2015山东省威海市文登一中高三3月模拟理科数学

【山东一模理数】山东省各地市2015届高三3月一模数学（理）试题及答案汇编(共9份)【潍坊一模＿理数】山东省潍坊市2015届高三3月一模数学（理）试题及答案（Word版） (2)[青岛一模数学]2015届山东省青岛市高三统一质量检测数学试题（理）试题及答案(word版) (11)［烟台一模理数］山东省烟台市2015年高考诊断性测试理科数学试题及答案(Word版) (21)【济南一模理数】2015年3月济南市高三模拟考试数学试题（理）及答案 (30)［淄博一模理数］山东省淄博市2014-2015学年度高三模拟考试数学试题（理）及答案(Word版) (40)[日照一模_理数]日照市2015届高三第一次模拟考试数学试题（理）及答案 (53)[济宁一模理数]山东省济宁市2015届高三第一次模拟考数学试题（理）及答案(word版本) (63)[泰安一模理数]泰安市2015届高三第一次模拟考数学试题（理）及答案(word版) (74)［枣庄一模理数］山东省枣庄市2015届第二次调研考试数学(理)试题及答案(高清扫描版) (86)试卷类型：A【潍坊一模＿理数】山东省潍坊市2015届高三3月一模数学（理）试题及答案（Word 版）高三数学（理工农医类）本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合(){}11,122x M x N x y g x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥==+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N ⋂等于A. [)0,+∞B. (]2,0-C. ()2,-+∞D. ()[),20,-∞-⋃+∞2.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112z i =-，则21z z 的虚部为 A. 35 B. 35- C. 45 D. 45- 3.如果双曲线()222210,0x y a b a b-=>>0y -=平行，则双曲线的离心率为A.B. C.2 D.34.已知函数()y f x =的定义域为{}0x x R x ∈≠且，且满足()()0,0f x f x x +-=>当时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为5.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为A.90%B.95%C.99%D.99.9%附：参考公式和临界值表6.下列结论中正确的是①命题：()30,2,3x x x ∀∈>的否定是()30,2,3x x x ∃∈≤； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；③若随机变量ξ服从正态分布()21,N δ，且()20.8P ξ<=，则()010.2P ξ<<=； ④等差数列{}n a 的前n 项和为473=21.n S a S =，若，则A.①②B.②③C.③④D.①④7.如图，在ABC ∆中，点D 在AC上，,5,sin AB BD BC BD ABC ⊥==∠=CD 的长为A.B.4C.D.5 8.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是A. 3B. 2πC. 3D. π9.已知抛物线方程为28y x =，直线l 的方程为20x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴距离为1,d P l 到的距离为212d d d +，则的最小值为A. 2B.C. 2D. 210.对于实数,m n 定义运算“⊕”： ()()2221,21m mn m n m n f x x n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕==-⊕⎨->⎪⎩设 ()1x -，且关于x 的方程()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,,x x x 则123,,x x x 的取值范围是A. 1,032⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 316x x ++-≥的解集是_________.12.运行右面的程序框图，如果输入的x 的值在区间[]2,3-内，那么输出的()f x 的取值范围是_________.13.若变量,x y 满足约束条件20,3260,3x y x y z x y y k +-≥⎧⎪--≤=+⎨⎪≥⎩且的最小值为4，则k=_________.14.对于实数[],x x 表示不超过x 的最大整数，观察下列等式：按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为______________________.15.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，P 为以点A 为圆心、以AB 为半径的圆弧上一点.若()0AC xDE yAP xy =+≠，则以下说法正确的是：_________.（请将所有正确命题的序号填上）①若点E 和A 重合，点P 和B 重合，则1,1x y =-=；②若点E 是线段AB 的中点，则点P 是圆弧DB 的中点 ;③若点E 和B 重合，且点P 为靠近D 点的圆弧的三等分点，则3x y +=；④若点E 与B 重合，点P 为DB 上任一点，则动点(),x y 的轨迹为双曲线的一部分.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()()2sin 24sin 206f x x x πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()7612g x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在，上的单调递增区间. 17. （本小题满分12分）如图，已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中//,BE AF ，1,,2AB AF AB BE AF ⊥==BC =4CBA π∠=，P 为DF 的中点. （I ）求证：PE//平面ABCD ；（II ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值..18. （本小题满分12分）某校从参加某次数学能力测试同学中抽出36名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[]809090.100100110110120，，，，，，. （I ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的事件的概率；①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在[)90,100内至多1名学生；（II ）在成绩是[)80,100内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[)90,100内的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望EX..19. （本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的通项公式{}n b 的通项公式().1n n n b n N n n *⎧=∈⎨+⎩为偶数为奇数若351,S b =+.424b a a 是与的等比中项. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知点M 是圆心为1C 的圆()2218x y ++=上的动点，点()21,0C ，若线段2MC 的中垂线交1MC 于点N.（I ）求动点N 的轨迹方程；（II ）若直线:l y kx t =+是圆221x y +=的切线且l 与N 点轨迹交于不同的两点P 、Q ，O 为坐标原点，若2435OP OQ OPQ μμ⋅=≤≤∆，且，求面积的取值范围. 21. （本小题满分14分）已知函数()1ln f x x a x x=--. （I ）若()f x 无极值点，求a 的取值范围； （II ）设()()1ln ,a g x x x a x =+-当取（I ）中的最大值时，求()g x 的最小值； （III ）证明不等式：()1*12ln 21n n n i n N +=>∈+.[青岛一模 数学]2015届山东省青岛市高三统一质量检测数学试题（理）试题及答案(word 版)青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数21i i +等于 A ．i +-1 B ．i --1C ．i -1D ．i +1 2．设全集R I =，集合2{|log ,2},{|A y y x x B x y ==>==，则A ．AB ⊆ B ．A B A =C ．A B ⋂=∅D ． ()I A B ⋂≠∅ð3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ．5和1.6B ．85和1.6C ．85和0.4D ．5和4．“*12N ,2n n n n a a a ++∀∈=+”是“数列{}n a 为等差数列”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则第5题图正视图 侧视图x正视图中的x 的值是A ．2B ．92 C ．32D ．3 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -= 7．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ8．函数4cos xy x e =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是9．对于函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是 A.函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B.函数图象关于直线56x π=对称 C.将它的图象向左平移6π个单位，得到sin 2y x =的图象 D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 10．已知点G 是ABC ∆的外心，,,GA GB GC u u r u u u r u u u r 是三个单位向量，且20GA AB AC ++=u u r u u u r u u u r r ，如图所示，非负半轴ABC ∆的顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的上移动，O 是坐标原点，则OA uu r 的最大值为AC ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若()2f m =，则()f m -= ；12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ；13.设()22132a x x dx =-⎰，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的第6项的系数为 ；14. 若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点（1，1）处取得最小值，则实数k 的取值范围是 ；15. 若X 是一个集合， τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅； ②{,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅；③{,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅； ④{,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c 已知(),sin sin sin a b a c A B A B+-=+- 3b =.（I ）求角B ；（II）若sin 3A =，求ABC ∆的面积.17．（本小题满分12分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自校机械工程学院、海洋（I ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率； （II ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ,90BAD ∠=︒,13AD AA ==， 1BC =，1E 为11A B 中点. （Ⅰ）证明：1//B D 平面11AD E ；（Ⅱ）若AC BD ⊥，求平面1ACD 和平面11CDDC 所成角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10100S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有12312n n n b b b b b a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+成立. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()()24121n nn n b c n ⋅=-+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）已知椭圆22:12x C y +=与直线:l y kx m =+相交于E 、F 两不同点，且直线l 与圆222:3O x y +=相切于点W （O 为坐标原点）.（Ⅰ）证明：OE OF ⊥； （Ⅱ）设EWFW λ=，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分14分） 已知函数()()()()()()21()1,1ln 1,2f x x kx g x x x h x f x g x '=++=++=+. （Ⅰ）若函数()g x 的图象在原点处的切线l 与函数()f x 的图象相切，求实数k 的值； （Ⅱ）若()h x 在[0,2]上为单调递减，求实数k 的取值范围.