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0-1规划中并行隐枚举法的实现方式

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隐枚举法的定义

隐枚举法的定义

隐枚举法
一种特殊的分支定界法.对0-1规划问题.利用变量只能取0或1的两个值的特性，进行分支定界，以达到隐枚举的目的.基本思路是：通过变量的变换，使目标函数中的系数全为非正.首先令全部变量取0，因为目标函数的系数全非正，所以此解相应的目标函数值s=0就是上界.若可行，则此解为最优解，计算终止.否则，有选择地指定其中某个变量为0或1，并把它们固定下来(称为固定变量)，将问题分解成两个子问题.然后，分别对它们进行检验，即对未被固定取值的变量(称为自由变量)，令其全部为0，检查它们与固定变量所组成的解是否可行.若可行，则此解就是目前最好的可行解(不一定是最优解)，不再分支，其相应的目标函数值就是原问题的一个下界;否则，在余下的自由变量中，继续上面的过程.经过检验，或者停止分支，修改下界，或者有选择地将某个自由变量转为固定变量，指定其为0或1，把子问题再分支.如此进行下去，直到全部子问题停止分支，或没有自由变量为止，而以其中最大的下界值所对应的可行解为最优解.。

0-1整数规划与隐枚举法-感受剪枝的魅力

0-1整数规划与隐枚举法-感受剪枝的魅力

0-1整数规划与隐枚举法-感受剪枝的魅力作者：llhthinker整数规划是线性规划的特殊情况，即当约束条件是变量为整数时，线性规划就变成了整数规划。

若要求所有变量都为整数，即为纯整数规划；若允许存在一部分变量不一定为整数，则称为混合整数规划。

而本文要讨论的0-1整数规划则是纯整数规划的特殊情况，即所有变量要么等于0，要么等于1，故这种变量又成为逻辑变量。

0-1整数规划在生活中还是很常见的，通常可以总结为“是”“否”问题。

例如，有n个产品销地x1,...,xn可供选择，为使得利润最大，那么每一个销地都面临是否选择的问题，通常还会有一些限制条件，由于销地xi与销地xj距离较近，所以规定若选择xi就不能选择xj等。

那么如何求解0-1规划问题？最朴素的方法是枚举，即将所有销地是否被选择的情况都考虑，那么就是从{0, ... ,0}枚举到{1, ... ,1}，需要2的n次方的枚举次数。

显然，当n较大时，这种方式的效率就非常低。

本文要介绍的隐枚举法就可以提高求解出最优解的效率。

所谓隐枚举法，从字面上理解，就是隐去一些不需要枚举的情况，下面从一个例子出发，来给出隐枚举法的步骤。

【例】求解下列规划问题max z = 8*x1 + 2*x2 - 4*x3 - 7*x4 -5*x5;s.t.{3*x1 + 3*x2 + x3 + 2*x4 + 3*x5 <=>5*x1 + 3*x2 - 2*x3 - x4 + x5 <=>xi = 0或1，i = 1, ..., 5}1. 预处理首先需要对原问题进行预处理，至于为什么后文将会解释。

预处理的步骤如下：1) 将目标函数统一为求最小值，即'min', 同时将约束条件都化为'>='。

•若原约束条件为'<>•若原约束条件为'Ai * X = bi'，则化为'Ai * X >= bi' 和'-Ai * X >= -bi'，其中Ai为系数行向量，X为变量列向量。

第四讲 0 1整数线性规划要点

第四讲 0 1整数线性规划要点

? ??
x25 、? 项x1目3和4只能选中一项 x3i 、? 项0,1目5被i ?选1中,2,的? 前,5提是项目 1被选中;如何
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
整数规划建模举例
练习1 ：组合投资问题。
某财团有 B 万元的资金，经过其考察选中 n个投资
项目，其中第 j个项目需投资金额为 a j 万元，预
计获利 c j（ j ? 1,2..., n）万元，由于种种原因，
有两个附加条件：第一，项目 2和项目3至少选择一
个；第二项目 5，6，7恰好选择两个。问应如何选
例1：一个旅行者要到某地作两周的带包旅行 ,装背包时,他 发现除了已装的必需物件外,他还能再装5公斤重的东西.他 打算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公斤又 能使使用价值最大.这4种东西的重量和使用价值( 这里用打 分数的办法表示价值) 如下表所示,问旅行者应该选取哪些 物件为好？
解：建立模型为 max Z=6x 1 ? 7 x 2 ? 3 x3 ? 9 x4
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
投资额 （万元） 210 300 100 130
投资收益 （万元） 150 210 60 80
Z表示投资效益
5
260
180
max=150*x1+210*x2 +60*x3+80*x4+180* x5; 210*x1+300*x2+100 *x3+130*x4+260*x5 <=600; x1+x2+x3>=1; x3+x4=1; x5<=x1; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5);

