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一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性带有非局部项的Allen-Cahn方程是一类重要的非线性偏微分方程，研究它的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将介绍关于带非局部项的Allen-Cahn方程解存在性的一些主要研究工作和结果。
Allen-Cahn方程是一个经典的描述相分离现象的模型，它在物理、化学、材料学等领域中具有广泛的应用。
方程的基本形式为：ε²∆u-f(u)+λ∇W*u=0(1)其中，u(x)是未知函数，表示时间和空间变量，ε是小的正数，f(u)是一个给定的非线性函数，λ是常数，∆是拉普拉斯算子，W是一个权重核算子，*表示卷积操作。
带有非局部项的Allen-Cahn方程是在经典Allen-Cahn方程的基础上引入了非局部项的一个扩展。
非局部项代表了系统中物质的非局部相互作用，可以更好地描述物质的长程相互作用和相界面的形成过程。
关于带有非局部项的Allen-Cahn方程解的存在性的研究工作主要集中在两个方面，一个是存在性的充分条件，另一个是存在性的证明方法。
首先，对于存在性的充分条件，很多学者通过构造合适的能量函数，证明了一些条件下带有非局部项的Allen-Cahn方程存在解。
其中一个经典的充分条件是“能量估计”，也称为Ginzburg-Landau能量估计。
根据能量估计，当能量的衰减速度快于等于非局部项的增长速度时，方程存在解。
此外，还有学者通过研究方程的动力学行为，证明了带有非局部项的Allen-Cahn方程的解存在。
其次，关于存在性的证明方法，主要有两类。
一类是基于变分方法的证明方法，另一类是基于解的连续性的证明方法。
变分方法是一种广泛应用的证明方法，它通过构造适当的变分问题，证明了方程的解存在。
而基于解的连续性的证明方法则是先证明该方程的解存在于一定的函数空间中，然后通过限制序列的紧性，得到方程的解存在。
在具体的研究中，学者们从不同的角度出发，针对不同类型的非局部项，展开了许多具体的研究。
一类非线性抛物方程初值问题整体解的存在唯一性
侯长顺;代辉亚
【期刊名称】《河南教育学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(020)001
【摘要】利用压缩映射原理和解的延拓定理证明一类非线性抛物方程初值问题的整体广义解和整体古典解的存在唯一性.
【总页数】4页(P1-4)
【作者】侯长顺;代辉亚
【作者单位】河南工业大学,理学院,河南,郑州,450052;河南工业大学,人事处,河南,郑州,450052
【正文语种】中文
【中图分类】O157.2
【相关文献】
1.一类非线性抛物方程粘性解的存在唯一性及其在图像中的应用 [J], 季婕;许德良
2.一类二维奇异非线性抛物方程的弱解的存在唯一性 [J], 李联和;李德茂
3.一类非线性抛物方程的整体解和爆破解 [J], WU Jie;CUI Zejian
4.一类奇异半线性反应扩散方程初值问题整体解的存在唯一性及解的增长性 [J], 彭大衡; 王志成; 苏醒
5.一类奇异非线性抛物方程弱解的存在唯一性 [J], 李树华
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一类p-laplacian椭圆抛物型方程解的存在和唯一性本文将讨论一类p-laplacian椭圆抛物型方程的存在性和唯一性。
p-laplacian椭圆抛物型方程是一类形式为$u_{xx}+u_{yy}+p(x,y)u=f(x,y)$的非线性方程，其中$p(x,y)$是非负可积函数。
在定义域$\Omega$上，这个方程有可能有多个解，但我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解，即存在唯一性。
为了证明方程在$\Omega$上只有一个解，我们首先需要证明它在$\Omega$上存在解。
为此，我们可以使用拉普拉斯变换法，该方法把二阶偏微分方程转化为可以解决的线性方程组。
具体来说，我们可以把原方程的拉普拉斯变换后的形式写成：$$\int_{\Omega}\int_{\Omega} \hat{u}(x,y) (-\Delta+p(x,y))u(x,y)dxdy=\int_{\Omega}\int_{\Omega}\hat{f}(x, y)u(x,y)dxdy$$其中$\hat{u}$和$\hat{f}$分别是$u$和$f$的拉普拉斯变换。
由于$-\Delta+p(x,y)$是可积的，因此可以证明方程在$\Omega$上存在解。
接下来，我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解。
