小学数学思维拓展课—第3节 分解法 讲义

教育教学讲义
学员姓名：年级：学科教师：
上课时间：辅导科目：数学课时数：2
课题因式分解
教学目标讲解因式分解的三种方法 1 提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解
教学内容
课前检测
知识梳理
6.1因式分解
谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值?
概念．像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．
①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系?(互逆)
图示表示：。

一、教学目标1. 知识与技能目标：学生能够理解并掌握数字分解的基本概念，能够熟练进行简单的数字分解。

2. 过程与方法目标：通过动手操作、小组合作、游戏等方式，培养学生的观察能力、分析能力和合作能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真思考、积极探究的学习态度。

二、教学重难点1. 教学重点：数字分解的概念及方法。

2. 教学难点：学生能够灵活运用数字分解方法解决实际问题。

三、教学准备1. 教师准备：多媒体课件、数字卡片、操作材料等。

2. 学生准备：准备好学习用品，积极参与课堂活动。

四、教学过程（一）导入1. 教师通过提问引导学生回顾已学过的数学知识，如加减法、乘除法等。

2. 提出问题：“同学们，你们知道什么是数字分解吗？请举例说明。

”（二）新课讲授1. 教师讲解数字分解的概念，结合实例进行讲解。

2. 学生跟随教师一起动手操作，将数字卡片进行分解。

（三）实践操作1. 教师将学生分成小组，每组发放数字卡片和操作材料。

2. 小组成员合作，将卡片上的数字进行分解，并展示给大家。

3. 教师巡视指导，对学生的操作进行点评和纠正。

（四）游戏环节1. 教师组织学生进行“数字分解接力”游戏，每组选出一名代表，依次进行数字分解。

2. 游戏过程中，教师对学生的表现进行评价，鼓励学生积极参与。

（五）巩固练习1. 教师布置课后作业，要求学生完成以下任务：a. 将10以内的数字进行分解；b. 编写一个简单的应用题，并运用数字分解方法解决问题。

（六）课堂小结1. 教师总结本节课所学内容，强调数字分解的重要性。

2. 学生分享自己在课堂上的收获，提出疑问。

五、教学反思1. 教师在课堂上应关注学生的个体差异，给予学生充分的指导和支持。

2. 课堂活动设计应注重趣味性、互动性和实践性，提高学生的学习兴趣。

3. 教师要善于运用多媒体课件等教学资源，丰富课堂内容，激发学生的学习热情。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作能力和解决问题的能力。

课程信息【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法(二)拆项、配方、换元二. 重点、难点拆项、配方、换元是因式分解常用到的技巧，这些技巧在今后的数学学习中还将大量用到。

拆项主要是把系数适当的拆分，再重新分组达到分解的目的。

配方主要用到完全平方公式，找到平方元素是配方的关键。

换元法的本质就是把相同的部分看作一个整体，这个整体有单个字母的作用。

以下是配方常用的公式2 2 2a b = (a b) -2ab2 2(a b) -4ab 二(a -b)(a -b)2 4ab 二(a b)2a(a 1)(a 2)(a 3) 1 = (a2 3a 1)2a2 (a 1)2 a2 (a 1)2 = (a2 a 1)2【典型例题】2［例1］分解因式：(a b -2ab)(a b -2) (1 -ab)分析：此题无公因式可提，也无法运用公式，只有两项也无法分组，但要把每一项乘开则太麻烦，注意到a b，ab把它们看作一个字母，用换元法即可。

解：设= a b，y = ab则原式=(x -2y)(x -2) (1 -y)22 2=x _2xy _2x 4y 1 _2y y=x2 -2xy y2 -2x 2y 1= (x-y)2 -2(x-y) 1= (x-y -1)22=(a b -ab -1)二[(a —ab) 一(1 —b)]2= (a-1)2(b-1)22 2[例2]分解因式：(1 - 2a - a )b a(a - 1)(2b -1)分析：此多项式展开后，项数较多，不易找到分解的方法，可把其中a-1看做一个整式，减少展开后的项数，简化问题。