整数规划与01规划

整数规划与01规划

. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1

0-1规划中并行隐枚举法的实现方式

0-1规划中并行隐枚举法的实现方式
关键词 ０１规 划 并行 计算 隐枚 举 法 －
Ｉ ＰＬＥＭ ＥＮＴＩ Ｍ ＮＧ ＡＰＰＲｏＡＣＨ ＦｏＲ ＰＡＲＡＬＬＥＬ Ｉ ＰＬＩ Ｔ Ｍ ＣＩ ＥＮＵＭ ＥＲＡＴＩ ｏＮ Ｎ １ ＰＲＯＧＲＡＭ Ｍ Ｄ Ｉ ０． Ｇ
Ｚ ｎ ｎ ｅ ｇ Ｙａ
（ ｅａｔ ｅｔｆＣ ｍ ｕｅ Ｓｉ ｃ ｎ ｅ ｎｌ ｙ Ｃ ｎｒｌ ｈｎ ｏ ｌＵ ｉ ｒｔ，Ｗ ｈ ｎ私 ０ ７ ， ｕｅ， ｈｎ ） Ｄｐ ｒ ｎ ｏ ｐ ｔ ｃ ｎｅａ ｄＴｃ ｏ ｇ ， ｅｔ ｉ Ｎ ｒ ｎｖ ｓｙ ｕ ａ ｍ ｏ ｒ ｅ ｈ ｏ ａ Ｃ ａ ｍａ ｅｉ Ｄ ９ Ｈ ｂｉＣ ｉａ
Ａｎ ｄ，ｔ ｅｅ ｉ ｓ ｍｅｉ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｄ ｎ ｔ ｅｉ ｌ ｉ ｅ ｕ ｒ ｔ ｎ Ｏ ｔ ｅｐ ｏ ｌｍ ｉｈ ｉ ｈ ｒ ｅ ａ ｃ ｍｐ ｔ ｇ ｃ ｎ ｂ ６ｖ ｄ ｂ ａ ａｌｌ ｈ ｒ ｓ ｏ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｍａ ｅｏ ｈ ｍｐ ｉ ｔ ｎ ｍｅ ａｉ ，Ｓ ｒ ｂ ｅ ｗｈ ｃ ｓ ａ ｄ ｔ ｓ ｒ ｌ ｏ ｕ ｉ ａ ｅ ｓ １ｅ ｙ ｐ ｒ ｌ ｃ ｏ ｈ ｏ ｉ ｎ ｅ
ｍｅａ ｉｎ ｍｅｈ ｄ ｉ ｈ ｅ ｔ ｙ ｔ ｏ ｖ ｔ ｒ ｔ ｔ ｏ ｓｔ ｅ ｂ ｓ ｓ ｌ ｅｉ ｏ ｗａ ｏ ．Ａｃ ｏ ｄｎ ｅｃ ａａ ｔｒｓ ｃｏ ａａ ｌｌ ｏ ｕ ｉ ｇ ｔｃ ｌ ｓ ｌｅ ｂｇ ａ ｄ ｃ ｍｐ ｅ ｒ ｂｅ ａ ｔ ｃ ｒ ｉｇ ｔ ｔ ｈ ｒ ｃ ｅｉｔ ｆ ｒ ｌ ｍｐ ｔ ，ｉ ａｌ ｏｖ ｉ ｎ ｏ ｌ ｘｐ ｏ ｌｍｓｆ ｓ． ｏｈ ｉ ｐ ｅｃ ｎ Ａ ｔ ｏ ｏ ｉｉ ｇ ｔ ｅｐ ａｌｌｃ ｍｐ ｔ ｇ ｗｉ ｈ ｍｐ ｉ ｉ ｅ ｕ ｒ ｔ ｎ ｉ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ｉ ｉ ｐ ｐ ｒｔ ｅ ｏ ｖ ｈ ｒ ｂ ｅ ｍｅ ｔ ｎ ｄ ａ ｏ ｅ ｍｅ ｄ ｃ ｍｂ ｎ ｎ ｈ ａ ｌ ｏ ｕ ｉ ｔ ｔ ｅ ｉ ｌ ｔ ｎ ｍｅ ａｉ ｓ ｒ ｓ ｎ ｅ ｔ ｓ ａ ｅ ｒ ｓ ｌｅ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｎ ｉ ｅ ｂ ｖ ． ｈ ｒ ｅ ｎ ｈ ｃ ｏ ｎ ｈ ｏ ｏ

关于求解0_1型整数规划的若干问题

关于求解0_1型整数规划的若干问题

0 前言化问题，可知最优解的目标函数一定不小于 5。

为此，在求最优解之前先增加一个约束条件，即过滤0- 1 型整数规划是整数规划的特例，其数学模型的目 条件：3x - 2x +5x !5##⊙ 标函数、约束条件与线性规划相同，不同的是其变量只能1 2 3 过滤条件的作用是：在检验一个解是否为可行解之取 0 和 1，分别表示两种截然相反的结果。

0- 1 型整数规前，先看目标函数是否不小于 5，若小于 5，则肯定不是最 划应用很广，如土木工程系统的最优工程配置问题，城建优解，其可行性无须再检验而直接被淘汰，可以大大减少规划中的居民点、给水点、加油站和商业网点的最优布局计算工作量。

问题，均可应用 0- 1 型整数规划求得最优解。

有了过滤条件，就可以列表计算。

对解集中的解逐个检0- 1 型整数规划的数学模型如下：验，先检验过滤条件，若不符合则直接淘汰该解;若符合条 目标函数：件⊙，再按①~④顺序检验每一个约束条件，当某一个约 束条件不满足时即行淘汰，其右边的约束条件再无检验 约束条件：的必要。

这样，计算工作量可大为减少。

本例中有 3 个变量，共有 23=8 个解需要检验，通过计 算求得的最优解为: .本例以 为初始可行解，通过建立过滤条1 求解 0- 1 型整数规划三种通用的方法 件，只计算了 18 次就找到了最优解，而用穷举法需要计算1.1 穷举法40 次，技术工作量大大减少了。

如在求解过程发现更好的 由于 0- 1 型整数规划的变量个数有限且取值非 0 即可行解及时更换过滤条件 ，计算工作量还可进一步减少。

1，所以不难将解的集合找出来，再检验每个解的可行性， 1.2.2 对隐枚法法 I 的评价 凡符合全部约束条件者均为可行解，通过比较目标函数 对隐枚举法 I 来说其数学模型无须转化为标准型,减的值便可找到最优解，这个解法称为穷举法。

当变量和约 少了人工处理的工作量，但它需要检验的方案较多,而且 束条件很多时，其工作量是非常大的。

解 0—1 规划的隐枚举法

解 0—1 规划的隐枚举法

(5)解 0—1 规划的隐枚举法解 0—1 规划的隐枚举法有其独特的工作程序，具体过程如下。

a.模型转化为求极小的问题b.变量替换。

极小问题模型的目标函数中所有变量系数为负的0—1变量，可利用变量替换x k=1－x'k (x'k是引入的新的0—1变量)，将目标函数中所有变量系数化为正数。

c.目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整。

d.按目标函数值由小到大的顺序依次排列可能的解，并予以可行性检验。

e.发现求极小问题的最优解并停止。

f.转化为原问题的最优解。

例4 用隐枚举法求解下列0—1规划问题Max Z=3x1＋2x2－5x3－2x4＋3x5x＋x2＋x3＋2x4 ＋x5≤417x1 ＋3x3－4x4＋3x5≤811x1－6x2 ＋3x4 ＋5x5≥3x=0, 1, j=1, 2, 3, 4, 5.j解：①转化为求极小的问题Min Z=－3x1－2x2＋5x3＋2x4－3x5－x1 －x2－x3－2x4 －x5≥－4－7x1 －3x3＋4x4－3x5≥－811x1 －6x2 ＋3x4 ＋5x5≥3x=0, 1, j=1, 2, 3, 4, 5.j②令x'1=1－x1, x'2=1－x2, x'5=1－x5, 带入极小问题模型中，得Min Z=3 x'1＋2 x'2＋5x3＋2x4＋3 x'5－8x'＋x'2－x3－2x4 ＋x'5≥－117x'1 －3x3＋4x4＋3x'5≥2－11x'1 ＋6x'2 ＋3x4－5x'5≥－7x=0, 1, j= 3, 4; x'j =0, 1, j= 1, 2, 5.j③目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整，得Min Z=5x3＋3 x'1＋3 x'5＋2 x'2＋2x4－8－x3＋x'1 ＋x'5＋x'2－2x4 ≥－1 ①－3x3＋ 7x'1 ＋3x'5 ＋4x4≥2②－11x'1 －5x'5＋6x'2 ＋3x4≥－7 ③x=0, 1, j= 3, 4; x'j =0, 1, j= 1, 2, 5.j④按目标函数值由小到大的顺序排列可能的解，并予以可行性检验。

