人教b版高一数学必修一：2.1.1《函数(2)》学案(含答案)

2.1.2 函数的表示方法(二)自主学习学习目标了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．自学导引 分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的______________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应________________________．对点讲练知识点一 分段函数的求值问题例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值．规律方法 对于f (a )，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a 所在范围有关，因此要对a 进行讨论．由此我们可以看到：(1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x(x <0)，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．知识点二 分段函数的图象及应用例2 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移2 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)－2x ＋2，x ∈[12，1]，在平面直角坐标系中作出y ＝f (x )的图象，并写出值域．知识点三 分段函数的简单应用例3 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是： (1)乘坐5 km 以内，票价2元；(2)5 km 以上(含5 km)，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)．已知两个相邻的公共汽车站之间相距约 1 km ，如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象．规律方法 该类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，画图象时，注意每段定义域端点的虚实．变式迁移3 电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x 元与通话时间t (分钟)的函数解析式，并画出t ∈(0,7]的图象．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．含有绝对值的函数解析式要化为分段函数处理．3．画分段函数的图象要逐段画出，求分段函数的值要按各段的区间范围代入自变量求值.课时作业一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2(x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]为( ) A ．－x B ．－x 2 C ．x D ．x 24．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2(0≤x ≤1)2 (1<x <2)x ＋1 (x ≥2)的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．[0,2]∪[3，＋∞)二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x ≤3)的图象．8. 已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．2．1.2 函数的表示方法(二) 答案自学导引(1)对应法则 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 对点讲练例1 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3， ∴a ＝1(舍去)；当－1<a <2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3， ∴a ＝±3，其中负值舍去，∴a ＝3； 当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3，∴a ＝32(舍去)．综上所述，a ＝ 3.变式迁移1 a <－1解析 当a ≥0时，f (a )＝12a －1，解12a －1>a ，得a <－2与a ≥0矛盾，当a <0时，f (a )＝1a ，解1a>a ，得a <－1.∴a <－1. 例2 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 变式迁移2 解 如图所示，函数y ＝f (x )的图象是由f 1(x )＝－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)的图象(抛物线的一段)及f 2(x )＝－2x ＋2，x ∈[12，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．例3 解 设票价为y 元，里程为x km ， 由题意可知0<x ≤20.所以y 关于x 的函数为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (0<x <5)3 (5≤x <10)4 (10≤x <15)5 (15≤x ≤20)其图象如图所示．变式迁移3 解 由题意可知，变量t ∈(0，＋∞)，故x 与t 的函数关系的表达式为 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2 t ∈(0，3]0.2(n －1) t ∈(n ，n ＋1](n ∈N ，n ≥3)， 其图象如图所示．课时作业1．A [f (2)＝22＋2－2＝4，1f (2)＝14， f (14)＝1－(14)2＝1516.故选A.] 2．A [由题意知f (3)＝f (3＋2) ＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.]3．B [当x <0时，g (x )＝－x 2<0，∴f [g (x )]＝－x 2.] 4．D [画图象可得．] 5．π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1. 6．{x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.7．解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)． ∵点(1,1)、(0,2)在射线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2. ∴左侧射线对应的函数解析式为 y ＝－x ＋2 (x <1)．同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a <0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).9．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。

2.1.1 函数【预习达标】⒈设Ａ、Ｂ是两个非空数集合，如果按照某种对应法则ｆ，对Ａ内____________________，在B 中______________________________与x 对应，则称ｆ是_________________的映射，这时，称ｙ是_______________________，记作_______．ｘ称作__________．映射ｆ也可记为______________，其中Ａ叫做____________________，由________________________叫做映射f 的值域，记作_______．⒉如果映射ｆ__________________________，并且对于集合Ｂ中的__________，在集合A 中_____________________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做________________的一一映射．⒊映射是___________的推广，函数是__________________．⒋集合A 到集合B 上的映射或函数，允许______________________，而不允许_____________________．【课前达标】⒈已知集合Ｐ＝｛ｘ｜０≤ｘ≤４｝，Ｑ＝｛ｙ｜０≤ｙ≤２｝，下列从Ｐ到Ｑ的对应关系ｆ不能构成映射的是（ ）Ａ．ｆ：ｘ→ｙ＝21ｘ Ｂ．ｆ：ｘ→ｙ＝31ｘＣ．ｆ：ｘ→ｙ＝32ｘ Ｄ．ｆ：ｘ→ｙ＝81ｘ2⒉已知元素(ｘ，ｙ)在映射ｆ下的原象是（ｘ＋ｙ，ｘ－ｙ），则（１，２）在ｆ下的象是______________．⒊集合Ａ＝｛b a ,｝，Ｂ＝｛０，１｝，从Ａ到Ｂ可建立多少种不同的映射？有多少种一一映射？【典例解析】例⒈下列对应是不是从Ａ到Ｂ的映射，为什么？⑴Ａ＝（０，＋∞），Ｂ＝Ｒ，对应法则是＂求平方根＂；⑵Ａ=｛ｘ|－２≤ｘ≤２｝,Ｂ=｛ｙ|０≤ｙ≤１｝,对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=42x （其中ｘ∈A,ｙ∈B ）⑶Ａ=｛ｘ|０≤ｘ≤２｝，Ｂ=｛ｙ|０≤ｙ≤１｝，对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=(x －2)2(其中x ∈A,y ∈B)⑷Ａ=｛ｘ|ｘ∈Ｎ｝，Ｂ=｛－１，１｝，对应法则是ｆ：ｘ→ｙ=(－1)x （其中ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ）．例⒉设Ａ＝Ｂ＝Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋６，求⑴集合Ａ中21和－３的象；⑵集合Ｂ中21和－３的原象．【能力达标】选择题：⒈设Ａ＝｛１，２，３，４，５｝，Ｂ＝｛６，７，８｝，从集合Ａ到集合Ｂ的映射中，满足ｆ(1)≤ｆ(2)≤ｆ(3)≤ｆ(4)≤ｆ(5)的映射有（ ）Ａ．16个 Ｂ．14个 Ｃ．12个 Ｄ．8个 ⒉已知映射ｆ：Ａ→Ｂ，其中集合Ａ＝｛－３，－２，－１，１，２，３，４｝，集合Ｂ中的元素是Ａ中元素在映射ｆ：Ａ→Ｂ下的象，且对任意的A a ，在Ｂ中和它对应元素是｛a ｝，则集合Ｂ中的元素的个数是（ ）Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ 填空题：⒊若Ｍ＝｛－１，０，１｝，Ｎ＝｛－２，－１，０，１，２｝，从Ｍ到Ｎ的映射满足：对每个ｘ∈Ｍ恒使ｘ＋ｆ(ｘ)是偶数，则映射ｆ有____________________个．⒋设Ａ＝Ｚ，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｎ＋１，ｎ∈Ｚ｝，Ｃ＝Ｒ，且从Ａ到Ｂ的映射 是ｘ→２ｘ－１，从Ｂ到Ｃ的映射是ｙ→121y ，则经过两次映射Ａ中元素１在Ｃ中的象是____________________．解答题：⒌设Ａ＝｛１，２，３，ｍ｝，Ｂ＝｛４，７，ｎ4，ｎ2＋３ｎ｝．对应关系ｆ：ｘ→ｙ＝ｐｘ＋ｑ，是从集合Ａ到集合Ｂ的一个映射,已知ｍ,ｎ∈Ｎ+,１的象是４,７的原象是２,试求ｐ，ｑ，ｍ，ｎ的值.参考答案【能力达标】⒈Ｃ［解析］若ｆ(1)＝６按要求有15个映射，若ｆ(1)＝７按要求有５个映射，若ｆ(1)＝８按要求有1个映射，所以共15＋５＋１＝21个映射．故选Ｃ．⒉Ａ［解析］由条件知，集合Ｂ中有元素１，２，３，４共４个．故选Ａ．⒊12［解析］由条件知若x 是奇数时ｆ(x)为奇数,x 是偶数时ｆ(x)为偶数,所以共2×3×2=12个映射．⒋31［解析］由条件知ｘ＝１时得Ｂ中对应元素是１，即ｙ＝１，则Ｃ中对应元素是311121=+⨯．⒌解：∵１的象是４，７的原象是２列方程组得 ｐ＋ｑ＝４ 解得 ｐ＝３ 故对应关系为：２ｐ＋ｑ＝７ ｑ＝１ ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１由此可得Ａ中元素３的象要么是ｎ4，要么是ｎ2＋３ｎ．若ｎ4＝10，因为ｎ∈Ｎ+不可能，所以ｎ2＋３ｎ＝10，解得ｎ＝－５（舍）或ｎ＝２．又集合Ａ中的元素ｍ的象只能是ｎ4＝16，即３ｍ＋１＝16，∴ｍ＝５．故ｐ＝３，ｑ＝１，ｍ＝５，ｎ＝２．。

2.1.1 函数教学设计一、教学目标（1）知识与技能目标：(1)会用集合与对应的语言刻画函数；（2）会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单应用.（2）过程与方法目标：通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步的认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析、解决问题的能力。

（3）情感、态度与价值观目标：通过师生、生生互动的教学活动过程中，让学生体会成功的愉悦，培养学生热爱数学的态度，提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.二、教学重点、难点本节课的教学重点是函数概念的理解，难点是对函数符号的理解。

三、教学方法与教学手段教学方法：采用“学案教学”的教学方法，通过不同实例的探究，让学生积极参与教学活动。

教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高课堂效率。

教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入1.实例引入复习初中的常量、变量与函数的概念。

问题1：在加油站为汽车加油，油价为每升4.16元，启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为12升时停下。

问金额y元与加油量x升之间的关系式是什么？学生积极思考，回答教师提出的问题。

从多媒体展示的生活问题入手，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。

通过实例：（1）认识生活中充满变量间的依赖关系；（2）激发学生学习兴趣，提高发散思维能力。

概念形成让同学们看课本第32页例1~3，回答下列问题：问题2：（1）你从例题中了解到哪些信息？（2）自变量的取值范围是多少？学生独立思考2~3分钟，然后分组讨论，交流。

讨论、整理出本组同学所想到的各种想法。

教师巡视，关注学生讨论的情况。

实际问题引出概念，激发学生学习兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。

北京市延庆县第三中学高中数学2.1.2 函数的表示方式教案新
人教B版必修1
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．教学方法：教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法.
教
学环
节
任务
与目的
时
间
教师活动学生
活动
环
节1
点
击双
基
环
节二
典
型例
设疑
激趣，导
入课题
对函
数表达
式的理
解应用
1
5
分
钟
1
5
分
函数的表示方法
1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表
示函数关系的方法
新中国成立后共进行了五次人口普查，各次普查得
到的人口数据如表所示，
年份1
953
1
964
1
982
1
990
2
000
总人口
数（亿）
根据上表，写出函数的定义域和值域.
2.图像法：用图形表示函数的方法
3.解析法：在函数y=f（x）中，f（x）是用代数式
（或解析式）来表达的（或公式法）。

二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x
的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数
通常叫做分段函数
例⒈作函数y x
=的图像
例⒉作函数[]
y x
=（不超过x的最大整数）的图
学生
思考、交
流
学生
讨论交流。

2.1.1函数教案（1）教学目标：（1）通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

（2）学习用集合语言刻画函数。

（3）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式。

教学重点：函数的概念.教学过程：1．通过多教材上四个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2．引出用集合语言刻画函数（见教材第33页）函数的定义，设集合A是一个__________数集，对A中的__________，按照__________，都有__________数y与它对应，则__________叫集合A上的一个函数，记作__________。

函数的定义域是指：____________________。

值域是指______________________________。

3．函数的两要素：对应法则、定义域。

只有当这两要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

4．区间概念axx=≤≤ba[]},|{baxx=≤b<a[)},|{baxx=≤b<,(a}]|{baxx=<b<{ba)(,}|x-∞xb≤=,{b(]}|≤axa=x}),[{+∞|【例题讲解】例1、求函数2314)(2+---=x x x x f 的定义域。

例2、求下列函数的值域。

（1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y（2）1+=x y [例3、已知23)1(2+-=+x x x f（1）求f(2)和f(a)的值。

