抛物线圆综合

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

圆与抛物线相切问题圆与抛物线相切是一个经典的几何问题，涉及到圆和抛物线的性质以及它们相切的条件。

首先，我们来看一下圆和抛物线的基本性质。

圆是一个闭合的曲线，所有点到圆心的距离都相等。

圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径。

抛物线是一种二次曲线，其图像呈现出类似抛物体运动的形状。

抛物线的一般方程是y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数且a不等于0。

抛物线开口的方向取决于a的正负。

当圆与抛物线相切时，它们满足以下几个条件：1. 相切点处的切线相切于圆和抛物线，且切线垂直于相切点处的切线。

2. 相切点处的切线是圆和抛物线的公共切线。

为了找到圆与抛物线的相切点，我们需要解决一个联立方程组。

假设圆的方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，抛物线的方程是y =ax² + bx + c。

我们可以通过联立这两个方程组成的方程组，解出相切点的坐标。

另外，我们还可以利用切线的性质来解决这个问题。

在相切点处，圆和抛物线的切线斜率相等。

我们可以求出圆和抛物线在相切点处的切线方程，然后比较它们的斜率是否相等来判断它们是否相切。

总之，圆与抛物线相切是一个涉及到几何、代数和微积分知识的问题，需要综合运用这些知识来解决。

通过分析圆和抛物线的性质，以及切线的性质，我们可以找到它们相切的条件和相切点的坐标。

希望这个回答能够帮助你更好地理解圆与抛物线相切的问题。

抛物线与圆专题讲解抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能（切线的性质与判定、切线长定理、圆与点、线、圆的位置关系等），求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。

在解答中常渗透6大数学思想：数形结合思想、分类思想、化归与转化思想、函数与方程思想、整体思想、建模思想。

你想快速进步请注意：独立思考，与他人合作，题后析题总结。

1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．2、已知：如图，抛物线m x x y +-=332312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°， ⑴求m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式； ⑶在条件⑵下，设P 为上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH ·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.3、如图3已知抛物线2y ax bx c=++，经过点A(0，5)和点B（3 ，2）(1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若⊙Q的半径为r，点Q 在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值课后巩固：1、已知：如图，抛物线233y x x =--+x 轴分别交于A B ，两点，与y轴交于C 点，经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧⋂OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E 的坐标； （2）求的面积；（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，已知点(B -，(0)A m，(0)m <<，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ． （1）求证：BF DO =；（2）设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过BF O ，，三点的抛物线的解析表达式；3、如图1，直线y ＝43x －1与抛物线y ＝－41x 2交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．图2图1。

抛物线与圆综合题徐州王黎之1．（2016赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点 A，C 的直线解析式和过点 A，B，C 的抛物线的解析式；（2）求过点 A，B 及抛物线的顶点 D 的⊙P的圆心 P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 Q，使 AQ 与⊙P相切，若存在请求出 Q 点坐标．2.（2015 • 陕西）如图，在直角坐标系中，⊙ C 过原点 O，交 x 轴于点 A（2，0），交y 轴于点 B（0，2 √3）．（1）求圆心的坐标；（2）抛物线 y=ax 2 +bx+c 过 O、A 两点，且顶点在正3．（2016 宿迁）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将二次函数 y=x2﹣1 的图象 M 沿 x 轴翻折，把所得到的图象向右平移 2 个单位长度后再向上平移 8 个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求 N 的函数表达式；（2）设点 P（m，n）是以点 C（1，4）为圆心、1 为半径的圆上一动点，二次函数的图象 M 与x 轴相交于两点 A、B，求PA2+PB2 的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 M 与N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．比例函数y=- x 的图象上，求抛物线的解析式；3（3）过圆心 C 作平行于 x 轴的直线 DE ，交⊙C 于 D、E 两点，试判断 D、E 两点是否在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点 P（x0 ，y），满足∠ APB 为钝角，求 x0 的取值范围．34、已知抛物线 y ＝ ax２＋bx ＋３ ( a ≠０ )经过 A ( ３ , ０ ), B ( ４ , １ )两点,且与 y 轴交于点 C ．(１ )求抛物线 y ＝ ax２＋bx ＋３( a ≠０ )的函数关系式及点 C 的坐标;(２ )如图１ ,连接 AB ,在题( １ )中的抛物线上是否存在点 P ,使△ PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(３ )如图２ ,连接 AC , E 为线段 AC 上任意一点(不与A , C 重合),经过 A , E , O 三点的圆交直线 AB 于点 F , 当△ OEF的面积取得最小值时,求点 E 的坐标．5.抛物线 y=ax2+bx+c 交x 轴于A、B 两点，交 y 轴于点 C，已知抛物线的对称轴为 x=1，B（3，0），C（0，-3），（1）求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使点 P 到 B、C 两点距离之差最大？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 M、N 两点，若以 M N 为直径的圆恰好与 x 轴相切，求此圆的半径。

抛物线一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( )A．4 B．3 3 C．4 3 D．8例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( )A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x三、抛物线的综合问题例5、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．相切D．不确定5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 ( ) A．4 2 B．8C． 8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．168．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程（）A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．14已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．168．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝712．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .14． (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝ 5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB|＝2r＝564＋32b＝8，解得b＝－8 5 .所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝485，则圆心Q的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x－245)2＋(y＋4)2＝16.。

