整式的恒等变形上海教育版-初中一年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

, , ,联赛题型解读（一）——整式与恒等变形一、“整式与恒等变形”真题分值分析在近五年初中数学联赛中代数的分值占到了 54%之多,考察的题目数量也在 7 至 9 道 左右。

而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的 知识和技巧。

下面我们通过统计近 16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对 整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。

2001~2016联赛整式分值统计4540414135 323230 272520 21211514141414107147752001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2 道题左右,考察的分值最 高达到 41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟 随几年的低峰。

我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行 2 题左右的考察。

而且近三年的趋 势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。

二、整式中的知识与技巧整式为后续分式和根式提供了方向,代数式是方程的基础,方程是函数的基础,而整式 恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。

整式中的知识大体来说包含了：乘法公式 因式分解及恒等变形三个部分 这里简单的介 绍前两个部分的基础知识。

1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1） 平方差： a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )；2 ⎣; x xa,（2） 平方： (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ；（3） 三元完全平方： (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；（4） a 2 + b 2 + c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2 ⎤ ；⎦（5） 和（差）的立方： (a + b )3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3 = a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；（7） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )（8） -a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2 = (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )2.因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )( 3 - y 3 )= (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )( 2 - xy + y 2 )；（3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )( x + y ) ；（4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同；（6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )( 2 - ab + b 2 );（7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解；（9） 因式定理：多项式 f ( x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式(x - y )( y - z )( z - x )前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握后 2 种有兴趣有精力的学生可以选 择性的进行学习。

初一数学整式阶段测试（9.1——9.12）班级 姓名 学号 得分一、 填空题：（每题2分，共计24分）1、x 的3倍与y 的和的平方，用代数式表示为 。

2、当3-=x 时，代数式x x 5)2(3-的值为 。

3、243r π是_____次单项式，它的系数是________; 4、将多项式3322562a b ab b a +++-按照字母a 的降幂排列5、已知m b a 223-与57b a n -是同类项，则=-n m 3 。

6、合并同类项：()=---y x y x 347 。

7、用幂的形式表示：()43m m -⋅= 。

8、用幂的形式表示：()[]()=-⋅--322x y y x 。

9、计算：=-32)31(b a 。

10、计算： ()20172016551-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛= 。

11、计算：()=+-y x y x 5)2( 。

12、若49)3(22++=-kx x m x ，则k m = 。

二、选择题：（每题3分，共计12分） 15、在代数式23xy -，22y x -，4b a -，ab b a +，21-中，单项式有 （ ） 个 A 、2个 ；B 、3个； C 、4个； D 、5个。

16、下列计算正确的是………………………………………………………………（ ）A ．633x x x =+B ．623)(a a -=-C ．835)21()21()21(=-⋅-D ．62328)2(n m mn =-17、下列各式中，能用平方差公式计算是（ ）A.)2)(2(b a b a +--B.)2)(2(b a b a ---C.)2)(2(a b b a +-D.)2)(2(b a a b ++18、如图，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a +-=-C ．2222)(b ab a b a ++=+D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+三、计算题：（每题5分，共30分）19、计算：332231()(32)3a a a a a --++- 20、计算：222322)()35(3b a b a b a ---⋅21、计算：2(3)(3)(9)x x x +--22、计算：2(3)(3)(3)x y x y x y --+-23、计算：)12)(12(-++-y x y x24、运用平方差公式计算：10397⨯四、解答题：（第25至29题每题6分，第30题4分，总分34分）25、化简求值：)1(2))(()(2y x x y y x y x ---++-，其中2,1-==y x26、一个多项式加上 32354y y x x ++-，得32323y y x x +-,（1）求这个多项式；（2）当2-=x ，1=y 时，求这个多项式的值.27、已知：6x y -=，4xy =，求（1）22x y +（2）2()x y +28、解不等式：)1-6)(2()52)(23(x x x x -≥--,并求出最大整数解.29、已知：3=m a ，2=n a ，求（1）2m n a +，（2）用a 的幂的式子表示36。