为此，我们可以采用变分法。
我们首先利用变分法将原方程转换成一个绝对最小值问题：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{xx}+u_{yy})+p(x,y)u-f(x,y)\right]^2dxdy$$设$u_1$和$u_2$是方程的两个解，则有：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]^2dxdy=\int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]^2dxdy$$又因为$u_1$和$u_2$是方程的两个解，所以有：$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]dxdy=\int_{\Omega}\left[(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]dxdy$$从而可以得到$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})-(u_{2xx}+u_{2yy})\right]dxdy=0$$这表明$u_1$和$u_2$在$\Omega$上的二阶偏微分是相等的，因此$u_1=u_2$，即方程在$\Omega$上只有一个解。
两类带非局部项的非线性抛物方程的理论分析非线性抛物方程是一类重要的非线性偏微分方程，广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
它们的解决具有重要的理论和实际意义。
在非线性抛物方程中，如果存在非局部项，即方程中的其中一项不仅依赖于该位置的解，还依赖于其他位置的解，那么问题会变得更为复杂。
本文将针对两类带非局部项的非线性抛物方程展开理论分析。
第一类带非局部项的非线性抛物方程是具有非线性时滞项的方程。
这类方程的特点是方程中的其中一项不仅依赖于当下时刻的解，还依赖于过去时刻的解。
具体形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + f(u) + g(u(t-\tau))$$其中，$u$是未知函数，$f$和$g$是非线性函数，$\Delta$是拉普拉斯算子，$\tau$是延迟时间。
这类方程描述了一些物理过程的时滞效应，比如生物体内的传感器反应时间等。
对于这类方程，理论分析的关键是研究方程的稳定性和解的存在性。
通过选择合适的函数空间和适当的变量变换，可以将方程转化为一个更为标准的抽象形式，然后利用相应的抽象理论进行分析。
第二类带非局部项的非线性抛物方程是具有非局部响应函数的方程。
这类方程的特点是方程中的其中一项不仅依赖于该位置的解，还依赖于其他位置的解。
具体形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + f(u) +\int_{\Omega} K(x, y)g(u(y)) dy$$其中，$K(x,y)$是非局部响应函数，描述了其他位置对该位置的影响。
这类方程可以描述一些具有长程相互作用的物理过程，比如热传导中的非局部效应。
对于这类方程，理论分析的关键是研究方程的解的存在性和唯一性，以及解的性质。
一种常用的方法是将方程转化为积分形式的方程，然后利用适当的函数空间和变分方法进行分析。
总结起来，带非局部项的非线性抛物方程具有一定的理论挑战，但也具有广泛的应用价值。
一类具L～1系数的非线性方程解的存在性本文讨论了一类具有L<sup>1</sup>系数的非线性方程初值问题解的存在性，它来源于薄层导体的电扩散现象。
考虑以下抛物型偏微分方程u（0，t）=u<sub>0</sub>（t），u（1，t）=u<sub>1</sub>（t），0≤t≤T，u（x，0）=φ（x），0≤x≤1，方程中的u（x）是有限正则的Borel测度，h（x，t）是依赖于薄膜导体的电机械特征的给定函数。
由于u（x）是测度函数，所以在偏微分方程经典理论的应用上遇到了一些困难。
本文通过解决具有L<sup>1</sup>系数f（x），g（x）的非线性常微分方程（A（u（x）））″=f（x）（u（x））′+g（x），u（0）=u<sub>0</sub>，u′（0）=u<sub>1</sub>，解的存在性得到了系列比较函数以及解对L<sup>1</sup>函数f（x），g（x）的依赖关系。
之后经过系列先验估计，最终得到了抛物问题解的存在性。
两类非局部问题解的存在性研究两类非局部问题解的存在性研究摘要：非局部问题是数学领域中一个重要的研究方向，在现代科学和工程领域中有广泛的应用。
本文主要研究了两类非局部问题解的存在性。