2017届高三数学跨越一本线精品问题三：椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题通过近几年各地高考试题能够发觉,对圆的考查在慢慢加深,并与圆锥曲线相结合在一路命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合能够呈现别具一格的新颖试题,为此,为了深切明确命题动向,本文总结如下. 一、圆与椭圆的结合点 圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右核心是圆E ：22(1)1x y -+=的圆心．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,别离交y 轴于点M 、N ．试推断是不是存在点P ,使14||MN =,求出点P 的坐标；假设不存在,请说明理由．【分析】(1)由已知条件别离求出,a c 的值,而222b ac =-,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点P 知足题意,设点00(,)P x y （00x <）,(0,)M m ,(0,)N n ,利用条件求出直线PM 方程,依照圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为,求出m 与点P 坐标之间的关系,同理求出与点P 坐标之间的关系,利用韦达定理求出,m n mn +的表达式,算出MN ,求出P 点坐标.【解析】（1）设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>,半焦距为,因为椭圆的右核心是圆E 的圆心,那么1c =,因为椭圆的离心率为22,那么22c a =,即22a c ==,从而2221b a c =-=,故椭圆C 的方程为2212x y +=．由此可知,m ,为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个实根,因此0022y m n x +=--,002x mn x =--, 2||||()4MN m n m n mn =-=+-20020044(2)2y x x x =+--220002044(2)x y x x +-=-．因为点00(,)P x y 在椭圆C 上,那么220012x y +=,即220012x y =-, 则2200022002842(2)4||(2)(2)x x x MN x x -+--==--2042(2)x =--, 204142(2)x -=-则20(2)9x -=,因为00x <,那么01x =-,220012x y =-12=,即022y =±, 故存在点2(1,)2P -±知足题设条件． 【点评】(1)处置直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径组成直角三角形．(2)圆的切线问题的处置要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而成立关系解决问题．【小试牛刀】【2017届江西吉安一中高三上学期段考二】已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为32,其左极点A 在圆22:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）假设点P 为椭圆W 上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ,是不是存在点P ,使得3PQ AP=？假设存在,求出点P 的坐标；假设不存在,说明理由.【答案】（I ）221164x y +=；（II ）不存在,理由观点析. （II ）设点()11,P x y ,()22,Q x y ,设直线AP 的方程为()4y k x =+,与椭圆方程联立得()2241164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简取得()2222143264160k x k x k +++-=,因为-4为方程的一个根,因此()21232414k x k -+-=+,因此21241614k x k-=+ 因此228114k AP k+=+ 因为圆心到直线AP 的距离为2414kd k=+, 因此222168216211AQ d k k=-==++. 因为1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-,代入取得222222228143311*********PQ k k k AP k k kk k ++=-=-==-+++++, 显然23331k -≠+,因此不存在直线AP ,使得3PQ AP=.利用椭圆的性质判定直线与圆的位置关系 【例2】已知椭圆C ：2224x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点,假设点A 在椭圆C 上,点B 在直线2y =上,且OA OB ⊥,试判定直线AB 与圆222x y +=的位置关系,并证明你的结论.【分析】（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程,确信2a ,2b ,利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,由OB OA ⊥,即0=•OB OA ,用0x 、0y 表示,当t x =0或t x ≠0别离依照点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判定直线AB 与圆222x y +=的位置关系.【解析】（1）由题意椭圆C 的标准方程为12422=+y x ,因此42=a ,22=b ,从而224222=-=-=b a c ,因此22==a c e . （2）直线AB 与圆222=+y x 相切,证明如下：设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,因为OB OA ⊥,因此0=•OB OA ,即0200=+y tx ,解得02x y t -=, 当t x =0时,220t y -=,代入椭圆C 的方程得2±=t ,现在直线AB 与圆222=+y x 相切.当t x ≠0时,直线AB 的方程为)(2200t x tx y y ---=-,即02)()2(0000=-+---ty x y t x x y , 圆心到直线AB 的距离为202000)()2(|2|t x y ty x d -+--=,又422020=+y x ,02x y t -=, 故22168|4|4|22|20204002020202020020=+++=++-=x x x x x x y y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切.【小试牛刀】【2021福建高考理18】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2,且离心率22e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线():1l x my m =-∈R 交椭圆E 于A ,B 两点,判定点94G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,0与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由．【解析】解法一：（1）由已知得222222b caa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此椭圆E 的方程为22142x y +=．故()22201252514216AB GH my m y y -=+++=()()()22222231525172021622162m m m m m m ++-+=>+++,因此2AB GH >． 故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,那么119,4GA x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭,229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()222230m y my +--=,因此12222m y y m +=+,12232y y m =-+,从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212125251416m y y m y y ++++=()22225312522216m m m m -+++=++()221720162m m +>+,因此cos ,0GA GB >．又GA ,GB 不共线,因此AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 二、圆与双曲线的结合点利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探讨等量关系也常常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例3】已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左核心,离心率为e ,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ,且点P 在抛物线24y cx =上,那么e 2 =（ ）A ．352+ B ．5 C ．512- D ．152+ 【答案】D【点评】此题将双曲线的渐近线与圆的位置关系联系到一路,从而确信点P 的坐标,进而成立等量关系求解双曲线的离心率.【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b==>>的右极点为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,Q ．假设60PAQ ∠=︒,且3OQ OP =,那么双曲线C 的离心率为＿＿＿＿．【解析】因为60PAQ ∠=︒且3OQ OP =,因此QAP 为等边三角形,设2AQ R =,那么OP R =,渐近线方程为by xa =,0A a （，）,取PQ 的中点M ,那么AM =由勾股定理可得2222R R -=（）,因此22223ab R a b =+（）（）①,在OQA中,()()2223212322R R a R R+-=⋅⋅,因此227R a =②,①②结合222c a b =+,可得c e a =＝．故答案. 圆的切线与双曲线相联系【例4】已知双曲线12222=-by a x 的左右核心别离为12F F 、,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支上的点,21F PF ∆的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点A ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,假设为双曲线的离心率,那么( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确信 【答案】C【解析】设内切圆在1PF 上的切点为N ,2PF 上的切点为M ,12F F 上的切点为A ,A 的坐标为(m,0),∴12112(DM MF)AF m (c m)2a PF PF PN NF AF c -=+-+=-=+--=,即OA a =,延长2BF 交1PF 于S ,∵PB 是角平分线和垂线,∴B 是2SF 的中点,O 是12F F 的中点,BO 是中位线,11211(PF PF )a 22BO F S ==-=,∴OA OB a ==,∴||||OA OB =. 【小试牛刀】已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右核心,过2F 作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线C 于点M ,且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足别离为1P 、2P ,求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线交双曲线C 于A 、B 两点,AB 中点为M ,求证：2AB OM =．（2）由条件可知：两条渐近线别离为1220;20l x y l x y -=+= 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设两渐近线的夹角为θ,那么那么点Q 到两条渐近线的距离别离为00001222|||33x y x y PP PP -+==因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上,因此220022x y -= 又1cos 3θ=,因此220000002221233933x y x y x y θ-+-==⋅=（3）由题意,即证：OA OB ⊥.设1122(,),(,)A x y B x y ,切线的方程为：002x x y y += ①当00y ≠时,切线的方程代入双曲线C 中,化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=因此：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 因此②当00y =时,易知上述结论也成立． 因此综上,OA OB ⊥,三、圆与抛物线的结合点 3. 1圆的性质与抛物线相结合【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的410杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r 最大取 时,才能使玻璃球触及杯底． 