2020中考专题1——几何模型之双子型

专题01 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。

模型1. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“A ”字模型 条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.2）反“A ”字模型 条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD ==例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC 中，C Ð3BC =，若沿AB 的垂直平分线的长为 ．例3．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在ABC V 中，AD BC ^，垂足为D ，5AD =，10BC =，四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，且点E 、F 、G 、H 、N 、M 都在ABC V 的边上，那么AEM △与四边形BCME 的面积比为______．例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在ABC D 中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC D D ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD =．模型2. “X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD ＝OA OC ＝OB OD.2）反“8”字模型条件：如图2，∠A ＝∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD ＝OA OD ＝OB OC .3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE BE AB DF CF CD==4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3＝∠4.例1．（2022·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC ，BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．10C ．12D ．14例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（ ）A ．DH CH FH BH =B ．GE CG DF CB =C ．AF HG CE CG =D ．=FH BF AG FA例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB V 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12×=×S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S值．例4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ，则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG··=··=．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB××=．(2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．模型3. “AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1 图2 图31）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF ====2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF +=.3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG+==；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC V 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A ．AD AE DB EC =B ．DE DF BC FC =C ．DE AE BC EC =D ．EF AE BF AC =例2．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图，ABC V 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AG GF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA V 相似的三角形，并挑出一个进行证明．例3.（2023·安徽·九年级期中）图，AB GH CD ∥∥，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE ⊥BC ，求证：OE ＝CD ．（2）如图②，若AB ∥CD ，过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F ．求证：＝2．（3）如图③，若OC 平分∠AOB ，D 、E 分别为OA 、OB 上的点，DE 交OC 于点M ，作MN ∥OB 交OA 于一点N ，若OD ＝8，OE ＝6，直接写出线段MN 长度．课后专项训练1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC V 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12Ð=Ð．若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =______．3．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE =，BD 与CE 相交于点F ，若DEF V 的面积是3，则BCF △的面积是______．4．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG ：GD ＝BG ：GE ＝CG ：GF ＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为 _____．5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在ABC D 中，点,D E 分别在边,BA BC 上，且32AD CE DB EB ==，DBE D 与四边形ADEC 的面积的比为__________．6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC Ð=Ð，则CF =_________．7．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，过点B 作BD CB ^，垂足为B ，且3BD =，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN CB ^，垂足为N ．若2AC =，则MN 的长为__________．8．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中1111//////AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，在A ，1D 间加绑一条安全绳（线段1AD ），量得0.4m AE =，则1AD =________m ．9．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若8BE =，则GE =___．10．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在ABC V 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △∽AED V ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．11．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D ，E ，F 依次是△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CF DB EC FA××=．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ．过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AF DM FC=（依据），∴BE AD EC DM ×＝BD AF DM FC×，∴BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CF DB EC FA××=．情况②：如图2，直线DE 分别交△ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ．…（1）情况①中的依据指： ；（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :FA ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．12．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC V 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =×V ，12DBC S BC h =×△．∴ABC DBC S S =V V ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h ¢，则ABC DBC S h S h =¢△△．证明：∵ABC S V(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ^，垂足为E ，过点D 作DF BM ^，垂足为F ，则90AEM DFM Ð=Ð=°，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM=．由【探究】（1）可知ABC DBCS S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．13．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读材料】教材习题：如图，AB 、CD 相交于点O ，O 是AB 中点，ACBD ∥，求证：O 是CD 中点．问题分析：由条件易证AOC BOD ≌V V ，从而得到OC OD =，即点O 是CD 的中点方法提取：构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．【基础应用】已知ABC V 中，90B Ð=°，点E 在边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，连接D ．(1)如图1，若AB BC =，AE CF =，求证：点D 是EF 的中点；(2)如图2，若2AB BC =，2AE CF =，探究CD 与BE 之间的数量关系；【灵活应用】如图3，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上一点，点E 是AB 上一点，点小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a =，m BC b =；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m =，m 3b CN =；测得m MN c =．求解过程：15.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中, 5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES △ODB 的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长；（3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ÐÐ=、, 求线段OC 的长．16．（2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝6，点E 在对角线AC 上，且满足AE ＝2EC ，点F 在线段CD 上，作直线FE ，交线段AB 于点M ，交直线BC 于点N ．（1）当CF ＝2时，求线段BN 的长；（2）若设CF ＝x ，△BNE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME 能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x 的值．17．（2023·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，∠DAB ＝90°，对角线AC 、BD 相交于点E ，AC ⊥BC ，垂足为点C ，且BC 2＝CE •CA ．（1）求证：AD ＝DE ；（2）过点D 作AC 的垂线，交AC 于点F ，求证：CE 2＝AE •AF ．18．（2023·河南省淮滨县九年级期中） 如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点B ¢处．（1）当1BE CE=时，如图1，延长AB ¢，交CD 于点M ，①CF 的长为________；②求证：AM FM =． （2）当点B ¢恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为________；BE CE =________； （3）当3BE CE =时，求DAB ¢Ð的正弦值．。

专题一几何初步模型1双中点模型模型展现基础模型已知:点P是线段AB的中点已知:点C是线段AB上任意一点,点P1,P2分别是线段AC, BC的中点已知:点C是线段AB延长线上任意一点,点P1,P2分别是线段AC,BC的中点11怎么用?1.找模型遇到题目中有两个中点或多个中点,则考虑用“双中点模型”2.用模型中点产生“一半”,是解决问题的关键结论分析结论2:P1P2=12 AB证明:∵P1,P2分别是线段AC ,BC的中点，∵P1C= 12AC,P2C=12BC，∵P1P2=P1C+P2C，∵P1P2= P1C+P2C=12AC+12BC=12AB.结论3:P1P2=12 AB∵P1,P2分别是线段AC ,BC的中点，∵P1C= 12AC,P2C=12BC，∵P1P2=P1C-P2C，∵P1P2=P1C-P2C= 12AC-12BC=12AB.模型拓展满分技法解题的关键是抓住题中关键量中点,中点产生一半,将所求线段写成两个线段的和或差.典例小试例1如图,C,D两点把线段AB分成三部分,且AC:CD : DB=1:2∵4,点P是线段AB 的中点(点拔：一个中点,考虑中点平分线段),DP=1,则AB的长为( )A.2B.4C. 8D. 14考什么?中点的性质,线段比例关系思路点拨中点产生一半,是解题的关键.例2如图,A ,B ,C三点在同一直线上,M,N分别为线段AB,BC的中点(点拔：双中点,考虑双中点模型),且AB=6,BC=4.那么线段MN的长为( )A. 2B.4 C . 5 D.6考什么?中点的性质思路点拨以双中点模型考查中点的性质,熟悉使用双中点的性质和结论.例3(2020凉山州)点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点(点拔：三等分点有2个).若线段AB=12 cm,则线段BD的长为( ) A. 10 cm B. 8 cm C. 10 cm或8 cm D. 2 cm或4 cm考什么?中点的性质,线段的和差,分类讨论思想思路点拨已知三等分点,需要分情况讨论.实战实演1．已知线段AB,CD有四分之一重合,E,F分别是AC ,BD的中点,且EF=12,则AD 的长度为( )A. 12B. 16C. 21D. 242加图C.D是线段AB上两点，E,F分别是线段AD,BC的中点。

专题06相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型．模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。