0-1规划的隐枚举法

0-1规划的隐枚举法

2013—2014（2）专业课程实践论文题目：0-1规划的隐枚举法一、算法理论 0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究.求解0—1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法.线性模型中，当变量的取值只能是“0”或“1”时，称之为“0-1规划问题”。

有种极其简单的解法，就是将变量取值为0或1的所有组合列出，然后分别代入目标函数,选出其中能使目标函数最优化的组合,即为最优解。

但是真的这样会做很多无用功,浪费大量资源，所以，需要改进方法.本文主要介绍隐枚举法的应用原理，意在剖析其“隐"在何处.从而帮助读者更好地应用这种方法。

和线性规划问题一样，首先需要将模型标准化。

标准化对0-1规划问题提出四点要求：1。

目标函数为最小优化2.目标函数中变量的系数都为正3。

在目标函数中，变量按系数值从小到大排列，则约束函数中，变量的排列次序也做相应改变。

4.所有变量均为0或10-1线性规划的基本形式是1min nj jj Z c x ==∑011,2,,..1,2,,j ij j j x j m s t a x b i n ==⋅⋅⋅⎧⎪⎨≤=⋅⋅⋅⎪⎩∑或function [intx,intf］ = ZeroOneprog（c，A,b，x0）%目标函数系数向量,c％不等式约束矩阵,A%不等式约束右端向量，b％初始整数可行解,x0％目标函数取最小值时的自变量值，intx%目标函数的最小值，intfsz = size(A);if sz(2) < 3［intx,intf] = Allprog（c，A，b)；％穷举法else[intx，intf］ = Implicitprog（c，A,b，x0）; ％隐枚举法endfunction [intx,intf］ = Allprog（c,A,b）sz_A = size（A）;rw = sz_A(1）;col = sz_A(2)；minf = inf；for i=0：(2^(col)-1) %枚举空间x1 = myDec2Bin(i,col)；%十进制转化为二进制if A*x1 >= b %是否满足约束条件f_tmp = c＊x1;if f_tmp 〈 minfminf = f_tmp;intx = x1；intf = minf;elsecontinue;endelsecontinue；endendfunction［intx,intf] = Implicitprog（c，A，b,x0)%隐枚举法sz_A = size（A）;rw = sz_A(1);col = sz_A（2)；minf = c＊x0；A = ［A;—c］；b = [b;-minf]；%增加了一个限制分量for i=0:（2^(col）—1)x1 = myDec2Bin（i,col);if A*x1 >= bf_tmp = c＊x1;if f_tmp 〈 minfminf = f_tmp;b(rw+1，1） = —minf；%隐枚举法与穷举法的区别在于此句 intx = x1；intf = minf;elsecontinue;endelsecontinue;endendfunction y = myDec2Bin（x,n) ％十进制转化为二进制str = dec2bin(x,n);for j=1:ny(j） = str2num（str(j)）；endy = transpose(y）；四、算法实现例1．求解下面0—1规划()⎪⎩⎪⎨⎧=≥++++≥++++++++=105224287453232min 54321543215432154321或,x ,x ,x ,x x x x x x x x x x x x ,s.t.x x x x x x f解:在MATLAB 命令框在输入下列命令:〉〉 c=［1 2 3 1 1];>> A=［2 3 5 4 7；1 1 4 2 2];>〉 b=[8；5］;>〉 x0=［1；1;1；1;1];>> ［intx,intf]=ZeroOneprog （c ，A,b,x0）所得结果如下：1231231231213123max 3252244..346,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x x x =-++-≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪⎩为或 解:在MATLAB 命令框在输入下列命令：>> c=［—3，2，—5］;〉> A=[—1，—2,1；-1，—4,—1;-1，—1,0；—4，0,-1］; >> b=［-2；-4；—3；-6］;〉> x0=[1;0;0］;>〉 [intx,intf]=ZeroOneprog （c ，A ，b,x0)123412341234124min 3721648..53501,1,2,3,4j z x x x x x x x x x x x x s t x x x x j =+-+-+-≥⎧⎪-++≥⎪⎨++≥⎪⎪==⎩或 解：在MATLAB 命令框在输入下列命令: >〉 c=[3，7,-1,1]；A=［2，-1,1,-1;1,—1，6,4；5，3，0，1]； b=[1;8;5］;>> x0=[1;1;1;1］；〉〉 [intx,intf]=ZeroOneprog （c,A,b ，x0)123123123123max 62323352..2401,1,2,3j z x x x x x x x x x s t x x x x j =++++≤⎧⎪-+≥⎪⎨++≤⎪⎪==⎩或解：在MATLAB 命令框在输入下列命令： 〉> c=［-6,—2,-3］；A=［-1,-2，—1；3，—5,1；—2，-1,—1]； b=［-3;2;-4］；x0=［1;0；0]；[intx ，intf ］=ZeroOneprog （c ，A ，b,x0）。

0-1型整数规划的一般解法---隐枚举法解

0-1型整数规划的一般解法---隐枚举法解
若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受指派，且费用系数取值 相同。
例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。
甲 15 20 10 9
乙
6
5
4
7
丙 10 13 16 17
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
10 13 16 17
指派问题与匈牙利法
4. 某事一定不能由某人做的指派问题
变，得到新的系数矩阵。
3 Ø0 2 4 Ø0 √
◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
指派问题与匈牙利法
0Ø ◎0 3 0Ø 3
1
6
0◎ 2
Ø0
3 2 0Ø 0◎ 3
2
Ø0
2
◎0 4 4
3
◎0
0Ø 6
总费用为 =5+7+6+6+4=28
注：此问题有多个最优解
指派问题与匈牙利法
Ø0 Ø0 3 ◎0 3
3
◎0
选择直线外的最小元素 为1；直线外元素减1， 直线交点元素加1，其
4 1 ◎0 1 3
他保持不变。
4
Ø0
3
5
1
√
◎0 2 3 0Ø 5
√
指派问题与匈牙利法
1 ◎0 3 1 3 √
2
6
Ø0
3
0◎
√
l =m=4 < n=5
选择直线外最小元素为1， 直线外元素减1，直线交
4 2 ◎0 1 3 √ 点元素加1，其他保持不
指派问题与匈牙利法
用匈牙利法求出最优指派方案为：

