排列组合的综合运用

完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力。

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

3.分类计数原理和分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。

2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。

若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。

如何应用排列组合解决实际问题排列组合是组合数学中重要的一个分支，可以用来解决各种实际问题。

它主要研究的是对事物进行选择、排序或分组的方式和方法。

本文将介绍如何应用排列组合解决实际问题，并通过一些例子来说明其应用。

一、排列的应用排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个进行排列。

它在实际问题中经常用于确定事件的顺序或次序，如赛车比赛名次的确定、球队比赛对阵的安排等。

例子1：某校有10名学生，要选出3名代表参加比赛。

问有多少种选法？解析：由于选出的代表有顺序之分，所以这是一个排列问题。

根据排列的计算公式，可以得出答案为10P3=10×9×8=720种选法。

例子2：某公司要从5名员工中选取3名代表参加会议，其中一人必须是经理。

问有多少种选法？解析：由于选出的代表有顺序之分，并且经理必须选中，所以这又是一个排列问题。

首先确定经理的选择，只有1种可能；然后从剩余的4名员工中选取2名，共有4P2=12种选法。

因此，总的选择方式为1×12=12种。

二、组合的应用组合是指从一组事物中选取若干个不考虑其顺序的组合方式。

它在实际问题中广泛应用于确定事件的组合、分组等情况，如选课、分组旅行等。

例子3：某班有10名学生，要从中选取5名学生组成一个团队。

问有多少种选法？解析：由于选出的团队不考虑顺序，所以这是一个组合问题。

根据组合的计算公式，可以得出答案为10C5=252种选法。

例子4：某城市有8个景点，旅行团要从中选择3个景点进行游览。

问有多少种选法？解析：由于选出的景点不考虑顺序，所以这又是一个组合问题。

根据组合的计算公式，可以得出答案为8C3=56种选法。

三、排列组合综合应用在实际问题中，有些情况既包含了排列又包含了组合，需要综合运用排列组合的知识来解决。

例子5：某超市有8种水果，要从中选购5种水果放入购物篮中，问有多少种选法？解析：由于选出的水果不考虑顺序，所以这是一个组合问题。

根据组合的计算公式，可以得出答案为8C5=56种选法。

高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解排列组合的综合运用考点一全排列【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A 种，故选：D.【举一反三】1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（）A．64种B．48种C．24种D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有4424A=种方法．故选：C．2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【答案】C【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有55120A=种，故选：C．3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种B．6种C．12种D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：333216A=⨯⨯=.故选：B考点二相邻问题【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A⨯=.故选：C【举一反三】1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A．8种B．12种C．20种D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有323212A A =种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A =种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序.故选：C.2．（2020·湖北随州市·高二期末）5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种【答案】C【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有424248A A =种排列的方法.故选：C.3．（2020·重庆高二期末）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法.A ．24B ．120C ．240D ．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A =种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A ⋅=⨯=排法，故选：C.4.（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）A．96B．240C．280D．480【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,故选：B考点三不相邻问题【例3】（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A=.故选：B.【举一反三】1．（2020·北京高二期末）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A AC ．4343A A D ．4345A A【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .2．（2020·北海市教育教学研究室高二期末）若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A ．12种B ．14种C ．5种D ．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有22A 种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有33A 种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有2323A A 种排法.故答案选A3．（2020·四川省新津中学）五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ）A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ．故选：B ．4．（2020·重庆市第七中学校高二月考）现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种.A ．24B ．36C ．72D ．144【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有246C =种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有4424A =种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A =种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272⨯=种；故选：C考点四 分组分配【例4】（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【举一反三】1．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校）有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ）A ．24种B ．36种C ．81种D ．256种【答案】B【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有24C 种分法，再分配到三个站点，有33A 种分法，所以一共有234336C A =种不同的下车方案.故选：B.2．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）A ．24B ．14C ．12D ．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有2242223=C C A 种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有222A =种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有223212A ⨯⨯=种方法.故选：C.3．（2020·江西高二期末）江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ）A ．60B ．90C ．150D ．240【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组，若分为3、1、1的三组，有3510C =种分法，若分为2、2、1的三组，2215312215C C C A =种分法，则有101525+=种分组分法；②将分好的三组全排列，对应三个景点，有336A =种情况，则有256150⨯=种分配方法；故选：C ．4．（2020·四川达州市·高二期末）公元2020年年初，19COVID -肆虐着中国武汉，为了抗击19COVID -，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A 医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有22264233=15C C C A 种分组方法； ②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有222A =种情况，则有15230⨯=种不同的安排方法. 故选：A.5．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）A ．310B ．25C ．825D ．35【答案】B【解析】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法； 其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C ApC C AA==.故选：B.考向五几何问题【例5】（2020·全国）如图，MON∠的边OM上有四点1A、2A、3A、4A，ON上有三点1B、2B、3B，则以O、1A、2A、3A、4A、1B、2B、3B中三点为顶点的三角形的个数为（）A．30B．42C．54D．56【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C--=.故选：B.【举一反三】1．（2020·湖南高三开学考试）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有701258-=个.故选：D.2．（2020·昆明呈贡新区中学）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ）A ．32B ．15C ．16D ．31【答案】D【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为241C C n n ++，此题6n =，所以最多可分为31个区域.故选：D .3．（2020·北京丰台区·高二期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ）A ．21B ．28C ．42D ．56【答案】B【解析】线段由2个端点组成，因此只需要从8个点中选取2个即可构成一条线段，所以线段条数为2828C =，故选：B.4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【解析】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六 方程不等式问题【例6】（2020·全国）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36【举一反三】1．（2021·山西太原市）三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有_____. 【答案】105【解析】由,,x y z N ∈,则13,,,x y z x y z N ++=∈设1,1,1a x b y c z =+=+=+，则,,a b c N +∈且16a b c ++=，则三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数等价于16a b c ++=,,,a b c N +∈的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有21515141052C ⨯==种分法，即三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有105个，故答案为：105.2．（2020·四川雅安市·雅安中学高二月考）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组A ．165B ．120C ．38D ．35【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.考向七 数字问题【例7】（2020·南通西藏民族中学）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）A ．6种B ．9种C ．10种D ．15种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C.【举一反三】1．（2020·全国）在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为( )A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有246C=种，故选：A．2．（2020·广东汕尾市·高二月考）从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（）A．312个B．1560个C．2160个D．3120个【答案】D【解析】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有35551200C A ⋅=个；②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有311452441920C C C A ⋅⋅⋅=个；则满足要求的偶数共有120019203120+=个. 故选：D.3．（2020·浙江高三其他模拟）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被3整除，则不同的选取方法有（ ）A ．55种B ．61种C ．64种D ．70种【答案】A【解析】对三个数中有没有6进行分类：①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即28C 28=种； ②不含6时，则需要3与9．当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即133C =种；当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即()11122333C C C C 24⋅+=种．综上所述，不同的选取方法有55种， 故选：A ．。

