高三第一轮复习 等 比 数 列(PPT)4-2

必考部分第四章第2讲(本栏目内容在学生用书中以独立形式分册装订！)(40分钟100分)一、选择题(本题包括10小题，每小题4分，共40分)1．洁白的牙齿，人人都喜欢。

将漂白剂沾到牙套上，然后咬住牙套一段时间，可使牙齿变得洁白。

下列物质溶于水后所得溶液可作为牙齿漂白剂的是()A．Cl2B．HNO3C．Na2O2D．H2O2解析：Cl2有毒且易挥发，HNO3具有腐蚀性，Na2O2能与水剧烈反应且生成的氢氧化钠具有腐蚀性，A、B、C错误；H2O2具有漂白性且无毒、无腐蚀性，D项正确。

答案：D2．下列物质中只含有游离态氯元素的是()A．液氯B．氯水C．盐酸D．次氯酸解析：液氯中只有氯分子；氯水中有H2O、Cl2、HClO、H＋、Cl－、ClO－、OH－；盐酸中有H2O、H＋、OH－、Cl－；次氯酸为HClO，氯元素以化合态形式存在。

故只有A中只含游离态氯元素。

答案：A3．用经Cl2消毒的自来水配制下列溶液：①Na2SO3；②KI；③AlCl3；④FeCl2；⑤AgNO3；⑥稀盐酸，发现部分药品变质，它们是()A．①②④⑤B．①②③④C．①②④D．③⑥解析：用Cl2消毒的自来水中，含有盐酸和氧化剂HClO，Cl－能使Ag＋沉淀，HClO能将SO32－、Fe2＋、I－等氧化。

答案：A4．漂白粉在空气中放置易失效的主要原因是()A．Ca(ClO)2不稳定，易分解B．Ca(ClO)2易吸收水分而潮解C．Ca(ClO)2跟空气中的水和CO2反应D．Ca(ClO)2跟空气中的CO2反应解析：漂白粉在空气中放置易失效的主要原因是空气中的CO 2和H 2O 可以与Ca(ClO)2反应生成HClO ，次氯酸不稳定，在光的作用下易分解，使漂白粉失效。

发生反应的化学方程式为：Ca(ClO)2＋CO 2＋H 2O===CaCO 3↓＋2HClO ，2HClO=====光照2HCl ＋O 2↑。

答案：C5．氯气是一种化学性质很活泼的非金属单质，它具有较强的氧化性，下列叙述中不正确的是( )A ．红热的铜丝在氯气里剧烈燃烧，生成棕黄色的烟B ．通常状况下，干燥的氯气能和Fe 反应C ．纯净的H 2在Cl 2中安静地燃烧，发出苍白色火焰，集气瓶口呈现雾状；光照H 2和Cl 2的混合气体时，因迅速化合而爆炸D ．氯气能与水反应生成HClO 和HCl ，久置氯水最终变为稀盐酸解析：通常状况下，干燥氯气不与Fe 反应，但点燃条件下反应生成FeCl 3。

4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ） A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或12．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．314．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ）A ．3B ．2C ．33D ．325（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．91.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ） A ．6B ．9C ．27D ．813．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A ．2-BC ．2D ．2±考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51B ．﹣20C ．27D ．40【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12B ．2C ．172341D ．341172【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．632．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为 A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( )A ．25B ．20C ．15D ．10考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列 【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ）A ．12a a +，23a a +，34a a +，…B ．13a a ，35a a +，57a a +，…C ．2S ，42S S -，64S S -，…D ．3S ，63S S -，96S S -，…2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S .3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}nn b -前n 项和n T ． 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6B ．7C ．8D ．9【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42B ．56C ．63D ．703．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元 B ．40000元C ．42500元D ．50000元4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】(1)C （2）B【解析】（1）因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C （2）设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B. 【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ）A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或1【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q .因为38a =，324S =，所以38a =，1216a a +=，即218a q =，()1116a q +=，所以212q q +=，解得12q =-或1q =.故选：C.2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）1.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由40S >，得1514011a a a a q q q--=>--，因为1q >，所以510a a ->，即51a a >.故必要性满足； 1514411a a a a q S q q--==--.因为1q >，51a a >，所以40S >．故充分性满足.所以“51a a >”是“40S >”的充要条件.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．31【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21213S a a a =+=，则212a a =，所以，212a q a ==， 因为223a a =，即()21124a a =，10a ≠，解得11a =，因此，()441411215112a q S q--===--.故选：C.4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ） ABCD【答案】D【解析】依题意，等比数列{}n a 满足，33S =，69S =，则1q ≠，()()3611113,911a q a q qq--==--，两式相除得()()3363331113,1311q q q q q q-+-==+=--，32,q q ==故选：D 5（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729【答案】C【解析】224381a a a ⋅==，因为0n a >，所以0q >，39a =，又313S =，故124a a +=，设公比是q ，则()121149a q a q ⎧+=⎨=⎩，两式相除得：2149q q +=，解得：3q =或34q =-（舍去），故336393243a a q ==⨯=.故选：C 考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】C【解析】根据等比中项得2546a a a =，所以()2434334353663log log log log log 81log 34a a a a a +=====.故选：C.【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在等比数列中，若5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根，571a a ∴=，5720220a a +=-<，则50a <，70a <，则57661a a a a ==，则61a =或61a =-，即充分性成立，当61a =，或61a =-时，能推出57661a a a a ==，但无法推出572022a a +=-，即必要性不成立， 即“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是“61a =，或61a =-”的充分不必要条件，故选：A ． 