隐枚举法的定义

隐枚举法的定义

隐枚举法
一种特殊的分支定界法.对0-1规划问题.利用变量只能取0或1的两个值的特性，进行分支定界，以达到隐枚举的目的.基本思路是：通过变量的变换，使目标函数中的系数全为非正.首先令全部变量取0，因为目标函数的系数全非正，所以此解相应的目标函数值s=0就是上界.若可行，则此解为最优解，计算终止.否则，有选择地指定其中某个变量为0或1，并把它们固定下来(称为固定变量)，将问题分解成两个子问题.然后，分别对它们进行检验，即对未被固定取值的变量(称为自由变量)，令其全部为0，检查它们与固定变量所组成的解是否可行.若可行，则此解就是目前最好的可行解(不一定是最优解)，不再分支，其相应的目标函数值就是原问题的一个下界;否则，在余下的自由变量中，继续上面的过程.经过检验，或者停止分支，修改下界，或者有选择地将某个自由变量转为固定变量，指定其为0或1，把子问题再分支.如此进行下去，直到全部子问题停止分支，或没有自由变量为止，而以其中最大的下界值所对应的可行解为最优解.。

0—1型整数规划问题的求解方法

0—1型整数规划问题的求解方法

0—1型整数规划问题的求解方法1、一般来说，碰到了0-1规划的问题，怎么办？枚举，比较每个解对应的目标函数值。

为什么要枚举，是把每一个解都拿出来比较。

因此，有的叫法是显枚举法？2、有显枚举法，就有隐枚举法。

如果说，显枚举法是显式的枚举法，那么隐枚举法就是隐式的枚举法。

都是枚举法，都是要把所有的解带入到目标函数进行比较，对不对？理论上是这样的，可以参考其他的讲解。

但是，其他的地方讲解似乎没有把这个讲解到位，为什么叫隐枚举法。

有一种说法是：设计一种方法，只检查0-1变量组合的一部分，就能得到问题的最优解。

3、首先，如果你不把所有的解都判断一下，我怎么知道那个解是不是最优的解呢？回顾一下LP问题的求解，发现线性规划并不需要判断所有的解，确切的说，是所有的可行解。

只需要在所有的基本可行解里面去寻找最优的解。

因此，0-1规划求解的思路也是一样，是在所有的0-1可行解里面去寻找。

这样，就需要在约束条件里面去一个一个的判断，这个0-1组合是否可行。

所以，隐枚举法的思路，还是枚举法，但是我并不是要把每个解都要进行约束条件的判断，判断他是不是可行，可以只检查所有0-1变量组合的一部分约束条件的判断，这样还是可以得到问题的最优解。

4、接着，那怎么减少约束条件的检查判断呢？设置一个过滤条件，叫做过滤约束，如果这个不满足，那么其他的约束就不用判断了。

因此，隐的意思应该在这里。

问题来了，怎么添加这个过滤约束呢？通过一种方法（试探法），找到一个可行解，然后代入目标函数，得到目标值，这个就得到了一个过滤约束。

求最大值的时候，如果一个可行解的目标值不大于这个约束，那么直接排除。

5、继续。

怎么得到这个过滤约束。

比如下面的例子：一种说法是试探法，随便试探？或者可以从某一个解开始（比如0,0,0）开始递增，直到得到一个可行解，然后就得到了这个过滤约束了，比如上面的例子，我们可以从1,0,0开始递增，先看看这个解是不是可行解。

是在可行解，因此看目标函数值是3，因此得到一个约束，3x1-2x2+5x3>=3过滤约束。

0-1规划中并行隐枚举法的实现方式

0-1规划中并行隐枚举法的实现方式

39
{ 1, 1, 0, 0, 0, 0}
11
4
!!
!!
{ 1, 1, 1, 1, 1, 1}
46
S tep 2 在各个从进程中根据过 滤条件删 除目标 函数值 小 于 15 的状 态, 然后 按照目 标函 数值从 大到 小将状 态进 行排 序 (各从进程最终结果数如表 2所示 ), 并且计算约 束条件, 如表 3 所示。
Abstrac t In 0 1prog ramm ing, the mo re the variab les are, the mo re the sta tes are and the long er the tim e costs. A t present, im plic it enu m eration m ethod is the best w ay to so lve it. A cco rd ing to the character istic o f para lle l compu ting, it can so lve b ig and comp lex problem s fast. A m ethod com bin ing the pa ra lle l compu ting w ith the im plic it enum eration is presented in th is paper to reso lve the problem m entioned above. A nd, there is som e improvem entm ade on the im plicit enum eration, so the problem wh ich is hard to ser ial computing can be so lv ed by paralle l computers. A n exam ple is g iven for the proof o f the feasib ility and predom inance o f the a lgor ithm.

0-1整数规划隐枚举法代码 (直接复制及可运行)