（III ）若对于1t ⎡⎤∀∈⎣⎦，总存在()()()1212,1,4,i x x x x f x g t ∈-≠=且满 ()1,2i =，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围.［烟台一模理数］山东省烟台市2015年高考诊断性测试理科数学试题及答案(Word版)山东烟台2015高考诊断性测试数学理一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 若集合11,0,,12⎧⎫A=-⎨⎬⎩⎭，集合{}2,xy y xB==∈A，则集合A B =（）A.11,0,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C.1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D.{}0,12. 复数321izi-=-的共轭复数z=（）A. 5122i+B.5122i-C.1522i+D.1522i-3. “22kπϕπ=+，k∈Z”是“函数()()cos2f x xϕ=+的图象过原点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 甲乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（）A. 甲成绩稳定且平均成绩较高B. 乙成绩稳定且平均成绩较高C. 甲成绩稳定，乙平均成绩较高D. 乙成绩稳定，甲平均成绩较高5. 某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（）A. 12B. 13C. 14D. 156. 已知α，()0,βπ∈，且()1tan2αβ-=，1tan7β=-，则2αβ-的值是（）A.4π-B. 4πC. 34π-D. 34π7. 设点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数241y ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数的概率为（ ）A. 13 B. 23 C. 14D. 128. 若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左. 右焦点分别为1F . 2F ，线段12FF 被抛物线22y bx=的焦点分成5:3两段，则此双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 4D.9. 已知M 是C ∆AB 内一点，且C 23AB⋅A =C 30∠BA =，若C ∆MB . ∆MAB . C ∆MA 的面积分别为12. x . y ，则14x y +的最小值是（ ） A. 9B. 16C. 18D. 2010. 已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()F F 0m n -<成立；④当0a >时，函数()F 2y x =-有4个零点. 其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1 C . 2D. 3二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ） 11. 若不等式()2log 122x x m ++--≥恒成立，则实数m 的取值范围是 .12. 现有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把4枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 种（用数字作答）. 13. 若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 .14. 已知()x xf x e =，()()1f xf x '=，()()21f x f x '=⎡⎤⎣⎦，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=⎡⎤⎣⎦，n *∈N ，经计算：()11x x f x e -=，()22x x f x e -=，()33x xf x e -=，⋅⋅⋅，照此规律则()n f x = .15. 已知圆C :()()22431x y -+-=和两点(),0m A -，(),0m B （0m >），若圆C 上至少存在一点P ，使得90∠APB =，则m 的取值范围是 .三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ） 16. （本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A . B . C 所对的边分别为a .b .c ，已知222si n si n C si n si nsi n CB +=A +B . ()1求角A 的大小； ()2若1cos 3B =，3a =，求c 值.17. （本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科. 文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示. 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取3名同学进行测试.()1求从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；()2记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且满足条件：2421n nS n S n +=+（n *∈N ）.()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有111n n n n b b +T -+=T +（n *∈N ），13b =，证明：数列{}1n b -是等比数列；又211n n n a c b +=-，求数列{}n c 的前n 项和W n.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，D//C A B ，D AB ⊥A ，AB ⊥PA ，C 22D 4B =AB =A =BE ，平面PAB ⊥平面CD AB .()1求证：平面D PE ⊥平面C PA ；()2若直线PE 与平面C PA所成的角的正弦值为5，求二面角C D A -P -的余弦值.20. （本小题满分13分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F 1,0，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线Q P 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.()1求椭圆C 的方程；()2设O 为坐标原点，线段F O 上是否存在点(),0t T ，使得Q Q Q P⋅TP =P ⋅T ？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()211axf x x =++（0a ≠）.()1当1a =时，求函数()f x 图象在点()0,1处的切线方程； ()2求函数()f x 的单调区间；()3若0a >，()2mx g x x e =，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()12f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案 一. 选择题1. C2. B3. A4. D5. C6. C7. A8. D9. C 10. D 二. 填空题11. (,1]-∞- 12. 5 13. 10 14. (1)()e n x x n -- 15. 46m ≤≤三. 解答题16. 解：（1）由正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==，…………………2分 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由（1）可知，sin A =，…………………4分因为1cos 3B =，B为三角形的内角，所以sin B =，…………………6分 故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1132=+=…………………9分由正弦定理sin sin a cA C =，得sin 1sin a c C A ===+. …………………12分17. 解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人，…………………2分从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，所以所求的概率为：11235328914C C C P C +==. …………………4分 （2）由题意可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分 相应的概率分别是021********(0)112C C C P C C ξ===,1112353321218484148(1)112C C C C P C C C C ξ==+=，1121355321218484145(2)112C C C C P C C C C ξ==+=,252184110(3)112C P C C ξ===,………………9分所以ξ的分布列为：48451031231121121122E ξ=⨯+⨯+⨯=.18. 解：2133,1)(124)1(21112122===+==∴∈++=*a a a a a S S n N n n n S S n n 得结合，则当………………2分 ∴n d n a a a a d n =-+==-=)1(1112所以)(*∈=N n n a n………………4分（2）由nn n n nn n n b T b T b T b T +=+-=++-++11111可得所以121-=-+n n n b T T ，121-=+n n b b ，)1(211-=-+n n b b ………………4分所以}1{-n b 是等比数列且112b -=，2=q 公比………………6分∴n n n n q b b 222)1(1111=⨯=-=---∴12+=n n b ………………8分∴nnn n n n n b a c )21()12(212112⋅+=+=-+=………………9分∴nn n n c c c c W )21()12()21(7)21(5)21(332321⨯+++⨯+⨯+⨯=++++= 利用错位相减法，可以求得2552n n n W +=-. ………………12分19. 解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，AB PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ,………………2分又∵AB AD ⊥，故可建立空间直角坐标系o xyz -如图所示， 不妨设4,BC AP λ==(0)λ>,则有(0,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(0,0,)D E C P λ， ∴(2,4,0),(0,0,),(2,1,0)AC AP DE λ===-，∴4400,0DE AC DE AP =-+==，………………4分 ∴,DE AC DE AP ⊥⊥， ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED∴平面PED ⊥平面PAC ………………6分（2）由（1），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，(2,1,)PE λ=-, 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，sin |cos ,||PE DE θ∴=<>==2λ=±，∵0λ>∴2λ=，即(0,0,2)P ………………8分设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，(2,2,0),(0,2,2)DC DP ==-， 由,DC DP ⊥⊥n n ,∴220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，不妨令1x =，则(1,1,1)=--n ………………10分∴cos ,n DE <>==, 显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --……………12分20. 解：（1）由题意知1c =，又tan 603bc ==，所以23b =，……………2分2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=；……………4分 （2）设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则2120002243,(1)23434x x k kx y k x k k +===-=-++，……………7分 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++，……………9分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++，……………10分因为2(0,)k ∈+∞，所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. ……………12分 所以线段OF 上存在点(,0)T t使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈. ……………13分 21. 