一，问题的重述人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。
诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。
表B.1是确诊病例的化验结果，其中1－30号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；31－60号病例是已经确定为健康人的结果。
表B.2是就诊人员的化验结果。
我们的问题是：1根据表B.1中的数据，提出一种或多种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。
2按照1提出的方法，判断表B.2中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。
3能否根据表B.1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标。
4根据3的结果，重复2的工作。
5对2和4的结果作进一步的分析。
二，问题的假设一，人体中各元素都会有一个标准值，并且健康人的各元素相对含量都和标准值的偏差不大。
二，元素相对值的偏离状况能反映人的健康情况，偏离过大则患病。
三，年龄，性别，生活环境对人体内的元素的标准值影响不大，使用该方法均可以判别。
四，所有的检测数据都准确可靠。
五，该就诊群体中只有患肾炎和不患肾炎两种人。
三，部分符号的说明x:就诊人员个体元素含量的行向量；G1：表示患病的总体；G2：表示正常的总体；d（x，G1）：到总体一的距离；d（x，G2）：到总体二的距离；W：马氏距离判别函数；)x(ω：马是距离判别法修正因子；yi )1(，y i)2(：fisher判别法的两个判别函数名称；P：不患肾炎的概率；Q：患肾炎的概率；E:变量的组内离差阵;T: 变量的总离差阵;()k:wilks统计量;hW:含有h个因子的组内离差平方和阵;hT:含有h个因子的总离差平方和阵；1jF：Rao近似式中的检验统计量；四，与问题相关的模型建立与求解对问题一建模和求解对于问题一和问题二可以归结为判别分析问题。
判别分析的特点是根据已掌握的、历史上每个类别的若干样本的数据信息，总结出客观事物分类的规律性，建立判别公式和判别准则，从而判别样本点所属的类别。
首先我们用excel对B.1做了初步的处理，分别针对7种元素，先分两类即患肾炎和不换肾炎按该元素从低到高排序，然后分别画出各元素在患肾炎和非患肾炎群体中的折线图：Zn元素的分布折线图，系列一为肾炎患者，系列二为正常人群Cu元素的分布折线图，系列一为肾炎患者，系列二为正常人群Fe元素的分布折线图，系列一为肾炎患者，系列二为正常人群Ca元素的分布折线图，系列一为肾炎患者，系列二为正常人群Mg元素的分布折线图，系列一为肾炎患者，系列二为正常人群K元素的分布折线图，系列一为肾炎患者，系列二为正常人群Na元素的分布折线图，系列一为肾炎患者，系列二为正常人群从上面的七个图中，我们可以直观的观察到患肾炎的和正常人之间元素的差异性总体说还是很大的，可以使用判别分析法进行分类判别。
我们还可以定性的给出Ca ，Mg 三种元素正常人与患者之间的分布差异比较大，可能是决定判断的关键因子。
Zn ，Na ，Fe 元素正常人与患者之间的分布差异适中，而Cu ，K 正常人与患者之间的分布差异较小。
马氏距离判别法然后，针对该判别分析，我们首先使用了比较传统的马氏距离判别法对样本进行判别分析。
我们把样本中患病和正常化成两个总体，G 1（患病），G 2（正常）。
定义到总体G 1和G 2的距离为d （x ，G 1）和d （x ，G 2）用如下规则进行判别：若样本x 到G 1的距离小于到总体G 2的距离，则认为样品x 属于总体G 1，反之，则认为属于G 2。
如果距离相等则让它待判。
用下式描述：⎪⎩⎪⎨⎧=>∈<∈),(),(),(),(,),(),(,21212211G x d G x d G x d G x d G x G x d G x d G x 待判，若若若距离选用马氏距离，即：∑∑---'-=-'-=122222111112)()(),()()(),(μμμμx x G x d x x G x d1μ，2μ，∑1，∑2分别表示G1，G2的均值和协方差阵。
通过SPSS 软件求解可以发现协方差阵并不相等，用),(),x ()x (1222G x d G d W -=判别规则可简化为：⎪⎩⎪⎨⎧=<∈>∈0)(,0)(,0)(,21x W x W G x x W G x 待判SPSS 软件中也提供了相应工具进行求解，通过回带对判别效果进行检验，我们可以得到回带判别结果：对结果进行分析我们发现32,33,38,39,60号在回带验证时出现了误判，并且都将正常人误判成患者，误判率为8.3%。
对此，我们针对模型进行了更深入的思考，对于判别的结果可能的解释为： 一，误差都出现在正常人被误判成患者，说明距离判断出现误差，可以考虑加入修正判别函数的修正因子ω：）（211222,),(),x ()x (μμω+-=G x d G d W修正因子与21,μμ有一定的函数关系，由于本问题中样本数已经确定，在可直接用常数代替ω进行试算，直到不出现回带误判，或者回带误判出现在患者和健康人中分布均匀为止。
二，考虑到马氏距离判别法要求样本中各判别变量之间具有多元正态分布，即每个变量对于其他变量的固定值有正态分布，本题中由于样本数量有限，没有办法验证是否满足此条件，故判别结果可能有所偏差。