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华北电力大学数理系邵森using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespace zhengshuguihuayinmeijufa{public class Program{public static int Min(int[] V){int min = V[0];for (int i = 0; i < V.Length-1 ; i++)for (int j = 1; j < V.Length ; j++){if (min > V[j])min = V[j];}return min;}public static int Max(int[] V){int max = V[0];for (int i = 0; i < V.Length - 1; i++)for (int j = 1; j < V.Length; j++){if (max<V[j])max = V[j];}return max;}public static int PaiDing(int [,] T,int a, int b, int c,int d,int e,int f,int g,int t,int L,int H,int U,int []M) {if (U == 3){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] <= T[i, 3]))m++;}if (m == H )t = a * M[0] + b * M[1] + c * M[2];}if (U == 4){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] + d * T[i, 3] <= T[i, 4]))m++;}if (m == H )t = a * M[0] + b * M[1] + c * M[2] + d * M[3];}if (U == 5){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] +d* T[i, 3]+e*T[i,4]<=T[i,5]))m++;}if (m == H )t = a*M[0]+b*M[1]+c*M[2]+d*M[3]+e*M[4];}if (U == 6){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] + d * T[i, 3] + e * T[i, 4] +f*T[i, 5]<=T[i,6]))m++;}if (m == H )t = a*M[0]+b*M[1]+c*M[2]+d*M[3]+e*M[4]+f*M[5];}if (U == 7){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] + d * T[i, 3] + e * T[i, 4] + f * T[i, 5] +g*T[i, 6]<=T[i,7]))m++;}if (m == H)t = a*M[0]+b*M[1]+c*M[2]+d*M[3]+e*M[4]+f*M[5]+g*M[6];}return t;}public static int PaiDing1(int[,] T, int a, int b, int c, int d, int e, int f, int g, int t, int L, int H, int U, int[] M){if (U == 3){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] >= T[i, 3]))m++;}if (m == H)t = a * M[0] + b * M[1] + c * M[2];elset = t + 10000;}if (U == 4){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] + d * T[i, 3] >= T[i, 4]))m++;}if (m == H)t = a * M[0] + b * M[1] + c * M[2] + d * M[3];elset = t + 10000;}if (U == 5){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] + d * T[i, 3] + e * T[i, 4] >= T[i, 5]))m++;}if (m == H)t = a * M[0] + b * M[1] + c * M[2] + d * M[3] + e * M[4];elset = t + 10000;}if (U == 6){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] + d * T[i, 3] + e * T[i, 4] + f * T[i, 5] >= T[i, 6]))m++;}if (m == H)t = a * M[0] + b * M[1] + c * M[2] + d * M[3] + e * M[4] + f * M[5];elset = t + 10000;}if (U == 7){int m = 0;for (int i = 0; i < H; i++){int j = 0;if ((a * T[i, j] + b * T[i, j + 1] + c * T[i, j + 2] + d * T[i, 3] + e * T[i, 4] + f * T[i, 5] + g * T[i, 6] >=T[i, 7]))m++;}if (m == H)t = a * M[0] + b * M[1] + c * M[2] + d * M[3] + e * M[4] + f * M[5] + g * M[6];elset = t + 10000;}return t;}public static string FH(int[,] T, int[] M, int U, int Z, int L, int H,string str)//T为a传ä?入¨?的Ì?矩?阵¨®V为a记?录?所¨´求¨®解a的Ì?值¦ÌM目?标À¨º函¡¥数ºy的Ì?数ºy组Á¨¦//U变À?元a的Ì?个?数ºyZ为a最Á?优®?值¦Ì{if (U == 3){int N = 8;int[] K = new int[N];string[] str1 = new string[N];K[0] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[0] = "000";K[1] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[1] = "001";K[2] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[2] = "010";str1[3] = "011";str1[4] = "100";K[3] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[5] = "101";K[4] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[6] = "110";K[5] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[7] = "111";K[6] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[7] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);Z = Max(K);int j=0;for (int i = 0; i < N; i++){if (K[i] == Z)j = i;}str = str1[j];}if (U == 4){int N = 16;int[] K = new int[N];string[] str1 = new string[N];K[0] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[0] = "0000";K[1] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[1] = "0001";K[2] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[2] = "0010";K[3] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[3] = "0011";K[4] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); 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str1[0] = "00000";K[1] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[1] = "00001";K[2] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[2] = "00010";K[3] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[3] = "00011";K[4] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[4] = "00100";K[5] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[5] = "00101";K[6] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[6] = "00110";K[7] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[7] = "00111";K[8] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[8] = "01000";K[9] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[9] = "01001";K[10] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[10] = "01010";K[11] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[11] = "01011";K[12] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[12] = "01100";K[13] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[13] = "01101";K[14] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); 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str1[28] = "11100";K[29] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[29] = "11101";K[30] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[30] = "11110";K[31] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[31] = "11111";Z = Max(K);int j = 0;for (int i = 0; i < N; i++){if (K[i] == Z)j = i;}str = str1[j];}if (U == 6){int N = 64;int[] K = new int[N];string[] str1 = new string[N];K[0] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[0] = "000000";K[1] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[1] = "000001";K[2] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[2] = "000010";K[3] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[3] = "000011";K[4] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[4] = "000100";K[5] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[5] = "000101";K[6] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[6] = "000110";K[7] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[7] = "000111"; K[8] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); 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str1[20] = "10100";K[21] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[21] = "10101";K[22] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[22] = "10110";K[23] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[23] = "10111";K[24] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[24] = "11000";K[25] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[25] = "11001";K[26] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[26] = "11010";K[27] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[27] = "11011";K[28] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[28] = "11100";K[29] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[29] = "11101";K[30] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[30] = "11110";K[31] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[31] = "11111";Z = Min(K);int j = 0;for (int i = 0; i < N; i++){if (K[i] == Z)j = i;}str = str1[j];}if (U == 6){int N = 64;int[] K = new int[N];string[] str1 = new string[N];K[0] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[0] = "000000"; K[1] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[1] = "000001"; K[2] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[2] = "000010"; K[3] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[3] = "000011"; K[4] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[4] = "000100"; K[5] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[5] = "000101"; K[6] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[6] = "000110"; K[7] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[7] = "000111"; K[8] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[8] = "001000"; K[9] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[9] = "001001"; K[10] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[10] = "001010"; K[11] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[11] = "001011"; K[12] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[12] = "001100"; K[13] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[13] = "001101"; K[14] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[14] = "001110"; K[15] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[15] = "001111"; K[16] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[16] = "010000"; K[17] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[17] = "010001"; K[18] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[18] = "010010"; K[19] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[19] = "010011"; K[20] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[20] = "010100"; K[21] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[21] = "010101"; K[22] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[22] = "010110"; K[23] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[23] = "010111"; K[24] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[24] = "011000"; K[25] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[25] = "011001"; K[26] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[26] = "011010"; K[27] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[27] = "011011"; K[28] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[28] = "011100"; K[29] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[29] = "011101"; K[30] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[30] = "011110"; K[31] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[31] = "011111"; K[32] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[32] = "100000"; K[33] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[33] = "100001"; K[34] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[34] = "100010"; K[35] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[35] = "100011"; K[36] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[36] = "100100"; K[37] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[37] = "100101"; K[38] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[38] = "100110"; K[39] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[39] = "100111"; K[40] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[40] = "101000"; K[41] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[41] = "101001"; K[42] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[42] = "101010"; K[43] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[43] = "101011"; K[44] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[44] = "101100"; K[45] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[45] = "101101"; K[46] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[46] = "101110"; K[47] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[47] = "101111"; K[48] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[48] = "110000"; K[49] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[49] = "110001"; K[50] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[50] = "110010"; K[51] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[51] = "110011"; K[52] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[52] = "110100"; K[53] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[53] = "110101"; K[54] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[54] = "110110"; K[55] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[55] = "110111"; K[56] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[56] = "111000"; K[57] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[57] = "111001";K[58] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[58] = "111010";K[59] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[59] = "111011";K[60] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[60] = "111100";K[61] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[61] = "111101";K[62] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, L, H, U, M); str1[62] = "111110";K[63] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, L, H, U, M); str1[63] = "111111";Z = Min(K);int j = 0;for (int i = 0; i < N; i++){if (K[i] == Z)j = i;}str = str1[j];}return str;}public static int YM(int[,] T, int[] M, int U,int Z, int L,int H)//T为a传ä?入¨?的Ì?矩?阵¨®V为a记?录?所¨´求¨®解a的Ì?值¦ÌM目?标À¨º函¡¥数ºy的Ì?数ºy组Á¨¦//U变À?元a的Ì?个?数ºyZ为a最Á?优®?值¦Ì{if(U==3){int N = 8;int[] K = new int[N];K[0] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[1] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[2] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[3] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[4] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[5] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[6] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[7] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);Z = Max(K);}if (U == 4){int N = 16;int[] K = new int[N];K[0] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[1] = PaiDing(T, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[2] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[3] = PaiDing(T, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[4] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[5] = PaiDing(T, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[6] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[7] = PaiDing(T, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[8] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[9] = PaiDing(T, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[10] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[11] = PaiDing(T, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[12] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[13] = PaiDing(T, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[14] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);K[15] = PaiDing(T, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, L, H, U, M);Z = Max(K);}。