（2）求f(x)和f(x-1)的值。

参考答案：例1．解：由⎩⎨⎧≠≠≤⎩⎨⎧≠+-≥-214023042x x x x x x 且得 ∴定义域为}214|{≠≠≤x x x x 且且例2．解：（1）值域为{3,5,7,9}（2）∵ 0≥x ∴11≥+x ∴值域为),1[∞+ 例3．解：（1）02131)11()2(2=+⨯-=+=f f652)1(3)1()11()(22+-=+---=+-=a a a a a f a f（2）652)1(3)1()11()(22+-=+---=+-=x x x x x f x f 276)1(5)1()1(22+-=+---=-x x x x x f课堂练习：教材第35页练习A、B小结：学习用集合语言刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域和解析式[课后作业：第58页习题1-1B第1题。

2.1函数2.1.1函数学习目标：1.理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2.会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3.能正确使用区间表示数集．(重点)[自主预习·探新知]1．函数的相关概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．(2)函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．(3)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．思考1：如何准确理解函数的概念？[提示](1)函数记号y＝f(x)的内涵：符号“y＝f(x)”指的是“y是x的函数”，它仅仅是抽象的、简洁的函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，y ＝f(x)是指对于定义域A中的任意x，在对应关系f的作用下，在值域C中有唯一的y与之对应，f(x)不一定是解析式，也可以是函数的其他表示形式，如图表法等．(2)要注意符号“f(a)”与“f(x)”的区别与联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，它是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况(非常数函数)下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．2．区间的概念与表示(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：思考2：如何正确理解区间的概念？[提示](1)区间表示了一个数集的范围，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a<b.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．(5)用＋∞，－∞表示区间的端点处不能写成闭区间形式．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．()[解析](1)×定义域和值域可以是有限集也可以是无限集．(2)×根据函数的定义可知，对于定义域中的一个x值在值域中只有唯一的一个值f(x)和它对应．(3)√f(a)表示当x＝a时的函数值，它是一个常量．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为()A．－2B．－1C．0D．不确定B[因为f(x)＝－1表示常数函数，所以f(2)＝－1，故选B.]3．填空：(1)集合{x|1<x≤3}用区间可表示为________；(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．[答案](1)(1,3](2)(－2，＋∞)(3)(－∞，2]4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则它的值域为________．{0，－1,3}[把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中所得结果分别为0，－1,0,3，所以值域为{0，－1,3}．][合作探究·攻重难](1)(2)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②B．①③C．③④D．①④(3)判断下列对应是否为函数：①x→y，y＝2x，x≠0，x∈R，y∈R；②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R；③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；④x→y，y＝16x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．[思路探究](1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．(3)利用函数的定义判定．[解](1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.(2)①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.[答案](1)B(2)C(3)①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．[规律方法] 1.判断一个对应关系是否为函数的步骤(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．[跟踪训练]1．判断下列对应是不是实数集R到R上的一个函数．(1)f：把x对应到3x＋1；(2)h：把x对应到1x2；(3)r：把x对应到x.[解] (1)x ∈R ，对应法则为f ：x →3x ＋1，设x 1∈R ，能确定唯一的函数值y 1＝3x 1＋1，所以对应法则f 是实数集R 到R 上的一个函数．(2)x ∈R ，对应法则为h ：x →1x 2，因为x ＝0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则h 不是实数集R 到R 上的一个函数．(3)x ∈R ，对应法则为r ：x →x ，因为x <0时，x 无意义，所以当x <0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则r 不是实数集R 到R 上的函数．](1)函数y ＝3x 1－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12且x ≠－12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12且x ≠－12 [思路探究] 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．[解] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12且x ≠－12，故选B.[答案] B(2)求下列函数的值域：①y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；②y ＝x ＋1；③y ＝3x ＋2x －1； ④函数y ＝8x 2(1≤x ≤2)．[解] ①因为y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，所以y ∈{3,5,7,9,11}．所以函数的值域为{3,5,7,9,11}． ②因为x ≥0，所以x ＋1≥1.所以函数的值域为[1，＋∞)．③y ＝3x ＋2x －1＝3(x －1)＋5x －1＝3＋5x －1≠3.所以函数的值域为{y |y ≠3}．④因为1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4，14≤1x 2≤1，故2≤8x 2≤8，所以函数的值域为[2,8]．[规律方法] 1.求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．求函数值域的方法(1)简单的函数可以观察得到．(2)一次分式(或者可以化成一次分式的形式)可以采用常数分离法求解．(3)含根号的式子注意观察式子本身的隐含条件，结合根式的意义求出其取值范围．(4)二次函数常用配方法求其在R 上的值域．[跟踪训练]2．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________.[－1,0)∪(0，＋∞)． [要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)．]3．函数y ＝－x 2－2x ＋5的值域为________．(－∞，6] [y ＝－x 2－2x ＋5＝－(x ＋1)2＋6因为x ∈R ，所以－(x ＋1)2＋6≤6所以函数的值域为(－∞，6]．][探究问题]1．函数f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)，这里的“[0，＋∞)”是指谁的取值范围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？提示：这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．2．(1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？提示：(1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．3．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域；(2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．[思路探究] (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可．(2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．[解] (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.(2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．[规律方法] 求复合函数定义域的方法(1)已知f (x )的定义域为D ，求f (g (x ))的定义域：由g (x )∈D ，解不等式得出x 的范围，即得到f (g (x ))的定义域．(2)已知f (g (x ))的定义域为D ，求f (x )的定义域：由x ∈D ，求出g (x )的值域，即得到f (x )的定义域．母题探究：(变条件)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，求y ＝f (2x －3)＋f (x 2)的定义域．[解] 因为函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，所以x ＋1∈[－1,4]．即f (x )的定义域为[－1,4]．由⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x －3≤4，－1≤x 2≤4得⎩⎨⎧ 1≤x ≤72，－2≤x ≤2，即1≤x ≤2.所以y ＝f (2x －3)＋f (x 2)的定义域为[1,2]．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x .A ．4B ．3C ．2D ．1B [根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ≤1的实数x 不存在．]2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎨⎧ x ，(x >0)－x ，(x <0)D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x >0)，－x (x <0)，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝x 0B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝x x D [由于y ＝1x 的定义域为{x |x >0}，而D 中f (x )＝x x的定义域也为{x |x >0}．] 4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． [4,5)∪(5，＋∞) [∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5， ∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．]5．已知函数f (x )＝x ＋1x ，(1)求f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。

《函数的定义域》教学设计课题：专题----函数的定义域课时：1课时课型：复习课教学目标：理解函数的定义域的概念，熟练掌握函数定义域的求法。

学情分析：本课是一轮复习的复习课，高一的学习中学生已经初步掌握了函数的定义域的求法，但是由于学生的基础比较差，属于数学学困生，所以尽管是复习课，题目的设置仍然比较基础，为的是循序渐进，激发学生的学习兴趣，而后渐入佳境。

教学流程：教学环节教学内容设计图课前展示学生准备，主持人提问学生简单函数的定义域复习简单函数定义域，为所复习的内容作铺垫阅读感悟一学生复习不同形式函数的定义域的求法自我检测一1、某种杯子每只元，买只，所需钱数为元，用下表表示这个函数，则函数的定义域为______________2则函数的定义域是的函数，是、右图表示xy检测学生对以表格形式和图象形式给出的函数的定义域的求法阅读感悟二1、求函数定义域的主要依据：①整式函数的定义域为R；②分式函数中分母____________；③偶次根式函数被开方式_____________；④函数=0的定义域为_________；⑤指数函数＝aa＞0且a≠1的定义域为__ _________；⑥对数函数＝og a a＞0且a≠1的定义域为________2、通过例题总结求函数定义域的步骤：()().13lg1132的定义域求函数例：++-+=xxxxf⎪⎭⎫⎝⎛-<<-⎩⎨⎧>+>-1,31131131所以函数的定义域为解得当且仅当解：若使函数有意义，xxx复习所学基本初等函数的定义域；求函数定义域步骤：第一步——列：第二步——解：第三步——答：（注意用集合或区间的形式写出）自我检测二求下列函数的定义域：1、()xxxf-+-=732；2、()53-+=xxxf；3、()()33xxxf+-=4、()()12log21+=xxf1、练习不同类型的函数定义域的求法，锻炼学生解题能力与速度及规范步骤；2、组内研讨，核对答案，提高自主解决问题的能力；。