解:令a _1 =x贝卩1 _2a_a2 =(a_1)2 _2a2 =x2 _2a2•••原式二(x2 -2a2)b ax(2b2 -1)2 2 2=x b - 2a b 2ab x - ax2 2 2=(x b -ax) (2ab x-2a b)=x(xb - a) 2ab(bx - a)=(xb - a)(x - 2ab)= [(a —1)b —a] [a —1)+2ab]=(ab - a -b)(a 2ab -1)说明：换元时可以进行部分换元，分解因式后再还原。

分解法的讲解方法在数学教学中，分解法是解决问题的一种重要方法。

通过将复杂的问题分解成若干个简单的部分，再逐个解决，最终得出整体的解答。

下面将详细介绍分解法的讲解方法。

首先，要明确问题的解题思路。

在教学中，首先要明确问题所涉及的知识点和解题方法。

然后，通过引导学生分析问题，找出其中的关键部分，确定分解的方向和方法。

这有助于学生理清思路，准确把握解题的步骤。

其次，要逐步引导学生分解问题。

对于复杂的问题，可以根据问题的要求和结构，逐步引导学生将其分解成简单而具体的子问题。

通过细致的分解，可以让学生逐步掌握解题方法，逐步提高解题能力。

接着，要注重实际操作和示范。

理论知识的学习需要结合实际操作，分解法的讲解也不例外。

在教学中，教师可以选择具体的例题，逐步演示分解的过程，让学生通过实际操作体会分解法的应用。

同时，可以通过不同角度的示范，帮助学生更好地理解和掌握分解法的具体操作步骤。

此外，要注重引导学生自主分解问题。

分解法的讲解并不是简单地告诉学生应该如何分解问题，更重要的是引导学生独立思考和解决问题的能力。

在教学中，可以提出一些开放性的问题，让学生根据自己的理解和思考，尝试分解问题并给出解答。

通过这种方式，可以激发学生的学习兴趣，培养他们独立思考和解决问题的能力。

最后，要注意总结讲解的过程。

在讲解分解法的过程中，教师应该及时总结问题的分解方法和解题步骤，帮助学生理清思路，掌握解题技巧。

同时，可以针对学生在分解过程中出现的错误或困惑进行及时纠正和指导，帮助他们更好地理解和应用分解法。

综上所述，分解法是解决问题的一种重要方法，对于数学教学具有重要意义。

通过合理的讲解方法，可以帮助学生更好地理解和掌握分解法的应用，提高解题能力和逻辑思维能力。

希望以上内容对您有所帮助。

分解法应用题大全一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。

在分析应用题时，可把一道复杂的应用题先拆成几道基本应用题，从中找到解题的线索。

我们把这种解题的思考方法称为分解法。

例1工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天。

现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约1吨。

现在这批煤可以烧几天？（适于四年级程度）解：这道题看上去很复杂，可以把它拆成三道一步计算的应用题。

（1）工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天，这批煤有多少吨？（60吨）（2）原计划每天烧5吨，现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约1吨。

现在每天烧煤多少吨？（4吨）（3）工厂运来一批煤重60吨，现在改进烧煤技术每天烧4吨，现在这批煤可以烧多少天？以上三道一步计算的应用题拼起来就是例1。

经过这样拆拆拼拼，这道复杂应用题的来龙去脉就弄清楚了。

根据这三道一步应用题的解题线索，问题便可得到解决。

分步列式计算：（1）这批煤的重量是：5×12=60（吨）（2）现在每天烧煤的吨数是：5-1=4（吨）（3）现在这批煤可以烧的天数是：60÷4=15（天）综合算式：5×12÷（5-1）=60÷4=15（天）答略。