【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±【答案】B【解析】因为1a ､13a 是方程21390x x -+=的两根，所以3119=a a ，11313+=a a ，所以10a >，130a >，又{}n a 为等比数列，则6710=>a q a ，所以213212719===a a a a a ，所以73a =或73a =-（舍去），所以212773==a a a a .故选：B. 2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ）A ．6B ．9C ．27D ．81【答案】B【解析】()3239335444,,3327a a a a a =∴==∴=，39a ∴=.故选：B 3．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a b c d ,,,成等比数列可得ad bc =，但当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不是等比数列，所以“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选：A.4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A．2- B C ．2 D ．2±【答案】D【解析】由等比数列284652a a a ==，解得452a =±，所以33522a q a ==±，所以2q =±，故选：D. 考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51 B ．﹣20 C ．27 D ．40【答案】D【解析】由{an }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13 所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列， 即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q ，当1q =时，1n S na =，不合题意； 当1q ≠时，等比数列前n 项和公式()1111111n n n a q a aS q qq q-==-⋅+---， 依题意()111212110,222n nn S t t t t -=⋅-=⋅-⇒+-==.故选：A【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12 B ．2 C ．172341D ．341172【答案】C【解析】当2n ≥时，212n n n n a S S --=-=，又112a S ==，即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256，所以数列}{n a 的前10项中5141023341143S -===-偶，)(421451022172143S -=+=+=-奇，所以172341S S =奇偶， 故选：C ．【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2444,2a a ==，公比432,a q a ==首项114a =， 所以1(1)2114n n n a q S q --==- ，通项11124n n n a a q --==，所以29()2164448242n nn n S a +=++≥=，当且仅当216,342n n n =∴=，所以当3n =时，29()42n nS a+的最小值为8.故选：C.【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．63【答案】D【解析】由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48，12，3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N *∈项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a -=+++=奇，偶数项之和为()2421321170n n S a a a q a a a qS -=+++=+++==奇偶，170285S q S ∴===偶奇， 等比数列{}n a 的所有项之和为()212212211708525512kkk a S -==-=+=-，则22256k=，解得4k =，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-【答案】B【解析】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅ 所以81333r r +=∴=-，故选B. 4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =，故选：B.5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( ) A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【答案】B【解析】因为{}n a 是正项等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -仍然构成等比数列，所以263396()()S S S S S -=-.又5-，3S ，6S 成等差数列，所以6352S S -=，6335S S S -=+，所以()()2263396333352510S S S S S S S S S -+-===++. 又{}n a 是正项等比数列，所以30S >，3325101020S S ++≥=，当且仅当35S =时取等号.故选：B.考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列【答案】C 【解析】∴121n n n a a a +=+，∴111111222n n n n a a a a ++==⋅+，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭既不是等比数列也不是等差数列； ∴1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列．故选：C【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ） A ．12a a +，23a a +，34a a +，… B ．13a a ，35a a +，57a a +，… C ．2S ，42S S -，64S S -，… D ．3S ，63S S -，96S S -，…【答案】BD【解析】设数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，对于A 和C ，都有首项121(1)a a a q +=+，当1q =-时，120a a +=，不满足等比数列，故AC 错误；对于B ，2131(1)0a a a q +=+≠，且2235131313()a a q a a q a a a a ++==++， 同理25735a a q a a +=+，故数列13a a ，35a a +，57a a +，…为等比数列，B 正确； 对于D ，231231(1)0S a a a a q q =++=++≠，且3633S S q S -=，39663S S q S S -=-， 故数列3S ，63S S -，96S S -，…为等比数列，D 正确；故选：BD 2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析(2)()()12133142n nn n n S +-⨯++=-【解析】(1)因为11232n n a a a +==+，，所以1131n n a a ++=+（）. 而113a +=，所以数列{1n a +}是以113a +=为首项，以3为公比的等比数列，所以13nn a +=，即31n n a =-.(2)由（1）可得()3log 1n n b a n =+=∴()31nn n a b n ⋅=-记1213233n n T n =⨯+⨯++⨯……∴所以()23131323133n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯……∴∴-∴得：12123333nn n T n +-=+++-⨯ ()1313313n n n +-=-⨯-∴()121334n nn T +-⨯+=∴()()()1213311242n nn n n n S T n +-⨯++=-+++=-. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}n n b -前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析；2n n na =；(2) 1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++.【解析】(1)因为112n n n a a n ++=，所以1112n n a n a n++=，又因为11112a a ==，所以数列{}n a n是以首项为12，公比为12的等比数列，从而1111()()222n n n a n -=⨯=，故2n n n a =. (2)由(1)中结论可知，2311111112()3()(1)()()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，所以23411111111()2()3()(1)()()222222n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，由∴-∴得，231111111()()()()222222n n n S n +=++++- 111[1()]122()1212n n n +-=-- 化简整理得，222n nn S +=-，所以222n n nn n b n S ()()， 故2232(32)22222()(2)22n n n n n n n n b n n n n n n ++--==-=--+++， 所以324351122222222222[()()()()()]132435112n n n n n T n n n n -++=--+-+-++-+--++，故1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++. 