“母子”模型（斜射影）双垂直（射影定理）“母子型”的变形斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA .1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ，:1:2AC AB ，则ADC 与ACB △的周长比是（）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ，则可得12AC AD CD AB AC BC ，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC，∵12AC AB ，∴12AC AD CD AB AC BC ，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF 绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ．(1)如图1，若CE CF ，求证：DE DF ；(2)如图2，若CE CF ，求证：2CD CE CF ；(3)如图2，过D 作DG BC 于点G ，若2CD，CF DN的长．∵DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∴∠DGN =∠ECN =90°，∠当CD =2，CF =2时，由CD 在Rt △DCG 中，CG DG ∵∠ECN =∠DGN ，∠ENC 3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为（）A ．2B ．12C ．2或12（2）已知：如图1，ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，2,AB AD ADE B ．求证：ABD △与ADE 互为母子三角形．（3）如图2，ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE 与ADC 互为母子三角形．求AG GF 的值．AG DG ，4．（2022.浙江中考模拟）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3， ABC∽ ACD， ABC∽ CBD， ACD∽ CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3．∵△ABC 的面积＝12AB•CD ＝12AC•BC ，∴CD ＝AC BC AB ＝125．（3）存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，理由如下：在△BOC 中，∵∠COB ＝90°，BC ＝3，OC ＝125，∴OB ＝95．分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，如图2①，此时△PQB ∽△ACB，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t ，解得t ＝98，即98BQ CP ，∴915388BP BC CP ．在△BPQ中，由勾股定理，得32PQ ，∴点P 的坐标为273(,)402；②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB ，∴335t t ，解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB ，∴PE BQ CO AB ，即1581255PE ，∴PE ＝910．在△BPE中，2740BE ，∴92795408OE OB BE ，∴点P 的坐标为99(,810，综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．模型2.“A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC ，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC 所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABCS DE S BC ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在 ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4．(1)若8AB ，求线段AD 的长．(2)若ADE 的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB即可求出；（2）利用平行条件证明ADE EFC ∽ ，分别求出ADE EFC 与、ADE ABC 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S V 、ABC S ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S 求出．(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，∴ADE ABC △△∽，∴DE AD BC AB ，∵DE 1BC 4 ，∴AD 1AB 4，∴118244AD AB ；(2)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，EF AB ，DE =BF ，∴,AED ECF EAD CEF ，∴ADE EFC ∽ ∴2ADE EFC S DE S FC，∵DE 1BC 4，DE =BF ，∴43FC BC DE DE DE DE ，∴133DE DE FC DE ，∴221139ADE EFC S DE S FC ，∵ADE ABC △△∽，DE 1BC 4 ，∴2211416ADE ABC S DE S BC ，∵1ADE S △，∴9,16EFC ABC S S ，∴16916BFED ABC EFC ADE S S S S ．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF ∥交DE 于点G ，求证：DG EG ．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3 CG DE CD AE ，求DE BC的值．(3)如图3，在ABCD 中，45, ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ， EF EG 交BC 于点F ．若40, EGF FG 平分,10 EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG ，CG DE ，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出DE BC 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，∴, DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EG BF CF．∵BF CF ，∴DG EG ．(2)解：由（1）得DG EG ，∵CG DE ，∴6CE CD ．∵3AE ，∴9AC AE CE ．∵DE BC ∥，∴ADE ABC ．∴13DE AE BC AC ．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．在ABCD 中，,45 BO DO ABC ADC ．∵EG BD ∥，∴由（1）得 ME GE ，∵ EF EG ，∴10 FM FG ，∴ EFM EFG ．∵40 EGF ，∴40EMF ，∴50EFG ．∵FG 平分EFC ，∴50 EFG CFG ，∴18030 BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN 中，sin 305,cos30 MN FM FN FM ∵45, MBN MN BN ，∴5 BN MN ，∴5 BF BN FN 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC 中，4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：52DF DE ；(2)如图2，将EDF 绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB 时，求DN 的长．【答案】(1)见解析(2)2FN ，理由见解析(3)103【分析】（1）连接AF ，可得AF BC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12DF AC根据中位线定理可得122DE BC ，即可得证；（2）证明DNF DME ∽，根据（1）的结论即可得FN；（3）连接AF ，过点C 作CH AB 于H ，证明AGD AHC ∽，可得125GD HC ，勾股定理求得,GE AG ，根据3tan 4AG ADG GD ，EMG ADG ，可得3tan 4EG EMG MG ，进而求得MG ，根据MD MG GD求得MD ，根据（2）的结论2DN DM，即可求解．(1)证明：如图，连接AF ，∵4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，122DE BC ，AF BC ， 12DF AC ， DF ，(2)2FN，理由如下，连接AF ，如图，∵4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，1,2EF AC CD EF DC∥， 四边形CDEF 是平行四边形，DEF C ，∵12DF AC DC ，DFC C ，DEF DFC ，180180DEF DFC ， DEM DFN ，∵将EDF 绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ， EDF PDQ ，FDN NDE EDM NDE ∵，FDN EDM ，DNF DME ∽，NF DF EM DE，FN ，(3)如图，连接AF ，过点C 作CH AB 于H ，Rt AFC △中，122FC BC ,4AF ，1122ABC S BC AF AB CH∵，5BC AF HC AB ，∵DP AB ，AGD AHC ∽，12GD AD HC AC，12GD HC Rt GED中，255GE Rt AGD中，355AG，3535tan 44AG ADG GD ，EF AD ∥∵，EMG ADG ，3tan 4EG EMGMG，4433515MG GE，1553MD MG GD，∵DNF DME ∽，DN DF DMDE103DN DM ．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．模型3.“X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X ”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则（1）AB 与CD 是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE ＝______．【答案】是5【分析】（1）证明△ACG ≌△CFD ，推出∠CAG =∠FCD ，证明∠CEA =90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB 的长，证明△AEC ∽△BED ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：（1）如图：AC =CF =2，CG =DF =1，∠ACG =∠CFD =90°，∴△ACG ≌△CFD ，∴∠CAG =∠FCD ，∵∠ACE +∠FCD =90°，∴∠ACE +∠CAG =90°，∴∠CEA =90°，∴AB 与CD 是垂直的，故答案为：是；（2）AB ∵AC ∥BD ，∴△AEC ∽△BED ，∴AC AE BD BE ，即23AE BE ，∴25AE BE ，∴AE =25BE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF＝2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求ANND 的值．【答案】(1)见解析(2)2737(3)27【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌△ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的中点，即可证明结论；(2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AMBM BC，求出AN 的长，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF ＝∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BCBC BM，可得BM 的长，由（2）同理可得答案．(1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ，∵AB ＝CD ，∴12BM CE AB ，∴AM BM ，∴AM ＝CE ；(2)∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴12BM B EF CE F ，∵CE ＝3，∴BM ＝32，∴AM ＝92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴AN AM BM BC，∴92342AN ，∴7162AN ，∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣2716＝3716，∴272716373716AN DN ；(3)∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，∴CE BC BC BM ，∴344BM ，∴163BM ，∴162633AM AB BM ，由（2）同理得，AN AMBM BC，∴231643AN ，解得：AN ＝89，∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣89＝289，∴8292879AN ND ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键．3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC ，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AOAD的值为______；(2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC，求OE 的长；②如图3，当60ACB 时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB．【答案】(1)等腰三角形，13(2)①OE ②见解析【分析】（1）过点C 作CH ⊥BD 于H ，可得四边形ABHC 是矩形，即可求得AC =BH ，进而可判断△BCD 的形状，AC 、BD 都垂直于l ，可得△AOC ∽△BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E 作EF AD 于点H ，AC ，BD 均是直线l 的垂线段，可得//AC BD ，根据等边三角形的性质可得30BAD ，再利用勾股定理即可求解．②连接CD ，根据//AC BD ，得60CBD ACB ，即BCD △是等边三角形，把ABD △旋转得90ECD ABD ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到13AF AO AB AD ，则可得AOF ADB △∽△，根据三角形相似的性质即可求证结论．(1)解：过点C 作CH ⊥BD 于H ，如图所示：∵AC ⊥l ，DB ⊥l ，CH ⊥BD ，∴∠CAB =∠ABD =∠CHB =90°，∴四边形ABHC 是矩形，∴AC =BH ，又∵BD =2AC ，∴AC=BH=DH ，且CH ⊥BD ，∴BCD △的形状为等腰三角形，∵AC 、BD 都垂直于l ，∴△AOC ∽△BOD ，122AO AC AC DO DB AC ，即2DO AO ，133AO AO AD AO DO A AO O，故答案为：等腰三角形，13．(2)①过点E 作EF AD 于点H ，如图所示：∵AC ，BD 均是直线l 的垂线段，∴//AC BD ，∵ADE 是等边三角形，且AE 与AC 重合，∴∠EAD =60°，∴60ADB EAD ，∴30BAD ，∴在Rt ADB 中，2AD BD ， AB ，又∵2BD AC ，32AC，∴6,AD AB ∴132AH DH AD ，又Rt ADB ，∴EH又由（1）知13AO AD =，∴123AO AD ，则1OH ，∴在Rt EOH △中，由勾股定理得：OE ②连接CD ，如图3所示：∵//AC BD ，∴60CBD ACB ，∵BCD △是等腰三角形，∴BCD △是等边三角形，又∵ADE 是等边三角形，∴ABD △绕点D 顺时针旋转60 后与ECD 重合，∴90ECD ABD ，又∵60BCD ACB ，∴30ACF FCB FBC ，∴2FC FB AF ，∴13AF AO AB AD ，又OAF DAB ，∴AOF ADB △∽△，∴90AFO ABD ，∴OF AB ．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CEFB DC EA．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ，则有AF AG FB BD ，CE CDEA AG ，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AYXC ZA YB．(2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF ，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC ，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．代入∴YBX YAE YXB E ZCX ，；故可知△YBX ∽△YAE ，△ZCX ∽△课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE 和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE 和△CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽，它们互为相似；（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有条．【答案】（1）①逆；②△ACD或△CBD，逆；③△BCE，顺；（答案不唯一）；（2）△AOC∽△BOD，理由见解析；△AOC和△BOD互为顺相似；（3）3．【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；②先判断出∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；③先判断出∠ABD=∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；（2）先由△AOB∽△COD，判断出AO OBCO OD，∠AOB=∠COD，进而得出∠AOC=∠BOD，即可得出结论；（3）先求出BP=9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）①∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB和△COD互为逆相似，故答案为：逆；②∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，Ⅰ、∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴△ABC和△ACD互为逆相似；Ⅱ、∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴△ABC和△CBD互为逆相似；故答案为：△ACD或△CBD，逆；③∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBD+∠C＝90°，∵∠EBC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE，∴△ABD和△BCE互为顺相似；故答案为：△BCE，顺；（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为顺相似；理由：∵△AOB∽△COD，∴AOCO＝OBOD，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵AO CO＝OB OD，∴OA OB＝OC OD，∴△AOC∽△BOD，∴△AOC和△BOD互为顺相似；（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB25，∵AP＝16，∴BP＝AB﹣AP＝9，如图1，①过点P 作PG ⊥BC 于G ，∴∠BGP ＝90°＝∠ACB ，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBG ，∴AB BC BP BG ，∴25159BG，∴BG ＝15925＝275＜BC ，∴点G 在线段BC （不包括端点）上，②过点P 作PG ''⊥AC 于G ''，∴∠AG ''P ＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△APG ''，∴AB AC AP AG ，∴252016AG，∴AG ''＝201625 ＝645＜AC ，∴点G ''在线段AC （不包括端点）上，③过点P 作PG '⊥AB ，交直线BC 与G '，交直线AC 于H ，∵∠APG '＝∠APH ＝90°＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△G 'BP ，∴AB BC BG BP ，∴25159BG ，∴BG '＝25915＝15＝BC ，∴点G '和点H 都和点C 重合（注：为了说明问题，有意将点G '和点H 没画在点C 处），故答案为：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义的理解和应用，理解新定义、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC hV ，12DBC S BC h △．∴ABC DBC S S ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h ，则ABC DBC S hS h△△．证明：∵ABCS (2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM△△．证明：过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，则90AEM DFM ，∴AE ∥．∴AEM △∽．∴AE AM DF DM．由【探究】（1）可知ABC DBC S S △△，∴ABC DBC S AM S DM△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC 于点M ，过点D 作DN BC 于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE V V ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM ，12DBC S BC DN ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h ∵，12DBC BC h S ，ABC DBC S h S h ．(2)证明：过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，则90AEM DFM，AE DF ∥．AEM DFM ．AE AM DF DM．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF V V ，ABC DBC S AM S DMV V ．(3)解：过点A 作AM BC 于点M ，过点D 作DN BC 于点N ，则90AME DNE，AM DN P ，AME DNE V V ，AM AE DN DE，∵点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ， 1.5DE ， 3.571.53AM DN ，又12ABC S BC AM ∵，12DBC S BC DN ，73ABC DBC S AM S DN V V ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，60BAC ，6AC ，AD 平分BAC ，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．【答案】（1）4；（2）23【分析】（1）分别求出CD ，BC ，BD ，证明BDE BCA ∽，根据相似性质即可求解；（2）先证明DF AG ，再证明BEF BAG △∽△，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∵AD 平分BAC ，60BAC ，∴30DAC ．在Rt ACD 中，90ACD ，30DAC ，6AC ，∴CD 在Rt ACB 中，90ACB ，60BAC ，6AC ，∴BC∴BD BC CD ．∵//DE CA ，∴BDE BCA ∽∴23DE BD CA BC ．∴4DE．（2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM ．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DM AG AM ．∴DF AG ．∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ∴23EF DF ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN ∥OE ，∴△DMN ∽△DOE ，∴，∴，∴MN ＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S △ADE ，S △ABC 和a ，b ，c ，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ，可得比例式：a c a b c d而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得 22ADE ABC S a S a b ．根据上述这两个式子，可以推出：22ADE ABC S a a a a c ac S a b a b a b c d a b c d a b ．（2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：ADE ABC S ac S a b c d ？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABD ADC BD AH S BD S DC DC AH ．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABC S S ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABC S S ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）ac bd ;（2）ac bd ；结论应用：32【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，可得15ADG S ,根据题意，进而得出152ADE S ,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ，根据AE =2，AG =4，GN AF ∥，可得FN =2EF ，进而可得ED =5EF ，即可得出1352AEF ADE S S．【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ADE ACB ∽,∴a c c d a b，∴ 22()()ADE ABC S b a S c a c ac c d a b c d a d ；探究二：过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN a b,121()()2ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ;结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，∴AM =DM ，1152ADG ABCD S S 平行四边形，∵AE =2，AG =4，∴11522ADE ADG S S ,∵AM =DM ,MN AF ,∴FN =DN ，∵AE =2，AG =4，GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ,即：FN =2EF ,∴ED =5EF ，∴1352AEF ADE S S ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12 S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC ，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2 OG GH ，若56OE OA ，求12S S值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD =OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ，，则66OA m OM n ，，证明△OGF ∽△OHN ，推出31522n ON OF ，32n BN MN ON OM ，则9OB ON BN n ，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠，211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ；∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠；。

