解一】因为f(X 1,X 2,X 3)=(为X 2)&2-怡)(X 3为)所以,f：：u g(v) :-u ：- v _g(v) 2g (v)(3)设 f(x)=xe x 2_ 1 「2 X 」 ，2 ，则2f(x —1)dx= 2 -【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元: 的积分性质即可•I =t,再利用对称区间上奇偶函数【详解】令x1=1,2 1 f (x _1)dx = 21 1_1 f (t)dt = J_1 f (x)dt2 2【详解二】因为 f (X 「X 2,X 3)=(为 X 2)2 (x 2 - X 3)2 (X 3 xj 22 2 2=2X 12X 2 2X 3 2X 1X 2 2X J X 3 -2X 2X 31 123 2=2(x i X 2 X 3) (X 2 -X 3) 2 2 2= 2y i 2卜2,‘2 1 1)于是二次型的矩阵为A- 1 2 -151 -12j卩 -1 2 a卩 -12 ' 由初等变换得A T0 3 -3 T0 3-3e 3-3」1。

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1.已知函数(,)ln(sin )f x y y x y =+则（）A.(0,1)f x ∂∂不存在，(0,1)fy ∂∂存在B.(0,1)f x ∂∂存在，(0,1)fy ∂∂不存在C.(0,1)f x ∂∂，(0,1)fy∂∂均存在D.(0,1)f x ∂∂，(0,1)fy∂∂均不存在解析：A将0,1x y ==带入(0,1)0f =，由偏导数的定义00(0,1)ln(1sin1)(,1)(0,1)limlim sin1lim ,x x x x x f f x f xx xx →→→+⋅∂-===⋅∂因为0lim 1x x x +→=，0lim 1x x x -→=-，所以(0,1)fx ∂∂不存在；111(0,1)(0,)(0,1)ln ln(11)limlim lim 1,111y y y f f y f y y yy y y →→→∂-+-====∂---所以(0,1)fy∂∂存在.2.函数0,()(1)cos ,0,x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）.A．),0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩B．)1,0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪-+≤=⎨+->⎪⎩C．),0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪-≤=⎨++>⎪⎩D．)1,0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩解析：D当0x ≤时，1()ln(F x x C ==++⎰（常用积分公式）当0x >时，2()(1)cos (1)sin cos F x x xdx x x x C =+=+++⎰由于()F x 在0x =处可导，则()F x 在0x =处连续，即0lim ()lim ()x x F x F x +-→→=10lim ln(x x C -→++20lim (1)sin cos x x x x C +→=+++1C ⇒21C =+因此仅有选项D 满足条件.3.已知微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞∞上有界，则,a b 的取值范围为（）.A.0, 0a b <>B.0, 0a b >>C.0, 0a b =>D.0, 0a b =<解析：C微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=，当240a b ∆=->时，特征方程有两个不同的实根12λλ，，则12λλ，至少有一个不等于零，若12C C ，都不为零，则微分方程的解1212xx y C eC e λλ--=+在(,)-∞+∞无界；当240a b ∆=-=时，特征方程有两个相同的实根122a λ-，＝，若20C ≠，则微分方程的解2212aa x x y C eC xe =+在(,)-∞+∞无界；当240a b ∆=-<时，特征方程的根为1,2422a i λ=-±，则通解为21244cossin 22a x y eC x C -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0a =，再由240a b ∆=-<，知0b >.4.已知(1,2,)n n a b n <= ，若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则1nn a∞=∑绝对收敛是1nn b∞=∑绝对收敛的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要解析：A 由条件知()1nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a∞=∑绝对收敛，则由 ||n n n n n n n b b a a b a a ≤＝－＋－＋与比较判别法，得1nn b∞=∑绝对收敛；设1nn b∞=∑绝对收敛，则由 ||n n n n n n n a a b b b a b ≤＝－＋－＋与比较判别法，得1nn a∞=∑绝对收敛.5.设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.****A B B A O B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B.****B A A B O A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.****B A B A O A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.