通过分析和证明，我们得到了两类非局部问题解存在的充分条件，并给出了相应的数值例子进行验证。
一、引言非局部问题存在于各种科学和工程中。
所谓非局部，即问题中的影响不仅限于局部区域，而是同时涉及到整个问题域。
这种影响可以通过非局部算子来描述，例如积分、微分算子等。
非局部问题的研究可以帮助我们更好地理解现实世界中的复杂现象，并为解决实际问题提供有力的工具。
本文主要研究了两类非局部问题解的存在性。
通过分析和证明，我们将提出两类非局部问题解存在的充分条件，并通过数值例子进行验证。
二、第一类非局部问题解的存在性研究考虑以下非局部问题：$$\begin{cases} -\Delta u = f(x) + h(u) & \text{in} \ \Omega \\ u = 0 & \text{on} \ \partial\Omega\end{cases}$$其中，$\Omega$为区域，$f$和$h$为已知函数。
我们需要研究方程的解$u$是否存在。
为了研究解的存在性，我们引入逐步逼近的方法。
首先，我们考虑以下抽象问题：$$\begin{cases} -\Delta u = f(x) & \text{in} \ \Omega \\ u = 0 & \text{on} \ \partial\Omega \end{cases}$$这是一个经典的局部问题，我们可以通过分析得到其解的存在性。
假设存在一个解$u_0$。
然后，我们通过不断逼近来构造非局部问题的解。
具体地，我们定义逼近序列$\{u_n\}_{n\geq0}$，满足：$$\begin{cases} -\Delta u_n = f(x) + h(u_{n-1}) &\text{in} \ \Omega \\ u_n = 0 & \text{on} \\partial\Omega \end{cases}$$其中，$u_{n-1}$是上一步的逼近解。
一类非局部Cahn-Hilliard方程弱解的存在唯一性李振邦【摘要】研究一类对流非局部Cahn-Hilliard方程的Neumann问题.通过一致Schauder估计和Leray-Schauder不动点定理,得到了该问题经典解的存在唯一性.进而,利用弱收敛方法得到了该问题弱解的存在唯一性.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2019(035)001【总页数】19页(P15-33)【关键词】对流非局部Cahn-Hilliard方程;Leray-Schauder不动点定理;弱解的存在性;唯一性【作者】李振邦【作者单位】西安工业大学理学院,陕西西安 710021;西北大学数学学院,陕西西安 710127【正文语种】中文【中图分类】O177.21 引言研究如下的Neumann问题:其中,Ω⊂Rn是一个光滑的有界域,u是未知函数,β∈Rn是一个常向量,m(x,t)是一个已知的具有严格正的上下界的光滑函数是一个已知的光滑函数并且满足J(x)=J(−x),J的积分是严格正的.方程(1)可以用来描述许多物理现象,包括在外域上相位分离系统中的合金分离,晶体表面上的非稳定步长移动,晶体生长中面角的形成等[1-4],其中,u(x,t)表示分界面的斜率.光滑函数m(x,t)表示扩散迁移率[5-7].对流项β·∇B(u)来源于具有独立参数的动能,刻画了一种亚稳动力系统中的外部动能[8-9].当驱动系数β→0时,方程(1)形式上成为通常的非局部Cahn-Hilliard方程[10-12].势函数H(u)+f(u)是如下的非局部能量泛函的一阶变分[10-14]:此时,得到如下的非局部形式的势函数:方程(1)有一个基本的守恒量在过去的几十年里,有许多文章是研究经典的具有对流项的Cahn-Hilliard方程的[9,13-16],而对于非局部方程(1),研究成果比较少[5,8].在文献[3]中,作者研究了一类非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统.对于对流非局部Cahn-Hilliard方程,他们得到了三维情形下方程的整体吸引子的存在性结果.近些年来,P.W.Bates和J.Han考虑了一类不具有对流项的非局部Cahn-Hilliard 方程[2-3].一方面,研究了在Dirichelet边界条件下,该模型经典解的存在性,唯一性以及对初值的依赖连续;进一步,证明了该系统存在整体吸引子;另一方面,证明了该方程在Neumann边界条件下弱解的存在唯一性.其他关于非局部问题的结果见文献[10-12,17-18].本文主要考虑具有非线性对流项的非局部 Cahn-Hilliard方程的 Neumann问题(1),其主要困难来源于非局部项和非线性对流项,并且该模型没有能量泛函,很难应用比较原理来研究该模型.为了克服这些困难,应用特殊的迭代技巧[10,19]来得到一些先验估计,而后应用Leray-Schauder不动点定理证明经典解的存在性;进一步,利用弱收敛方法得到其弱解的存在唯一性.