解（1）当1a =时，2()11xf x x =++，(0)1f =，222222(1)21()(1)(1)x x x x f x x x +-⋅-'==++，……………2分所以(0)1f '=，切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=……………4分（2）由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，22222222(1)2(1)(1)(1)()(1)(1)(1)a x ax x a x a x x f x x x x +-⋅--+'===+++，……………6分当0a >时，(1,1)x ∈-，()0f x '>，()f x 为增函数，(,1),(1,)x ∈-∞-+∞，()0f x '<，()f x 为减函数；当0a <时，(1,1)x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，(,1),(1,)x ∈-∞-+∞，()0f x '>，()f x 为增函数. ……………8分 （3）“对任意的1212,[0,2],()()x x f x g x ∈≥恒成立”等价于“当0a >时，对任意的12min max ,[0,2],()()x x f x g x ∈≥成立”，当0a >时，由（2）可知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，而2(0)1,(2)115af f ==+>，所以()f x 的最小值为(0)1f =，22()2e e (2)e mx mx mx g x x x m mx x '=+⋅=+，当0m =时，2()g x x =，[0,2]x ∈时，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，……………10分 当0m ≠时，令()0g x '=得，1220,x x m ==-，（1）当22m -≥，即10m -≤≤时，在[0,2]上()0g x '≥，所以()g x 在[0,2]单调递增，所以2max ()(2)4e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤-，所以1ln 2m -≤≤-（2）当202m <-<，即1m <-时，在2[0,],()0g x m '-≥，()g x 单调递增，在2[,2],()0g x m '-<，()g x 单调递减，所以max 2224()()e g x g m m =-=，只需2241e m ≤，得2e m ≤-，所以1m <- （3）当20m -<，即0m >时，显然在[0,2]上()0g x '≥，()g x 单调递增，2max ()(2)4e mg x g ==，24e 1m ≤不成立，……………13分综上所述，m 的取值范围是(,ln 2]-∞-……………14分【济南一模 理数】2015年3月济南市高三模拟考试数学试题（理）及答案2015年高考模拟考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,,M x x x N x x a M N =--<=>⊆若，则实数a 的取值范围是A.(],1-∞-B.(),1-∞-C.[)3,+∞D.()3,+∞2.若12iz i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A.2i -- B.2i - C.2i +D.2i -+3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；A.①②B.②③C.③④D.①④ 4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.136.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.57.5y x =+$，则表中的m 的值为A.50B.55C.60D.657.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.58.在椭圆221169x y +=内，通过点()1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为 A.91670x y -+=B.169250x y +-=C.916250x y +-=D.16970x y --=9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 10.若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为A.[]4,5-B.[]5,5-C.[]4,5D.[]5,4-第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[)60,80中的学生人数是_________. 12.函数()2f x =的定义域是_________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c⋅=+⋅+r r r r r r ，则的最大值为________.15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()f x 为“条()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a,b,c 的对角分别为A,B,C ；且4,3b A π==，面积S =（I ）求a 的值；（II ）设()()2cos sin cos cos f x C x A x =-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分. （I ）求ξ的分布列和数学期望；（II ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.18. （本小题满分12分） 直三棱柱111A B C A B C-中，10,8,6A B A C B C ===，18AA =，点D 在线段AB 上.（I ）若1//AC 平面1B CD ，确定D 点的位置并证明； （II ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥，（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足()242l o g 1n n b a =+，证明：对一切正整数222121111,1112n n b b b ++⋅⋅⋅+<---有.20. （本小题满分13分）已知抛物C 的标准方程为()220y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),00A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N.当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为92. （I ）求抛物线C 的标准方程； （II ）记11t AM AN=+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21. （本小题满分14分） 已知关于x 函数()()()()22ln ,g x a x a R f x x g x x=-∈=+， （I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1内有极值，试求a 的取值范围； （III ）0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946====）2015届高三教学质量调研考试理科数学参考答案一、选择题ADDBC CDCBA 二、填空题（11）50 （12）{}10010|<<x x （13）π2 （14）1（15）①③④三、解答题（16）解：（Ⅰ）在ABC ∆中A bc S sin 21=2342132⨯⨯⨯=∴c 2=∴c …………2分∴a === …………4分（Ⅱ）∵4,sin 1,sin sin sin a b B A B B==∴= 又∵0B π<<∴2B π=6C π=……6分∴(()2cos sin cos cos )2sin()6f x C x A x x π=-=-，………… 8分将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6g x x π=-，…………9分 所以()g x 的单调增区间为222,262k x k πππππ-≤-≤+…………10分即,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈…………11分()g x 的单调区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………12分（17）解：（Ⅰ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分1111(=0)5436041113111293(=10)=54354354360204314121322613(=20)=5435435436030432242(=30)==.5543605P P P P ξξξξ=⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⋯⋯⋯⋯，，，分ξ的分布列为：…………6分1313213301020+30.60203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯⨯=（）…………7分 ()()()()()3223.319==9460128031381=C =1144201280909+=+==.121280128P P P P P ⎛⎫⨯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⨯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）用A 表示“甲得30分乙得0分”，用B 表示“甲得20分乙得10分”，且A,B 互斥又A ， 分B 分甲、乙两人得分总和为30分且甲获胜的概率为A B A B 分（18）（Ⅰ）证明：当D 是AB 中点时，1AC ∥平面1B CD . 连接BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ． 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE // AC 1． …………………………………2分 因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1C D ， 所以 AC 1∥平面B 1CD ． ………………………………………4分 （Ⅱ） 由6,8,10===BC AC AB ，得AC ⊥BC ，以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ． 则B (6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A 1(0, 8,8)，B 1(6, 0, 8)．设D (a , b , 0)（0a >，0b >），…………………5分 因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =， 即13BD BA =． 所以84,3a b ==．…………………7分所以1(6,0,8)BC =--，8(4,,0)3CD =． 平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =． 设平面B 1CD 的法向量为2(,,1)n x y =，由 120BC n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 6808403x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以4,23x y =-=，24(,2,1)3n =-． …………………10分 设二面角1B CD B --的大小为θ， 361cos a b a bθ⋅==所以二面角1B CD B --的余弦值为61．……………………………12分 （19）解：()Ⅰ由1132n n n a a a +-=- ，可得112(),n n n n a a a a +--=-…………2分212,a a -={}1n n a a +∴- 是首项为2，公比为2的等比数列，即1=2.n n n a a +- …………3分()()()-1-1-221112=-+-+-12=22211221,6n n n n n nn n n a a a a a a a a --∴+-++++=-=-⋯⋯⋯⋯+分()()()24222221222122log (2)2.7111111=.9141212122121111111111+=1111233521211111.2212111,+11n n n n b n b n n n n n b b b n n n n b b ==⋯⋯⋯⋯⎛⎫==-⋯⋯⋯⋯ ⎪---+-+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∴++--Ⅱ由题意得分分对一切正整数有21.1212n b <⋯⋯⋯⋯-分（20）(I)由题意,2922221||||212==⋅⋅=⋅⋅=∆p p p MN OA S MON3=∴p抛物线C 的方程为x y 62=---------------------------------------------------------------------3分 (II) 设),(),(2211y x N y x M ，,直线MN 的方程为a my x += 联立⎩⎨⎧=+=x y a my x 62得0662=--a my y024362>+=∆a mm y y 621=+,a y y 621-=,-----------------------------------------------------------------6分 由对称性,不妨设0>m ,(i )0<a 时,0621>-=a y y , 21y y ，∴同号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+=)111(1363611)()(112222222122122m a a m m y y y y m t +-=+=++=∴不论a 取何值,t 均与m 有关,即0<a 时A 不是“稳定点”; -------------------------9分 (ii ) 0>a 时, 0621<-=a y y , 21y y ，∴异号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+= 22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴ )11321(13624361122222m a a a a m m +-+=+⋅+= 所以,仅当0132=-a ,即23=a 时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分（21）解：（I ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞2222-)(x ax x a x x g +-=-=' （i ）若0≥a ，则0)('<x g 在),0(+∞上恒成立，),0(+∞为其单调递减区间； （ii ）若0<a ，则由0)('=x g 得ax 2-=， )2,0(a x -∈时，0)('<x g ，),2(+∞-∈ax 时，0)('>x g ，所以)2,0(a -为其单调递减区间；),2(+∞-a为其单调递增区间；-----------------------4分（II ）)()(2x g x x f +=所以)(x f 的定义域也为),0(+∞，且232''2'2222)()()(x ax x x ax x x g x x f --=+-=+=令),0[,22)(3+∞∈--=x ax x x h (*)则a x x h -6)(2'= (**)----------------------------------------------------------------------------6分0<a 时, 0)('≥x h 恒成立,所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数，又0-)1(,02)0(>=<-=a h h ，所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)('x f 的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值. ----------------------------------------8分0≥a 时)1,0(,0)1(2)(3∈<--=x ax x x h ,即在区间(0,1)上0)('<x f 恒成立,此时, )(x f 无极值.