上海市普陀区2017届九年级上学期期末质量调研数学(一模)试题

2017 年普陀区数学一模试卷______姓名 ______学号___________一、选择题6题 4 分） 1、“相似的图形 ”是（ ） （A ）形状相同的图形 （B ）大小不相同的图形 （C ）能够重合的图形 （D ）大小相同的图形 2、下列函数中， y 是关于 x 的二次函数的是（ ） （A ）y=2x+1 （B ）y=2 x (x+1)（C ） y 2 2 x（D ） 2 2 y ( x 2) x 3、如图，直线 l 1//l 2// l 3，直线 AC 分别和 l 1、l 2、l 3 交于 A 、B 、C ，直线 DF 分别和l 1、l 2、l 3 交于 D 、E 、F ，AC和 DF 相交于点 H ，如果 AH =2，HB =1，BC =4，那么 DE EF （A ） 1 5 （B ） 1 3 （C ） 254、抛物线2 y x1 0 12 ⋯ y ⋯ 0 4 6 6 4 ⋯从上表可至，下列说法中错误的是（）（A ）抛物线和 x轴的一个交点是(-2,0) （B ）抛物线和 y轴的交为(0,6)（C ）抛物线的对称轴是直线 x=0 （D ）抛物线在对称轴左侧部分上升 5、如图 2，在四边形 ABCD 中，如果∠ ADC =∠BAC ，那么下列条件中不能判定△ ADC 和△BAC 相似的是（ ） （A ）∠ DAC =∠ABC （B ）AC 是∠ BCD 的平分线 （C ）AC 2 = BC·CD （D ） AD CD AB AC6、下列说法中，错误的是（ ）（A ）长度为1 的向量叫做单位向量 （B ）如果 k ≠0，且 a 0，那么 ka, a 方向相同 （C ）如果 k=0 或 a 0，则k a 0 （D ）如果 5 1 a c,b c, c 0，则a //b 2 2 二、填空题 12题 4 分） 7、如果 x:y =4:3 ，那么 x y y . 8、计算：3a 4(a b) . 2 的开口向上，那么 m 的取是 . 9、如果抛物线 y=( m -1) x 10、抛物线 y= 2 4x 3x 11、如果点 A(3, n )在二次函数 2 2 3 y x x 的图像上，那么， n= .112、已知线段AB 的长为10cm，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP= cm.13、利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成为边长为20cm 的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长之比为.14、已知点P 在半径为 5 的圆O 外，如果OP= c x，那么x 的范围是.15、如果在港口 A 的南偏东52 度方向上有一座小岛B，那么从小岛 B 观察港口 A 的方向是.16、在半径为4cm 的圆面中，挖去一个半径为x cm 的圆面，剩下的部分面积为y cm 2，写出y 关于x 的函数解析式：. （结果保留π，不用写定义域）17、如果等腰三角形的腰和底边之比为5:6，那么底角的余弦值等于.18、如图，DE //BC，且DE 过△ABC 的重心，分别和AB、AC 交于点D、E，点P 是线段DE 上的一点，CP 的延长线和AB 交于点Q，如果DP 1DE 4 ，那么：:S S 的值DPQ CPE是.三、解答题（本题7题，19、20、21、22题各10分，23、24题各12分，25题14分）19、计算： 2 cot 30cos 45 3 tan 601 2sin 60.20、如图，已知AD 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC =16，试求圆O 的直径.21、如图，已知向量OA, O B ,OP（1）求作OP 分别在OA,OB方向上的分向量OD,OE ;（不要求写作法，但要在图中明确标出向量OD, O E ）（2）如果点 A 是线段OD 的中点，连接AE，和线段OP 交于点Q，设OA a ，OP p ，那么，请用a,p 表示向量PE,QE . （请直接写出结论）222、一段斜坡路面的截面如图所示， BC ⊥ AC ，其中破面 AB 的坡比 i 1 = 1:2 ，现在计划削坡放缓，新的破面的坡 角为原来坡角的一半，试求新坡面AD 的坡比 i 2. （结果保留根号）23、已知，如图，在四边形 ABCD 中，∠ BAD =∠CDA ， AB= C D= ab ，CE =a ，AC= b求证：（ 1）△DEC ∽△ ADC ；（2）AE·A B= B C·DE24、在平面直角xOy 中，点 A(4,0)是抛物线以点 B (0,2)，平移后的新抛物为 C ，新抛物线的对称轴和线段 （1）求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点 C 的坐标；（2）求∠ CAB 的正切值； （3）如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一△BCQ 和△ACP 相似，试求点 Q 的坐标 .325、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，sin 3 B ，点O 是AB 的中点，∠DOE =∠A，当∠DOE5以点O 为旋转中心旋转的时候，OD 和AC 的延长线交于点D，交BC 边与点M，OE 和线段BM 交于点N. （1）当CM =2 时，试求线段CD 的长；（2）设CM =x，BN= y，试求y 和x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN 是以OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM 的长.（备用图1）（备用图2）4。

2017年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣13．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．C． =D． =， =5．如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A．B．C．D．6．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则的值为．8．计算：（﹣3）﹣（+2）= ．9．已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．10．把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．11．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ．13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1y2．（填“＞”、“=”或“＜”）14．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：．20．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．22．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．25．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．2017年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=，cotA=．2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别求出x=0时y的值，即可判断是否过原点．【解答】解：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键．3．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．【解答】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．C． =D． =， =【考点】*平面向量．【分析】根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∥，∥，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、=，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、=， =，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题．5．如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵AD∥BC∴=，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴=，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴=，故D正确．∴C错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由△AEF∽△ABC，可知△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，根据cosA==，即可解决问题．【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则的值为．【考点】比例的性质．【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵ =，∴b=a，∴==．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．8．计算：（﹣3）﹣（+2）= ．【考点】*平面向量．【分析】根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．【解答】解：：（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．【点评】本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．9．已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是k＜1 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．【解答】解：∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数有关是解题的关键．10．把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为y=（x﹣4）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x ﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．11．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是8 ．【考点】解直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形．【分析】利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8，故答案为：8【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1＞y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．故答案为：＞【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．14．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线x=2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，故答案为：x=2．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数值相等的点到对称轴的距离相等是解题的关键．15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为 2 ．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2，故答案为：2【点评】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的重心的性质，判断点G为三角形的重心是解题的关键．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为5+5米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】CF⊥AB于点F，构成两个直角三角形．运用三角函数定义分别求出AF和BF，即可解答．【解答】解：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米故答案为：5+5．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】探究型．【分析】设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度．【解答】解：设CE=x，连接AE，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为4．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【分析】先解直角△ABC，得出BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．再根据旋转的性质得出BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∠BCM=∠ACN．解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN=3×=2，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=2AN=4．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．故答案为4．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式====．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．【解答】解：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【点评】本题考查平面向量，需要掌握一向量在另一向量方向上的分量的定义，以及向量加法的平行四边形法则．21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．22．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．【解答】解：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、熟记相似三角形的判定定理和性质定理、掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．25．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角函数定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．2017年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x23．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．8．计算：3﹣4（+）=．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于厘米．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．14．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是．15．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是．16．在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：（结果保留π，不要求写出定义域）17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．18．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果=，那么S△DPQ ：S△CPE的值是．三、解答题19．计算：cos245°+﹣•tan30°．20．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．21．如图，已知向量，，．（1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设=，=，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）22．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比i2（结果保留根号）23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．25．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM=2时，求线段CD的长；（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．2017年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形【考点】相似图形．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A错误；B、y=2x（x+1）是二次函数，故B正确；C、y=不是二次函数，故C错误；D、y=（x﹣2）2﹣x2是一次函数，故D错误；故选：B．3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【考点】二次函数的性质．【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断A、B；当x=0或x=1时，y=6可求得其对称轴，可判断C；由表中所给函数值可判断D．【解答】解：当x=﹣2时，y=0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②=；故选：C．6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥【考点】*平面向量．【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．【解答】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项错误；B、当k＞0且≠时，那么k的方向与的方向相同，故本选项正确；C、如果k=0或=，那么k=，故本选项错误；D、如果=，=，其中是非零向量，那么向量a与向量b共线，即∥，故本选项错误；故选：B．二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质用x表示y，代入计算即可．【解答】解：∵x：y=4：3，∴x=y，∴==，故答案为：．