本文第二节得到了问题(1)的光滑解的一些先验估计,而后证明经典解的存在性,唯一性以及对初值的连续依赖性.第三节给出了弱解的存在唯一性证明.2 经典解的存在唯一性将方程(1)改写成如下等价的抛物型方程形式:其中本文假设以下条件成立:成立.(A4)∂Ω属于经典的C2+α空间.由条件(A2)可知,存在两个正常数c3和c4,使得首先得到问题(4)的一个先验估计.定理 2.1 假设(A1)-(A4)成立.如果是问题(1)的一个解,则其中正常数只依赖于为了证明上述定理,需要下面这个引理.引理 2.1 假设(A1)-(A4)成立.如果是问题(1)的一个解,则证明在方程(1)左右两边同时乘以u并在Ω上积分,有估算上述等式的右端各项,根据 Hlder不等式,Young不等式,条件 (A1)和条件 (A3),得到和联立(10)式 -(13)式,利用条件(A2)可得应用Gronwall不等式,得到(7)式-(9)式,引理 2.1得证.接下来,证明定理2.1.定理 2.1的证明对p>1,在方程(1)左右两边同时乘以u|u|p−1并且在Ω上积分,分部积分后,利用方程中的边界条件,得到因为和根据条件(A2)和(A3),有联立(15)式-(20)式后立即可得对·∇udx,当p+2q≥ 2r+1 时,利用 Hlder不等式和 Young 不等式和条件(A2),有以下估计而当p+2q<2r+1时,有其中类似地,利用Hlder不等式,Young不等式,条件(A2)-条件(A3)和(7)式,得到和令ε1=m1c2,.从不等式(21)和估计(22)式-(25)式,导出或者从而由条件(A2),有对Gagliardo-Nirenberg不等式,其中α∈(0,1)满足等式此时,令利用Young不等式,得到在 (28)式中令p=µk,把 (31)式代入(28)式,得到取时,有其中而在(31)式中取ε=1时,结合(33)式,可得其中C4(k)=C2(k)+C3.由上述不等式,利用Gronwall不等式,有其中θ(k)=C3(1+µk)β,,并且M0=supx∈Ω|u0|.不等式 (35)说明因为 ,所以有和从而,由(36)式-(38)式及引理2.1,得到其中与 k无关.在 (39)式中令k→ ∞,有∀t∈[0,T]从而由此,根据,得到(6)式,从而定理2.1证毕.有了定理2.1,对进一步的估计,容易证明下面的定理2.2.定理 2.2 对方程任意的解满足条件,有以下结论其中常数K1,K2只与有关,Hlder 模定理2.2的证明类似于文献[20]第五章中定理7.2的证明,这里不再详细证明.为了得到问题(4)经典解的存在性,需要让初值满足相容的边界条件.所以假设并且u0(x)满足如下相容性条件:在方程(4)中,令v(x,t)=u(x,t)−u0(x),得到等价问题其中和因为(43)式说明,所以兼容性条件也满足问题(44).定义和其中c1和m1是条件(A2)和(A3)中的常数.考虑如下问题:引理 2.2 如果是问题(45)的一个解,那么其中k与λ无关.证明因为λ˜a(x,t,v,u0)+(1−λ)c1m1≥ λc1m1+(1−λ)c1m1>0,所以问题 (45)中的各项也满足条件(A1)-(A4)并且不等式(46)由定理2.1直接得到.因此,我们也可以从引理2.2和定理2.2得到:引理 2.3 如果是问题(45)的一个解,那么其中常数K1,K2与δ和λ无关.接下来,需要文献[20]中如下的Leray-Schauder不动点定理:定理 2.3(Leray-Schauder不动点定理)考虑如下变换y=T(x,λ),其中 x,y属于Banach空间X并且0≤λ≤1.假设:(a)对任何已定λ,T(·,λ)在 X 上是连续的.(b)对有界集 X 中的x,当λ属于[0,1]时,T(x,λ)是一致连续的.(c)对任何已定λ,T(·,λ)几乎处处是紧映射,它把有界集X 映到准紧集X.(d)存在一个常数K,使得当λ∈[0,1]时,方程x−T(x,λ)=0的每一个解x满足:.(e)方程x−T(x,0)=0有唯一的解属于X.那么方程x−T(x,1)=0有解.定义 Banach空间 :v(x,0)=0},其中 Hlder 范数空间为通常意义下.对任意函数ω ∈X 满足条件maxQT|ω|≤M 和 maxQT|∇ω|≤M1,考虑如下线性问题:容易证明问题 (59)存在唯一解定义引理 2.4 当ω属于有界集X 时,T(ω,λ)在λ上是一致连续的.证明令ω ∈ X 满足并且令v1=T(ω,λ1),v2=T(ω,λ2),v=v1−v2,有其中和易知|ω|X≤M和成立,再由方程(59)可知其中常数N 与λ2无关.所以,其中N1和N2与λ2无关.易知其中λ∈[0,1].根据线性抛物方程理论,当|λ1−λ2|→0时,问题(49)的解也会趋近于0. 可以用相似的方法得到在X 中,已知的λ,T(x,λ)是连续的.