排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。

排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。

在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。

本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。

一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。

在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。

通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。

但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。

2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。

通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。

递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。

3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。

比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。

二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。

在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。

通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。

但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。

2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。

通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。

递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。

3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。

比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。

三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。

排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

高二数学排列组合综合应用试题1.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【答案】108【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．【考点】排列组合的综合应用．2. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）A．36B．42C．48D．60【答案】C【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选C．【考点】排列、组合及简单计数问题．3.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（）A．60对B．48对C．30对D．24对【答案】B【解析】正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66-18=48．故选B．【考点】排列组合知识，计数原理，空间想象能力4.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“420”）顺序排列的数的个数是．【答案】 204【解析】先从除0以外的9个数字中选出3个数字，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，所以共有种；当最后一位数字为0时，有种，所以一共有种.【考点】排列与排列数.5. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题是一个排列组合实际应用，至少有两件一等品包括有两件一等品、有一件一等品和没有一等品，写出排列数，用分类加法得到结果．【考点】排列、组合的实际应用．6.有6名男医生，4名女医生．(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种不同方法？(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种不同方案？【答案】(1)； (2)【解析】(1)本题中不仅要选出5名医生（元素），还要求分配到5个地区（空位），因此是一道“既选又排”的排列组合综合问题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。

排列组合易混问题五种类型举例说明陈列组合运用效果解法共同，其中有些标题由于一字不同，解法就差异很大。

下面就详细剖析几例。

一、邻与不邻例1、〔1〕7名同窗站成一排，其中甲、乙必需站在一同，有多少种不同的排法？ 〔2〕7名同窗站成一排，其中甲、乙不站在一同，有多少种不同的排法？解析：〔1〕相邻效果采用〝捆绑法〞，把相邻的元素捆绑在一同，看成一个大元素与其他元素停止全陈列，然后再松绑，故答案为62621440A A ⋅=种排法。

〔2〕不相邻效果采用〝插空法〞，先排好其他的元素，然后将不能相邻的元素拔出空位，故答案为52563600A A ⋅=种排法。

二、重与不重例2、〔1〕用1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个三位数？〔2〕用1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个没有反双数字的三位数？ 解析：〔1〕每个数字都可以重复运用，故每位数上都可以取9个数中的一个，用分步计数原理，故答案为9×9×9=729个。