【答案】1【解析】成立如下图的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为22(0)x py p =>,因为过点(210,20),因此2(210)220,1p p =⨯=,即22(020)x y y =≤≤.玻璃球触及杯底,确实是小球的截面圆222()x y r r +-=与抛物线22x y =有且仅有一个交点,即原点.由222()x y r r +-=与22x y =消去得：0y =或2 2.y r =-因为有且仅有一个交点,即原点,因此220,1,r r -≤≤即半径r最大取1.【小试牛刀】【2017吉林长春五县上学期期末】已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点,O 为坐标原点,假设,A B 是以点()0,10M 为圆心,OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,那么p 的值是 ．【答案】56抛物线的性质与圆的相联系【例6】【2017届重庆市第一中学高三12月月考】已知椭圆()2212210x y C a b a b+=>>：离心率6焦距为22抛物线()22:20C x py p =>的核心F 是椭圆1C 的极点. （Ⅰ）求1C 与2C 的标准方程；（Ⅱ）设过点F 的直线交2C 于,P Q 两点,假设1C 的右极点A 在以PQ 为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.【分析】（Ⅰ）椭圆1C 的焦距为222=c ,36=a c ,得椭圆的标准方程,取得抛物线核心,可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得k x x 421=+,421-=⋅x x ,A 在以PQ 为直径的圆内⇔0<⋅AQ AP ,得结果.（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：1y kx =+,设点()11,P x y ,()22,Q x y ,联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=,由韦达定理得124x x k +=,124x x =-.A 在以PQ 为直径的圆内)1212120330AP AQ x x x x y y ⇔<⇔+++<)2212121216163480x x x x x x ⇔-+++<641634481600k k --++<⇒>.【小试牛刀】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的核心为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线与C 相交于A ,B 两点,假设AB 的垂直平分线与C 相较于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求的方程. 【解析】（I ）设0,4Q x ,代入22y px ,得0888,,.22p p x PQQF x pp p．由题设得85824p pp,解得2p （舍去）或2p ,∴C 的方程为24y x ；（II ）由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为10x my m,代入24y x 得2440y my．设1122,,,,A x y B x y 则124,y y m124y y ．故AB 的中点为2221221,2,141D m m AB m y y m ．又的斜率为,m l 的方程为2123xy m m．将上式代入24y x ,并整理得2244230y y m m．设3344,,,,M x y B x y 则234344,423y y y y m m．故MN 的中点为22234222412122123,,1m m E mMN y y mmm m ．由于MN 垂直平分线AB ,故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AEBEMN ,从而22211,44AB DEMN 即2222222244121224122m m m mmm m,化简得210m ,解得1m 或1m ．所求直线的方程为10x y 或10xy ．【迁移运用】1．【2017河北定州市上学期期中】过双曲线22115y x -=的右支上一点P ,别离向圆1C ：22(+4)+4x y =和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线,切点别离为M ,N ,那么22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19 【答案】B【解析】由题可知,)1|(|)4|(|||||222122---=-PC PC PN PM ,因此=--=-3||||||||222122PC PC PN PM 121212(||||)2(||||)32||3PC PC PC PC C C -=+-≥-13=.应选B ．2．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标为（ ）A ．8179- B ．89C ．817D ．17【答案】A【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ,抛物线的核心为F ,圆心为C ,则()()min min 1PQ d PQ PF CF r +=+=-=,应选A.3．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的左、右核心别离为1F 、2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线别离交双曲线的左、右两支于点B 、C ,假设2|BC ||CF |=,那么双曲线的渐近线方程为（ ）A.3y x =±B.22y x =±C.(31)y x =±+D.(31)y x =±- 【答案】C4．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】如图,已知椭圆111:221=+y x C ,双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ,假设以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点,且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,那么2C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．17D ．7142【答案】A【解析】设椭圆与双曲线的渐近线相交于1122(,),(,)M x y N x y 两点（设M 在轴上方）和33(,)A x y ,那么由题意知,3OA OM =,即313x x =．于是联立方程组2211x y b y xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可得,2232211a x a b =+；联立方程组22111x y b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得,221221111a x a b =+；即2222119()a b a b +=+,因此224b a =,即225c a =,因此5e =．故应选A ．5．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知抛物线28y x =,点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点,记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ,那么PQ d +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C6.过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左核心F 作圆222x y a +=的两条切线,切点别离为A 、B ,双曲线左极点为M ,假设0120AMB ∠=,那么该双曲线的离心率为 （ ） A 2 B ． 3 C ． D ．【答案】D【解析】OA 即为双曲线的渐近线,OAM ∆为等边三角形,直线OA 的倾斜角为60,因此3ba=2222342b a c a e =⇒=⇒=.选D.7．【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】如图,抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共核心2F ,点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点,且25AF =.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切,圆()22:21N x y -+=.已知点(3P ,过点P 作相互垂直且别离与圆M 、圆N 相交的直线和,设被圆M 截得的弦长为,被圆N 截得的弦长为.试探讨ts是不是为定值？请说明理由.【答案】（Ⅰ）2213y x -=；（Ⅱ）s t 3【解析】（Ⅰ）抛物线21:8C y x =的核心为()22,0F ,∴双曲线2C 的核心为()()122,02,0F F -、. 设()00,A x y 在抛物线21:8C y x =上,且25AF =.由抛物线的概念得,025x +=,∴03x =.∴2083y =⨯,∴026y =±()()22132267AF =++±=又∵点A 在双曲线上,由双曲线概念得,2752a =-=,∴1a =.∴双曲线的方程为：2213y x -=. （Ⅱ）s t为定值.下面给出说明：设圆M 的方程为：()2222x y r ++=,双曲线的渐近线方程为：y =.∵圆M与渐近线y =相切,∴圆M的半径为r ==故圆()22:23M x y ++=.依题意12l l 、的斜率存在且均不为零,因此设的方程为()1y k x =-,即0kx y k -=,设的方程为()11y x k=--,即10x ky +-=, ∴点M到直线的距离为1d =,点N到直线的距离为2d =,∴直线被圆M截得的弦长s ==直线被圆N截得的弦长t ==∴s t===故st7．【2017学年吉林长春五县高二上学期期末】已知()222210x y a b a b+=>>的左、右核心别离为12F F 、,12F F =点P 在椭圆上,21tan 2PF F ∠=,且12PF F ∆的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点,12A A 、别离是椭圆的左、右极点,直线12MA MA ，与直线x =,E F 两点,试证：以EF 为直径的圆交轴于定点,并求该定点的坐标. 【答案】（1）22194x y +=；（2）证明观点析,1,0⎫+⎪⎪⎝⎭或1,0⎫-⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）因为21tan 2PF F ∠=,因此21sin 5PF F∠=,21cos 5PF F ∠=.由题意得((22221221255425225PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⎪⎩,解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩.从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=,结合2c =得24b =,故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A-,()23,0A ,设()00,M x y,那么直线1MA 的方程为()0033y y x x =++, 它与直线x =003232y E x⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,直线2MA 的方程为()0033y y x x =--,它与直线2x =的交点的坐标为0033y F x ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭,再设以EF 为直径的圆交轴于点(),0Q m ,那么QE QF ⊥,从而1QE QF k k =-,即033y x ⎫+⎪+0 0331 35y x⎫-⎪-⎝=--,即222949ymx⎫=⎪⎪-⎝⎭,解得1m=.故以EF为直径的圆交轴于定点,该定点的坐标为1,0⎫+⎪⎪⎝⎭或1,0⎫⎪⎪⎝⎭.8．【2017届广西陆川县中学高三上学期二模】已知椭圆D：()222101yx bb+=<<的左核心为F,其左、右极点为A、C ,椭圆与y轴正半轴的交点为B,FBC的外接圆的圆心(),P m n在直线x y+=上.（I）求椭圆D的方程；（II ）已知直线：x=N是椭圆D上的动点,NM l⊥,垂足为M,是不是存在点N,使得FMN为等腰三角形？假设存在,求出点N的坐标,假设不存在,请说明理由.【答案】(I)2221x y+=；(II)N36⎛-±⎝⎭或0,2⎛⎫±⎪⎪⎝⎭.【解析】（I）由题意知,圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,设F的坐标为()(),00c c->,则FC的垂直平分线方程为12cx-=…①因为BC的中点坐标为1,22b⎛⎫⎪⎝⎭,BC的斜率为b-因此BC的垂直平分线的方程为1122by xb⎛⎫-=-⎪⎝⎭…②联立①②解得:12cx-=,22b cyb-=即12cm-=,22b cnb-=因为(),P m n 在直线0x y +=上,因此21022c b cb--+=………（4分） 即()()10b b c +-= 因为()10b +>,因此b c =再由221b c =-求得2212b c ==因此椭圆D 的方程为2221x y +=………（7分）9．