2.1.1 函数教学设计教学目标（1）知识与技能目标：会用集合与对应的语言描述函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单应用.（2）过程与方法目标：从生活实际和学生已有知识出发，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，在此基础上借助数字处理器的思想理解函数的实质.通过函数概念的学习，提高学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力.（3）情感、态度与价值观目标：通过对函数概念的教学，让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程；使学生在初中数学学习的基础上，对数学的高度抽象性、概括性和广泛的应用性有进一步认识；通过课前预习、课上交流，培养学生良好的学习习惯，使学生获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.教学重难点由于函数概念中的“对应”本质是后继学习映射、函数图像与性质、指对幂函数等知识的基础，而学生初中对函数的学习是在“变量”观点下的定义，所以本节课的教学重点是函数概念的理解.学生在初中函数学习中，只停留在对一些具体函数的感知，所以本节课的教学难点是对函数符号的理解.学生的理解障碍有两个：一是符号的高度抽象性，二是函数中的任意性，学生对取的理解有一定困难，所以要充分铺垫，循序渐进.学情分析及教学内容分析一、学情分析：由于初中函数的概念是“变量说”定义，学生对这种定义已经很熟悉，应用起来得心应手，受先入为主思想的影响对“对应说”定义引入的必要性认识不足，对函数的“对应说”定义接受起来多少有一种排斥心理；学生初中对函数的理解仅停留在一些具体函数的层面上，更确切的说是限于对函数具体解析式的理解，初中数学学习学生重计算、重例题，对抽象的函数符号理解有一定困难.另外，学生受前几届学生的影响，认为函数难学的畏难心理较重，对函数的学习存在或多或少的恐惧.不过，学生生活中已经积累了丰富的函数的实例素材，这为函数教学做好了准备.从学生的学习习惯上看，学生初入高中自主学习的目的性、主动性还不够，知识的接受基本在课堂，有的学生甚至还不会听课.所以高中数学教学还肩负着教会学生学习的任务.在课堂教学中采用课前预习、引导发现、学生合作交流的教学方法，通过课前预习，实现课堂教学效益的最大化（区间有关概念学生是可以自己解决的）；课堂教学通过创设问题情境，注意通过学生熟悉的实际生活问题，和已经具备的函数知识引入课题，注重创设情景，拉近数学与现实之间的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性，教师引导、启发，带领学生讨论交流，实现知识的内化、迁移.二、教学内容分析：函数是贯穿整个数学课程的一个基本脉络.本节课是在学生前面学习了集合的有关知识和初中已经学习了函数概念的基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，是接下来学习映射、函数的表示方法、函数的单调性、函数的奇偶性的基础.同时，函数概念的教学是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律.教学过程1．课前预习：（1）对照初中数学和高中数学函数概念，谈一谈两概念的相同点、不同点？（2）根据你对函数概念的理解和生活经验，在你的身边找两个函数实例.（3）区间的有关概念教学中并不急于让学生展示预习成果，原因是预习题（1）函数概念学生理解肯定有偏差，通过预习能知道初高中两定义中相同字眼“唯一确定”就可以了，让学生理解不同角度“变量”与“对应”是不现实的，借此讲解概念效果不好；预习题（2）所找的函数让学生在概念学习后去自省自悟；预习题（3）区间的有关概念真正体现学生自己能学会的不讲，达到课堂教学的效益最大化.2．情境导入：中考结束后，大家急切想知道自己的成绩，你是怎样知道自己的总分的？通过电话或者是网络查询，输入一个准考证号得到一个总分，这是不是一个函数？在这一过程中，我们不像初中函数那样关注成绩与准考证号这两个变量的依赖关系，研究一个变量随另一个变量变化而变化的规律性；而是注重两个量之间的对应关系.高中数学的函数就是从对应的角度定义函数的.通过这一实例使学生对抽象的概念消除了畏难情绪，为后继学习做好心理的准备.（“变量说”到“对应说”的提升——实现函数概念的第一次认识）3.新课讲授：问题1：中考成绩查询系统实质上就是一个数字处理系统，因此函数可以看作是一个数字处理系统，结合这个例子和预习情况你认为函数这样一个数字处理系统应包含哪几部分？结论1：两个数据库和一个处理器.问题2：数据库有什么要求？处理器在处理过程中遵循的规则是什么？结论2：前面一个非空数集，后面一个是由前面一个产生的.处理器在处理过程中遵循的规则（对应法则）是“任意”——“唯一”.这样降低了知识门槛，使学生觉得函数概念并不难，既便于理解，又帮助记忆，将函数看做数字处理系统，为下面讲解函数符号表示做好铺垫.使学生明白：函数不过是一个数据处理器的数学化.（函数是一个数字处理系统——实现函数概念的第二次认识）问题3：分析教材第29-30页所列的四个实例，是否是函数？对应法则是怎样给出的？你是怎样检验任意给定实数，都有唯一确定的与它对应的？结论3：（1）、（2）的对应法则是图像，（3）的对应法则是数表，（4）的对应法则是解析式；其中图像借助“画”，数表借助“查”，解析式借助“算”，为将来讲解函数的表示方法做好铺垫.交流讨论：分析课前自己找到的生活实例，判断是否是函数？（通过学生对自己和小组成员所找函数实例的辨析，让学生自省自悟，体会成功的愉悦，加深对函数概念的理解）.问题4：通过以上学习谈一谈对“任意实数”和“唯一确定”的理解.强化：这两点是函数的核心部分.讲解：对应法则的给出形式多样，我们用“”表示，记作，实现了图、表、数的高度抽象概括.由以上分析可知，函数就是一个数字处理系统，就是它的处理器.问题5：举例说明你在初中学过的函数的分别是什么？这样让学生将一个抽象的对应法则变为可以看得见的具体法则，并且有的可以用解析式表示有的不能用解析式表示，从而明确数学引进抽象符号的必要性.（对这一数字处理器的认识——实现函数概念的第三次认识）练习与巩固：教材第33页练习A第1题学生总结函数的概念并阅读教材第31页，小组讨论对函数概念的理解，并让小组代表发言，这是兵教兵的过程，又是对函数概念的内化过程，也是对函数概念的记忆过程.同时是对预习中函数值、定义域、区间等基础概念再一次强化的过程.学生独立完成教材第32页例1及第33页练习A第3题.教师强化解题格式，并小结求定义域的方法.例2.求函数，在处的函数值和值域.学生独立完成，教师适当点拨，简单总结求值域的方法.（针对初中一次函数、二次函数、反比例函数总结）练习与巩固：教材第33页练习A第3,7,8题.例3.（1）已知函数，求，，，；此题从特殊的2到再到最后到，使学生明确数字处理器既可以处理一个具体的数，也可以处理字母和代数式.（2）已知函数，求.此题让学生先独立思考，然后分组讨论、交流，启发学生运用整体代换进行变形.练习与巩固：教材第33页练习A第5，6题.4.课堂小结（师生共同完成）：（1）函数的有关概念.（2）确定一个函数的两个要素.（3）如何检验两个变量之间是否具有函数关系.5.课堂检测（活页练习）：⑴判断下列对应是否为函数：①②⑵求函数的定义域；⑶已知函数，求6.布置作业：（1）教材第33页练习B第3，4题，教材第52页习题A第4题,习题B第1题.（2）预习作业：什么叫映射？映射与函数有什么关系？（3）提高作业：①教材第33页练习B第1，2，5题；②若，求函数的解析式，并求的定义域和值域.分层布置作业，强化因材施教.教学反思：1.重视学生的亲身体验．借助学生印象深刻的生活经历，将新知识与学生的已有知识和生活经验联系起来．注意挖掘数学知识的现实背景，再现数学知识的抽象过程；问题情景的设置形成逐层深入环环相扣的问题链，以问题解决为线索，引导学生主动讨论、积极探索.2.体现学生学习方式的变革，倡导自主学习、合作学习、探究学习的学习方式；体现“以人为本”思想，强调课堂教学的有效性，不仅强调在实践中完成学生自身知识的建构，并要求在完成学习任务的同时有所感悟、有所创造.3.倡导课前预习，先学后教，以学定教，学生能课前自主解决的内容课堂不讲，增加课堂容量，追求课堂教学效益的最大化；引导学生学会阅读教材、理解教材，体会数学概念的形成过程，由具体实例到抽象知识再用抽象知识解决具体问题的认知过程，注重培养学生的自学能力和良好的学习习惯.4.在课件制作方面，并没有过多展示题目，而是设计了比较形象的“数字处理系统”，让学生看得见、摸得着，把抽象的函数概念形象化，效果很好.5.由于学生提前预习，先学后教，课堂教学中知识缺乏系统性、完整性；课堂容量大，时间有些紧，课堂留白不足.。

高一数学第二章第二课时学案2.1.1函数-------变量与函数的概念一．学习目标1. 深入理解函数的概念和记号y=f(x)的含义，进一步培养学生运用函数模型表达、思考和解决函数有关问题的能力。

2. 能正确求一些简单函数的定义域和值域。

3. 了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点。

二． 自主学习三.小试牛刀：1.求下列函数的定义域：（1）()f x = （2）1()2f x x =-；（3）y = （4）()1f x x =+2求下列函数的值域（1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y （2）1+=x y（3）223y x x =++3.想一想如何求一个函数的定义域和值域？四．典例分析：例1. .求下列函数的定义域：（1）11)(-=x x f （2）1||1)(-=x x f（3）2314)(2+---=x x x x f （4）0()(21)f x x =-思考：给出解析式的函数的定义域需注意什么？[].1,41例2设函数f(x)的定义域为，求下列函数的定义域（）[][]1(1)(2)2,4()22,4()f x f x f f x +问题拓展若的定义域为，求的定义域；（）若的定义域为，求的定义域。

[].(1)-2,3(21)y f x f x =+-问题拓展2函数的定义域是，求的定义域。

问题拓展3 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域。

例3. 求下列函数的值域：112++=x x y ）（ xy 112+=）（ 1)3(++=x x y 1)4(22+++=x x x x y 五．快乐体验1. .求下列函数的定义域：（1）y = (2) xx x f -++=211)( (3) 1212)(2--+=x x x x f(4) y =(5) 3)y x =-(6) 1y x =+ 2. 求下列函数的值域 (1)f(x)=3x －1(｛x|11x x Z -≤≤∈且｝) ; ()(){}2(2)11,x 1,0,1,2,3f x x =-+∈-()()2(3)11f x x =-+ (4)28(12)y x x=≤≤ 3.(1) []-1,1(21)f x -已知函数f(x)的定义域是，则函数的定义域;(2) 若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域；(3). 若函数f （3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域.六．今天我学到了什么？。

高中数学人教B版必修一2.1.1《函数》word教案----c2a158ca-6ebe-11ec-aa1b-7cb59b590d7d学科：数学课题：2.1.1函数教学目标（三维融通表述）：（1）通过丰富实例，学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数（2）学生了解构成函数的要素；（3）通过练习，学生会求一些简单函数的定义域；（4）学生能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程教学环节引入新课讲解典型例题分析问题与任务复习函数概念引导学生理解函数概念会求定义域、函数值时间3分钟8分钟18分钟教师活动1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本p29引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：重点讲解函数概念，符号意义，函数的三要素和区间的表示1.函数注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数，而不是f乘x．如何检验给定两个变量之间是否有函数关系2.构成函数的三要素：3.区间的概念及表示学生活动复习理解概念学生尝试解决问题例⒉求函数ｆ(ｘ)＝1，ｘ∈ｒ，在ｘ＝x2?1０，１，２处的函数值和值域．例3判断下列函数是否表示同一个函数，说明理由？0（1）f(x)=(x－1)；g(x)=1（2）f(x)=x；g(x)=x22（3）f(x)=x；f(x)=(x+1)（4）f(x)=|x|；g(x)=x222(5)f(x)=x,g(x-2)=(x-2),g(t)=t例4判断下列函数是否为同一函数，并画出其图22巩固和提高14分钟内解决定义域和函数值的熟练程度，并解释其定义域和值域22（1）f（x）=XG（x）=x，（？1？x？2）（2）f（x）=2x+2g（x）=2x+2（？1？x？2）1查找函数y？十、2.2.X.2Y的定义域和值域？2倍？2.2.X的域是y？2倍？2.十、20（x？3）3。