综上所述,若)(x f 在区间)1,0(内有极值，则a 的取值范围为)0,(-∞. --------------9分(III) 0>a ,由（II ）且3)1(=f 知]1,0(∈x 时0)(>x f ,10>∴x .又由(*)及(**)式知)(x f '在区间),1(+∞上只有一个极小值点,记为1x , 且),1(1x x ∈时)(x f 单调递减,),(1+∞∈x x 时)(x f 单调递增,由题意1x 即为0x ,⎩⎨⎧='=∴0)(0)(00x f x f -----------------------------------------------------------------------11分 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴0220ln 20200020ax x x a x x消去a ,得131ln 2300-+=x x ----------------------------------------------------12分 0>a 时令)0(131)(),1(ln 2)(321>-+=>=x x x t x x x t , 则在区间),1(+∞上为)(1x t 单调递增函数, )(2x t 为单调递减函数, 且)2(710577.022ln 2)2(21t t =<=⨯<= )3(263123ln 2)3(21t t =+>>= 320<<∴x2][0=∴x ----------------------------------------------------------------------------14分［淄博一模 理数］山东省淄博市2014-2015学年度高三模拟考试数学试题（理）及答案(Word 版)淄博市2014—2015学年度高三模拟考试试题理 科 数 学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题。

2015届山东省济宁市鱼台县第一中学高三第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第 I 卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R,集合A={x|-2≤x<0},B={x|2x-1<41},则C R （A∩B）=（ ） A ．（-∞,-2）∪[-1,+∞] B ．（-∞,-2]∪（-1,+∞）C ．（-∞,+∞）D ．（-2,+∞）2．已知i 是虚数单位，则ii 13+=A ．i 2-B ．i 2C ．i -D ．i3．已知命题01,:;25sin ,:2>+∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01,:;25sin ,:2>++∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使01,:;5sin ,:2>++∀=∈∃x x R q x R x p 都有命题使，.01,:;25sin ,2>+∈=∈x R q x R x 都有命题使给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题 ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③4．等差数列}{n a 的前n 项和为n S （n ＝1,2,3，…），若当首项1a 和公差d 变化时，1185a a a ++是一个定值，则下列选项中为定值的是A ．17SB ．16SC ．15SD ．14S5．设随机变量X 服从正态分布)8,6(N ,若)52()2(-<=+>a X P a X P 则=aA ．6B ．5C ．4D ．36．下列哪个函数的图像只需平移变换即可得到()sin cos f x x x =+的函数图像A ．1()2sin 2f x x =+B ．2()sin f x x =C ．3()2(sin cos )f x x x =+D ．4()2cos (sin cos )222x x xf x =+7．已知若干个正方体小木块堆放在一起形成的组合体的三视图如图所示，则所需小木块最少有多少个A ．7个B ．8 个C ．9个D ．10个8．已知实数1[∈x ，]10，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为A ．31B ．94C ．52D ．103 9．已知实数y x ,满足⎩⎨⎧≤++≤++1|||22||12|y y x y x ，则y x Z -=2的最小值是A ．3B ．3-C ．5D ．5-10．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A ．4B ．7C ．332 D ．311．定义在R 上的函数()(2)()1,[0,1],()4xf x f x f x x f x +=+∈=满足且时，(1,2)x ∈ 时，(1)()f f x x=，令4)(2)(--=x x f x g ]2,6[-∈x 则 函 数)(x g 的零点个数为 A ．9B ．8C ．7D ．612．在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球半径为 A ．23B ．3C ．23D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分, 共20分。

O ππ3π6112015年高三三模试卷理科数学一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1、设复数11221,2,z z i z ai z =+=+若为纯虚数，则实数a =（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．12、 已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题:1,ln(1)x q x e x ∀>->+，则（ ） A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3、已知某随机变量X 的概率密度函数为P (x )=⎩⎨⎧>≤-0,0,0x e x x ,则随机变量X 在区间(1,2)内的概率为( )A ．e 2+eB ．21e e + C ．e 2-e D ．21ee - 4．下列命题中正确的是（ ）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线 5．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）（A ）32,1πϕω== （B ）32,2πϕω== （C ）3,1πϕω-== （D ）3,2πϕω-==6、ABCDEF 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A,B 和C,D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( )A.72B.192C. 112D.1607、 设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意∈x R 都有)()(x f x f >'成立，则（ ）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B.3(ln 2)2(ln 3)f f =C ．3(ln 2)2(ln3)f f < D.3(ln 2)2(ln3)f f 与的大小不确定8、过双曲线2222x y a b-=1（a >0，b >0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±y =0B ．2x ±y =0C ．4x ±y =0D ．x ±2y =09、已知,40,tan 12sin sin 22πθθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值( ) A ．随着k 的增大而增大 B ．有时随着k 的增大而增大，有时随着k 的增大而减小 C ．随着k 的增大而减小 D ．是一个与k 无关的常数10、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数1()sgn(ln )(23)x f x x -=--的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.411、平面α、β、γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α内的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( ) A ． 3－ 3B ．3+ 3C ．1D ．312、定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且函数)3(-=x f y 的图像关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式22(2)(2)0f s s f t t -+-≥，则当14s ≤≤时，3t s +的取值范围是( ) A ．]10,2[- B ．[4，16] C ．]10,4[ D ．]16,2[-第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、右面程序框图中，已知f 0(x)=xe x ，则输出的结果是___ __；14、已知{x 1, x 2, x3, x 4}⊆{x >0|(x -3)sinπx =1}, 则x 1+x 2+x 3+x 4的最小值为___ __；15、ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则该ABC ∆的面积___ __；16、某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个球面上，则此球的表面积为___ __；（2sin aR A=，其中R 为三角形外接圆半径）三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中, 已知3212+=a a , 且23a ,4a ,35a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b 3log =,求数列{}n n b a 的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）已知某几何体直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，60°3388主视图侧视图（1）求证：BN 11C B N ⊥平面； （2）11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB 并求BPPC的值 19、（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。

