浙教版八年级数学上册.3 证明 (2) (巩固练习).docx

1.3证明（2）同步练习【知识盘点】1．三角形的一个外角等于_________的两个内角的和．2．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠C=________．3．在△ABC中，∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于_______．4．如图1所示，△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30•°，则∠BEC的度数是_________．(1) (2) (3) (4)5．按第4题图所示，请你直接写出∠A，∠BEC，∠EDC之间的大小关系，用“<•”号连接____________．6．如图2所示，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________．【基础过关】7．如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形是（）A．锐角三角形; B．直角三角形; C．钝角三角形; D．都有可能8．若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（）A．55°B．70°C>55°或70°D．以上答案都不对9．若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：510．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠B+∠A=∠C B．∠A：∠B：∠C=2：3：5C．∠A=2∠B=3∠C D．一个外角等于和它相邻的一个内角11．如图3所示，在△ABC中，∠ABC与∠BAC的平分线相交于点O，若∠BOC=120°，则∠A为（）A．30°B．60°C．80°D．100°12．如图所示，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE•交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．100°【应用拓展】13．如图4所示，点B，D，E，C在同一条直线上，且∠1=∠2，BD=EC，求证：△ABE≌△ACD．14．如图所示，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．【综合提高】15．如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变；（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．。

1.3 证明一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列说法正确的是( )A. 命题一定是正确的B. 不正确的判断就不是命题C. 真命题都是定理D. 定理都是真命题2. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30∘角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45∘角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )A. 30∘B. 20∘C. 15∘D. 14∘3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60∘”时，反设正确的是( )A. 假设三个内角都不大于60∘B. 假设三个内角都大于60∘C. 假设三个内角至多有一个大于60∘D. 假设三个内角至多有两个大于60∘4. 如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28∘，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为( )A. 62∘B. 152∘C. 208∘D. 236∘5. 要证明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是( )A. a=1，b=−2B. a=0，b=−1C. a=−1，b=−2D. a=2，b=−16. 如图，△ABC中，∠C=70∘，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=( )A. 360∘B. 250∘C. 180∘D. 140∘7. 某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902 班得冠军，904 班得第三”；乙说：“901 班得第四，903 班得亚军”；丙说：“903 班得第三，904 班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是( )A. 901 班B. 902 班C. 903 班D. 904 班8. 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠C等于( )A. 45∘B. 60∘C. 75∘D. 90∘9. 如图所示，下列等式错误的是( )A. ∠3=∠ABD+∠AB. ∠1=∠3+∠PCDC. ∠1=∠ABD+∠AD. ∠1=∠A+∠ABD+∠PCD10. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 不能确定二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=50∘，延长BC到D，则∠ACD=∘．12. 如图，在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是或．当∠B是时，，这与相矛盾；当∠B是时，，这与相矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．13. 平面上直线a，b分别经过线段OK的两个端点，所形成的角的度数如图所示，则直线a，b相交所成的锐角等于∘．14. 用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设．15. 将一副直角三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为．16. 参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩）信息序号文字信息数学表达式1C和D的得分之和是E得分的2倍2B的得分高于D B>D3A和B的得分之和等于C和D的总分4D的得分高于E（1）请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式；（2）5位同学的比赛名次依次是．（仿照第二条信息的数学表达式用">"连接）17. 将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF的锐角顶点D放在另一块直角三角板（∠B=60∘）的斜边AB上，两块三角板的直角边交于点M．如果∠BDE=75∘，那么∠AMD的度数是．18. 小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A，B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1∼5题的顺序排列）是．19. 电脑系统中有个＂扫雷＂游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的＂3＂表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有．（请填入方块上的字母）20. 如图，已知∠AOB=7∘，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90∘−7∘=83∘ .当∠A<83∘时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2 .若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=∘ .⋯⋯若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值= ∘ .三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠ADC=75∘，∠1=∠B．求∠BAC的度数．22. 已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接BE，CD交于点F .用反证法证明：BE，CD不能互相平分．23. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90∘，∠B和∠C应分别是32∘和21∘，检验工人量得∠BDC=148∘，于是就判定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．24. 用反证法证明：如果a>b>0，那么√a>√b .25. △ABC中，∠C=60∘，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE=α．Ⅰ如图①所示，如果点P在线段BA上，且α=30∘，那么∠PEB+∠PDA=；Ⅱ如图①所示，如果点P在线段BA上运动，①依据题意补全图形；②写出∠PEB+∠PDA的大小（用含α的式子表示）；并说明理由．Ⅲ如果点P在线段BA的延长线上运动，直接写出∠PEB与∠PDA之间的数量关系（用含α的式子表示）．那么∠PEB与∠PDA之间的数量关系是．答案第一部分1. D2. C3. B4. C5. D6. B7. B8. C9. C 10. C 第二部分 11. 8012. 直角；钝角；直角；∠B +∠C =180∘；三角形三个内角的和等于 180∘；钝角；∠B +∠C >180∘；三角形三个内角的和等于 180∘ 13. 3014. 在一个三角形中，可以有两个内角为钝角 15. 105∘ 16. （1）（2）B >D >E >C 17. 90∘ 18. BABBA19. B 、 D 、 F 、 G 20. 76 ； 6 第三部分21. 因为 ∠ADC =∠B +∠BAD （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠1=∠B （已知），所以 ∠ADC =∠1+∠BAD =∠BAC =75∘（等量代换）． 22. 假设 BE ，CD 互相平分，则 BF =EF ，CF =DF . 在 △BDF 和 △CEF 中， ∵{BF =EF,∠BFD =∠EFC,DF =CF,∴△BDF ≌△ECF ( SAS )． ∴∠BDF =∠ECF . ∴BD ∥EC .这与 △ABC 是三角形相矛盾，∴ 假设不成立，即 BE ，CD 不能互相平分． 23. 如图，连接 AD 并延长至点 E ，则∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠BAD，所以∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠BAD=21∘+32∘+90∘=143∘≠148∘,所以这个零件不合格．24. 假设√a不大于√b，即√a<√b或√a=√b .①若√a<√b，∵a>0，√a>0，两边同乘√a，得√a⋅√a<√b⋅√a，∴a<√ab .又∵b>0，√b>0，两边同乘√b，得√a⋅√b<√b⋅√b，∴√ab<b .由此可得a<√ab<b，即a<b，与已知a>b矛盾．②若√a=√b，两边平方，得a=b，与已知a>b矛盾．∴假设不成立，∴如果a>b>0，那么√a>√b .25. （1）90∘（2）①如图所示，②连接PC．因为∠BED是△PEC的外角，所以∠BED=∠3+∠4．因为∠PDA是△PDC的外角，所以∠PDA=∠1+∠2．所以∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4．因为∠C=60∘，所以∠PEB+∠PDA=60∘+α．（3）三种情况：∠α=∠PEB−∠PDA−60∘，∠α=∠PDA−∠PEB+60∘．初中数学试卷。