第二章 等式与不等式2．1 等 式2．1.1 等式的性质与方程的解集1.常用乘法公式(1)公式： 公式名称符号表示 文字表示 平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差完全平方 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2两数和(或差)的平方，等于公式这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍其他恒等式①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac(2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍．2．十字相乘法具体形式：①二次项系数为1时：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)②二次项系数不为1时：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)记忆口诀：拆两头，凑中间．十字相乘法分解因式的关键是什么？提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．3.方程的解集(1)定义：方程的解(根)能使方程左右两边相等的未知数的值方程的解集一个方程所有解组成的集合的不同．(3)应用：求解方程的解(或解集).把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( ×)提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).( ×)提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( ×)提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝．【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2).答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______．【解析】由方程x2－17x＋66＝0得：(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.答案：6类型一常用乘法公式的应用(数学运算)1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为()A．5 B．－5C．11 D．－11【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是()A．8x2－8y2B．8y2－8x2C．8(x＋y)2D．8(x－y)2【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______.【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.答案：7常用乘法公式的应用技巧(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．类型二十字相乘法分解因式(数学运算)【典例】把下列各式因式分解．(1)x2＋3x＋2.(2)6x2－7x－5.(3)5x2＋6xy－8y2.【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)1×2＋1×1＝3(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)2×(－5)＋3×1＝－7(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)1×(－4y)＋5×(2y)＝6y十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于二次三项式ax 2＋bx ＋c 中一次项的系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1是图中上面一行的两个数，a 2，c 2是下面一行的两个数．分解下列各因式：(1)8x 2＋26xy －15y 2；(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2.【解析】(1)8x 2＋26xy －15y 2＝(2x －y)(4x ＋15y).(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2＝(7a ＋7b ＋2)(a ＋b －1).【拓展延伸】齐次式的因式分解(1)齐次式是指合并同类项后，每一项关于x ，y 的次数都是相等的多项式．次数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式．如x －2y 是一次齐次式；x 2＋xy 是二次齐次式．(2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为ax 2＋bxy ＋cy 2的形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的y 看作参数直接进行因式分解；二是在解决此类问题的等式时可以同除以y 2转化为x y 的二次形式后利用因式分解进行分解或求值． 【拓展训练】x 2－13xy －30y 2分解因式为( )A ．(x －3y)(x －10y)B ．(x ＋15y)(x －2y)C ．(x ＋10y)(x ＋3y)D ．(x －15y)(x ＋2y)【解析】选D .x 2－13xy －30y 2＝(x －15y)(x ＋2y)1×2y ＋1×(－15y)＝－13y类型三 方程的解集(数学运算)一元一次方程的解集【典例】若x ＝－3是方程3x －a ＝0的解，则a 的值是( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可．【解析】选C .把x ＝－3代入方程3x －a ＝0得：－9－a ＝0，解得：a ＝－9.一元二次方程的解集【典例】解下列一元二次方程：(1)2x 2＋7x ＋3＝0；【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用十字相乘法解方程．【解析】原方程化为(2x ＋1)(x ＋3)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12 . (2)2x 2－7x ＋3＝0；【解析】原方程化为(2x －1)(x －3)＝0，解得x ＝12 或x ＝3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3 . (3)－3x 2－4x ＋4＝0；【解析】原方程化为3x 2＋4x －4＝0，即(3x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝23 或x ＝－2，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，23 . (4)6x(x ＋2)＝x －4.【解析】原方程化为6x 2＋11x ＋4＝0，即(2x ＋1)(3x ＋4)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－43 ，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－43 . 分类讨论思想的应用【典例】解方程ax 2－(a ＋1)x ＋1＝0.【思路导引】把二次项系数分为a ＝0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程．【解析】当a ＝0时，原方程可化为－x ＋1＝0，所以x ＝1，当a≠0时，对于ax 2－(a ＋1)x ＋1来说，因为a×1＝a ，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1).如图所示：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)，所以原方程可化为(ax －1)(x －1)＝0，所以ax －1＝0或x －1＝0，所以x ＝1a 或x ＝1.1．利用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边进行因式分解；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解一元一次方程，得到方程的解．2．对于二次三项式分解因式的注意事项对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数．注意，交叉相乘横着写．3．形如ax 2＋bx ＋c ＝0(含参)的方程的解法方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0时，解一元二次方程．1．多项式x ＋5与2x －8互为相反数，则x ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】选C.根据题意得：x ＋5＋2x －8＝0，移项合并得：3x ＝3，解得x ＝1.2．求下列方程的解集： (1)5x 2－2x －14 ＝x 2－2x ＋34 .(2)12x 2＋5x －2＝0.【解析】(1)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.于是得2x ＋1＝0或2x －1＝0，即x ＝－12 或x ＝12 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 . (2)分解因式得：12x 2＋5x －2＝(3x ＋2)(4x －1)3×(－1)＋4×2＝5因为12x 2＋5x －2＝0，所以(3x ＋2)(4x －1)＝0，所以3x ＋2＝0或4x －1＝0，即x ＝－23 或x ＝14 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23，14 . 3.解方程12x 2－ax －a 2＝0.【解析】当a ＝0时，原方程可化为：12x 2＝0，所以x ＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a ＝－a 2，3×a ＋4×(－a)＝3a －4a ＝－a ，如图所示所以12x 2－ax －a 2＝(3x －a)(4x ＋a)，所以原方程可化为(3x －a)(4x ＋a)＝0.所以3x －a ＝0或4x ＋a ＝0，所以x 1＝a 3 ，x 2＝－a 4 .【补偿训练】(2020·苏州高一检测)若方程(x －2)(3x ＋1)＝0，则3x ＋1的值为( )A ．7B ．2C ．0D ．7或0【解析】选D .由方程(x －2)(3x ＋1)＝0，可得x －2＝0或3x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13 ，当x ＝2时，3x ＋1＝3×2＋1＝7；当x ＝－13 时，3x ＋1＝3×(－13 )＋1＝0.备选类型 方程的解的应用(数学建模、数学运算)【典例】我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米12 150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式，求得方程的解．【解析】选C .设平均每次下调的百分率为x ，则：15 000·(1－x)·(1－x)＝12 150，所以(1－x)2＝0.81，所以1－x ＝0.9或1－x ＝－0.9，解得x＝0.1或x＝1.9.因为x＜1，所以x＝1.9(舍)，所以x＝0.1.所以平均每次下调的百分率为10%.解决实际问题的一般步骤(1)审清题意，理顺问题的条件和结论，找到关键量．(2)建立文字数量关系式．(3)转化为数学模型．(4)解决数学问题，得出相应的数学结论．(5)返本还原，即还原为实际问题本身所具有的意义．甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率．(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10 000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？【解析】(1)设这种商品平均降价率是x，依题意得：40(1－x)2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)；故这个降价率为10%.(2)设降价y元，则多销售(y÷0.2)×10＝50y件，根据题意得(40－20－y)(500＋50y)＝10 000，解得：y＝0(舍去)或y＝10，答：在现价的基础上，再降低10元．1．已知等式3x ＋2y ＋6＝0，则下列等式正确的是( )A ．y ＝－32 x －3B ．y ＝32 x －3C ．y ＝－32 x ＋3D ．y ＝32 x ＋3【解析】选A.由等式3x ＋2y ＋6＝0，可得y ＝－32 x －3.2．(2021·青岛高一检测)一元二次方程(x ＋3)(x －3)＝3(x ＋3)的解集是( )A ．{3}B ．{6}C ．{－3，6}D ．{－6，3}【解析】选C.(x ＋3)(x －3)－3(x ＋3)＝0，即(x ＋3)(x －3－3)＝0，所以x ＋3＝0或x －3－3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6.3．(教材练习改编)多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－2【解析】选D.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ＝x 2－3x ＋a ， 所以5＋b ＝3，a ＝5b ，所以b ＝－2，a ＝－10.4．(2021·南昌高一检测)一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x 2＋px ＋q 可分解为( )A ．(x ＋1)(x －2)B ．(2x ＋1)(x －2)C ．2(x －1)(x ＋2)D ．2(x ＋1)(x －2)【解析】选D.因为一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，所以2(x＋1)(x－2)＝0，所以2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2). 5．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝______．【解析】因为x＝3是方程2x－10＝4a的解，所以2×3－10＝4a，所以4a＝－4，所以a＝－1.答案：－1。

示范教案整体设计教学分析本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．三维目标通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①函数的基本知识．②含有字母问题的研究．③抽象函数的理解．教学难点：①分类讨论的标准划分．②抽象函数的理解．课时安排1课时教学过程导入新课函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容之一，为了系统掌握本章知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题画出本章的知识结构图.讨论结果：应用示例思路1例1求函数y ＝3x x 2＋4的最大值和最小值． 分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值．解：(判别式法)由y ＝3x x 2＋4得yx 2－3x ＋4y ＝0， ∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0必有实数根．当y ＝0时，则x ＝0，故y ＝0是一个函数值；当y≠0时，则关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0是一元二次方程，则有Δ＝(－3)2－4×4y 2≥0，∴0＜y 2≤916.∴－34≤y ＜0或0＜y≤34， 综上所得，－34≤y≤34. ∴函数y ＝3x x 2＋4的最小值是－34，最大值是34. 点评：形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c dx 2＋ex ＋f(d≠0)，当函数的定义域是R (此时e 2－4df ＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2＋nx ＋k ＝0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k ＝0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2－4mk≥0即关于y 的不等式，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n 2－4mk≥0，m≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．例2函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f(x)x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 的对称轴是直线x ＝a ，由于函数f(x)在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x ＝a 位于区间(－∞，1)内，即a ＜1.g(x)＝f(x)x ＝x ＋a x－2，下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．设1＜x 1＜x 2，则g(x 1)－g(x 2)＝(x 1＋a x 1－2)－(x 2＋a x 2－2)＝(x 1－x 2)＋(a x 1－a x 2) ＝(x 1－x 2)(1－a x 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2， ∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1＞0.又∵a ＜1，∴x 1x 2＞a.∴x 1x 2－a ＞0.∴g(x 1)－g(x 2)＜0.∴g(x 1)＜g(x 2)．∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．故选D.答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最大值，也没有最小值．例3求函数f(x)＝x2－1的单调区间．分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．设y＝u，u＝x2－1，当x≥0时，u＝x2－1是增函数，y＝u也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．当x≤0时，u＝x2－1是减函数，y＝u也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝x2－1在(－∞，－1]上是减函数．即函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y＝f[g(x)]，如果y＝f(u)，u ＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y＝f[g(x)]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．思路2例1某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b1；在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b2，其中k＜0，b1＞0，b2＞0且k、b1、b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题：(1)填写表格中空格的内容：(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？分析：(1)销售总利润y＝销售量r(x)×每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为求二次函数y＝f(x)的最大值，由条件②③求出b2与k的关系，应用二次函数的知识求解．解：(1)在销售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx2－(100k－b1)x－100b1；在销售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx2－(100k－b2)x－100b2.故表格为：(2)∵k ＜0，b 1＞0，b 2＞0，∴－b 12k ＞0，－b 22k＞0. ∴50－b 12k ＞0,50－b 22k＞0. 则在销售旺季，y ＝kx 2－(100k －b 1)x －100b 1，∴当x ＝100k －b 12k ＝50－b 12k时，利润y 取最大值；在销售淡季，y ＝kx 2－(100k －b 2)x －100b 2，∴当x ＝100k －b 22k ＝50－b 22k时，利润y 取最大值．由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．因此在销售旺季，当标价x ＝50－b 12k＝140时，利润y 取最大值．∴b 1＝180k. ∴此时销售量为r(x)＝kx －180k.令kx －180k ＝0，得x ＝180，即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180×23＝120元/件． 可见在销售淡季，当标价x ＝120元/件时，销售量为r(x)＝kx ＋b 2＝0.∴120k ＋b 2＝0.∴b 2k＝－120. ∴在销售淡季，当标价x ＝50－b 22k＝50＋60＝110元/件时，利润y 取得最大值． 即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．点评：在应用问题中，需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题时，常常通过建立数学模型，转化为求函数最值的问题．其步骤是：①阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；②引进数学符号，建立数学模型．如果条件中没有设未知数，那么要设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；③利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；④将所得结果再转译成具体问题的答案．例2求函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最小值．分析：思路1：画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路2：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值．解：方法1(图象法)：y ＝|x ＋2|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，2x ，4， x≤－2，－2<x<2，x≥2.其图象如下图所示．由图象得，函数的最小值是－4，最大值是4.方法2(数形结合法)：函数的解析式y ＝|x ＋2|－|x －2|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±2的对应点A 、B 的距离的差，即y ＝|PA|－|PB|，如下图所示，观察数轴可得－|AB|≤|PA|－|PB|≤|AB|，即函数y ＝|x ＋2|－|x －2|有最小值－4，最大值4.点评：求函数最值的方法：图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值．其步骤是：①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值．数形结合法：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值．其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值．例3定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x 、y ∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y 1＋xy)． (1)求证：函数f(x)是奇函数；(2)若当x ∈(－1,0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1,1)上是减函数．分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x ＝－y 是解题关键；(2)定义法证明，其中判定x 2－x 11－x 1x 2的范围是关键． 证明：(1)函数f(x)定义域是(－1,1)，由f(x)＋f(y)＝f(x ＋y 1＋xy )，令x ＝y ＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0＋01＋0)， ∴f(0)＝0.令y ＝－x ，得f(x)＋f(－x)＝f(x －x 1－x 2)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减，令0＜x 1＜x 2＜1，则f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝f(x 1－x 21－x 1x 2)＝f(－x 2－x 11－x 1x 2)， ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0.∴x 2－x 11－x 1x 2＞0. 又(x 2－x 1)－(1－x 1x 2)＝(x 2－1)(x 1＋1)＜0，∴0＜x 2－x 1＜1－x 1x 2.∴－1＜－x 2－x 11－x 1x 2＜0.由题意知f(－x 2－x 11－x 1x 2)＞0， ∴f(x 1)＞f(x 2)．∴f(x)在(0,1)上为减函数．又f(x)为奇函数，∴f(x)在(－1,1)上也是减函数．点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性．知能训练1．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x ＋1)－f(x)＝2x.(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．分析：(1)由于已知f(x)是二次函数，用待定系数法求f(x)；(2)结合二次函数的图象，写出最值．解：(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，由f(0)＝1，可知c ＝1.而f(x ＋1)－f(x)＝[a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c]－(ax 2＋bx ＋c)＝2ax ＋a ＋b.由f(x ＋1)－f(x)＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0.因而a ＝1，b ＝－1.故f(x)＝x 2－x ＋1.(2)∵f(x)＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34， ∴当x ∈[－1,1]时，f(x)的最小值是f(12)＝34，f(x)的最大值是f(－1)＝3. 2．已知函数f(x)对任意x 、y ∈R 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且x ＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)判断函数f(x)的奇偶性．(2)当x ∈[－3,3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由． 分析：本题中的函数f(x)是抽象函数，则用定义法判断f(x)的奇偶性和单调性．(1)首先利用赋值法求得f(0)，再利用定义法判断f(x)的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f(x)在[－3,3]内的单调性，利用单调法求出最值．解：(1)∵f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(0)＝f(0)＋f(0)．∴f(0)＝0.而0＝x －x ，因此0＝f(0)＝f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0f(－x)＝－f(x)．∴函数f(x)为奇函数．(2)设x 1＜x 2，由f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，知f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)，∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.又当x ＞0时，f(x)＜0，∴f(x 2－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0.∴f(x 2)＜f(x 1)．∴f(x 1)＞f(x 2)．函数f(x)是定义域上的减函数，当x ∈[－3,3]时，函数f(x)有最值．当x ＝－3时，函数有最大值f(－3)；当x ＝3时，函数有最小值f(3)．f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴当x ＝－3时，函数有最大值6；当x ＝3时，函数有最小值－6.拓展提升问题：某人定制了一批地砖．每块地砖(如图甲所示)是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图乙所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH 是正方形；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？甲 乙分析：(1)由于四块地砖拼出了四边形EFGH ，只需证明△CFE 、△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形即可；(2)建立数学模型，转化为数学问题．设CE ＝x ，每块地砖的费用为W ，求出函数W ＝f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题．解：(1)图乙可以看成是由四块图甲所示地砖绕点C 按顺时针旋转90°后得到，则有CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴△CFE 为等腰直角三角形．同理可得△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形，∴四边形EFGH 是正方形．(2)设CE ＝x ，则BE ＝0.4－x ，每块地砖的费用为W ，设制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a(元)，W ＝12x 2·3a ＋12×0.4×(0.4－x)×2a ＋[0.16－12x 2－12×0.4×(0.4－x)]a ＝a(x 2－0.2x ＋0.24)＝a[(x －0.1)2＋0.23](0＜x ＜0.4)．由于a ＞0，则当x ＝0.1时，W 有最小值，即总费用为最省，即当CE ＝CF ＝0.1米时，总费用最省．课堂小结本节课总结了第二章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法．作业已知函数y＝f(x)的定义域是R，且对任意a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，并且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立，f(1)＝－1.(1)证明函数y＝f(x)是R上的减函数；(2)证明函数y＝f(x)是奇函数；(3)求函数y＝f(x)在[m，n](m、n∈Z，m＜n)的值域．分析：(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)定义法证明函数的奇偶性，只需证明f(－x)＝－f(x)；(3)利用单调法求函数的的值域．解：(1)设x1、x2∈R，且x1＜x2，由题意得f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)．∴f(x1)－f(x2)＝－f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0恒成立，∴f(x2－x1)＜0.∴f(x1)－f(x2)＞0.∴函数y＝f(x)是R上的减函数．(2)令a＝x，b＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)．令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0.∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)由(1)得函数y＝f(x)在[m，n]上是减函数，则有f(n)≤f(x)≤f(m)．∵对任意a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，∴f(m)＝f[(m－1)＋1]＝f(m－1)＋f(1)＝f(m－2)＋2f(1)＝…＝mf(1)＝－m，同理有f(n)＝－n.∴函数y＝f(x)在[m，n](m、n∈Z，m＜n)上的值域是[－n，－m]．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，教材中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结．备课资料知识点总结——函数概念及性质1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．求出不等式组的解集即为函数的定义域．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)．函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟练掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等．3．函数图象知识归纳定义：在平面直角坐标系中，以函数y＝f(x)(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y＝f(x)(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y＝f(x)，反过来，以满足y＝f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上．即记为C＝{P(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成．画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x、y的一些对应值并列表，以(x，y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x，y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来．②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换．作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误．4．区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b 的原象．注意：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，(1)集合A、B及对应法则f 是确定的；(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；(3)对于映射f：A→B来说，则应满足：①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．6．函数表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据．解析法：必须注明函数的定义域．图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征．列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值．分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．复合函数：如果y＝f(u)(u∈M)，u＝g(x)(x∈A)，则y＝f[g(x)]＝F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数．7．函数单调性增函数：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．区间D 称为y＝f(x)的单调增区间．如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．区间D称为y＝f(x)的单调减区间．注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)．图象的特点：如果函数y＝f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的．函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1、x2∈D，且x1＜x2；作差f(x1)－f(x2)；变形(通常是因式分解和配方)；定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；下结论〔指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕．图象法(从图象上看升降)；复合函数的单调性，复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u＝g(x)，y＝f(u)的单调性密切相关，其规律如下：注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．8．函数的奇偶性偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数；若对称再根据定义判定．有时判定f(－x)＝±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(－x)±f(x)＝0或f(x)f(－x)＝±1来判定，利用定理，或借助函数的图象判定．9．函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)．10．函数最大(小)值方法利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；利用函数单调性；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．(设计者：张新军)。

