2018年中考数学总复习 4 代数与几何综合问题的基本类型和解题策略 第4节 存在性问题

北京中考代数综合解题技巧1. 理解题意，首先要仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。

明确所给的信息和需要求解的未知数，搞清楚问题的背景和意义。

2. 建立方程，根据题目中的条件和要求，可以通过代数表达式建立方程。

常见的代数表达式包括线性方程、二次方程、不等式等。

在建立方程时，要注意将问题中的信息转化为代数表达式，并确定未知数的含义。

3. 运用代数解题方法，根据所建立的方程，运用代数解题方法进行求解。

常见的代数解题方法包括消元法、代入法、配方法、因式分解、求根公式等。

根据具体题目的特点和要求，选择合适的方法进行解题。

4. 检查和解释答案，在得到解答之后，要进行检查，确保解答符合题目要求和条件。

同时，还要对解答进行解释，将代数解题的过程和思路进行清晰的表述，以展示解题的逻辑和思维。

此外，还有一些常见的技巧可以帮助解决代数综合题：1. 利用图表，对于与图表相关的代数综合题，可以通过绘制图表来帮助理解问题和建立方程。

图表可以直观地展示问题的关系和规律，有助于解题思路的形成。

2. 分析选项，对于选择题，可以通过分析选项的特点和条件，来缩小解答的范围。

有时候，选项中的某些特点可以提供线索，帮助解题。

3. 使用辅助线，对于几何代数综合题，可以通过引入辅助线来简化问题，建立更易解的几何关系。

辅助线可以将复杂的几何图形转化为简单的几何形状，从而更容易进行代数求解。

综上所述，北京中考代数综合解题技巧包括理解题意、建立方程、运用代数解题方法、检查和解释答案等方面。

同时，还可以运用图表、分析选项和使用辅助线等技巧来辅助解题。

通过不断的练习和积累，可以提高代数综合解题的能力。

中考数学代数+几何知识点总结第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

初三数学代数题解技巧一、代数题的基本概念1.代数式的定义：代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式。

2.代数式的分类：单项式、多项式、分式、无理式等。

3.代数式的运算：加减乘除、乘方、开方、化简等。

二、方程与不等式的解法1.一元一次方程：ax + b = 0，解法：x = -b/a。

2.二元一次方程：ax + by = c，解法：消元法、代入法等。

3.一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，解法：因式分解、公式法（x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a）。

4.不等式的解法：同方向不等式相加减，反方向不等式相加减。

三、函数的性质与图象1.一次函数：y = kx + b，性质：k > 0 时，函数图象斜率为正，y 随 x 增大而增大；k < 0 时，函数图象斜率为负，y 随 x 增大而减小。

2.二次函数：y = ax^2 + bx + c，性质：a > 0 时，函数图象开口向上；a < 0 时，函数图象开口向下。

3.反比例函数：y = k/x，性质：k > 0 时，函数图象位于第一、三象限；k < 0 时，函数图象位于第二、四象限。

四、代数题的解题步骤与技巧1.阅读题目：仔细阅读题目，理解题意，找出已知量和未知量。

2.列出方程或不等式：根据题目条件，列出相应的方程或不等式。

3.化简方程或不等式：将方程或不等式化简，消除同类项，使其更加简洁。

4.解方程或不等式：运用解方程或不等式的方法，求出未知量的值。

5.验算：将求得的未知量值代入原方程或不等式，检验是否满足题意。

6.总结规律：通过解题，总结解题规律和方法，提高解题效率。

五、解题注意事项1.审题要仔细：审题时要仔细，确保理解题意，避免因粗心大意而出错。

2.符号要写清楚：在解题过程中，要注意书写符号，避免出现漏写、误写等情况。

3.步骤要完整：解题时要按照步骤进行，确保每一步都正确无误。

中考冲刺：代数几综合问题要点、例题知识讲解【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t ＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D （4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x 2-tx ，且M 的横坐标为1， ∴当x=1时，y=1-t ， ∴M （1，1-t ）， ∴AM=|1-t|=t-1， ∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°； （3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1， ∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】 解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6. 设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤32，如图1，此时点E （2b ，0）. ∴S ＝12OE·CO＝12×2b ×1＝b.②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即32＜b ＜52，如图2， 此时点E （3，32b -），D （2b －2，1）. ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )＝ 3－[12(2b －1)×1＋12×(5－2b)•(52b -)＋12×3(32b -)]（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，C 1B 1与OA 相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积．由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形, 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED, 又∠MDE ＝∠NED ， ∴∠MED ＝∠MDE ，MD ＝ME ， ∴平行四边形DNEM 为菱形．过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a ，由题可知， D （2b-2，1），E （2b ，0）， ∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a ，则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：222(2)1a a =-+，∴a=5.4.∴S 四边形DNEM ＝NE ·DH ＝54． ∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题 4. 如图所示，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD ，FB=AB ，可得四边形ABFD 是正方形，则可求点E 、F 的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E 、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去) ③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3.∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5.又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5，此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1B O A【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式． 【答案与解析】根据直角三角形的面积公式，得S 1=-11=22； 根据勾股定理，得：AB=2，则S 2=1=20；A 1B=2，则S 3=21，依此类推，发现：n S =n-22．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．举一反三： 【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值．解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3∴S=1013-3 2∴3+32+33+ (3100)1013-3 2问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。