【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考四】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右核心为)0,1(2F ,点)3102,2(H 在椭圆上. （1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222b y x =+上,且M 在第一象限,过M 作222b y x =+的切线交椭圆于Q P ,两点,问：Q PF 2∆的周长是不是为定值？假设是,求出定值；假设不是,说明理由.【答案】（1）18922=+y x ；（2）．【解析】（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+==-19404122222b ac b a ,∴⎪⎩⎪⎨⎧==9922b a ,∴椭圆的方程为18922=+y x . （2）由题意,设PQ 的方程为)0,0(><+=m k m kx y ,∵PQ 与圆822=+y x 相切,∴221||2=+k m ,即2122k m +=,⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x mkx y 得072918)98(222=-+++m kmx x k , 设),(),,(2211y x Q y x P ,那么222122198729,9818k m x x k km x x +-=+-=+,∴222222212212212986987294)9818(14)(1||1||k km k m k km kx x x x kx x k PQ +-=+--+-+=-++=-+=又212121212122)9(91)91(8)1()1(||-=-+-=+-=x x x y x PF ,∴112313)9(31||x x PF -=-=,同理222313)9(31||x x QF -=-=,∴22129866)(316||||k kmx x QF PF ++=+-=+, ∴69869866||||||222=+-++=++k kmk km PQ QF PF （定值）.10．【2017山东菏泽一中宏志部月考三】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为2,左、右极点别离为B A ,,P 是椭圆上一点,记直线PB PA ,的斜率为21,k k ,且有2121-=k k . （1）求椭圆C 的方程；（2）假设直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于N M ,两点,以N M ,为直径的圆通过原点,且线段MN 的垂直平分线在y 轴上的截距为21-,求直线的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =+．（2）设()()1122,,M x y N x y 、,MN 的中点为()00,Q x y ,联立2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩取得()222124220k x kmx m +++-=,()22221621021k m m k ∆=-+>⇒<+ ①122412km x x k +=-+,21222212m x x k-=+,12022212x x km x k +==-+,00212my kx m k =+=+ ② 因为以MN 为直径的圆通过原点,因此0OM ON =,12120x x y y +=,()()12120x x kx m kx m +++=,()()22121210k x xkm x x m++++=,()()2222222122401212k m k m m k k+--+=++, 化简得22322m k =+ ③将②式代入取得223121m k -=+代入①式取得212m >, 由于线段MN 的垂直平分线通过点1(0,)2-,00112y x k+∴=-,将②代入取得2122k m += ④联立③④得13m =-或1,因为212m >,因此1m =,22k =±. 因此直线的方程为212y x =±+. 11．【2016-2017学年河北枣强中学高二12月月考】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,过(2,2)M 、(6,1)N 两点,O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）假设直线4(0)y kx k =+>与圆2283x y +=相切,而且与椭圆E 相交于两点A 、B ,求证：OA OB ⊥．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明观点析．（2）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由题意得2261d k ==+, 因此5k =联立直线与椭圆方程得211240x ++=,有12x x +=122411x x =,因此121212126)160x x y y x x x x +=+++=,因此OA OB ⊥．12．【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三12月月考】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率2e =,过椭圆的左核心F 且倾斜角为30°的直线与圆222x y b +=相交所得弦的长度为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）假设动直线交椭圆E 于不同两点()()2211,,,y x N y x M ,设()()1122,,,OP bx ay OQ bx ay ==,O 为坐标原点.当以线段PQ 为直径的圆恰好于点O 时,求证：MON ∆的面积为定值,并求出该定值.【答案】(I)2214x y +=；(II)证明观点析,. 【解析】（Ⅰ）由题意知23=e 得23=a c ,即c a 23=. ① 因为直线过左核心()0,c F -且倾斜角为30°可得直线方程为()c x y +=33又因为直线()c x y +=33与圆222b y x =+相交弦长为1, 因此圆心到直线距离2323933c c c d ==+=, 再由勾股定理得：41422=-c b ②由①②联立222222144cc b a b c=⎪-=⎨⎪⎪=+⎩可知222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆方程为2214x y += （Ⅱ）（ⅰ）当直线MN 的斜率不存在时,2121,y y x x -==,因为以线段PQ 为直径的圆过原点,因此OP OQ ⊥,即0OP OQ ⋅=,因此22121212120,40b x x a y y x x y y +=+=, 即221140x y -=,③又因为点()11,M x y 在椭圆上,因此221114x y +=,④把③代入④得：2112,x y ==,因此11211122OMN S x y y ∆=-==. （ⅱ）当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y kx t =+,()2222214844014y kx tk x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩, 因为交于不同两点,因此0∆>,()()22226414440k t k t ∆=-4+->,即22410k t ∆=-+>,由韦达定理得：2121222844,1414kt t x x x x k k --+==++,由题意知0OP OQ ⋅=即121240x x y y +=,又1122,y kx t y kx t =+=+,因此()2212121240x x k x x kt x x t ⎡⎤+⋅+++=⎣⎦,∴()()22121214440k x x kt x x t ++++=,代入整理得22214t k =+.⑤又()22121214MN kx x x x =++-22222844141414kt t k k k --⎛⎫=+-⋅ ⎪++⎝⎭2222414114k t k k+-=+⋅+ 点O 到直线y kx t =+的距离21kt d +=,因此2222211414122141MONt k t S d MN k kk ∆+-=⨯=⨯⨯+⋅++ 2221414214k t t k+-=⨯+,⑥ 将⑤代入⑥得241122MON t S t t∆=⨯=, 13.如下图,已知A 、B 、C 是长轴长为的椭圆E 上的三点,点A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆中心O ,且0AC BC ⋅=,2BC AC =．（1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是不是存点Q ,使得222QB QA -=？假设存在,有几个（没必要求出Q 点的坐标）,假设不存在,请说明理由；（3）过椭圆E 上异于其极点的任一点P ,作圆224:3O x y +=的两条线,切点别离为M 、N ,假设直线MN 在轴、y 轴上的截距别离为m 、,证明：22113m n +为定值. 【解析】（1）依题意知：椭圆的长半轴长2a =,那么()2,0A ,设椭圆E 的方程为22214x y b+=,由椭圆的对称性知OC OB = 又0AC BC ⋅=,2BC AC =,AC BC ∴⊥,OC AC =,AOC ∴∆为等腰直角三角形,∴点C 的坐标为()1,1,点B 的坐标为()1,1--,将C 的坐标()1,1代入椭圆方程得243b =, ∴所求的椭圆E 的方程为223144x y +=. （2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ,使得222QB QA -=,设()00,Q x y ,那么()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=,即点Q 在直线320x y +-=上,∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点,直线320x y +-=过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭,而点椭圆2,03⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部, ∴知足条件的点Q 存在,且有两个；解法二：设在椭圆E 上存在点Q ,使得222QB QA -=,设()00,Q x y ,那么()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=,即00320x y +-=,①又点Q 在椭圆E 上,2200340x y ∴+-=,②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=,③方程③的根判别式8156250∆=-=>,∴方程③有两个不相等的实数根,即知足条件的点Q 存在,且有两个；（3）解法一：设点()11,P x y ,由M 、N 是圆O 的切点知,OM MP ⊥,ON NP ⊥,O ∴、M 、P 、N 四点在同一圆上,且圆的直径为OP ,那么圆心为11,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭, 其方程为22221111224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即22110x y x x y y +--=,④即点M 、N 知足方程④,又点M 、N 都在圆O 上,M ∴、N 坐标也知足圆O 的方程2243x y +=,⑤ ⑤④得直线MN 的方程为1143x x y y +=, 令0y =,得143m x =,令0x =得143n y =, 143x m ∴=,143y n =,又点P 在椭圆E 上,22443433m n ⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2211334m n +=（定值）；14 【2021山东高考理20】平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心,左、右核心别离是12F F ，. 以1F 为圆心以为半径的圆与以2F 为圆心以为半径 的圆相交,且交点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） 设椭圆2222:144x y E a b+=,P 为椭圆C 上任意一点. 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E于A B ，两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值.【解析】（1）由题意知24a =,那么2a =．又2c a =,222a c b -=,可得1b =, 因此椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由（1）知椭圆E 的方程为221164x y +=． （ⅰ）设()00,P x y ,OQOPλ=,由题意知()00,Q x y λλ--．因为2214x y +=,又()()22001164x y λλ--+=,即222144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因此2λ=,即2OQ OP =． （ⅱ）设()11,A x y ,()22,B x y ．将y kx m =+代入椭圆E 的方程,可得()2221484160k x kmx m +++-=,由0∆>,可得22416m k <+ ①那么有122814km x x k +=-+,212241614m x x k -=+,因此12x x -= 因为直线y kx m =+与y 轴的交点坐标为()0,m ,因此AOB △的面积1212S m x x =-===． 设2214m t k=+．将y kx m =+代入椭圆C 的方程, 可得()222148440k x kmx m +++-=, 由0∆,可得 2214m k + ②由①②可知01t <,因此S ==故23S ,当且仅当1t =,即2214m k=+时取得最大值由（ⅰ）知,ABQ △面积为3S ,因此ABQ △面积的最大值为。