2. 1. 1函数学案(2)【预习要点及要求】1.映射的概念，映射与函数的关系.2.了解映射，一一映射的概念，初步了解映射与函数间的关系.以判定一些简单的映射. 【知识再现】1、函数的定义:「__________________________________2、函数的定义域、值域：___________________________________3、区间的概念：___________________________________【概念探究】1、映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A内任意一个元素x,在B中一个元素y与x对应，则称f是集合A到B的 _____________________________ .这时称y是x在映射f的作用下的________________ ，记作f(X”).于是y=f (x)中x称做y的_____________ .2、集合A到B的映射f可记”为f： A-B或X-f (x).其中A叫做映射f的__________ (函数定义域的推广)，由所有象fd)构成的集合叫做映射f的________________ ,通常记作f(A).3、如果映射f是集合A到B的映射，并且对于B中的任何一个元素，在集合A中都有且只有，一个原象，这时我们说这两个集合之间存在 _______________ ,并称这个映射为集合A到集合B的______________ .4、由映射的定义可以看出，映射是____________ 概念的推广，___________ 是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是_____________ .完成课本P34-35,例4、例5、例6、例7.【总结点拨】从集合A到集合B的映射，允许多个.元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素. 【例题讲解】例1、判断下列对应哪些是由A到B的映射？为什么？⑴ A=R, B = {y| y〉0},/：XT y = l +丄；I x|(2)A=R, B = [y \ y >0}, f : x —> y - x2；(3) A = {x | x > 3}, B = {y \ y > Q}, f : x y = Vx (4)A=Z,B=Q, f : y =丄x例2、已知集合A=R, B = {(x, y) | x, y w/?}, f : A — B是从A到B的映射，y：xT(x + l, x2 +1),求A中元素厲的象和B中元素弓，彳)的原象.例3、已知A - {1, 2, 3, m}, B = {4, 7, n4, n2 +3n},且”wN+，/:x—>_y = px + q 是从A到B的一个一一映射，"已知1的象是4, 7的原象是2,求p, q, m, n的值.B 、C 、 2. 5D 、 1 3、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文-*密文（加密），接收方由密文 -明文（解密），已知加密规则为：明文a, b, c, d 对应密文a+2b, 明文1, 2, 3, 4对应密文5, 到的明文为（ ） 18, 16.当接收方收到密2b+c, 2c+3d, 4d,例如， 9, 23, 28时,则解A 、4, 6, 1, 7 B 、7, 6,1, 4 4、设集合 A= {2, 4, 6, 8,10}, B={1, 构成A 到B 的映射的是（）A 、/:x^(2x-l)2 B、 ―、 D、C 、6, 4, 1, 7 9, 25, 49, 81, 100},下面的对应f:x^(2x-3)2 f : % (x-1)2 答案D 、1, 6, 4, 7 A 、【当堂达标】1、在给定的映射/ : （x, y ） T （2x+y,jqy ）, x, y w 7?的条件下，点的原象是（）z 1 1 1 1、十 2 1°、X ）D 、（巧）或二盲）2、区间［0, m ］在映射f :x —2x+m 所得的象集区间为［a, b ］,若区间［a, b ］的长度比区间［0, m ］的长度大5,则m 等于（ ） 7,由%2 +1=-3 5 1 ・・・B中元素（寺］）的原象是扌。

§2.1函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念学习目标 1.理解函数的概念.2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．知识点二函数相等一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.无穷大区间的表示：3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．正方形可以作为某个函数的定义域．(×)1．集合A＝{}2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．(×)3．对于函数f：A→B，当x1，x2∈A且x1>x2时，可能有f(x1)＝f(x2)．(√)4．区间不可能是空集．(√)类型一函数关系的判断例1(1)给出下列四个图形：其中，能表示函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①②③能表示函数关系，④不能表示函数关系，因为当x ＝1时，有两个y 值与之对应． (2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x； ④r ：把x 对应到x .解 ①②是实数集R 上的一个函数，因为给定一个x 值都有唯一确定的值与之对应．③④不是，对于③，当x ＝0时，没有值与之对应，对于④，当x ＜0时，没有值与之对应． 反思与感悟 检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法 (1)定义域和对应法则是否给出.(2)根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y . 跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．答案 ①③④解析 ①③④表示函数的图象．(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？ ①f ：把x 对应到x ＋1；②g ：把x 对应到1x 2＋1；③h ：把x 对应到常数1.解 ①是函数关系，定义域为{x |x ≥－1}． ②是函数关系，定义域为R . ③是函数关系，定义域为R .类型二 已知函数的解析式，求其定义域 例2 求下列函数的定义域．(1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ； (3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17，所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x ＜2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ＜2，且x ≠0. 反思与感悟 求函数定义域的常用依据 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练2 函数f (x )＝xx －1的定义域为________．答案 {x |x ≥0且x ≠1}解析 要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}． 类型三 求函数的值域例3 求下列函数的值域．(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝2x －x －1.解 (1)∵y ＝x ＋1的定义域为R ， ∴y ＝x ＋1的值域为R .(2)∵y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又x ∈[0,3)， ∴2≤y ＜6，∴y ＝x 2－2x ＋3的值域为[2,6)． (3)∵y ＝3x －1x ＋1＝3(x ＋1)－4x ＋1＝3－4x ＋1，又∵4x ＋1≠0，∴y ≠3，∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．(4)y ＝2x －x －1的定义域为[1，＋∞)．令x －1＝t ，则x ＝t 2＋1且t ≥0，∴y ＝2t 2－t ＋2＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158≥158， ∴y ＝2x －x －1的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. 反思与感悟 求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域． (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．跟踪训练3 求下列函数的值域． (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x 21＋x 2.解 (1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1， 所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]． 类型四 对于f (x )，f (a )的理解例4 (1)已知函数f (x )＝x ＋2，若f (a )＝4，则实数a ＝________. 答案 14 解析 f (a )＝a ＋2＝4，∴a ＋2＝16，a ＝14.(2)已知f (x )＝11＋x (x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．①求f (2)，g (2)的值； ②求f (g (2))的值； ③求f (a ＋1)，g (a －1)．解 ①因为f (x )＝11＋x ，所以f (2)＝11＋2＝13.又因为g (x )＝x 2＋2，所以g (2)＝22＋2＝6. ②f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.③f (a ＋1)＝11＋(a ＋1)＝1a ＋2(a ≠－2)．g (a －1)＝(a －1)2＋2＝a 2－2a ＋3(a ∈R )．反思与感悟 f (x )中的x 可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x 都换成对应的数或式子即可．跟踪训练4 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．(1)求f (0)及f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)求f (1－x )及f (f (x ))． 解 (1)f (0)＝1－01＋0＝1.∵f ⎝⎛⎭⎫12＝1－121＋12＝13， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫13＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－(1－x )1＋(1－x )＝x2－x (x ≠2)．f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－1－x 1＋x1＋1－x 1＋x＝x (x ≠－1).1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 B2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1} D ．{x |0≤x ≤1} 答案 C3．函数y ＝1x ＋1的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－1，＋∞) D ．(－1,0)答案 C解析 ∵x ＋1＞0， ∴x ＞－1.4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35答案 B解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－1⎝⎛⎭⎫122＋1＝－35，∴f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 5．下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③ D ．②③答案 C 解析 ①f (x )＝－x－2x ，g (x )＝x－2x ，对应法则不同，故f (x )与g (x )不是同一函数；②f (x )＝x ，g (x )＝x 2＝|x |，对应法则不同，故f (x )与g (x )不是同一函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应法则和定义域均相同，故是同一函数．1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应法则．由于函数的定义域和对应法则一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只需两个函数的定义域和对应法则分别相同即可．2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x 没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x 的集合．3．在y ＝f (x )中，x 是自变量，f 代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x 表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x 只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t 等表示自变量．关于对应法则f ，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f ( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f (x )＝3x ＋5，f 表示“自变量的3倍加上5”，如f (4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f ”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x 的一个值后，经过“数值加工器f ”的“加工”就得到一个对应值．课时对点练一、选择题1．下列各式中是函数的个数为( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≤1，∴x 无解，∴④不是函数． 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2答案 D解析 A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}；C 中两函数的对应法则不同，故选D.3．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)的值是( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定 答案 B解析 由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f (π2)＝π.4．已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或1答案 B解析 ∵3∈[－3,4]，由函数定义，f (3)唯一确定，故只有一个交点(3，f (3))．5．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是( )答案 D解析 A ，B 中值域为[0,2]，不合题意；C 不是函数．6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 组装第A 件产品用时15分钟，即f (A )＝15.∵A ≥A ，∴f (A )＝c A ＝15，① ∴必有4<A ，且c x ＝c 2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.二、填空题 7．函数y ＝x －2＋x ＋1的定义域为________．答案 [2，＋∞)解析 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋1≥0，所以x ≥2. 8．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________．答案 {－1,1,3,5,7}解析 定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．9．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是________． 答案 1解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1.∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去)．10．已知f (2x ＋1)＝4x 2＋4x ＋3，则f (1)＝________.答案 3解析 f (1)＝f (2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f (a )；(2)若f (a )＝11，求a 的值．解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f (a )＝a 2＋a －1.(2)∵f (a )＝a 2＋a －1，∴若f (a )＝11，则a 2＋a －1＝11，即(a ＋4)(a －3)＝0.∴a ＝－4或a ＝3.12．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4. (1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)；(2)求f (－1)，f (12)的值．解 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．(2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3. f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811. 13．已知A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，求A ∩B .解 集合A ＝{x |y ＝x ＋1}表示函数y ＝x ＋1的定义域，∴A ＝[－1，＋∞)，集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}表示函数y ＝x 2＋1的值域，∴B ＝[1，＋∞)，∴A ∩B ＝[1，＋∞)．四、探究与拓展14．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( )A ．p ＋qB ．3p ＋2qC ．2p ＋3qD ．p 3＋q 2答案 B解析 f (72)＝f (36×2)＝f (36)＋f (2)＝f (6×6)＋f (2)＝2f (6)＋f (2)＝2f (2×3)＋f (2)＝3f (2)＋2f (3)＝3p ＋2q .15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝⎛⎭⎫12 018的值．(1)解 因为f (x )＝x 21＋x 2， 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值．(3)解 由(2)知，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，因为f (1)＋f (1)＝1，f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…f (2 018)＋f ⎝⎛⎭⎫12 018＝1，所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝⎛⎭⎫12 018＝2 018.。