因为是紧的,所以得到T(ω,λ)是一个紧映射.由以上结论,引理2.2-引理2.4和Leray-Schauder不动点定理可得方程(44)解的存在性,并且可得出定理 2.4 令γ>0.满足边界条件(43),那么问题(4)存在唯一一个解 ,并且解对初值具有连续依赖性.关于唯一性及对初值的连续依赖性,有如下定理.定理 2.5 如果u1(x,t)和u2(x,t)是相对应于问题(4)初值u10(x)和u20(x)的两个解,则其中C只与时间T有关.证明任意的满足在∂Ω ×(0,τ)上成立,有其中g(x,ui)=a(x)ui+f(ui).然后其中r(x,t)=|u1|q−|u2|q,并且已知gu(x,u∗)>0,令ξ是如下线性抛物问题的解其中,y∈[0,1]并且γ>0是一个常数.由比较原理,得到所以,由方程(52)有通过条件 (A1),条件 (A3)和u∈L∞(Ω),得到把γ→0和y→sign(u1−u2)+代入不等式(55),得到适当交换u1和u2得到由Gronwall不等式和不等式(57)推导出这样,完成了定理2.4的证明.3 弱解的存在唯一性如果u0(x)∈L∞(Ω),考虑满足如下条件的弱解.定义 3.1设Ω⊆Rn是一个具有光滑边界的有界开区域,QT=Ω×[0,T].称函数u(x,t)是方程(1)的一个弱解,如果它满足如下三个条件:i)ii)在分布意义下,u(x,t)在QT中满足方程(1);iii)对于任意给定的ψ∈H1(Ω),对a.e.t∈[0,T],成立其中g(x,u)=a(x)u+f(u),并且定义函数空间B:=X在L2范数下的完备化.定理 3.1 假设条件(A1)-(A4)都成立并且u0∈L∞(Ω)∩B,那么方程 (1)存在唯一的一个弱解u.证明证明分为四步.第一步构造逼近解.由u0∈L∞(Ω)∩B 可知,存在函数列使得其中常数C与k无关.考虑具有光滑初始值的如下问题:由定理 2.4可知,方程 (62)存在经典解,并且其中常数与 k 无关.第二步一致有界估计.对方程(62)左右两边同时乘以u(k)并且在Ω上积分,得到注意到,以及根据 (64)式 -(67)式,有由 Gronwall不等式,得到其中正常数与 k 无关.通过(63)式,可知u(k)是一直有界的,再由(69)式-(70)式,有和另一方面,根据(71)式-(72)式以及方程(62),可以得到由 (69)式 -(73)式可知,存在的子列,为方便,仍记为,使得由(74)式,利用Aubin-Lions引理可知,在L2((0,T),L2(Ω))中u(k)强收敛于u.又因为,得到第三步 L2中的弱连续性.对所有的,因为在L2([0,T);H1(Ω)中 u(k)⇀u(k→ +∞),所以在L2([0,T)×Ω)中αu(k)⇀αu(k→+∞).由 (64)式,有其中由 (74)式 -(76)式,得到取满足 .∀t0>0,η >0,令,代入(78)式,得到取t0是下列可测函数任意的公共Lebesgue点:那么,有因此,由(79)式-(82)式,得到对任意给定的函数,由方程(62),有根据(77)式,可得令t→t0,得到u(t)是几乎处处从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数.∀t>0,若tn是一个时间序列使得(83)式对tn成立并且使得tn→t.得到并且由此及(85)式可知(83)式对所有的t>0成立,进而得到u(t)是从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数.第四步连续性:u∈C([0,T);L2(Ω)).由方程解的平移不变性,只需证明又由第三步结论:u(t)是从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数,故只需要验证事实上,一方面,由弱收敛性有另一方面,由(83)式有第一步至第四步说明u是方程(1)的一个弱解.唯一性由定理2.5可得.定理3.1证毕. 参考文献【相关文献】[1]Colli P,Frigeri S,Grasselli M.Global existence of weak solutions to a nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,386:428-444.[2]Frigeri S,Grasselli M.Krejčí P,Strong solutions for two-dimensional nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems[J].J.Differential Equations,2013,255:2587-2614.