高三理科数学适应性练习本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.答第Ⅱ卷前将答题纸密封线内的项目填写清楚.4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题纸各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效. 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数11iz i+=-，则2121i z +-的共轭复数是A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i +2.已知集合11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}01=-=mx x B ，若B B A = ，则所有实数m 组成的集合是A ．{}0,1,2-B ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．{}1,2- D ． 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3.下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 （1）:cos cos ;p αβ= :sin sin q αβ=；（2）():1;()f x p f x -=- :()q y f x =是奇函数； （3）:;p A B B = :U U q C B C A ⊆；（4）:2p m <或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点.A ．(1)(3)B ．(3)(4)C ．(3)D ．(4)4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.9P ξ<=，则(02)P ξ<<=A.0.2B.0.3C.0.4D.0.65.方程22123x y m m -=--表示双曲线，则m 的取值范围是A ．23m <<B ．30m -<< 或02m <<或3m >C ．3>m 或23<<-mD ．23m <<或3m <-6.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =且前4项和428S =，则此样本的平均数和中位数分别是 A ．22,23B ． 23,22C ．23,23D ．23,247.右面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的条件为A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤ 8.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12π上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图像 9.设,,,O A B M 为平面上四点，(1),(0,1)OM OA OB λλλ=+-∈，则A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．,,,O A B M 四点共线10.二项式3(ax -的展开式的第二项的系数为22a x dx -⎰的值为 A.3 B. 73 C. 3或73 D. 3或103-11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为 A.2 B.43 C. 23D. 3 12.对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 A. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13.设不等式组0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是 ．14.已知命题[]2:1,4,p x x a ∀∈≥,命题,022,:2=-++∈∃a ax x R x q 若命题“q p 且”是真命题,则实数a 的取值范围为 . 15.如图，已知球O 的面上有四点,,,A B C D ，DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===, 则球O 的体积与表面积的比为 ．16.函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围.18.（本小题满分12分）某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，BA AC ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ．且1,2AC AB ED EF ==== , 4AD DG ==． （Ⅰ）求证：BE ⊥平面DEFG ; （Ⅱ）求证：BF ∥平面ACGD ； （Ⅲ）求二面角F BC A --的余弦值． 20．（本题满分12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为前n 项和，5a 和7a 的等差中项为11，且25114a a a a ⋅=⋅．令11,n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为n T ．（Ⅰ）求n a 及n T ；（Ⅱ）是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．21.(本小题满分12分）设点(,)P x y 到直线2x =的距离与它到定点(1,0)并记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围．22.(本小题满分14分）已知函数()ln(1)(xf x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数．（Ⅰ）求实数a 的值；ABCD EGF（Ⅱ）若()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的最大值； （Ⅲ）若关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+有且只有一个实数根，求m 的值． 201303理科数学 参考答案及评分标准一、,,BACCD CBCAC BA二、13.18π-14. 1a =或2a ≤- 15. 16. 9 三．解答题17.解(Ⅰ)由1cos 2a C c b -=得1sin cos sin sin 2A C CB -= …………2分 又sin sin()sin cos cos sin B AC A C A C =+=+11sin cos sin ,sin 0,cos 22C A C C A ∴=-≠∴=- …………4分 又0A π<< 23A π∴= …………6分(Ⅱ)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==,C c sin 32=)())1sin sin 1sin sinl a b c B C B A B =++=+=+++11(sin )1)23B B B π=+=+…………9分22,(0,),(,)33333A B B πππππ=∴∈∴+∈ , …………10分sin()(32B π∴+∈故ABC ∆的周长l 的取值范围为(2,1]3+. …………12分18解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21133-=.…………1分 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则12212114333381P C =⋅⋅⋅=. …………4分（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. ………5分 则22215(2)()()339P ξ==+=…………6分12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+= …………7分1221216(6)()3381P C ξ=== …………9分所以随机变量ξ的分布列为ξ2 4 6P59 2081 1681………10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=…………12 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 平面ABC ∥平面DEFG ,平面ABC 平面ADEB AB =,平面DEFG 平面ADEB DE =,AB ∴∥DE ………1分又,AB DE =∴ 四边形ADEB 为平行四边形，BE ∴∥AD ……2分AD ⊥ 面,DEFG BE ∴⊥平面.DEFG ……3分（Ⅱ）设DG 的中点为M ，连接,AM MF ，则122DM DG ==， 2,EF EF = ∥DG ,∴四边形DEFM 是平行四边形…………4分∴MF DE MF =且∥DE ，由（Ⅰ）知，ADEB 为平行四边形，∴AB DE =且AB ∥DE ,∴AB MF =且AB ∥MF , ∴四边形ABFM 是平行四边形，…………5分即BF ∥AM ，又BF ⊄平面ACGD ,故 BF ∥平面ACGD ；…………6分（Ⅲ）由已知，,,AD DE DG 两两垂直，建立如图的空间坐标系，则(0,0,4),(2,0,4),(0,1,4),(2,2,0)A B C F ∴(0,2,4),(2,1,0)BF BC =-=-设平面FBC 的法向量为1(,,)n x y z =，ABCD EGFM则1124020n BF y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，则1(1,2,1)n =，而平面ABC 的法向量2(0,0,4)n DA ==∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅＝==由图形可知，二面角F BC A --的余弦值-12分 20解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得整理得111511212a d d a d a +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩所以1(1)221n a n n =+-⨯=-……………3分 由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+所以111111(1)2335212121n n T n n n =-+-++-=-++ ……………5分 （Ⅱ）假设存在 由（Ⅰ）知，21n n T n =+，所以11,,32121m n m nT T T m n ===++若1,,m n T T T 成等比，则有222121()2132144163mn m n m nT T T m n m m n =⋅⇒=⋅⇒=+++++………8分 2222441633412m m n m m m n n m++++-⇒=⇒=，。

2015年山东省威海市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）已知集合A＝{x|x2≥1}，B＝{x|y＝}，则A∩∁B＝（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y＝2B．x+y＞2C．x2+y2＞2D．xy＞14．（5分）如图程序框图中，若输入m＝4，n＝10，则输出a，i的值分别是（）A．12，4B．16，5C．20，5D．24，65．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1＝0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．6．（5分）定义：|＝a1a4﹣a2a3，若函数f（x）＝，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．πC．D．π7．（5分）已知函数f（x）＝，则y＝f（2﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．3C．5D．59．（5分）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z＝2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•＝2，∠BAC＝30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）＝++，则f（x，y，z）的最小值为（）A．26B．32C．36D．48二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（5分）已知α∈（π，2π），cosα＝﹣，tan2α＝．12．（5分）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为．13．（5分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．14．（5分）已知偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．15．（5分）抛物线y2＝12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）＝cos C．（Ⅰ）求A，B，C；＝3+，求a，c．（Ⅱ）若S△ABC17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1＝1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1＝（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m 恒成立，求m的最大值．18．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．19．（12分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，O在AB上，且OB＝OC ＝AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO．（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．20．（13分）已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）＝﹣，在[1，e]（e＝2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．21．（14分）在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|＝|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．2015年山东省威海市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由z（1+3i）＝i，得，∴z的虚部为．故选：A．B＝（）2．（5分）已知集合A＝{x|x2≥1}，B＝{x|y＝}，则A∩∁A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【解答】解：由A中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），由B中y＝，得到1﹣logx≥0，即log2x≤1＝log22，解得：0＜x≤2，即B＝（0，2]，∴∁R B＝（﹣∞，0]∪（2，+∞），则A∩∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），故选：B．3．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y＝2B．x+y＞2C．x2+y2＞2D．xy＞1【解答】解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x＝3，y＝﹣10满足x+y≤2但不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件．