代数与综合数学知识点总结一、代数代数是数学的一个重要分支，它研究数字、符号和它们之间的关系，是数学中最基础的一部分。

代数的主要内容包括方程、多项式、函数、集合、数论、矩阵等。

在代数中，我们主要学习了以下一些知识点：1.方程与不等式代数中的方程与不等式是研究代数中的基础内容。

方程是等式的一种操作符号，它在数学中有着非常广泛的应用。

我们主要学习了一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程以及一元二次不等式等各种形式的方程。

我们学习了解方程的解析和图像的性质，以及如何求解各种类型的方程和不等式。

2.多项式多项式是代数学中的一个非常重要的概念，它是由一系列的项相加或相乘而成的，每个项由系数和幂组成。

在代数中，我们学习了多项式的基本概念，如何对多项式进行化简、因式分解、多项式的根、多项式方程的解等。

3.函数函数是数学中的一个基本概念，它是一种映射关系，在代数中有着非常重要的作用。

我们学习了函数的概念、基本函数、复合函数、反函数等内容。

除此之外，我们还学习了函数的图像、定点和零点、单调性、奇偶性等性质。

4.数论数论是代数学中的一个重要分支，它研究自然数的性质和关系。

我们学习了素数与合数、约数与倍数、最大公约数与最小公倍数、质因数分解、同余方程等内容。

5.集合在代数学中，集合是一个非常重要的基础概念，它是由一些对象组成的整体。

我们学习了集合的基本概念、集合的运算、集合的表示方式等内容。

6.矩阵矩阵是代数学中的一个非常重要的概念，它代表了一个二维数组。

我们学习了矩阵的基本概念、矩阵的运算、矩阵的逆矩阵、矩阵的转置等内容。

二、综合数学综合数学是将代数、几何和概率统计等数学知识相结合的一种学科。

在综合数学中，我们主要学习了以下一些知识点：1.几何几何是研究空间、形状和大小的数学学科。

在综合数学中，我们学习了几何的基本概念、平面几何和立体几何的性质、几何的推理等内容。

2.概率统计概率统计是研究随机现象的概率和统计规律的数学学科。

初中数学代数综合问题三大类型题训练思路点拨历年中考数学常出的代数综合方式，就三大类型，函数综合、函数与方程综合、以代数为主的
综合题，主要以方程跟函数这两部分为重点。

解决代数的综合问题需要我们牢固掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和跟的判别
式、函数的解析式及函数性质等重要的基础知识。

并且利用数形结合的思想找到问题的关键突破口。

以下就是代数综合问题的常考题型与出题方式，同学们一定要认真做。

需要电版打印的家长，私信我：初中数学代数综合，就可以了。

专题四代数与几何综合问题的基本类型和解题策略类型与策略几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中的综合题大多以代数与几何综合题的形式出现，而且留有自主探究的空间，体现个性的发展和新课程标准的理念，代数与几何的大型综合题为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下的几何图形；③函数图像与几何图形相结合的问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到的题型有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜想，细致演练确保第二问正确，在时间充裕的情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．规律与预测纵观遵义近5年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形综合，由浅入深设置多问，难度较大，考察方式综合运用知识和解决问题的能力，预计2016年遵义中考的压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．第一节用数学思想方法解决问题中考重难点突破数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中．中考常用到的数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三．【例1】(2015遵义二中二模)如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和4，P是对角线AC上任一点(点P不与A，C重合)，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积________．【学生解答】【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．【例2】(2015资阳中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)，其中正确结论的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个【学生解答】【规律总结】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻找代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)的一种数学思想，数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决．【例3】(2015遵义六中二模)⊙O的半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为________．【学生解答】【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．【例4】(2014三明中考)如图，AB是⊙O的直径，分别以OA、OB为直径作半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积是________．【学生解答】【规律总结】此类题就是化未知为已知、化繁为简、化难为易，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化．具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息，转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．模拟题区1．(2015遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个(第2题图)2．(2015红花岗二模)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则下列结论：①ac ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根之和大于0；③y 随x 的增大而增大；④a －b ＋c ＞0，其中正确的是( )A ．②B ．②④C ．①②④D ．①②③④3．(2015遵义十六中二模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕A 点按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A .π6B .π3C ．1＋π6D ．14．(2015遵义一中一模)如图，一次函数y 1＝ax ＋b(a ≠0)与反比例函数y 2＝k x的图像交于点A(1，4)、B(4，1)两点，若使y 1＞y 2，则x 的取值范围是________．5．(2015红花岗二模)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝2，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积是________．(第5题图)(第6题图)6．(2015遵义十一中二模)如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(结果用含π的式子表示)．中考真题区7．(2015温州中考)若a ＋b ＝22，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为( )A ．6B ．4C ．3 2D ．2 38．(2015仙桃中考)如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2x的图像交于A(1，2)，B 两点，给出下列结论：①k 1＜k 2；②当x ＜－1时，y 1＜y 2；③当y 1＞y 2时，x ＞1；④当x ＜0时，y 2随x 的增大而减小．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(第10题图)9．(2015牡丹江中考)矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP ＝DA ，直线AP 与直线BC 交于点E ，则CE ＝________．10．(2015荆门中考)如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD于点E ，延长BA 与⊙A 相交于点F.若EF ︵的长为π2，则图中阴影部分的面积为________．。