****A B A B O B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：B*111111111A E A E A EB A A A A B B A A B A B O B O B O B O A B B O B ---------⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭****B A A B O A B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，应选B.6.二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为（）A ．2212y y + B.2212y y -C ．2221234y y y +- D.222123y y y +-解析：B222123123121323(,,)233228f x x x x x x x x x x x x =--+++211134143A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦211211212134134131143077070A E λλλλλλλλλλλλ----=--=--=-----+--+(7)(3)λλλ=+-.故选B.7.1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（）.A ．33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭B ．35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭C ．11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭D ．15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭解析：D设11221122r x x y y ααββ+==+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故TT1212()(1,,,3,,1,1)x x y y c c R--∈＝，所以T12(1,5,8).15,8r c k k R c c ββ⎛⎫⎪+==∈ ⎪⎪⎝⎭=----8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX -=（）.A ．1eB.12C.2eD.1解析：C由题可知1EX =，所以1, 01, 1,2,...X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩，故{}(){}1101k E X EX P X k P X k ∞=-=⋅=+-=∑(){}(){}()()011010112101k k P X k P X e E X e e e∞==+-=--==+---=∑故选（C ）.9.设1,,n X X 为总体21(,)N μσ的简单随机样本，1,,n Y Y 为总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，()221111n i i S X X n ==--∑，()222111m i i S Y Y m ==--∑，则（）A ．2122~(,)S F n m S B.2122~(1,1)S F n m S --C ．21222~(,)S F n m S D.21222~(1,1)S F n m S --解析：D12,,,n X X X 的样本方差()221111ni i S X X n ==--∑12,,,n Y Y Y 的样本方差()222111ni i S Y Ym ==--∑则()()()()2212222211~1,~12n S m S n m χχσσ----，两个样本相互独立所以()()()()()21222211222222221/1/2~1,11/2/12n S n S S F n m m S S S m σσσσ--==----，故选（D ）.10.设12,X X 为总体2(,)N μσ的样本，0σ>为未知参数，若12ˆa X X σ=-为σ的无偏估计，则a =（）A．2B.2C.D.解析：A由题可知212~(0,2)X X N σ-.令12Y X X =-，则Y 的概率密度()2222y f y σ-⋅=.()22222240d d y y E Y y yey σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰，()()12E a X X aE Y a-==由12a X X σ=-为σ的无偏估计，有()E σσ=，得2a =.故选（A ）.二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.211lim 2sincos _______x x x x x →∞⎛⎫--= ⎪⎝⎭.解析：22332222221111111lim 2sin cos lim 2()1()621112lim ()623x x x x x x x x x x x x x x x x xx οοο→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦12.已知函数(,)f x y 满足22(,)xdy ydxdf x y x y-=+，(1,1)4f π=，则______f =.解析：由题意可得22(,)x y f x y x y -'=+，则(,)arctan ()xf x y c y y=-+.又因为22(,)y xf x y x y '=+，可得()c y C =，由(1,1)4f π=可得2c π=.即(,)arctan2x f x y y π=-+，故3f π=.13.20_______(2)!nn x n ∞==∑.解析：令20()(2)!n n x S x n ∞==∑，则211()(21)!n n x S x n -∞='=-∑，22210()().(22)!(2)!n nn n x x S x S x n n -∞∞==''===-∑∑即有()()0S x S x ''-=，解得12()x xS x C e C e-=+.又由(0)1,(0)0,S S '==有12121,0,C C C C +=-=解得1211,,22C C ==故11()22x x S x e e -=+.14.某公司在t 时刻的资产为()f t ，从0到t 时刻的平均资产为()f t t t-，其中()f t 连续，(0)0f =，求()________f t =.