[3]Frigeri S,Grasselli M.Global and trajectories attractors for a nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system[J].J.Dynam.Differential Equations,2012,24:827-856.[4]Frigeri S,Grasselli M.Nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems with singular potentials[J].Dyn.Partial Differ.Equ.,2012,9:273-304.[5]Kwek K H.On the Cahn-Hilliard type equation[D].Atlanta:Georgia Institute of Technology,1991.[6]Liu C.On the convective Cahn-Hilliard equation with degeneratemobility[J].J.Math.Anal.Appl.,2008,344:123-144.[7]Zaks M A,Podolny A,Nepomnyashchy A A,et al.Periodic stationary patterns governed bya convective Cahn-Hilliard equation[J].Siam J.Appl.Math.,2005,66:700-720.[8]Cahn J W,Hilliard J E.Free energy of a nonuniform system I,interfacial freeenergy[J].J.Chen.Phys.,1958,28:258-267.[9]Golovin A A,Davis S H,Nepomnyashchy A A.A convective Cahn-Hilliard model for the formation of facets and corners in crystal growth[J].Phys.D.,1998,122:202-230.[10]Bates P W,Han J.The Dirichlet boundary problem for a nonlocal Cahn-Hilliard equation[J].J.Math.Anal.Appl.,2005,311:289-312.[11]Bates P W,Han J.The Neumann boundary problem for a nonlocal Cahn-Hilliard equation[J].J.Differential Equations,2005,212:235-277.[12]Han J.The cauchy problem and steady state solutions for a nonlocal Cahn-Hilliard equation[J].Electron.J.Differential Equations,2004,113:1-9.[13]Giacomin G,Lebowitz J L.Phase segregation dynamics in particle systems with long range interactions.I.Macroscopic limits[J].J.Stat.Phy.,1997,87:37-61.[14]Giacomin G,Lebowitz J L.Phase segregation dynamics in particle systems with long range interactions.II.Phase motion[J].SIAM J.Appl.Math.,1998,58:1707-1729.[15]Eden A,Kalantarov V K.The convective Cahn-Hilliardequation[J].Appl.Math.Lett.,2007,20:455-461.[16]Golovin A A,Nepomnyashchy A A,Davis S H,et al.Convective Cahn-Hilliard models:from coarsening to roughening[J].Phys.Rev.Lett.,2011,86(8):1550-1553. [17]Gajewski H,Zacharias K.On a nonlocal phase separationmodel[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,286:11-31.[18]Liu C,Li Z.Existence of solutions for a nonlocal epitaxial thin film growing equation[J].Arch.Math.,2012,99:157-168.