8．计算：3﹣4（+）=﹣﹣4．【考点】*平面向量．【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．【解答】解：3﹣4（+）=3﹣4﹣4=﹣﹣4．故答案是：﹣﹣4．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是（0，0）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令x=0可求得y=0，可求得答案．【解答】解：在y=4x2﹣3x中，令x=0可得y=0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），故答案为：（0，0）．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为12．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y=x2+2x﹣3，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y=x2+2x﹣3，∴n=9+6﹣3=12，即n=12，故答案是：12．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于5﹣5厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为360︒”是随机事件B．某种彩票的中奖率是1100，说明每买100张彩票，一定有1张中奖C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数一定是50次【答案】C【分析】根据必然事件,随机事件,可能事件的概念解题即可.【详解】解：A. “任意画一个三角形，其内角和为360︒”是不可能事件,错误,B. 某种彩票的中奖率是1100，说明每买100张彩票，一定有1张中奖,可能事件不等于必然事件, 错误,C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件,正确,D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数可能是50次,错误,故选C.【点睛】本题考查了必然事件,随机事件,可能事件的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：1．故选B．3．方程2x x=的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-1【答案】C【分析】根据因式分解法，可得答案．【详解】解：2x x=，方程整理，得，x2-x=0因式分解得，x（x-1）=0，于是，得，x=0或x-1=0，解得x1=0，x2=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．4．已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为180°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【答案】D【分析】根据底面周长=展开图的弧长可得出结果．【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr=18060180π⋅⋅，解得r=30（cm），即这个圆锥的底面半径为30cm．故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．5．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解析】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，故选B.6．若双曲线y=3kx-在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k≥3C．k＞3 D．k≠3【答案】C【分析】根据反比例函数的性质可解．【详解】解：∵双曲线3kyx-=在每一个象限内，y随x的增大而减小，∴k-3＞0 ∴k＞3故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数kyx=，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．7．如图是二次函数y =ax2+bx + c(a≠0)图象如图所示，则下列结论，①c<0，②2a + b=0；③a+b+c=0，④b2–4ac<0，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①抛物线与y轴交于负半轴，则c＜1，故①正确；②对称轴x 2b a=-=1，则2a+b=1．故②正确； ③由图可知：当x=1时，y=a+b+c ＜1．故③错误；④由图可知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则b 2﹣4ac ＞1．故④错误．综上所述：正确的结论有2个．故选B ．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．一组数据：2，3，6，4，3，5，这组数据的中位数、众数分别是（ ）A ．3，3B ．3，4C ．3.5，3D ．5，3 【答案】C【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第1、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．【详解】要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列2，1，1，4，5，6，第1、4个两个数的平均数是（1＋4）÷2＝1.5，所以中位数是1.5，在这组数据中出现次数最多的是1，即众数是1．故选：C ．【点睛】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．9．如图，O 是ABC 的内切圆，切点分别是D 、DF ，连接DF EF OD OE 、、、，若100,30A C ∠=∠=，则DFE ∠的度数是( )A ．55B ．60C ．65D ．70【答案】C 【分析】由已知中∠A ＝100°，∠C ＝30°，根据三角形内角和定理，可得∠B 的大小，结合切线的性质，可得∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得到∠DFE的度数．【详解】解：∠B＝180°−∠A−∠C＝180−100°−30°＝50°∠BDO＋∠BEO＝180°∴B、D、O、E四点共圆∴∠DOE＝180°−∠B＝180°−50°＝130°又∵∠DFE是圆周角，∠DOE是圆心角∠DFE＝12∠DOE＝65°故选：C．【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，切线的性质，其中根据切线的性质判断出B、D、O、E四点共圆，进而求出∠DOE的度数是解答本题的关键．10．抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是()A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】试题分析：根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14考点：二次函数的性质11．下列四个几何体中，主视图为圆的是( )A．B．C．D．【答案】C【分析】首先依次判断每个几何体的主视图，然后即可得到答案．【详解】解：A、主视图是矩形，B、主视图是三角形，C、主视图为圆，D、主视图是正方形，故选：C．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知这些简单几何体的三视图是解决此类问题的关键．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=50°，则∠A 的度数为（ ）A ．80ºB ．60ºC ．40ºD ．50º【答案】C 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°，∵∠B=50°，∴∠A=90°-∠B=40°．故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知向量e 为单位向量，如果向量n 与向量e 方向相反，且长度为3，那么向量n =________．（用单位向量e 表示）【答案】3-e【解析】因为向量e 为单位向量,向量n 与向量e 方向相反,且长度为3,所以n =3e -,故答案为: 3e -.14．若方程263330x x +-=的解为12x x 、，则1212x x x x ++的值为_____________． 【答案】93- 【分析】根据根与系数的关系可得出12=63x x -+12=33x x - 【详解】解：∵方程263330x x +-=的两根是12x x 、， ∴12=63x x -+12=33x x - ∴((121212=6333==93x x x x x x -+++-+- 故答案为：93-【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记如果一元二次方程有两根，那么两根之和等于b a -、两根之积等于c a 是解题的关键． 15．方程111x x -=-的解是________． 【答案】2x = .【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验得到分式方程的解.【详解】去分母得：()21x x =-，解得:2x=，经检验是2x=的根，所以，原方程的解是：2x=.故答案是为：2x=【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．16．关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等实根，则m的取值范围是__________．【答案】m＞﹣1 4【分析】根据根的判别式，令△＞0，即可计算出m的值．【详解】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等实根，∴△＝1﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＞0，解得m＞﹣14．故答案为﹣14．【点睛】本题考查了一元二次方程系数的问题，掌握根的判别式是解题的关键．17．已知a、b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则a+b＝_____．【答案】-1【分析】直接根据两根之和的公式可得答案．【详解】∵a、b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，∴a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的公式，熟记公式并熟练解题是关键.18．墙壁CD上D处有一盏灯(如图)，小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m 到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝____．【答案】64 15m【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．【详解】如图：根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，∵BG∥AF∥CD，∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，∴1.6 1.62.6x y=+,1 1.61x y=+解得：x=53, y=6415,∴CD=6415m.∴灯泡与地面的距离为6415米，故答案为64 15m.三、解答题（本题包括8个小题）19．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【答案】（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.试题解析：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．20．“十一”黄金周期间, 西安旅行社推出了“西安红色游”项目团购活动，收费标准如下:若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元(每人收费不低于700元)，设有x人参加这一旅游项目的团购活动.(1)当x=35时,每人的费用为______元.(2)某社区居民组团参加该活动,共支付旅游费用27000元,求该社区参加此次“西安红色游”的人数.【答案】(1)800；(2)该社区共有30人参加此次“西安红色游”【分析】（1）当x=35时，根据“若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元，（但每人收费不低于700元）”可得每人的费用为1000-（35-25）×20=800元；（2）该社区共支付旅游费用27000元，显然人数超过了25人，设该社区共有x人参加此次“西安红色游”，则人均费用为[1000-20（x-25）]元，根据旅游费=人均费用×人数，列一元二次方程求x的值，结果要满足上述不等式．【详解】解:(1)当x=35时,每人的费用为1000-(35-25)×20=800(元).(2)设该社区共有x人参加此次“西安红色游”,∵1000×25=25000元<27000元,∴x>25.由题意,得x[1000-20(x-25)]=27000,整理,得x2-75x+1350=0,解得x1=30,x2=45.检验:当x=30时,人均旅游费用为1000-20×(30-25)=900元>700元,符合题意;当x=45时,人均旅游费用为1000-20×(45-25)=600元<700元,不合题意,舍去,∴x=30.答:该社区共有30人参加此次“西安红色游”.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．关键是设旅游人数，表示人均费用，根据旅游费=人均费用×人数，列一元二次方程．21．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子与地面的夹角为45°，梯子底端与墙的距离CB＝2米，若梯子底端C的位置不动，再将梯子斜靠在左墙，测得梯子与地面的夹角为60°，则此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是多少米？（结果保留根号）【答案】此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是6米【分析】由Rt△ABC求出梯子的长度，再利用Rt△A'DC，求得离A'D的长. 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠BCA＝45°，∴AB＝BC＝2米，∴22222222AC BC AB=+=+=米，∴A'C＝AC＝22米，∴在Rt△A'DC中，A'D＝A'C•sin60°＝22×32＝6，∴此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是6米．【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键，题中注意：梯子的长度在两个三角形中是相等的.22．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．【答案】（1）14；（2）14.【解析】试题分析：（1）直接列举出两次传球的所有结果，球球恰在B手中的结果只有一种即可求概率；（2）画出树状图，表示出三次传球的所有结果，三次传球后，球恰在A手中的结果有2种，即可求出三次传球后，球恰在A手中的概率．试题解析:解：（1）两次传球的所有结果有4种，分别是A→B→C，A→B→A，A→C→B，A→C→A．每种结果发生的可能性相等，球球恰在B 手中的结果只有一种，所以两次传球后，球恰在B 手中的概率是14； （2）树状图如下，由树状图可知，三次传球的所有结果有8种，每种结果发生的可能性相等．其中，三次传球后，球恰在A 手中的结果有A→B→C→A ，A→C→B→A 这两种，所以三次传球后，球恰在A 手中的概率是2184=． 考点：用列举法求概率．23．如图，在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=，且点B 的坐标为()4,3（1）画出OAB ∆绕点O 逆时针旋转90︒后的11OA B ∆．（2）求点B 旋转到点1B 所经过的路线长（结果保留π）（3）画出OAB ∆关于原点对称的22OA B ∆【答案】（1）见解析；（2）52π；（2）见解析 【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心及旋转方向确定各点的对称点，顺次连接即可；（2）根据圆的周长的14计算即可； （3）根据与原点的对称点的坐标特征：横、纵坐标都变为相反数确定各点的对称点，顺次连接即可.【详解】解：(1)如图的11OA B ∆即为所作图形，(2)由图可知OAB ∆是直角三角形，4AO =，3BA =， 所以2222435AB AO BO =+=+=，点B 旋转到1B 的过程中所经过的路径是一段弧，且它的圆心角为旋转角90︒，半径为5． 111525422BB AB πππ∴=⨯⨯=⨯=. 所以点B 旋转到1B 的过程中所经过的路径长为52π．（3）如图的22OA B ∆即为所作图形，【点睛】本题考查了旋转作图、对称作图及弧长的计算，难度不大，注意准确的作出旋转后的图形是关键. 24．2020年元且，某商场为促销举办抽奖活动．规则如下：在一个不透明的纸盒里，装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．顾客每次摸出1个球，若摸到红球，则获得一份奖品；若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果张大妈只有一次摸球机会，那么张大妈获得奖品的概率是 ．（2）如果张大妈有两次摸球机会（摸出后不放回），请用“树状图”或“列表”的方法，求张大妈获得两份奖品的概率．【答案】（1）12；（2）16． 【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率＝24＝12； 故答案为：12； （2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，所以张大妈获得两份奖品的概率＝212＝16． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．25．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，BC CD =，CF AD ⊥，垂足为F ．直线CF 交AB 的延长线于点E ，连接AC ．（1）判断EF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2AC AB AF =⋅．【答案】（1）EF 与⊙O 相切，理由见解析；（2）证明见解析．【分析】(1)连接OC ，由题意可得∠OCA=∠FAC=∠OAC ，可得OC ∥AF ，可得OC ⊥EF ，即EF 是⊙O 的切线；(2) 连接BC ，根据直径所对圆周角是直角证得△ACF ∽△ABC ，即可证得结论．【详解】(1)EF 与⊙O 相切，理由如下：如图，连接OC ，∵BC CD =，∴∠FAC=∠BAC ，∵OC=OA ，∴∠OCA=∠OAC ，∴∠OCA=∠FAC ，∴OC ∥AF ，又∵EF ⊥AF ，∴OC ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；(2)连接BC ，∵AB 为直径，∴∠BCA=90°，又∵∠FAC=∠BAC ，∴△ACF ∽△ABC ， ∴AC AF AB AC=， ∴2AC AB AF =⋅．