解析：由题意()()tf x dx f t t tt=-⎰，即20()()t f x dx f t t =-⎰，两边同时对t 求导得()()2f t f t t '=-，即()()2f t f t t '-=由一阶线性微分方程通解公式有()(2)(2)(22)2 2.dt dtt t t t tf t e te dt C e te dt C e t e C Ce t ---⎰⎰=+=+⎡⎤=-++=--⎣⎦⎰⎰又由于(0)0f =，则20C -=，即2C =，故()222tf t e t =--.15.已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a =，则1112_________0a a a b=.解析：0111412a a a =，所以01113120aa r a ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，线性方程组131231231210202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，所以011110312002a a r a ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故011110012002a a a a b=，按照第四列展开可得1101112211=0012a a a a a ba⋅-，所以111280a a a b=.16.设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,)X B p ，~(2,)Y B p ，(0,1)p ∈，则X Y +与X Y -的相关系数为________.解析：因为~(1,)X B p ，所以(1)DX p p =-；因为~(2,)Y B p ，所以2(1)DY p p =-；(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(1).Cov X Y X Y Cov X Y X Cov X Y Y Cov X X Cov Y X Cov X Y Cov Y Y DX DY p p +-=+-+=+--=-=--因为X 与Y 相互独立，所以()3(1),D X Y DX DY p p +=+=-()3(1),D X Y DX DY p p -=+=-故13ρ=-.三、解答题：17~22小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸制定位置上.17.（本题满分10分）已知可导函数()y y x =满足2ln(1)cos 0xae y y x y b ++-++=，且(0)0y =，(0)0y '=；（1）求,a b 的值.（2）判断0x =是否为()y x 的极值点.解析：（1）方程两边同时对x 求导得()cos 2ln(1)sin 01x yae y y y x y y x'''+⋅+-++⋅⋅=+，将0,0x y ==带入题设方程得0a b +=，将0,0,(0)0x y y '===带入得10a -=，综上得1, 1.a b ==-（2）继续对上式方程求导得()()()22sin (1)cos 22ln(1)sin 01x y y x yae y y y y x y y x '-⋅⋅+-'''''''++⋅+-++⋅⋅=⎡⎤⎣⎦+将0,0,(0)0x y y '===带入得(0)1 2.y a ''=--=-由于(0)0,(0)2y y '''==-，故0x =是()y x 的极大值点.18.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解析：(1)对题设区域进行定积分.2111S +∞+∞+∞===⎰⎰⎰，令t =2221111(1)ln 2(1)121t d t dt t tt t +∞+∞-=-==--+1)=；(2)根据旋转体体积公式，有2222211111(1)1V dx dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞===++⎰⎰⎰24ππ=-.19.（本题满分12分）已知平面区域{}22(,)|(1)1D x y x y =-+≤，求1Ddxdy -.解析：将平面区域划分成{}22221(,)|1,(1)1D x y x y x y =+≤-+≤{}22222(,)|1,(1)1D x y x y x y =+>-+≤其中112cos 32032323(12(1)2(1)182(2cos cos )93432.929D dxdy d r rdr d r rdrd ππθπππθθπθθθπ=-+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112cos 2021)1)(1)(1)(153392D DD D dxdy dxdy dxdy d r rdr dxdyπθπθπ-=-=-+-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式12(11)D D dxdy dxdy =-+⎰⎰⎰⎰4333253332.9299299ππ=+--+=20.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上具有2阶连续导数，证明：（1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-；（2）若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.（1）证明：()()()()()()220002!2!f u f u f x f f x x f x ''''''=++=+，u 介于0与x 之间，则()()()()1210,02!f u f a f a a u a '''=+<<①()()()()2220,02!f u f a f a a a u '''-=-+-<<②①＋②得：()()()()2122a f a f a f u f u ''''+-=+⎡⎤⎣⎦③又()f x ''在21[,]u u 上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即12)(m f u M m f u M ''''≤≤≤≤；()；从而()()122f u f u m M ''''+≤≤；由介值定理得：21[,](,)u u a a ξ∃∈⊂-，有()()()122f u f u f ξ''''+''=，代入③得：2)()()f a f a a f ξ''-(＋＝，即()()()2f a f a f a ξ+-''=（2）证明：设()f x 在0(,)x x a a =∈-取极值，且()f x 在0(,)x x a a =∈-可导，则0(0)f x '=.