19版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13讲变化率与导数、导数的计算精选教案理

第13讲 变化率与导数、导数的计算1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为！！！ f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1###，若Δx ＝x 2－x 1，Δy＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数及几何意义(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝！！！lim Δx →0 Δy Δx ###为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝ li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点__(x 0，f (x 0))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为__y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)__.3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝！！！ lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx###为f (x )的导函数，导函数也记作y ′.4．基本初等函数的导数公式5．导数的四则运算法则(1)(f (x )±g (x ))′＝__f ′(x )±g ′(x )__；(2)(f (x )g (x ))′＝__f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )__； (3)⎝⎛⎭⎪⎫f (x )g (x )′＝！！！ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )(g (x ))2###(g (x )≠0)； (4)y ＝f (g (x ))是由y ＝f (μ)，μ＝g (x )复合而成，则y ′x ＝y ′μ·μ′x .1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( × ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x.( √ )解析 (1)错误．应先求f ′(x )，再求f ′(x 0)．(2)正确．如y ＝1是曲线y ＝cos x 的切线，但其交点个数有无数个．(3)错误．如y ＝0与抛物线y 2＝x 只有一个公共点，但是y ＝0不是抛物线y 2＝x 的切线． (4)正确．f ′(x )＝(f ′(a )x 2＋ln x )′＝(f ′(a )x 2)′＋(ln x )′＝2xf ′(a )＋1x.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( A ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12解析 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a×2＝－1，a ＝2.3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为__2x －y ＋1＝0__. 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为__y ′＝－x sin_x __.解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .一 导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 【例1】 求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x ；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x＋e.解析 (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12 －x 12 ，∴y ′＝(x －12 )′－(x 12 )′＝－12x －32 －12x －12 ＝－12x x －12x.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln x x2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x.(4)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3xln 3·e x＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.【例2】 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝！！！ －94###.(2)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝__－1__. 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，∴f ′(2)＝－94.(2)∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－(2＋3)，∴f (x )＝－(2＋3)sin x ＋cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－(2＋3)×12＋32＝－1．二导数的几何意义和切线方程若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P (x 0，y 0)的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，则切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分为以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))； 第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，由此即可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．【例3】 (1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( C )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝____1____.解析 (1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ，m ＝1，即a ＝1，∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1． 又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1． (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1．又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1． 【例4】 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， ∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5， ∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.1．(2018·河南郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( B )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析 ∵y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是 曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝__1－ln_2__.