第03讲中考压轴题-圆的综合考点梳理一．近5年中考双压轴之圆的综合考点归纳二．题型概述几何综合题是中考必考固定题型，考察知识点多，条件隐秘，要求学生有较强的理解能力，分析问题和解决问题的能力，对数学知识，数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。

它常用相似图形与圆的知识为考察重点，并贯彻其他几何，代数，三角函数等知识，多以证明，计算等题型出现。

三．解题策略1.要点：解几何综合题应注意观察，分析图形，把复杂的图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形，掌握常规的证题方法和思路，运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题（还要灵活运用数学思想方法，数行结合，分类讨论）2.一般策略：①认真分析题意，从已知条件出发逐步推理分析到结论的演绎推理法；②也可由结论逆向分析获得问题突破的逆向分析法；③还可以是双向的综合分析策略。

年份知识点2015考察圆切线的性质求边长，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识2016考察圆的切线证明，翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，，相似三角形的判定与性质．2017考察圆垂径定理求半径、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识2018考察圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质2019考察圆的切线证明，三角函数，相似三角形，二次函数最值问题3.中考试题中与圆有关的证明及计算，都与圆的切线有关，属于中档题，只要熟悉切线的性质与判定，特别是掌握如何判定切线很重要，需要指出的是，与圆有关的证明题，往往是以圆为载体，考查时往往还涉及特殊三角形的识别或构造，这些识别策略，构造策略靠的是对圆中常用的辅助线的熟悉，比如连半径，作垂直于弦的垂线段等，根据具体情况来决定。

感悟实践1、（2015年深圳中考第22题）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．2、（2016年深圳中考第22题）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．3、（2017年深圳中考第22题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．上的动点，且cos∠4、（2018年深圳中考第22题）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为 晦ABC（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．5、（2019年深圳中考第22题）闯关练习1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．2．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P 从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．3．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．4．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．5．己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．考场直播1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．2．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．能力平台1．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．2．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．3．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D 两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．5．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．6.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．7.如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．8.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．21。

专题三：圆与函数例1、（2011•潍坊）如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m ＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．例2、（2011•德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．及时练习1、（2011•湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x2、（2011•襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．。