几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略初中数学传统上分为几何和代数(以下简称“几代”)两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的車点、难点•焦点。

几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。

从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。

下回就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：一.几代综合题的复习要点K基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水几代综合题是基于几何、代数基本知识Z上，它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对丁•几代综合题的复习至关重要。

其包含的基础知识主要有：代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。

几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定(含全等三角形、勾股定理与三角函数、圜中的位置关系及其判定。

【例1】已知，在Rt AOAB 中，ZOAB二90。

，ZBOA=30° , AB二若以0为坐标原点，OA所在2.直线为X轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内. A落在点C处.(1 )直接写出A的坐标；(2 )若抛物线y = ax2 +bx ( d H 0 )经过C、A两点，求此抛物线的解析式；(3)若⑵中抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M.问：是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.简析：(1)利用特殊三角形的性质直接写出A的坐标是解直角三角形的最基本的知识。

(2)通过解直角三角形求点C的坐标，并利用待定系数法求解析式是确定解析式的基本方法。

初中数学代数题解题方法梳理代数是数学中的一个重要分支，它涉及到运算符号和未知数的运算和关系。

在初中数学中，代数是一个非常重要的内容，也是同学们常常感到困惑的学科。

为了帮助同学们更好地掌握代数题的解题方法，下面将对初中数学代数题的解题方法进行梳理。

一、解一元一次方程解一元一次方程是初中代数中最常见的题型之一。

一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

解一元一次方程的基本步骤如下：1. 整理方程：将方程的各项都移到等号的一边，使得方程变为形如ax = b的形式。

2. 求解：将等号的一边除以系数a，得到x = b / a，即为方程的解。

需要注意的是，如果方程的系数是分数，为了简化计算，我们可以通过乘以分母的方法将方程转化为整数系数的方程。

二、解一元二次方程解一元二次方程是初中代数中的重点内容，一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0。

解一元二次方程的常见方法有如下几种：1. 因式分解法：当方程存在两个整数根时，可以使用因式分解法来解题。

首先求出方程的两个因子，然后令两个因子分别等于零，解出两个未知数的值，即可得到方程的解。

2. 公式法：当方程不存在整数根时，可以使用公式法来解题。

一元二次方程的解可以通过求根公式来求解，即x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。

根据判别式Δ = b² - 4ac 的正负可以判断出方程的解的情况。

3. 完全平方公式：当方程可以写成完全平方的形式时，可以使用完全平方公式来解题。

完全平方公式是指形如(x ± a)² = b的方程，可以通过开方来解出x的值。

三、解分式方程解分式方程是初中代数中的难点内容，分式方程的未知数包含在分数中。

解分式方程的基本步骤如下：1. 求分母的最小公倍数：将分母化简为相同的分母。

2. 去分母：将方程的两边同乘以分母的最小公倍数，将分数消去。

中考专题：代数综合问题的思考方法【问题概述】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键•在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口•通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.【方法点拨】（1）对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；（2）认识综合题的结构是解综合题的前提；（3）灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；（4）建立思维程序是解综合题的核心.*审题（读题、断句、找关键）;*先宏观（题型、知识块、方法）；后微观（具体条件，具体定理、公式）*由已知，想可知（联想知识）；由未知，想须知（应具备的条件），注意知识的结合;*观察——挖掘题目结构特征；联想一一联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破。