1.3 证明一、单选题1．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）A．50 o B．60 o C．75 o D．85 o2．三角形中∠B的平分线和外角的平分线的夹角是（）．A．60°B．90°C．45°D．135°3．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．”小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．”小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．”已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（）A．小王B．小陈C．小张D．不能确定4．下列问题你不能肯定的是（）A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系C．三角形的内角和D．n边形的外角和5．某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（）A．嫌疑犯乙B．嫌疑犯丙C．嫌疑犯甲D．嫌疑犯甲和丙6．如图，CE是ABC∆的外角ACD∠的平分线，若35∠=( ).∠=，则A∠=，60BACEA．95 B．85 C．75 D．7．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°8．如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=A．60°B．120°C．150°D．180°9．如图，下列推理不正确的是( )A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180°B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BCC．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD10．下列推理中，错误的是( )A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CDB．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γC．因为a∥b，b∥c，所以a∥cD．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF11．下列推理正确的是( )A．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°B．∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2C．∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角D．∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角12．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为( )A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：5二、填空题13．如图，直线a b∥，Rt△ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为______．14．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是__________．①只有一个号码正确且位置正确②只有两个号码正确且位置都不正确③三个号码都不正确15．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD，是根据___________________________．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线与外角∠BAD的平分线的反向延长线交于点F，则∠F＝____．17．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝_____．18．在△ABC中，AB≠AC，若用反证法证明∠B≠∠C，应先假设 _____19．为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1﹣500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1﹣250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）．又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，…，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是_____．20．盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是：_______．21．完成下面的证明过程．已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．证明：∵∠1和∠D互余(已知)，∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．∵∠C和∠D互余(已知)，∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，∴∠1＝∠C(__________________)，∴AB∥CD(________________________)．22．如图，点 A，C，F，B 在同一直线上，CD 平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA 为α度，则∠GFB为________度（用关于α的代数式表示）．23．如图，是一副三角板叠放的示意图，则∠α=______．24．如图，现给出下列条件：①1B ∠∠=，②25∠∠=，③34∠∠=，④1D ∠∠=，⑤B BCD 180∠∠+=︒.其中能够得到AB//CD 的条件是_______.(只填序号)三、解答题25．观察下列等式：第个等式为：2113323-=⨯第1个等式为：3223323-=⨯第2个等式为：4333323-=⨯第3个等式为：5443323-=⨯....根据上述等式含有的规律，解答下列问题：（1）第5个等式为：是（2）第n 个等式为：是 （用含n 的代数式表示），并证明26．已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE=∠CEF ．27．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有12,34∠=∠∠=∠．设镜子AB 与BC 的夹角ABC α∠=．（1）如图①，若90α=︒，判断入射光线EF 与反射光线GH 的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若90180a ︒<<︒，入射光线EF 与反射光线GH 的夹角FMH β∠=．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若130α=︒，设镜子CD 与BC 的夹角BCD ∠为钝角，入射光线EF 与镜面AB 的夹角109()0x x ∠=︒<<︒．已知入射光线EF 从镜面AB 开始反射，经过(n n 为正整数，且3n ≤）次反射，当第n 次反射光线与入射光线EF 平行时，请直接写出BCD ∠的度数（可用含x 的代数式表示）．答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．B 5．C 6．B7．D8．A 9．C10．A 11．B 12．C二、填空题13．35°14．52015．同旁内角互补，两直线平行16．45°17．540°18．∠B=∠C19．25620．①②③．21．互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 22．90°﹣2α 23．75°24．①②⑤三、解答题25．解：（1）观察等式可知：第5个等式为：6553323-=⨯；故答案为：6553323-=⨯；（2）第n 个等式为：13323n n n +-=⨯，证明：左边1333333(31)23n n n n n n +=-=⨯-=-=⨯=右边∴等式成立． 26．解：根据互余、角平分线及对顶角等相关知识即可得出答案．证明：如图，∵∠ACB =90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE =∠CEF .27．解：()1,EF GH理由如下：在BEG 中，23180,α∠+∠+=︒90,α=︒2390,∴∠+∠=︒12180,34180,12,34FEG EGH ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=∠∠=∠， 1234360FEG EGH ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，180FEG EGH ∴∠+∠=，//EF GH ∴；()22180βα=-︒．理由如下：在BEG 中，23180α∠+∠+=23180,α∴∠+∠=︒-12,1MEB ∠=∠∠=∠2,MEB ∴∠=∠22,MEG ∴∠=∠34,4MGB ∠=∠∠=∠3,MGB ∴∠=∠23,MGE ∴∠=∠在MEG 中，180MEG MGE β∠+∠+=︒(0)18MEG MGE β∴=︒-∠+∠180(2223)=-∠+∠(802)123=∠+∠－1802(180)2180αα=︒︒=-－－ ；()390x ︒+或140︒如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得 ∠FEG=2∠BCD-180°，根据平行线性质，得：∠FEG=∠PAH=2∠NAH=2x ，∴∠BCD=1802902x x ︒+=︒+；如图，当夹角为直角时，根据（1）中的结论，得∠EBC=50°，根据三角形外角性质，得：∴∠BCD=∠EBC+∠BEC=50°+90°=140°.∴∠BCD的度数为90x︒+或140°.。