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【答案】D【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为{}n a ，公比q ＝2， 则第1天织布的尺数为1a ，第5天织布的尺数为5a ，前5天共织布为55S =， 则()51112551231a a-=⇒=-，∴445158023131a a q =⋅=⨯=.故选：D.【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】第一次操作去掉13，设为1a ；第二次操作去掉29，设为2a ；第三次操作去掉427，设为3a ， 依次类推，11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.故0111222[()()()]3333n n S -=⨯+++ 2113121412331513n n⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯=-≥ ⎪⎝⎭-， 整理，得12153n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()21lg lg lg2lg3lg15315nn ⎛⎫∴≤∴-≤- ⎪⎝⎭，，()lg3lg5lg3lg5lg31lg211 6.7lg2lg3lg3lg2lg3lg2lg3lg2n -+++-∴≥===+≈----，故n 的最小值为7. 故选：B. 【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ） A ．6小时末 B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末【答案】A【解析】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102n m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭, 由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍, 故选:A.2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42 B ．56 C ．63 D ．70【答案】C【解析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=， 故需要的天数约为9763⨯=. 故选：C3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=）A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元【答案】B 【解析】设010000a =，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为1a ，2a ，…，12a ，()100120%1000 1.21000a a a =⨯+-=-，同理可得1 1.21000n n a a +=-， 所以()15000 1.25000n n a a +-=-， 而050005000a -=，所以数列{}5000n a -是等比数列，公比为1.2，所以50005000 1.2n n a -=⨯，12125000 1.2500050009500050000a =⨯+=⨯+=，∴总利润为500001000040000-=，故选:B ．。

专题4.2 应用导数研究函数的单调性（真题测试）一、单选题1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A ．2yxB ．sin y x x =+C ．||2x y =D ．tan y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案. 【详解】容易判断()3R y x x =∈是奇函数，且在R 上是增函数，而2||,2x y x y ==是偶函数，tan y x =在R 上不是增函数，所以排除A,C,D.对B ，函数()sin R y x x x =+∈是奇函数，且1cos 0y x '=+≥，则函数在R 上是增函数. 故选：B.2．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B ．3．（2016·全国·高考真题（文））函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵函数y=f （x ）的导函数在区间[a ，b]上是增函数，∴对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，有也即在a,x 1,x 2,b 处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，对于B 存在使，对于C 对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，都有，对于D 对任意的x ∈[a ，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A ．5．（2013·全国·高考真题（理））若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由条件知()2120f x x a x -'=+≥在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立． ∵函数212y x x =-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max21123212y <-⨯=⎛⎫⎪⎝⎭, ∴．故选D ．6．（2015·福建·高考真题（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】 【详解】试题分析：令()g()x f x kx =-，则()'()0g x f x k '=->，因此1111g()(0)(0)1111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭，所以选C. 7．（2011·辽宁·高考真题（文））函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解. 【详解】依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=. 所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选B. 8．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤ D ．e e a b b a >【答案】D 【解析】 【分析】对于A,B ，构造函数()e ln x f x x =-，利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较()e ln ,()e ln abf a a f b b =-=-，可判断A,B ；对于C,D, 设e g()=x x x,利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较(),()g a g b ，可判断C,D. 【详解】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e xf x x '=-，当01x <<时，1()e xf x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>>故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增， 由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定， 故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x -'，当01x <<时，()0g x '<，故eg()=xx x单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e ea b a b> ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确， 故选：D 二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef >C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()tf x e f x t <+【答案】AD 【解析】 【分析】构造函数()xy e f x =，由已知可得函数单调递增，即可判断选项ABD ，举特例可判断选项C.