（5）准确计算，严密推理是解综合题的保证.【典型例题】类型一、方程与不等式综合（方程、不等式思想解决问题）C^1.已知方程组2x 3y 2 3a,的解满足X °，求a的取值范围.3x 4y 2a 1. y °.【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题.【答案与解析】2x 3y 2 3a ①解：―3x 4y 2a 1②①x 3—②X 2 得：y = 13a — 4 ①x 4—②X 3 得：x = 18a — 5【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解.【过关测试】 线上 同步辅导-不等式与不等式组-B7、B8;海淀一模22 (2)、26 (2)2 • m 为何值时，x 2 2(m 2)x m 2 2m 1是完全平方式【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以 完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义•因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平 方式不同角度的理解. 【答案与解析】解：解法1：待定系数法._ , 2 2 2设原式=[x-(m-2)] = x -2(m-2)x+m -4m+42 21所以 m+2m+l = m-4m+4, m ；2，解法2 :配方法(代数式运算、因式分解) 原式=x 22( m 2)x (m 2)2 (m 2)2 m 2 2m 1 •21=[x-(m-2)]+6m-3, 6m-3= 0, m -；2解法3:判别式法(一元二次方程)因为是完全平方式，所以方程x 2 2(m 2)x m 2 2m 1 0有两等根，2 21△ = [-2(m-2)] — 4(m +2m+1)= 0, m -；2，解法4:函数思想方法由题意令x > 0, y > 0 得:18a 5 0, 13a 4 0..5 4 --—a —. 18 132 24(m 2m"4(m 2)0, 6m 3【总结升华】定，从函数的角度解决问题•解决问题的角度不同，但结果是相同的.类型二、方程与函数综合3 •请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题: (1)分别写出l i , I 2中变量y 随x 变化而变化的情况;(2) 写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件.【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题•本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交 点与方程组的解的关系. 【答案与解析】解：(1) h : y 的值随x 的增大而增大;12: y 的值随x 的增大而减小.⑵ 设直线11 , 12的函数表达式分别为y a 1x b 1, y a 2x b 2,由题意得a b 1 1a 2b 2 12 2b 1 13& b 2 01解得：a 2a 22b|1b23 •213 •直线h , I 2的函数表达式分别为 y 2x 1 , y x22因为是完全平方式，所以令y x 2 2(m 2)x m 2 2m 1 ,4ac b 2所以抛物线顶点在 x 轴上，0 ,4a对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程,从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不y 2x 1•••所求的方程组为13 •y —x —2 2【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了 数形结合的思想【过关测试】 线上 中考专题-压轴题专题(03)-代数综合题(一)第一题；海淀一模 25 (3) 举一反三:1【变式】已知：如图，平行于 x 轴的直线y = a(a 丰0)与函数y = x 和函数y 的图象分别交于点 Ax和点B,又有定点 P(2，0).1(1) 若a > 0，且tan POB —,求线段AB 的长;9⑵ 在过A , B 两点且顶点在直线 y = x 上的抛物线中，已知线段 AB随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式;【答案】解：(1)设第一象限内的点 B(m,n ),则tan POB所以3a 2 8a 3 0，解得a8，且在它的对称轴左边时,3⑶已知经过A B , P 三点的抛物线，平移后能得到9x 2的图象, 5求点P 到直线AB 的距离.1 得m=9r ,又点B 在函数y —的图象上，得nx1 以m=3 (—3舍去)，点B 为(3 —),，31 1而AB//x 轴，所以点A (丄,1)，所以AB 3 3 m 1 ，所m318(2)由条件可知所求抛物线开口向下，设点1 1 8B ( —,a )，贝U AB — a ,a a 3 (a ,a ),当 a =— 3 时，点 A (— 3, — 3), 所以可设二次函数为 y所以所求函数解析式为5k (x ?3,二 y —(x -) 4 3 1-- B (3)，因为顶点在y = x 上，所以顶点为(一，一)3 33，点A 代入，解得k3 5、23，55. y=l1 3 5 5同理，当a 时，所求函数解析式为y (x )23 4 3 31 a i(3) 设A (a , a ), B (丄a)，由条件可知抛物线的对称轴为x - .a 2 2a9 1设所求二次函数解析式为：y 9(x 2) x (a丄)2 •5 a点A(a,a)代入，解得a13，a2 1，所以点P到直线AB的距离为3或—13 13(1)求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；(2)若抛物线y mx23m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；(3)若点P(X1, yj与Q(X1 n, y2)在(2)中抛物线上(点P、Q不重合),且y^y2,求代数式4为212x1 n 5n216n 8 的值.【思路点拨】(1)分别讨论当m=0和m^0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；2 2(2)令y=0，则mx+ (3m+1 x+3=0,求出两根，再根据抛物线y=mx+ ( 3m+1 x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值；(3)点P (X1, y1 )与Q(X1+n, y2)在抛物线上，求出y1和y2, y1和y2相等，求出n (2x1+n+4) =0,然后整体代入求出代数式的值.