〔2〕数字不允许重复，那么必需取不同的三个数字组成，故答案为39504A =个。

三、均与不均例3、〔1〕将6本不同的书，平均分红三份，有多少种不同的分法？〔2〕将6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种不同的分法？ 解析：〔1〕设均分红三份有X 种分法，再分给甲乙丙三人，每人分得2本，那么应有32223642X A C C C ⋅=⋅⋅，故2226423315C C C X A ⋅⋅==种分法。

〔2〕从6本书中任取2本给一团体，再从剩下的4本中任取2本给另一团体，剩下的2本给最后一团体，故有22264290C C C ⋅⋅=种分法。

四、放回与不放回例4、箱中有4个不同的白球和5个不同的红球，延续从中取出3个球， 〔1〕取出后放回，且取出顺序为〝红白红〞的取法有多少种？〔2〕取出后不放回，且取出顺序为〝红白红〞的取法有多少种？解析：〔1〕取出后放回，每次取球一直在9个球中取，依据分步计数原理，共有 111545100A A A ⋅⋅=种取法。

高考数学难点突破数论与排列组合的多重综合应用在高考数学中，数论和排列组合是考生们经常遇到的难点，而这两个知识点经常会在一道题目中进行综合应用。

本文将探讨如何突破这些难点，以及如何应对多重综合应用的题目。

一、数论的难点及突破方法数论在高考数学中属于相对较难的部分，主要包括整数性质、最大公约数、最小公倍数等内容。

其中，常见的难点包括同余、递推关系和整数解的判断等。

首先，我们来看同余的应用。

同余是数论中一个重要的概念，它可以解决一些复杂的问题。

在解题过程中，我们可以通过找规律、列方程或者利用性质等方式进行推导。

另外，还要注意掌握同余运算的特性，例如两个数同余于一个数的倍数时，它们的差也是这个倍数。

其次，递推关系是另一个数论的难点。

递推关系的表达形式有多种，例如：Sn = Sn-1 + a(n)，其中Sn表示数列的第n项，a(n)为与前面几项相关的式子。

要解决这类问题，关键是找到递推关系的规律，并利用递推公式进行推导和计算。

最后，整数解的判断也是数论的难点之一。

当遇到非常复杂的问题时，我们可以利用最大公约数和最小公倍数的性质进行求解。

同时，还需要注意题目中可能出现的取模运算和质因数分解等技巧。

总之，要突破数论的难点，我们需要掌握各种性质和公式，并进行大量的练习和思考，提高解题能力和思维灵活性。

二、排列组合的难点及突破方法排列组合是高考数学中另一个常见的难点，主要包括排列、组合、重复排列、多重集合等内容。

其中，常见的难点包括计数原理、容斥原理和应用题的解答等。

首先，计数原理是排列组合中的基础知识，涉及到阶乘、乘法原理、加法原理等概念。

在解题时，我们要根据题目的情况选择适用的计数原理，并灵活运用。

其次，容斥原理是排列组合中的一个重要工具。

它可以解决一些重叠计数的问题，例如某些事件同时满足或者互斥的情况。

在应用容斥原理时，我们要注意构造事件的表达式，并进行交集和并集的计算。

最后，应用题的解答是排列组合的难点之一。

四年级奥数讲义：排列组合的综合应用排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.）当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例 6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2 C47+6 C37+3 C27+ C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.。