【详解】由()()0f x f x +'>，得()()0x x e f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()x y e f x =为R 上的增函数，故()()2021202220212022e f e f <，所以()()20212022f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如()12x f x =，显然()x e f x 是增函数，但()f x 是减函数，所以C 不正确；因为函数()x e f x 为增函数，所以0t >时，有()()x x t e f x e f x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确.故选：AD.10．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足1log b ac c b a <<<，则一定有（ ）A ．1a <B ．a b <C ．b c <D ．c a <【答案】AB 【解析】 【分析】根据1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈，进而判断出1a c <<，A 正确； 构造()ln xf x x=，0x >得到单调性，从而求出a b <，B 正确；CD 选项可以举出反例. 【详解】由正实数a ，b ，c ，以及1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈， 又log 1log c c a c >=，所以1a c <<． 所以b b a c <，又b a c b <，所以b a a b <， 即ln ln b a a b <，等价于ln ln a ba b<， 构造函数()ln xf x x=，0x > ()21ln xf x x -'=， 当()0,1x ∈时，()21ln 0xf x x -'=> 故()ln xf x x=在()0,1上递增，从而a b <． 又取b c =时，原式为1log b ab b b a <<<同样成立，故CD 不正确，故选：AB 11．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ）A ．()f x 在[]1,2上单调递减B ．()00f =C ．()20222022f =D ．()20231f '=【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可. 【详解】 方法一：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确， 对于C 和D ，设()()g x f x x =-，则()g x 为R 上可导的奇函数，()00g =，由题意()()1111f x x f x x -+-=+--，得()()11g x g x -=+，()g x 关于直线1x =对称， 易得奇函数()g x 的一个周期为4，()()()2022200g g g ===，故C 正确，由对称性可知，()g x 关于直线1x =-对称，进而可得()10g '-=，（其证明过程见备注） 且()g x '的一个周期为4，所以()()202310g g '='-=，故D 正确．备注：()()11g x g x -=+，即()()11g x g x --=-+，所以()()11g x g x -+=--， 等式两边对x 求导得，()()11g x g x '-+=-'--， 令0x =，得()()11g g '-=-'-，所以()10g '-=． 方法二：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确，对于C ，将()()1120f x f x x --++=中的x 代换为1x +，得()()2220f x f x x --+++=，所以()()222f x f x x ++=+，可得()()4226f x f x x +++=+，两式相减得，()()44f x f x +-=，则()()624f f -=，()()1064f f -=，…，()()202220184f f -=， 叠加得()()202222020f f -=，又由()()222f x f x x ++=+，得()()2022f f =-+=， 所以()()2022220202022f f =+=，故正确，对于D ，将()()1120f x f x x --++=的两边对x 求导，得()()1120f x f x ''---++=， 令0x =得，()11f '=，将()()f x f x --=的两边对x 求导，得()()f x f x '-='，所以()11f '-=， 将()()44f x f x +-=的两边对x 求导，得()()4f x f x ''+=， 所以()()()2023201911f f f '''==⋅⋅⋅=-=，故正确． 故选：BCD12．（2021·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数()xf x xe ax =+.则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，min ()0f x =B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图像相切C ．若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上，()2f x x ≤恒成立，则1a e -≤【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ：当0a =时，()e xf x x =，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()f x 的单调性，从而求得函数()f x 的最小值；对于B ：当1a =时，()e +xf x x x '=，求导函数，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000e +e +e +1x x x y x x x x x -=-，由切线过原点，求得00x =，继而求得过原点的切线方程；对于C ：问题等价于()+e 0xf x x x a '=+≥在区间[)0,∞+上恒成立，分离参数得e x a x x ≥--在区间[)0,∞+上恒成立，令()e xg x x x =--，求导函数，分析导函数的符号，得函数()g x 的单调性和最值，由此可判断；对于D ：问题等价于2e x x x ax +≤在区间[]0,1上恒成立，0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，分离参数e x a x ≤-，令()e xh x x =-，求导函数，分析()h x '的符号，得函数()h x 的单调性和最值，由此可判断.【详解】对于A ，当0a =时，()()()e ,1e x xf x x f x x ==+'，易知函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，()min 1()1ef x f ∴=-=-，故选项A 不正确；对于B ，当1a =时，()()()()e ,1e 1,02x xf x x x f x x f +''=+=+=，∴函数()f x 在()0,0处的切线方程为2y x =，故选项B 正确；对于C ，()()1e xf x x a =++'，若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()0f x '在[)0,∞+上恒成立，()1e x a x ∴-+，令()()1e ,0x g x x x =-+，则()()2e 0x g x x =-+<'， ∴函数()g x 在[)0,∞+上单调递减，()max ()01a g x g ∴==-，故选项C 错误；对于D ，当0x =时，a ∈R 恒成立；当(]0,1x ∈时，()2f x x 恒成立等价于2e x x ax x +恒成立，即e x a x +，即e x a x -恒成立，设()e ,01x h x x x =-<，则()10e xh x '=-<在(]0,1上恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递减，()min ()11e a h x h ∴==-，故选项D 正确.故选：BD. 三、填空题13．（2009·江苏·高考真题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____. 【答案】(1,11)- 【解析】 【详解】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜11，所以单调减区间为(－1,11)．14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，定义域为(0,)+∞，且满足'()()0xf x f x -<，则不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-恒成立时m 的取值范围为__________. 【答案】()2022,2024【解析】 【分析】 设()()f x F x x=，根据题意得到()0F x '<，得出函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，结合不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，得到020222m <-<，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()()0xf x f x '-<，可得2()'()()'0f x xf x f x x x -⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦， 设()()f x F x x=，可得()0F x '<，所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，又由2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，所以20220m ->，且(2022)(2)20222f m f m ->-，则020222m <-<，解得20222024m <<，即m 的取值范围为()2022,2024. 