例 2胜利小学要挖一个长方形的沙坑，长 4米、宽 2米、深0.45米，按每人每小时挖土0.2方计算，应组织多少人才能用1小时完成任务？（适于五年级程度）解：这道题是由两道小题组成，一道是已知长、宽、深，求长方体沙坑的体积，一道是已知总共要挖的土方和每人每小时可挖的土方，求人数。

把它分解成两道题来算，就不难了。

要挖土方：4×2×0.45=3.6（方）所需人数：3.6÷0.2=18（人）综合算式：4×2×0.45÷0.2=3.6÷0.2=18（人）答：需要组织18人。

*例 3东山村播种 1600亩小麦，原计划用 5台播种机，每台播种机每天播种20亩。

三年级分解问题步骤公开课一、概述在小学三年级的数学学习中，分解问题步骤是一个非常重要的内容。

通过分解问题，学生可以更清晰地理解问题，并且能够更灵活地运用各种解题方法。

我们今天将进行一堂关于分解问题步骤的数学公开课，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、认识分解问题1. 什么是分解问题？- 分解问题是指将一个大的问题分解为若干个小问题，通过解决小问题逐步解决整个大问题的过程。

- 例如：小明有12块巧克力，他分给了3位朋友，每位朋友分得几块巧克力？2. 为什么要分解问题？- 通过分解问题，可以让问题更具体、更容易理解，从而更容易解决。

- 分解问题也是数学思维发展的重要阶段，可以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

三、分解问题的方法与步骤1. 确定问题- 首先要确切地理解问题的需求，明确问题的目标是什么，要求解的是什么内容。

2. 分解问题- 将一个大问题分解为若干小问题，每个小问题都是整个问题的一个部分。

- 在分解问题的过程中，要保证每个小问题都要有明确的解决方案。

3. 解决小问题- 针对每个小问题，采用合适的方法进行解决，可以是运用已学的知识，也可以是通过举一反三等方法。

4. 组合解决- 将所有小问题的解决方法进行整合，最终得出整个大问题的解决方案。

四、数学公开课示范1. 引入- 通过生动的故事引入，让学生对分解问题产生兴趣。

2. 老师示范- 老师以丰富多彩的教具进行实际操作，将一个分解问题的过程进行清晰地呈现给学生。

3. 学生操作- 学生们进行一定的练习，巩固和应用所学的分解问题的方法与步骤。

五、小结与展望本节课通过引导学生认识分解问题的重要性，介绍了分解问题的方法与步骤，并通过示范和实践进行了巩固。

通过这堂公开课的学习，相信同学们对分解问题的理解已经有了一定的提高。

接下来，我们会继续加强这一部分的训练，让同学们在数学学习中能够更加游刃有余地应用分解问题的方法，提高数学解决问题的能力。

六、课后习题1. 问题一：小明有24个苹果，他分给了6位同学，每位同学分得几个苹果？2. 问题二：在一张纸上，小明有9个贴纸，小华有5个贴纸，他们两个一共有多少个贴纸？七、反馈与建议1. 同学们如果在学习分解问题的过程中有任何疑问，可以随时向老师提问，老师会耐心解答。

第三节分解质因数1、有24个梨平均分给小朋友，每份大于1个，小于24个，一共有多少种不同的分配方法？2、有五名小朋友年龄是连续的自然数，他们年龄相乘的积是15120，这五名小朋友年龄各是多少岁？3、一名校长向几位爱好数学的朋友介绍本校情况时说:“我校有三十多名老师(不包括领导)，有十几个班级，如果将领导人数、教师人数和班级数相乘，再加上4，结果正好等于2002。