九年级数学上册综合算式如何运用排列组合解题九年级数学上册学习的内容涵盖了各种综合算式的运用。

在解决实际问题时，使用排列组合的思想可以帮助我们更好地理解并解答这些问题。

本文将就九年级数学上册综合算式在排列组合解题中的应用进行讨论。

首先，我们来了解一下排列和组合的概念。

排列是从给定的一组数中取出若干个数，按照一定的顺序排列，不重复地取出。

组合是从给定的一组数中取出若干个数，不考虑其顺序，不重复地取出。

排列和组合在解决实际问题中的应用十分广泛。

一、排列的应用1. 解决全排列问题全排列是指将一组数按照一定的顺序进行排列，列出所有可能的情况。

在解决全排列问题时，我们可以使用九年级数学上册所学的综合算式来进行求解。

例如，某公司有10个员工，要选取3名员工组成一个工作小组，那么可以用10个数中选择3个进行全排列，即10P3。

根据排列的定义，我们可以使用乘法原理进行计算，即：10P3 = 10 × 9 ×8 = 720。

2. 解决选取部分排列问题在某些情况下，我们并不需要将全部元素都进行排列，而只需要选取其中部分元素进行排列。

在此类问题中，我们同样可以使用排列的思想进行求解。

例如，某班有15名学生，要从中选出7名学生参加一次比赛，并且规定其中有两名学生必须参加，那么可以用13个学生中选择5个进行排列，即13P5。

同样地，根据排列的定义，我们可以使用乘法原理进行计算，即：13P5 = 13 × 12 × 11 × 10 × 9 = 154,440。

二、组合的应用1. 解决选取不同元素组成的组合问题组合是指从给定的一组数中取出若干个数，不考虑其顺序，不重复地取出。

在解决选取不同元素组成的组合问题时，我们可以使用九年级数学上册所学的综合算式来进行求解。

例如，某班有20名学生，要从中选出9名学生组成一个小组，那么可以用20个学生中选择9个进行组合，即20C9。

6.2.3 排列与组合的综合运用(精练)【题组一 排队型】1．(2021·湖南长沙 )一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有( )种． A ．36 B ．48 C ．72 D ．120【答案】B【解析】先排高一年级学生，有22A 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A 种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223C C C ⋅⋅种排法，所以共有()221112422348A A C C C ⋅+=种排法．故选：B ．2．(2021·全国)2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初次环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内含，计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是第一个被分析的情况有( ) A ．2016种 B ．1512种 C ．1426种 D ．1362种【答案】B【解析】由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名称共有39C 种不同的组合. 选出的4个名称的不同分析顺序有44A 种，其中赤兔是第一个被分析的顺序有33A 种，故赤兔不是第一个被分析的情况共有()343943 1 512C A A ⋅-=(种)，故选：B3．(2021·北京通州 )中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有( ) A ．408种 B ．240种 C ．192种 D ．120种【答案】A【解析】将六艺全排列，有66A 种，当“射”排在第一次有55A 种， “数”和“乐”两次相邻的情况有2525A A 种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有2424A A 种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有652524652524A A A A A A 408--+=种，故选：A .4．(2021·湖南永州 )永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为( ) A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440【答案】A【解析】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有4424A =种排法；第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有2520A =种插法；所以共有2420480⨯=种不同的安排方法.故选：A5．(2021·河北省唐县第一中学 )7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有( ) A ．400种 B ．720种 C ．960种 D ．1200种【答案】C【解析】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有6621440A ⨯=种， 而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有5522480A ⨯⨯=种， 故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有1440480960-=种.故选：C.6．(2021·江西临川 )2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种． A ．120 B ．156 C ．188 D ．240【答案】A【解析】完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有44A ，越剧、粤剧有前后22A ，共有：2424A A 种；京剧排二三之一有12C ，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有1232C A ，余下三个有33A ，共有：12231332A C C A 种；由分类计数原理知，所有演出顺序有：411242323223A A C C A A 120＝+(种)故选：A7．(2021·江苏海安 )甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有( )种 A ．5 B ．8 C ．14 D ．21【答案】C【解析】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．8．(2021·湖北)“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为( ) A ．12 B ．59C ．67120D ．133240【答案】D【解析】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有66720A =种方法，当只投对一袋时，其他五袋与对应垃圾桶全错位排列，则5个元素全错位544=D (常用数据知识)，当投对两袋时，其他4个元素全错位49D =，所以概率为126666449399133=720240⨯+⨯==C C P A .故选：D. 9(2021·重庆市杨家坪中学)某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E ､F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D【解析】当E ，F 排在前三位时，有()22322324A A A =种安排方案；当E ，F 排在后三位时，有()()1222332272C A A A =种安排方案：当E ，F 排中间两位时，有()1122232224C A A A =种安排方案.综上，不同的安排方案共有247224120++=(种)，故选：D.10．(2021·全国·专题练习)“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P ==故选：B 11．(2021·全国·高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有( ). A ．444种 B ．1776种 C ．1440种 D ．1560种【答案】B【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有14C 4=(种).对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有114244192C C A =(种)；第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有133C =(种)，语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有14C 4=(种)，其他三科可以全排列，有()12332334252C A A +=(种).综上，共有()41922521776⨯+=(种).故选：B12．(2021·重庆市江津中学校高二月考)2021年4月29日是江津中学艺术节总汇演之日，当晚要进行隆重的文艺演出，已知初中，高一，高二分别选送了7，5，3个节目，现回答以下问题：(用排列组合数表示，不需要合并化简)(1)若初中的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序；(2)由于一些特殊原因，高一的12345,,,,A A A A A ，5个节目，1A 必须在其余4个节目前面演出；高二的123,,B B B ，3个节目，1B 必须在其余2个节目前面演出；初中没限制，共有多少种出场顺序；(3)为了活跃气氛，高二年级决定将2000根荧光棒发给1600名台下的高二学生，每个学生至少一根，共计有多少种分配方案；(4)演出结束后，学校安排高二年级的24个班去打扫A ，B ，C 三个区域的卫生，24个班被平均分成3组，每组8个班，每个区域安排一组，若11，12班必须打扫同一个区域，13，14班必须打扫同一个区域，则共有多少种安排方式．【答案】(1)8789A A ；(2)15421542535s A A A A A ⨯⨯⨯；(3)15991999C ；(4)4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯. 【解析】(1)先对高一、高二的节目进行全排列，有88A 种不同的排法， 再将初中的7个节目插入8个节目构成的9个空隙中的7个，有79A 种方法， 由分步计数原理可得，共有8789A A 种不同的出场顺序.(2)高一的5个节目全排列，有55A 不同的排法，其中1A 必须在其余4个节目前面有44A 种， 高二的3个节目全排列有33A 不同的排法，其中1B 必须在其余2个节目前面有22A 种， 初中、高一和高二的15个节目全排列有1515A 种不同的排法，所以1A 在其余4个节目前面演出；1B 在其余2个节目前面演出，共有15421542535sA A A A A ⨯⨯⨯种. (3)由2000根荧光棒为2000个相同的元素，分给1600名台下的高二学生， 可利用隔板法，在2000根荧光棒构成的1999个空隙中插入1599个板， 把2000根荧光棒分为1600份，共有15991999C 种不同的分法.(4)由题意，可分为两类：①若11,12和13,14在同一组中，共有488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式； ②若11,12和13,14不在同一组中，共有6683201283C C C A ⨯488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式， 由分类计数原理，可得共有4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯不同的安排方式. 13．(2021·福建·厦门海沧实验中学高二期中)现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)：(Ⅰ)6人站成一排，甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数； (Ⅱ)6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；(Ⅲ)把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数； (Ⅳ)6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率． 【答案】(Ⅰ)360；(Ⅱ)192；(Ⅲ)1560；(Ⅳ)35【解析】(Ⅰ)6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数为6613602A =； (Ⅱ)甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共421424192A A C ⋅⋅=种不同排法；(Ⅲ)6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为221131114464216321442232231560C C C C C C C C A A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅； (Ⅳ)记A ：甲乙相邻共有种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有种不同排法，根据条件概率的计算公式232432252535A A A A A ⋅⋅=⋅ 【题组二 数字型】1．