三角函数与解三角形(学生用)

三角函数与解三角形近几年高考中，三角函数和解三角形以解答题形式考查成为必考内容，其试题难度为中档题，由原来简单考查三角函数性质和三角恒等变换演变为知识间交汇考查，其综合应用能力进一步加大，创新角度更新颖。

其热点题型有：①与化同名研究三角函数性质的综合；②与正、余弦定相结合的综合；③与平面向量相结合的综合。

题型一 与化同名研究三角函数性质的综合 1．（2014天津）已知函数43cos 3)3sin(cos )(2+-+⋅=x x x x f π，R x ∈． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 在闭区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值．2．已知函数x x x f cos sin )(+=．（1）若)(2)(x f x f -=，求xxx x 22sin 1cos sin cos +-的值； （2）求函数)()()()(2x f x f x f x F +-⋅=的最大值和单调递增区间．3.已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值.4.已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数,F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) (I )求F (x )的最小正周期及单调区间； (Ⅱ)求函数F (x )在[,]84-ππ上的值域； (III)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．5．已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>-+=ωωωωx x x x f ，其最小正周期为2π．（1）求)(x f 的表达式；（2）将函数)(x f 的图象向右平移8π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得 到函数)(x g y =的图象，若关于x 的方程0)(=+k x g ，在]2,0[π上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．6．已知函数)0(3sin 32cos sin 2)(2>-+=ωωωωx x x x f ，其最小正周期为π． （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在 )0](,0[>b b 上至少含有10个零点，求b 的最小值．题型二 与正、余弦定理相结合的综合（一）常规的化简与求值问题1.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且c A b B a 21cos cos =-，当)tan(B A -取最大值时，角C 的值为 .2．（2014天津）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知C B b c a sin 6sin ,66==-． （1）求A cos 的值； （2）求)62cos(π-A 的值．3．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且0)cos (sin 2sin 1=+--C C C（1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的长度．4．已知函数)0(cos 2sin )(>+=m x x m x f 的最大值为2． （1）求函数)(x f 在],0[π上的值域； （2）已知ABC ∆外接圆半径B A B f A f R sin sin 64)4()4(,3=-+-=ππ，角B A ,所对的边分别是b a ,， 求ba 11+的值．5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．（二）判定三角形形状的问题1．（2010辽宁）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.2．在ABC ∆中，若sin cos sin A C B =，其中,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且ABC ∆中最大边长是12，最小角的正弦值是13（1）判断ABC ∆的形状； （2）求ABC ∆的面积.3.已知a b c ，，为ABC △的内角A B C ，，的对边，满足ACB AC B cos cos cos 2sin sin sin --=+，函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增，在区间2[,]33ππ上单调递减.（1）证明：a c b 2=+；（2）若A f cos )9(=π，证明ABC △为等边三角形．（三）研究三角形的周长与面积的问题1．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知CcA a sin cos 3=（《三维》40，3）（1）求角A 的大小；（2）若6=a ，求ABC ∆的周长的取值范围．（注意变式）2．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，且1)1tan (tan cos cos 2=-⋅C A C A ．（《三维》39，2） （1）求角B 的大小； （2）若3,233==+b c a ，求ABC ∆的面积．3．在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，且272cos 2sin 42=-+A C B ．（《三专》132，2） （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上高为1，求ABC ∆面积的最小值．4．已知ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若ABC ∆的外接圆的半径为2，且 B b a C c A a s i n )(s i n s i n -=-． （1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆面积S 的最大值．（四）最值与范围问题1．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若23,1==c b ． （1）求角C 的范围； （2）求)6cos(sin 4π+C C 的最小值．2．已知函数1sin 32cos2)(2--=x xx f ． （1）求)(x f 的值域和对称中必坐标；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若1)3(=-πA f ，求2a bc的最大值．【变式】已知△ABC 是锐角三角形，2B A ∠=∠，则ba的取值范围是（ ） .(2,2).(2,2).(1,3.(2,3)A B C D - )3．（2011浙江理）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知sin sin sin ()A C p B p R +=∈且214ac b =． （1）当5,14p b ==时，求,a c 的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．题型三 与平面向量相结合的综合（一）常规的化简与求值问题1.在△ABC 中，边，，2AB 1AC == 角32A π=，过A 作P BC AP 于⊥，且AC AB AP μλ+=，则=λμ .2.在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅=，则tan tan A B= .3．（2014辽宁）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且c a >已知3,31cos ,2===⋅b B BC BA ． （1）求a 和c 的值； （2）求)cos(C B -的值．4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知向量),cos 2,cos 2(),sin 3,(cos A A n A A m -== 1-=⋅n m ． （1）若2,32==c a ，求ABC ∆的面积； （2）求)3cos(2C a c b +-π的值．（二）与周长、面积相关的问题1．已知向量)21,sin 3(),1,(cos -=-=x n x m ，函数m n m x f ⋅+=)()(．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）已知角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，A 为锐角，3,1==c a ，且)(A f 恰是函数)(x f 在]2,0[π上的最 大值，求b A ,和ABC ∆的面积．（三）最值与范围问题1．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，4,,8==∠=⋅a BAC AC AB θ．（1）求bc 的最大值及θ的取值范围；（2）求函数12cos 2sin 3)(++=θθθf 的最值．2．已知)2cos ,2sin 3(),1,2(cos2x x n x m =-=，设函数1)(+⋅=n m x f ． （1）若1011)(],2,0[=∈x f x π，求x cos 的值； （2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足a c A b 32cos 2-≤，求)(B f 取值范围．3．已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，)0,2(),cos 1,(sin =-=n B B m 的夹角θ的余弦值为21． （1）求角B 的大小；（2）若3=b ，求c a +的范围．4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，)1,2(),cos ,2(a q C c b p =-=，且q p //．（《三维》40，4）（1）求A sin 的值；（2）求三角函数式1tan 12cos 2++-C C 的取值范围．5．已知向量)cos ,sin (),0)(sin ,cos (ββλαλαλ-=≠=OB OA ，其中O 为坐标原点．（1）若6πβα=-且1=λ，求向量OA 与OB 的夹角；（2）若||2||OB AB ≥对任意实数βα,都成立，求实数λ的取值范围．。