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用切线的判定和性质是本题的关键．26．为了节省材料，某水产养殖户利用本库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m 的围网在水库中围成了如图所示的①、②、③三块矩形区域网箱，而且这三块矩形区域的面积相等，设BE 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 1．（1）则AE ＝ m ，BC ＝ m ；（用含字母x 的代数式表示）（1）求矩形区域ABCD 的面积y 的最大值．【答案】（1）1x ，（80﹣4x ）；（1）1100m 1．【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的1倍，可得出AE ＝1BE ，设BE ＝x ，则有AE ＝1x ，BC ＝80﹣4x ；（1）利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可．【详解】（1）设BE 的长度为xm ，则AE ＝1xm ，BC ＝（80﹣4x ）m ，故答案为：1x ，（80﹣4x ）；（1）根据题意得：y ＝3x （80﹣4x ）＝﹣11x 1+140x ＝﹣11（x ﹣10）1+1100，因为﹣11，所以当x ＝10时，y 有最大值为1100．答：矩形区域ABCD 的面积的最大值为1100m 1．【点睛】本题考查二次函数的性质和应用，解题的关键是掌握二次函数的性质和应用.27．在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且DC=AE ，AD 与BE 交于点P ，连接PC ．(1)证明：ΔABE ≌ΔCAD ．(2)若CE=CP ，求证∠CPD=∠PBD ．(3)在(2)的条件下，证明：点D 是BC 的黄金分割点.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为△ABC 是等边三角形，所以AB=AC ，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD ，即可证明ΔABE ≌ΔCAD ；（2）设ABE CAD α∠=∠=则60PEC BAC ABE α∠=∠+∠=︒+由等边对等角可得60CPE CEP α∠=∠=︒+可得18018060(60)60CPD BPD CPE αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒+=︒-以及60PBD ABC ABE α∠=∠-∠=︒-，故CPD PBD ∠=∠；（3）可证P CPD CB ∆∆∽可得CD CP CP CB=，故2CP CD CB =⋅由于CP CE BD ==可得2BD CD CB =⋅，根据黄金分割点可证点D 是BC 的黄金分割点；【详解】证明：(1) ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAE=∠ACD=60°，在ΔABE 与ΔCDA 中，AB=AC ，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD ，∴△AEB ≌△CDA ；（2）由（1）知ABE CAD ∠=∠，则60BPD ABE BAP CAD BAP ∠=∠+∠=∠+∠=︒，设ABE CAD α∠=∠=，则60PEC BAC ABE α∠=∠+∠=︒+，∵CE CP =，∴60CPE CEP α∠=∠=︒+，∴18018060(60)60CPD BPD CPE αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒+=︒-，又60PBD ABC ABE α∠=∠-∠=︒-，∴CPD PBD ∠=∠；（3）在CPD ∆和CBP ∆中，PCB DCP ∠=∠，CPD PBD ∠=∠，∴P CPD CB ∆∆∽， ∴CD CP CP CB=， ∴2CP CD CB =⋅，又CP CE BD ==，∴2BD CD CB =⋅，∴点D 是BC 的黄金分割点；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数＝3608 45︒=︒，∴这个正多边形的边数是1．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形的内角和与外角和的知识，知道正多边形的外角之和为360°是解题关键．2．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )A．25°B．20°C．40°D．50°【答案】C【解析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【详解】如图，连接OA．∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°．∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．故选C．【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．3．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC 的长为（）A ．43B ．42C ．6D ．4【答案】B 【分析】由已知条件可得ABC DAC △△,可得出AC BC DC AC=,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABCDAC △△，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=42, 故选B.【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．4．如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A ．72︒B ．108︒C ．144︒D ．216︒【答案】B 【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是360725︒=．根据旋转的性质，当该图形围绕点O 旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．故选B ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．5．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ）A．5B．2 C．52D．25【答案】C【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE和a．【详解】过点D作DE⊥BC于点E.由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm1．.∴AD=a.∴12DE•AD＝a.∴DE=1.当点F从D到B5∴5Rt△DBE中，()2222=521 BD DE--=，∵四边形ABCD是菱形，∴EC=a-1，DC=a，Rt△DEC中，a1=11+（a-1）1.解得a=5 2 .故选C．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．6．在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为()。

2017年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x23．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．8．计算：3﹣4（+）=．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于厘米．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．14．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是．15．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是．16．在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：（结果保留π，不要求写出定义域）17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．18．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果=，那么S△DPQ ：S△CPE的值是．三、解答题19．计算：cos245°+﹣•tan30°．20．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．21．如图，已知向量，，．（1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设=，=，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）22．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比i2（结果保留根号）23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣c 上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．25．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM=2时，求线段CD的长；（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．2017年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形【考点】相似图形．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A错误；B、y=2x（x+1）是二次函数，故B正确；C、y=不是二次函数，故C错误；D、y=（x﹣2）2﹣x2是一次函数，故D错误；故选：B．3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【考点】二次函数的性质．【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断A、B；当x=0或x=1时，y=6可求得其对称轴，可判断C；由表中所给函数值可判断D．【解答】解：当x=﹣2时，y=0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②=；故选：C．6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥【考点】*平面向量．【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．【解答】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项错误；B、当k＞0且≠时，那么k的方向与的方向相同，故本选项正确；C、如果k=0或=，那么k=，故本选项错误；D、如果=，=，其中是非零向量，那么向量a与向量b共线，即∥，故本选项错误；故选：B．二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质用x表示y，代入计算即可．【解答】解：∵x：y=4：3，∴x=y，∴==，故答案为：．8．计算：3﹣4（+）=﹣﹣4．【考点】*平面向量．【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．【解答】解：3﹣4（+）=3﹣4﹣4=﹣﹣4．故答案是：﹣﹣4．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是（0，0）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令x=0可求得y=0，可求得答案．【解答】解：在y=4x2﹣3x中，令x=0可得y=0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），故答案为：（0，0）．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为12．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y=x2+2x﹣3，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y=x2+2x﹣3，∴n=9+6﹣3=12，即n=12，故答案是：12．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于5﹣5厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB=（5﹣5）厘米，故答案为：5﹣5．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是1：4．【考点】相似图形．【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，故答案为：1：4．14．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是x＞5．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围．【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O外，∴OP＞5，即x＞5．故答案为x＞5．15．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是北偏西52°．【考点】方向角．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：如图，∵∠1=∠2=52°，∴从小岛B观察港口A的方向是北偏西52°．故答案为：北偏西52°．16．在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：y=﹣πx2+16π（结果保留π，不要求写出定义域）【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围．【分析】根据圆的面积公式，可得答案．【解答】解：由题意得在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，y=﹣πx2+16π，故答案为：y=﹣πx2+16π．17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】如图，△ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC于E，则BE=EC，在Rt△AEC中，根据cos∠C===，即可解决问题．【解答】解：如图，△ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC于E，则BE=EC，，在Rt△AEC中，cos∠C===，故答案为．18．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果=，那么S△DPQ ：S△CPE的值是1：15．【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．【分析】连接QE，由DE∥BC、DE过△ABC的重心即可得出=，设DE=4m，则BC=6m，结合=即可得出DP=m，PE=3m，由△DPQ与△QPE有相同的高即可得出==，再根据DE∥BC，利用平行线的性质即可得出∠QDP=∠QBC，结合公共角∠DQP=∠BQC即可得出△QDP∽△QBC，依据相似三角形的性质即可得出==，进而得出=，结合三角形的面积即可得出==，将与相乘即可得出结论．【解答】解：连接QE，如图所示．∵DE∥BC，DE过△ABC的重心，∴=．设DE=4m，则BC=6m．∵=，∴DP=m，PE=3m，∴==．∵DE∥BC，∴∠QDP=∠QBC，∵∠DQP=∠BQC，∴△QDP∽△QBC，∴==，∴=，∴==，∴=•=×=．故答案为：1：15．三、解答题19．计算：cos245°+﹣•tan30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=（）2+﹣×=+﹣1=．20．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OB，设OB=OA=R，则OE=16﹣R，∵AD⊥BC，BC=16，∴∠OEB=90°，BE=BC=8，由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，R2=（16﹣R）2+82，解得：R=10，即⊙O的直径为20．21．如图，已知向量，，．（1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设=，=，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）【考点】*平面向量．【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，分别过P作OA、OB的平行线，交OA于D，交OB于E；（2）易得△OAQ∽△PEQ，根据相似三角形对应边成比例得出===，那么=2=﹣2，==．再求出==﹣2，然后根据=﹣即可求解．【解答】解：（1）如图，分别过P作OA、OB的平行线，交OA于D，交OB于E，则向量分别在，方向上的分向量是，；（2）如图，∵四边形ODPE是平行四边形，∴PE∥DO，PE=DO，∴△OAQ∽△PEQ，∴==，∵点A是线段OD的中点，∴OA=OD=PE，∴===，∴=2=﹣2，==．∵=﹣=﹣2，∴==﹣2，∴=﹣=﹣2﹣=﹣2．22．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比i2（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】作DE⊥AB，可得∠BDE=∠BAC，即可知tan∠BAC=tan∠BDE，即==，设DC=2x，由角平分线性质得DE=DC=2x，再分别表示出BD、AC的长，最后由坡比定义可得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∴∠DEB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴tan∠BAC=tan∠BDE，即==，设DC=2x，∵∠DAC=∠DAE，∠DEB=∠C=90°，∴DE=DC=2x，则BE=x，BD==x，∴BC=CD+BD=（2+）x，∴AC=2BC=（4+2）x，∴新坡面AD的坡比i2===﹣2．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，=，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【解答】证明：（1）∵DC=，CE=a，AC=b，∴CD2=CE×CA，即=，又∵∠ECD=∠DCA，∴△DEC∽△ADC；（2）∵△DEC∽△ADC，∴∠DAE=∠CDE，∵∠BAD=∠CDA，∴∠BAC=∠EDA，∵△DEC∽△ADC，∴=，∵DC=AB，∴=，即=，∴△ADE∽△CAB，∴=，即AE•AB=BC•DE．