2015年考研数学二真题与答案解析

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C)；；，(2)函数在(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)(若(A) (B)(C) (D)再有于是，存在此时当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【解析】在外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

点两侧恒正，对应的点不是拐，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是(5)设函数满足则与(A)(B)(C)(D)【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)是第一象限中由曲线与直线区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

D综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A=,b=。

若集合，则线性方程有无穷多解的充分必要条件为(A) (B)(C) (D)【解析】是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时类似的，若当时，，(8)设二次型在正交变换下的标准形为,,=在正交变换下的标准形为(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,则可见都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值为-1，因此因此在正交变换下的标准二次型为(9)设则=,综上所述，本题正确答案是48。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;1下列反常积分中收敛的是A ∫√x 2B ∫lnx x +∞2dxC ∫1xlnx +∞2dxD ∫x e x +∞2dx答案D;解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;∫√x2=2√x|2+∞=+∞； ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫xe x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此D 是收敛的;综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学—一元函数积分学—反常积分2函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在-∞,+∞内 A 连续 B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点答案B解析这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B; 综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限3设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0α>0,β>0.若f ′(x )在x =0处连续，则 A α−β>1 B 0<α−β≤1C α−β>2D 0<α−β≤2答案A解析易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是,f ′(0)存在α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时,lim x→0x α−1cos 1x β=0,lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0， 因此,f′(x )在x =0连续α−β>1;选A综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限4设函数f(x)在-∞,+∞内连续,其二阶导函数f ′′(x)的图形如右图所示,则曲线y =f(x)的拐点个数为A OB x A 0 B 1C 2D 3答案C解析f(x)在-∞,+∞内连续,除点x =0外处处二阶可导; y =f(x)的可疑拐点是f ′′(x )=0的点及f ′′(x)不存在的点;f ′′(x )的零点有两个,如上图所示,A 点两侧f ′′(x)恒正,对应的点不是y =f (x )拐点,B 点两侧f ′′(x )异号,对应的点就是y =f (x )的拐点;虽然f ′′(0)不存在,但点x =0两侧f ′′(x)异号,因而0,f(0) 是y =f (x )的拐点;综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点5设函数f(μ,ν)满足f (x +y,y x )=x 2−y 2，则f μ|μ=1ν=1与f ν|μ=1ν=1依次是 A 12,0 B 0,12C −12,0D 0,−12答案D解析先求出f (μ,ν)令{μ=x +y,ν=y x ,{x =μ1+ν,y =μν1+ν, 于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1) 因此f μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0 f ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12 综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分6设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,函数f(x,y)在D 上连续,则∬f (x,y )dxdy =DA ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr B ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θrdr C ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr D ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θdr答案 B 解析D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,作极坐标变换,将∬f (x,y )dxdy D化为累次积分; D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4√sin 2θ≤θ≤√2sin 2θ因此 ∬f (x,y )dxdy D =∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算;7设矩阵A=[11112a 14a 2],b =[1d d 2];若集合Ω={1,2},则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为A aΩ,dΩB aΩ,d ∈ΩC a ∈Ω,dΩD a ∈Ω,d ∈Ω答案D解析Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式,值为(a −1)(a −2),如果a?Ω,则|A |≠0，r (A )=3,此时Ax =b 有唯一解,排除A,B类似的,若d?Ω,则r (A |b )=3,排除C当a ∈Ω,d ∈Ω时,r (A |b )=r (A )=2,Ax =b 有无穷多解综上所述,本题正确答案是D;考点线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值,矩阵的秩,线性方程组求解;8设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,−e 3,e 2)在正交变换x =Qy 下的标准形为A 2y 12−y 22+y 32B 2y 12+y 22−y 32C 2y 12−y 22−y 32D 2y 12+y 22+y 32答案A解析设二次型矩阵为A ,则P −1AP =P TAP =[20001000−1]可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是-e 3也是A 的特征向量,特征值为-1,因此Q T AQ =Q −1AQ =[2000−10001]因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32综上所述,本题正确答案是A;考点线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量,正交变换化二次型为标准形;二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分;9设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2y dx 2|t=1=解析由参数式求导法dy dx =y t ′x t ′=3+3t 211+t 2=3(1+t 2)2再由复合函数求导法则得d 2ydx 2=d dx [3(1+t 2)2]=d dt [3(1+t 2)2]dt dx =6(1+t 2)2t1x t ′ =12t(1+t 2)2, d 2y dx 2|t=1=48综上所述,本题正确答案是48;考点高等数学-一元函数微分学-复合函数求导10函数f (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数f (n )(0)=答案n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,)解析解法1 用求函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是(A)∫1√x +∞2xx (B)∫xxxx +∞2xx (C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫x x x +∞2xx 【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x+∞2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln ?(xxx )|2+∞=+∞； ∫xx +∞2xx =−∫x +∞2xx −x =−xx −x |2+∞+∫x −x +∞2xx=2x −2−x −x |2+∞=3x −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x2x 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x (x )=lim x →0(1+xxx xx)x 2x=xlim x →0x 2x(1+xxx x x −1)=ex limx →0xxxxx=x x (x ≠0),x (x )在x =0处无定义，且lim x →0x (x )=lim x →0x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数x (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,x >0).若x ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<x −β≤2 【答案】A 【解析】易求出x′(x )={xx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在?α>1，此时x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0连续?α−β>1。