解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是__y ＝－2x －1__.解析 令x >0，则－x <0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝ln x －3x (x >0)，则f ′(x )＝1x－3(x >0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1． 4．求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解析 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5. (2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (3)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11． (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.易错点 审题不认真致误错因分析：不能正确理解曲线“在点P 处的切线”与曲线“过点P 的切线”的不同． 【例1】 求曲线S ：y ＝f (x )＝2x －x 3过点A (1,1)的切线方程． 解析 设切点为(x 0，f (x 0))．∵f ′(x )＝2－3x 2，∴切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， 即y ＝(2－3x 20)(x －x 0)＋2x 0－x 30，将点A (1,1)代入得1＝(2－3x 20)(1－x 0)＋2x 0－x 30， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或－12，A 不一定为切点，∴y 0＝1，f ′(x 0)＝－1或y 0＝－78，f ′(x 0)＝54.∴切线方程为y ＝－x ＋2或y ＝54x －14.【跟踪训练1】 求经过曲线y ＝x 3－x 2上一点(－1，－2)的切线方程． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－2x ，∴y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0. ∴其切线方程为y －(x 30－x 20)＝(3x 20－2x 0)(x －x 0)， 即y ＝(3x 20－2x 0)x －2x 30＋x 20.又其切线过点(－1，－2)，∴－2＝－3x 20＋2x 0－2x 30＋x 20， 即x 30＋x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝－1或x 0＝1． 故所求的切线方程为5x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.课时达标 第13讲[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( B ) A ．e B ．1e C ．1e 2 D ．12解析 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，得ln a ＝－1，所以a ＝1e. 2．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( D ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．－4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.3．(2018·河南八市质检)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan2x 的值是( D )A ．－23B ．－43C ．43D ．34解析 因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D ． 4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析 ∵y ＝4e ＋1，∴y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x(e x )2＋2e x＋1＝－4e x ＋1e x ＋2≥－1， 当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号，∴－1≤tan α<0.又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π，故选B ．5．(2018·河南郑州质检)函数f (x )＝e xcos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析 ∵f ′(x )＝e xcos x ＋e x(－sin x )＝e x(cos x －sin x )， ∴f ′(0)＝e 0(cos 0－sin 0)＝1．又∵f (0)＝1，∴f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0，故选C ． 6．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)·x ＋1(a ∈R )的导函数y＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( D )A ．13 B ．－23C ．73D ．－13或53解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴为x ＝－a ，－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.二、填空题7．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝__4__.解析 由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.8．(2018·广东惠州模拟)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x ＋y ＋2＝0__.解析 由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.9．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点坐标为！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3###.解析 ∵y ′＝x 2－3x，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＝12，x >0，解得x ＝3.故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3.三、解答题10．(1)已知f (x )＝e πx·sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(2)已知f (x )＝(x ＋1＋x 2)10，求f ′(1)f (1). 解析 (1)∵f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πxcos πx ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. (2)∵f ′(x )＝10(x ＋1＋x 2)9·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x1＋x 2， ∴f ′(1)＝10(1＋2)9·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝102(1＋2)10＝52(1＋2)10.又f (1)＝(1＋2)10，∴f ′(1)f (1)＝5 2. 11．