【答案与解析】解：(1)当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3 .当m^0时，原方程为一元二次方程.已知关于x的方程mx2(3m 1)x 3 0.v1.0可编辑可修改2 2 2■/△ = (3m+1) -12m=9m-6m+1= (3m-1) > 0.•••此时方程有两个实数根.综上，不论m为任何实数时，方程mf+ (3m+1) x+3=0总有实数根.2(2) •••令y=0,则mx+ (3m+1) x+3=0.1解得x i=-3, X2= 一m•抛物线y=mf+ ( 3m+1 x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数,/• m=1抛物线的解析式为y=x2+4x+3.(3 )•••点P (x i, y i )与Q( x i+n, y2)在抛物线上，2 2•y i=x i +4x i+3, y2=(x i+n) +4(x i+ n)+3 .•y i=y2,2 2•x i +4x i+3=(x i+n) +4(x i+n)+3 .可得2x i n+n2+4 n=0.即n (2x i+n+4) =0.••点P, Q不重合，•n^ 0.•2x i=-n-4 .2 2 2 2 2 2•4x i+i2x i n+5n+i6n+8=(2x i) +2x i? 6n+5n+i6n+8= (n+4) +6n (-n-4 ) +5n+i6n+8=24.【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入.举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2+ (m+ 3)x + m^ i = 0.(1) 求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2) 若x i、X2是原方程的两根，且|x i —X2| = 2.2，求m的值和此时方程的两根. 【答案】解：(i)证明：由关于x的一元二次方程x2+ (m+ 3)x + m^ i= 0得2 2△ = ( m+3 —4 ( m+1 = ( m+1 +4,•••无论m取何值，(m+1) 2+ 4恒大于0,•••原方程总有两个不相等的实数根2.类型三、以代数为主的综合题.如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1, 0)，直线y= x+m与该二次函数的图象交于A,B两点，其中A点的坐标为(3 , 4) , B点在y轴上.(1)求m的值及这个二次函数的解析式;(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A, B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h,点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(3) D 为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题是一道函数综合题，考查二次函数、一次函数解析式的求法，函数关系式的建立.【答案与解析】解：(1) •.•点A(3 , 4)在直线y = x+m上, • 4 = 3+m •- m= 1.设所求二次函数的关系式为y a(x 1)2.(2)：x i, X2是原方程的两根，「.x 计X2=—( m+3, x i? X2=m+1.v1.0可编辑可修改•••点A(3 , 4)在二次函数y a(x 1)2的图象上，••• 4= a(3-1) I a = 1.•所求二次函数的关系式为y (x 1)2 .即y x 2 2x 1.⑵ 设P, E 两点的纵坐标分别为 y p 和y E .22二 PE h1y p yE|(y p y E)= (x+1) - (x — 2x+1) = — x+3x . 即 h x 23x(0 x 3).⑶存在.要使四边形 DCEP 是平行四边形，必有 PE = DC •••点D 在直线y = x+1 上, ••点 D 的坐标为(1 , 2), • x 2 3x 2. 即 x 2 3x 2 0 . 解之，得x 12 , x 21( x 2不合题意，舍去).•••当P 点的坐标为(2 , 3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. 【总结升华】若两点在平行于 x 轴或平行于y 轴的直线上，则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的 绝对值来表示•(海淀一模 26 ( 2)( 3))举一反三：【变式】如图，已知二次函数 y ax 2 4x c 的图象与坐标轴交于点 A (-1 , 0 )和点B (0, -5 )(1) 求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点 P,使得△ ABP 勺周长最小.请求出点P 的坐标. 【答案】解:2(1)根据题意，得0 a ( 1) 4 ( 1) c,5 a 02 4 0 c.v1.0可编辑可修改• ••二次函数的表达式为 y x 2 4x 5 .由于P 是对称轴x 2上一点, 连结 AB 由于 AB ■. OA 2 OB 2. 26，要使△ ABP 的周长最小，只要PA PB 最小.由于点A 与点C 关于对称轴x 2对称，连结BC 交对称轴于点P ，因而BC 与对称轴x 2的交点P 就是所求的点.【过关测试】 线上 同步辅导-二次函数-B16 ;西城一模26、例题（B1605）（新定义，二次函数，一元二次方程根的判别式，不等式思想）如果变量，是变量工的函数，可用符号# 丄〕来表示，如一次函数$ 八1 又可表示为从〕1;对于函数 f若存在一个实数％，使八』％ 成立，则称叼是的不动点；已知函数 M ）—川I ⑴ W 3 ,（“°）⑴、当＜J 16 2时，求函数/①的不动点；⑵、若对于任意实数 方，函数 八）恒有两个相异的不动点，求 空的取值范围;解得a 1, c 5.（2）令y =0,得二次函数y X 2 4x 5的图象与x 轴的另一个交点坐标c （ 5, 0）则PA PB = BP +PC =BC 根据两点之间，线段最短，可得PA PB的最小值为BC设直线BC 的解析式为y kx b ，根据题意，可得 b 5, 0 5k解得b.1, 5.所以直线 BC 的解析式为y x 5因此直线BC 与对称轴x 2的交点坐标是方程组 2,的解,x 5解得2, 3.所求的点P 的坐标为（2，-3）.朝阳一模26。