”小朋友，你能知道这所学校的领导人数、老师人数和班级数各是多少吗？4、有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗，共有多少种不同的分法？5、144的因数有多少个？360的因数有多少个？课堂操练1、150个同学排成长队做操，行数和列数都不能为1，共有多少种排法？2、公园内有三只小熊猫，恰好一只比另一只大1岁，他们的年龄之积是60，问:最小的熊猫几岁？3、甲乙丙三个数的乘积是26250，甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，求甲乙丙各是多少？4、一包糖果，一共有320块，平均分成若干份，每份不得少于20块，也不得多于50块，共有多少种不同的分法？5、4500共有多少个因数？拓展训练1、体育课上老师指导60人分组做游戏，要求每组人数相等，且每组不多于15人，不少于8人，有哪几种分法？2、有四个连续自然数的积是5040，这四个数分别是多少？3、小明、小文、小丽三个同学参加数学竞赛，老师问:“你们三人各得了多少分？”小明说：“我比小文多3分，小文比小丽多3分，我们三人的乘积是90720分。

”你知道小明、小文、小丽各得了多少分？4、超市进来一批鸡蛋，共有924个，把他们分装在若干个小袋中卖出，如果每个小袋装的个数不得少于20个，也不得多于50个，共有多少种不同的包装方法？5、324共有因数多少个？。

3的分解中班数学教案一、教学目标1.了解并掌握3的分解。

2.学会运用分解法解决简单数学问题。

3.培养学生逻辑思维和数学推理能力。

二、教学重点1.掌握3的分解方法。

2.运用分解法解决相关问题。

三、教学难点1.培养学生逻辑思维和数学推理能力。

2.在实际问题中运用3的分解法。

四、教学准备1.教案2.黑板、粉笔3.练习题4.PPT或教学素材五、教学过程步骤一：引入1.教师引导学生回顾上节课学过的分解法，并简要介绍今天的教学内容。

2.通过一些日常生活中的示例引发学生的思考，如：小明手上有3个苹果，他想把这些苹果分给他的两个朋友，每人分几个较合适？步骤二：认识3的分解1.通过上述引导，学生可能会意识到3可以分解为1+2或2+1两个部分。

教师可以在黑板上写出3=1+2和3=2+1的式子，并与学生一起读。

2.教师引导学生自主观察和思考，在生活中还有哪些数可以用3的分解来表示。

学生可以举出一些例子，如：3个梨、3个桃子等。

3.教师在黑板上列出这些例子，并与学生一起朗读。

步骤三：学习运用3的分解法解决问题1.教师通过举例与学生一起解决一些简单的数学问题，如：小明手上有6个苹果，他想把这些苹果分给他的三个朋友，每人分几个？教师先引导学生分解6，即6=1+5，然后再进行小组讨论，最终得出每人分2个苹果。

这样的例子可以多进行几个，以加深学生对分解法的理解和运用能力。

步骤四：拓展练习1.教师给学生布置一些相关的练习题，要求学生自己进行思考并解决问题。

2.在完成练习后，教师可以选择几道题目进行讲解，鼓励学生展示自己的解题过程和思路。

步骤五：总结1.教师与学生一起回顾今天所学内容，并总结3的分解法的运用。

2.教师强调学生学习数学需要灵活思维和创造力，希望学生在今后的学习中能够善于运用分解法解决问题。

3.教师鼓励学生勤加练习，并留下一些相关拓展的习题作为课后作业。

六、板书设计3=1+23=2+1七、课堂延伸1.学生可以分组创设一些应用场景，运用3的分解法解决问题，并进行展示和交流。

中班数学教案3的分解课件第一部分：教学目标本节课的教学目标主要围绕数学的分解展开，旨在通过合理安排和引导，培养幼儿的观察力、分析力、逻辑思维能力以及数学思维能力。