专题06中考相似三角形重点六大模型模型一:A字型A型模型反A型模型在△ABC中，DE∥BC 在△ABC中，∠AED＝∠B模型二:母抱子型反A型模型双垂直型在△ABC中，∠ACD＝∠B 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90模型三:一线三等角模型在Rt△ABC与Rt△CDE中，A，C，D三点共线，∠A＝∠BCE＝∠D＝90在△ABC与△CDE中，B，C，D三点共线，∠B＝∠ACE＝∠D模型四:半角模型正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接AC，EF，GH，CH，CF模型五:手拉手模型（1）有公共顶点的直角三角形（2）有公共顶点的任意三角形模型六：8字模型模型一:A字型1．（2023•无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．【答案】（1）67.5°；（2）2．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵FD为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF＝＝67.5°；（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADE＝∠CDA，∴△DAE∽△DCA，∴＝，∴DA2＝DE•DC＝8，∵DA＞0，∴DA＝2，∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0，∴OA＝2，即⊙O的半径为2．2．（2023•南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则＝ ．【答案】．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故答案为：3．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：，连接AE，OE，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC与半圆相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴，即：，由得：，由得：，∴，在Rt△ACE中，AC＝8，，由勾股定理得：，∵BE为半圆的切线，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴，∴DE•AB＝BE•AE，即：，∴．故选：B．4．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．①画出此时AB所在位置的示意图；②CD的长度的最大值为80cm．【答案】（1）见证明过程．（2）①如图：②80cm．【解答】解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．∵AB∥CD，∴△OAB～△OCD，△OEF～△OMN，△OEB～△OMD，∴，，，∴，∵EF＝AB，∴MN＝CD，∴沿着AB方向平移时，CD长度不变．（2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ．此时AB所在位置为AH．②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，∴△GHA～△GPO，∴，∴设GA＝x，则GO＝2x，在Rt△OPG中，OP2+PG2＝OG2，∴362+（18+x）2＝（2x）2，∴x2﹣12x﹣540＝0，∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去），∴AG＝30，由①，∴，∴CQ＝80，即CD的长度的最大值为80cm．5．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．【答案】（1）（a tanα+b）米；（2）3.8米．【解答】解：（1）如图：由题意得：BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，在Rt△AEC中，AE＝CE•tanα＝a tanα（米），∴AB＝AE+BE＝（b+a tanα）米，∴灯杆AB的高度为（a tanα+b）米；（2）由题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，∵∠AHB＝∠GHC，∴△ABH∽△GCH，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△ABF∽△EDF，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC＝0.9米，∴＝，∴AB＝3.8米，∴灯杆AB的高度为3.8米．模型二:母抱子型6．（2023•海曙区模拟）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为　．【答案】．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，∴∠CED＝90°，∵∠CDB＝120°，∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，∴，由勾股定理得：，∴BE＝BD+ED＝2+2＝4，在Rt△CEB中，由勾股定理得：，∵∠DCB＝∠A，又∵∠DBC＝∠CBA，∴△DBC∽△CBA，∴，即，解得：BA＝14，∴．故答案为：．7．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是　．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝，故答案为：．8．（2023•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，故A、B选项正确，不符合题意；故C选项错误，符合题意；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，故D选项正确，不符合题意．故选：C．9．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．【答案】（1）证明过程见解答；（2）⊙O的半径为．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半径为．模型三:一线三等角模型10．（2023•武汉模拟）点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE．（1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE；（2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为　；（直接写出）（3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠DBE，∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝∠DAB+∠DAB，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠C＝∠A，∴△DAB∽△BCE；（2）解：如图（2），过点E作EF⊥EC交AC于点F，∵∠C＝45°，∴∠BFE＝90°+45°＝135°，∠CFE＝45°，∴∠C＝∠CFE，∴CE＝EF，CF＝EF，∵CE∥AD，∴∠A＝180°﹣45°＝135°，∴∠A＝∠BFE，由（1）可得△DAB∽△BFE，∴，设CE＝EF＝a，则BF＝a，CF＝a，∴BC＝BF+CF＝2a，∴，故答案为：；（3）证明：如图（3），延长AB到点F，使得∠BFE＝∠DAB，连接EF，∵△DAB∽△DBE，∴∠DAB＝∠DBE，∵∠DBF＝∠ADB+∠DAB＝∠DBE+∠EBF，∴∠EBF＝∠BDA，又∵∠DAB＝∠BFE，∴△DAB∽△BFE，∴，∵△DAB∽△DBE，∴，∴，设AD＝m，则AB＝m，BF＝m，EF＝2m，∴AF＝AB+BF＝2m，∴，又∵∠F＝∠DAB，∴△DAB∽△EFA，∴，∴AE＝2BD．11．（2023•广水市模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝　2　．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是y＝　．【答案】（1）2；（2）y＝．【解答】解：（1）∵点F为CD边的中点，∴DC＝2DF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折叠得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案为：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案为：y＝．12．（2022•太原二模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为　．【答案】．【解答】解：过点E作EM⊥BC，垂足为M，∴∠DME＝∠BME＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠CDA+∠EDM＝90°，∴∠CDA＝∠DEM，∵点D是BC的中点，∴CD＝BD＝BC＝2，∵∠C＝∠DME＝90°，∴△ACD∽△DME，∴＝＝，∴设EM＝2x，则DM＝3x，∵∠BME＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BME∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BM＝x，∵BD＝2，∴DM+BM＝2，∴3x+x＝2，∴x＝，∴EM＝，BM＝，∴BE＝＝＝，故答案为：．13．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为或．　时，△CDE与△ACE相似．【答案】或．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴4﹣a＝2a，∴a＝．∴E；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2＝4，∴a＝．∴．综上所述，点E的坐标为或．14．（2023•武汉模拟）【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，∠B＝∠ACE＝∠D，求证：△ABC∽△CDE；【问题探究】（2）在（1）条件下，若点C为BD的中点，求证：AC2＝AB•AE；【拓展运用】（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC的内心、若OA＝2，OB＝OC，则BC的长为10　．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠ACE＝∠B，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△CDE；（2）证明：∵△ABC∽△CDE，∴，∴，又∵∠B＝∠ACE，∴△ABC∽△ACE，∴AC2＝AB•AE；（3）解：如图所示，过点O作EF⊥OA交AB于点E，交AC于点F，∵点O是△ABC的内心，∴∠EAO＝∠FAO，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴OE＝OF＝OA＝2，AE＝AF＝＝＝4，∵∠BAC＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠BEO＝∠OFC＝135°，∵∠BOF＝∠BEO+∠EBO，∠BOF＝∠BOC+∠COF，∴∠COF＝∠OBE，∴△BOE∽△COF，∴，∵OB＝OC，∴，∴BE＝OF＝＝4，CF＝，∴AB＝AE+BE＝4+4＝8，AC＝AF+CF＝4+2＝6，∵∠BAC＝90°，∴△BAC为直角三角形，∴BC＝＝＝10，故答案为：10．模型四:半角模型15.（2023秋•江津区校级月考）已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，则线段NC的长为（ ）A．2B．3C．D．【答案】D【解答】解：如图，延长CB，使BE＝DN，∵四边形ABCD是边长为5的正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝5，∴∠ABE＝90°，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴EB＝DN，MN＝EM，设CN＝x，则DN＝5﹣x，∴EB+BM＝MN＝7﹣x，在Rt△CMN中，MN2＝CM2+CN2，∴（7﹣x）2＝32+x2，解得x＝，∴CN＝，故选：D．16．（2020•河北区模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为　2　．【答案】见试题解答内容【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案为：2+2．17．（2023•增城区二模）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF．（1）如图1，若BE＝2，DF＝3，求EF的长度；（2）如图2，连接BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N，若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长；（3）判断线段BN、MN、DM三者之间的数量关系并证明你的结论．【答案】（1）EF＝5；（2）DF＝3；（3））BN2+DM2＝MN2，证明见解析．【解答】解：（1）如图，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD为正方形，∴DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠ABG＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，BG＝DF，AG＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEG和△AEF中，，∴EG＝EF，∵BE＝2，DF＝3，∴EF＝EG＝BG+BE＝DF+BE＝5；（2）∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴BC＝CD＝6，设DF＝x，则CF＝CD﹣DF＝6﹣x，由（1）知，EF＝DF+BE，∵BE＝2，∴CE＝BC﹣BE＝4，EF＝2+x，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得：x＝3，∴DF＝3；（3）BN2+DM2＝MN2，证明如下：如图，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，在AG上截取AH＝AM，连接HN，BH，由（1）知，∠BAG＝∠DAF，∠EAG＝∠EAF＝45°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，在△ABH和△ADM中，，∴△ABH≌△ADM（SAS），∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADM＝45°，∴∠HBN＝∠ABH+∠ABN＝90°，在△AHN和△AMN中，，∴NH＝MN，在Rt△BHN中，BN2+BH2＝NH2，∴BN2+DM2＝MN2．