描述：例题：2.函数的周期性函数的周期性如果存在非零实数 ，使得对函数 定义域 内的任意一个自变量 ，都有，那么称函数 是周期为 的函数，此时称 为函数 的一个周期．最小正周期如果一个周期函数的所有正周期中存在最小值，就称这个值为该函数的最小正周期．函数的对称性与周期性函数的对称性引起的周期性 ：① 如果函数 关于直线 对称，且关于直线 对称，那么 是周期为 的函数．② 如果函数 关于点 对称，且关于点 对称，那么 是周期为 的函数．③ 如果函数 关于直线 对称，且关于点 对称，那么 是周期为 的函数．对于定义域为 的函数 ，给出下列命题：①若函数 满足条件 ，则函数 的图象关于点 对称；②若函数 满足条件 ，则函数 的图象关于 轴对称；③在同一坐标系中，函数 与 其图象关于直线 对称；④在同一坐标系中，函数 与 其图象关于 轴对称.其中，真命题的个数是（ ）A． B. C. D.解：D① 中取点 ，则关于点 对称点的坐标为 ，所以．因为 ，所以 ，所以，即 ① 正确；② 中若 ，令 ，有 ，则函数 的图象关于直线 轴对称，即 ② 正确．③中因为 与 的图象关于直线 对称，函数 与的图象可以由 与 的图象向右平移了一个单位而得到，从而可得函数 与 的图象关于直线 对称，即 ③ 正确；④在同一坐标系中，点 在函数 的图象上，则 在 的图象上，所以函数 与 其图象关于 轴对称．即 ④ 正确．综上，①②③④ 均为真命题．故选 D．R f (x )f (x −1)+f (1−x )=2f (x )(0,1)f (x )f (x −1)=f (1−x )f (x )y y =f (x −1)y =f (1−x )x =1y =f (1+x )y =f (1−x )y 1234(x ,f (x ))(0,1)(−x ,2−f (x ))2−f (x )=f (−x )f (x −1)+f (1−x )=2f (x )+f (−x )=22−f (x )=f (−x )f (1−x )=f (x −1)t =1−x f (t )=f (−t )y =f (x )y y =f (x )y =f (−x )x =0y =f (x −1)y =f (1−x )y =f (x )y =f (−x )y =f (x −1)y =f (1−x )x =1(x ,y )y =f (1+x )(−x ,y )y =f (1−x )y =f (1+x )y =f (1−x )y T y =f (x )I x f (x +T )=f (x )y =f (x )T T y =f (x )(a ≠b )y =f (x )x =a x =b y =f (x )2|a −b |y =f (x )(a ,0)(b ,0)y =f (x )2|a −b |y =f (x )x =a (b ,0)y =f (x )4|a −b |已知 在 上是奇函数，且 ，当 时， ，则 ______．解： ．f (x )R f (x +4)=f (x )x ∈(0,2)f (x )=2x 2f (7)=−2f (7)=f (3)=f (−1)=−f (1)=−2f (x)[4,6]f在为减函数且如图所示：。

2.1.1函数(二)自主学习学习目标1．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．2．知道函数与映射的关系．自学导引1．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B 中________________________________元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的________________．这时，称y是x在映射f作用下的________，记作________，x称作y 的________．2．一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的______________，在集合A 中都________________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______________．3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是________概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________________．对点讲练知识点一映射的概念例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．规律方法判断对应f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同．变式迁移1 下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1；(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2；(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．知识点二 象与原象例2 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)．(1)求A 中元素(1,2)的象；(2)求B 中元素(1,2)的原象．规律方法 解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．变式迁移2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的原象．知识点三 映射的个数问题例3 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )．求满足条件的映射的个数．规律方法 求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论．变式迁移3 若将本例中的条件改为“B ＝{－1,0,1}，f (a )·f (b )＝f (c )”，这样的映射有几个？本节学习的主要内容是映射的概念，重点是对映射的理解，难点是映射的判定，在学习中要注意下列三个方面的问题：1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原象，则不作要求.课时作业一、选择题1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( )A ．A 中的每一个元素在B 中必有象B ．B 中每一个元素在A 中必有原象C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象D ．A 中不同元素的象必不同2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，对于以下对应的关系中，不是A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →12xB ．f ：x →13x C ．f ：x →14x D ．f ：x →16x 3．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3) 4．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重；②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．( )A ．3个 2个 1个B ．3个 3个 2个C ．4个 2个 2个D ．2个 2个 1个5．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题6．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B到C 的映射是y →12y ＋1，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的象为________． 7．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表：映射f 的对应法则如下：原象1 2 3 4 象3 4 2 1 映射g 的对应法则如下：原象1 2 3 4 象4 3 1 2 则f [g (1)]的值为________．8．根据下列所给的对应关系，回答问题．①A ＝N *，B ＝Z ，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B ；②A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；③A ＝{x |x 为高一(2)班的同学}，B ＝{x |x 为身高}，f ：每个同学对应自己的身高；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋|x |，x ∈A ，y ∈B . 上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．三、解答题9．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2的象和B 中元素－1的原象．10．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N *.若x ∈A ，y ∈B ，有对应关系f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．2．1.1 函数(二) 答案自学导引1．有一个且仅有一个 映射 象 f (x ) 原象2．任意一个元素 有且只有一个原象 一一对应关系一一映射3．函数 非空数集对点讲练例1 解 (1)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原象与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原象与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故法则f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f ：A →B 不是一一映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故法则f 不是从A 到B 的映射． 变式迁移1 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在，∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．(4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．例2 解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9.故A 中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋1＝14x ＋3y －1＝2， 得⎩⎨⎧x ＝617y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝⎛⎭⎫617，917.变式迁移2 解 将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54， 得x ＝12. 所以2在B 中的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应的原象为12. 例3 解 (1)当A 中三个元素都对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有一个映射；(2)当A 中三个元素对应B 中两个时，满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件中的映射共有7个．变式迁移3 解 由于f (a )、f (b )、f (c )的取值属于{－1,0,1}，故f (a )·f (b )＝f (c )时，f (a )，f (b )，f (c )取值的情况如表所示.f (a ) f (b ) f (c )1 －1 －1－1 1 －1 1 1 1－1 －11 －10 0 0 －10 0 0 01 0 00 1 0由表可知这样的映射有9个．课时作业1．A 2.A 3.B 4.C5．B [由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]6.13解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，而1在C 中象为12×1＋1＝13. 7．1解析 g (1)＝4，∴f [g (1)]＝f (4)＝1.8．①③ ①解析 ①对x ∈A ，在f ：x →y ＝3x ＋1作用下在B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又A 、B 均为数集，因而能构成函数；②当x ＝1时，y ＝|x －1|＝|1－1|＝0∉B ，即A 中的元素1在B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．④当x ≤0时，|x |＋x ＝0，从而1|x |＋x无意义，因而在x ≤0时，A 中元素在B 中无象，所以不能构成映射．9．解 当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的象是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2.因为0∉A ，所以－1的原象是2.10．解 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的象是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的象是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。

2.1.1 函数（第二课时）映射与函数知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．过程与方法：（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．教学目标（1）了解映射的概念及表示方法（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念(4) 会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(5) 能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图像法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(6) 求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．教学重难点（1）对映射、函数概念的理解、函数概念的理解。

（2）函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．教学过程一、创设情景，揭示课题问题情境：每个学生都有一个学号，这样管理比较方便；同学们在中考中，每一个人都有唯一的考号，也就是说在现实生活中，不仅是数集之间存在着某种对应关系，很多集合之间也存在着某种对应关系，为了研究集合之间的对应关系，我们引入映射的概念（板书课题）．二、复习提问、研探新知提问：函数的概念教师：我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种特殊的对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，这种对应就叫映射．学生：分组讨论、归纳映射的概念。

（一）映射的定义：映射定义：设A,B是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A ．．．．元素，在集合B中都有唯一到．集合B的映射，记作：B:(注：A中元素必须取完，B中元素可以取完，Af→也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B:中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应Af→的B中元素y叫x的象，记作：)fy=，x叫做y的原象。