所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选：B．4．（5分）如图程序框图中，若输入m＝4，n＝10，则输出a，i的值分别是（）A．12，4B．16，5C．20，5D．24，6【解答】解：模拟执行程序，可得m＝4，n＝10，i＝1a＝4，不满足条件n整除a，i＝2，a＝8不满足条件n整除a，i＝3，a＝12不满足条件n整除a，i＝4，a＝16不满足条件n整除a，i＝5，a＝20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．故选：C．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1＝0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1＝0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．6．（5分）定义：|＝a1a4﹣a2a3，若函数f（x）＝，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．πC．D．π【解答】解：由题意可得：f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y＝2sin （x+m﹣），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣＝kπ+，k∈Z，故解得：m（m＞0）的最小值是．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝，则y＝f（2﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝，则y＝f（2﹣x）＝，故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x＝1为界分段，只有A符合，故选：A．8．（5分）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．3C．5D．5【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正三棱柱，上部为一球体的组合体；且正三棱柱的底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为×＝；∴该组合体的体积为V＝V三棱柱+V球＝×2××5+π×＝5+π．故选：D．9．（5分）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z＝2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z＝2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z＝2ax+by的斜率k＝﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6＝36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z＝2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为＝．故选：D．10．（5分）已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•＝2，∠BAC＝30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）＝++，则f（x，y，z）的最小值为（）A．26B．32C．36D．48【解答】解：∵•＝2，∠BAC＝30°，∴AB•AC•cos30°＝2，∴AB•AC＝4．∵S＝AB•AC•sin30°＝1＝x+y+z．△ABC∴f（x，y，z）＝++＝（++）（x+y+z）＝1+4+9++++++≥14+4+6+12＝36，即f（x，y，z）＝++的最小值为36，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（5分）已知α∈（π，2π），cosα＝﹣，tan2α＝﹣．【解答】解：∵α∈（π，2π），cosα＝﹣，∴sinα＝﹣＝﹣，tanα＝＝2，∴tan2α＝＝＝﹣，故答案为：．12．（5分）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8．【解答】解：∵600÷50＝12，∴由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n＝3+12（n﹣1）＝12n﹣9．落入区间[496，600]的人做问卷C，由496≤12n﹣9≤600，即505≤12n≤609解得42≤n≤50．再由n为正整数可得43≤n≤50，∴做问卷C的人数为50﹣43+1＝8，故答案为：813．（5分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9．【解答】解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2＝7﹣3＝4＝2×2，a4﹣a3＝13﹣7＝6＝2×3，＝2（m﹣1），…a m﹣a m﹣1以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2＝＝（m+1）（m﹣2），∴a m＝a2+（m+1）（m﹣2）＝m2﹣m+1，∴当m＝9时，a m＝73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：914．（5分）已知偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）＝﹣，故有f（x+2）＝f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）＝（x﹣2）2．由于函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y＝f（x）的图象与y＝log a（x+2）有4个交点，所以可得1≥log a（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．15．（5分）抛物线y2＝12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为．【解答】解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF＝PM，∴PM⊥抛物线的准线，F（3，0）设M（﹣3，m），则P（9，m），等边三角形边长为12，如图．在直角三角形APF中，PF＝12，解得外心Q的坐标为（3，±4）．则△FPM 的外接圆的半径为4，∴则△FPM的外接圆的方程为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）＝cos C．（Ⅰ）求A，B，C；＝3+，求a，c．（Ⅱ）若S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴sin C cos A+sin C cos B＝cos C sin A+cos C sin B，即sin C cos A﹣cos C sin A＝cos C sin B﹣sin C cos B，得sin（C﹣A）＝sin（B﹣C）．∴C﹣A＝B﹣C，或C﹣A＝π﹣（B﹣C）（不成立）．即2C＝A+B，得，∴，∵，则，或（舍去）∴．（Ⅱ）∵又∵，即，∴．17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1＝1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1＝（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m 恒成立，求m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）＝（S1+a1）+（S2+a2）∴S3﹣S1+S3﹣S2＝a1+a2﹣2a3，即4a3＝a1，于是，∵q＞0，∴；∵a1＝1，∴．（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）＝（S1+a1）+（S2+a2）当q＝1时，不符合题意；当q≠1时，，∴2（1+q+q2+q2）＝2+1+q+q，∴4q2＝1，∴，∵q＞0，∴，∵a1＝1，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴（1）∴（2）∴（1）﹣（2）得：＝∴∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m∵∴{T n}为递增数列，∴当n＝1时，（T n）min＝1，∴m≤1，∴m的最大值为1．18．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k 局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+×（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：E（X）＝2×+3×+4×+5×＝．19．（12分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，O在AB上，且OB＝OC ＝AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO．（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设OA＝1，则PO＝OB＝2，DA＝1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，∴DA⊥AO．从而，在△PDO中，∵PO＝2，∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．又∵OC＝OB＝2，∠ABC＝45°，∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，又PO，AB⊂平面P AB，PO∩AB＝O，∴CO⊥平面P AB．故CO⊥PD．∵CO∩DO＝O，∴PD⊥平面COD．（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），∴，由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，设平面BDC的法向量为，∴，∴，令y＝1，则x＝1，z＝3，∴，∴，由图可知：二面角B﹣DC﹣O为锐角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值为．20．（13分）已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）＝﹣，在[1，e]（e＝2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝x﹣2lnx，f（1）＝1，切点（1，1），∴，∴k＝f′（1）＝1﹣2＝﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min＝h（1）＝1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min＝h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．21．（14分）在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|＝|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．【解答】解：（I）设C（x，y），∵点G是△ABC的重心，∴G，∵y轴上一点M满足GM∥AB，∴．∵|MC|＝|MB|，∴，化为即为△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6＝0，由△＞0，化为2k2﹣m2+6＞0，∴，．∵四边形OPRQ为平行四边形，∴，∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，∴R．∵点R在椭圆上，∴＝6，化为2m2＝k2+3．代入△＞0，可得m2＞0，又2m2≥3，解得或m．∴m的取值范围是∪．。

山东省威海市文登新第一中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，集合，则的子集个数为（）A．1 B． 2 C．3 D．4参考答案：D，所以，其子集个数为，选D.2. 设，则( )A． B． C． D．参考答案：A3. （改编）右面的程序框图输出的结果为（）参考答案：D4. 如图所示的程序框图，该算法的功能是A．计算…的值B．计算…的值C．计算……的值D．计算……的值参考答案：C初始值，第次进入循环体：，；当第次进入循环体时：，，…，给定正整数，当时，最后一次进入循环体，则有：…，，退出循环体，输出……，故选C．5. 集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则A∩（?R B）等于（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵B={x|x＜﹣1}，∴?R B={x|x≥﹣1}，又A={x|﹣2≤x≤3}，∴A∩（?R B）={x|﹣1≤x≤3}．故选：D．6. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则值为A、3B、C、－D、－3参考答案：D由已知得．7. 已知集合则集合=（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 在直角坐标系中，函数f（x）=sinx﹣的图象可能是( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意，f（﹣x）=sin（﹣x）+=﹣（sinx﹣）=﹣f（x）；从而可排除C，再由当x→0+时，f（x）→﹣∞排除B，D；从而得到答案．【解答】解：由题意，f（﹣x）=sin（﹣x）+=﹣（sinx﹣）=﹣f（x）；∴图象关于原点对称，故排除C；当x→0+时，f（x）→﹣∞；故排除B、D；故选A．【点评】本题考查了函数的性质应用及函数图象的特征，属于中档题．9. 下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B．[－1，]C．[0，) D．[1,2)参考答案：D10. 下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(－∞，0)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”的函数是(A).f(x)＝－x＋1 (B) f(x)＝2x (C). f(x)＝x2－1 (D).f(x)＝ln(－x)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设命题p：α=；命题q：sinα=，那么p是q 的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．参考答案：充分不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若α=，则sinα=sin=成立，即充分性成立，若α=，满足sinα=，但α=不成立，即必要性不成立，故p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件点评：本题主要考查充分条件和必要条件判断，比较基础．12. 设等比数列{a n}的公比q= ,前n项和为S n,则=________.参考答案：63略13. 如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆一共有 8层花盆，则最底层的花盆的总个数是参考答案：16914. 若，，，则的值为_____________。