18．（2022•绥化三模）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　AH＝AB　；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①AH＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵AH⊥MN，∴∠MAH＝MAN＝22.5°，∵∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝22.5°，在△ABM与△AHM中，，∴△ABM≌△AHM，∴AB＝AH；故答案为：AH ＝AB ；（2）数量关系成立．如图②，延长CB 至E ，使BE ＝DN ．∵ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABE ＝90°，在Rt △AEB 和Rt △AND 中，，∴Rt △AEB ≌Rt △AND ，∴AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ，∴∠EAM ＝∠NAM ＝45°，在△AEM 和△ANM 中，，∴△AEM ≌△ANM ，∴S △AEM ＝S △ANM ，EM ＝MN ，∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB ＝AH ；（3）如图③分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，∴BM ＝2，DN ＝3，∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，由（2）可知，AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝AD ，设AH ＝x ，则MC ＝x ﹣2，NC ＝x ﹣3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2＝MC 2+NC 2，∴52＝（x ﹣2）2+（x ﹣3）2，解得x 1＝6，x 2＝﹣1（不符合题意，舍去）∴AH ＝6．模型五:手拉手模型19．（2023•获嘉县模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AG于点M，得到△APM．（1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为　CM＝BP　；（2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM 与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长．【答案】（1）CM＝BP；（2）CM＝BP，证明见解答；（3）线段BM的长为2+1或2﹣1．【解答】解：（1）当n＝1时，AB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴＝，∵P为AB的中点，∴＝，∴AP＝BP＝AB，∵PM⊥AB，∴∠APM＝90°，∴∠APM＝∠ABC，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∴＝＝，∴AC＝AB，AM＝AP＝AB，∴CM＝AC﹣AM＝AB﹣AB＝AB，∴＝＝，∴CM＝BP，故答案为：CM＝BP；（2）CM＝BP的数量关系不变，理由如下：当n＝2时，AB＝2BC，则＝＝，∴BC＝AB，PM＝AP，由勾股定理可得：AC＝＝＝AB，AM＝＝＝AP，∴＝＝，∴AC＝AB，AM＝AP，∴CM＝AC﹣AM＝（AB﹣AP）＝BP，由旋转得：∠CAB＝∠MAP，即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAM，∴△ABP∽△ACM，∴＝＝，∴CM＝BP；（3）∵AB＝4，AP＝2，∴BC＝2，PM＝1，由勾股定理可得：AC＝2，AM＝，∵△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线，∴∠APM＝90°，PM＝1，∠APB＝180°﹣90°＝90°，∴BP＝＝＝2，当△APM旋转至直线AB上方时，如图，则BM＝BP+PM＝2+1；当△APM旋转至直线AB下方时，如图，则BM＝BP﹣PM＝2﹣1；综上所述，线段BM的长为2+1或2﹣1．20．（2023•平遥县二模）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请判断BD与CE的数量关系：　BD＝CE　．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请写出BD与CE的数量关系：　或　．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．【答案】（1）BD＝CE；（2）或；（3）①；②．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ADB，△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE．（2）结论：或，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴，∵∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝45°，∴∠DAB＝∠EAC，且∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ADB∽△AEC，∴，∴或，故答案为：或；（3）①∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，∴∠DAB＝∠EAC，设AB＝3x，BC＝4x，在Rt△ABC中，，同理，在Rt△ADE中，设AD＝3a，DE＝4a，则AE＝5a，∴∠DAB＝∠EAC，，即，∴△DAB∽△EAC，∴；②由①得：△DAB∽△EAC，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BGF＝∠AGC，∴△BGF∽△CGA，∴∠BFG＝∠GAC，∴sin∠BFC＝sin∠BAC，在Rt△ABC中，∴，∴．21．（2023•市中区校级四模）[问题提出]如图1，在等边△ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．[数学思考]当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题．[尝试解决]将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接P′P，则△APP′为等边三角形．∴PP′＝PA＝3，又∵PB＝4，PC＝5，PP′2+PB2＝PC2．∴△BP′P为　直角　三角形，∴∠APB的度数为150°　．[类比探究]如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P，若PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．[联想拓展]如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，其内部有一点P，若PA＝3，PB＝2，PC＝4，求∠APB的度数．【答案】[尝试解决]直角，150°；[类比探究]135°；[联想拓展]120°．【解答】解：[尝试解决]直角，150°；[类比探究]将△APC绕点A逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接P′P，则△APP′为等腰直角三角形，∴PP′＝PA＝2，又∵PB＝1，PC＝P'B＝3，∴PP′2+PB2＝P'B2，∴△BP′P为直角三角形，∴∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+45°＝135°．[联想拓展]如图，在PA的左侧构造三角形PAP'，使∠P'PA＝30°，∠P′AP＝90°，∵∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，∴∠P′AP＝∠BAC，∠P'PA＝∠BCA，∴△P′AP∽△BAC，∴＝，∴＝，∵∠BAP′+∠BAP＝90°，∠CAP+∠BAP＝90°，∴∠BAP′＝∠CAP，∴△BAP′∽△CAP，∴＝＝tan30°＝，∴P'B＝PC•＝4，在△P′BP中，PB＝2，PP'＝2，∴PP′2+PB2＝P'B2，∴∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+30°＝120°．22.（2023•虎林市校级二模）已知△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE，G，F分别是BC，DE的中点，连接FG．（1）如图1，当点D在△ABC内部时，求证；（2）如图2、图3，当点D在△ABC外部时，请直接写出EC与FG的数量关系，不需要证明．【答案】（1）见解答；（2）图2：．图3：．【解答】（1）证明：如图1，连接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F分别为BC，DE的中点，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．（2）如图2，连接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F分别为BC，DE的中点，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．如图3，连接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F分别为BC，DE的中点，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．故答案为：图2：．图3：．23．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求证：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE ⊥BC．【答案】（1）①见解析；②△ADE是等腰三角形；（2）见解析．【解答】（1）①证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE，∴，即，又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：由①知，，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∴，又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥BC．模型六：8字模型24．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵AB∥DC，∴△CDO∽△ABO，∴，∵DO：OB＝1：2，∴＝，∴OC＝OA，∵AC＝OA+OC＝12，∴OA+OA＝12，∴OA＝8，∵MN∥AC，M是AB的中点，∴MN为△AOB的中位线，∴MN＝OA＝＝4．故选：B．25．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝DC，∴，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故选：B．26．（2023•丰南区一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣6，﹣3）【答案】B【解答】解：∵点O为位似中心，△OAB的位似图形为△OCD，位似比为，而A（12，9），∴C（﹣，），即（﹣4，﹣3）．故选：B．27．（2023•山西模拟）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.5cm时，所成的像A'B'的高度为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm【答案】C【解答】解：设所成的像A 'B '的高度为x cm ，由题意可得：，解得：x ＝3，∴所成的像A 'B '的高度为3cm ．故选：C ．28．（2023•静安区校级一模）如图，在△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，连接DE ．下列结论成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：AD ，BE 是△ABC 的中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE ＝AB ，∴△DEG ∽△ABG ，∴DG ：AG ＝DE ：AB ＝1：2，BG ：EG ＝AB ：DE ，＝＝，∴DG ＝AG ，∵BG ：EG ＝AB ：DE ＝2：1，∴GB ：BE ＝2：3，∴S △AGB ：S △AEB ＝2：3，∵AE ＝EC ，∴S △AEB ＝S △ABC ，∴S △AGB ＝S △ABC ，∵△CDE ∽△CBA ，∴＝＝，∴S △CDE ＝S △ABC ，∴＝，结论成立的是＝，故选：C ．29．（2023•太原一模）如图，正方形ABCD 的边长为6，点F 是BC 边上一点，连接AF 交对角线BD 于点E ．若DE ＝2BE ，则EF 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．3【答案】B【解答】解：在正方形ABCD 中AD ∥BC ，∴△AED ∽△FEB ，∵DE ＝2BE ，∴＝＝＝，∵正方形ABCD 的边长为6，∴＝，∴BF ＝3，在Rt △ABF 中AF ＝＝＝＝3，∴＝＝，∴＝，3﹣EF＝2EF，EF＝．故选：B．30．（2023•城关区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接CE交BD于点F，若AC＝8，OF＝3，则菱形ABCD的边长为（ ）A．10B．C．D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝8，∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，OA＝OC＝＝4，OB＝OD＝，∴∠EDF＝∠CBF，∠DEF＝∠BCF，∴△DEF∽△BCF，∴，∵点E为AD的中点，∴DE＝，∵OF＝3，∴DF＝OD﹣3，BF＝OB+3＝OD+3，∴，∴OD＝9，在Rt△AOD中，由勾股定理得＝，∴菱形ABCD的边长为．故选：D．31．（2023•灞桥区校级四模）如图，在▱ABCD中，点E在线段AB上，点F为对角线AC与DE的交点．若AB：AE＝3：2，则△AEF与▱ABCD的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴△AEF ∽△CDF ，∴，∵AB ：AE ＝3：2，∴，∴，，∴，设S △AEF ＝4a ，则S △CDF ＝9a ，S △ADF ＝6a ，∴S △ADC ＝S △ADF +S △CDF ＝15a ，∴S ▱ABCD ＝2S △ADC ＝30a ，∴．故选：A ．。