中考专题:代数综合问题的思考方法【问题概述】初中代数综合题,主要以方程、函数这两部分为重点,因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法与根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识,就是解好代数综合题的关键.在许多问题中,代数与几何问题交织在一起,就要沟通这些知识之间的内在联系,以数形结合的方法找到解决问题的突破口.通过解综合题有利于透彻与熟练地掌握基础知识与基本技能,更深刻地领悟数学思想方法,提高分析问题与解决问题的能力. 【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解就是解综合题的基础; (2)认识综合题的结构就是解综合题的前提; (3)灵活运用数学思想方法就是解综合题的关键; (4)建立思维程序就是解综合题的核心. * 审题(读题、断句、找关键); * 先宏观(题型、知识块、方法); 后微观(具体条件,具体定理、公式) * 由已知,想可知(联想知识);由未知,想须知(应具备的条件),注意知识的结合; * 观察——挖掘题目结构特征; 联想——联系相关知识网络; 突破——抓往关键实现突破。

(5)准确计算,严密推理就是解综合题的保证. 【典型例题】类型一、方程与不等式综合(方程、不等式思想解决问题)1.已知方程组2323,342 1.x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,0.x y >⎧⎨<⎩ 求a 的取值范围.【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题. 【答案与解析】解:23233421x y ax y a -=-⎧⎨-=+⎩①②①×3－②×2得:y ＝13a －4 ①×4－②×3得:x ＝18a －5 由题意令x ＞0,y ＞0得:1850,1340.a a ->⎧⎨-<⎩ ∴541813a <<、 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数与字母常数,这样才能更准确地对方程进行求解.【过关测试】线上 同步辅导-不等式与不等式组-B7、B8;海淀一模 22(2)、26(2)2.m 为何值时,222(2)21x m x m m --+++就是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征,但就是因为代数式的定性衍生出方程,不定性衍生出函数,所以完全平方式形式在方程与函数中又被赋予了独有的含义.因此,本题也可以瞧作就是间接考查了对完全平方式不同角度的理解. 【答案与解析】解:解法1:待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x 2-2(m-2)x+m 2-4m+4 所以m 2+2m+l ＝m 2-4m+4,12m =; 解法2:配方法(代数式运算、因式分解)原式＝22222(2)(2)(2)21x m x m m m m --+---+++. ＝[x-(m-2)]2+6m-3,6m-3＝0,12m =; 解法3:判别式法(一元二次方程)因为就是完全平方式,所以方程222(2)210x m x m m --+++=有两等根, △＝[-2(m-2)]2－4(m 2+2m+1)＝0,12m =; 解法4:函数思想方法因为就是完全平方式,所以令222(2)21y x m x m m =--+++,所以抛物线顶点在x 轴上,2404ac b a-=, 224(21)4(2)04m m m ++--=,630m -=,12m =.【总结升华】对于代数式,可以考虑其为特殊值,将其瞧作方程,从方程的角度解决问题;也可以考虑其值不定,从函数的角度解决问题.解决问题的角度不同,但结果就是相同的. 类型二、方程与函数综合3.请您根据下图中图象所提供的信息,解答下面问题: (1)分别写出1l ,2l 中变量y 随x 变化而变化的情况;(2)写出一个二元一次方程组,使它满足图象中的条件. 【思路点拨】本题就是一次函数与二元一次方程组的综合题.本题考查了一次函数的性质,两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系. 【答案与解析】解:(1)1:l y 的值随x 的增大而增大; 2:l y 的值随x 的增大而减小.(2)设直线1l ,2l 的函数表达式分别为11y a x b =+,22y a x b =+, 由题意得11111a b b +=⎧⎨=-⎩,2222130a b a b +=⎧⎨+=⎩.解得:1121a b =⎧⎨=-⎩,221232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴直线1l ,2l 的函数表达式分别为21y x =-,1322y x =-+. ∴所求的方程组为211322y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩.【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题,体现了数形结合的思想.【过关测试】线上 中考专题-压轴题专题(03)-代数综合题(一)第一题;海淀一模 25(3) 举一反三:【变式】已知:如图,平行于x 轴的直线y ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 与函数xy 1=的图象分别交于点A 与点B,又有定点P(2,0). (1)若a ＞0,且91tan =∠POB ,求线段AB 的长; (2)在过A,B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中,已知线段38=AB ,且在它的对称轴左边时,y 随着x 的增大而增大,求满足条件的抛物线的解析式;(3)已知经过A,B,P 三点的抛物线,平移后能得到259x y =的图象,求点P 到直线AB 的距离. 【答案】解:(1)设第一象限内的点B(m,n),则1tan 9n POB m ∠==,得m=9n,又点B 在函数1y x =的图象上,得1n m=,所以m=3(－3舍去),点B 为1(3,)3,而AB∥x 轴,所以点A 11(,)33,所以18333AB =-=.(2)由条件可知所求抛物线开口向下,设点A(a ,a),B(1,a a ),则183AB a a =-=,所以03832=-+a a ,解得 313=-=a a 或 、 当a =－3时,点A(―3,―3),B 1(,3)3--,因为顶点在y = x 上,所以顶点为55(,)33--,所以可设二次函数为255()33y k x =+-,点A 代入,解得34k =-,所以所求函数解析式为2355()433y x =-+- 、同理,当13a =时,所求函数解析式为2355()433y x =--+;(3)设A(a , a),B(1,a a ),由条件可知抛物线的对称轴为122a x a=+ 、设所求二次函数解析式为:91(2)()25y x x a a ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦、 点A(a,a)代入,解得31=a ,1362=a ,所以点P 到直线AB 的距离为3或6134. 已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx 、 (1)求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根;(2)若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此抛物线的解析式;(3)若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在(2)中抛物线上 (点P 、Q 不重合), 且y 1=y 2, 求代数式81651242121++++n n n x x 的值、【思路点拨】(1)分别讨论当m=0与m≠0的两种情况,分别对一元一次方程与一元二次方程的根进行判断;(2)令y=0,则 mx 2+(3m+1)x+3=0,求出两根,再根据抛物线y=mx 2+(3m+1)x+3与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,求出m 的值;(3)点P(x 1,y 1)与Q(x 1+n,y 2)在抛物线上,求出y 1与y 2,y 1与y 2相等,求出 n(2x 1+n+4)=0,然后整体代入求出代数式的值. 