第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。

七年级（上）数学第9章整式单元测试卷一．选择题（共6小题）1．下列式子，，，中，单项式有个．A．1B．2C．3D．4 2．下列计算正确的是A．B．C．D．3．下列运算中，正确的是A．B．C．D．4．下列式子中，能用平方差公式运算的是A．B．C．D．5．下列从左到右的变形是因式分解的是A．B．C．D．6．若中不含的一次项，则A．B．C．D．二．填空题（共12小题）7．计算：．8．计算：．9．若，则．10．若，，则．11．已知与是同类项，则，．12．把多项式分解因式的结果是．13．计算：．14．如果可以用完全平方公式进行因式分解，则．15．某种衣服售价为元时，每天的销量为件，经调研发现：每降价1元可多卖5件，那么降价元后，一天的销售额是元．16．已知，，则．17．定义一种新运算※．例如※．按照这种运算规定，※，则．18．在边长为的正方形中挖掉一边长为的小正方形，把余下的部分剪成直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是．三．解答题（共7小题）19．计算：．20．分解因式：（1）；（2）．21．先化简，再求值：，其中，．22．已知，，求的值．23．对于任意的有理数、、、，我们规定，例如：．据这一规定，解下列问题：（1）化简；（2）若同时满足，，求的取值范围．24．（1）如图①所示的大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是．（2）若将图①中的阴影部分剪下来，拼成如图②的长方形，则其面积是．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：．（4）应用公式计算：．25．对任意一个三位数，如果的百位数字与个位数字相等，则称这个三位数为“对称数”；对任意一个三位数，如果的百位数字与个位数字之和等于十位数字，那么称这个三位数为“平衡数”．（1）直接写出既是“对称数”又是“平衡数”的所有三位数；（2）若一个三位数，交换的百位数字与个位数字得到一个新的三位数，如果既是“对称数”又是“平衡数”，求出符合条件的三位数的个数，井说明理由．参考答案一．选择题（共6小题）1．下列式子，，，中，单项式有个．A．1B．2C．3D．4解：单项式有，，，共3个，故选：．2．下列计算正确的是A．B．C．D．解：，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确；不能合并，故选项错误；故选：．3．下列运算中，正确的是A．B．C．D．解：、，故原题计算错误；、和不是同类项不能合并，故原题计算错误；、，故原题计算错误；、，故原题计算正确；故选：．4．下列式子中，能用平方差公式运算的是A．B．C．D．解：、中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；、两项都是相同，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；、中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；故选：．5．下列从左到右的变形是因式分解的是A．B．C．D．解：．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：．6．若中不含的一次项，则A．B．C．D．解：，中不含的一次项，，解得：，故选：．二．填空题（共12小题）7．计算：．解：原式．故答案为：．8．计算：．解：，故答案为：．9．若，则9．解：因为，所以，，所以．故答案为：9．10．若，，则．解：，，．故答案为：．11．已知与是同类项，则2，．解：与是同类项，，解得，故答案为：2；．12．把多项式分解因式的结果是．解：原式，故答案为：13．计算：．解：．故答案为：．14．如果可以用完全平方公式进行因式分解，则1．解：可以用完全平方公式进行因式分解，，故答案为：1．15．某种衣服售价为元时，每天的销量为件，经调研发现：每降价1元可多卖5件，那么降价元后，一天的销售额是元．解：由题意可知，每件衣服降价元后，售价为元，每天的销量为件，根据销售额售价销量，可得销售额为：元．故答案为：．16．已知，，则8．解：，，，故答案为：8．17．定义一种新运算※．例如※．按照这种运算规定，※，则3．解：根据题意得，，，，解得，故答案为：3．18．在边长为的正方形中挖掉一边长为的小正方形，把余下的部分剪成直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是．解：根据题意得，即．故答案为．三．解答题（共7小题）19．计算：．解：原式．20．分解因式：（1）；（2）．解：（1）；（2）．21．先化简，再求值：，其中，．解：原式，当，时，原式．22．已知，，求的值．解：，，．23．对于任意的有理数、、、，我们规定，例如：．据这一规定，解下列问题：（1）化简；（2）若同时满足，，求的取值范围．解：（1）原式；（2），，，解不等式①得：，解不等式②得：，．24．（1）如图①所示的大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是．（2）若将图①中的阴影部分剪下来，拼成如图②的长方形，则其面积是．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：．（4）应用公式计算：．解：（1）如图①所示，阴影部分的面积是，故答案为：；（2）根据题意知该长方形的长为、宽为，则其面积为，故答案为：；（3）由阴影部分面积相等知，故答案为：；（4）．25．对任意一个三位数，如果的百位数字与个位数字相等，则称这个三位数为“对称数”；对任意一个三位数，如果的百位数字与个位数字之和等于十位数字，那么称这个三位数为“平衡数”．（1）直接写出既是“对称数”又是“平衡数”的所有三位数；（2）若一个三位数，交换的百位数字与个位数字得到一个新的三位数，如果既是“对称数”又是“平衡数”，求出符合条件的三位数的个数，井说明理由．【解答】解答：（1）既是“对称数”又是平衡数的三位数是121，242，363，484；（2）设的百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，则表示的三位数字为：，交换的百位上的数字与十位上的数字得，即，，既是“对称数”又是“平衡数”，，，，，为自然数，且，，，当时，，此时为121，当时，，此时为242，当时，，此时为363，但不是三位数，故满足条件的三位数有2个．。