2024中考数学核心几何模型重点突破专题01线段的中点模型模型分析【理论基础】如图，已知点M 是线段AB 的中点⇒AB BM AM 21==【模型变式1】双中点求和型如图已知点M 是线段AB 上任意一点，点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MD CM CD +=AB MB AM CD 212121=+=∴AB CD 21=∴【模型变式2】双中点求差型如图点M 是线段AB 延长线上任意一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MDCM CD -=)(212121MB AM MB AM CD -=-=∴AB CD 21=∴【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。

典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或32．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC =B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm4．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF ＝8，CD ＝4，则AB 的长为（）A ．10B ．12C ．16D ．18二、填空题5．如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝8cm ，则CD ＝___cm ．6．在直线上取A ，B ，C 三点，使得AB ＝9cm ，BC ＝4cm ，如果O 是线段AC 的中点，则线段OA 的长为_____．7．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，则AD 的长为_____cm ．8．如图，C ，D 两点将线段AB 分为三部分，AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，且AC ＝6．M 是线段AB 的中点，N 是线段DB 的中点．则线段MN 的长为____________．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C ，D 是线段AB 上的两个点，点M 、N 分别为AC 、BD 的中点(1)若AB =16cm ，CD =6cm ，求AC +BD 的长和M ，N 的距离；(2)如果AB =m ，CD =n ，用含m ，n 的式子表示MN 的长10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．参考答案与详细解析典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【解析】解：根据题意画图如下：∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =+=+==；∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =-=-==．故选：D ．【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC 的长，根据线段的和差可得AB 的长，根据中点的性质可得BM 的长，再根据线段的和差可得MN 的长．【解析】由N 是CB 的中点，NB =5，得：BC =2NB =10．由线段的和差，得：AB =AC +BC =8+10=18．∵M 是AB 的中点，∴1118922MB AB ==⨯=，由线段的和差，得：MN =MB -NB =9-5=4，故答案为：4.【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）10；（2）12a ；（3）12a ；（4）线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.【分析】（1）先求解,AC 再利用中点的含义求解,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（2）先利用含a 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含a 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（3）先利用含,a b 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含,a b 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【解析】解：（1）20,8AB BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1128,14,4,22AB BC AC MC AC NC BC ∴+======14410.MN MC NC ∴=-=-=（2）,8AB a BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1118,4,4,222AB BC AC a MC AC a NC BC ∴+==+==+==1144.22MN MC NC a a ∴=-=+-=（3）,AB a BC b ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，11111,,,22222AB BC AC a b MC AC a b NC BC b ∴+==+==+==1111.2222MN MC NC a b b a ∴=-=+-=（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】C【分析】先分C 在AB 上和C 在AB 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【解析】解：如图：当C 在AB 上时，AC =AB -BC =2,∴AD =12AC =1如图：当C 在AB 的延长线上时，AC =AB +BC =6,∴AD =12AC =3故选C ．2．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC=B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A 、C 、D 都可以确定点C 是线段AB 中点．【解析】解：A 、AC =BC ，则点C 是线段AB 中点；B 、AC +BC =AB ，则C 可以是线段AB 上任意一点；C 、AB =2AC ，则点C 是线段AB 中点；D 、BC =12AB ，则点C 是线段AB 中点．故选：B ．3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=12AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝8，CD＝4，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4，∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．故选：B．二、填空题5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得14CD AB，即可求得答案．【解析】解：∵点D是线段AB的中点，∴12AD AB=，∵C是线段AD的中点，∴12CD AD=，∴1182cm44CD AB==⨯=，故答案为：2．6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．【解析】解：分两种情况：①当点C在线段AB上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB-BC=9-4=5cm，∵O是线段AC的中点，∴1 2.52OA AC cm==；②当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB+BC=9+4=13cm，∵O是线段AC的中点，∴1 6.52OA AC cm==；故答案为：2.5cm或6.5cm．7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．【答案】11【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB＝2MB，CD＝2CN，∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．故答案为：11．8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，∴CD=6÷3×4=8，∴DB=6÷3×5=10，∴AB=6+8+10=24，∵M是线段AB的中点，∴MB=12AB=12×24=12，∵N是线段BD的中点，∴NB=12DB=12×10=5，∵MN=MB-NB，∴MN=12-5=7．故答案为：7．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm ；11cm ；(2)2m n +．【分析】（1）根据AC +BD =AB -CD 列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM +BN 的长度，再根据MN =AB -（AM +BN ）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB 、CD 的长度换成m 、n 即可【解析】(1)∵AB =16cm ，CD =6cm ，∴AC +BD =AB -CD =10cm ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=16-5=11（cm ）；(2)∵AB =m ，CD =n ，∴AC +BD =AB -CD =m -n ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=m -12（m -n ）=2m n +．10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．【答案】(1)见解析(2)线段MN 的长度为10．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【解析】(1)解：补全图形如图所示：；(2)解：由题意知可知AD =AB =BC ，且AB =10，∴AD =AB =BC =10，即CD =30，∵点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点，∴DM =12CD =15，DN =12AD =5，∴MN =DM -DN =10，∴线段MN 的长度为10．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．【答案】（1）2；（2）16．【分析】（1）由20AC =，点D 为线段AC 的中点，求得AD=DC=10，由8AB =，可求BD=AD-AB=2；（2）由1134BD AB CD ==，推出34AB BD CD BD ==，，由AE BE =，可用BD 表示3=2AE BE BD =，表示EC=132BD =13，求出2BD =，再求AE=3=可求，AC=AE+EC=16．【解析】（1）∵20AC =，点D 为线段AC 的中点，∴AD=DC=11201022AC =⨯=，∵8AB =，∴BD=AD-AB=10-8=2；（2）∵1134BD AB CD ==，∴34AB BD CD BD ==，，∵AE BE =，∴13=22AE BE AB BD ==，∵EC=313422BE BD DC BD BD BD BD ++=++==13，∴2BD =，∴AE=33=2322BD ⨯=，∴AC=AE+EC=3+13=16．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．【答案】（1）20,10；（2）14t =或6t =；（3）AD 的长为：1609或160.【分析】（1）由30AC BC +=，10AC BC -=，再两式相加，即可得到AC ，再求解BC 即可；（2）以A 为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示,,,,,A C B P D E 对应的数，由CD =25DE ，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；（3）以A 为原点画数轴，分三种情况讨论，当D 在A 的左侧，当D 在线段AB 上，当D 在B 的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示,,AD BD CE ，再利用1,2AD BD CE -=建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）AB =30，30AC BC ∴+=①又AC -BC =10②，①+②得：240,AC =20AC ∴=，10.BC ∴=（2）如图，以A 为原点画数轴，则,,,,A P C B 对应的数分别为：0,,20,30t ，点D 为线段PB 的中点，D ∴对应的数为：()1130+15,22t t =+点E 为线段PC 的中点，E ∴对应的数为：()1120+10,22t t =+1115205,22CD t t ∴=+-=-11111510151052222DE t t t ⎛⎫=+-+=+--= ⎪⎝⎭，CD =25DE ，1255,25t ∴-=152,2t ∴-=1522t ∴-=或152,2t -=-解得：14t =或6t =．由20t <，经检验：14t =或6t =都符合题意．（3）如图，以A 为原点画数轴，设D 对应的数为m ，当D 在A 的左侧时，AD BD -＜0，12AD BD CE ∴-≠，舍去，当D 在AB 上时，线段AD 的中点为E ，E ∴对应的数为：()110,22m m +=此时E 在AC 上，,30,AD m BD m ∴==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭123010,4m m ∴-=-940,4m ∴=160,9m ∴=1609AD ∴=，当D 在B 的右侧时，如图，同理：,30,AD m BD m ==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ∴--=-12060,2m ∴-=120602m ∴-=或12060,2m -=-解得：80m =-（舍去），160,m =160AD ∴=，综上：AD 的长为：1609或160.13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．【答案】（1）52；（2）172【分析】（1）根据图示知AM ＝12AC ，AC ＝AB ﹣BC ；（2）根据已知条件求得CN ＝6，然后根据图示知MN ＝MC +NC ．【解析】解：（1）线段AB ＝20，BC ＝15，∴AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣15＝5．又∵点M 是AC 的中点．∴AM ＝12AC ＝12×5＝52，即线段AM 的长度是52．（2）∵BC ＝15，CN ：NB ＝2：3，∴CN ＝25BC ＝25×15＝6．又∵点M 是AC 的中点，AC ＝5，∴MC ＝12AC ＝52，∴MN ＝MC +NC ＝172，即MN 的长度是172．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．【答案】()17cm ；()22aMN =，证明解解析；()32bMN =，证明见解析；()4见解析【分析】()1根据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN CM CN =+即可求出MN 的长度即可；()2当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在12MN a =；()3点在AB 的延长线上时，根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，即可求出MN 的长度；()4根据前面的结果解答即可．【解析】解：()1,M N 分别是,AC BC 的中点，8,6AC cm CB cm ==11,22MC AC CN BC ∴==()12MN MC CN AC BC =+=+Q ()18672MN cm \=+=()22aMN =,M N 分别是,AC BC 的中点11,22MC AC CN BC ∴==又MN MC CN =+Q ()122a MN AC BC ∴=+=()32bMN =∵AC BC b -=，∴C 在点B 的右边，如图示：,M N 分别是,AC BC 的中点，AC BC b -=11,22MC AC NC BC ∴==又NM MC NC =-()122b MN AC BC ∴=-=()4只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M N ，分别是AC BC ，的中点．那么MN 就等于AB 的一半。