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. (1)求C 上斜率最小的切线方程；(2)证明：C 关于斜率最小时切线的切点对称．解析 (1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，即切线斜率的最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0.(2)证明：设点(x 0，y 0)∈C ，点(x ，y )是点(x 0，y 0)关于切点(2，－12)对称的点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .小学+初中+高中小学+初中+高中 ∵点(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6，整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴点(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．12．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析 (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，依题意，f ′(2)＝0，f (2)＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，所以a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1. 令y ＝x 得x ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)．直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1·|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1·|2x 0－2|＝2. 所以所围三角形的面积为定值2.。

课堂达标(十三) 变化率与导数、导数的计算[A 基础巩固练]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)[解析] f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)． [答案] C2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2[解析] ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. [答案] A3．(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4[解析] 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.[答案] B4．(2018·福建省四校第一次联考)函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x轴上的截距为( )A ．10B ．5C ．－1D ．－37[解析] ∵f (x )＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4， ∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7， 又f (1)＝10，故切点坐标(1,10)，∴切线的方程为：y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，切线在x 轴上的截距为－37，故选D.[答案] D5．(2018·广东深圳4月调研)过直线y ＝x ＋1上的点P 作圆C ：(x －1)2＋(y －6)2＝2的两条切线l 1、l 2，当直线l 1，l 2关于直线y ＝x ＋1对称时，|PC |＝( )A ．3B ．2 2C ．1＋ 2D ．2[解析] 由题设可知当CP ⊥l ：y ＝x ＋1时，两条切线l 1，l 2关于直线l ：y ＝x ＋1对称，此时|CP |即为点(1,6)到直线l ：y ＝x ＋1的距离，即d ＝|1－6＋1|1＋1＝42＝22，应选答案B.[答案] B6．(2018·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A7．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．若f (x )＝2f ′(x )，则1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x＝______.[解析] 根据题意，函数f (x )＝sin x ＋cos x ， 则f ′(x )＝cos x －sin x ，又由f (x )＝2f ′(x )， 即sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )， 变形可得cos x ＝3sin x ， 即tan x ＝13，1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ， 又由tan x ＝13，则1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2xcos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ＝116； [答案]1168．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n－1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 017⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝______.[解析] f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 017⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝504⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 1⎝⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1[答案] 19．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是______． [解析] 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．[答案] (e ，e)10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 能力提升练]1．(2018·安徽蚌埠二模)已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0 [解析] ∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直， ∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x＝0有两个不同的解， 即得a ＝(1－x )e －x有两个不同的解， 设y ＝(1－x )e －x，则y ′＝(x －2)e －x， ∴x ＜2，y ′＜0，x ＞2，y ′＞0∴x ＝2时，函数取得极小值－e －2，∴0＞a ＞－e －2. [答案] D2．(2016·四川卷)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ＞1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(不妨设x 1＞1,0＜x 2＜1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝－1x 2.由已知得k 1k 2＝－1.∴x 1x 2＝1，∴x 2＝1x 1.