故答案为：()2022,2024.15．（2022·江苏盐城·三模）已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223xf x e +≥的解集为__________． 【答案】[)0,+∞##{|0}x x ≥ 【解析】 【分析】 构造新函数()()22exf xg x +=，利用已知条件()()22f x f x '->，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集 【详解】设函数()()22e x f x g x +=，则()()()()222221()22222e x x x x f x e e f x f x f x g x e '⋅-⋅⋅+⎡⎤⎣⎦'--'==⎛⎫ ⎪⎝⎭又()()22f x f x '-> ()0g x '∴>所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+=故不等式2()23xf x e +≥ 可化为()(0)g x g ≥ 由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,+∞． 故答案为：[)0,+∞16．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知函数()33x f x ax b =-+，则对任意的x ∈R ，存在a 、b （其中a 、b ∈R 且1a ≥），能使以下式子恒成立的是___________.①()()221f x f x ≤+；②()()2021f x f x +-=；③()()21f x f a -≤+；④()()221a f x f ->-.【答案】①②③ 【解析】 【分析】取1a =-，0b =，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断①；取20212=b 可判断②；取1a =-，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断③；分1a ≤-、1a ≥两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断④. 【详解】对于①，取1a =-，0b =，则()33x f x x =+，()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，因为()221210x x x +-=-≥，即221x x ≤+，故()()221f x f x ≤+恒成立，①对；对于②，取1a =-，20212=b ，则()3202132x f x x =++，所以，()()33202120213232x x f x x x --=-+=--+，则()()2021f x f x +-=，②对； 对于③，当1a =-时，()33x f x x b =++，则()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，20x -≤，故()()21f x f a -≤+，③对；对于④，当1a ≥时，()2f x x a '=-.由()0f x '>可得x <x ()0f x '<可得x <此时，函数()f x 的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，所以，函数()f x 的极大值为(f b b =+>，极小值为fb b =<，20x ≥，所以，()2f x fb ≥=，1210a a --≤-<-<，所以，(()()210af f f b f->->=>，则()()221af x f ->-不恒成立；当1a ≤-时，()20f x x a '=->，则()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，211--≥a ，所以，()2f x 、()21af --的大小关系无法确定，④错.故答案为：①②③. 四、解答题17．（2014·全国·高考真题（文））函数f(x)=ax 3+3x 2+3x(a≠0). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）5[,0)(0,)4-⋃+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使()0f x '>或()0f x '<的解集即可. （2）分类讨论在区间（1，2）上使()0f x '>成立的条件，并求出参数a 的取值范围即可 试题解析：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x ++'==的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x=-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：12x x ==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；若a<0，则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '<，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是减函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '>，故f （x ）在（x 2，x 1）上是增函数；（2）当a>0，x>0时,()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<.综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-⋃+∞.18．（2008·四川·高考真题（文））设1x =和2x =是函数()531f x x ax bx =+++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）求()f x 的单调区间 【答案】（1）25,203a b =-= （2）单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，单调减区间是()()2,1,1,2-- 【解析】 【分析】（1）根据极值点为导函数的零点，且在零点两边导函数符号相反，列出方程组，求出a 和b 的值，代入检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上求出导函数，解不等式，求出单调区间. 【详解】（1）因为()4253f x x ax b =++'，由题设知：()1530f a b '=++=()42225230f a b =⨯⨯+'+=，解得：25,203a b =-=，此时()53252013f x x x x +-=+，()()()422252520514f x x x x x =+=-'--，令()0f x '>得：2x <-或11x -<<或2x >，令()0f x '<得：21x -<<-或12x <<，故1x =是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，满足要求，综上：25,203a b =-=； （2）由（1）知()()()()()()()42245351451212f x x ax b x x x x x x =++=--=++--'当()()(),21,12,x ∈-∞-⋃-⋃+∞时，()0f x '>；当()()2,11,2x ∈--⋃时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，()f x 的单调减区间是()()2,1,1,2-- 19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.（2）3420e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围. 【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当x ∈,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )<0；当x ∈ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )>0.故f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，f (x )取得最小值，最小值为f ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥0，即0>a ≥342e -时，f (x )≥0. 综上a 的取值范围是[342e -，0]. 20．（2014·山东·高考真题（文））设函数若，求曲线处的切线方程；讨论函数的单调性.【答案】（1）210x y --=.（2）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+，求切线的斜率，即1(1)2f '=，又(1)0f =，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为210x y --=.