具体目标如下：1.能够了解分解的概念，并能够将实际物体进行适当的分解。

2.培养幼儿的观察力和分析力，培养幼儿通过观察物体的特点进行分解的能力。

3.通过分解实物，培养幼儿的逻辑思维和问题解决能力。

4.锻炼幼儿的协作能力和沟通能力，培养团队合作意识。

第二部分：课前准备1.准备教材：本节课需要准备一些实物，如水果、玩具、糖果等，以及幼儿感兴趣的图片。

2.准备课件：根据本次课程的内容和目标，设计一份简洁明了的课件，突出重点，便于幼儿理解和掌握。

第三部分：课堂教学1.热身活动：通过一些有趣的游戏或故事，引发幼儿对分解的兴趣。

例如，可以播放一段视频，故事的主角在寻找一样东西时，需要分解一个大问题为若干个小问题，并逐一解决。

2.导入新知：通过观察一些实物的图片，引导幼儿观察物体的特点，并发现其中的共性和差异。

教师可以提出问题，如：“这些物体有什么共同点？它们又有什么不同之处？”3.分组讨论：将幼儿分为小组，给每个小组分配一种实物（如水果），要求幼儿观察物体的特点，并进行分类和分解。

教师给予适当的引导，帮助幼儿找到分解的思路和方法。

4.小组呈现：每个小组派出一名代表，向全班呈现他们的分解成果。

其他小组需要认真倾听，并提出自己的观点和问题。

5.整合思考：通过观察和讨论，引导幼儿总结出分解的方法和规律。

教师可以给予适当的提示和示范，鼓励幼儿积极思考和表达。

6.拓展活动：为了进一步巩固幼儿对分解的理解和应用，可以设计一些有趣的活动。

例如，通过分解水果，让幼儿完成一道简单的加法运算。

或者发放一些具有相同形状的拼图，让幼儿将其分解，并重新组合成其他形状。

7.课堂总结：教师对本节课的内容进行总结，并强调重点和难点。

鼓励幼儿勇于提问和思考，培养他们的数学思维能力和问题解决能力。

小学数学教案分解法
主题：加法运算
目标：学生能够掌握两位数加法运算的方法和技巧。

一、引入
1. 回顾上节课所学过的十位数加法运算。

2. 引导学生思考：如何将两个两位数相加得到正确的结果？
二、讲解
1. 教师示范两位数加法的竖式运算方法。

2. 解释进位和借位的概念，引导学生理解进位和借位的作用。

3. 通过例题演示，让学生掌握加法运算的步骤。

三、练习
1. 让学生完成练习册上相关的加法计算题目。

2. 分发工作纸，让学生自己动手进行两位数加法的练习。

3. 师生互动，及时纠正学生的错误，并表扬正确作答的学生。

四、巩固
1. 小组合作，让学生互相交流讨论两位数加法的方法。

2. 挑战题：给出一些较难的加法题目，让学生尝试解决。

五、总结
1. 结合练习情况，总结学生在加法运算中存在的常见错误。

2. 强调加法运算的重要性，鼓励学生多加练习，提高计算速度和准确性。

3. 鼓励学生在日常生活中运用加法运算，提升数学运用能力。

六、作业
1. 布置相关的加法计算作业，要求学生按时完成并及时订正。

2. 提醒学生在日常生活中积极应用加法运算，巩固所学知识。

注：根据教学实际情况，可适当调整教案内容和活动安排。

小学数学思维分解教案教学目标：1. 学生能够理解数学思维分解的概念。

2. 学生能够运用数学思维分解解决简单的数学问题。

3. 学生能够发展创造性思维和解决问题的能力。

教学重点：1. 数学思维分解的概念和方法。

2. 运用数学思维分解解决问题的能力。

教学难点：1. 培养学生的创造性思维和解决问题的能力。

2. 引导学生将问题分解为更小的部分进行思考和解决。

教学准备：1. 教师准备一些简单的数学问题，如加减法、乘除法等。

2. 准备白板、彩色粉笔或幻灯片等教学工具。

教学过程：Step 1: 引入教师通过提问和讨论的方式引入数学思维分解的概念。

例如，教师可以问学生：“你们知道什么是数学思维分解吗？在解决数学问题时，我们为什么需要使用思维分解呢？”通过引导学生思考和回答问题，激发学生对数学思维分解的兴趣和好奇心。