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣c 上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据点B（0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），将A（4，0），B'（0，8）分别代入y=ax2+2x﹣c，得原抛物线为y=﹣x2+2x+8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=﹣x2+2x+2，据此求得顶点C的坐标；（2）根据A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到AB2=20，AC2=18，BC2=2，进而得出AB2=AC2+BC2，根据∠ACB=90°，求得tan∠CAB的值即可；（3）先设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，根据==，求得PH=AH=，进而得到P（1，），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根据当点Q在点C下方时，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ与△ACP相似分两种情况，根据相似三角形的性质即可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）点B（0，2）向上平移6个单位得到点B'（0，8），将A（4，0），B'（0，8）分别代入y=ax2+2x﹣c，得，解得，∴原抛物线为y=﹣x2+2x+8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=﹣x2+2x+2，∴顶点C的坐标为（1，3）；（2）如图2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得AB2=20，AC2=18，BC2=2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴tan∠CAB===；（3）如图3，设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H，由==，得PH=AH=，∴P（1，），由HA=HC=3，得∠HCA=45°，∴当点Q在点C下方时，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ与△ACP相似分两种情况：①如图3，当=时，=，解得CQ=4，此时Q（1，﹣1）；②如图4，当=时，=，解得CQ=，此时Q（1，）．25．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM=2时，求线段CD的长；（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）如图1中，作OH⊥BC于H．只要证明△DCM≌△OHM，即可得出CD=OH=3．（2）如图2中，作NG⊥OB于G．首先证明∠1=∠2，根据tan∠1=tan∠2，可得=，由此即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，②如图4中，当OM=MN时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作OH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AB=10，sinB=，∴AC=6，BC=8，∵AO=OB，OH∥AC，∴CH=HB=4，OH=3，∵CM=2，∴CM=HM=2，在△DCM和△OHM中，，∴△DCM≌△OHM，∴CD=OH=3．（2）如图2中，作NG⊥OB于G．∵∠HOB=∠A=∠MON，∴∠1=∠2，在Rt△BNG中，BN=y，sibB=，∴GN=y，BG=y，∵tan∠1=tan∠2，∴=，∴=，∴y=，（0＜x＜4）．（3）①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，∴BN=CM=x，∵△OMH≌△ONG，∴NG=HM=4﹣x，∵sinB=，∴=，∴CM=x=．②如图4中，当OM=MN时．连接CO，∵OA=OB，OM=MN，∴CO=OA=OB，∴∠MON=∠MNO=∠A=∠OCA，∴△MON∽△OAC，∴∠AOC=∠OMN，∴∠BOC=∠CMO，∵∠B=∠B，∴△CMO∽△COB，∴=，∴8x=52，∴x=．综上所述，△OMN是以OM为腰的等腰三角形时，线段CM的长为或．2017年2月12日。

2017 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、（每 4 分）1．“相似的形”是（）A．形状相同的形B．大小不相同的形C．能重合的形D．大小相同的形2．下列函数中， y 关于 x 的二次函数是（）A． y=2x 1B．y=2x（x 1） C． y=2x2++3．如，直 l1∥l2∥l3，直 AC分交 l 1、l2、l3与点 A、B、C，直 DF分交 l1、l2、l3与点D、 E、 F，AC与 DF相交于点 H，如果 AH=2，BH=1， BC=5，那么的等于（）A．B．C．D．4．抛物 y= x2+bx+c 上部分点的横坐x，坐 y 的如下表所示：x⋯21012⋯y⋯04664⋯从上表可知，下列法中，的是（）A．抛物于 x 的一个交点坐（2，0）B．抛物与 y 的交点坐（ 0，6）C．抛物的称是直x=0D．抛物在称左部分是上升的5．如，在四形 ABCD中，如果∠ ADC=∠ BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△ BAC相似的是（）A．∠ DAC=∠ABC B．AC是∠ BCD的平分C．AC2=BC?CD D．=6．下列说法中，错误的是（）A．长度为 1 的向量叫做单位向量B．如果 k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果 k=0 或 = ，那么 k =D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥二、填空题（每题 2 分）7．如果 x：y=4：3，那么=．8．计算： 3 ﹣4（ + ） =．9．如果抛物线 y=（m﹣1）x2的开口向上，那么 m 的取值范围是．10．抛物线 y=4x2﹣ 3x 与 y 轴的交点坐标是．11．若点 A（3，n）在二次函数 y=x2+2x﹣3 的图象上，则 n 的值为．12．已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于厘米．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5 厘米的一个等边三角形放大成边长为20 厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．14．已知点 P 在半径为 5 的⊙ O 外，如果设 OP=x，那么 x 的取值范围是．15．如果港口 A 的南偏东 52°方向有一座小岛 B，那么从小岛 B 观察港口 A 的方向是．16．在半径为 4 厘米的圆面中，挖去一个半径为 x 厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，写出 y 关于 x 的函数解析式：（结果保留π，不要求写出定义域）17．如果等腰三角形的腰与底边的比是 5：6，那么底角的余弦值等于．18．如图， DE∥BC，且过△ ABC的重心，分别与 AB、AC交于点 D、E，点 P 是线段 DE上一点，CP的延长线交 AB 于点Q，如果= ，那么△ DPQ：S△ CPE的值是．S19．计算： cos245°+﹣tan30 °．20．如图，已知 AD 是⊙ O 的直径， BC是⊙ O 的弦， AD⊥BC，垂足为点 E，AE=BC=16，求⊙ O 的直径．21．如图，已知向量，，．（ 1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（ 2）如果点 A 是线段 OD 的中点，联结AE、交线段 OP于点 Q，设= ，= ，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）22．一段斜坡路面的截面图如图所示， BC⊥AC，其中坡面 AB 的坡比 i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面 AD 的坡比 i2（结果保留根号）23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ BAD=∠CDA， AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△ DEC∽△ ADC；（2） AE?AB=BC?DE．24．如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣c 上的一点，将此抛物线向下平移 6 个单位后经过点 B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为 C，新抛物线的对称（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C 的坐标；（2）求∠ CAB的正切值；（3）如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一点，且△ BCQ与△ ACP相似，求点 Q 的坐标．25．如图，在直角三角形 ABC中，∠ ACB=90°，AB=10，sinB= ，点 O 是 AB 的中点，∠ DOE=∠ A，当∠ DOE以点 O 为旋转中心旋转时， OD 交 AC 的延长线于点 D，交边 CB于点 M，OE 交线段 BM 于点 N．（1）当 CM=2 时，求线段 CD的长；（2）设 CM=x， BN=y，试求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；（ 3）如果△ OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM 的长．2017 年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 4 分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形【考点】相似图形．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选 A．2．下列函数中， y 关于 x 的二次函数是（）A． y=2x 1B．y=2x（x 1） C． y=2x2++【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y=2x+1 是一次函数，故A 错误；B、y=2x（x+1）是二次函数，故 B 正确；C、y=不是二次函数，故 C 错误；D、 y=（x﹣2）2﹣ x2是一次函数，故 D 错误；故选： B．3．如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC分别交 l 1、l2、l3与点 A、B、C，直线 DF分别交 l1、l2、l3与点D、 E、 F，AC与 DF相交于点 H，如果 AH=2，BH=1， BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．【考点】平行分段成比例．【分析】根据平行分段成比例，可以解答本．【解答】解：∵直 l1∥ l2∥ l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴ AB=AH+BH=3，∴，∴，故 D．4．抛物 y= x2+bx+c 上部分点的横坐x，坐 y 的如下表所示：x⋯21012⋯y⋯04664⋯从上表可知，下列法中，的是（）A．抛物于 x 的一个交点坐（2，0）B．抛物与 y 的交点坐（ 0，6）C．抛物的称是直x=0D．抛物在称左部分是上升的【考点】二次函数的性．【分析】由表可知抛物点（ 2，0）、（0，6）可判断 A、B；当 x=0 或 x=1 ， y=6 可求得其称，可判断 C；由表中所函数可判断 D．【解答】解：当x= 2 ， y=0，∴抛物（ 2， 0），∴抛物与 x 的一个交点坐（ 2， 0），故 A 正确；当x=0 ， y=6，∴抛物与 y 的交点坐（ 0， 6），故 B 正确；当x=0 和 x=1 ， y=6，∴ 称 x= ，故 C ；∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故 D 正确；故选 C．5．如图，在四边形 ABCD中，如果∠ ADC=∠ BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△ BAC 相似的是（）A．∠ DAC=∠ABC B．AC是∠ BCD的平分线C．AC2=BC?CD D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】已知∠ ADC=∠ BAC，则 A、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似； D 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ ADC和△ BAC中，∠ ADC=∠BAC，如果△ ADC∽△ BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或 AC是∠ BCD的平分线；②= ；故选： C．6．下列说法中，错误的是（）A．长度为 1 的向量叫做单位向量B．如果 k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果 k=0 或 = ，那么 k =D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥【考点】 * 平面向量．【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．【解答】解： A、长度为 1 的向量叫做单位向量，故本选项错误；B、当 k＞0 且≠时，那么 k 的方向与的方向相同，故本选项正确；D、如果=，=，其中是非零向量，那么向量a与向量b共线，即∥ ，故本选项错误；故选： B．二、填空题（每题 2 分）7．如果 x：y=4：3，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质用x 表示 y，代入计算即可．【解答】解：∵ x： y=4： 3，∴x= y，∴==，故答案为：．8．计算： 3 ﹣4（ + ） =﹣﹣4．【考点】 * 平面向量．【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．【解答】解： 3 ﹣4（ + ） =3 ﹣4 ﹣ 4 =﹣﹣4 ．故答案是：﹣﹣4 ．9．如果抛物线 y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m 的取值范围是m＞1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣ 1＞ 0．【解答】解：因为抛物线y=（ m﹣1）x2的开口向上，所以 m﹣ 1＞ 0，即 m＞1，故 m 的取值范围是 m＞1．10．抛物线 y=4x2﹣ 3x 与 y 轴的交点坐标是（ 0，0）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令 x=0 可求得 y=0，可求得答案．【解答】解：在 y=4x2﹣3x 中，令 x=0 可得 y=0，∴抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， 0），故答案为：（ 0， 0）．112 2x﹣3的图象上，则 n 的值为 12．．若点 A（3，n）在二次函数 y=x +【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将 A（3，n）代入二次函数的关系式y=x2+2x﹣3，然后解关于 n 的方程即可．【解答】解：∵ A（ 3， n）在二次函数 y=x2+2x﹣3 的图象上，∴A（3，n）满足二次函数 y=x2+2x﹣3，∴n=9+6﹣3=12，即 n=12，故答案是： 12．12．已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于5﹣5 厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点， AP＞BP，∴ AP=AB=（5﹣5）厘米，故答案为： 5﹣5．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5 厘米的一个等边三角形放大成边长为20 厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是1：4．【考点】相似图形．【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．【解答】解：因为原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，故答案为： 1：4．14．已知点 P 在半径为 5 的⊙ O 外，如果设 OP=x，那么 x 的取值范围是x＞ 5．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点在圆外的判断方法得到x 的取值范围．【解答】解：∵点 P 在半径为 5 的⊙ O 外，∴OP＞ 5，即 x＞5．故答案为 x＞5．15．如果港口 A 的南偏东 52°方向有一座小岛 B，那么从小岛 B观察港口 A的方向是北偏西52° ．【考点】方向角．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：如图，∵∠ 1=∠ 2=52°，∴从小岛 B 观察港口 A 的方向是北偏西 52°．故答案为：北偏西52°．16．在半径为 4 厘米的圆面中，挖去一个半径为x 厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，写出 y 关于 x 的函数解析式：2y=﹣πx16π（结果保留π，不要求写出定义域）+【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围．【分析】根据圆的面积公式，可得答案．【解答】解：由题意得在半径为 4 厘米的圆面中，挖去一个半径为x 厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，2y=﹣πx+16π，2故答案为： y=﹣πx+16π．17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】如图，△ ABC中， AB=AC，AC： BC=5：6，作 AE⊥BC于 E，则 BE=EC，在 Rt△AEC中，根据 cos∠C= ==，即可解决问题．【解答】解：如图，△ ABC中， AB=AC， AC：BC=5：6，作 AE⊥ BC于 E，则 BE=EC，，在 Rt△ AEC中， cos∠ C= == ，故答案为．18．如图， DE∥BC，且过△ ABC的重心，分别与 AB、AC交于点 D、E，点 P 是线段 DE上一点，CP 的延长线交AB于点，如果=，那么△ DPQ：S△ CPE的值是1：15 ．Q S【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．