1.3 证明（2）（巩固练习）姓名班级第一部分1、命题“同旁内角互补”中，题设是_________，结论是_________．2、如图，与∠1构成同位角的是______，与∠2构成内错角的是______.第2题图第3题图3、珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE= 度.4、在△ABC中，如果∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于_________度．5、直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别为________度，________度．6、如图所示，∠BDC=148°，∠B=34°，∠C=38°，那么∠A=________．第15题图ADBCE7、如图，DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=80°，则∠ABD=________°，∠A=________°．第二部分8、用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1_________ l2，则∠1+∠2 _________ 180°（两直线平行，同旁内角互补）.这与_________ 矛盾，故_________ 不成立．第7题图所以_________ ．9、（本小题满分12分）已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC，填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明 = _________ ，而已知∠1=∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出_________ ∥_________ ，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴_________ ∥_________ （_________ ）.∴_________ = _________ （两直线平行，内错角相等），_________ = _________ （两直线平行，同位角相等），∵_________ （已知），∴_________ ，即AD平分∠BAC（_________ ）.10、如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线，∠A=58°，求∠H的度数．11、已知：如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6.求证：ED∥FB．第11题图参考答案第一部分1、两个角是同旁内角这两个角互补解析：∵命题“同旁内角互补”可以写成“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”，∴命题“同旁内角互补”中，题设是两个角是同旁内角，结论是这两个角互补．2、∠∠解析：根据同位角、内错角的定义可知，与∠1构成同位角的是∠，与∠2构成内错角的是∠．3、20 解析：过点C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，∴AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴∠BCF=60°，∴∠DCF=20°，∴∠CDE=∠DCF=20°．第3题答图4、117解析：根据三角形内角与外角的关系得：∠A的外角=∠B+ ∠C=45°+72°=117°．5、35 55 解析：设其中较小的一个锐角是x°，则另一个锐角是x°+20°，∵直角三角形的两个锐角互余，∴x°+x°+20°=90°，∴x°=35°，x°+20=55°．6、76°解析：如图，延长CD交AB于点E．根据三角形外角的性质，可知∠DEB=∠BDC﹣∠B=114°．∴∠A=∠DEB﹣∠C=114°﹣38°=76°．7、50 80 解析：∵DE∥AB，∴∠A=∠CDE=80°,∴∠ADE=180°﹣∠CDE=100°.∵DB平分∠ADE，∴∠BDE=50°，∴∠ABD=∠BDE=50°．第二部分8、解：已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以l1与l2不平行．用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1∥l2，根据平行线的性质，可得∠1+∠2=180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2不平行．证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1与l2不平行．9、解：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠BAD=∠CAD，而已知∠1=∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出EF∥AD，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴EF∥AD（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）.∴∠1=∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠2=∠CAD（两直线平行，同位角相等）.∵∠1=∠2（已知），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC（角平分线的定义）．10、解：∵∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣58°=122°①.∵BH是∠ABC的平分线，∴∠HBC=∠ABC.∵∠ACD是△ABC的外角，CH是外角∠ACD的平分线，∴∠ACH=（∠A+∠ABC），∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+（∠A+∠ABC）.∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，∴∠H+∠ABC+∠ACB+（∠A+∠ABC）=180°，即∠H+（∠ABC+∠ACB）+∠A=180°②，把①代入②得，∠H+122°+58°=180°，∴∠H=29°．11、证明：∵∠3 =∠4,∴AC∥BD.∴∠6+∠2+∠3 = 180°.∵∠6 =∠5，∠2 =∠1,∴∠5+∠1+∠3 = 180°.∴ ED∥FB.初中数学试卷。

1.3 证明专题一利用平行线的性质和判定证明1. 已知，如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．2. 已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，求证：∠BDC+∠DGF=180°．专题二自然数问题的证明3. 两个连续自然数的积是偶数.4. 求证：若n为整数，则（2n+1）2-（2n-1）2一定是8的倍数.专题三利用外角的性质证明5. （1）如图（1），有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB= ，∠XBC+∠XCB= .（2）如图（2），改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．6. （1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？7.如图1，有一个五角星ABCDE，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？如图2、图3，如果点B向右移到AC上，或AC的另一侧时，上述结论仍然成立吗？请分别说明理由．课时笔记【知识要点】1. 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立.这样的推理过程叫做证明.2. 三角形的内（外）角和定理三角形三个内角的和等于180°；三角形不共顶点的三个外角的和等于360°.3. 三角形的外角的概念和性质概念：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，这样的角叫做该三角形的外角.三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.4. 证明几何命题时，表述格式一般是：（1）按题意画出图形.（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论.（3）在“证明”中写出推理过程.【温馨提示】1. 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写出证明中.辅助线通常画成虚线.2. 用推理的方法可说明一个命题是真命题，用举反例的方法可以说明一个命题是假命题.3. 推理的每一步必须有依据.【方法技巧】1. 要说明两直线平行，只需说明这两条直线被第三条直线所截所构成的内错角相等或同位角相等或同旁内角互补.2. 要说明两个角相等，目前我们可以利用平行线的性质或角平分线的定义说明.参考答案1. 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）.∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠ACD（等量代换）.∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.∵EF⊥AB（已知），∴∠AEF=90°（垂直定义），∴∠ADC=90°（等量代换）.∴CD⊥AB（垂直定义）．2. 证明：∵∠1=∠ACB（已知），∴DE∥BC （同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠DCF （两直线平行，内错角相等）.∵∠2=∠3（已知），∴∠3=∠DCF （等量代换），∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC+∠DGF=180°（两直线平行，同旁内角互补）．3. 解：已知：n，n+1是两个连续的自然数.求证：n（n+1）是偶数.证明：当n是奇数时，n+1就是偶数，所以n（n+1）是偶数.当n是偶数时，n（n+1）是偶数.综上所述，n（n+1）是偶数.即两个连续自然数的积是偶数.4. 证明：∵（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n，∵n为整数，∴8n是8的倍数.．即（2n+1）2-（2n-1）2一定是8的倍数.5. 解：（1）∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.∴∠ABC+∠ACB=150°，∠XBC+∠XCB=90°．（2）不变化．∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°.6.7. 解：（1）如图（一），∵∠1是△BDF的外角，∴∠B+∠D=∠1.同理∠A+∠C=∠2.由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°；（2）如图（二）∵∠1是△ABD的外角，∴∠A+∠D=∠1.同理∠E+∠EBD=∠2.由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即∠EBD+∠D+∠A+∠C+∠E=180°；（3）如图（三），∵∠2是△ABN的外角，∴∠B+∠A=∠2.同理∠D+∠C=∠1.由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°.故结论都成立．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