几何图形的基本模型【典型例题】模型一：双子型（手拉手模型）——全等（1）等边三角形条件：ΔOAB, ΔOCD均为等边三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=600④OE平分∠AED ⑤点E在ΔOAB的外接圆上（2）等腰直角三角形条件：ΔOAB, ΔOC D均为等腰直角三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=900 ④OE平分∠AED ⑤点E在ΔOAB的外接圆上（3）任意等腰三角形条件：ΔOAB, ΔOCD均为等腰三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=∠A0B ④OE平分∠AED（或∠AED的外角）⑤点E在ΔOAB的外接圆上例题：（1）如图①，△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰三角形ABD,ACE，分别取BD,CE,BC的中点M、N、G，连接GM、GN，线段GM与GN数量关系是；位置关系是（2）如图②，把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，AB﹥AC,其中，其它条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由。

（3）如图③，在（2）的基础上，又作了进一步的探究，向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明。

模型二：双子型（手拉手模型）——相似（1）一般情况条件：CD ∥AB(ΔOCD ∽ΔOAB ),将ΔOCD 旋转至右图位置结论：右图中①ΔOCD ∽ΔOAB⇔ΔOAC ∽ΔOBD ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠AEB=∠AOB ③点E 在ΔOAB 的外接圆上。

（2） 特殊情况条件：CD ∥AB (ΔOCD ∽ΔOAB ), ∠AOB=∠COD=900将ΔOCD 旋转至右图位置结论：右图中①ΔOCD ∽ΔOAB ⇔ΔOAC ∽ΔOBD ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠AEB=900（BD ⊥AC ）③连接AD,BC ,则S ABCD =12AC ×BD ④OD OC =OBOA =tan ∠OCD ⑤点E 在ΔOAB 的外接圆上(A,O,E,B 四点共圆) ⑥必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2例题：以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO=∠DCO=300(1)点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM. ① 如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FMEM =② 如图2，将图1中△AOB 的绕点O 沿顺时针方向旋转α角(00＜α＜600)，其他条件不变，判断FM EM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明（3） 如图3，若B0=3√3，点N 在线段OD 上，且NO=2.点P 是线段AB 上的一个动点，在将ΔOAB 绕点0旋转过程中，线段PN 长度的最小值为 ，最大值为 。