（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，根据a 的不同情况，讨论导函数值的正负，以确定函数的单调性.其中0a ≥时，情况较为单一，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，再分12a =-，12a <-，102a -<<等情况加以讨论.试题解析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+， 此时22()(1)f x x ='+，可得1(1)2f '=，又(1)0f =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=. （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++， 由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+， 当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --=≤+'，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当12a <-时，0,()0g x ∆<<，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当102a -<<时，0∆>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则1x =2x =由1x =0=>，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减， 12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.21．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞e e .【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===', 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x -'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,+∞e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=． 当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a g x g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意； 当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 由于1110e1,e 1e ln 0ln aaa a g a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln aa >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1ax xa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x a x a=，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意． ②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x g x g x g x xx ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+． 当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有00ln 1,ln 10,a ax x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<． 综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x xx x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==． 因为0x >，由()0f x '=得ln a x a=． 当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln aa >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a<<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减． 因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa a a a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a a a a a a a a -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠． 故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.22．（2022·江苏江苏·三模）设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+.(1)当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 在R 上单调递增，求a .【答案】(1)在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增 (2)12 【解析】 【分析】（1）求得()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，得到()()e 2sin x g x a x +'=-，得到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x '=在R 上单调递增，结合()00f '=，即可求解；（2）令()e 1xh x x =--，利用导数求得()()00h x h ≥=，得到e 10x x --≥和e 1x x -≥-，令()sin x x x ϕ=-，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<，12a >和12a =，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. (1)解：因为()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+，可得()()e cos 21x f x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，则()()e 2sin xg x a x +'=-所以当0a ≤时，()0g x '>，函数()y g x =在R 上单调递增， 即函数()y f x '=在R 上单调递增，又由()00f '=，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，所以当0a ≤时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. (2)解：令()e 1x h x x =--，可得()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，又由()00h =，所以()()00h x h ≥=，即e 10x x --≥， 所以e 1x x ≥+，所以e 1x x -≥-；令()sin x x x ϕ=-，可得()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以函数()x ϕ单调递增， 因为()00ϕ=，当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x -≥，即sin x x ≥； 当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=，即sin 0x x -≤，即sin x x ≤， （2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意；（2.2）当102a <<时，若(),0x ∈-∞，()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'()1cos 211a x ax a x≤+--+- 121212111ax x a a ax a x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤+---=--； 当1102x a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意； （2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎝⎣'⎥⎭⎦≤-， 当1012x a<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意； （2.4）当12a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，可得()13e cos 22xf x x x =+--'， 设()()g x f x '=，则()1e sin 12xg x x '=--，①当0x >时，()111e sin 11sin 10222xg x x x x x x =-'-≥+--≥->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x '在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，若[)1,0x ∈-，()()()1111e sin 11021221x x x g x x x x x +=--≤--=≤--'， 若(],1x ∈-∞-，()111e sin 1102e 2x g x x -≤+'=--<， 所以()g x 在(),0∞-上单调递增，()f x '在(),0∞-上单调递增， 由①②可知，()()00f x f ''≥=，所以()f x 在R 上单调递增， 综上所述，12a =.。