∴切线l 1的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，切线l 2的方程为y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，即y －ln x 1＝－x 1⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 1.分别令x ＝0得A (0，－1＋ln x 1)，B (0,1＋ln x 1)．又l 1与l 2的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 11＋x 21，ln x 1＋1－x 211＋x 21.∵x 1＞1，∴S △PAB ＝12|y A －y B |·|x P |＝2x 11＋x 21＜1＋x 211＋x 21＝1，∴0＜S △PAB ＜1，故选A.[答案] A3．(2018·北京市朝阳区二模)设P 为曲线C 1上动点，Q 为曲线C 2上动点，则称|PQ |的最小值为曲线C 1，C 2之间的距离，记作d (C 1，C 2)．若C 1∶x 2＋y 2＝2，C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝2，则d (C 1，C 2)＝______； 若C 3∶e x －2y ＝0，C 4∶ln x ＋ln 2＝y ，则d (C 3，C 4)＝______.[解析] C 1(0,0)，r 1＝2，C 2(3,3)，r 2＝2，d (C 1，C 2)＝32－2－2＝2； ∵C 3：e x －2y ＝0，C 4：ln x ＋ln 2＝y 互为反函数， 先求出曲线e x－2y ＝0上的点到直线y ＝x 的最小距离． 设与直线y ＝x 平行且与曲线e x－2y ＝0相切的切点P (x 0，y 0)．y ′＝12e x ，∴12e x 0＝1，解得x 0＝ln 2，∴y 0＝1.得到切点P (ln 2,1)，到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22，丨PQ 丨的最小值为2d ＝2(1－ln 2)， 故答案为2，2(1－ln 2)． [答案]2；2(1－ln 2)4．(2018·湖南衡阳第三次联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y 在D 上的最小值为______．[解析] 当x ＞0时，f ′(x )＝1x，则f ′(1)＝1所以曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线为y ＝x －1, 区域D 可作图如下则根据线性规划的目标点的选取z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，将其转化为可行域D 内取一点(x ，y )与定点(－1，－1)之间距离的平方与2的差的最小值，有可行域可知，定点(－1，－1)到直线y ＝－2x －1的距离为|－2－1＋1|5＝25，所以可行域D 内取一点(x ，y )与定点(－1，－1)之间距离的平方与2的差的最小值45－2＝－65.[答案] －655．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.[C 尖子生专练](2018·河北唐山一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2. (2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 2＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10； ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9. 综上所述，y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9， 此时k ＝0.。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————课堂达标(十三) 变化率与导数、导数的计算[A 基础巩固练]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)[解析] f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)． [答案] C2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2[解析] ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋2＝2x ＋2，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. [答案] A3．(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4[解析] 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. [答案] B4．(2018·福建省四校第一次联考)函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( )A ．10B ．5C ．－1D ．－37[解析] ∵f (x )＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4， ∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7， 又f (1)＝10，故切点坐标(1,10)，∴切线的方程为：y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，切线在x 轴上的截距为－37，故选D.[答案] D5．(2018·广东深圳4月调研)过直线y ＝x ＋1上的点P 作圆C ：(x －1)2＋(y －6)2＝2的两条切线l 1、l 2，当直线l 1，l 2关于直线y ＝x ＋1对称时，|PC |＝( )A ．3B ．2 2C ．1＋ 2D ．2[解析] 由题设可知当CP ⊥l ：y ＝x ＋1时，两条切线l 1，l 2关于直线l ：y ＝x ＋1对称，此时|CP |即为点(1,6)到直线l ：y ＝x ＋1的距离，即d ＝|1－6＋1|1＋1＝42＝22，应选答案B.[答案] B6．(2018·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A7．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．若f (x )＝2f ′(x )，则1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x＝______.[解析] 根据题意，函数f (x )＝sin x ＋cos x ， 则f ′(x )＝cos x －sin x ，又由f (x )＝2f ′(x )， 即sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )， 变形可得cos x ＝3sin x ， 即tan x ＝13，1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ， 又由tan x ＝13，则1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2xcos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ＝116； [答案]1168．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n－1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 017⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝______.[解析] f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 017⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝504⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1[答案] 19．