【答案与解析】解:(1)当m=0时,原方程化为x+3=0,此时方程有实数根 x=-3. 当m≠0时,原方程为一元二次方程.∵△=(3m+1)2-12m=9m 2-6m+1=(3m-1)2≥0. ∴此时方程有两个实数根.综上,不论m 为任何实数时,方程 mx 2+(3m+1)x+3=0总有实数根.(2)∵令y=0,则 mx 2+(3m+1)x+3=0. 解得 x 1=-3,x 2=1m-. ∵抛物线y=mx 2+(3m+1)x+3与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,∴m=1.∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.(3)∵点P(x1,y1)与Q(x1+n,y2)在抛物线上,∴y1=x12+4x1+3,y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3.∵y1=y2,∴x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3.可得2x1n+n2+4n=0.即n(2x1+n+4)=0.∵点P,Q不重合,∴n≠0.∴2x1=-n-4.∴x+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1•6n+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(-n-4)+5n2+42116n+8=24.【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识,解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系,此题难度不大,第三问需要整体代入.举一反三:【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;(2)若x1、x2就是原方程的两根,且|x1－x2|＝22,求m的值与此时方程的两根.【答案】解:(1)证明:由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=(m+3)2－4(m+1)=(m+1)2+4,∵无论m取何值,(m+1)2＋4恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根、(2)∵x1,x2就是原方程的两根,∴x1+x2=－(m+3),x1•x2=m+1、∵|x1－x2|＝22, ∴(x1－x2)2=8,即(x1＋x2)2－4x1x2=8、∴[－(m+3)]2－4(m+1)=8,即m2＋2m－3=0、解得:m1=－3,m2=1、当m=－3时,原方程化为:x2－2=0,解得:x1=2 ,x2=－2、当m=1时,原方程化为:x2＋4x＋2=0,解得:x1=－2+2 ,x2=－2－2、类型三、以代数为主的综合题5.如图所示,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y ＝x+m 与该二次函数的图象交于A,B 两点,其中A 点的坐标为(3,4),B 点在y 轴上.(1)求m 的值及这个二次函数的解析式;(2)P 为线段AB 上的一个动点(点P 与A,B 不重合),过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点,设线段PE 的长为h,点P 的横坐标为x,求h 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB 上就是否存在一点P,使得四边形DCEP 就是平行四边形？若存在,请求出此时P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】本题就是一道函数综合题,考查二次函数、一次函数解析式的求法,函数关系式的建立. 【答案与解析】解:(1)∵点A(3,4)在直线y ＝x+m 上,∴4＝3+m.∴m ＝1.设所求二次函数的关系式为2(1)y a x =-. ∵点A(3,4)在二次函数2(1)y a x =-的图象上, ∴4＝a(3-1)2. ∴a ＝1.∴所求二次函数的关系式为2(1)y x =-.即221y x x =-+. (2)设P,E 两点的纵坐标分别为p y 与E y .∴||()P E P E PE h y y y y ==->＝(x+1)－(x 2－2x+1)＝－x 2+3x.即23(03)h x x x =-+<<.(3)存在.要使四边形DCEP 就是平行四边形,必有PE ＝DC. ∵点D 在直线y ＝x+1上, ∴点D 的坐标为(1,2),∴232x x -+=. 即2320x x -+=.解之,得12x =,21x =(2x 不合题意,舍去).∴当P 点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP 就是平行四边形. 【总结升华】若两点在平行于x 轴或平行于y 轴的直线上,则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的绝对值来表示.(海淀一模26(2)(3)) 举一反三:【变式】如图,已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A (-1, 0)与点B (0,-5).(1)求该二次函数的解析式;(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ,使得△ABP 的周长最小.请求出点P 的坐标. 【答案】解:(1)根据题意,得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=.0405,)1(4)1(022c a c a解得 ⎩⎨⎧-==.5,1c a ∴二次函数的表达式为542--=x x y .(2)令y =0,得二次函数542--=x x y 的图象与x 轴的另一个交点坐标C (5, 0)、 由于P 就是对称轴2=x 上一点, 连结AB ,由于2622=+=OB OA AB , 要使△ABP 的周长最小,只要PB PA +最小、由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称,连结BC 交对称轴于点P , 则PB PA += BP +PC =BC ,根据两点之间,线段最短,可得PB PA +的最小值为BC 、因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就就是所求的点、 设直线BC 的解析式为b kx y +=,根据题意,可得⎩⎨⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧-==5,2x y x 的解,解得⎩⎨⎧-==.3,2y x 所求的点P 的坐标为(2,-3)、【过关测试】线上 同步辅导-二次函数-B16;西城一模26、朝阳一模26例题(B1605)(新定义,二次函数,一元二次方程根的判别式,不等式思想) 如果变量就是变量的函数,可用符号来表示,如一次函数又可表示为;对于函数,若存在一个实数,使成立,则称就是的不动点;已知函数,()⑴、当时,求函数的不动点;⑵、若对于任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;。