[19]Alikakos N D.Lpbounds of solutions of reaction-diffusion equations[J].Comm.Partial Differential equations,1979,4(8):827-868.[20]Ladyzhenskaja O A,Solonikov V A,Uralceva N N.Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type[M].Providence:American Mathematical Society,1968.。
HUNAN UNIVERSITY毕业设计(论文)学院院长：蒋月评2012年 5 月 16 日一类变系数抛物方程解的存在性摘要本文我们主要研究一类变系数抛物方程,1((,))(,)i j nij t x x i j u a x t u c x t u f =-+=∑在有界区域T U 上初始值问题的弱解的存在性。
首先，利用Galerkin 逼近法构造有限维空间上的逼近解，然后利用能量估计方法证明了逼近解21([0,],())L T H U 及21(0,;())L T H U -上的一致有界性，并由此利用弱收敛性证明变系数二阶抛物方程初边值问题弱解的存在性。
全文共分3章。
第一章中，简单介绍了变系数抛物方程的研究背景，本文研究的主要问题以及得到的主要结果。
第二章中，简单介绍了本文所涉及的基本概念及相关定理。
第三章中，证明了该变系数抛物方程的解的存在性。
关键词：抛物方程；弱解；Galerkin 逼近；能量估计The existence of a class of parabolic equations with variable coefficientsAbstractIn this paper, we focus on the existence of solutions to an initial-boundary problem for a class of parabolic equations with variable coefficients. Firstly, by using Galerkin approximation,we will obtain the approximationsolution of the problem in the finite dionsion spaceone.Then the boundess in 21([0,],())L T H U and 21(0,;())L T H U was proved by using energy estimates method.Thus,the existence of wek solution of initial-boundary problem of the second-order parabolic equation with variable coefficients was proved . The paper includes 3 chapters. In chapter 1, we simply introduce some works on PDE and the blow-up solution, the main problem and results which we will study and the parabolic equation which will be used in this paper.In chapter 2, we simply present some concepts and related theorems, which will be used in the following sections of the paper.In chapter 3, proving the existence of weak solutions of the parabolic equation with variable coefficents.Key words:Parabolic equations;weak solutions;galerkin approximation; energy estimates.目录第一章 绪论1.1.研究背景1.2.本文研究的主要问题1.3.本文得出的主要结论第二章预备知识2.1. 基本概念2.2. 基本定理第三章抛物方程解的存在性3.1 逼近解的构造3.2 逼近解的能量估计3.3 弱解存在性的证明总结致谢参考文献第一章绪论1.1．研究背景在偏微分方程中，抛物方程是一类具有重要物理背景的偏微分方程，具有广泛的应用前景，已被广泛的应用到了当今工业和我们的日常生活之中。