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是______． [解析] 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．[答案] (e ，e)10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 能力提升练]1．(2018·安徽蚌埠二模)已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0 [解析] ∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直， ∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x＝0有两个不同的解， 即得a ＝(1－x )e －x有两个不同的解， 设y ＝(1－x )e －x，则y ′＝(x －2)e －x， ∴x ＜2，y ′＜0，x ＞2，y ′＞0∴x ＝2时，函数取得极小值－e －2，∴0＞a ＞－e －2. [答案] D2．(2016·四川卷)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ＞1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(不妨设x 1＞1,0＜x 2＜1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝－1x 2.由已知得k 1k 2＝－1.∴x 1x 2＝1，∴x 2＝1x 1.∴切线l 1的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，切线l 2的方程为y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，即y －ln x 1＝－x 1⎝⎛⎭⎪⎫x －1x1.分别令x ＝0得A (0，－1＋ln x 1)，B (0,1＋ln x 1)．又l 1与l 2的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 11＋x 21，ln x 1＋1－x 211＋x 21.∵x 1＞1，∴S △PAB ＝12|y A －y B |·|x P |＝2x 11＋x 21＜1＋x 211＋x 21＝1，∴0＜S △PAB ＜1，故选A.[答案] A3．(2018·北京市朝阳区二模)设P 为曲线C 1上动点，Q 为曲线C 2上动点，则称|PQ |的最小值为曲线C 1，C 2之间的距离，记作d (C 1，C 2)．若C 1∶x 2＋y 2＝2，C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝2，则d (C 1，C 2)＝______； 若C 3∶e x －2y ＝0，C 4∶ln x ＋ln 2＝y ，则d (C 3，C 4)＝______.[解析] C 1(0,0)，r 1＝2，C 2(3,3)，r 2＝2，d (C 1，C 2)＝32－2－2＝2； ∵C 3：e x －2y ＝0，C 4：ln x ＋ln 2＝y 互为反函数， 先求出曲线e x－2y ＝0上的点到直线y ＝x 的最小距离． 设与直线y ＝x 平行且与曲线e x－2y ＝0相切的切点P (x 0，y 0)．y ′＝12e x ，∴12e x 0＝1，解得x 0＝ln 2，∴y 0＝1.得到切点P (ln 2,1)，到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22，丨PQ 丨的最小值为2d ＝2(1－ln 2)， 故答案为2，2(1－ln 2)． [答案]2；2(1－ln 2)4．(2018·湖南衡阳第三次联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y 在D 上的最小值为______．[解析] 当x ＞0时，f ′(x )＝1x，则f ′(1)＝1所以曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线为y ＝x －1, 区域D 可作图如下则根据线性规划的目标点的选取z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，将其转化为可行域D 内取一点(x ，y )与定点(－1，－1)之间距离的平方与2的差的最小值，有可行域可知，定点(－1，－1)到直线y ＝－2x －1的距离为|－2－1＋1|5＝25，所以可行域D 内取一点(x ，y )与定点(－1，－1)之间距离的平方与2的差的最小值45－2＝－65.[答案] －655．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.[C 尖子生专练](2018·河北唐山一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2. (2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 2＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10； ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9. 综上所述，y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9， 此时k ＝0.。

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第13讲变化率与导数、导数的计算考纲要求考情分析命题趋势1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则,能求简单复合函数的导数．2017·全国卷Ⅰ，162017·全国卷Ⅱ，112016·全国卷Ⅲ，152016·北京卷,18(1）2016·山东卷,101．导数的概念及几何意义是命题热点,难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．2．导数几何意义的应用也是命题热点,难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围,以及与切线有关的计算、证明问题．分值：5~7分1．函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率函数y＝f（x)从x1到x2的平均变化率为！！！错误!#＃#，若Δx＝x2－x1，Δy＝f（x2）－f（x1)，则平均变化率可表示为错误!.2．函数y＝f（x)在x＝x0处的导数及几何意义（1）定义：称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率li错误!错误!＝!!！错误!错误!#＃＃为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′x＝x0,即f′（x0）＝错误!错误!＝li错误!错误!。

第13讲变化率与导数、导数 的计算板块一/考点请单 ' 课前娄漏知识梳理』1.函数y = f (x )从x i 到X 2的平均变化率f fx 2 F f fxi \函数v = f (x )从x i 到X 2的平均变化率为！ ！！###，若 △ x = X 2— x i , △ yX 2— X i=f ( X 2) — f (x i )，则平均变化率可表示为^y .△ X考纲要求考情分析 命题趋势1. 了解导数概念的实际背 景.2. 通过函数图象直观理解 导数的几何意义.3. 能利用基本初等函数的 导数公式和导数的四则运算求 简单函数的导数，并了解复合 函数求导法则，能求简单复合 函数的导数.20i7 •全国卷I,i6 20i7 •全国卷n,ii20i6 •全国卷川,i5 20i6 •北京卷,i8(i) 20i6 -山东卷，i0 1. 导数的概念及几何意义是命题热点，难度不大，经常与函 数结合，通过求导研究函数的性 质.2. 导数几何意义的应用也是 命题热点，难度较大，题型大多 是根据导数的几何意义求参数值 或参数的取值范围，以及与切线 有关的计算、证明问题.分值：5〜7分高考解读 GAO DU2. 函数y= f(x)在x = x o处的导数及几何意义⑴定义：称函数 y = f (x )在x = x o 处的瞬时变化率li Arn f (x 。