三，样本个别个体的元素含量偏离总体过大，比如40,41号的Fe 含量比平均值高出8倍左右，可能由于该个体的特殊的生活工作环境有关，并不能反映整体特征，但是本问题中样本容量小，在马氏距离求解中可能会对距离值产生较大影响，从而造成误差。
可以考虑删除个别异常数据在进行求解。
fisher 判别法通过上述的分析抗可以发现，传统的马氏判别法存在很大局限性和判定结果的不稳定性，而且各判别变量之间具有多元正态分布这一假设前提较难满足。
我们用fisher 判别法进行了进一步的判别分析，该法对总体的分布没有什么特定的要求，其基本原理是利用投影技术，将k 组p 维的数据投影到某个方向，使得数据的投影组与组之间尽可能的分开。
组与组的分开借用了方差分析思想，本题中即考虑2组7维的分布投影问题。
本题中研究的是从两个总体中抽取具有p （p=7）个指标的样品观察数据，根据方差分析的思想构造一个判别函数：x c x c x c pp y +++= 2211其中系数c c c p ，，， 21确定的原则是使两组间的区别最大，而使每个组内部的离差最小。
有了判别式后，对于一个新的样品，将它的p 个指标值代入判别函数中求出y 值，然后与判别临界值（或称分界点后面给出）进行比较，就可以判别它应属于哪一个总体。
2.判别函数的导出本题中有两个总体G 1,G 2,总体的样品个数为30个。
假设新建立的判别函数为x c x c x c pp y +++= 2211，现将属于不同总体的样品观测值代入判别函数中，得：x c x c x c y ip p i i i )1()1(22)1(11)1(+++= 30,,1 =i x c x c x c y ip p i i i)2()2(22)2(11)2(+++= 30,,1 =i对上边两式分别左右相加，再除以相应的样品个数，则有：xc y kpk k )1(1)1(∑== ……第一组样品的“重心”xc ykpk k )2(1)2(∑== ……第二组样品的“重心”此时，最优的线性判别函数为：两重心的距离越大越好，两个组内的离差平方和越小越好。
综合上述思想，就是要求∑-∑--==+=301230122)()()()2()2()1()1()2()1(i i y y y y y y i i I 愈大愈好。
在费希尔模型的计算中，我们使用spss 软件中的Discriminant 模块进行判别分析。
该软件直接给出了预测的结果，并对前六十个数据给出了回代判别，最终对初始分组案例中的93.3%进行了正确分类。
在该分析中，我们还采用了交叉验证的方法进行分类验证，对分组案例中91.7%个进行了正确分类。
这些数据说明我们的判别分析方法是有效的。
下面给出spss软件进行费希尔判别分析的计算过程：分类函数系数V AR00009.00 1.00.097 .101V AR00002.069 -.131V AR00003-.001 .018V AR00004.000 .003V AR00005-.010 .001V AR00006.001 .002V AR00007V AR0000.011 .0078(常量) -10.259 -14.965Fisher 的线性判别式函数上表从spss输出结果中导出，该表是费希尔线性判别函数的系数。
根据系数可以总结出各类判别函数如下：肾炎患者：F0=0.097* Zn+0.069* Cu-0.001* Fe+0* Ca-0.01* Mg+0.001* K+0.011* Na-10.259健康者：F1=0.101*Zn-0.131*Cu+0.018*Fe+0.003*Ca+0.001*Mg+0.002*K+0.007* Na-14.965判别方法为：将待检测人员的七种元素含量代入上面两式中，得到两个函数F0大，则该待检测人员患有肾炎，反之为健康者。
值。
比较这两个函数值，若对结果的分析和进一步思考：一，从上述表中可以看出32,38,39,60回带时出现了误判，误判率为6.6%。
其中四组误判与前面的马氏距离判别分析相同，并没有明显的回带误判率的降低，而且出现误判的也都出现在后三十组中。
二，与马氏距离判别类似，我们可以对F1和F2的常数进行修正，使得回带误判个数减少或消失，或者误判在患病和不患病群体中分布均匀。
三，Fisher 判别法也是建立在各判别变量不能高度线性相关的基础上，所以其结果也不是十分理想和同样也不具有很好的理论解释能力。
不过，fisher 判别法的假设前提条件较马氏距离判别法有所降低，回带误判率有一定的下降，模型的适应能力和稳定性都有所提高，总体说还是优于马氏距离判别法。
四，fisher 判别分析计算量大于马氏距离判别分析不适合对大规模数据进行处理分析。
logisitic 回归法从前面的分析中我们看到判别分析依赖于严格的多元正态性和相等协方差阵的假设，这种情况在实际种可能达不到。
用0表示患病表示健康，可知判别结果的解释变量只有两个。
由于上述因素，我们用logisitic 回归法进行判断。
Logisitic 回归没有类似的假设，而且这些假设不满足时，结果非常稳定。
另外，logistic 回归类似于回归分析，两者都有直接的统计检验，都能包含非线性效果和大范围的诊断。
因为本文的研究对象是就诊人员患肾炎和不患肾炎实际问题．只研究二分类Logistic 回归。
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