◆条件：CD∥AB(△OCD∽△OAB)，将△OCD 旋转至右图位置◆结论：右图中①△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=∠AOB；③点 E 在△OAB 的外接圆上.【模型解析】2020 中考专题 1——几何模型之双子型班级姓名.【例题分析】例1.如图1，直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0),以线段OA 为边在第四象限内作等边△AOB,点C 为x 正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA 交y 轴于点E．(1)△OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论；(2)着点C 位置的变化，点E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E 的坐标；若有变化，请说明理由．图 1◆条件：△OAB,△OCD 均为等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD◆结论：①△OAC≌△OBD；②AC=BD；③∠AEB=∠AOB；④OE平分∠AED(或∠AED的外角）；⑤点E在△OAB的外接圆上.3例2.如图 2-1，在Rt△ABC 中，∠B＝90°,cosC＝5,点6D、E 分别是边BC、AC 的中点，连接DE，AE将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时,仅就图2-2 的情况给出证明．图2-1 图2-2的大小有无变化？请BD例3．如图3 所示，在四边形ABCD 中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD 的长为．图3 图4例4.如图4，在△ABC 中,∠ABC＝60°,AB＝2 ，BC＝8，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,则BD 的长为.【巩固练习】1.如图1,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（）A1B．C．1．2 2图1 图22.如图2,△ABC 为等边三角形,AB＝2,点D 为BC 边上的动点,连接AD,以AD 为一边向右作等边△ADE,连接CE. (1)在点D 从点B 运动到点C 的过程中,点E 运动的路径长为;(2)在点D 的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD 的长,若不存在,请说明理由.(3)取AC 中点P,连接PE,在点D 的运动过程中,求PE 的最小值.2D． 23.在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图3-1，当点C1在线段C A的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图3-2，连接AA1,CC1．若△A1BA1的面积为4，求△CBC1的面积；图3-1 图3-24.【提出问题】（1）如图4-1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM 为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．【类比探究】（2）如图4-2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN 还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图4-3，在等腰△ABC 中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．图4-1 图4-2 图4-35.如图5，正方形ABCD、BGFE 边长分别为2、1，正方形BGFE 绕点B 旋转，直线AE、GC 相交于点H．（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE 绕点B 旋转过程中，求DH 的最大值；图5 备用图6.如图6-1，已知点A(0,－3)和x 轴上的动点C(m,0),△AOB 和△BCD 都是等边三角形．（1）在C 点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC 的长度，请将它找出来，并说明理由．（2）如图6-2，将△BCD 沿CD 翻折得△ECD,当点C 在x 轴上运动时，设点E(x,y),请你用m 来表示点E 的坐标并求出点E 运动时所在图象的解析式．（3）在C 点运动的过程中，当m 时，直接写出△ABD 是等腰三角形时E 点的坐标．图1 图237.【问题探究】（1）如图7-1，锐角△ABC 中分别以AB、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图7-2，四边形ABCD 中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD 的长．（3）如图7-3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．图7-1 图7-2 图7-38.(1)如图8-1，已知△ABC,以AB、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；（2）如图8-2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD 中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD 的长；（3）如图8-3，四边形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝4,B D＝5,AD＝12，求BD 3的长．图8-1 图8-2 图8-32020 中考专题1——几何模型之双子型参考答案例1.解：①全等．理由：∵△AOB 和△CBD 是等边三角形，∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，在△OBC 和△ABD 中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）．②不变．理由：∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，∴Rt△OEA 中，AE＝2OA＝2，∴OE＝，∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）．例2.当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝；例3．解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，由勾股定理得DD′＝＝3 ，∠D′DA＋∠ADC＝90°，由勾股定理得CD′＝＝，∴BD＝CD′＝．故答案为：．例4.解：以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE 于P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，∴BE＝2BP＝6，在Rt△BED 中，BD＝＝10，故答案为：10．【巩固训练】1. 解：设 Q 是 AB 的中点，连接 DQ ，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ， ∵AB ＝AC ＝2，O 为 AC 中点，∴AQ ＝AO ， 在△AQD 和△AOE 中，，∴△AQD ≌△AOE （SAS ），∴QD ＝OE ，∵点 D 在直线 BC 上运动，∴当 QD ⊥BC 时，QD 最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝45°， ∵QD ⊥BC ，∴△QBD 是等腰直角三角形，∴QD ＝QB ，∵QB ＝ AB ＝1，∴QD ＝，∴线段 OE 的最小值是为．故选：B ．2. 解：(1)△ABD ≌△ACE 可得 BD =CE ,E 的运动路径的长即 D 的运动路径长，BC =2.(2) ∠DEC ＝60°相当于∠AEC =∠ADB =120°，即∠EDC =0°,此时点 D 与点 B 重合.因此不存在.(3) ∠ACE =60°,当 PE ⊥CE 时取最小值.PE =PC cos 60°=1.23. 解：（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B ＝∠ACB ＝45°，BC ＝BC 1， ∴∠CC 1B ＝∠C 1CB ＝45°，∴∠CC 1A 1＝∠CC 1B ＋∠A 1C 1B ＝45°＋45°＝90°． （2）∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA ＝BA 1，BC ＝BC 1，∠ABC ＝∠A 1BC 1，∴，∠ABC ＋∠ABC 1＝∠A 1BC 1＋∠ABC 1，∴∠ABA 1＝∠CBC 1，∴△ABA 1∽△CBC 1．∴，∵S △ABA 1＝4，∴S △CBC 1＝ ；4.（1）证明：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°， ∴∠BAM ＝∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，∴△BAM ≌△CAN （SAS ）， ∴∠ABC ＝∠ACN ．（2） 解：结论∠ABC ＝∠ACN 仍成立；理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．（3）解：∠ABC＝∠ACN；理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN．5.解：（1）是，理由如下：如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，在正方形ABCD，BGFE 中，AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG，记AH 与BC 的交点为点P，∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，∴∠AHC＝∠ABC＝90°，（2）DH≤DE+EG=BD=2 26.解：（1）连接AD，如图1所示．A、D 两点间的距离始终等于OC 的长度．理由如下：∵△AOB 和△BCD 都是等边三角形，∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，∴∠ABD＝∠OBC．在△ABD 和△OBC 中，有，∴△ABD≌△OBC（SAS），∴AD＝OC．（2）过D 作DF⊥y 轴于F，连接BE，如图2 所示．由（1）可知△ABD≌△OBC，∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°∴DF＝AD•sin∠DAF＝m，AF＝AD•cos∠DAF＝m，∵A（0，﹣3），∴D（m，m﹣3）．∵将△BCD 沿CD 翻折得△ECD 且△BCD 是等边三角形，∴四边形BCED 是菱形，∴BE、CD 互相平分．∵△AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，﹣3），∴点B（，﹣），∴E（m﹣，m﹣）．∵m﹣＝（m﹣），∴点E在图形y＝x上运动．（3）∵点A（0，﹣3），点B（，﹣），点D（m，m﹣3），∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，△ABD 为等腰三角形分三种情况：①当AB＝AD 时，有3＝m，此时点E的坐标为（﹣，﹣）；②当AB＝BD 时，有3＝，解得：m＝0（舍去），或m＝3，此时点E的坐标为（3，3）；③当AD＝BD 时，有m＝，解得：m＝（舍去）．综上可知：在C 点运动的过程中，当m＞时，△ABD是等腰三角形时E点的坐标为（﹣，﹣）或（3，3）．7.解：（1）BD＝CE．理由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC 和△BAD 中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；（2）如图2，在△ABC 的外部，以A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC 和△BAD 中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7 ，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．（3）如图3，在线段AC 的右侧过点A 作AE⊥AB 于点A，交BC 的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝7，BE＝＝7 ，又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC 和△BAD 中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，∵BC＝3，∴BD＝CE＝（7 ﹣3）cm．8.解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C 为圆心，以AC 为半径画弧，交于点E，连接AE、CE则△ABD、△ACE 就是所求作的等边三角形；证明：如图1，∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝CD；（2）如图2，过A 作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，连接DE、CE，由勾股定理得：DE＝＝3 ，∴∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴EC＝BD，在Rt△DCE 中，EC＝＝＝，∴BD＝EC＝；（3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，∠DEA＝∠ACB，连接EC，容易得到△DAE∽△BAC，∴，即，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△DAB，∴，在△DCE 中，∠ADC＝∠ACB，∠EDA＝∠ABC，∴∠EDC＝90°，∵，AD＝12，∴AE＝9，∠DAE＝90°，∴DE＝＝15，CE＝＝5 ，由△EAC∽△DAB，∴BD＝．第 11 页共 11 页。

几何图形的基本模型【典型例题】模型一：双子型（手拉手模型）——全等（1）等边三角形条件：ΔOAB,ΔOCD均为等边三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD②AC=BD③∠AEB=600④OE平分∠AED⑤点E在ΔOAB的外接圆上（2）等腰直角三角形条件：ΔOAB,ΔOC D均为等腰直角三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD②AC=BD③∠AEB=900④OE平分∠AED⑤点E在ΔOAB的外接圆上（3）任意等腰三角形条件：ΔOAB,ΔOCD均为等腰三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD②AC=BD③∠AEB=∠A0B④OE平分∠AED（或∠AED的外角）⑤点E在ΔOAB的外接圆上例题：（1）如图①，△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰三角形ABD,ACE，分别取BD,CE,BC的中点M、N、G，连接GM、GN，线段GM与GN数量关系是；位置关系是（2）如图②，把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，AB﹥AC,其中，其它条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由。