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2015年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列反常积分中收敛的A．dx．B．dx．C．dx．D．dx．正确答案：D2．函数f(x)＝在(一∞，+∞)内A．连续．B．有可去间断点．C．有跳跃间断点．D．有无穷间断点．正确答案：B3．设函数f(x)＝(α>0，β>0)．若(x)在x＝0处连续，则A．α一β&gt;1．B．0&lt;α一β≤1．C．α一β&gt;2．D．0&lt;α一β≤2．正确答案：A4．设函数f(x)在内连续，其2阶导函数(x)的图形如右图所示，则曲线y＝f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C5．设函数f(u，v)满足f(x＋y，)＝x2一y2，则与依次是A．，0．B．0，．C．，0．D．0，．正确答案：D6．设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y＝x，y＝围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则f(x，y)dxdy＝A．(rcosθ，rsinθ)rdrB．(rcosθ，rsinθ)rdrC．(rcosθ，rsinθ)drD．(rcosθ，rsinθ)dr正确答案：B7．设矩阵A＝b＝若集合Ω＝{1，2}，则线性方程组Ax＝b有无穷多解的充分必要条件为A．B．C．D．正确答案：D8．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x＝Py下的标准形为其中P＝(e1，e2，e3)．若Q＝(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为A．B．C．D．正确答案：A填空题9．设正确答案：4810．函数f(x)=x22x在x＝0处的n阶导数f(n)(0)＝____________．正确答案：n(n一1)(ln2)n－211．设函数f(x)连续，φ(x)＝xf(t)dt．若φ(1)=1，(1)=5，则f(1)＝___________．正确答案：212．设函数y=y(x)是微分方程一2y=0的解，且在x＝0处y(x)取得极值3，则y(x)＝___________．正确答案：2ex＋e－2x13．若函数z=z(x，y)由方程ex＋2y＋3z＋xyz=1确定，则dz｜(n)(0，0)= ___________．正确答案：dxdy14．设3阶矩阵A的特征值为2，一2，1，B=A2一A＋E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式｜B｜＝___________．正确答案：21解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

精心整理2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(C)【答案】D。

；；；，因此(D)是收敛的。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，所以是的可去间断点，选B。

设函数().(A) (B)(C) (D)再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数在二阶导函数则曲线(A) (B)(D)【解析】在内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，点两侧点不是拐点，虽然不存在，但点的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

是第一象限中由曲线与直线上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

D的极坐标表示为综上所述，本题正确答案是B。

A=,=。

若集合，则线性方程有无穷多解的充分必要条件为(A) (B)(C) (D)是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若，则，排除(C)当时，，综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若Q=在正交变换下的标准形为(B)(C) (D)【答案】A都是A的特征向量，特征值依次为-因此在正交变换下的标准二次型为【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。