0—1型整数规划问题的求解方法

0—1型整数规划问题的求解方法

0—1型整数规划问题的求解方法0-1型整数规划问题是一类特殊的整数规划问题，其中变量只能取0或1，即变量是二进制的。

这类问题在实际应用中具有广泛的应用，如装配线平衡、员工调度、货物装载等。

求解0-1型整数规划问题可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的方法。

1.枚举法：枚举法是最朴素的解法，它列举出了所有可能解，并通过穷举所有解的方式找到最优解。

这种方法适用于问题规模较小且没有明显的约束条件，但对于大规模问题不适用。

2.分支定界法：分支定界法是一种广泛应用于整数规划的方法。

它从原问题形成一个目标函数较小的松弛问题开始，通过分支操作将问题分解为一系列子问题，每次选择一个变量分支，并根据问题的特性设置相应的约束条件。

通过逐步分解问题，最终获得最优解。

3.动态规划法：动态规划法通过构建状态转移方程的方式，将问题分解为多个子问题，并利用子问题之间的关系求解最优解。

对于0-1型整数规划问题，可以使用动态规划来解决。

首先定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入背包容量为j的情况下的最大价值。

然后根据背包容量逐步求解，最后得到最优解。

4.启发式算法：启发式算法是一类基于经验和直觉的算法，通过评估当前解的优劣性来寻找最优解。

对于0-1型整数规划问题，可以使用启发式算法如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等进行求解。

这些算法通过随机和逐步优化的方式，可以在较短时间内找到较好的解。

以上是常用的几种0-1型整数规划问题的求解方法，根据问题的规模、约束条件和求解的要求选择合适的方法。

在实际应用中，通常会根据问题的特性选择相应的算法，并结合数学模型和计算机编程进行求解。

运筹学课件第四节0-1型整数规划

运筹学课件第四节0-1型整数规划
运筹学课件第四节0-1型整数 规划
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具

枚举算法及程序实现

枚举算法及程序实现

枚举算法及程序实现枚举算法是一种解决问题的方法，通过枚举所有可能的解决方案来找到最优解。

它通常用于解决那些问题的解空间相对较小的情况，因为枚举算法需要穷举所有可能的解决方案，时间复杂度较高。

枚举算法的基本思想是从可能的解空间中逐个取出可能的解进行验证，直至找到满足问题要求的解或者枚举完所有可能的解为止。

下面将介绍一些常见的枚举算法及其程序实现。

一、全排列算法全排列算法用于解决“给定n个元素，将其排列成一行”这类问题。

其基本思想是采用递归的方式，每次固定一个元素，然后对剩余的元素进行全排列，最后得到所有可能的排列。

伪代码如下：```void permute(int[] nums, int start, List<List<Integer>> result)if (start == nums.length - 1)List<Integer> permutation = new ArrayList<>(;for (int num : nums)permutation.add(num);}result.add(permutation);} elsefor (int i = start; i < nums.length; i++)swap(nums, start, i);permute(nums, start + 1, result);swap(nums, start, i); // 回溯}}void swap(int[] nums, int i, int j)int temp = nums[i];nums[i] = nums[j];nums[j] = temp;```该算法的时间复杂度为O(n!)。

二、子集枚举算法子集枚举算法用于解决“对于给定的n个元素，找出其所有可能的子集”这类问题。

基本思想是通过逐个选取元素的方式，得到所有可能的子集。

伪代码如下：void subsets(int[] nums, List<List<Integer>> result)int n = nums.length;for (int i = 0; i < (1 << n); i++)List<Integer> subset = new ArrayList<>(;for (int j = 0; j < n; j++)if ((i & (1 << j)) != 0)subset.add(nums[j]);}}result.add(subset);}```该算法的时间复杂度为O(2^n)。

0–1型整数规划的解法

0–1型整数规划的解法

0–1型整数规划的解法
解0-1 型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0 或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查变量取值的2的n次方个组合。

对于变量个数n 较大（例如
n>100），这几乎是不可能的。

因此常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解。

这样的方法称为隐枚举法（implicit enumeration ），分枝定界法也是一种隐枚举法。

当然，对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是必要的。

下面举例说明一种解0-1 型整数规划的隐枚举法。

求解思路及改进措施：
（i ）先试探性求一个可行解，易看出满足约束条件，故为一
个可行解，且z=3。

（ii ）因为是求极大值问题，故求最优解时，凡是目标值z<3 的解不必检验是否满足约束条件即可删除，因它肯定不是最优解，于是应增加一个约束条件（目标值下界）.
（iii ）改进过滤条件。