专题三 压轴解答题第四关 以解析几何中与圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在15年高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想. 类型一 以圆的切线为背景的相关问题典例1（2019·山东省实验中学高考模拟（文））已知椭圆()2222:10x y O a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若△PAB 面积的最大值为23，椭圆O 的离心率为12． (1)求椭圆O 的标准方程；(2)过B 点作圆E ：()()2222,02x y r r +-=<<的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D(异于点B)，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【名师指点】圆的切线的应用，往往从两个方面进行考查，一是设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解；二是结合切线长定理与勾股定理求解． 【举一反三】【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．（Ⅰ）若点为，求直线的方程； （Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．类型二 与圆有关的面积问题典例2 （2019·山东高考模拟（理））已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率为12，过椭圆1C 的左焦点1F ，且斜率为1的直线l ，与以右焦点2F 为圆心，半径为2的圆2C 相切.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦，且22MF F N λ=，求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，以及弦长公式等，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．【举一反三】设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围． 类型三 圆与其他圆锥曲线的结合问题典例3【山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟】抛物线的焦点为F ，圆，点为抛物线上一动点.已知当的面积为.（I ）求抛物线方程； （II ）若，过P 做圆C 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求面积的最小值，并求出此时P点坐标.【名师指点】圆与圆锥曲线的交汇问题以公共点为基点,派生出弦长问题、中点问题、垂直问题、切线问题、恒过定点问题、定长问题等等,应对不同的题目,会采用不同的方式方法,但总体上仍以设而不求的处理策略为主.常规的策略是数形结合,将数反映的形画出来,结合图形解决问题．【举一反三】（2019·山东高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆120+=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【精选名校模拟】1．（2019·山东新泰市第一中学高三月考（文））已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为圆22:40M x y x +-=的圆心，直线l 与抛物线C 的准线和y 轴分别交于点P 、Q ，且P 、Q 的纵坐标分别为13t t-、()2,0t t R t ∈≠． （1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线l 恒与圆M 相切．2．（2020·山东高三期末）设中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 过点12A ⎫⎪⎭，F 为C 的右焦点，⊙F的方程为221104x y +-+= （1）求C 的方程；（2）若直线:(l y k x =(0)k >与⊙O 相切，与⊙F 交于M 、N 两点，与C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限，记⊙O 的面积为()S k ，求(||||)()NQ MP S k -⋅取最大值时，直线l 的方程. 3．（2020·山东高三期末）在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMGSHNSS=，求直线MN 的方程.4．（2020·山东高三期末）已知椭圆E :()222210y x a b a b+=>>的一个焦点为()0,3,长轴与短轴的比为2:1.直线l y kx m =+：与椭圆E 交于P ､Q 两点,其中k 为直线l 的斜率. (1)求椭圆E 的方程;(2)若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,问:是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值,定圆O 恒与直线l 相切?如果存在,求出圆O 的方程及实数m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.5．（2012·山东高三月考（理））如图，椭圆G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F ：x 2+y 2﹣2x ＝0的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点．已知椭圆G 与直线l ：x ﹣my ﹣1＝0相交于A 、B 两点． （I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求△AOB 面积的最大值．6．（2019·山东高三月考）已知椭圆L ：()222210x y a b a b +=>>32.（1）求椭圆L 的标准方程；（2）过点()0,2Q 的直线l 与椭圆L 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及AB 的大小.7．（2019·济南市历城第二中学高二月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，圆Q （x ﹣2）2+（y 2）2=2的圆心Q 在椭圆C 上，点P （02）到椭圆C 6 ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线l 1 .l 2 ， 且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．8.【河北省邢台市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆2222:1(0)y x W a b a b +=>>的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，与直线OA（O 为坐标原点）垂直的直线l 与W 交于,M N 两点，且l 与圆222:C x y R +=相切．（1）求W 的方程； （2）若2030MN =，求圆C 的方程． 9．【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，过，分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为，，为准线上一点. （1）若，求的值； （2）若点为线段的中点，设以线段为直径的圆为圆，判断点与圆的位置关系.10．在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,以O 为圆心的圆与直线x-y-4=0相切.（1）求圆O 的方程;（2）直线l:y=kx+3与圆O 交于A,B 两点,在圆O 上是否存在一点M,使得四边形OAMB 为菱形,若存在,求出此时直线l 的斜率;若不存在,说明理由.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为45︒的直线与抛物线C 相交于,P Q 两点，且线段PQ 被直线2y =平分.（1）求p的值；，求以A为圆心且与PQ相切的圆的标准方程. （2）直线l是抛物线C的切线，A为切点，且l PQ12．【山东省新泰市第一中学2019届高三上学期第二次质量检测】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心，直线与抛物线的准线和轴分别交于点、，且、的纵坐标分别为、．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与圆相切．13. 【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】设椭圆（）的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与直线相切，若直线与椭圆交于两点，坐标原点为. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，求椭圆的方程．14．【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知椭圆的离心率，左顶点到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：到直线的距离为定值. 15．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期末考试】在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为.（1）求的方程；（2）试问在上是否存在两点关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.。

综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。

二次函数压轴题（与圆综合问题）【典例分析】例1 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C 三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；①求此抛物线的函数解析式；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．思路点拨（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b 取何值，点D的坐标均不改变．满分解答（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴42064804a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得14324abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩．学#科网∴抛物线的解析式为y=14x2-32x-4；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．∴D（0，4）．设直线BD的解析式为y=mx+n．∵B（8，0），D（0，4），∴804m nn+=⎧⎨=⎩，学&科网解得124mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，则C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，∴OA•OB=-x1•x2=-（-4）=4．考点：圆的综合题例2已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB 于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．思路点拨(1)用待定系数法求解;(2) 假设存在，分两种情况讨论(3)根据面积公式,列出二次函数,求函数的最值.满分解答（1）将A(3,0),B(4,1)代人得∴∴∴C(0,3) 学科@网②当∠ABP=90O时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P. ∵A(3,0),C(0,3)∴直线AC的函数关系式为将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.则直线BP的函数关系式为由,得又B(4,1),∴P2(-1,6).综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).(3)∵∠OAE=∠OAF=45O,而∠OEF=∠OAF=45O, ∠OFE=∠OAE=45O,∴∠OEF=∠OFE=45O,∴OE=OF,∠EOF=90O∵点E在线段AC上,∴设E∴=∴===∴当时,取最小值,此时,∴例3如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；(2)求sin∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．思路点拨（1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．依据垂径定理可知AE=3，然后依据切线的性质可知CD⊥y轴，然后可证明四边形OCDE为矩形，则DE=4，然后依据勾股定理可求得AD的长，故此可求得⊙D的半径和点D的坐标；学科.网（2）先求得A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入可求得a 的值．根据三角形面积公式得：S△ABC=BC×AC sin∠ACB=AB×CO，代入计算即可；（3）求得抛物线的顶点F的坐标，然后求得DF和AF的长，依据勾股定理的逆定理可证明△DAF为直角三角形，则∠DAF=90°，故此AF是⊙D的切线．满分解答（2）如图1所示：∵D（5，4），∴E（5，0），∴A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入得：16a=4，解得：a，∴抛物线的解析式为y x 2x +4．∵S △ABC =BC ×AC sin ∠ACB =AB ×CO ，∴sin ∠ACB ==．例4如图，已知二次函数()22y x m 4m =--（m ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点．（1）写出A 、B 两点的坐标（坐标用m 表示）；（2）若二次函数图象的顶点P 在以AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以AB 为直径的⊙M 与y 轴交于C 、D 两点，求CD 的长． 思路点拨（1）解关于x 的一元二次方程()22x m 4m 0--=，求出x 的值，即可得到A 、B 两点的坐标。