【分析】连接QE DE BC DE过△ABC=，设DE=4m BC=6m ，由∥、的重心即可得出，则，结合=即可得出 DP=m，PE=3m，由△ DPQ 与△ QPE 有相同的高即可得出== ，再根据DE∥BC，利用平行线的性质即可得出∠QDP=∠QBC，结合公共角∠ DQP=∠BQC 即可得出△ QDP ∽△ QBC，依据相似三角形的性质即可得出== ，进而得出=，结合三角形的面积即可得出==，将与相乘即可得出结论．【解答】解：连接 QE，如图所示．∵DE∥ BC，DE过△ ABC的重心，∴ = ．设 DE=4m，则 BC=6m．∵= ，∴DP=m，PE=3m，∴= = ．∵DE∥ BC，∴∠ QDP=∠QBC，∵∠ DQP=∠BQC，∴= = ，∴= ，∴= = ，∴=?= × = ．故答案为： 1：15．三、解答题19．计算： cos245°+﹣tan30 °．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式 =（）2+﹣×= +﹣1=．20．如图，已知 AD 是⊙ O 的直径， BC是⊙ O 的弦， AD⊥BC，垂足为点 E，AE=BC=16，求⊙ O 的直径．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接 OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接 OB，设 OB=OA=R，则 OE=16﹣R，∵AD⊥ BC，BC=16，∴∠ OEB=90°，BE= BC=8，由勾股定理得： OB2=OE2+BE2，R2=（ 16﹣R）2 +82，解得： R=10，即⊙ O 的直径为 20．21．如图，已知向量，，．（ 1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（ 2）如果点 A 是线段 OD 的中点，联结AE、交线段 OP于点 Q，设= ，= ，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）【考点】 * 平面向量．【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，分别过P 作 OA、OB 的平行线，交 OA 于 D，交OB 于 E；（ 2）易得△ OAQ∽△ PEQ，根据相似三角形对应边成比例得出= = = ，那么=2 =﹣2 ，==．再求出= = ﹣ 2 ，然后根据=﹣即可求解．【解答】解：（1）如图，分别过 P 作 OA、 OB 的平行线，交 OA 于 D，交 OB 于 E，则向量分别在，方向上的分向量是，；（2）如图，∵四边形 ODPE是平行四边形，∴ PE∥DO，PE=DO，∴△ OAQ∽△ PEQ，∴ = = ，∵点 A 是线段 OD 的中点，∴OA= OD= PE，∴= = = ，∴=2 =﹣2 ，==．∵= ﹣ = ﹣2 ，∴ = = ﹣2 ，∴=﹣= ﹣2 ﹣=﹣2．22．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面 AB 的坡比 i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD 的坡比 i2（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用 -坡度坡角问题．【分析】作 DE⊥AB，可得∠ BDE=∠BAC，即可知 tan∠ BAC=tan∠ BDE，即= =，设DC=2x，由角平分线性质得 DE=DC=2x，再分别表示出 BD、AC的长，最后由坡比定义可得答案．【解答】解：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，∴∠ DEB=∠C=90°，∵∠ B=∠ B，∴∠ BDE=∠BAC，∴tan ∠BAC=tan∠ BDE，即 = = ，设DC=2x，∵∠ DAC=∠DAE，∠ DEB=∠C=90°，∴DE=DC=2x，则BE=x BD== x，，∴BC=CD+BD=（2+ ） x，∴AC=2BC=（4+2 ）x，∴新坡面 AD 的坡比 i2= ==﹣2．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ BAD=∠CDA， AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△ DEC∽△ ADC；（2） AE?AB=BC?DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（ 2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，=，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【解答】证明：（1）∵ DC=，CE=a，AC=b，∴CD2=CE×CA，即 = ，又∵∠ ECD=∠ DCA，∴△ DEC∽△ ADC；（2）∵△ DEC∽△ ADC，∴∠ DAE=∠CDE，∵∠ BAD=∠CDA，∴∠ BAC=∠EDA，∵△ DEC∽△ ADC，∴ = ，∵ DC=AB，∴ = ，即 = ，∴△ ADE∽△ CAB，∴ = ，即 AE?AB=BC?DE．24．如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（42 2x﹣c 上的一点，将此，0）是抛物线 y=ax +抛物线向下平移 6 个单位后经过点 B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB 的交点记为 P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C 的坐标；（2）求∠ CAB的正切值；（3）如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一点，且△ BCQ与△ ACP相似，求点 Q 的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据点 B（0，2）向上平移 6 个单位得到点B'（ 0， 8），将 A（4，0），B'（0，8）分别代入 y=ax2+2x﹣c，得原抛物线为 y=﹣x2+2x+8，向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=﹣ x2+2x+2，据此求得顶点 C 的坐标；2，2，2，进而得出222（ 2）根据 A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到 AB+BC，根据∠ ACB=90°，求得 tan ∠CAB 的值即可；（ 3）先设抛物线的对称轴 x=1 与 x 轴交于点 H ，根据= = ，求得 PH= AH= ，进而得到 P（ 1， ），再由 HA=HC=3，得∠HCA=45°，根据当点 Q 在点 C 下方时，∠ BCQ=∠ ACP ，因此△ BCQ与△ ACP 相似分两种情况，根据相似三角形的性质即可得到点Q 的坐标．【解答】 解：（1）点 B （ 0， 2）向上平移 6 个单位得到点 B'（ 0， 8），将 A （4，0），B'（0，8）分别代入 y=ax 2 +2x ﹣ c ，得，解得，∴原抛物线为 y=﹣x 2+2x+8，向下平移 6 个单位后所得的新抛物线为 y=﹣x 2+2x+2，∴顶点 C 的坐标为（ 1，3）；（ 2）如图 2，由 A （4，0），B （0，2）， C （ 1， 3），得2 2 2AB =20， AC =18，BC =2，2 2 2 ， ∴ AB BC =AC+ ∴∠ ACB=90°，∴ tan ∠CAB= == ；（ 3）如图 3，设抛物线的对称轴 x=1 与 x 轴交于点 H ，由= = ，得 PH= AH= ，∴ P （ 1， ），由 HA=HC=3，得∠ HCA=45°，∴当点 Q 在点 C 下方时，∠ BCQ=∠ ACP，因此△ BCQ与△ ACP相似分两种情况：①如图 3，当=时，=，解得 CQ=4，此时 Q（ 1，﹣ 1）；②如图 4，当=时，=，解得 CQ= ，此时 Q（ 1，）．25．如图，在直角三角形 ABC中，∠ ACB=90°，AB=10，sinB= ，点 O 是 AB 的中点，∠ DOE=∠ A，当∠ DOE以点 O 为旋转中心旋转时， OD 交 AC 的延长线于点 D，交边 CB于点 M，OE 交线段 BM 于点 N．（ 1）当 CM=2 时，求线段 CD的长；（ 2）设 CM=x， BN=y，试求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；（ 3）如果△ OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM 的长．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）如图 1 中，作 OH⊥ BC于 H．只要证明△ DCM≌△ OHM，即可得出 CD=OH=3．（ 2）如图 2 中，作 NG⊥OB 于 G．首先证明∠ 1=∠2，根据 tan∠1=tan∠ 2，可得=，由此即可解决问题．（ 3）分两种情形讨论即可①如图 3 中，当 OM=ON 时，OH 垂直平分 MN，②如图 4 中，当 OM=MN 时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图 1 中，作 OH⊥BC于 H．在Rt△ ABC中，∵ AB=10，sinB= ，∴AC=6，BC=8，∵AO=OB，OH∥AC，∴CH=HB=4，OH=3，∵ CM=2，∴CM=HM=2，在△ DCM 和△ OHM 中，，∴△ DCM≌△ OHM，∴CD=OH=3．（ 2）如图 2 中，作 NG⊥OB 于 G．∵∠ HOB=∠A=∠MON，∴∠ 1=∠ 2，在Rt△ BNG中， BN=y，sibB= ，∴GN= y，BG= y，∵ tan ∠1=tan∠2，∴= ，∴=，∴ y=，（0＜x＜4）．（ 3）①如图 3 中，当 OM=ON 时， OH 垂直平分 MN，∴BN=CM=x，∵△ OMH≌△ ONG，∴NG=HM=4﹣x，∵ sinB= ，∴= ，∴CM=x= ．②如图 4 中，当 OM=MN 时．连接 CO，∵OA=OB，OM=MN，∴ CO=OA=OB，∴∠ MON=∠MNO=∠ A=∠OCA，∴△ MON∽△ OAC，∴∠ AOC=∠OMN，∴∠ BOC=∠CMO，∵∠ B=∠ B，∴△ CMO∽△ COB，∴= ，∴8x=52，∴x= ．综上所述，△ OMN 是以 OM 为腰的等腰三角形时，线段CM 的长为或．2017 年 2 月 12 日。

普陀区2017学年第一学期初三质量调研数学试卷（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸上，本试卷上答题一律无效。

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） [下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1、下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） （A ）2y ax bx c =++； （B ）()1y x x =-； （C ）21y x=； （D ）()221y x x =-- 2、在Rt ABC △中，90C ︒∠=，2AC =，下面结论中，正确的是（ ）（A ）2sin AB A =; （B ）2cos AB A =； （C ）2tan BC A =； （D ）2cot BC A = 3、如图1、，在ABC △中，点D E 、分别在边AB AC 、的反向延长线上，下列比例式中，不能判断ED BC ∥的是（ ） （A ）BA CA BD CE =； （C ）EA DAEC DB =； （C ）ED EABC AC=（D ）EA AC AD AB = 4、已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ）（A ）50a b -=； （B ）a 与b 方向相同； （C ）a b ∥； （D ）||5||a b =5、如图2、在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果1=2EAF CDF C C △△，那么EAFEBCS S △△的值是（ ） （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）196、如图3，已知AB 和CD 是O 的两条等弦，OM AB ⊥，ON CD ⊥，垂足分别为点M N 、，BA DC 、的延长线交于点P ，联结OP ，下列四个说法中，①AB CD =；②O M O N =；③P A P C =；④B P O D P O ∠=∠，正确的个数是（ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个E D CBA图2FE DCB A图 3O N M DC BAP二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、如果23a b =，那么b aa b-=+ ； 8、已知线段4a =厘米，9b =厘米，线段c 是线段a 和线段b 的比例中项，线段c 的长度等于 厘米； 9、化简：342b a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭= ；10、在直角坐标平面内，抛物线232y x x =+在对称轴的左侧部分是 的。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列选项中，是正数的是（）A. -3B. 0C. -1/2D. 22. 下列等式中，正确的是（）A. a^2 = aB. a^3 = aC. (a + b)^2 = a^2 + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - b^23. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 15，则b的值为（）A. 5B. 10C. 15D. 204. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^45. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点为（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（2，3）6. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 2，4，8，16，32B. 1，2，4，8，16C. 1，-2，4，-8，16D. 1，-2，4，-87. 若x + y = 5，则x^2 + y^2的最小值为（）A. 20B. 25C. 30D. 358. 下列选项中，是二次方程的是（）A. x^3 - 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x - 3 = 0C. x^4 - 4x^2 + 4 = 0D. x^5 - 5x^4 + 4x^3 = 09. 若一个等差数列的前三项分别为a、b、c，且a + b + c = 15，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列函数中，是指数函数的是（）A. y = 2xB. y = 3^xC. y = x^3D. y = x^2二、填空题（每题5分，共25分）11. 若a^2 - 5a + 6 = 0，则a的值为______。

12. 在直角坐标系中，点P（3，4）关于x轴的对称点为______。

13. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第五项为______。

14. 若函数y = kx + b的图像经过点（2，3），则k和b的值分别为______。

上海市普陀区2017届初三一模数学试卷2016.12一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1.“相似的图形”是（ ）A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形2. 下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ）A. 21y x =+B. 2(1)y x x =+C. 22y x= D. 22(2)y x x =-- 3. 如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ，如果2AH =，1HB =，5BC =，那么DE EF=（ ） A. 15 B. 13 C. 25 D. 35 4. 抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）A. 抛物线与x 轴一个交点坐标为(2,0)-B. 抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)C. 抛物线的对称轴是直线0x =D. 抛物线在对称轴左侧部分是上升的5. 如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定△ADC 和 △BAC 相似的是（ ）A. DAC ABC ∠=∠B. AC 是BCD ∠的平分线C. 2AC BC CD =⋅D. AD DC AB AC= 6. 下列说法中，错误的是（ ）A. 长度为1的向量叫做单位向量B. 如果0k ≠，且0a ≠ ，那么ka 的方向与a 的方向相同C. 如果0k =或0a = ，那么0ka =D. 如果52a c = ，12b c =- ，其中c 是非零向量，那么a ∥b二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 如果:4:3x y =，那么x y y-= 8. 计算：34()a a b -+= 9. 如果抛物线2(1)y m x =-的开口向上，那么m 的取值范围是10. 抛物线243y x x =-与y 轴的交点坐标是11. 如果点(3,)A n 在二次函数223y x x =+-的图像上，那么n =12. 已知线段AB 的长为10厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的 长等于厘米13. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘 米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是14. 已知点P 在半径为5的O 外，如果设OP x =，那么x 的取值范围是15. 若在港口A 南偏东52°方向有一座小岛B ，则从小岛B 观察港口A 的方向是16. 在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x 厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘 米，写出y 关于x 的函数解析式：（结果保留π，不要求写出定义域）17. 如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么底角的余弦值等于18. 如图，DE ∥BC ，且过△ABC 的重心，分别与AB 、AC交于点D 、E ，点P 是线段DE 上一点，CP 的延长线交AB 于点Q ，如果14DP DE =，那么:DPQ CPE S S ∆∆=三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：2cot 30cos 45tan 302sin 601︒︒︒︒++20. 如图，已知AD 是O 的直径，BC 是O 的弦，AD BC ⊥，垂足为点E ， 16AE BC ==，求O 的直径；21. 如图，已知向量OA 、OB 和OP ；（1）求作：向量OP 分别在OA 、OB 方向上的分向量OD 、OE ；（不要求写作法，但要在图中明确标出向量OD 和OE ）（2）如果点A 是线段OD 的中点，联结AE ，交线段OP 于点Q ，设OA a = ，OP p = ，那么试用a 、p 表示向量PE 、QE ；（请直接写出结论）22. 一段斜坡路面的截面图如图所示，BC AC ⊥，其中坡面AB 的坡比11:2i =，现计划 削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡角的一半，求新坡面AD 的坡比2i ；（结果保留根号）23. 已知，如图，在四边形ABCD 中，BAD CDA ∠=∠，AB DC ==CE a =， AC b =，求证：（1）△DEC ∽△ADC ；（2）AE AB BC DE ⋅=⋅；24. 已知在平面直角坐标系xOy 中，点(4,0)A 是抛物线22y ax x c =++上的一点，将此抛 物线向下平移6个单位后经过点(0,2)B ，平移后所得到的新抛物线的顶点记为C ，新抛物 线的对称轴与线段AB 的交点记为P ；（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C 的坐标；（2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ 与△ACP 相似，求点Q 的坐标；25. 如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ︒∠=，10AB =，3sin 5B =，点O 是AB 的中 点，DOE A ∠=∠，当DOE ∠以点O 为旋转中心旋转时，OD 交AC 的延长线于点D ， 交边CB 于点M ，OE 交线段BM 于点N ；（1）当2CM =时，求线段CD 的长；（2）设CM x =，BN y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN 是以OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM 的长；参考答案一. 选择题1. A2. B3. D4. C5. C6. B二. 填空题 7. 138. 4a b -- 9. 1m > 10. (0,0) 11. 1212. 5 13. 1:4 14. 5x > 15. 北偏西52°16. 216y x ππ=-+ 17.35 18. 115三. 解答题19. 2220. 20； 21.（1）略；（2）2PE a =- ，223QE p a =- ；22. 1:2)； 23. 略；24.（1）222y x x =-++，(1,3)；（2）13；（3）(1,1)-，5(1,)2； 25.（1）3；（2）10025254x y x -=-，04x <<；（3）52，258；。

