刚体的平面运动

解：杆OA绕O轴转动
vA OA O rO
取点A为基点，则点B的速度
vB v A vBA

vBA vB
作速度图，得
ωABC
vA
vA
2 vBA vB v A cos45 rO 2 vBA vBA 1 ABC O AB 2OA 2
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
A B C
v
A
A
v
A
A
B
v
A
vB
vB
C B
vB
瞬时平动 4. 某瞬时，图形上A，B两点的速度相等，即 vA=vB。
7.2
平面图形上各点的速度分析（瞬心法）
例如: 曲柄连杆机构在图示位臵时， 连杆BC的运动为瞬时平动． 此时连杆BC的图形角速度 BC 0 。 BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等．
1 2 lim lim , Δt 0 t Δt 0 t
1 2
d 1 d 2 ; , 1 2 dt dt
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
结论：平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有 关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一 瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运 动，A点作圆周运动，B点作直线 运动，因此，AB 杆的运动既不是 平动也不是定轴转动，而是平面运 动．
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是 一种较为复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的 平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方 法，将平面运动分解为上述两种基本运动．然后应用 合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度 和加速度的计算公式．
解：杆OA绕O轴转动
vM2 vAω vM3
C
vA OA 0 (r R) 0
vM1
点C为行星轮的速度瞬心
v A r
rR 0 r
vM1 CM1 2 (r R)0
vM 2 CM 2 2(r R)0
vM 3 CM 3 2 (r R)0
取点C为基点，则A, B, D各点的速度 vB
C
v A vC v AC v AC vB vC vBC vBC vD vC vDC vDC
由此的结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图 形绕瞬时速度中心转动的速度。
vA vAC AC
30º
解：杆OA绕O轴转动
vA OA 0.2m/s
vA
由速度投影定理，得
vE
vB cos30 vA
摇杆CD绕C轴转动，有
2v A 0.4 vB m/s 3 3
vB 1.2 vD CD 3vB m/s CB 3
由速度投影定理，得
vE cos30 vD

ω
vA
vA
随着点M在AN上的位臵不同，vM的大 小也不同。因此可找到一点C, 该点的 瞬时速度等于零。如令
AC
vA
点C—称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。

vC vA AC 0
7.2
平面图形上各点的速度分析（瞬心法）
二、平面图形内各点速度及其分布
A
vD
D
vA
B
点C为速度瞬心，即 vC=0。
(vB ) AB (v A ) AB
vB vBA vA
ω
B
同一平面图形上任意 速度投影定理：
两点的速度在该两点连线上的投影相等。 A
vA
这种求解速度的方法称为速度投影法．
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
例：半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知 轮轴以匀速v0前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。
（3）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点
的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
7.2
平面图形上各点的速度分析（瞬心法）
例：行星轮半径为r，在半径为R的固定轮上作无滑动的滚 动。已知曲柄OA以匀角速度ω0 转动。求在图示位臵，行 星轮上M1、M2、M3的速度。
7.2
平面图形上各点的速度分析（瞬心法）
2013年7月31日
七
7.1 7.2 7.3 7.4
刚体的平面运动
刚体平面运动的概念与平面运动方程 平面图形内各点的速度分析 平面图形上各点的加速度分析 运动学综合应用举例
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
一、平面运动 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保 持相等的距离。这种运动称为平面运动。
r 2 sin sin 45 l 10
7 2 cos 1 sin 10
2
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
例：曲柄OA以匀角速度ω0转动。求在图示瞬时，点C的 速度。已知：OA=O1O=r，BC=2r。∠OAB=45º 。
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
二．平面运动的简化
刚体的平面运动可以简 化为平面图形S在其自身平面 内的运动．即在研究平面运 动时，不需考虑刚体的形状 和尺寸，只需研究平面图形 的运动，确定平面图形上各 点的速度和加速度．
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
三．平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位臵，我们 只需确定平面图形内任意一条线段的位臵． 任意线段O' M的位臵 可用O'点的坐标和O' M与
vCB vB vC 再取点B为基点，则点C的速度
vC vB vCB
vBA vB
vA
ωABC
2 vB rO 2 1 vCB BC ABC 2r O rO 2 2 2 vC vB vCB 2vB vCB cos 45
10 rO 2 vB sin 135 arcsin 18 26' vC
设匀角速度，则 a a n AB 2 () B B
a 而 ac 的方向沿AC， B ac
vB aB
vC aC
7.2
平面图形上各点的速度分析（瞬心法）
注意的问题
（1）速度瞬心在平面图形上的位臵不是固定的，而是随 时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 （2）速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同 于定轴转动
vA
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
例：曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB 带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB， 图示位臵时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求此瞬时点E的速度。
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
vD vB
vB v A vBA
v BA AB
vA
其中
方向垂直AB。
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
二．速度投影法
图形上任意两点速度间的关系．由于恒有 vBA AB ，因
由于A ，B点是任意的，因此 vB v A vBA 表示了
此将上式在AB上投影，有
运动．
7.1
例如
刚体平面运动的概念与平面运动方程
车轮的运动．
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
车轮的平面运动可以 看成是车轮随同车厢的平 动和相对车厢的转动的合 成．
车轮对于静系的平面运动
（绝对运动）
车厢（动系O' x y ) 相对静系的平动（牵连运动）
车轮相对车厢（动系O' x y）的转动 （相对运动） 我们称动系上的原点O'为基点。
的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基
点)
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
曲柄连杆机构 AB杆作平面运动
平面运动的分解
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
一、 基点法（合成法）
已知：vA ，ω，求 vB 。 取点A为基点。 平面图形的平面运动可分解为两个运动：1.牵连运动， 即随基点A的平动；2.相对运动，即绕基点A的转动。 于是，平面图形上点B的运动是两个运动的合成，因 此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为基点法。 牵连运动： vB
x轴夹角表示．因此图形S
的位臵决定于 xo , yo ,
三个独立的参变量． xo f1 (t ) yo f 2 (t ) 平面运动方程 f 3 (t )
7.1
刚体平面运动的概念与平面运动方程
四．平面运动分解为平动和转动
当图形Ｓ上O'点不动时，则刚体作定轴转动
当图形Ｓ上 角不变时，则刚体作平动． 故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成
ve v A
相对运动：
vBA
vA
ω
A B
vr vBA AB vB v A vBA
点M的绝对速度：
vA
7.2 平面图形上各点的速度分析（基点法）
结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随
图形绕基点转动速度的矢量和。
vB vBA vA
ω
A
B
根据这个结论，平面图形内任 意两点的速度必存在一定的关系。 取点A为基点，则点B的速度为
7.2
平面图形上各点的速度分析（瞬心法）
例：图示机构：OA=0.15m，n=300 rpm，BC=BF=0.53m。 AB=0.76m，图示位臵时, AB水平。求：该位臵时的ωBC、 ωAB 及 vC。