八年级数学上1.3证明(二)同步集训（浙教版带答案）1．3 证明(二)(第1题)1．(1)如图，已知∠ABD＝20°，∠AcD＝35°，∠BDc＝110°，则∠A的度数为55°；(2)在△ABc中，∠A＋∠B＝110°，∠c＝2∠A，则∠A＝35°，∠B＝75°．2．(1)如图①，在△ABc中，D，E分别是Bc，Ac边上的点，AD，BE交于点F，则∠1＋∠2＋∠3＋∠c＝180°．①②(第2题)(2)如图②，D是△ABc的边Ac上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系是∠2 ∠1 ∠A．3 如图，将等腰直角三角形ABc绕点A沿逆时针方向旋转15°后得到△AB′c′，B′c′与AB交于点P，则∠c′PB＝__120°__．(第3题) ( 第4题)4．如图，在△ABc中，D，E分别是Ac，BD上的点，∠ A＝6 5°，∠ABD＝∠DcE＝30°，则∠BEc的度数是125°．5．如图，直线AB∥cD，∠A＝70°，∠c＝40°，则∠E的度数是(A)(第5题)A 30°B 40°c 60°D 70°6．若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为(c)A．4∶3∶2 B．3∶2∶4c．5∶3∶1 D．3∶1∶57．直角三角形中的两锐角平分线相交而成的角的度数是(c)A．45° B．135°c．45°或135° D．145°(第8题)8．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于(B)A 120°B 240°c 300°D 360°(第9题)9．如图所示，在△ABc中，∠c＝∠ABc＝2∠A，BD是Ac边上的高线，求∠DB c的度数．【解】设∠A＝x，则∠c＝∠ABc＝2x，∴x＋2x＋2x＝180°(三角形三个内角之和为180°)，解得x＝36°∴∠c＝2×36°＝72°在△BDc中，∵∠BDc＝90°(已知)，∴∠DBc＝180°－90°－72°＝18°(第10题)10．如图，∠A＋∠B＋∠c＋∠D＋∠E的度数是__180°__．【解】延长cE交AB于点，则∠D＋∠DEc＝∠HB，∠HB＋∠B ＝∠Ac∵∠Ac＋∠c＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠c＋∠D＋∠E＝180°(第11题)11．如图，图中∠1，∠ 2，∠3，∠4的关系为(A)A ∠1＋∠2＝∠4－∠3B ∠1＋∠2＝∠3＋∠4c ∠1－∠2＝∠4－∠3D ∠1－∠2＝∠3－∠4【解】∵∠AEF是△BED的外角，∴∠AEF＝∠2＋∠3∵∠4是△AEF的外角，∴∠4＝∠1＋∠AEF，∴∠4＝∠1＋∠2＋∠3，∴∠1＋∠2＝∠4－∠312．如图，已知AB∥cD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3求证BA平分∠EBF下面给出证法一．(第12题)证法一设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x∵AB∥cD(已知)，∴∠2＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，即2x＋3x＝180°，解得x＝36°，∴∠1＝36°，∠2＝72°∵∠EBA＋(∠1＋∠2)＝180°(邻补角的定义)，∴∠EBA＝72°＝∠2∴BA平分∠EBF请阅读证法一后，找出与证法一不同的证法，并写出证明过程．【解】设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x∵∠3是△BFG的一个外角，∴∠BGF＝∠3－∠1＝3x－x＝2x(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)．又∵AB∥cD(已知)，∴∠EBA＝∠EGF＝2x(两直线平行，同位角相等)．又∵∠2＝2x，∴∠EBA＝∠2，∴BA平分∠EBF13．(1)如图，将△ABc纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BcDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或cD上时，分别写出∠A 与∠2，∠A与∠1之间的关系式，并说明理由；(3)若折成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由；(第13题)(4)若折成图⑤，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．【解】(1)∠1＋∠2＝2∠A理由如下如解图①，延长BE，cD交于点P，则△BcP即为折叠前的三角形，由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE连结AP，由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A(2)图②中∠2＝2∠A理由如下如解图②，由三角形的外角性质知∠2＝∠DPE＋∠DAE＝2∠DAE，即∠2＝2∠A(第13题解)图③中∠1＝2∠A理由如下如解图③，∠1＝∠EAP＋∠P＝2∠EAP，即∠1＝2∠A(3)∠2－∠1＝2∠A理由如下如解图④，由三角形的外角性质知∠2＝∠3＋∠P，∠3＝∠1＋∠A，即∠2＝∠P＋∠1＋∠A＝2∠A＋∠1，故∠2－∠1＝2∠A(4)∠1－∠2＝2∠A理由如下如解图⑤，∠3＝∠A＋∠2，∠1＝∠3＋∠P，即∠1＝∠A＋∠2＋∠P＝2∠A＋∠2，故∠1－∠2＝2∠A14．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(第14题)(1)如图①，若AB∥cD，点P在AB，cD外部，则有∠B＝∠BD，又因∠BD是△PD的外角，故∠BD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D 将点P移到AB，cD内部，如图②，以上结论是否仍成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线cD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系(不需证明)?(3)根据(2)的结论求图④中∠A＋∠B＋∠c＋∠D＋∠E＋∠F的度数．【解】 (1)不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D证明如下延长BP交cD于点E∵AB∥cD，∴∠B＝∠BED又∵∠BPD＝∠BED＋∠D,∴∠BPD＝∠B＋∠D(2)∠BPD＝∠BQD ＋∠B＋∠D(3)设Ac与BF交于点G，连结DG由(2)的结论，得∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E∵∠c＋∠cDG＋∠cGD＝180°，∠F＋∠FDG＋∠FGD＝180°，∴∠cGF＋∠c＋∠D＋∠F＝360°∵∠AGB＝∠cGF，∴∠A＋∠B＋∠c＋∠D＋∠E＋∠F＝360°。

1.3证明同步练习一．选择题（共15小题）1．（2015秋•鄂州校级月考）如图游戏：人从格外只能进入第1格，在格中，每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有（）种方法．A．6 B．7 C．8 D．92．（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．23．（2016•铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A．1 B．2 C．4 D．84．（2016•怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD5．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°6．（2016•厦门校级模拟）如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤37．（2016•惠安县二模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC，则点B到AD的距离是（）A．B．2 C．D．8．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．0个9．（2010•肇庆）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°10．（2011春•吉安期末）如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为（）度．A．180 B．270 C．360 D．54011．（2012春•九江期末）如图，△ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是△ABC（）A．BC边上的高B．AB边上的高C．AC边上的高D．以上都不对12．如图，在△ABC中，D为AC的中点，E，F为AB上的两点，且AE=BF=AB，则S△DEF：S△ABC 等于（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．2：713．（2016•苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．314．（2016•盐城）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可以为（）A．5 B．6 C．7 D．815．（2015•东西湖区校级模拟）如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（）A．OA=OB B．OP为△AOB的角平分线C．OP为△AOB的高D．