(2021·重庆市凤鸣山中学高二月考)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？【答案】(1)648个；(2)156个；(3)2296个；(4)1140个.【解析】()1由题意，无重复的三位数共有1299972648A A=⨯=个；()2当百位为1时，共有299872A=⨯=个数；当百位为2时，共有299872A=⨯=个数；当百位为3时，共有118412A A+=个数，所以315是第727212156++=个数；()3无重复的四位偶数，所以个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有39504A=个数；当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有1218841792A A A=个数，所以无重复的四位偶数共有50417922296+=个数；()4当选出的偶数为0时，共有1335180A A=个数，当选出的偶数不为0时，共有134454960C C A=个数，所以这样的四位数共有9601801140+=个数；2．(2021·江苏·仪征中学高二期中)由1，2，3，4，5组成的五位数中，分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示)(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数；(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.【答案】(1)72个；(2)72个；(3)1200个.【解析】(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.14 3472C A⋅=个.(2)先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即323472A A=个(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即132354531200C C C A=个【题组三分组分配型】1．(2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.2．(2021·江苏常州)CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员．．工的工作视为相同的工作．．．．．．．．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种.【答案】360【解析】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有35C种，一类是甲乙安排1人有1225C C种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共24A种，故不同的安排方案共有()12322554360C C C A +⋅=种.故答案为：360.3．(2021·河北石家庄·高二期末)某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有( ) A ．86种 B ．100种 C ．112种 D ．134种【答案】B【解析】若只有1人参加数学竞赛，有221124244222()(44325)6C C C C A A +=⨯+⨯=种安排方法，若恰有2人参加数学竞赛，有21243263236C C A =⨯⨯=种安排方法，若有3人参加数学竞赛，有3242428C A =⨯=种安排方法，所以共有56368100++=种安排方法． 故选：B4(2021·全国·高二单元测试)有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】(1)60(种)．(2)360(种)．(3)15(种)．(4)90(种).【解析】(1)根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=， 所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；(2)由(1)可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；(3)先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)． 【题组四 涂色型】1．(2021·江西·横峰中学高二期中(理))如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )A ．36种B ．24种C ．12种D ．9种\【答案】C【解析】第一步：涂三棱锥P -ABC 的三个侧面，因为要求相邻的面均不同色，所以共有3216⨯⨯=种不同的涂法， 第二步：涂三棱柱ABC -111A B C 的三个侧面，先涂侧面11AA B B 有122C =种涂法，再涂11BB C C 和11CC A A 只有1种涂法， 所以涂三棱柱的三个侧面共有212⨯=种涂法，所以对几何体的表面不同的涂色方案共有6212⨯=种涂法，故选：C2．(2021·陕西·韩城市西庄中学高二期中(理))在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )A ．720种B ．2160种C ．4100种D ．4400种【答案】C【解析】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数为354320⨯=种； 考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数为()5434332160⨯⨯⨯⨯⨯=种；考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数为33531620A ⨯=种．所以共有方法数为320216016204100++=种． 故选：C ．3．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【答案】C【解析】由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，(1)当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法， ①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法； ②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法. (2)当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法； ②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法. 故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法. (3)当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法； ②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，(i )若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；(ii )若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法. 故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法. 综上，共有240192168600++=种涂色方法. 故选：C.4(2021·全国·高二课时练习)现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法； 第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：6543434320⨯⨯⨯⨯⨯=种. 故选：D.5．(2020·全国·高二课时练习(理))如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种【答案】B【解析】由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选.6．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【答案】576 264【解析】(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；(2)若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =；若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种． 故答案为：①576；②264.7．(2021·江苏·)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________.【答案】48【解析】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有432248⨯⨯⨯=种.故答案为：48．8．(2021·吉林·乾安县第七中学(理))如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种.(以数字作答)【答案】72【解析】当使用四种颜色时，先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，则第2、4和第3、5区域需一组涂上同一种颜色，另外一组涂上不同颜色，所以共有1112423248C C C A=种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有34C种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有343224C⨯⨯=种.综上共有：482472+=种.故答案为：729．(2021·重庆市实验中学高)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】将区域标注数字序号如下图：当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时共有涂色方法：211533180A C C =种当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：311522240A C C =种则不同的涂色方案总数为：180240420+=种 本题正确结果：42010．(2021·江西·宁冈中学 )用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种. 【答案】1920.【解析】分两步来进行，先涂,,A B C ，再涂,,D E F .第一类：若5种颜色都用上，先涂,,A B C ，方法有35A 种，再涂,,D E F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有32532720A A ⋅⋅=种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有45C 种；先涂,,A B C ，方法有34A 种，再涂,,D E F 中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有4354331080C A ⋅⋅⋅=种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有35C 种；先涂,,A B C ，方法有33A 种，再涂,,D E F ，方法有2种，故此时方法共有33532120C A ⋅⨯=种； 综上可得，不同涂色方案共有72010801201920++=种， 故答案是1920.11．(2021·江西·进贤县第一中学高二月考(理))用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A 、B 、C 、D 、E 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．【答案】960【解析】因为区域D和各个区域都相邻，所以首先给区域D染色有5种方法,区域C、E各有4种方法, 区⨯⨯⨯⨯=.域A、B一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法54443960故答案为：960．12．(2021·新疆·阜康市第一中学高二期中(理))现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.(用数字作答).【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B、C、D、E、F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案.所以共有32222296故答案为：9613．(2020·江苏常熟·高二期中)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)【答案】240【解析】从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.14(2021·全国·高二课时练习)现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.【答案】192【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法； 第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，。