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17函数与圆综合问题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F 在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．6．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC ⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．。

抛物线圆常用考点公式抛物线和圆是数学中非常重要且常见的图形，其相关公式是学习和理解这些图形的基础。

本文将详细介绍抛物线和圆的常用考点公式，包括它们的定义、性质和相关定理。

一、抛物线抛物线是指平面上点到定点的距离等于点到直线的距离的轨迹。

距离定点距离的一根直线称为准线，准线上的一点称为焦点。

抛物线的定义方程是：y = ax² + bx + c (a ≠ 0)其中a、b、c是常数。

1.抛物线的标准方程通过平移和旋转可将抛物线的一般方程转换为标准方程。

一般来说，抛物线的标准方程可以表示为：y = 4ax (a ≠ 0)其中a是常数。

2.抛物线的焦点、顶点和准线在抛物线上，有几个重要的点和直线：-焦点(F)：是抛物线上的一个固定点，满足焦点到抛物线上任意点的距离等于该点到抛物线的准线的距离。

-顶点(V)：抛物线的最高（或最低）点。

-准线：焦点(F)到对称轴的垂线。

3.抛物线的性质抛物线具有以下性质：-对称性：抛物线关于准线对称。

-单调性：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

-零点：抛物线与x轴交点的坐标为(x,0)。

- 判别式：对于一般方程y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac 可用来判断抛物线与x轴的交点个数和性质。

4.抛物线的定理抛物线的相关定理有：-焦距定理：焦点到顶点的距离等于焦点到准线的距离。

-焦半径定理：离焦点距离为r的两个点与焦点的连线与准线的夹角是相等的。

二、圆圆是指平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的点的轨迹。

该固定点称为圆心，固定长度称为半径。

圆的定义方程是：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(h,k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

1.圆的标准方程圆的标准方程可表示为：x²+y²=r²其中圆心位于原点(0,0)。

若圆心不在原点，则标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(h,k)是圆心的坐标。

拔高专题抛物线与圆的综合二、拔高精讲精练探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题例1: 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x 轴相交于A，B两点．（1）则点A，B，C的坐标分别是A（2，0），B（8，0），C （0，4）；（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=14（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴=3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8，∴A（2，0），B（8，0）；（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=14（x-5）2+k，得：k=-94，∴E（5，-94），∴DE=94，∴ME=MD+DE=4+94=254，EA2=32+（94）2=22516，∵MA2+EA2=52+22516=22516，ME2=225 16，∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，或（5，；理由如下：由勾股定理得：PB=PC时，点P 在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）；②当如图2所示：∵，∴P（5）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：∴P（5，；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5），或（5，．【变式训练】如图，已知抛物线y=-12（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N 的切线．（1）解：∵y=-12（x2-7x+6）=-12（x2-7x）-3=-12（x-72）2+258，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-12（x-72）2+258，顶点M的坐标是（72，258）；（2）解：∵y=-12（x2-7x+6），∴当y=0时，-12（x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．连接BC，则BC与对称轴x=72的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），∴603k bb⎨⎩+-⎧＝＝，解得231kb-⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线BC的解析式为：y=12x-3，令x=72，得y=12×7 2-3=-54，∴R点坐标为（72，-54）；（3）证明：设点P坐标为（x，-12x2+72x-3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（72，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为12AB=52，∴NP=52，即（x-72）2+（-12x2+72x-3）2=（52）2，化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x1=1（与A 重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（72，258），N（72，0），∴PM2=（2-72）2+（2-258）2=22564，PN2=（2-72）2+22=254=40064，MN2=（258）2=62564，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．。