OP为△AOB的中线二．填空题（共1小题）16．（2006•烟台）如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内，若∠1=20°，则∠2的度数为度．三．解答题（共14小题）17．（2015春•邢台校级期末）如图，已知AB∥CD，∠B=120°，∠C=25°，求∠E．18．（2014春•南京期末）看图填空：已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADC=90°，∠EFC=90°（垂线的定义）∴=∥∴∠1=∠2=∵∠1=∠2（已知）∴∴AD平分∠BAC（角平分线定义）19．（2014秋•剑川县期末）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE==．（2）∠BAD==．（3）∠AFB==．（4）S△AEC=．20．如图所示．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．21．如图所示．平面上六个点A，B，C，D，F构成一个封闭折线图形．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．22．如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F=（∠A+∠D）．23．（2016春•高密市期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．24．（2016春•故城县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：（1）∠BAE的度数；（2）∠DAE的度数；（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．25．（2016春•淮安期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．26．（2016春•江苏月考）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数4°6°9°120°∠BIC的度数∠BDI的度数27．（2015秋•全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．28．（2015秋•泰兴市校级期中）（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数；（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，①∠CAE=（含x的代数式表示）②求∠F的度数．29．（2013春•唐山期末）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．1.3证明同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015秋•鄂州校级月考）如图游戏：人从格外只能进入第1格，在格中，每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有（）种方法．A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：每次向前跳l格，有唯一的跳法；仅有一次跳2格，其余每次向前跳l格，有4种的跳法；有两次跳2格，其余每次向前跳l格，有3种的跳法．则共有1+4+3=8种．故选：C．2．（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C．3．（2016•铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：作PE⊥OA于E，如图，∵CP∥OB，∴∠ECP=∠AOB=30°，在Rt△EPC中，PE=PC=×4=2，∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD=PE=2．故选B．4．（2016•怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD【解答】解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，∴PC=PD，故A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，，∴△OCP≌△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．故选B．5．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A．6．（2016•厦门校级模拟）如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3【解答】解：作PM⊥OB于M，∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，故选：C．7．（2016•惠安县二模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC，则点B到AD的距离是（）A．B．2 C．D．【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB于E，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，设CD=x，则BD=8﹣x，∵AD平分∠BAC，∴=，即=，解得，x=∴CD=，∴S△ABD=×AB•DE=×5=，∵AD==，设BD到AD的距离是h，∴S△ABD=×AD•h，∴h=．故选：C．8．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．0个【解答】解：∵AB∥CD，∴∠CBA=∠BCD，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠CAB+∠BCD=90°，即图中与∠CAB互余的角有∠CBA和∠BCD两个．故选B．9．（2010•肇庆）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【解答】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．10．（2011春•吉安期末）如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为（）度．A．180 B．270 C．360 D．540【解答】解：连接AC．根据三角形的内角和定理，得∠D+∠E=∠CAE+∠ACD．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠B+∠BAC+∠ACB=180°．故选A．11．（2012春•九江期末）如图，△ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是△ABC（）A．BC边上的高B．AB边上的高C．AC边上的高D．以上都不对【解答】解：CD是△BCD中BC边上的高，而不是△ABC的高．故选D．12．如图，在△ABC中，D为AC的中点，E，F为AB上的两点，且AE=BF=AB，则S△DEF：S△ABC 等于（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．2：7【解答】解：分别过点C、D作CG⊥AB，DK⊥AB，垂足分别为G、K，∵AE=BF=AB，∴FK=AB．∵D为AC的中点，∴DK=CG，∴S△DEF：S△ABC====1：4．故选B．13．（2016•苏州）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．3【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵=2，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，故选C．14．（2016•盐城）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可以为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵|a﹣4|+=0，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；则4﹣2＜c＜4+2，2＜c＜6，5符合条件；故选A．15．（2015•东西湖区校级模拟）如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（）A．OA=OB B．OP为△AOB的角平分线C．OP为△AOB的高D．OP为△AOB的中线【解答】解：当点P是AB的中点时S△AOB最小；如图，过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G，在△APG和△BPD中，，∴△APG≌△BPD（ASA），S四边形AODG=S△AOB．∵S四边形AODG＜S△COD，∴S△AOB＜S△COD，∴当点P是AB的中点时S△AOB最小；故选：D．二．填空题（共1小题）16．（2006•烟台）如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内，若∠1=20°，则∠2的度数为60度．【解答】解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°﹣（65°+75°）=40度，∴∠CDE+∠CED=180°﹣∠C=140°，∴∠2=360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°﹣300°=60度．故填60．三．解答题（共14小题）17．（2015春•邢台校级期末）如图，已知AB∥CD，∠B=120°，∠C=25°，求∠E．【解答】解：过点E作EF∥AB，如图所示．∵EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°，又∵∠B=120°，∴∠BEF=60°．∵EF∥AB∥CD，∴∠CEF=∠C=25°，∴∠E=∠BEF+∠CEF=85°．18．（2014春•南京期末）看图填空：已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADC=90°，∠EFC=90°（垂线的定义）∴∠ADC=∠EFCAD∥EF∴∠1=∠BAD∠2=∠CAD∵∠1=∠2（已知）∴∠BAD=∠CAD∴AD平分∠BAC（角平分线定义）【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC=∠EFC=90°，∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠2=∠DAC（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠BAD=∠DAC（等量代换），∴AD平分∠BAC，故答案为：∠ADC，∠EFC，AD，EF，∠BAD，∠CAD，∠BAD=∠CAD．