排列组合综合应用（4)一、选择题1.4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有()A. 576种B. 504种C. 288种D. 252种2.某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有()种A. 222B. 253C. 276D. 2843.某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有()A. 24种B. 30种C. 36种D. 72种4.有6×6的方阵，3辆完全相同的红车，3辆完全相同的黑车，它们均不在同一行且不在同一列，排列方法种数为()A. 720B. 20C. 518400D. 144005.一个国际象棋棋盘(由8×8个方格组成)，其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定).“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对6.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是()A. 120B. 204C. 168D. 2167.学校安排一天6节课，语文、数学、英语和三节不同的选修课，则满足“数学不排第一节和第六节，三节选修课至少2节相邻”的不同排法数是A. 288B. 324C. 360D. 420二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）8.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中至少有3个连在一起，则不同的停放方法有______ 种．9.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的方法共有____________种(用数字作答)．10.将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有______种．(用数字作答)11.某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门A，B，C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作，安排方法有______种(用数字作答)．12.某校高一年级拟开设12门选修课程，规定每位学生从中选择6门．由于课程设置限制，某学生从A，B，C，D四门课程中最多选1门，从E，F两门课程中也最多选1门，则该学生共有______种不同的选课种数．(用数字作答)13.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有________种不同的选法．14.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参加该项任务，另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被平均分成两组，一组去远处，一处去近处．则不同的搜寻方案有_______种。