第 2 课时映照与函数[学习目标 ] 1.认识映照、一一映照的观点及表示方法.2.认识象与原象的观点.3.认识映照与函数的差别与联系.[知识链接]函数的定义：设会合 A 是一个非空的数集，对一确立的数 y 与它对应，则这类对应关系叫做会合A 中的随意数x，依据确立的法例f，都有唯A 上的一个函数 .记作 y＝f(x)， x∈ A.[预习导引 ]1.映照和一一映照的相关观点名称定义设 A，B 是两个非空会合，假如依据某种对应法例f，对 A 中的随意一个元素 x，在 B 中有且仅有一个元素y 与 x 对应，则称 f 是会合 A 到会合 B 的映照及相关观点映照 .这时，称y 是 x 在映照 f 的作用下的象，记作f(x).于是 y＝ f(x)， x 称作 y 的原象 .映照 f 也能够记为： f：A→ B，x→ f(x)，此中 A 叫做映照 f 的定义域，由全部象f(x)组成的会合叫做映照 f 的值域，往常记作f(A).假如映照 f 是会合 A 到会合 B 的映照，而且关于会合 B 中的随意一个元素，一一映照在会合 A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个会合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映照叫做从会合 A 到会合 B 的一一映照. 2.映照与函数的关系映照是函数观点的推行，函数是一种特别的映照.解决学生疑难点重点一映照的判断例 1以下对应能否是从 A 到 B 的映照，可否组成函数？(1)A＝R，B＝R， f： x→ y＝1；x＋1(2) A＝{ a|a＝ n， n∈N＋ } ；1， n∈N＋} ， f： a→ b＝1；B＝ { b|b＝n a(3)A＝[0，＋∞ )， B＝R，f ：x→ y2＝ x；(4)A＝{ x|x 是平面 M 内的矩形 } ，B＝ { x|x 是平面 M 内的圆 } ， f：作矩形的外接圆 .解(1)当 x＝－ 1 时， y 的值不存在，∴不是映照，更不是函数 .(2) 是映照，也是函数，因 A 中全部的元素的倒数都是 B 中的元素 .(3) ∵当 A 中的元素不为零时， B 中有两个元素与之对应，所以不是映照，更不是函数.(4) 是映照，但不是函数，因为A， B 不是非空数集 .规律方法依据映照定义可知，映照应知足存在性——会合A中的每一个元素在会合 B 中都有对应元素；独一性——会合A中的每一个元素在会合 B 中只有独一的对应元素.追踪操练1在图(1)(2)(3)(4)顶用箭头所注明的 A 中元素与 B 中元素的对应法例，试判断由A 到B 能否是映照？能否是函数关系？解在图 (1)中，会合 A 中任一个数，经过“ 开平方” 在B中有两个数与之对应，不切合映射的定义，不是映照，自然也不是函数关系.图(2) 中，元素 6 在 B 中没有象，则由 A 到 B 的对应关系不是映照，也不是函数关系.图(3) 中，会合 A 中任一个数，经过“ 2 倍” 的运算，在 B 中有且只有一个数与之对应，所以 A到 B 的对应法例是数集到数集的映照，而且是一一映照，这两个数集之间的对应关系是函数关系 .图(4) 中，对 A 中的每一个数，经过平方运算在 B 中都有独一的一个数与之对应，是映照，数集 A 到 B 之间的对应关系是函数关系.重点二例 2映照个数问题已知 A＝ { a， b，c} ， B＝ { －2,0,2} ，映照f： A→B 知足f(a)＋ f(b)＝ f(c)，求知足条件的映照的个数 .解 (1)当 A 中三个元素都对应 0 时，则 f(a)＋f(b)＝ 0＋0＝ 0＝ f(c)有 1 个映照；(2) 当 A 中三个元素对应 B 中两个时，知足f(a)＋ f(b)＝ f(c)的映照有 4 个，分别为2＋ 0＝ 2,0 ＋2＝ 2， (－ 2)＋ 0＝－ 2,0＋ (－2)＝－ 2.(3) 当 A 中的三个元素对应 B 中三个元素时，有 2 个映照，分别为 (－ 2)＋ 2＝0,2＋ (－ 2)＝ 0. 所以知足条件的映照共有7 个.规律方法对含有附带条件的映照问题，须按映照的定义一一列举或进行分类议论.追踪操练 2 会合 A＝ {1,2,3} ，B＝ {3,4} ，从 A 到 B 的映照 f 知足 f(3) ＝ 3，则这样的映照共有( )A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个答案 B分析因为要求 f(3)＝ 3，所以只要考虑剩下两个元素的象的问题，总合犹如下图的 4 种可能 .重点三映照的象与原象例 3已知映照f： A→B＝ {( x， y)|x∈R， y∈R } ， f： (x， y)→ (x＋ 2y＋ 2,4x＋ y).(1)求 A 中元素 (5,5)的象；(2)求 B 中元素 (5,5)的原象 .解 (1)当 x＝ 5， y＝ 5 时， x＋2y＋ 2＝ 17,4x＋ y＝ 25.故 A 中元素 (5,5)的象是 (17,25).(2)令 B 中元素 (5,5)的原象为 (x， y)，x＋ 2y＋ 2＝5，x＝1，则得4x＋ y＝ 5，y＝1.故 B 中元素 (5,5)的原象是 (1,1).规律方法 1.解答此类问题：重点是： (1)分清原象和象；(2) 搞清楚由原象到象的对应法例.2.一般已知原象求象时，常采纳代入法，已知象求原象时，往常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的差别和联系.追踪操练3已知映照f：A→ B 中， A＝ B＝ {( x， y)|x∈R，y∈R } ，f ：(x， y)→ (3x－ 2y＋ 1,4x ＋3y－ 1).(1)求 A 中元素 (1,2)的象；(2)求 B 中元素 (1,2)的原象；解 (1)当 x＝ 1， y＝ 2 时， 3x－ 2y＋ 1＝ 0,4x＋ 3y－ 1＝9.故 A 中元素 (1,2)的象为 (0,9).3x－ 2y＋ 1＝ 1，x＝6 ，17(2) 令得94x＋ 3y－ 1＝ 2，y＝17，69故 B 中元素 (1,2)的原象是17，17 .1.在从会合 A 到会合 B 的映照中，以下说法正确的选项是( )A. 会合 B 中的某一个元素 b 的原象可能不只一个B.会合 A 中的某一个元素 a 的象可能不只一个C.会合 A 中的两个不一样元素所对应的象必不同样D.会合 B 中的两个不一样元素的原象可能同样答案 A分析依据映照的观点可知： A 中元素必有独一确立的象，但在象的会合中一个象能够有不同的原象，故 A 正确 .2.以下对应法例 f 为 A 到 B 的函数的是 ()A. A＝R，B＝ { x|x＞ 0} ， f： x→y＝ |x|B.A＝Z， B＝N＋， f： x→y＝ x2C.A＝Z， B＝Z， f： x→ y＝ xD.A＝[ － 1,1] ， B＝ {0} ， f： x→ y＝ 0答案 D分析在选项 A 、B 、C 中，会合 A 中的有些元素在对应法例作用下，在会合B中找不到象.选项 D 表示不论x 取何值 y 都等于 0.所以选 D.3.以下会合 A 到会合 B 的对应中，组成映照的是()答案 D分析按映照的定义判断知， D 项切合 .4.设会合 A、 B 都是坐标平面上的点集{( x，y)|x∈R，y∈R } ，映照 f： A→ B 使会合 A 中的元素( x，y)映照成会合 B 中的元素 (x＋ y， x－y)，则在 f 下，象 (2,1)的原象是 ()3 1A.(3,1)B. 2，23，－ 1D.(1,3) C. 2 2答案 Bx＋ y＝ 2，3，x＝2应选 B.分析由得x－ y＝ 1，1y＝2，5.已知会合 A＝ { a， b} ， B＝{ c， d} ，则从 A 到 B 的不一样映照有 ________个 .答案 4分析a→ c， b→ c； a→ d， b→ d； a→ c， b→ d； a→d， b→ c，共 4 个 .1.映照的特点(1)随意性： A 中随意元素 x 在 B 中都有元素 y 与之对应，即 A 中元素不可以有节余 .(2)独一性：从会合 A 到会合 B 的映照，允很多个元素对应一个元素，而不一样意一个元素对应多个元素，即一对多不是映照 .(3)方向性： f： A→ B 与 f： B→ A，一般是不一样的映照 .2.映照与函数的关系函数是特别的映照，即当两个会合A，B 均为非空数集时，则从 A 到 B 的映照就是函数，所以函数必定是映照，而映照不必定是函数，映照是函数的推行.一、基础达标1.以下各图中表示的对应，此中能组成映照的个数是()答案 D分析所谓映照，是指“ 多对一” 或“ 一对一” 的对应，且A 中每一个元素都一定参加对应.只有图 (3)所表示的对应切合映照的定义，即 A 中的每一个元素在对应法例下， B 中都有唯一的元素与之对应.2.已知会合M ＝{ x|0≤ x≤9} ，P＝ { y|0≤ y≤ 3} ，则以下对应关系中，不可以看作从M 到 P 的映射的是()1 1A. f： x→ y＝3xB. f： x→ y＝6x1C.f： x→ y＝ xD. f： x→ y＝9x答案 C分析第一关于四个对应关系，给一个x值都有独一的y 值对应，但需考察y 值能否在会合1P 中，关于A，由 0≤ x≤ 9，得3x∈ [0,3] ? P，所以 A 是映照 .同理 B ，D 都是映照，关于C，明显 y＝ x∈ [0,9] P，所以 C 不是映照，应选 C.3.已知点 C(x，y)在映照 f 下的象为3x＋ y，－ x＋ 3y ，则点 (2,0) 在 f 作用下的原象是 ()2 2A.(0,2)B.(2,0)C.( － 3， 1)D.( 3， 1)答案 D3x＋ y2 ＝ 2，x＝3，分析∵∴－ x＋ 3y y＝1.2＝ 0，4.已知映照 f：A→B，此中会合 A＝ { － 3，－ 2，－ 1,1,2,3,4} ，会合 B 中的元素都是 A 中的元素在映照 f 下的象，且对随意的a∈ A，在 B 中和它对应的元素是 |a|，则会合 B 中的元素的个数是 ( )答案 A分析对应法例是 f：a→ |a|.所以， 3 和－ 3 对应的象是3；－ 2 和 2 对应的象是2；1 和－ 1 对应的象是1； 4 对应的象是 4，所以B＝ {1,2,3,4}. 应选 A.5.已知映照： f：A→ B＝ {( x， y)|x∈R， y∈R} ， f： (x， y)→ (x＋ 1,4x＋ y)，则 B 中元素 (3,9) 的原象为________.答案(2,1)x＋ 1＝3，分析由已知4x＋ y＝ 9，解得x＝ 2，y＝ 1，所以(3,9)的原象为(2,1).6.设会合中的元素A 和 B 都是自然数会合N，映照f：A→B表示把会合n2 ＋n，则在映照 f 下，象 20 的原象是 ________.A 中的元素n 映照到会合 B答案 4分析∵ 20＝ 2n＋ n，∴n＝ 4.7.已知会合A＝R，B＝ {( x，y)|x，y∈R } ，f ：A→ B 是从 A 到 B 的映照， f：x→ (x＋ 1，x2＋ 1)，求 A 中元素 2的象和 B 中元素3，5的原象 . 2 4解 x＝ 2代入对应关系，得其象为 ( 2＋ 1,3).3x＋ 1＝2，得 x＝1由2.x2＋ 1＝5，42的象为 ( 2＋ 1,3)，3， 5 1所以 2 4 的原象为2.二、能力提高8.设会合 A＝ {1,2,3} ，会合 B＝ { a，b，c} ，那么从会合 A 到会合 B 的一一映照的个数为() 答案 B分析 A 中有 3 个元素， B 中也有 3 个元素，按定义一一列举可知有 6 个 .9.会合 A＝ { a，b} ，B＝ { －1,0,1} ，从 A 到 B 的映照 f：A→ B 知足 f(a)＋f(b)＝ 0，那么这样的映照 f： A→ B 的个数为 ()答案 B分析知足条件的映照有－1＋ 1＝ 0,1＋ (－ 1)＝0,0＋ 0＝0，共 3 个.10.为保证信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文 (加密 )，接收方由密文→明文(解密). 已知加密规则为：明文a， b， c， d 对应密文 a＋ 2b,2b＋ c,2c＋ 3d,4d.比如，明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时，则解密获得的明文为 ________.答案6,4,1,7分析依题意，有 a＋ 2b＝ 14,2b＋ c＝ 9，2c＋ 3d＝ 23,4d＝ 28.解得 a＝ 6， b＝ 4， c＝1， d＝ 7.11.已知会合 A＝ {0,2,4} ， B＝ {0,4 ， m2} ， x∈ A， y∈B，映照 f： A→B 使 A 中元素 x 和 B 中元素 y＝ 2x 对应，务实数 m 的值 .解由对应关系 f 可知，会合 A 中元素0,2 分别和会合 B 中的元素0,4 对应，所以会合 A 中的元素 4 和会合 B 中的元素m2对应 .于是m2＝ 2× 4，解得m＝±2 2.三、研究与创新12.已知映照 f： A→ B 中， A＝ B＝ {( x， y)|x∈R， y∈R} ， f：A 中的元素 (x， y)对应到 B 中的元素 (3x－ 2y＋ 1,4x＋ 3y－ 1).(1)能否存在这样的元素 (a，b)，它的象还是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明原因 .(2)判断这个映照能否是一一映照 .解(1) 假定存在元素 (a， b)，它的象还是(a，b).3a－ 2b＋1＝ a， 1 由4a＋ 3b－1＝ b，得 a＝ 0， b＝2.∴存在元素0，12使它的象还是自己；(2)对随意的 (a， b)(a∈R， b∈R )3x－ 2y＋ 1＝ a，方程组有独一解，4x＋ 3y－ 1＝ b，这说明 B 中随意元素 (a， b)在 A 中有独一的原象，所以映照f： A→ B 是 A 到 B 的一一映照 .13.规定：区间 [m， n]的长度为n－ m( n≥m).设 A＝ [0， t](t≥ 0)， B＝ [a ，b](b≥ a)，从 A 到 B的映照 f： x→ y＝ 2x＋ t，象的会合为解因为 A 和 B 均是数集，则该映照B，且 B 比 A 的长度大5，务实数f： x→ y 是函数，且f(x) ＝2x＋ t.t 的值 .当 x∈ A 时， f(x)的值域为 [f(0)， f(t)]，即 [t,3t]，所以 B 的长度为 3t－ t＝ 2t，又 A 的长度为 t－ 0＝ t，则 2t －t＝ 5，解得 t＝ 5.。