2017普陀区数学一模（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1． “相似的图形”是（ ▲ ）（A ）形状相同的图形； （B ）大小不相同的图形； （C ）能够重合的图形； （D ）大小相同的图形． 2． 下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ▲ ） （A ）21y x =+； （B ）2(1)y x x =+； （C ）22y x=； （D ）22(2)y x x =--． 3．如图1，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ．如果=2AH ，=1HB ，=5BC ，那么DEEF 的值等于（ ▲ ） （A ）15； （B ）13； （C ）25； （D ）35．4．抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（ ▲ ）（A ）抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0-；（B ）抛物线与y 轴的交点坐标为()0,6； （C ）抛物线的对称轴是直线=0x ； （D ）抛物线在对称轴左侧部分是上升的．图15．如图2，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能．．判定△ADC 和△BAC 相似的是（ ▲ ）（A ）DAC ABC ∠=∠； （B ）AC 是BCD ∠的平分线； （C ）2=AC BC CD ； （D ）=AD DC ABAC．6．下列说法中，错误的是（ ▲ ） （A ）长度为1的向量叫做单位向量；（B ）如果0k ≠，且0a →→≠，那么k a →的方向与a →的方向相同； （C ）如果0k ＝或a →＝0→，那么k a →＝0→；（D ）如果52a c →→=，12b c →→=-，其中c →是非零向量，那么a →∥b →．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果3:4:=y x ，那么=x yy- ▲ ． 8．计算：34a ab →→→-+()= ▲ ． 9．如果抛物线()21y m x =-的开口向上，那么m 的取值范围是 ▲ . 10．抛物线2=43y x x -与y 轴的交点坐标是 ▲ .11．如果点()n A ,3在二次函数2=23y x x +-的图像上，那么n 的值等于 ▲ .12．已知线段AB 的长为10厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于 ▲ 厘米.13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ▲ ．14．已知点P 在半径为5的⊙O 外，如果设=OP x ，那么x 的取值范围是 ▲ ． 15．如果在港口A 的南偏东52方向有一座小岛B ，那么从小岛B 观察港口A 的方向 是 ▲ ．16．在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x 厘米的圆面，剩下部分的面积为y 平方厘米，写出y 关于x 的函数解析式： ▲ ．（结果保留π，不要求写出定义域） 17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么底角的余弦值等于 ▲ ． DCBA图218．如图3，DE ∥BC ，且过△ABC 的重心，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点P 是线段DE 上一点，CP 的延长线交AB 于点Q ．如果14DP DE ＝，那么:DPQ CPE S S ∆∆的值是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2cot30cos 453tan302sin 601+-+20．（本题满分10分）如图4，已知AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，==16AE BC ．求⊙O 的直径．图3图4C21．（本题满分10分）如图5，已知向量OA 、OB 和OP ，（1）求作：向量OP 分别在OA 、OB 方向上的分向量OD 、OE ；（不要求写作法，但要在图中明确标出向量OD 和OE ）（2）如果点A 是线段OD 的中点，联结AE ，交线段OP 于点Q ，设OA a →=、=OP p →，那么试用a →、p →表示向量PE 、QE .（请直接写出结论）22．（本题满分10分）一段斜坡路面的截面图如图6所示，BC AC ⊥，其中坡面AB 的坡比11:2i =．现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡角的一半，求新坡面AD 的坡比2i ．（结果保留根号）图5图6DB23．（本题满分12分）已知：如图7，在四边形ABCD 中，BAD CDA ∠=∠，AB DC ==CE a =，AC b =．求证：（1）△DEC ∽△ADC ； （2）AE AB BC DE =．24．（本题满分12分）如图8，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0A 是抛物线22y ax x c =++上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点()0,2B ，平移后所得到的新抛物线的顶点记为C ，新抛物线的对称轴与线段AB 的交点记为P ．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C 的坐标； （2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ 与△ACP 相似，求点Q 的坐标．图8图725．（本题满分14分）如图9， 在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，10AB =，3sin 5B =，点O 是AB 的中点．∠DOE ＝∠A ，当∠DOE 以点O 为旋转中心旋转时，OD 交AC 的延长线于点D ，交边CB 于点M ；OE 交线段BM 于点N ． （1）当2CM =时，求线段CD 的长；（2）设CM x ＝，BN y ＝，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果△OMN 是以OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM 的长．图9备用图普陀区2016学年度第一学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(A)； 2．(B)； 3．(D)； 4．(C)； 5．(C)； 6．(B). 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.13； 8. 4a b --； 9. m ＞1 ； 10. ()0,0； 11．12； 12. 5； 13．1:4； 14．x ＞5 ； 15．北偏西52； 16．216y x ππ=-+； 17．35； 18．115． 三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式=2⎝⎭··················································· （4分）=112- ····································································· （2分）=112- ······································································ （2分）=12-. ············································································· （2分）20．解：联结OB ． ··················································································· （1分）AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ 90=OEB ，12BE BC =． ········ （2分） 又 16=BC ，∴8=BE ． ························································ （1分） 设⊙O 的半径为x ，则16OE x =-． ················································ （1分） 在Rt △OEB 中，∠90=OEB ，∴222BO OE BE =+，即2228(16)x x +-=， ·································· （2分）解得10=x ． ·············································································· （2分） ∴⊙O 的直径为20． ····································································· （1分）21．解：（1）答案略. ·············································································· （4分） （2）2PE a =-，223QE a p =-+. ·············································· （3+3分）22．解法一：延长CA 到点E ，使EA AB =，联结BE ． ································· （1分） ∵EA AB =，∴ E EBA ∠=∠． ············································· （1分） ∵BAC E EBA ∠=∠+∠，∴ 2BAC E ∠=∠． ·························· （1分） 又 ∵2BAC DAC ∠=∠，∴ E DAC ∠=∠． ···························· （1分） ∴ 新坡面AD 的坡比2i 就是坡面BE 的坡比． ······························ （1分） 在Rt △ABC 中，∵11:2i =， ∴设BC k =，2AC k =． ····································· （1分）可得：AB =． ································································ （1分）∴EA AB ==． 可得)2EC k =． ··························· （1分）所以，)22BCi EC===． ·················· （2分）答：新坡面AD的坡比为)1:2．解法二：过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ． ········································· （1分） ∵BAD DAC ∠=∠，DH AB ⊥，BC AC ⊥，∴DH DC =． ···· （1分） 在Rt △ABC 中，∵11:2i =， ∴设BC k =，则2AC k =． ·································· （1分）可得：AB =，得sin B =． ········································ （2分） 设CD x =，则DH x =，BD k x =-． ····································· （1分） 在Rt △BDH 中，sin DHB BD =，得x k x =-， ······················ （1分）解得，x =． ···························································· （1分） 在Rt △DAC中，)22DCi AC===． ···· （2分）答：新坡面AD 的坡比为)1:2．23． 证明：（1）∵2CD ab =，CE AC ab =， ··············································· （1分）∴2CD CE AC =． ···························································· （1分） ∴CD CECA CD=． ······························································· （1分） 又∵ACD DCE ∠=∠， ························································ （1分）∴△DEC ∽△ADC ． ······················································ （1分）（2）证法一：∵△DEC ∽△ADC ，∴12∠=∠． ··································· （1分） ∵BAD CDA ∠=∠，∴34∠=∠． ······································· （1分）∵△DEC ∽△ADC ，∴DE CDAD AC=． ······························ （1分） ∴DE ADCD AC=． ····························································· （1分） ∵CD AB =，∴DE ADAB AC=． ··········································· （1分） ∴△ADE ∽△CAB ． ······················································ （1分） ∴AE DEBC AB=． ······························································ （1分） 即AE AB BC DE =．证法二：∵分别延长BA ，CD 交于点F ．∵BAD CDA ∠=∠，∴56∠=∠．∴FA FD =． ··················· （1分） ∵AB CD =，∴FA FDAB FC=． ∴AD ∥BC ． ······················ （1分） ∴27∠=∠． ·································································· （1分） ∵△DEC ∽△ADC ，∴12∠=∠． ··································· （1分） ∵BAD CDA ∠=∠，∴34∠=∠． ······································· （1分）∴△ADE ∽△CAB ． ······················································· （1分） ∴AE DEBC AB=． ······························································ （1分） 即AE AB BC DE =．24．（1）解法一：由题意得，原抛物线22y ax x c =++经过点()4,0A 和()0,8. ····· （1分）得0168,8.a c c =++⎧⎨=⎩ 解得1,8.a c =-⎧⎨=⎩··················································· （2分）∴原抛物线的表达式是228y x x =-++.因此，所求平移后的抛物线的表达式是222y x x =-++. ······················ （1分） 点C 的坐标是()1,3. ······································································ （1分） 解法二：由题意得，新抛物线22y ax x m =++经过点()4,6-和()0,2. ··············· （1分）得1686,2.a m m ++=-⎧⎨=⎩解得1,2.a m =-⎧⎨=⎩ ·············································· （2分）因此，所求平移后的抛物线的表达式是222y x x =-++. ······················ （1分） 点C 的坐标是()1,3. ······································································ （1分）（2）∵218AC =，22BC =，220AB =，得222AC BC AB +=.∴90ACB ∠=. ·· （2分）所以1tan 3BC CAB AC ∠==.··································································· （1分） 即CAB ∠的正切值等于13.（3）（4）设直线AB 的的表达式为y kx b =+.因为直线AB 经过点()4,0A 和()0,2，所以可得直线AB 的表达式为122y x =-+. ∵抛物线的对称轴与线段AB 交于点P ，∴点P 的坐标是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ················ （1分） 由题意得45BCQ ACP ∠=∠=，所以△BCQ 与△ACP 相似有两种可能性. ·· （1分） ① 当CQ CB CA CP=时，得4CQ =，∴点Q 的坐标是()1,1-. ···························· （1分） ② 当CQ CP CB CA =时，得12CQ =，∴点Q 的坐标是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ··························· （1分）25、解：（1）过点O 作OH ∥BC ，交AC 于点H ． ······································· （1分） 在Rt △ABC 中，由3sin 5B =，10AB =，可得6AC =，8BC =． ··········· （1分） 由OH ∥BC ，点O 是AB 的中点，可得4OH =，3CH =． ··················· （1分）∵CM ∥OH ，∴CM CD OH DH=．解得：3CD =． ··································· （1分） （2）∵CM ∥OH ，∴3CM CD OH CD =+．得：34x CD x =-． ···························· （1分） 过点N 作NF ⊥AB ，交AB 于点F ． ················································· （1分） 在Rt △NBF 中，由3sin 5B =，BN y =，可得35NF y =，45BF y =． ····· （1分） ∴455OF y =-． ∵NOB MON D A ∠+∠=∠+∠，MON A ∠=∠，∴NOB D ∠=∠． ··········· （1分） 又∵90NFO MCD ∠=∠=，∴△NFO ∽△MCD ．∴CM NF CD OF =．得：10025254x y x-=-（0＜x ＜4）． ································ （1+1分） （3）① 如果OM ON =，易得x y =，解得52CM =． ···································· （2分） ② 如果OM MN =，可得90CON ∠=，解得258CM =． ························· （2分）。