（iv ）由于对每个组合首先计算目标值以验证过滤条件，故应优先计算目标值z 大的组合，这样可提前抬高过滤门槛，以减少计算量。

运筹学匈牙利法

运筹学匈牙利法

满足约束条件（是∨ 否×） (1) (2) (3) (4)
过滤 条件
√√√ √ 0
√√√ √ 5
-2
3
3
√√√ √ 8
1
6
max Z 3 x 1 2 x 2 5 x 3
x 1 2 x 2 x 3 2 (1)
x1 x1
4
x2 x2
x3
4 3
(2) (3)
4 x 2 x 3 6 (4)
1 0 7
0 4 1
4
3
0 √
√
找(1到)对3没个有独独立立零零元元素素，的但行m打√= 号3 <；n = 4 (2)对已打√号的行中所有含划掉零元素的列打√号；
(3)再对打有√号的列中含独立零元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止；
(5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就 得到覆盖所有零元素的最少直线数
xij
n
0不分配i个 第人取完j成 项第 任务
x ij 1
( i 1 .2 . .n )
j1
n
x ij 1 ( j 1 . 2 . . n )
i1
x ij 0 或 1( i , j 1 . 2 . . n )
典型问题
例1：有一份说明书，要分别译成英、日、 德、俄四种文字，交与甲、乙、丙、丁四个 人去完成，因各人专长不同，他们完成翻译 不同文字所需要的时间（小时）如表所示。 规定每项工作只能交与其中的一个人完成， 每个人只能完成其中的一项工作。
工作 人 甲 乙 丙 丁
译英文 译日文 译德文 译俄文
2 10 15 4 13 14 4 15
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0-1规划与指派问题