19．（2014秋•剑川县期末）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：（1）BE=CE=BC．（2）∠BAD=∠DAC=∠BAC．（3）∠AFB=∠AFC=90°．（4）S△AEC=3．【解答】解：（1）∵AE是中线，∴BE=CE=BC．故答案为：CE，BC；（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC．故答案为：∠DAC，∠BAC；（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°．故答案为：∠AFC，90°；（4）∵AE是中线，AF是高，BE=2，AF=3，∴BE=CE=2，∴S△AEC=CE•AF=×2×3=3．故答案为：3．20．如图所示．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．【解答】解：分析所求的六个角分布在三个三角形中，但需减去顶点位于P，Q，R处的三个内角，由图形结构不难看出，这三个内角可以集中到△PQR中．在△PAB，△RCD，△QEF中，∠A+∠B+∠APB=180°，①∠C+∠D+∠CRD=180°，②∠E+∠F+∠EQF=180°，③又在△PQR中∠QPR+∠PRQ+∠PQR=180°，④又∠APB=∠QPR，∠CRD=∠PRQ，∠EQF=∠PQR（对顶角相等），①+②+③﹣④得，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．21．如图所示．平面上六个点A，B，C，D，F构成一个封闭折线图形．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．【解答】解：∵∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠1+∠2+∠D=180°．22．如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F=（∠A+∠D）．【解答】解：如图所示：∵CF、BF分别是∠ACD和∠ABD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△AMC和△FMB中，∠A+∠1=∠3+∠F①，在△AEC和△DEB中，∠A+∠1+∠2=∠3+∠4+∠D，即∠A+2∠1=2∠3+∠D②，由①×2﹣②得，∠A=2∠F﹣∠D，即2∠F=∠A+∠D，∴∠F=（∠A+∠D）．23．（2016春•高密市期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．24．（2016春•故城县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：（1）∠BAE的度数；（2）∠DAE的度数；（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=40°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，而∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣20°=20°；（3）能．∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，而∠ADE=∠B+∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠B，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C），∵∠B﹣∠C=40°，∴∠DAE=×40°=20°．25．（2016春•淮安期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠B=60°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°；∵∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=100°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ACB=50°，∴∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°=70°，∠ECD=90°﹣70°=20°26．（2016春•江苏月考）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数4°6°9°120°∠BIC的度数∠BDI的度数【解答】解：（1）填写表格如下：∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数111213150°0°5°0°∠BDI 的度数110°120°135°150°（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90+∠BAC；∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．∴∠BIC=∠BDI．27．（2015秋•全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．28．（2015秋•泰兴市校级期中）（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数；（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，①∠CAE=72°﹣x°（含x的代数式表示）②求∠F的度数．【解答】解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，∵AD是△ABC角平分线，∴∠CAE=∠CAB=50°，∵AE分别是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°；（2）①∵∠B=x°，∠C=（x+36）°，AF平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAF，∴∠CAE=[180°﹣x°﹣（x+36）°]=72°﹣x°，②∠AEC=∠BAE+∠B=72°，∵FD⊥BC，∴∠F=18°．29．（2013春•唐山期末）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD是高，∠C=70°∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BAC﹣（90°﹣∠C）①把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得∠EAD=∠C﹣∠B，∴2∠EAD=∠C﹣∠B．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

E D C B A D CBA 三角形内角和定理 同步练习一、选择题1.如图所示,BC ⊥AD,垂足是C,∠B=∠D,则∠AED 与∠BED 的 关系是( )A.∠AED>∠BEDB.∠AED <∠BED ；C.∠AED=∠BEDD.无法确定2.关于三角形内角的叙述错误的是( )A.三角形三个内角的和是180°；B.三角形两个内角的和一定大于60°C.三角形中至少有一个角不小于60°；D.一个三角形中最大的角所对的边最长 3.下列叙述正确的是 ( )A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；C.三角形中至少有两个锐角；D.三角形中至少有一个锐角.4.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰直角三角形；C.直角三角形D.等边三角形 5.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( ) A.50° B.55° C.45° D.40° 6.三角形中最大的内角一定是( )A.钝角B.直角；C.大于60°的角D.大于等于60°的角二、填空题1.直角三角形的两个锐角___________.2.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是________三角形.3.在△ABC 中,∠A=∠B=110∠C,则∠C=_______. 4.在△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+•∠C=•120•°,•则∠A =•_______,•∠B=______. 5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,A D ⊥BC 于D,则∠B=∠________,∠C=∠________. 6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角. 三、计算题1.如图,已知:∠A=∠C. 求证:∠ADB=∠CEB.E DCBA2.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C =65°,AE ⊥BC 于E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.ED CBA3.如图,在正方形ABCD 中,已知∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC 的度数.E FDCBA四、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120•°,•∠D=105°,你能否求出两腰的夹角∠P 的度数.PDCBA五、小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长BC到D,延长AC 到E,过点C 作CF ∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?EFDC BA六、请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD 如图所示.DCBA七、我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°=2×180°,五边形的内角和等于540°=3×180•°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n 边形的内角和等于多少度?答案：一、1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D二、1.互余 2.直角 3.150° 4.90°,30° 5.∠DAC;∠BAD 6.1;2三、1.∵∠A+∠B+∠ADB=∠C+∠B+∠CEB又∵∠A=∠C,∠B=∠B∴∠ADB=∠CEB2.