2017-2018学年上海市普陀区九年级第一学期期末质量调研数学测试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） [下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1、下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） 【A 】2y ax bx c =++； 【B 】()1y x x =-； 【C 】21y x =； 【D 】()221y x x =--【答案】B【解析】C 、D 不含二次项，排除，A 项如果0a =，则不成立，故选B2、在Rt ABC △中，90C ︒∠=，2AC =，下面结论中，正确的是（ ） 【A 】2sin AB A =; 【B 】2cos AB A =； 【C 】2tan BC A =； 【D 】2cot BC A = 【答案】C【解析】作一个直角三角形根据锐角三角比即可选出C3、如图1，在ABC △中，点D E 、分别在边AB AC 、的反向延长线上，下列比例式中，不能判断ED BC ∥的是（ ） 【A 】BA CABD CE=； 【B 】EA DAEC DB =； 【C 】ED EABC AC =【D 】EA ACAD AB= 【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例定理可知选C图14、已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ） 【A 】50a b -=；【B 】a 与b 方向相同；E D C BA图2FEDCBA 图 3O N M DC BAP【C 】a b ∥； 【D 】||5||a b =【答案】A【解析】0向量而不是0，故选A5、如图2、在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果1=2EAF CDF C C △△，那么EAFEBCS S △△的值是（ ） 【A 】12； 【B 】13； 【C 】14； 【D 】19【答案】D【解析】面积比等于相似比的平方，相似比等于周长比，故可知选D6、如图3，已知AB 和CD 是O 的两条等弦，OM AB ⊥，ON CD ⊥，垂足分别为点M N 、，BA DC 、的延长线交于点P ，联结OP ，下列四个说法中，①AB CD =；②OM ON =；③PA PC =；④BPO DPO ∠=∠，正确的个数是（ ） 【A 】1个； 【B 】2个； 【C 】3个； 【D 】4个 【答案】D【解析】①②③④均正确，故选D二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、如果23a b =，那么b aa b -=+ ； 【答案】15【解析】代入即可得出158、已知线段4a =厘米，9b =厘米，线段c 是线段a 和线段b 的比例中项，线段c 的长度等于 厘米； 【答案】6【解析】由比例中项的概念可以得出±6，又由于是线段，所以为69、化简：342b a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭= ；【答案】→→+-b a 74【解析】展开括号化简即可得出→→+-b a 7410、在直角坐标平面内，抛物线232y x x =+在对称轴的左侧部分是 的。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，有一块三角形余料ABC ，它的面积为362cm ，边12BC =cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则加工成的正方形零件的边长为( )cmA ．8B ．6C ．4D ．3【答案】C 【分析】先求出△ABC 的高，再根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF ∽△ABC ，从而根据相似三角形的性质求出正方形的边长.【详解】作AH ⊥BC ，交BC 于H ，交EF 于D.设正方形的边长为xcm ，则EF=DH= xcm ，∵△AB 的面积为362cm ，边12BC =cm ，∴AH=36×2÷12=6.∵EF ∥BC,∴△AEF ∽△ABC, ∴EF AD BC AH=, ∴6126x x -=, ∴x=4.故选C.【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．22x -有意义的x 的取值范围（ ） A ．x ≥4 B ．x≥2 C ．x≥0且x≠4 D ．x≥0且x≠2【答案】C【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】解：根据题意得：0x 且20x，解得：0x 且4x ≠．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值．3．已知二次函数的解析式为2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠），且20a ab ac ++<，下列说法：①240b ac -<；②0ab ac +<；③方程20ax bx c ++=有两个不同根1x 、2x ，且()()12110x x -->；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据a 的符号分类讨论，分别画出对应的图象，根据二次函数的图象逐一分析，找出所有情况下都正确的结论即可．【详解】解：当a ＞0时，即抛物线的开口向上∵20a ab ac ++<∴0a b c ++<，2ab ac a +<-即当x=1时，y=0a b c ++<∴此时抛物线与x 轴有两个交点，如图所示∴240b ac ->，故①错误；∵20a -<∴0ab ac +<，故此时②正确；由图象可知：x 1＜1，x 2＞1∴1210,10x x -<-<∴()()12110x x -->，故此时③正确；当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；当a ＜0时，即抛物线的开口向下∵20a ab ac ++<∴0a b c ++>，2ab ac a +<-即当x=1时，y=0a b c ++>∴此时抛物线与x 轴有两个交点，如图所示∴240b ac ->，故①错误；∵20a -<∴0ab ac +<，故此时②正确；由图象可知：x 1＜1，x 2＞1∴1210,10x x -<-<∴()()12110x x -->，故此时③正确；当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；综上所述：①错误；②正确；③正确；④错误，正确的有2个故选B ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．4．若点A （1，y 1）、B （2，y 2）都在反比例函数()k y k 0x =>的图象上，则y 1、y 2的大小关系为 A ．y 1＜y 2B ．y 1≤y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1≥y 2 【答案】C【解析】根据反比例函数图象的增减性进行判断： 根据反比例函数()k y k 0x =≠的性质：当k 0＞时，图象分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k 0＜时，图象分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．∵反比例函数的解析式k y x=中的k 0＞，∴点A （1，y 1）、B （1，y 1）都位于第四象限． 又∵1＜1，∴y 1＞y 1．故选C ．5．书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（ ）A．425B．925C．310D．110【答案】C【分析】画树状图（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是古典名著的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说），共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是古典名著的结果数为6，所以从中随机抽取2本都是古典名著的概率=63= 2010．故选：C．【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即m Pn .6．如图，某小区规划在一个长50米，宽30米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪面积都为178平方米，设道路宽度为x 米，则（）A．（50﹣2x）（30﹣x）＝178×6B．30×50﹣2×30x﹣50x＝178×6C．（30﹣2x）（50﹣x）＝178D．（50﹣2x）（30﹣x）＝178【答案】A【分析】设道路的宽度为x米．把道路进行平移，使六块草坪重新组合成一个矩形，根据矩形的面积公式即可列出方程．【详解】解:设横、纵道路的宽为x米，把两条与AB平行的道路平移到左边，另一条与AD平行的道路平移到下边，则六块草坪重新组合成一个矩形,矩形的长、宽分别为（50﹣2x）米、（30﹣x）米，所以列方程得（50﹣2x）×（30﹣x）＝178×6，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对图形进行适当的平移是解题的关键．7．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＝2；③abc＜0；④a﹣b+c ＜0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线与x轴有两不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞1．故①正确；②∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），∴代入得a+b+c ＝2．故②正确；③∵根据图示知，抛物线开口方向向上，∴a ＞1．又∵对称轴x ＝﹣2b a ＜1， ∴b ＞1． ∵抛物线与y 轴交与负半轴，∴c ＜1， ∴abc ＜1．故③正确；④∵当x ＝﹣1时，函数对应的点在x 轴下方，则a ﹣b+c ＜1，故④正确；综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9．已知O 与ABC 各边相切于点,,D E F ，5,3,2AD cm CE cm BF cm ===，则O 的半径（ ）A ．1cmB 2cmC 3cmD ．2cm【答案】C 【分析】根据内切圆的性质，得到OD OE OF r ===，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG ⊥AC 于点G ，然后求出BG 的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径.【详解】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，作BG ⊥AC 于点G ，∵O 是ABC 的内切圆，∴OD OE OF r ===，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，∴AC=8，AB=7，BC=5，在Rt △BCG 和Rt △ABG 中，设CG=x ，则AG=8x -，由勾股定理，得：22222BG BC CG AB AG =-=-，∴222257(8)x x -=--， 解得：52x =， ∴52CG =， ∴225535()2BG =-=， ∵11()22ABC S AC BG AB AC BC r ∆=•=•++•， ∴53823875r ==++ 故选：C.【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题.10．13的相反数是（ ） A ．13- B ．13 C ．3- D ．3 【答案】A【分析】根据相反数的意义求解即可． 【详解】13的相反数是-13， 故选：A ．【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．11．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A 【分析】连接OD ，由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出DE 的长，又由直径的长求出半径OD 的长，在直角三角形ODE 中，由DE 及OD 的长，利用勾股定理即可求出OE 的长．【详解】解：如图所示，连接OD ．∵弦CD ⊥AB ，AB 为圆O 的直径，∴E 为CD 的中点，又∵CD=16，∴CE=DE=12CD=8， 又∵OD=12AB=10， ∵CD ⊥AB ，∴∠OED=90°，在Rt △ODE 中，DE=8，OD=10，根据勾股定理得：OE=22OD DE -=6，则OE 的长度为6，故选：A ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理是解答此题的关键．12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接AC ，BD ，点E 在AD 的延长线上，( )A ．若DC 平分∠BDE ，则AB=BCB ．若AC 平分∠BCD ，则2AB AM MC =⋅C ．若AC ⊥BD ，BD 为直径，则222BC AD AC +=D ．若AC ⊥BD ，AC 为直径，则sin BD BAD AC ∠=【答案】D【分析】利用圆的相关性质，依次分析各选项作答.【详解】解：A. 若DC 平分BDF ∠，则CA CB =，∴A 错B. 若AC 平分BCD ∠，则AMBDMC ，则AM MC DM BM =，∴B 错C. 若AC BD ⊥，BD 为直径，则22222222222.BC AD BM AM DM CM AB CD AB AD BD +=+++=+=+=∴C 错 D. 若AC BD ⊥，AC 为直径，如图：连接BO 并延长交O 于点E ，连接DE,∵BAD BED ∠=∠,∴sin sin BAD BED ∠=∠.∵BE 为直径，∴090BDE ∠=,sin BD BD BED BE AC∠==, ∴sin BD BAD AC ∠= . ∴选D.【点睛】本题考查圆的相关性质，另外需结合勾股定理，三角函数相关知识解题属于综合题.二、填空题（本题包括8个小题）13．□ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于O ，现从下列条件：①AC ⊥BD ②AB=BC ③AC=BD ④∠ABD=∠CBD 中随机取一个作为条件，可推出□ABCD 是菱形的概率是_________【答案】34 【分析】根据菱形的判定方法直接就可得出推出菱形的概率．【详解】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”直接判断①符合题意；根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可直接判断②符合题意；根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以③不符合菱形的判定方法； ABD CBD ∠=∠，//AB CD ，∴=ABD CBD BDC ∠=∠∠∴BC=CD ，∴ABCD □是菱形，故④符合题意；∴推出菱形的概率为：34P =．故答案为34． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及概率，熟记菱形的判定方法是解题的关键，然后根据概率的求法直接得出答案． 14．一个盒子中装有1个红球，2个白球和2个蓝球，这些球除了颜色外都相同，从中随机摸出两个球，能配成紫色的概率为_____．【答案】425【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：列表得：∵共有25种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况∴两次摸到的求的颜色能配成紫色的概率为：425． 故答案是：425 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y ＝﹣2x 的图象上，则y 1与y 2的大小关系是_____． 【答案】y 1＜y 1【分析】由k=-1可知，反比例函数y ＝﹣2x 的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则问题可解. 【详解】解：∵反比例函数y ＝﹣2x中，k ＝﹣1＜0， ∴此函数在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵点A （1，y 1），B （1，y 1）在反比例函数y ＝﹣2x 的图象上，1＞1， ∴y 1＜y 1，故答案为y 1＜y 1．