等比数列的性质及应用主干知识归纳 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *，q 为公比)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n． (4)若等比数列{a n }共有2n 项，则S 偶：S 奇=q ；若有2n+1项，则S 奇——S 偶=（a 1+a 2n+1q ）/(1+q)（q ≠1且q ≠－1）． 方法规律总结1.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量．2.等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如等比数列中S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．【指点迷津】【类型一】等比数列的性质【例1】：(1) 设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________．(2) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝( )A.72 B ．－92 C.92 D ．－72[解析]： [解析] (1)由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10. 答案：10(2) 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 10＝12S 5，所以S 10－S 5＝－12S 5.由等比数列的性质得，S 5，－12S 5，S 15－12S 5成等比数列，所以14S 52＝S 5S 15－12S 5，得S 15＝34S 5，所以S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝S 5＋12S 5＋34S 5－12S 5＝－92.答案：B【例2】：)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝72，S 6＝352，则S 9＝________．【解析】： (1)因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3·a 7a 8a 9＝5×10＝5 2.答案：A(2)由S 3＝72，S 6＝352得，公比q ≠1，且⎩⎨⎧a 1（1－q 3）1－q ＝72，a 1（1－q 6）1－q ＝352，两式相除，得1＋q 3＝5，即q 3＝4， 则a 11－q ＝－76， 故S 9＝a 1（1－q 9）1－q ＝a 11－q [1－(q 3)3]＝－76×(1－43)＝1472.答案：1472【类型二】等比数列性质的应用【例1】：若等比数列{a n }的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．【解析】：方法一：设此数列的公比为q ，首项为a 1.当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )； 当q ≠1时，则S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q(1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)，∴S n 2＋S 2n 2＝a 11－q2[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n＋q 2n)，又S n (S 2n ＋S 3n )＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n ＋q 2n)，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二：根据等比数列的性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2nS n ， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n 2＋[S n (1＋q n )]2＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n)，S n (S 2n ＋S 3n )＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n )，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n ).【例2】：已知数列{a n }的首项为a (a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a (t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求a 的取值范围；(3)当t ≠1时，若c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t )． 【解析】：(1)当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，得a 2＝at .当n ≥2时，有S n ＝tS n －1＋a ，∴(S n ＋1－S n )＝t (S n －S n －1)，即a n ＋1＝ta n .又a 1＝a ≠0，∴a n ＋1a n＝t (n ∈N *)，即数列{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，∴a n ＝at n －1. (2)当t ＝1时，S n ＝an ，b n ＝an ＋1.当a >0时，数列{b n }递增，且b n >0，不合题意；当a <0时，数列{b n }递减，由题意知b 4>0，b 6<0，且⎩⎨⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围为【－29，－211】.(3)∵t ≠1，∴b n ＝1＋a －atn1－t，∴c n ＝2＋1＋a1－t n －a1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋1＋a1－t n －at （1－t n ）（1－t ）2＝2－at （1－t ）2＋1＋a1－tn ＋at n ＋1（1－t ）2.由题设知，{c n }为等比数列，所以有⎩⎨⎧2－at （1－t ）2＝0，1－t ＋a 1－t＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1，2)．【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：设等比数列的公比为q .由a 1<a 4得a 1<a 1q 3，因为a 1>0，所以q 3>1，即q >1，故a 3<a 5成立；由a 3<a 5得a 1q 2<a 1q 4，因为a 1>0，所以q 2>1，即q <－1或q >1.所以“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的充分不必要条件． 答案：A2．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1 ＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】： 由题知a n ＝2n ，log 2a 2n －1＝2n －1， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C.3．已知{a n }为等比数列，且a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－7【解析】：设等比数列的公比为q .∵a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8， ∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，∴a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，∴a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7.综上可得，a 1＋a 10＝－7. 答案：D4．等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】：由于a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.答案：C5．