0-1规划与指派问题

(i=1,2,···,m) (j=1,2,···,m)
xij =0或1 (i=1,2,···,m; j=1,2,···,m)
解法
一、匈牙利方法
由匈牙利数学家Konig提出。
思路：克尼格定理(konig)
如果从效率矩阵[aij]的每一行元素中 分别减去(或加上)一个常数ui,从每一列中 分别减去(或加上)一个常数vj,得到一个新 的效率矩阵[bij],其中bij=aij-ui-vj,则以[bij] 为效率矩阵的最优解等价于以[aij]为效率 矩阵的最优解.
最大化指派问题
1 3 0 11 8 0 0 1 1 2 0 1 2 1 0 1 0 5 0 4 1 2 3 4 0
Variants of Assignment Problem 指派问题的变形
指派问题的变形: ▪任务比被指派者多 ▪被指派者比要完成的任务多 ▪有一些被指派者并不能进行某一些的任务 ▪每个被指派者可以同时被指派给多于一个的任务 ▪每一项任务都可以由多个被指派者共同完成
B）从第一列开始，若只有一个0，则记（0）， 同时作直线覆盖该行的元素。否则，转下列；
C）重复A）、B），至再找不出这样的0元素， 转D）
D）可能出现以下情况： ① 每行均有（0）元素，则在有（0）位置构成最 优解中xij=1； ② 所有0元素均有直线覆盖，但记（0）的个数<m
个，转⑶。
③多于两行和两列存在未被直线覆盖的0元素，即
设 xj=
1 0
--- 选择开采第j个构造 ---不选择开采第j个构造
10
max z=Σj=c1jxj
-----年总收益
10
j∑=1ajxj b
----投资额限制
xj＝0或1 (j=1,2,---,10)
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收稿日期: 2008- 12- 17。曾艳, 本科生, 主研领 域: 高性 能计算 及 并行数值软件。
第 7期
曾艳: 0 1规划中并行隐枚举法的实现方式
269
2 0 1规划问题并行算法设计
3 应用实例
2. 1 算法设计基本原理
0 1 规划问 题中 各个 状态的 处理 计算是 唯一 的, 本文中 以
隐枚举法 ( Im plic it Enum eration M ethod) 是 Ba las E 在 1965 年提出的, 是以 0 1整 数规划 为背 景建 立的。它 只检查 一部 分 变量组合, 在这 过程中根据已 有信息自 动舍弃 许多不 可能成 为 最优解的组合, 求得最优解, 从 而大大 减少了 工作量 [ 4, 5] 。隐 枚 举法只需比较目标函数在一小部分组合点上的取 值大小就能求 得最优解和最优值。弥补了完全枚举法迭代次数过大的缺 点。
各个状态为对象, 每个节点 (或 从进程 ) 处理等 量的状态 数。假
设有 n个变量, 即个 2n 状 态, 有 m + 1个进程。
算法基本原理如 下:
1) 程序初始化生成 m + 1个进程 , 每 个进 程 ID 号分 别为
0, 1, !, m - 1, m。
2) 进程 0作为主处理 器, 其操作 包括 两个方 面的 内容: ∀
分析: 这个问题转换成数学模型为:
M = 3x1 + 6x2 + 2x3 + 3x4 + 7x5 + x6∃ 15 求:
Z = M ax{ 4x1 + 7x2 + 5x 3 + 7x 4 + 8x5 + 15x 6 } 式中, x 1, x2, x3, x4, x5, x6 的取值为 0或 1。 这个实例中一共有 6个变量, 共有 64个状态。 ( 1) 用串行完全枚举法求解 目标函数需要计算 64次, 约束条件需要计算 64 次, 总共 需 要计算 128次。当 { x1, x2, x3, x 4, x 5, x6 } = { 1 1 1 1 0 1}时, m = 15, Z = 38。 ( 2) 用并行隐枚举法进行求解 设从处理器数目为 4。 S tep 1 将状态数进行分组, 先试探 性求一 个可行 解, 易 看 出 { x 1, x 2, x 3, x4, x5, x 6 } = { 0, 0, 0, 0, 0, 1} 满足约束 条件, 故 为一个可行解, 且相应的目标函数值为 Z = 15, 将 4x1 + 7x2 + 5x3 + 7x 4 + 8x5 + 15x6 % 15 作为过 滤条件, 在 从进程 中计算 出每 个 状态的目标函数值, 如表 1所示。
1 并行计算与隐枚举法
并行计算是 指同 时使 用多 种计 算资 源解 决计 算问 题的 过
程。它是相对于串行计算 而言的, 所谓 的并行 计算分 为时间 上 的并行和空间上的并行, 时间上的并行就是指流水线技术, 而 空 间上的并行则是指用多个处理器并发的执行计算。集群系统 逐 渐成为高性能并行计算的 主要硬 件平台, 它是 将一组 相互独 立 的计算机通过高速 的通 信 网络 而组 成的 一个 单一 的计 算机 系 统, 并 以单一系统 的模 式进 行管 理 [ 1] 。并 行计 算的 主要 目的: 一是为了提供比传统计算 机快的 计算速 度; 二 是解决 传统计 算 机无法解决的问题。
第 27卷第 7期 2010年 7月
计算机应用与软件 Com puter ApplicatioJu.l 2010
0 1规划中并行隐枚举法的实现方式
曾艳
( 华中师范大学计算机科学与技术系 湖北 武汉 430079 )
摘 要 0 1规划中, 当变量较大时, 状态数 过多、时间耗费较大, 隐枚举法是目前解 决 0- 1规划问 题最有效 的方法, 并行计算 的 特点是快速解决大型 且复杂的计算问题。结合并行计算和隐枚举法来解决这个问题, 并且对隐枚举法做了一定的改进, 使得在串 行 计算中难以实现的问 题在并行计算机上得到了解决, 并用实例验证了算法 的可行性和优越性。 关键词 0 1规划 并行 计算 隐枚举法
M P I(M essage P assing Interface) 是消 息传 递并 行程 序设 计 的标准之一, 是目前最主要的并行环境。它适用 于基于分布 内 存的并行计算机系统的 消息 传递模 型, 具有 移植性 好、功能 强 大、效 率高等多种特点, 而且 有多种 不同 的免费、高 效、实用 的 实现版本, 几乎所有的并行计算机厂商 都提供 对它的 支持, 这 是其他并行环境无法比拟的 [ 2, 3] 。
{ part_b est[ i] = z[ k] ; }
break; }
state[ i] = 0; If( part_best[ i] > glo_best) glo_b est= p art_best[ i] ; / /将局部 最优解 和全局最优解进行比较
} 主进程输出最后结果, 程序结束。
一个旅行者有一个最多能装 15公斤的背包, 现在有 6件 物 品, 它们的重量 分别是 3, 6, 2, 3, 7, 1; 它们的价 值分别为 4, 7, 5, 7, 8, 15; 若每种物品只有一件, 求旅行者能获得最大总价值 Z。
39
{ 1, 1, 0, 0, 0, 0}
11
4
!!
!!
{ 1, 1, 1, 1, 1, 1}
46
S tep 2 在各个从进程中根据过 滤条件删 除目标 函数值 小 于 15 的状 态, 然后 按照目 标函 数值从 大到 小将状 态进 行排 序 (各从进程最终结果数如表 2所示 ), 并且计算约 束条件, 如表 3 所示。
核心算法如下: 初始化: 将 2n个状态划分成 m 个状态组, 并分配给各个从进程, state
[ i] = 1 试探性求一个满足约 束条件 的可 行解, 计算出 相应 的目 标函 数值
为Z W h ile(存在 s tate[ i] = = 1)
{ 对于从进程 ,i 寻找局部最优解 For( j= 1; j< = 2n /m; j+ + ) { 求出所有状态的目标值 z[ j] ; If(状态 j的目标函数值小于 Z) {删除相应的状态; } } 将目标函数值大于等于 Z的状态数按照目标值进行从大到小排序 For( j= 1; j< = s; j+ + ) { / / s为目标函数值大于等于 Z的状态数 If( 状态 j满足约束条件 )
K eywords 0 1prog ramm ing P ara lle l computing Im plic it enum eration me thod
0引 言
对于有 n 个变量 的 0 1规划 问题, 由 于每个 变量 只取 0、1 两个值, 故 n 个变量所有可能的 0 1组合数 有 2n 个。在现 实生 活中, 很多问题 都可 以 转换 成 0 1规 划 问题, 比 如 席位 分配 问 题、排序问题、资源配置问题等 , 而对于 0 1规划的问 题, 目 前最 普遍的解 法就是枚 举法, 即检查变量 取值为 0 或 1的每一 种组 合, 比较目标函数值以求 得最优 解。在此基 础上人 们采用 了隐 枚举法、遗传 算法、动态规划 法等方法, 虽然在 一定程度上 加快 了求解速度、缩短了问题的解决时间, 但 这些方法都是基于串行 计算来实现的, 只能当变 量较小 时来达 到优化 的目的。但 是当 n较大时, 比如: 当 n= 64时, 264 1. 845 1019, 以每秒 解决 107 种状态的速度, 则需要 5. 85 104年, 用串行 计算根 本是不 可能 的。并行计算能同时使 用多种 计算资 源解决 计算问 题, 能 快速 解决大型且复杂的计 算问题, 是当前 世界上 主要用 于解决 大规 模、高精度问题的 方法, 它 能解 决很 多串 行计 算不 能解 决的 问 题。目前国内外对用并行算法 来解决 0 1规划 问题的研究 并不 多, 基于 0 1规划问题在 生活 中的重 要性 以及并 行算 法的 高效 性, 本文对用并行隐枚举 法来 解决 0 1规 划的问 题进 行了 一定 的探讨。
将 2n 个状态划分为 m 个状态组, 并且将这 m 个状态组分配给 m
个相应的从进程; # 检查是 否有从进 程向其 发送满 足条件 的局
部 最 优解, 若 有则 接 受 消 息, 并 且 与当 前 的 全 局最 优 解 进 行
比较。
3) 进程 1, 2, !, m, 作为从进程, 其操作包 括两个方面 的内 容: ∀ 接受主 进程发送 来的状态组, 在局 部区域内进 行搜索, 得 到一个局部最 优解; # 将局 部最 优解 发送 给主 进程, 等 待新 的 任务。
4) 直到所有的从进程计算完毕, 将局部最优解发送给 主进 程, 主进程得到最后的全局最优解。
2. 2 算法具体实现
设有 2n个状态, m 个从进程, g lo _best为 主进程 中记录 全局 最优解的变量, part_best[ i] ( i= 1 to m )为相对应的 m 个从进程 中的记录局部最优解的变量, state[ i] ( i= 1 to m ) 记录从进 程的 状态, sta te[ i] = 0表 示从进 程 i空 闲, group [ i] 记录从 进程 i中 所接受到需要 处理 的状 态。假 设所 需要 求的 最优 解是 极大 值 问题。
进程号
表 1 从进程状态分配情况
各个进程的状态
目标函数值
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0}
0
1
!!
!!
{ 0, 0, 1, 1, 1, 1}
35
{ 0, 1, 0, 0, 0, 0}
22
2
!!
!!
{ 0, 1, 11, 1, 1}