6.2.3 排列组合的综合运用（精练）【题组一全排列】1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4 B．44C．24 D．48【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A⨯⨯⨯=. 故选：C2．（2020·全国高二单元测试）3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【答案】64【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为：64.3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60159-=，故答案为：59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.【答案】18【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有（1,2,6），（1,3,5），（2,3,4）三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有336A=种情况，所以不同的分配方法共有1863=⨯种.故答案为：185．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有44A=24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有336A=种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有222A=种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.6．（2020·河南）2020年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D，前往四个国家E、F、G、H进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到H国家，那么此时B医疗队被派遣到E国的概率是______.【答案】241 3【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A=，由于A医疗队被派遣到H国家，则B医疗队可派遣到其它3个国家，因此，B医疗队被派遣到E国的概率是13.故答案为：24；13.【题组二相邻问题】1．（2020·沙坪坝区·重庆八中）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A⋅=故选：B2．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A．112B．15C．115D．215【答案】C【解析】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C 3．（2020·陕西彬州市·高二月考）5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为 A ．480B ．720C ．960D ．1440【答案】C【解析】两个女生必须相邻，捆绑222A =，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，2520A =，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，4424A =，所以不同的排法种数为：22425422024960A A A ⋅⋅=⨯⨯=．4．（2020·广东广州市）2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（ ） A ．60 B ．120 C ．144 D ．240【答案】D【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排， 将则不同的安排方法有2525240A A =种.故选：D.5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（ ） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，故选：B.【题组三 不相邻问题】1．（2020·全国）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法， 此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C.2．（2020·全国）将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ） A ．42 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连， 故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有336A =种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有33636A =种.综上所述，不同的放法种数为64362+=种.故选：A.3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种B．48种C．36种D．24种【答案】C【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有336A=种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有236A=种排法，则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种，故选：C.4．（2020·防城港市防城中学高二期中）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．72B．48C．24D．60【答案】C【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为22222324A A A=种.故选：C.5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）【答案】12【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列：4424A=；再求出甲、乙两名同学相邻的排列：2 412A=然后，4244241212A A-=-=故答案为：126．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A=种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A=种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：727．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种. 【答案】36【解析】依题意，可分三步，先排D ，E ，有22A 种方法，产生3个空位，将,A B 捆绑有22A 种方法，将,A B 捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有13A 种方法，这时AB 、D 、E 产生四个空位，最后将C 插入与A 不相邻的三个空位之一，有13A 种方法，根据分步乘法计数原理得：共有2211223336A A A A ⨯⨯⨯=种，故答案为：36.8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________ 【答案】24【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况， ②将这个整体与英语全排列，有222A =种顺序，排好后，有3个空位， ③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有236A =种情况，则不同排课法的种数是22624⨯⨯=种；故答案为：24. 【题组四 分组分配】1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法． 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答) 【答案】1560【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有31163213320lC C C C A = (种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有22116421222245C C C C A A ⋅= (种)． 所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有44651560A ⨯= (种)．故答案为：1560.3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案) 【答案】90【解析】把5人按人数2,2,1分成三组，然后再安排到三个景点浏览，总方法为2235332290C C A A ⨯=． 故答案为：90．4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________． 【答案】240．【解析】将这5张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有2111532133C C C C A 种分组办法，再分给4人的不同分法有211145321433240C C C C A A ⋅=种．故答案为：240． 5．（2020·全国）从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________. 【答案】180【解析】112654C C C 180=.故答案为：180.6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种. 【答案】150【解析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式； 故答案为：150．7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）． 【答案】900【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有336A =种不同情况.所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为：900. 【题组五 几何问题】1．（2021·全国）直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（ ） A ．20 B ．60 C ．120 D ．240【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当2m -<≤2m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种，当m <时，圆面224x y +≤被分成4块，此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D2．（2021·安徽省）224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ） A ．286 B ．281 C ．256 D ．176【答案】C【解析】由题意可得224x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为33313351022861020256C C C --=--=个．故选C ．3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52【答案】C【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C 84=70个，不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个， ∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70−12=58个.故答案为C. 【题组六 方程不等式问题】1．（2021·太原市）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.2．（2021·湖北）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为 A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】A【解析】方程12348x x x x +++=，其中22x =，则1346x x x ++=将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组， 第一组小球数目为1x 第二组小球数目为3x 第三组小球数目为4x共有2510C =种方法故方程的正整数解的个数为10 故选A【题组七 数字问题】1．已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C 2．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ） A ．12 B ．44 C ．58 D ．76【答案】B【解析】分类讨论：尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共1222312C A ⋅⋅=,还可能为234,有336A =种；尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共122228C A ⋅⋅=,还可能为124,有336A =种；尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共122228C A ⋅⋅=；尾数为7：则前三位的数字可能为012,共12224C A ⋅=.综上所述,共有126868444+++++=种.故选：B3．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【答案】34【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有3735C =，乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.故答案为：34【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.4．已知{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是_______ . 【答案】12【解析】因为{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，所以(),m n 的可能情况有：2520P =种， 又因为方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m n >，所以满足要求的有：2510C =种， 所以概率为：101202P ==.故答案为：12. 5．（2021·宁波市）有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为4424A =个；当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为221434144C C A =个；当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为224436C C =个.综上，可以组成不同的四位数的个数为2414436204++=个.故答案为：204.6．（2020·江西省信丰中学）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】1 6【解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝．。