第二节开放与探究性问题探索题就是从给定的问题要求中探求其相应的必备条件、解题途径，或从问题给定的题设条件中探究其相应的结论．分为：条件探索型；结论探索型；条件结论都开放与探索．它是考查能力的好题型，因而成为中考命题的热点内容．,中考重难点突破)【例1】(咸宁中考)如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．【解析】本题考查正方形的判定和三角形相似等知识．【答案】解：(1)∵∠AED＝∠CED，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠BAE＝∠BCE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AB＝CB.又∵四边形ABCE是矩形，∴四边形ABCD正方形；(2)当AE＝2EF时，FG＝3EF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，∴AE∶EF＝BE∶DE＝BG∶AD，又∵AE＝2EF，∴BG∶AD＝2，∴BG＝2AD.∵BC＝AD，∴CG＝AD，即FG＝AF＝AE＋EF＝3EF.【例2】(安顺中考)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AN 是△A BC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE 为矩形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【解析】本题考查矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【答案】解：(1)在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE ＝∠CAE，∴∠DAE ＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°. 又∵AD⊥BC，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE 为矩形；(2)当△ABC 满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE 是一个正方形．理由：∵AB＝AC ，∴∠ACB ＝∠B＝45°.∵AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠ACD＝45°，∴DC ＝AD.∵四边形A DCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形．∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE 是一个正方形．【规律总结】给出结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而答案往往不唯一．解决问题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探索结论成立的条件或可能产生结论的条件一一列出，逐个分析．给出条件，让解题者根据探索相应结论，解决这类问题的思路是：从剖析提议入手，充分捕捉题设信息，通过因导果，顺向推理或联想类比、猜想等，从而获得结论．◆模拟题区1．(2017遵义十一中三模)如图，已知AB ＝A C ，∠A ＝36°，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M.有下面4个结论：①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD.(1)判断其中正确的结论是哪几个？(可直接写出序号) (2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明．。