+ △ x )_)=!((xxA yA OL A x ###为函数 y = f (x )在 x = x o 处的导数，记作 f '( x o )或 y ' x = x o ,即 f '(x 。

)= l i n i 0AA xA x 0(2) 几何意义：函数 f (x )在点x o 处的导数f '( x o )的几何意义是在曲线 y = f (x )上点(X o , f (X o ))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为 __y — f ( X o ) = f '( X o )( x — X o )_. 3•函数f (x )的导函数称函数f '(x ) = ! ! ! A mL "x+ ###为f (X )的导函数，导函数也记作 y '(1) ( f (X ) ± g (x )) '= f '(x ) 土 g '(x )(2) ( f (x )g (x )) ' = f '(x ) • g (x ) + f (x ) • g '(x ) (3) 隙〕=! !###( g (x )丰 Q);(4) y = f (g (x ))是由y = f (卩),卩=g ( x )复合而成，则翌点检週j1 •思维辨析(在括号内打“V”或“x”) •(1) 求 f '( X o )时，可先求 f (X o )，再求 f '( X o ) • ( X ) (2) 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(V )li m 辿A x —0A x —f x o A x(3) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (X )2 1⑷若f (x) = f'(a) x + In x( a>0)，则f '( x) = 2xf'(a)计■一.( V )X解析⑴错误•应先求f'(x)，再求f '(X o).(2)正确.如y= 1是曲线y = cos x的切线，但其交点个数有无数个.⑶错误•如y= 0与抛物线y2= x只有一个公共点，但是y = 0不是抛物线y2= x的切线.1 _2 2 I(4)正确.f'( x) = (f'(a)x+ In x) '= (f'(a)x) ' + (In x) '= 2xf ' (a) + 一.x2.曲线y= x ln x在点(e , e)处的切线与直线x + ay= 1垂直，则实数a的值为(A. 2B. - 2C. D.解析依题意得y ' = 1 + ln x, y' | x=e= 1 + ln e = 2,1所以一—x 2=- 1, a= 2.a_ 3 1 2 23.某质点的位移函数是s(t) = 2t -^gt (g= 10 m/s )，则当t = 2 s时，它的加速度是2A. 14 m/sB. 4 m/s 22C. 10 m/sD. —4 m/s 2解析由v( t) = s' (t) = 6t2—gt, a(t) = v' (t) = 12t —g,得t = 2 时，a(2) = v '⑵2=12X 2—10= 14(m/s ).34.曲线y= x —x+ 3在点(1,3)处的切线方程为__2x—y+ 1 = 0__.解析T y' = 3x2— 1 ,• y' |x= 1 = 3 X1 2—1 = 2.•••该切线方程为y- 3= 2(x- 1)，即2x-y+ 1 = 0.5.函数y= x cos x - sin x的导数为y ' =- x sin x解析y ' = (x cos x) ' - (sin x)' =x ' cos x+ x(cos x) ' —cos x= cos x- x s in x —cos x=- x sin x.板块二/考出祐展・题型鮮码考法精讲』一导数的运算解题技巧导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导.(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数, 再求导.(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导.(4) 根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导.(5) 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. (6) 复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. 【例1】求下列函数的导数.- 1 In x(1)y =(1 - ,x ) “―x ； 1 2 匚x xx⑶ y = tan x ； (4) y = 3e -2 + e.199•••f '⑵= 4 + 3f '⑵ + 2= 3f '⑵ +•厂⑵=-；.1-x2• y '= (x -2 )' - (x 2 )' =- 1x -2 -2x -21 1 2x x —2 x1• x - ln x ,,ln x ' x -x ' In x x 1 - ln xx x xx ' cos x — sin *2~cos xx cos x 'cos x cos x— sin x1. cos x (4) y ' = (3x e x ) ' - (2 x ) ' + e ' = (3x ) ' e x + 3x (e x ) ' - (2x ) ' = 3x |n 3 •e x + 3得—2x |nxx2= (In 3 + 1) • (3e) -2 In 2.【例2】(1)已知函数f (x )的导函数为f ' (x)，且满足关系式2f (x ) = x + 3xf ' (2) +In x ,则 f ' (2) =! ! ! 9=4_(2)已知函数f (x ) = f ' x + COS X ,贝y f解析⑵y'sin2解析(1) T f (x ) = x + 3xf ' (2) + In x , 1••• f '(x )= 2x + 3f '⑵ + x ，n =-(2 + 3)• f (x ) =- (2 + 3) sin x + cos x ,二 导数的几何意义和切线方程归纳总结若已知曲线过点 Rx o , y 。

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课堂达标（十三) 变化率与导数、导数的计算［A基础巩固练］1．函数f（x)＝（x＋2a)（x－a）2的导数为( ）A．2（x2－a2) B．2（x2＋a2）C．3（x2－a2）D．3（x2＋a2）［解析]f′（x)＝（x－a)2＋（x＋2a)［2（x－a)]＝3(x2－a2）．［答案]C2．（2018·衡水调研)曲线y＝1－错误!在点（－1,－1)处的切线方程为( ）A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2［解析]∵y＝1－2x＋2＝错误!,∴y′＝错误!＝错误!，y′|x＝－1＝2,∴曲线在点(－1，－1）处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2（x＋1)，即y＝2x＋1.［答案］A3．(2018·郑州质检）已知y＝f（x）是可导函数,如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf（x），g′（x)是g（x）的导函数,则g′(3)等于( ）A．－1 B．0C．2 D．4[解析]由题图可知曲线y＝f（x)在x＝3处切线的斜率等于－错误!，∴f′（3）＝－错误!。

2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图1­1­1)表示的集合是( )图1­1­1A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图1­2­1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12， ﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节 函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图2­1­1所示，所给图像是函数图像的有( )图2­1­1A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。