又()()()()()()()()()220000002!2!f f f x f x f x x x x x f x x x γγ'''''=+-+-=+-，γ介于0与x 之间，则()()()()21001,02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()()()()22002,02!f f a f x a x aγγ''=+-<<从而()()()()()()2202011122f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又 (|)|f x ''连续，设12{|) ( )}(|||M max f f γγ''''=，，则()()()()()22220001122f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又0(,)x a a ∈-则2220()()(2||)f a f a M a x Ma ≤≤－－＋，则()()212M f a f a a ≥--即存在1ηγ=或2(,)a a ηγ=∈-，有()()()212f f a f a a η''≥--.21.（本题满分12分）设矩阵A 满足：对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，（1）求A ；（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1P AP -=Λ.解析：（1）112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111211011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；（2）(2)(2)(1)0A E λλλλ-=-+-+=则A 中1232,2,1λλλ=-==-，A 中1λ对应的线性无关特征向量()1011Tα=-；A 中2λ对应的线性无关特征向量()2431T α=；A 中3λ对应的线性无关特征向量()3102Tα=-。

全国硕士研究生入学统一考试数学(三)考前模拟卷1.【单项选择题】A. k≠1B. k>1C. k>0D. 与k无关正确答案：A参考解析：2.【单项选择题】A. 极限不存在．B. 极限存在，但不连续．C. 连续，但不可导．D. 可导．正确答案：C参考解析：先分别考察左、右可导性．3.【单项选择题】当x→0时下列无穷小中阶数最高的是A.B.C.D.正确答案：C参考解析：(A)(考察等价无穷小) 4.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：5.【单项选择题】设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．A. 若m<n，则方程组AX=b一定有无穷多个解B. 若m>n，则方程组AX=b一定有唯一解C. 若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解D. 若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解正确答案：D参考解析：6.【单项选择题】A. 1，0，-2．B. 1，1，-3．C. 3，0，-2．D. 2，0，-3．正确答案：D参考解析：7.【单项选择题】二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2的标准形为( ).A. f=B. f=2C. f=D. f=2正确答案：B参考解析：用配方法，8.【单项选择题】设随机变量X～U[0，2]，Y=X2，则X，Y( )．A. 相关且相互独立B. 不相互独立但不相关C. 不相关且相互独立D. 相关但不相互独立正确答案：B参考解析：【解】9.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：10.【单项选择题】A.B.C. 0D.正确答案：B 参考解析：11.【填空题】正确答案：参考解析：【解析】12.【填空题】正确答案：参考解析：1【解析】13.【填空题】正确答案：参考解析：【解析】14.【填空题】正确答案：参考解析：【解析】15.【填空题】正确答案：参考解析：6【解析】若按第1行展开，只有-2x乘以其代数余子式会出现x3项，故只要求出这一项即可．故x3的系数为6．16.【填空题】设X，y为两个随机变量，且D(X)=9，Y=2X+3，则X，Y的相关系数为________正确答案：参考解析：1【解析】D(Y)=4D(X)=36，17.【解答题】参考解析：18.【解答题】求函数z=x3-3x2-3y2在闭区域D：x2+y2≤16上的最大值．参考解析：解(Ⅰ)得驻点(0，0)，(2，0)．(Ⅱ)在D：x2+y2=16上．得(0，±4)．(±4，0)．(Ⅲ)比较大小z(0，0)=0，z(2，0)=-4，z(0，4)=-48，z(0，-4)=-48，z(4．0)=16，z(-4，0)=-112，得最大值为z(4，0)=16．19.【解答题】参考解析：20.【解答题】参考解析：【解】21.【解答题】α1=(1，1，0)T，α2=(0，2，1)T．(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ．参考解析：解(Ⅰ)由A～B知，A与B有相同的特征值，而由|μE一B|=0，可得B的特征(Ⅱ)22.【解答题】设随机变量X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，记Y=min{X1，X2)，T=max{Y，X3}．(Ⅰ)求y的概率密度f Y(y)；(Ⅱ)求期望ET．参考解析：解(Ⅰ)由已知，X1与X2相互独立，故(X1，X2)的概率密度为(II)先求T的分布函数与概率密度．。