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于( )A.－12n －2B.12n －2C.－12n －1D.12n －1【解析】：∵n ＜m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1. 答案：C 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为 ．【解析】：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10， ∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n.答案：a n ＝24－n7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝12，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________． 【解析】：由S 8≠2S 4可知，公比q ≠1，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等比数列，公比为S 8－S 4S 4＝12， 故a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝S 16－S 12＝S 4123＝1.答案：18．设数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，关于数列{a n }有下列四个结论：①若a n ＋1＝a n (n ∈N *)，则{a n }既是等差数列又是等比数列；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列；④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N *)也成等比数列． 其中正确的结论是________．(填上所有正确结论的序号)【解析】：若a n ＋1＝a n ＝0，则{a n }不是等比数列，①错误；②正确；③中{a n }是公比为－1的摆动数列，如2，－2，2，－2，2，－2，…，③正确；如对于等比数列2，－2，2，－2，2，－2，…，有S 2＝0，S 4＝0，S 6＝0，显然S 2，S 4－S 2，S 6－S 4不成等比数列，④错误． 答案：②③ 三、解答题9．已知等比数列{a n }的首项为a 1＝13，公比q 满足q ＞0且q ≠1.又已知a 1,5a 3,9a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝log 31a n，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1的值．【解析】： (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5，∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4，∴9q 4－10q 2＋1＝0， ∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n.(2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.10.等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n nS ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上． （1）求r 的值； （2）当b=2时，记1()4nnn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】：(1)因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n nS b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n nn n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222nn n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-【二级目标】能力提升题组一、选择题1．设x ，y ，z 均是实数，若3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋zx的值是( )A.327B.358C.3312D.3415【解析】：因为3x ，4y ，5z 成等比数列，所以16y 2＝15xz ，又因为1x ，1y ，1z 成等差数列，所以y ＝2xz x ＋z .联立可得16×4x 2z 2＝15xz (x ＋z )2，因为xz ≠0，所以（x ＋z ）2xz＝6415，所以x z ＋z x ＝3415. 答案：D2．函数y ＝9－（x －5）2的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则下列不可能是该等比数列的公比的是( ) A.34B. 2C. 3D. 5 【解析】：函数y ＝9－（x －5）2等价于⎩⎨⎧（x －5）2＋y 2＝9，y ≥0，其图像为圆心在(5，0)，半径为3的上半圆．半圆上的点到原点的最小距离为2(点(2，0)处)，最大距离为8(点(8，0)处)，则最大的公比q 应满足8＝2q 2，即q 2＝4，解得q ＝2，最小的公比q 应满足2＝8q 2，即q 2＝14，解得q ＝12.又不同的三点到原点的距离不相等，故q ≠1，故公比q 的取值范围为12≤q ≤2，且q ≠1，故选D.答案：D二、填空题3．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为数列{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2na n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．【解析】：∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是等比数列，∴R n ＝82a 11－3n2－a 1（1－3n）（1－3）a 1·3n2＝3n 22－823n2＋813n2（1－3）＝11－3×3n 2＋813n 2－82≤11－3×(2 81－82)＝643－1，当且仅当3n 2＝813n 2，即3n＝81，即n ＝4时等号成立，∴数列{R n }的最大项为第4项．答案：4 三、解答题4.已知数列{a n }中，a 1＝2，对任意n ∈N *，恒有a n ·a n ＋1＝2×4n成立． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设b n ＝a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】：(1)证明：由a 1＝2，a 1·a 2＝2×4＝8，得a 2＝4.由a n ·a n ＋1＝2×4n，得a n ＋1·a n ＋2＝2×4n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝4， 则数列{a n }的奇数项成等比数列，首项a 1＝2，公比q ＝4，故当n 为奇数时，a n ＝a 1×4n －12＝2n.当n 为奇数时，则n ＋1为偶数，由a n ·a n ＋1＝2×4n ，得2n ·a n ＋1＝2×4n ，则a n ＋1＝2n ＋1.故对任意n ∈N *，恒有a n ＝2n，a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2，故数列{a n }是等比数列．(2)易知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(a 1＋a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9＋a 11)＋…＋(a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1)， 则数列{b n }的前n 项和S n 即数列{a n }的奇数项和(共3n 项)， 则S n ＝2（1－43n）1－4＝23(26n－1)．【高考链接】1.（2015年新课标全国卷Ⅱ）已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84[解析]：由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42. [答案]：B2．（2015年高考安徽卷）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[解析]：设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n ＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.[答案]：2n－13．（2015年高考四川卷）设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．[解析]： (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12×1－12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210， 所以n ≥10，所以使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10.。