Step 2: 概念讲解教师向学生介绍数学思维分解的概念和方法。

教师可以通过具体的例子和图示来说明思维分解的过程。

例如，教师可以用一个简单的加法问题来说明思维分解的方法，如“8 + 5 = ?”，教师可以引导学生将问题分解为“8 + 2 = ?”和“5 = ?”，然后分别解决这两个小问题，最后将结果相加得到最终答案。

Step 3: 练习教师提供一些简单的数学问题给学生进行练习。

教师可以让学生分组合作解决问题，鼓励他们运用数学思维分解的方法来解决。

教师可以在解决过程中给予适当的指导和帮助。

Step 4: 拓展教师提供一些稍微复杂的数学问题给学生进行拓展练习。

教师可以要求学生自己思考和分解问题，并给予他们更多的自主解决问题的机会。

教师可以鼓励学生尝试不同的思维分解方法，并让他们分享自己的解决思路和答案。

Step 5: 总结教师与学生一起总结数学思维分解的重要性和应用。

教师可以引导学生回顾今天的学习内容，并让他们分享自己的收获和体会。

教师可以提出一些问题让学生思考，如“你觉得数学思维分解对解决数学问题有什么帮助？你在今天的练习中遇到了什么困难和挑战？你是如何克服的？”Step 6: 作业教师布置适当的作业，让学生继续巩固和拓展数学思维分解的能力。