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，解答关键是注意根据比例系数k 的符号确定，在各个象限内函数的增减性解决问题.16．某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是_____．【答案】35【解析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.【详解】画树状图为：共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，∴恰好选中一男一女的概率是123205=， 故答案为：35． 【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握树状图法求概率.17．已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两根为﹣5和3，则二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象对称轴是直线_____．【答案】x ＝﹣1【分析】根据一元二次方程的两根得出抛物线与x 轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案．【详解】∵一元二次方程20ax bx c ++=的两根为﹣5和3，∴二次函数2y ax bx c =++图象与x 轴的交点为(﹣5，0)和(3，0)，由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为5312x -+==-， 故答案为：1x =-．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握抛物线与x 轴交点坐标与对应一元二次方程间的关系及抛物线的对称性．18．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．【答案】1．【解析】由题意，得b−1=−1，1a=−4，解得b=−1，a=−1，∴ab=(−1) ×(−1)=1，故答案为1.三、解答题（本题包括8个小题）19．列一元二次方程解应用题某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？【答案】（1）每个月增长的利润率为5%．（2）4月份该公司的纯利润为23.1525万元．【分析】（1）设出平均增长率,根据题意表示出1月份和3月份的一元二次方程即可解题,（2）根据上一问求出的平均增长率,用3月份利润即可求出4月份的纯利润.【详解】解：（1）设每个月增长的利润率为x，根据题意得：20×（1+x）2=22.05，解得：x1=0.05=5%，x2=﹣2.05（不合题意，舍去）．答：每个月增长的利润率为5%．（2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.20．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）1，详见解析．【分析】（1）由旋转可得DE ＝DM ，∠EDM 为直角，可得出∠EDF+∠MDF ＝90°，由∠EDF ＝41°，得到∠MDF 为41°，可得出∠EDF ＝∠MDF ，再由DF ＝DF ，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF ＝CF+AE ；（2）由（1）的全等得到AE ＝CM ＝2，正方形的边长为6，用AB ﹣AE 求出EB 的长，再由BC+CM 求出BM 的长，设EF ＝MF ＝x ，可得出BF ＝BM ﹣FM ＝BM ﹣EF ＝8﹣x ，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为EF 的长．【详解】（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM ＝∠FCD+∠DCM ＝180°，AE ＝CM ，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°，∴∠EDF+∠FDM ＝90°，∵∠EDF ＝41°，∴∠FDM ＝∠EDF ＝41°，在△DEF 和△DMF 中，∵DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF ＝MF ，∴EF ＝CF+AE ；（2）解：设EF ＝MF ＝x ，∵AE ＝CM ＝2，且BC ＝6，∴BM ＝BC+CM ＝6+2＝8，∴BF ＝BM ﹣MF ＝BM ﹣EF ＝8﹣x ，∵EB ＝AB ﹣AE ＝6﹣2＝4，在Rt △EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即()22248x x +-=，解得：x ＝1，则EF ＝1．【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得线段的长．21．在△ABC 中，∠C ＝90°．（1）已知∠A ＝30°，BC ＝2，求AC 、AB 的长；（2）己知tanA AB ＝，求AC 、BC 的长．【答案】（1）AB ＝4，AC ＝（2）BC ＝，AC ＝1．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝2BC ＝4，AC ＝；（2）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝4，AB ＝，∴BC AC ＝4，∴设BC k ，AC ＝4k ，∴AB k ＝，∴k ＝2，∴BC ＝，AC ＝4k ＝1．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．22．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；并且进价50件工艺品与销售40件工艺品的价钱相同．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?【答案】（1）进价为180元，标价为1元，（2）当降价为10元时，获得最大利润为4900元．【分析】（1）设工艺品每件的进价为x 元，则根据题意可知标价为（x+45）元，根据进价50件工艺品与销售40件工艺品的价钱相同，列一元一次方程求解即可；（2）设每件应降价a 元出售，每天获得的利润为w 元，根据题意可得w 和a 的函数关系，利用函数的性质求解即可．【详解】设每件工艺品的进价为x 元，标价为（x+45）元，根据题意，得：50x=40（x+45），解得x=180，x+45=1．答：该工艺品每件的进价180元，标价1元．（2）设每件应降价a 元出售，每天获得的利润为w 元．则w=（45-a ）（100+4a ）=-4（a-10）2+4900，∴当a=10时，w 最大=4900元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型是解题的关键．23．解方程：（1）（x -2）（x -3）=12（2）3y 2+1=【答案】（1）11x =-，26x =；（2）12y y ==【分析】（1）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可；（2）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）方程变形为：25612x x -+=即2560x x --=，因式分解得：()()160x x +-=，则10x +=或60x -=，解得：11x =-，26x =；（2）方程变形为：2310y -+=，因式分解得：)210-=，10-=，解得：12y y ==． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握因式分解法解方程的步骤．24．如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．【答案】答案见解析【分析】由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，再结合AB ＝DC ，∠B ＝∠C 可证得△ABF ≌△DCE ，问题得证.【详解】解∵BE ＝CF ，∴BE+EF ＝CF+EF ，即BF ＝CE ．在△ABF 和△DCE 中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DCE ，∴∠A ＝∠D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质.25．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH ．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．【答案】（1）215=CH （2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【详解】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =， 易得224223=-=CE . ∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴43=EH . ∴()()22224323215CH EH CE =+=+=.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG， ∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH， 而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.26．已知矩形的周长为1．（1）当该矩形的面积为200时，求它的边长；（2）请表示出这个矩形的面积与其一边长的关系，并求出当矩形面积取得最大值时，矩形的边长．【答案】（1）矩形的边长为10和2；（2）这个矩形的面积S 与其一边长x 的关系式是S=-x 2+30x ；当矩形的面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形．【分析】（1）设矩形的一边长为x ，则矩形的另一边长为602x ⎛⎫-⎪⎝⎭，根据矩形的面积为20列出相应的方程，从而可以求得矩形的边长； （2）根据题意可以得到矩形的面积与一边长的函数关系，然后根据二次函数的性质可以求得矩形的最大面积，并求出矩形面积最大时它的边长．【详解】解：（1）设矩形的一边长为x ，则矩形的另一边长为602x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据题意，得 602002x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得120x =，210x =． 答：矩形的边长为10和2．（2）设矩形的一边长为x ，面积为S ，根据题意可得，()226030152252S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以，当矩形的面积最大时，15x =．答：这个矩形的面积与其一边长的关系式是S=-x 2+30x ，当矩形面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程以及函数关系式，利用二次函数的性质解答．27．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥AC ，垂足为D 点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接PA ，PB ，PC ，且满足∠PCA ＝∠ABC（1）求证：PA ＝PC ；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若BC ＝8，32AB DF =，求DE 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE ＝1．【分析】（1）根据垂径定理可得AD ＝CD ，得PD 是AC 的垂直平分线，可判断出PA ＝PC ；（2）由PC ＝PA 得出∠PAC ＝∠PCA ，再判断出∠ACB ＝90°，得出∠CAB+∠CBA ＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB ＝90°，得出∠CAB+∠PAC ＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．【详解】（1）证明∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PD是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，（2）证明：由（1）知：PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，∴OD∥BC，OD＝12BC＝182⨯＝4，∵32 ABDF=，设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，∴DE＝3a﹣2a＝a，∴OD＝4＝32a﹣a，a＝1，∴DE＝1．【点睛】本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），C（－5，y 1），D（5，y 2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定【答案】A【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），∴抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，∵C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，∴y1>y2，故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键．2．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个【答案】A【解析】∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有10次摸到白球．∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：1．∴口袋中黑球和白球个数之比为1：1．∴4×1=12（个）．故选A．考点：用样本估计总体．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC=40°，则∠BCD的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】D【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】∵OD∥BC，∴∠AOD=∠ABC=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°-∠OAD=110°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．如图，O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为6，则AB的长为（）A．8B．10C．12D．16【答案】D【分析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB=2CA，代入求出即可.【详解】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，则OC=6，OA=10，由勾股定理得：228AC OA OC=-=，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AB=2AC=16，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，正确作出辅助线是关键.5．已知正六边形的边心距是26）A．42B．46C．62D．2【答案】A【分析】如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=26OA、OB，然后求出正六边形的中心角，证出△OAB 为等边三角形，然后利用等边三角形的性质和锐角三角函数即可求出结论．【详解】解：如图所示：正六边形ABCDEF 中，OM 为边心距，OM=26，连接OA 、OB正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60°∴△OAB 为等边三角形∴∠AOM=12∠AOB=30°，OA=AB 在Rt △OAM 中，OA=42cos OM AOM =∠ 即正六边形的边长是42．故选A ．【点睛】此题考查的是根据正六边形的边心距求边长，掌握中心角的定义、等边三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．6．已知抛物线的解析式为y=（x-2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）.A ．（﹣2，1）B ．（2，1）C ．（2，﹣1）D ．（1，2）【答案】B【解析】根据顶点式y=（x-h ）2+k 的顶点为（h ，k ），由y=（x-2）2+1为抛物线的顶点式，顶点坐标为（2，1）．故选：B ．7．反比例函数y ＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n 等于( ) A ．﹣8 B ．﹣4 C ．﹣ D ．﹣2【答案】D【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=1×(-4)，然后解关于n 的方程即可．【详解】∵点（1，-4）和点（4，n ）在反比例函数y=的图象上，∴4n=1×(-4)，∴n=-1．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．8．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得1201b b c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．故选B ．【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 9．如图，在△ABC 中，中线BE 、CF 相交于点G ，连接EF ，下列结论： ①EF BC =12； ②EGFCGB S S =12； ③AF AB =GE GB ； ④GEFAEF S S =13．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】根据三角形的中位线定理推出FE ∥BC ，利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质和等底同高的三角形面积相等一一判断即可．【详解】∵AF ＝FB ，AE ＝EC ，∴FE ∥BC ，FE ：BC ＝1：2，∴AF FE GE AB BC GB==，故①③正确． ∵FE ∥BC ，FE ：BC ＝1：2，∴FG ：GC=1：2，△FEG ∽△CBG ．设S △FGE ＝S ，则S △EGC ＝2S ，S △BGC ＝4s ，∴14EGFCGB S S=，故②错误．∵S △FGE ＝S ，S △EGC ＝2S ，∴S △EFC ＝3S ． ∵AE=EC ，∴S △AEF ＝3S ，∴ GEF AEFS S=13，故④正确． 故选C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．下列说法错误的是（ ）A ．必然事件发生的概率是1B ．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C ．概率很小的事件不可能发生。