数学人教B 必修1第二章2.1.1 函数1．会用集合与对应语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法，并能正确地使用区间表示数集． 3．了解映射的概念，能判定一些简单的对应是不是映射，并用映射概念加深对函数概念的理解．1(1)在近代定义中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的______； 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的____，记作______； 所有函数值构成的集合______叫做这个函数的值域． (2)确定一个函数只需两个要素：____和______．要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①____和____是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的____值，是否都能确定____的函数值y .(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域为R ，值域是R ；(2)反比例函数f (x )＝kx (k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，值域是{y |y ≠0}；(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ；当a ＞0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ，当a ＜0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . 【做一做1－1】下列四组函数中，f (x )，g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝4x 4B ．f (x )＝1，g (x )＝xxC ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2【做一做1－2】函数f (x )＝ 2 011－x ＋1x －2 010的定义域为__________．2．区间(1)在数轴上，区间可以用一条以a ，b 为端点的线来表示(如下表)．用实心点表示端点包括在区间内，用空心点表示端点不包括在区间内．__________无穷区间的概念：－∞或＋∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．数轴表示__________取遍数轴上所有值(1)区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合．这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号、圆括号等符号来表示数集；(2)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开；(3)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势；(4)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大．如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，并不是所有数集都能用区间表示，如自然数集N，整数集Z等；(5)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，应用时注意区分，不能混淆．【做一做2】用区间表示下列数集：(1){x|5＜x≤8}＝__________；(2){x|x＜3，且x≠0}＝__________；(3)R＝__________.3．映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的______，在B中______元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的____．这时，称y是x在映射f的作用下的____，记作______．于是y＝f(x)，x称作y的__________．映射f也可记为______．其中A叫做映射f的________(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的________，通常记作______．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的____一个元素，在集合A 中都______原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______．理解映射的概念必须注意如下几点：(1)方向性，“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”往往不是同一个映射；(2)非空性，集合A，B必须是非空集合；(3)唯一性，对于集合A中的任何一个元素，集合B中都有唯一确定的元素与之对应，这是映射的唯一性，也可以说A中任一元素的象必在集合B中；(4)存在性，就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；(5)映射可以看成函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射，在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许“一对多”的对应．【做一做3－1】有下列各图中表示的对应：其中能构成映射的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1【做一做3－2】已知(x，y)在映射f下的象是(x＋y，x－y)，则(4,6)在f下的原象是()．A．(5，－1) B．(－1,5)C．(10，－2) D．(－2,10)一、函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个随x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．二、同一函数的判定剖析：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数，注意以下四点： (1)定义域不同，两个函数也就不同．如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)不是同一函数； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如y ＝x 与y ＝x 2不是同一函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则，如函数f (x )＝x 2与f (x )＝2x 2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f (x )＝2 012x ＋2 011，f (t )＝2 012t ＋2 011，g (x )＝2 012x ＋2 011都表示同一函数．题型一 求函数的定义域【例1】求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．分析：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．反思：(1)已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：①如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .②如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．③如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．④如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．⑤对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． (2)本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．题型二 简单函数值域的求法 【例2】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1.分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．反思：在求函数的值域时，常用的方法有：(1)观察法．通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法．(2)配方法．对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法．(3)换元法．通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型三 求函数解析式【例3】已知f (x －1)＝x 2－2x ＋7. (1)求f (2)和f (a )的值；(2)求f (x )和f (x ＋1)的解析式．分析：利用代入法或换元法．对(1)可令x ＝3和x ＝a ＋1即可求得；对(2)可用“x ＋1”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x )，用“x ＋2”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x ＋1)．反思：已知类型为f [g (x )]＝h (x )的函数，求f (x )的解析式时，常常使用配凑法和换元法．在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f 到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而使问题得以解决．题型四 有关映射的问题【例4】判断下列对应法则是否是从A 到B 的映射和一一映射． (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |.(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x .(3)A ＝{x |x ≥2，x ∈Z }，B ＝{y |y ≥0，y ∈N }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2.分析：判断某一映射是否是一一映射，应抓住两点：①原象不同，象不同；②每个象都必须有原象．反思：由上面例题我们可以总结出：(1)按照映射的定义可知，映射应满足：①存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；②唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的对应元素．(2)一一映射的两个特点：①对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象；②集合B 中的每一个元素都有原象，即对应形式为“一对一”，集合A ，B 中均没有剩余元素． 【例5】已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象．分析：本题考查映射的知识，把x ＝2代入即可求得2的象，⎝⎛⎭⎫32，54的原象可通过列方程组解出．反思：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．一般已知原象求象时，常采用代入法．已知象求原象时，通常由列方程组法求解．求解过程中要注意象与原象的区别和联系．题型五 易错辨析【例6】已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x )． 错解：令x ＋4＝t ，则x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16，∴f (x )＝x 2－16.反思：在利用换元法求函数解析式时，一定要及时求出新自变量的取值范围，否则将导致所求函数定义域错误，进而引起一系列错误，如求值域、画图象等．1函数f (x )＝1x －1＋(x －2)0的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(1,2)∪(2，＋∞) 2(2011·河北邯郸高一期末)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 C ．f (x )＝(x )2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2x3已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,1}，则A 到B 的一一映射有__________个．4函数y ＝1x 2＋x ＋1的值域为__________．5已知函数f (x ＋1)＝x 2－1，x ∈[－1,3]，求f (x )的解析式． 答案： 基础知识·梳理1．唯一的一个y 值 自变量 因变量 任意数x 唯一 y ＝f (x )，x ∈A 函数f 或函数f (x ) (1)定义域 函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A } (2)定义域 对应法则 ①定义域 对应法则 ②每一个 唯一【做一做1－1】D 若两个函数表示同一函数，则需其定义域、对应法则都相同，缺一不可．选项A 中对应法则不同，选项B 中定义域不同，选项C 中定义域不同，仅有选项D 表示同一函数．【做一做1－2】{x |x ≤2 011，且x ≠2 010} 要使f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧2 011－x ≥0，x －2 010≠0，解得x ≤2 011且x ≠2 010.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2 011，且x ≠2 010}．2．(1)[a ，b ] {x |a ＜x ＜b }半开半闭区间 (2)[a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，＋∞)【做一做2】(1)(5,8] (2)(－∞，0)∪(0,3) (3)(－∞，＋∞)3．任意一个元素x 有一个且仅有一个 映射 象 f (x ) 原象 f ：A →B ，x →f (x ) 定义域 值域 f (A ) 任意有且只有一个 一一映射【做一做3－1】D 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A 中每一个元素都必须参与对应．只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A 中的每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应．图(1)不是映射，因A 中的元素c 没有参与对应，即违背A 中的任一元素都必须参与对应的原则．图(2)、图(4)不是映射，这两个图中集合A 中的元素在集合B 中有多个元素与之对应，不满足集合A 中的任一元素在集合B 中有且仅有唯一元素与之对应的原则．综上，可知能构成映射的个数为1.【做一做3－2】A 由题意，根据对应关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1，故原象为(5，－1)．典型例题·领悟【例1】解：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1且x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．【例2】解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3.因为x ≠3，所以7x －3≠0，所以y ≠2.故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. 因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}．(3)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝211548t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为t ≥0，所以158y ≥．故函数2y x -＝158y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．【例3】解：(1)f (2)＝f (3－1)＝9－2×3＋7＝10，f (a )＝f [(a ＋1)－1]＝(a ＋1)2－2(a ＋1)＋7＝a 2＋6. (2)解法一(配凑法)：f (x )＝f [(x ＋1)－1] ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)＋7＝x 2＋6，f (x ＋1) ＝f [(x ＋2)－1]＝(x ＋2)2－2(x ＋2)＋7＝x 2＋2x ＋7.解法二：f (x －1)＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6， ∴f (x )＝x 2＋6，f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7. 解法三(换元法)：设t ＝x －1，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋7＝t 2＋6，,故f (x )＝x 2＋6. f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7.【例4】解：(1)因为0∈A ，在f 作用下0→|0|＝0∉B ，,所以不是映射，更不是一一映射． (2)对于任意x ∈A ，都有x ∈B ，故是映射．又因为对B 中任一元素，在A 中有且仅有一个原象，所以为一一映射． (3)对任意的x ∈A ，依对应法则f 有x →y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为x ≥2，x ∈Z ，所以y ≥2，y ∈N ，即y ∈B ，所以是映射．因为0∈B ，且(x －1)2＋1＝0无解，所以集合B 中的元素0在A 中无原象，所以不是一一映射．【例5】解：把x ＝2代入f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，得其象为(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54的原象为12. 【例6】错因分析：在换元时，未标明t 的取值范围，而使f (x )缺少定义域． 正解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．解法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4， 即x ＝(t －4)2，∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16. ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． 随堂练习·巩固1．D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －2≠0，解得x ＞1且x ≠2.∴函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．2．B 根据同一函数的判断标准，即定义域相同，对应法则也相同判断． 3．2 根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射：故共2个．4．⎝⎛⎦⎤0，43 ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴0＜1x 2＋x ＋1≤43，∴值域为⎝⎛⎦⎤0，43. 5．分析：本题可用“配凑法”或“换元法”求f (x )的解析式．解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－1＝(x ＋1)2－2(x ＋1)， ∴f (x )＝x 2－2x .又x ∈[－1,3]时，(x ＋1)∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．解法二(换元法)：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， 且由x ∈[－1,3]知t ∈[0,4]，∴由f (x ＋1)＝x 2－1，得f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t ，t ∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．。

第二章函数函数函数函数的表示方法自主整理.函数的概念设集合是一个非空的数集,对内任意数,按照确定的法则,都有唯一确定的数值与它对应,则这种对应关系叫做集合上的一个函数,记作()∈.其中叫做自变量,自变量的取值范围叫做函数的定义域;如果自变量取值,则由法则确定的值称作函数在处的函数值,记作()或.所有函数值构成的集合{()∈}叫做函数的值域..两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域、值域和对应法则.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数..区间()在数轴上,区间可以用一条以为端点的线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{≤≤}闭区间［］{<<} 开区间(){≤<}半开半闭区间［){<≤}半开半闭区间(］()无穷区间的概念:关于∞∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间,它的定义和符号如下表:{≥}［∞){>} (∞){≤}(∞］{<} (∞)(∞∞)取遍数轴上所有值.映射的概念设、是两个非空的集合,如果按某种对应法则,对内任意一个元素,在中有一个且仅有一个元素与对应,则称是集合到集合的映射.这时,称是在映射的作用下的象,记作().于是()称作的原象,映射也可记为→→().其中叫做映射的定义域(函数定义域的推广),由所有象()构成的集合叫做映射的值域,通常记作()..常用的函数表示法()列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法;()图象法:就是用函数图象来表达函数关系;()解析法:如果在函数()(∈)中()是用代数式(或解析式)来表达的,则这种表达函数的方法叫做解析法(也称公式法)..分段函数在函数的定义域内,对于自变量的不同的取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.高手笔记.()“()”中的“”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“()”;()函数符号“()”中的()表示与对应的函数值,是一个数,而不是乘..对应法则可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应..函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射到的映射与到的映射是截然不同的..区间和数轴是紧密联系在一起的,在识别和使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值的取舍是很容易出错的地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点和空心点的区别.对于某些不能用区间表示的集合就仍用集合符号表示..对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内的每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般的函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数的画法要领是根据各段上的函数解析式,分段画出各段的图象..若()()∈()∈(),那么[()]称为复合函数称为中间变量,它的取值范围是()的值域与()的交集.名师解惑.如何理解构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域?求值域有几种常用的方法?剖析:()解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:①自然型:指函数的解析式有意义的自变量的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题的条件或人为对自变量的限制,这是函数学习的重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量的实际意义.()求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质或抓住函数的单调性、函数图象等)..函数有哪几种表示法？各有什么优点和不足？剖析:()表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间的函数关系就是用列表法表示的;房地产公司出售的商品房,总价格与面积之间的函数关系就是用解析式来表示的;工厂每月的产量与月份之间的函数关系是用图表来表示的.()表示函数的三种方法的优点与不足,分别说明如下.①用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确.可以利用函数的解析式求自变量时对应。