第三节 因式分解一、课标导航=、核心纲要1.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个 多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法互为逆变形式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．(3)注意事项①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．(4)在分解因式时，结果的形式要求①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式．2．因式分解的常用方法及步骤(1)提取公因式法如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．确定公因式的方法系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂．(2)公式法①平方差公式：))((22b a b a b a -+=-(a)公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；(b)每一项都可以化成某个数或式的平方形式；(c)右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．②完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-(a)左边相当于一个二次三项式；(b)左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；(c)左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；(d)右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．③立方和差公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-欧拉公式：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ ])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= 特别地：①当0=++c b a 时，有;3333abc c b a =++②当0=c 时，欧拉公式变为两数立方和公式．(3)十字相乘法一个二次三项式,2c bx ax ++若可以分解，则一定可以写成))((2211c x a c x a ++的形式，它的系数可以写成十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a 、b 、c ，使得：).)(()(,,,212212121b x a x ab x b a x b c a c a c c c a a a ++=+++=+==若ac b 42-不是一个平方数，那么二次三项式c bx ax ++2就不能在有理数范围内分解．(4)分组分解法将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．(5)分解因式的一般步骤一看有无公因式，二看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．3．因式分解的高端方法(1)拆项、添项法将多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解．注：用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．(2)配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法．属于拆项、补项法的一种特殊情况，也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形．(3)换元法对于某些比较复杂的代数式看做一个整体，用一个字母来代替，从而简化原代数式，最后将原代数式代入.(4)主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，选择一个字母作为主要元素，其他的字母当做已知数，将多项 式按照选定的字母按照降幂排列，然后进行恰当的分组进行分解．(5)双十字相乘法双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式．条件：212121,,f f F c c C a a A ===① D f a f a E f c f c B c a c a =+=+=+122112211221,*,②即：D f a f aE f c f c B c a c a =+=+=+122112211221,,则))((22211122f y c x a f y c x a F Ey Dx Cy Bxy Ax ++++=+++++本节重点讲解：一个定义，九个方法，一个步骤 三、全能突破基 础 演 练1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )．bx ax b a x A -=-)(. 222)1)(1(1.y x x y x B ++-=+-)1)(1(1.2-+=-x x x C c b a x c bx ax D ++=++)(.2．(1)下列各式能用完全平方式进行分解因式的是()．1.2+x A 12.2-+x x B 1.2++x x C 44.2++x x D(2)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )．22)(.b a A -+ mn m B 205.2- 22.y x C -- 9.2+-x D3．若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值为( )． 6.A 6.±B 12.C 12.±D4．用适当的方法分解下列因式：2523468)1(y x z y x -2232231264)2(y x y x y x -+- n a b ab b a a n n ()(10)15)3(212---+（为正整数）m m 4)4(3-222216249)5(x y x y x ++5．用十字相乘法分解下列因式：67)1(2+-x x152)2(2--y y10113)3(2+-x x226)4(b ab a --22151112)5(y xy x --10)(3))(6(2-+-+y x y x能 力 提 升6．把b b a a 2222--+分解因式的结果是( )． )2)(2)(.(++-b a b a A )2)(.(++-b a b a B2))(.(++-b a b a c )2)(2.(22a b b a D --7．已知x 为有理数，则多项式1412-+-x x 的值( )． A ．-定是负数 B ．不可能为正数 C ．-定为正数 D ．可能为零、正、负数8．在实数范围内分解因式=-62a9．请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果10.用简便方法计算： 2271.229.7)1(-545133.154547.23)2(⨯-⨯+⨯-11.请分解下列因式：bc ac ab a -+-2)1(3223)2(y xy y x x --+ca ab bc C b a 222)3(222⋅+--++1)4(2354-+-+-x x x x x3)23()5(2-+-+m x m mxk x x k +--2)2)(6(214)1()7(222+-+-n mn n m8292)8(234+--+x x x x12.已知a 、b 、c 满足,016,82=++=-c ab b a 求c b a ++2的值．13.设x 为正整数，试判断)2(510+++x x x 是质数还是合数，请说明理由．14．化简：,)1()1()1(120122x x x x x x x ++++++++ 且当2-=x 时，求原式的值．15.已知多项式m x x +-232有一个因式是,12+x 求m 的值．16.已知：,1,12222=+=+d c b a 且,0=+bd ac 求cd ab +的值．17.观察下列各式： 1)1)(1(2-=+-x x x123)1)(1(-=++-x x x x1)1)(1(423-=++⋅+-x x x x x……(1) 分解因式：=-15x(2)根据规律可得=+++--)1)(1(1x xx n （其中n 为正整数）． (3)计算：)133333)(13(2484950++++++-18．(1)若a ，b ，c 是三角形的三条边，求证：.02222<---bc c b a(2)在△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，且满足,23,2222=++=⇒++c b a c b a 试探究△ABC 的形状， (3)在△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，且满足,0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a 试探究△ABC 的形状．19．(1)分解因式：.)6)(3)(2)(1(2x x x x x +++++(2)求证：多项式100)2110)(4(22++--x x x 的值一定是非负数．20．分解因式：.4323+-x x 中 考 链 接21．（2012．潍坊）分解因式：=--x x x 1242322．（2011．天津）若实数x 、y 、z 满足,0))((4)(2=----z y y x z x 则下列式子一定成立的是( )． 0.=++z y x A 02.=-+z y x B 02=-+⋅x z y C 02.=-+y x z D23．(2012．宜宾)已知,22,183--=+-=xy x Q x xy P 当0=/x 时，723=-Q p 恒成立，则y 的值为 ．巅 峰 突 破24.已知等腰三角形ABC 的三边长a 、b 、c 均为整数，且满足,24=+++ca b bc a 则这样的三角形共 有 个．25．(1)分解因式：).(4)(22222y x xy y xy x +-++(2)分解因式：.)44()32)(13(42222-+--+--x x x x x x26.分解因式：.2910322-++--y x y xy x。