∵∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-66°=84°又∵AD平分∠BAC∴∠DAC=12∠BAC=12×84°=42°∵AE⊥BC∴∠EAC=90°-∠C=90°-66°=24°∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42°-24°=18°3.∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°∠BFC=90°-∠BCF=90°-28°=62°∴∠EFC=180°-∠AFE-∠BFC=180°-60°-62°=58°四、∵∠PAD+∠BAD=180°∠PDA+∠ADC=180°∴∠PAD=180°-∠BAD=180°-120°=60°∠PDA=180°-∠ADC=180°-105°=75°又∵∠P+∠PAD+∠PDA=180°∴∠P=180°-∠PAD-∠PDA=180°-60°-75°=45°五、∵AB∥CF∴∠A=∠ACF ∠B=∠FCD又∵∠ACB=∠DCE∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠DCE=180°六、连接AC ∵∠B+∠BAC+∠AC B=180°∠D+∠DAC+∠ACD=180°∴(∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°即四边形ABCD的内角和等于360°.七、十边形的内角和:(10-2)×180°=1440°n边形的内角和:(n-2)×180°.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

第1章三角形的初步认识1.3 证明知识提要1. 证明：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．2. 三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角．3．外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．4. 证明几何命题时，表述格式一般是：（1）按题意画出图形．（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论．（3）在“证明”中写出推理过程．5. 注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线．添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线．练习一、选择题1．在△ABC中，若△A＝95°，△B＝40°，则△C的度数为()A．35° B．40° C．45° D．50°2.如图，下面的推理正确的是( )A．△△1＝△2，△AB△CDB．△△ABC＋△BCD＝180°，△AD△BCC．△AD△BC，△△3＝△4D．△△ABC＋△DAB＝180°，△AD△BC3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a△b的是()A．△2＝△4B．△4＝△5C．△1＝△3D．△1＋△4＝180°4.如图，AB△CD，△1＝45°，△3＝100°，则△2的度数为( )A. 30°B. 35°C. 50°D. 55°5.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE△BC.若△A＝35°，△C＝24°，则△D的度数为( )A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°6. 如图，l1△l2，则下列式子成立的是( )A．△α＋△β＋△γ＝180° B．△α＋△β－△γ＝180°C．△β＋△γ－△α＝180° D．△α－△β＋△γ＝180°7. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB△CD的是()A．△1＝△2B．△3＝△4C．△D＝△DCE D．△D＋△ACD＝180°8. 如图，△1，△2，△3，△4的数量关系为( )A. △1＋△2＝△4－△3B. △1＋△2＝△3＋△4C. △1－△2＝△4－△3D. △1－△2＝△3－△49.如图，直线AB△EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点．若△BCD＝95°，△CDE ＝25°，则△DEF的度数是( )A. 110°B. 115°C. 120°D. 125°10.如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB 上放置一块平面镜CD ，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD 与地面AB 所成角△DCB 的度数等于( )A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°二、填空题1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，△1＝△2，△3＝△4，△BAC ＝63°，则△CAD 的度数为 ．2. 如图，直线l 1△l 2，△α＝△β，△1＝40°，则△2的度数为 ．3. 如图，△A ＋△B ＋△C ＋△D ＋△E ＋△F ＋△G ＝____．三、解答题1. 如图，BD 是△ABC 的平分线，DE △CB ，交AB 于点E ，△A ＝45°，△BDC ＝60°，求△BDE各内角的度数．2.如图，已知△ABC＋△ECB＝180°，△P＝△Q.求证：△1＝△2.3.如图，△B＝36°，△D＝50°，AM，CM分别平分△BAD和△BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求△M的度数．4.如图，在△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB，BE平分△ABC，分别交AC，CD于点E，F.求证：△CEF＝△CFE.5.如图，△EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，△DBO的平分线与△OAB的平分线交于点C，试问：△ACB的度数是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．。

1.3 证明一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列说法正确的是A. 命题一定是正确的B. 不正确的判断就不是命题C. 真命题都是定理D. 定理都是真命题2. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是 ( )A. B. C. D.3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是 ( )A. 假设三个内角都不大于B. 假设三个内角都大于C. 假设三个内角至多有一个大于D. 假设三个内角至多有两个大于4. 如图是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为 ( )A. B. C. D.5. 要证明命题“若，则”是假命题，下列，的值不能作为反例的是A. ，B. ，C. ，D. ，6. 如图，中，，若沿图中虚线截去，则A. B. C. D.7. 某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902 班得冠军，904 班得第三”；乙说：“901 班得第四，903 班得亚军”；丙说：“903 班得第三，904 班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ( )A. 901 班B. 902 班C. 903 班D. 904 班8. 在中，，则等于 ( )A. B. C. D.9. 如图所示，下列等式错误的是 ( )A. B.C. D.10. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了局，丙当了次裁判．问第局的输者是 ( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 不能确定二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，在中，，，延长到，则．12. 如图，在中，若是直角，则一定是锐角．证明：假设结论不成立，则是或．当是时，，这与相矛盾；当是时，，这与相矛盾．综上所述，假设不成立．一定是锐角．13. 平面上直线，分别经过线段的两个端点，所形成的角的度数如图所示，则直线，相交所成的锐角等于．14. 用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设．15. 将一副直角三角板按如图方式放置，则图中的度数为．16. 参加学校科普知识竞赛决赛的名同学，，，，在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩）信息序号文字信息数学表达式和的得分之和是得分的倍的得分高于和的得分之和等于和的总分的得分高于（1）请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式；（2）位同学的比赛名次依次是．（仿照第二条信息的数学表达式用">"连接）17. 将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板的锐角顶点放在另一块直角三角板（）的斜边上，两块三角板的直角边交于点．如果，那么的度数是．18. 小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前题是选择题，每题分，每题有，两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按题的顺序排列）是．19. 电脑系统中有个＂扫雷＂游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的＂＂表示它的周围八个方块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有．（请填入方块上的字母）20. 如图，已知，一条光线从点出发后射向边.若光线与边垂直，则光线沿原路返回到点，此时 .当时，光线射到边上的点后，经反射到线段上的点，易知 .若，光线又会沿原路返回到点，此时 .若光线从点发出后，经若干次反射能沿原路返回到点，则锐角的最小值= .三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知：如图，在中，点在边上，且，．求的度数．22. 已知，分别为的边，上的点，连接，交于点 .用反证法证明：，不能互相平分．23. 一个零件的形状如图所示，按规定应等于，和应分别是和，检验工人量得，于是就判定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．24. 用反证法证明：如果，那么 .25. 中，，点，分别是边，上的点，点是直线上一动点，连接，，设．Ⅰ如图①所示，如果点在线段上，且，那么；Ⅱ如图①所示，如果点在线段上运动，①依据题意补全图形；②写出的大小（用含的式子表示）；并说明理由．Ⅲ如果点在线段的延长线上运动，直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）．那么与之间的数量关系是．答案第一部分1. D2. C3. B4. C5. D6. B7. B8. C9. C 10. C第二部分11.12. 直角；钝角；直角；；三角形三个内角的和等于；钝角；；三角形三个内角的和等于13.14. 在一个三角形中，可以有两个内角为钝角15.16. （1）信息序号文字信息数学表达式和的得分之和是得分的倍的得分高于和的得分之和等于和的总分的得分高于（2） .17.18.19. 、、、20. ；第三部分21. 因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知），所以（等量代换）．22. 假设，互相平分，则， .在和中，．..这与是三角形相矛盾，假设不成立，即，不能互相平分．23. 如图，连接并延长至点，则，，所以所以这个零件不合格．24. 假设不大于，即或 .①若，，，两边同乘，得，.又，，两边同乘，得， .由此可得，即，与已知矛盾．②若，两边平方，得，与已知矛盾．假设不成立，如果，那么 .25. （1）（2）①如图所示，②连接．因为是的外角，所以．因为是的外角，所以．所以．因为，所以．（3）三种情况：，．初中数学试卷灿若寒星制作。