（3）如图③，在（2）的基础上，又作了进一步的探究，向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明。

模型二：双子型（手拉手模型）——相似（1）一般情况条件：CD∥AB(ΔOCD∽ΔOAB),将ΔOCD旋转至右图位置结论：右图中①ΔOCD∽ΔOAB⇔ΔOAC∽ΔOBD②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=∠AOB ③点E在ΔOAB的外接圆上。

（2）特殊情况条件：CD∥AB(ΔOCD∽ΔOAB),∠AOB=∠COD=900将ΔOCD旋转至右图位置结论：右图中①ΔOCD∽ΔOAB⇔ΔOAC∽ΔOBD②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=900（BD ⊥AC）③连接AD,BC,则S ABCD=12AC×BD④OD OC=OB OA=tan∠OCD⑤点E在ΔOAB的外接圆上(A,O,E,B四点共圆)⑥必有AD2+BC2=AB2+CD2例题：以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=300(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM.1如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，FM EM=2如图2，将图1中△AOB的绕点O沿顺时针方向旋转α角(00＜α＜600)，其他条件不变，判断 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明（3）如图3，若B0=33，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将ΔOAB绕点0旋转过程中，线段PN长度的最小值为，最大值为。

中考16讲第5讲基本几何模型一、对角互补模型（构造全等）1.双90°型（1）条件：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB.结论：①_______________②______________③_______________（2）当∠DCE的一边与AO的延长线相交时，条件：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB.结论：①_______________②______________③_______________1.如图,正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心,正方形OMNP绕O点旋转,证明:无论正方形OMNP旋转到何种位置,这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这个定值.2.60°，120°型（1）条件：∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB.结论：①_______________②______________③_______________（2）当∠DCE的一边与AO的延长线相交时，条件：∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB.结论：①_______________②______________③_______________2.把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD（如下图）．有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．（1）将尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时（图1），通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）在旋转过程中四边形AECF的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；（3）若将（1）中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A、C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图3），那么PE、PF之间又有什么数量关系？并证明你的结论．二、角含半角模型（必旋转）1.条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°.结论：①_______________②____________________________图①图②3.如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交轴于点N.（1）当A点第一次落在直线y=x上时，求A、B两点坐标（直接写出结果）；（2）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.变式1、如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°.以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为_____变式2、如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上1∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的的点，且∠EAF＝2猜想．2.条件：①等腰Rt△ABC；②∠DAE=45°，如图所示.结论：____________________变式1、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，若BD=6，CD=4，求AD的长.变式2、如图，等边△ABC中，点P、Q在BC边上，且∠PAQ=30°，若BP=2,QC=3,求AB的长.三、一线三等角模型如图①，∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；如图②，∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；如图③，∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；图①图②图③4.△ABC和△DEF均为正三角形,E是BC边的中点.(1)如图甲,DE交AB于M,EF交AC于N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图乙,将△DEF绕点E旋转,使得DE交BA的延长线于M,EF交AC于N,则(1)中的结论是否依旧还成立．5.如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，CE＝_______________．点E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则CF变式1、如图,等边△ABC中,D是边BC上的一点,且BD:DC=1:3,把△ABC折叠,使点A落在边BC 上的点D处,那么AM:AN的值为__________．变式2、如图坐标系中,O(0,0),A(6,36),B(12,0),将△OAB沿直线线CD折叠,使点A恰好落24,则CE:DE的值是__________.在线段OB上的点E处,若OE=5四、K字模型探究与应用:在学习几何时,我们可以通过分离和构造基本图形,将几何“模块”化.例如在相似三角形中,K字形是非常重要的基本图形,可以建立如下的“模块”(如图①):(1)请就图①证明上述“模块”的合理性.已知:∠A=∠D=∠BCE=90°,求证:△ABC∽△DCE;(2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题:①如图②,已知点A(-2,1),点B在直线y=-2x+3上运动,若∠AOB=90°,求此时点B的坐标;②如图③,过点A(-2,1)作x轴与y轴的平行线,交直线y=-2x+3于点C、D,求点A关于直线CD 的对称点E的坐标.6.如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，OA∶OB＝1∶2，如果点A在反比例函数1(x＞0)的图像上运动，那么点B在函数(填函数解析式)的图y=x像上运动．变式1、如图，Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A 在反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上运动，那么点B 在函数________（填函数解析式）的图象上运动．变式2、已知点A 是双曲线xy 3=在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为一边作等边△ABC ，点C 在第四象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____ 。

中考数学：几何题常用模型总结几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间。

全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

科学思维系列——双星模型1．模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期一样的匀速圆周运动的星球称为双星．2．模型特点①两颗星球角速度一样，间距不变，绕两者连线上某点旋转，轨迹为同心圆． ②两颗星球各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2. ③两颗星球的周期与角速度都一样，即T 1＝T 2，ω1＝ω2，且T 1＝T 2＝2πL 3G m 1＋m 2.④两颗星球的轨道半径与两者间的距离关系为r 1＋r 2＝L ，要注意r 1、r 2和L 的区别． ⑤由m 1a 1＝m 2a 2可以推出a 1a 2＝m 2m 1. 【典例】天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX －3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如下列图．引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T .(1)可见星A 所受暗星B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m ′(用m 1、m 2表示)；(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式． 【解析】 (1)设A 、B 的圆轨道半径分别为r 1、r 2，角速度均为ω. 由双星所受向心力大小相等，可得 m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2. 设A 、B 之间的距离为L ，又因为L ＝r 1＋r 2. 联立可得L ＝m 1＋m 2m 2r 1① 由万有引力定律得双星间的引力F ＝G m 1m 2L 2，将①式代入上式得F ＝Gm 1m 32m 1＋m 22r21②由题意，将此引力视为O 点处质量为m ′的星体对可见星A 的引力，如此有F ＝Gm 1m ′r 21③ 由②③可得m ′＝m 32m 1＋m 22④(2)对可见星A 有G m 1m ′r 21＝m 1v 2r 1⑤可见星A 的轨道半径r 1＝vT2π⑥由④⑤⑥式解得m 32m 1＋m 22＝v 3T2πG . 【答案】 (1)m 32m 1＋m 22 (2)m 32m 1＋m 22＝v 3T2πG方法技巧解决双星问题的关键对于双星问题，关键抓住“四个相等〞，即向心力、角速度、周期大小相等，轨道半径之和等于两星间距，然后运用万有引力提供向心力列式求解．变式训练1 (多项选择)两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的答案是( )A ．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比B ．它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比C ．它们做圆周运动的半径与其质量成正比D ．它们做圆周运动的半径与其质量成反比解析：两天体绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，故A 错误；因为两天体做圆周运动的向心力由两天体间的万有引力提供，向心力大小相等，由Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2，Gm 1m 2L2＝m 2r 2ω2可知，m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，所以它们的轨道半径与它们的质量成反比，C 错误，D 正确；而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的，B 正确．答案：BD变式训练 2 (多项选择)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统〞，“双星系统〞由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如下列图．两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期一样的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1:m 2＝3:2.如此可知( )A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3:2B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2:3C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 1、m 2做圆周运动的向心力大小相等解析：双星系统周期一样(角速度一样)，所受万有引力作为向心力一样，所以B 项错误，D 项正确；由F ＝mω2r ，m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，得m 1v 1＝m 2v 2，v 1v 2＝m 2m 1＝23，A 项错误；r 1r 2＝m 2m 1又r 1＋r 2＝L ，所以r 1＝m 2m 1＋m 2L ＝25L ，C 项正确．答案：CD变式训练3 银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观测得其周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，万有引力常量为G .由此可求出S 2的质量为( )A.4π2r 2r －r 1GT 2 B.4π2r 31GT 2C.4π2r3GT 2D.4π2r 2r 1GT2解析：设S 1、S 2两星体的质量分别为m 1、m 2，根据万有引力定律和牛顿定律得：对S 1有Gm 1m 2r 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1， 解之可得m 2＝4π2r 2r 1GT2.所以正确选项是D. 答案：D变式训练4 月球与地球质量之比约为180，月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动线速度大小之比约为( )A ．1:6 400B ．1:80C ．80:1D ．6 400:1解析：月球和地球绕O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，如此地球和月球的向心力相等．且月球和地球与O 点始终共线，说明月球和地球有一样的角速度和周期，因此有mω2r ＝Mω2R ，所以v v ′＝r R ＝Mm，线速度和质量成反比，正确答案为C 项． 答案：C。