初中数学试卷圆与抛物线共存的综合题1．28．（2010青海，28, 11分） 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l. （1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD △相似时，求出BF 的长 ．【分析】（1）设顶点式，把A 、C 代入求出（2）见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形（3）由相似得到对应线段成比例，从而求出BF 的长． 【答案】解：（1）设抛物线的解析式为2(6)y a x k =-+ ∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9）∴90369a k a k +=⎧⎨+=⎩解得：1,33a k ==- ∴21(6)33y x =-- （2）连接AE∵DE 是⊙A 的切线，∴∠AED=90°，AE=3∵直线l 是抛物线的对称轴，点A ，D 是抛物线与x 轴的交点 ∴AB=BD=3 ∴AD=6在Rt △ADE 中，222226327DE AD AE =-=-= ∴33DE = （3）当BF ⊥ED 时 ∵∠AED=∠BFD=90° ∠ADE=∠BDF ∴△AED ∽△BFD∴AE ADBF BD = 即363BF = ∴32BF =当FB ⊥AD 时∵∠AED=∠FBD=90° ∠ADE=∠FDB图10∴△AED ∽△FBD ∴AE EDBF BD=即33333BF ⨯== ∴BF 的长为32或3.【涉及知识点】抛物线、相似三角形、勾股定理、切线长定理2． （12分）一条抛物线2y x mx n =++经过点()03，与()43，．（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标； （2）现有一半径为1、圆心P 在抛物线上运动的动圆，当P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标；（3）P 能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线2y x mx n =++使P 与两坐标轴都相切（要说明平移方法）．2． 本小题满分12分（1）∵ 抛物线过()()04，3，，3两点，∴ 23443n m n =⎧⎨++=⎩，．········································································ 1分解得43m n =-⎧⎨=⎩，．·············································································· 2分∴ 抛物线的解析式是243y x x =-+，顶点坐标为()21-，． ························ 3分 （2）设点P 的坐标为00()x y ，， 当P 与y 轴相切时，有0||1x =，∴01x =±．······································· 5分 由01x =，得201430y =-+=；由01x =-，得20(1)4(1)38y =---+=．此时，点P 的坐标为()()121018P P -，，，． ······································ 6分 当P 与x 轴相切时，有0||1y =，∴ 01y =±． ································ 7分 由01y =，得200431x x -+=，解得022x =±； 由01y =-，得200431x x -+=-，解得02x =．此时，点P 的坐标为34(221)(221)P P -+，，，，5(21)P ，-． ·················· 9分 综上所述，圆心P 的坐标为：()()121018P P -，，，，34(221)(221)P P -+，，，，5(21)P ，-． 注：不写最后一步不扣分．（3） 由（2）知，不能． ······························································ 10分 设抛物线243y x x =-+上下平移后的解析式为2(2)1y x h =--+, 若P 能与两坐标轴都相切，则0||x =0||1y =,即x 0=y 0=1；或x 0=y 0=-1；或x 0=1，y 0=-1；或x 0=-1，y 0=1． ···················· 11分 取x 0=y 0=1，代入2(2)1y x h =--+，得h=1． ∴ 只需将243y x x =-+向上平移1个单位，就可使P 与两坐标轴都相切． (12)3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，O xy图153）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.3．（1）解：设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. ……………………………3分 (2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.∴223213AB =+=.设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=︒=∠. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BCOB AB =.∴62213CE -=.∴8213CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .可求出AC 的解析式为132y x =-+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………………………………10分4.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线x y 2=交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于点E 、F 两点，求劣弧EF 的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.AxyB OCD(第23题)4. （本小题满分12分）解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==3233463c b a . ∴抛物线的解析式为：32334632+-=x x y . …………………………3分 （2）易知抛物线的对称轴是4=x .把x =4代入y =2x 得y =8，∴点D 的坐标为（4,8）．∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ． 在Rt △MFD 中，FD =8，MD =4．∴cos ∠MDF =21． ∴∠MDF =60°，∴∠EDF =120°． …………………………6分∴劣弧EF 的长为：π=⨯π⨯3168180120． …………………………7分 （3）设直线AC 的解析式为y =kx +b . ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .∴⎩⎨⎧==+3202b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k .∴直线AC 的解析式为：323+-=x y . ………8分设点)0)(3233463,(2<+-m m m m P ，PG 交直线AC 于N ， 则点N 坐标为)323,(+-m m .∵GN PN S S GNA PNA ::=∆∆. ∴①若PN ︰GN =1︰2，则PG ︰GN =3︰2，PG =23GN . 即32334632+-m m =）（32323+-m . 解得：m 1=－3， m 2=2（舍去）. 当m =－3时，32334632+-m m =3215. ∴此时点P 的坐标为)3215,3(-. …………………………10分 ②若PN ︰GN =2︰1，则PG ︰GN =3︰1， PG =3GN . 即32334632+-m m =）（3233+-m .解得：121-=m ，22=m （舍去）.当121-=m 时，32334632+-m m =342. ∴此时点P 的坐标为)342,12(-.xy O ACB DEF PG NMA C BP O x y 5 －3－6综上所述，当点P坐标为)3215,3(-或)342,12(-时，△PGA 的面积被直线AC 分成1︰2两部分． …………………12分5．(12分)如图，已知点A (－3，0)和B (1，0)，直线y ＝kx －4经过点A 并且与y 轴交于点C ．(1)求点C 的坐标；(2)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式和对称轴； (3)半径为1个单位长度的动圆⊙P 的圆心P 始终 在抛物线的对称轴上．当点P 的纵坐标为5时，将 ⊙P 以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上 移动．那么，经过几秒，⊙P 与直线AC 开始有公共点？ 经过几秒后，⊙P 与直线AC 不再有公共点？6．（本题满分14分）如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由6．（1）由题意可知C （0，－3），12=-ab， ∴ 抛物线的解析式为y = ax 2－2ax －3（a ＞0）， 过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN = 1，5=CM ，∴ CN = 2，于是m =－1． 同理可求得B （3，0），∴ a ×32－2－2a ×3－3 = 0，得 a = 1， ∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3．（2）由（1）得 A （－1，0），E （1，－4），D （0，1）．∴ 在Rt △BCE 中，23=BC ，2=CE ，∴313==OD OB ，3223==CE BC ，∴CE BC OD OB =，即 CE OD BC OB =， ∴ Rt △BOD ∽Rt △BCE ，得 ∠CBE =∠OBD =β， 因此 sin （α－β）= sin （∠DBC －∠OBD ）= sin ∠OBC =22=BC CO ． （3）显然 Rt △COA ∽Rt △BCE ，此时点P 1（0，0）．过A 作AP 2⊥AC 交y 正半轴于P 2，由Rt △CAP 2 ∽Rt △BCE ，得)31,0(2P ． 过C 作CP 3⊥AC 交x 正半轴于P 3，由Rt △P 3CA ∽Rt △BCE ，得P 3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P 1（0，0），P 2（0，1∕3），P 3（9，0），使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCE 相似．7．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图7，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A （0，-3）为圆心， 5为半径作圆A ，交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于点D 、E 两点． （1）求点B 、C 、D 的坐标； （2）如果一个二次函数图像经过B 、C 、D 三点，O D xC.yB求这个二次函数解析式；（3）P 为x 轴正半轴上的一点，过点P 作与圆A 相离并且与 x 轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F ， 当⊿CPF 中一个内角的正切之为21时，求点P 的坐标． 7．解：（1）∵点A 的坐标为(0 ,3)-，线段5AD =，∴点D 的坐标(0 ,2)．－－－－(1分) 连结AC ，在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4． －－－－－(1分) ∴点C 的坐标为(4 ,0)；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分) 同理可得 点B 坐标为( 4 ,0)-．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) （2）设所求二次函数的解析式为2y ax bx c =++， 由于该二次函数的图像经过B 、C 、D 三点，则0164,0164,2,a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分） 解得 1 ,80 ,2,a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴所求的二次函数的解析式为2128y x =-+；－－－－－－－(1分)（3）设点P 坐标为( ,0)t ，由题意得5t >，－－－－－－－－－－－－－－－－(1分) 且点F 的坐标为21(,2)8t t -+，4PC t =-，2128PF t =-， ∵∠CPF =90°，∴当△CPF 中一个内角的正切值为12时， ①若12CP PF =时，即2411228t t -=-，解得 112t =， 24t =(舍)；－－－－－－－(1分) ②当12PF CP =时，2121842t t -=- 解得 10t =(舍)，24t =(舍)，－－－－－－－ (1分) 所以所求点P 的坐标为(12，0)．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分)8．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。