1.3 证明(二)1. 如图，ZACD =120° ZB = 20° 则/ A 的度数为（C ）A . 120°B . 90°C . 100°D . 30°2. 如图，CE 是厶ABC 的外角/ACD 的平分线.若 Z B = 35° ZACE = 60°则/A 的度数为(C )A . 35°B . 95C . 85°D . 753. 如图，平面上直线a , b 分别过线段OK 的两端点，则a , b 相交所成的锐角是(A )A . 60°B . 30°C . 70°D . 8°4. 如图，直线 AB II CD , ZA = 70° ZC = 40° 则 Z E 等于(A )A . 30°B . 40°C . 60°D . 70° 5. 若三角形的三个外角的度数之比为 2 : 3 : 4,则与之对应的三个内角的度数之比为(C )A . 4 : 3 : 2B . 3 : 2 : 4C . 5 : 3 : 1D . 3 ： 1 ： 5 6.如图,11 //I2,则下列式子成立的是(B ) A . Z a+ Z 3+ Z Y = 180,（第1题））AC. Z 卩+ Z 一Z a= 180D . Z a— Z 3+ Z Y= 1807. 如图，点A, C, F, B在同一条直线上，CD平分Z ECB, FG //CD.若Z ECAa的度数为a,则Z GFB = 90°—2（用含a的代数式表示）.8. 如图，已知D为厶ABC的边BC的延长线上一点，DF丄AB于点F,且交AC 于点E, ZA = 34°, ZD= 42 ° 求Z ACD 的度数.【解】v DF丄AB,•••Z BFD = 90°.vZ BDF + Z B+Z D = 180°,• Z B= 180°— Z BFD — Z D= 180°—90°—42°= 48°,「.Z ACD = Z A+ Z B= 34°+ 48°= 82°A . Z 1+ Z 2= Z 4—Z 3，（第6（第8C. Z 1—Z 2= Z 4—Z 3D . Z 1—Z 2= Z 3—Z 4【解】vZ AEF是△ BED的外角，•••Z AEF =Z 2+ Z 3.vZ 4 是厶AEF 的外角，/.Z 4 =Z 1 + Z AEF,•Z 4=Z 1+ Z 2+ Z 3,•Z 1 + Z 2= Z 4— Z 3.10. 如图，在厶ABC 中，D 是BC 边上一点，Z1= Z 2, Z3=Z 4, ZBAC = 63° 则Z CAD的度数为24_ .【解】vZ 1 = Z 2, Z 3= Z 4, Z 3=Z 1+Z 2,•Z 3=Z 4= 2Z 1, /Z CAD = 180°—4 Z 1.vZ BAC= 63° /Z 1+ 180°—4Z 1 = 63°解得Z 1 = 39° /Z CAD = 180°—4X 39°= 24°11. 如图，ZB= 36° ZD = 50° AM , CM 分别平分Z BAD 和Z BCD , AM 交BC 于点R, CM交AD于点Q, BC与AD交于点P,则Z M的度数为__43_°.【解】vZ ARC是△ ARB和△ CRM的外角,• Z ARC= Z B+Z BAR= Z M + Z RCM.同理,Z AQC= Z D + Z QCD = Z DAM + Z M ./•Z B+Z BAR+ Z D +Z QCD = Z RCM + Z DAM + 2Z M.••• AM , CM 分别平分Z BAD 和Z BCD ,•••Z BAR= Z DAM , Z QCD = Z RCM,••• 2Z M = Z B+Z D ,1 1• Z M = 2(Z B+ Z D) = 2^ (36 °50°) = 43°（第12题）12. 已知：如图，在厶ABC中，ZB> ZC, AE为Z BAC的平分线，AD丄BC于点1D.求证：Z DAE = 2(Z B-Z C).【解】T AE为Z BAC的平分线，1 1•Z BAE = ?Z BAC = 2(180 - Z B- Z C).••• AD丄BC, /Z BAD = 90°—Z B,1 1•Z DAE = Z BAE— Z BAD =空(180 ° Z B— Z C)—(90 — Z B) = 2(Z B—Z C).数学乐园(7(第13 题)13.如图，Z A + Z B +Z C+Z D + Z E+Z F+Z G = __540°_.导学号：91354003【解】连结DG，AC ，DF．vZ BAG = Z CAG + Z BAC , Z BCD = Z ACB + Z ACD , Z CDE = Z CDF + Z EDF ,Z EFG= Z DFE + Z DFG , Z CAG + Z ACD = Z CDG + Z AGD , /-Z BAG + Z B + Z BCD + Z CDE + Z E+ Z EFG + Z AGF = Z GAC + Z BAC + Z B + Z ACB + Z ACD +Z CDF + Z EDF + Z E+ Z DFE + Z DFG+ Z AGF = (Z BAC + Z B+ Z ACB) + (Z CAG + Z ACD + Z CDF +Z DFG +Z AGF) + (Z EDF + Z E+ Z DFE) = 180°+ (Z CDG+ Z AGD+ Z CDF + Z DFG + Z AGF) + 180°= 180°+ 180°+ 180°= 540°.。

1.3 证明（二）1. 如图，在△ ABC 中，/ ACB = 70° / 1 = Z 2，则/ BPC 的度数为(A)A. 110 °B. 70 °C. 130 °D.不能确定2. 如图，11〃12,则下列式子成立的是A. Z a+Z B+/ 尸180 °B. Z a+Z 3_Z 尸180 °C .Z 3+Z 丫—Z a= 180 °2 :3 : 4,则与之对应的三个内角的度数之比为D. Z a—Z 3+Z 尸180 °3. 若三角形的三个外角的度数之比为(C)A. 4 : 3 : 2B. 3 : 2 : 4C. 5 : 3 :D. 3 : 1 : 5（第4题）4. 如图，CE是厶ABC的外角Z ACD的平分线.若Z B = 35 ° Z ACE = 60 °则Z A= （C）A. 35 °B. 95 °5•如图是一副三角尺叠放的示意图，则/ a 75°C. 85°D . 757. 如图，点 A , C , F , B 在同一条直线上， a数为a 则/ GFB = 90°2（用含a 的代数式表示）.8. 如图，/ B = 36 ° / D = 50 ° AM , CM 分别平分/ BAD 和/ BCD , AM 交 BC 于点 R , CM 交AD 于点Q , BC 与AD 交于点P.求/ M 的度数.【解】 I / ARC 是厶ARB 和厶CRM 的外角，/•Z ARC = / B + / BAR = / M + RCM.同理，ZAQC = / D + / QCD = / DAM + / M.•••/B + / BAR + / D + / QCD = / RCM + / DAM + 2/ M.••AM , CM 分别平分 / BAD 和 / BCD ,••z BAR = / DAM , /QCD = / RCM.••2ZM = / B +/ D.•••/ = */ B +/ D) = 2X (36 °+ 50° = 43°9. 如图，/ 1，/ 2,/ 3,/ 4的关系为(A ) A6. 如图，已知直线a // b ，直线AC 分别交 =20° / 2 = 65° 则/ 3 = 45° a ,b 于点B , C ,直线AD 交a 于点D.若/ 1 CD 平分/ ECB , FG // CD ，若/ ECA 的度 ，（第5,(第6题))5•如图是一副三角尺叠放的示意图，则/ a 75°(第9题)A. / 1 + / 2=/ 4—/ 3B. / 1 + / 2=/ 3+/ 4C. / 1 — / 2=/ 4—/ 3D. / 1 — / 2=/ 3—/ 4【解】T/ AEF是厶BED的外角，•••/AEF = / 2+ / 3.是厶AEF 的外角，•2=/ 1+ / AEF ,•••也=/ 1 + / 2 + / 3,•••/ + / 2 = / 4 — / 3.（第10 题）10. 如图，在△ ABC 中，D 是BC 边上一点，/ 1=/ 2, / 3 =/ 4,/ BAC = 63 ° 则 / CAD 的度数为24°.【解】T/ 1= / 2, /3= / 4, /3 = / 1 + / 2,•••也=2/ 1.•/ CAD = 180 —4/ 1.•••/BAC = 63；•/+ 180 °4/ 1= 63 °,解得 / 1 = 39 °•••/ CAD = 180 - 4X 39 = 24 °11. 如图，在△ ABC中，/ C= 90。

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1。

3证明（第1课时）1．（4分)如图，直线a∥b，直线c与a，b都相交，∠1＝55°，则∠2＝( A )A．55°B．35°C．125°D．65°第1题第2题第3题2．（4分）如图,已知直线a,b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( C ）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（4分)如图所示，已知AB∥CD,AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C＝110°，则∠EAB为( B ）A．30° B．35° C．40° D．45°第4题第5题第6题4．（4分）如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝60°,则∠4＝（120°）．5．（6分)如图，已知BE∥CF,BE,CF分别平分∠ABC，∠BCD。