第三节 因式分解法解一元二次方程知识点1 因式分解法解一元二次方程在方程右边为0的前提下,对左边灵活选用合适的方法因式分解,并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0,其次将方程的左边分解成两个一次因式的积,再令两个一次因式分别为0,从而实现降次,得到两个一元一次方程,最后解这两个一元一次方程,它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法. 配方法要先配方,再降次;公式法直接利用求根公式;因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元,即降次.例1.解方程：2(x 3)3x(x 3)-=-例2.一元二次方程x 2=3x 的解是例3.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长,且S △ABC =3,请写出一个符合题意的一元二次方程 ．例4.已知实数x 满足22110x x x x +++=,那么1x x+的值是知识点2 根与系数的关系若12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两个实数根,那么12x x +=a b -,12x x =a c . 求根公式是在一般形式下推导得到,根与系数的关系由求根公式得到.例1.已知一元二次方程22310x x --=的两根为12,x x ,则=+2111x x ___________． 例2.已知一元二次方程022=+-m x x .（1）若方程有两个实数根,求m 的范围;（2）若方程的两个实数根为x 1,x 2,且3321=+x x ,求m 的值.例3.设1x 、2x 是方程2320x x +－＝的两个根，则1212x x x x +-⋅= ． 例4.孔明同学在解一元二次方程x 2－3x +c =0时,正确解得x 1=1,x 2=2,则c 的值为 ． 例5.已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等,则m = .（必做）例6.已知关于x 的方程222(43)20x m x m --+-=,根据下列条件,分别求出m 的值：①两根互为相反数;②两根互为倒数;③有一根为零;④有一根为1.例7.关于x 的一元二次方程01321=+++x x m ）（有实数根,则m 的取值范围是 .例8.已知关于x 的方程222(1)0x m x m -++=.（1）当m 取什么值时,原方程没有实数根;（2）对m 选取一个合适的非零整数,使方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根．例9.三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程2x 10x+21=0-的解,则第三边的长为（ ）（A ）7 （B ）3 （C ）7或3 （D ）无法确定例10.已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.例11.已知关于x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 的两个实数根的平方和为23,则m 的值为 .。

分解法的讲解方法在数学中，分解法是一种常用的解题方法，通过将一个复杂的问题拆分成较为简单的子问题，逐步解决，最终得到整体问题的解答。

本文将从三个方面介绍分解法的讲解方法，包括问题识别与拆解、子问题求解以及整体问题解答。

一、问题识别与拆解在使用分解法解决问题时，首先需要准确地识别问题，并将其拆解成更小的子问题。

这一步骤需要考虑以下两个方面：1.问题识别：首先要弄清楚整体问题是什么，明确问题的具体要求和限制条件。

通过仔细分析问题陈述，捕捉到关键的信息，帮助确定问题的本质。

2.问题拆解：将整体问题拆解成更小、更简单的子问题，确保子问题之间的关系清晰，并保留子问题与整体问题之间的联系。

拆解问题的过程可采用自顶向下或自底向上的方式，根据实际情况选择最合适的方法。

二、子问题求解在分解法中，子问题的求解是整个过程的核心。

通过对每个子问题进行分析和求解，最终得到整体问题的答案。

以下是一些具体的子问题求解方法：1.归纳法：对于某些问题，可以通过归纳法将子问题归纳到一个更一般的规律或公式中。

通过找出子问题之间的共同点或重复性，可以更高效地求解问题。

2.递归法：在某些情况下，子问题可以通过递归调用同一算法来求解。

递归法的关键在于确定递归出口和递归公式，确保子问题能够最终收敛到基本情况。

3.动态规划：动态规划是一种通过建立多阶段决策模型，以优化问题求解的方法。

通过存储中间结果，避免了子问题的重复计算，提高了求解效率。

4.分支定界法：分支定界法是一种通过将问题拆分成多个子问题，并通过剪枝操作排除一些无效的解决方案，从而提高求解效率的方法。

三、整体问题解答通过解决分解后的所有子问题，获得部分答案后，就可以利用这些答案来解决整体问题。

以下是一些常见的整体问题解答方法：1.合并法：将子问题的解答合并起来，得到整体问题的答案。

在合并过程中，要确保子问题的解答能够完整覆盖整体问题的解空间。

2.推导法：通过子问题的解答，通过推导或演算的方式，得到整体问题的解。