组合的综合应用教学设计本节课的授课对象是高二年级普通班学生，他们起点低，基础差，缺乏自信，但课堂活跃。

在认知基础方面，学生在前面已经学习了排列组合的基础知识，对简单的排列组合的问题已经有所掌握，但本节课需要学生梳理已学过的知识，形成完整的知识体系，并能根据所给实例，判断该问题为排列组合的什么问题，并且运用相应的知识加以解决，需要学生具备全面的思考问题的能力，这对一部分学生来说是一个挑战。

组合的综合应用效果分析首先这节课能有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；其次3个例题通过联系实际生活，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念；最后利用课件帮助学生巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价，也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己的教学。

《组合的综合应用》是《选修》2——3第一章第二节内容。

本节内容有组合问题，排列与组合综合问题。

大约需要1课时。

排列与组合的思想方法应用的很广泛，是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，本教材在渗透这一数学思想方法时就做了一些探索，把它通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。

在设计本节课时，我根据学生的年龄特点对教材进行了处理，整堂课坚持从学生的实际与认知出发，以“感受生活化的数学”和“体验数学的生活化”这一教学理念，让学生结合生活实际学习数学，体验数学。

组合的综合应用评测练习1．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为()A．720B．360C．240D．1202．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120B．84C．52 D．483．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A．60种B．20种C．10种D．8种4．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有()A．27种B．24种C．21种D．18种5．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种6．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________7．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若BA＝213，则这组学生共有________人。

组合数学中的排列组合问题的应用组合数学是数学的一个分支领域，主要研究集合的组合和排列问题。

在各个领域中，包括计算机科学、经济学、统计学、物理学等等，排列组合问题都有着广泛的应用。

本文将介绍一些组合数学在实际问题中的应用案例。

1. 排列组合在密码学中的应用密码学是保护信息安全和传输隐私的关键学科。

其中，排列组合问题在密码学中发挥着重要的作用。

比如，密码中的字母可以通过排列组合的方式进行各种变换，增加密码的复杂性，提高破译难度。

同时，排列组合问题也被应用在密码破译中，通过穷举排列的方式尝试破解密码。

2. 排列组合在网络路由中的应用网络路由是计算机网络中的核心功能，用于决定数据包的传输路径。

在网络路由中，排列组合问题被用来确定最佳的路由路径。

通过穷举所有可能的路径组合，找到最短路径或最优路径，以提高网络传输的效率。

3. 排列组合在电子商务中的应用在电子商务中，排列组合问题常用于决策分析和商品推荐系统。

通过对用户的浏览历史、购买记录等数据进行排列组合的分析，可以预测用户的购买偏好，并基于此推荐相关商品，提高在线购物的用户体验。

4. 排列组合在人才选拔中的应用人才选拔是企业和组织中的重要环节，而排列组合问题可以用来评估候选人的能力和潜力。

通过排列组合的方式对不同的能力指标进行组合，可以综合评估候选人的综合能力，并做出合理的选拔决策。

5. 排列组合在生物学中的应用生物学是研究生命的基本规律和生物体之间关系的科学，排列组合问题在生物学中也有广泛的应用。

比如，在基因组序列中，通过排列组合的方式来寻找基因的排列规律，进而研究基因的功能和作用。

总结：组合数学中的排列组合问题在各个领域都有着重要的应用。

从密码学到网络路由，从电子商务到人才选拔，从生物学到统计学，排列组合问题都发挥着关键的作用。

通过对排列组合的灵活应用，可以解决实际问题，提高生产力和效率。

因此，熟练掌握和灵活运用组合数学中的排列组合方法，对于解决实际问题具有重要意义。