高三数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合1{|()1},{|lg(2)}2xM x N x y x =≥==+，则MN 等于（ ）A ．[)0,+∞B ．(]2,0-C ．()2,-+∞D ．()[),20,-∞-+∞2、设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112z i =-，则21z z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 3、如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线0y -平行，则双曲线的离心率为（ ）A．2 D ．34、已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x R x ∈≠且，且满足()()0f x f x +-=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）5、某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ） A ．90% B ．95% C ．99% D ．99.9%附：参考公式和临界值表：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=6、下列结论中正确的是（ ）①命题：3(0,2),3x x x ∀∈>的否定是3(0,2),3x x x ∃∈≤； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；③若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=； ④等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S= A ．①② B ．②③ C ．③④ D．①④7、如图，在ABC ∆中，点D 在AC上，,5,sin 3ABBD BC BD ABC ⊥==∠=，则CD 的长为（ ）A ．4 C ．．58、某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ．3B ．2π C ．3 D ．π 9、已知抛物线方程为28y x =，直线l 的方程为20x y-+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴距离为1d ，P 到l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．2B ．．2 D ．210、对于实数,m n 定义运算“⊕”：2221m mn m nm n n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊕-，且关于x 的方程()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是（ ） A ．1(,0)32- B ．1(,0)16- C ．1(0,)32 D ．1(0,)16第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足2(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为( ) （A ）325i （B ）325 （C ）425i （D ）425【答案】D 【解析】试题分析：由213434(2)1(34)134(34)(34)2525i i z i z z i i i i +-⋅=⇒-=⇒===+--+，所以复数z 的虚部为425，故答案选D . 考点：1.复数的计算；2.复数的定义.2. 已知集合2{|},{1,0,1}A x x a B ===-，则1a =是A B ⊆的( ) （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由A B ⊆得集合A 是空集或者非空集合， 当集合A 是空集时，0a <，当集合A 是非空集合时，1x =-或1或0，此时1a =或0， 故答案选A .考点：1.集合之间的关系；2.命题的充分必要性.3. 设单位向量12,e e 的夹角为120，122a e e =-，则 ||a =( )（A ）3 （B （C ）7 （D 【答案】D考点：1.向量的模；2.数量积.4. 已知等差数列{}n a 满足61020a a +=，则下列选项错误的是( ) （A ）15150S = （B ）810a = （C ）1620a =（D ）41220a a += 【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以6108220a a a +==，得810a =，11515815()151502a a S a +===；4128220a a a +==故答案选C .考点：等差数列的性质.5. 双曲线22124x y -=的顶点到其渐近线的距离为( )（A （B （C （D【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线22124x y -=，得其顶点坐标，(，渐近线方程y =，点到y =的距离为3d ==，由双曲线的性质得双曲线22124x y -=B .考点：双曲线的性质.6. 已知,x y 满足约束条件224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )（A ）2 （B（C ）4 （D）【答案】D 【解析】试题分析：如图所示阴影部分为不等式组224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩表示的可行域，由图可知，当直线20x y z +-=与圆224x y +=相切时，z 取得最大值，2z =⇒=±max z =D .考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.7. 周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2(2014)(50342)(2)log 212f f f =⨯+==+=，2(2015)(50441)(1)(1)11f f f f =⨯-=-=-=-=-，(2014)+(2015)1f f =，故答案选B .考点：1.函数求值；2.函数的周期性和奇偶性.8. 已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是( )①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥；③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥； （A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④ 【答案】B 【解析】试题分析：如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//AD B C ,AD ⊂平面ABCD ,11B C ⊂平面11BB C C ,但平面ABCD 与平面11BB C C 相交于BC ，故选项①错误；平面//ABCD 平面1111A B C D ，AD ⊂平面ABCD ,11D C ⊂平面11BB C C ，CD AD ⊥,但CD 与11D C 不垂直，，故选项②错误；选项③是线面垂直的一个性质定理，故选项③是正确的；平面ABCD ⊥平面11BB C C ，11//B C 平面ABCD ，//AD 平面11BB C C ，但11//B C AD ，故选项④错误.故答案选B考点：点、线、面的位置关系.9. 在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面积为2，则C =( ) 3π23π6π56π（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A考点：解三角形.10. 设()f x '为函数()f x 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是 ( )（A ）()f x 在(0,)+∞单调递增 （B ）()f x 在(0,)+∞单调递减 （C ）()f x 在(0,)+∞上有极大值 （D ）()f x 在(0,)+∞上有极小值 【答案】D 【解析】 试题分析：22ln ln 1()()ln ()()[()]()(ln )2x x x f x xf x x xf x f x xf x xf x x c x x '''+=⇒+=⇒=⇒=+ 所以2ln ()2x c f x x x =+，又1()f e e =，得12c =，即2ln 1()22x f x x x=+所以222222ln ln 1(ln 1)()0222x x x f x x x x---'=-=≤，所以()f x 在(0,)+∞单调递减 故答案选D考点：1.导数的应用；2.构造函数.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为________. 【答案】4800 【解析】试题分析：由题知乙型号产品所占比例为80503808-=，所以该批次产品总数为3180048008÷=考点：分层抽样.12. 右面的程序框图输出的S 的值为_____________.【答案】2512【解析】试题分析：1n =时，1011s =+=；2n =时，13122s =+=；3n =时，3111236s =+=；4n =时，111256412s =+=；5n =时,输出2512s =. 考点：程序框图的识别.13. 已知0,0x y >>且2x y +=，则22111x y xy++的最小值为______.【解析】试题分析：2222222221111111()()[4()3()]24x y y x y xx y xy x y xy x y x y+++=++=++++11[423(426)344y x x y ≥+⋅⋅+⋅=++=，当且仅当""x y =时，等号成立.考点：基本不等式.14. 若1()()f x f x dx x +=⎰， 则1()f x dx =⎰_________.【答案】14【解析】试题分析：因为1()f x dx ⎰是一常数，即可设1()f x dx m =⎰，所以()f x x m =-()f x 的原函数2(1()2g x x m c x c =-+为常数）所以1()(1)(0)f x dx g g =-⎰，即得12m m =- 解得14m =，即11()4f x dx =⎰考点：1.定积分. 15. 函数213()|2|122f x x x x =-+-+的零点个数为___________. 【答案】2 【解析】试题分析：令()0f x =，即213|2|122x x x -+=- 则函数21()|2|2h x x x =-+和函数3()12g x x =-的交点个数即为函数()f x 的零点个数，如上图所示，()h x 与()g x 有两个交点，所以函数()f x 的零点个数为2. 考点：1.函数的零点；2.数形结合.三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x x ωωω-=-=)0(>ω， 函数3)(+⋅=n m x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）若将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域.【答案】（Ⅰ）Z k k k ∈+-],83,8[ππππ；（Ⅱ）[.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换得())4f x x πω=-，由函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π，所以函数)(x f 的周期为π，利用周期公式即可求得1ω=，即())4f x x π=-，令Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解之即可求出函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）由三角函数图像变换得)44sin(2)(π+=x x g ，因为]2,6[ππ∈x ，即得1194[,]4124x πππ+∈，根据三角函数的性质得22)44sin(1≤+≤-πx ，最后求得函数)(x g 在]2,6[ππ∈x 的值域.试题解析：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x xx ωωωωπω=-+=-=-，由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， )42sin(2)(π-=∴x x f .由Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ,∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ.（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ，]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， ∴22)44sin(1≤+≤-πx ， ∴函数()g x的值域为[.考点：1.三角函数的性质；2.三角函数图像；3.三角函数的值域.17. （本小题满分12分）一汽车4S 店新进A ,B ,C 三类轿车,每类轿车的数量如下表:同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率;（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A ,B ,C 三种型号的车辆数分别记为,,a b c ，记ξ为,,a b c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）518; （Ⅱ）分布列略，209.∴其分布列为数学期望为23414631269E ξ=⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型的分布列及期望.18. （本小题满分12分）已知 {}n a 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （Ⅰ）求证：数列2{}n S 为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1),nn nb a -=求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）n a ；（Ⅲ）(1)n T =-【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，当1n =时，可得11S =;又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，得2112()()1n n n n n S S S S S -----=，整理得2211,(2)n n S S n --=≥，2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得211n S n n =+-=，{}n a 是各项都为正数，n S =1n n n a S S -=-=2n ≥），又111a S ==,∴n a =；（Ⅲ）由（Ⅱ）得(1)(1),n n nn n b a -===-当n 为奇数时，n T =当n 为偶数时，n T ={}n b 的前n 项和(1)n T =-试题解析：（Ⅰ）由题意知12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，① 当1n =时，由①式可得11S =;又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，代入①式得2112()()1n n n n n S S S S S -----=整理得2211,(2)n n S S n --=≥． ∴ 2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列. （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得211n S n n =+-=，∵{}n a 是各项都为正数，∴n S∴1n n n a S S -=-=2n ≥），又111a S ==,∴n a（Ⅲ）(1)(1),n n nn n b a -===-当n 为奇数时，11)(1n T n =-+-++--=当n 为偶数时，11)(1n T n =-+-+--+=∴{}n b 的前n 项和(1)n T =-考点：1.等差数列的判定；2.通项公式的求法；3.数列求和.19. （本小题满分12分）如图：BCD 是直径为O 为圆心，C 是BD 上一 点，且2BC CD =.DF CD ⊥，且2DF =，BF =，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点,且3FR RC =.(Ⅰ) 求证：QR ∥平面BCD ；（Ⅱ）求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明略；. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接OQ ，在面CFD 内过R 做RM CD ⊥,则OQ //DF ,且12OQ DE =，又DF CD ⊥，所以//RM FD ，又3F R R C =,则14RM CR DF CF ==,所以14RM DF =，因为E 为FD 的中点，所以12RM DE =，故OQ //RM ,且OQ RM =，即得OQRM 为平行四边形，得RQ //OM ，即证QR //平面BCD ；（Ⅱ）可证得DF ⊥平面BCD ，以O 为原点，OD 为y 轴建立如图空间直角坐标系求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值.BED试题解析：(Ⅰ) 连接OQ ，在面CFD 内过R 做RM CD ⊥ ∵,O Q 为中点，∴OQ //DF ,且12OQ DE = ∵DF CD ⊥ ∴//RM FD又3FR RC =,∴14RM CR DF CF ==,∴14RM DF = ∵E 为FD 的中点，∴12RM DE =.∴OQ //RM ,且OQ RM = ∴OQRM 为平行四边形，∵RQ //OM又RQ ⊄平面BCD , OM ⊂平面BCD , ∴QR //平面BCD .（Ⅱ）∵2DF =,BF =BD =∴222BF BD DF =+,∴BD DF ⊥,又DF CD ⊥,∴DF ⊥平面BCD . 以O 为原点，OD 为y 轴建立如图空间直角坐标系B考点：1.线面平行的判定；2.二面角的求法. 20. （本小题满分13分）已知函数(),ln xf x ax x=+1x >. （Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2a =，求函数()f x 的极小值；（Ⅲ）若存在实数a 使()f x 在区间1(,)(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不同的极值点，求n 的最小值.【答案】（Ⅰ）14a ≤-;（Ⅱ）()f x 的极小值为1122()4f e e =;（Ⅲ）3.【解析】试题分析：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x-'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立；2111()ln 24a x ≤--， 即2min 111[()]ln 24a x ≤--，求得函数2111()ln 24y x =--在()1,+∞的最小值即可； （Ⅱ）当2a =时，()2ln x f x x x =+，求得222ln 1ln 12ln ()2ln ln x x xf x x x--+'=+=令()0f x '=，解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e =，当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>，()f x 的极小值为1122()4f e e =；（Ⅲ）原题等价于()0f x '=在1(,),(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不等的实数根；由题意可知22ln 1ln ()ln x a x f x x-+'=，即2l n l n 10a x x +-=在1(,)n ne e 上有两个不等实根，令1ln ,()x u u n n =<<，2()1g u au u =+-在1(,)n n上有两个不等实根，根据二次函数根的分别列出不等式组，即可求出n 的最小值.试题解析：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x-'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立； ∴2211111()ln ln ln 24a x x x ≤-=--， ∵()1,x ∈+∞，∴()ln 0,x ∈+∞，∴110ln 2x -=时函数t =2111()ln 24x --的最小值为14-， ∴14a ≤-(Ⅱ) 当2a =时，()2ln xf x x x=+ 222ln 1ln 12ln ()2ln ln x x xf x x x--+'=+=令()0f x '=得22ln ln 10x x +-=，解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e =当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>∴()f x 的极小值为11112222()242e f e e e =+= （Ⅲ）原题等价于()0f x '=在1(,),(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不等的实数根；由题意可知222ln 1ln 1ln ()ln ln x x a xf x a x x--+'=+= 即2ln ln 10a x x +-=在1(,)nne e 上有两个不等实根.令1ln ,()x u u n n=<<，2()1g u au u =+- ∵(0)10g =-<，根据图象可知：1401121()0()0a a n n a g n g n ⎧⎪<⎪∆=+>⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<⎪⎪<⎪⎩，整理得2210412211a n a n a n n a n n ⎧-<<⎪⎪⎪-<<-⎪⎨⎪<-⎪⎪<-⎪⎩ - 即2min 21111{,,}24n n n n n --->-，解得2n >， ∴n 的最小值为3. 考点：1.导函数的应用；2.函数的极值；3.二次函数根的分布.21. （本小题满分14分）如图，过原点O 的直线12,l l 分别与x 轴，y 轴成30︒的角，点(,)P m n 在1l 上运动，点(,)Q p q 在2l上运动，且||PQ =（Ⅰ）求动点(,)M m p 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上不同两点，且13OA OB k k ⋅=-， （ⅰ）求OA OB ⋅的取值范围；(ⅱ)判断OAB ∆的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.【答案】（Ⅰ）22162m p +=；（Ⅱ）（ⅰ）22OA OB -≤⋅< ；(ⅱ【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知12:,:,3l y x l y ==可得(),(,)3P m m Q p p，由||PQ =22()()83m p -+=，整理得22162p m +=，所以动点M 的轨迹C 的方程22162m p +=；（Ⅱ）（ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ，当l 斜率不存在时，1111(,),(,),A x y B x y -则1111,OA OB y yk k x x ==- 由22211121133OA OBy k k x y x ⋅=-=-⇒=，又2211162x y +=，211y =，21212122OA OB x x y y y ⋅=+==， 当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(13)6360k x kmx m +++-=2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+>且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++由121213OA OB y y k k x x ⋅==-，整理得2213................()m k b =+，又1212242OA OB x x y y m⋅=+=-由(),()a b 得22131m k =+≥，可得22OA OB -≤⋅<；(ⅱ) 由（i ）知，l 斜率不存在时，2111||OAB S x y ∆== 当l斜率存在时，1||2OABS AB d ∆== 将2213m k =+带入整理得OAB S ∆=，所以OAB ∆试题解析：（Ⅰ）由题意知12:,:,l y x l y ==∴(),(,)P m m Q p，由||PQ =22()()83m p -+=，整理得22162p m += 所以动点M 的轨迹C 的方程22162m p +=. （Ⅱ）（ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ， 当l 斜率不存在时，则11111111(,),(,),,OA OB y yA x yB x y k k x x -∴==- 由22211121133OA OBy k k x y x ⋅=-=-⇒=，又2211162x y +=，211y ∴= 21212122OA OB x x y y y ∴⋅=+==当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(13)6360k x kmx m +++-= 2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+>且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++ 由1212121212133()()3OA OB y y k k x x y y kx m kx m x x ⋅==-⇒=-=-++ 221212(13)3()30k x x km x x m ⇒++++=整理得2213................()m k b =+221212122222242442313m m OA OB x x y y x x k m m --∴⋅=+====-+由(),()a b 得2224131,04m k m=+≥∴<≤，22OA OB ∴-≤⋅< 综上：22OA OB -≤⋅≤.(ⅱ)由（i ）知，l 斜率不存在时，2111||OAB S x y ∆==当l斜率存在时，121||2OABS AB d x x ∆==-=将2213m k =+带入整理得OAB S ∆=所以OAB ∆考点：1.椭圆的标准方程；2.向量在圆锥曲线中的应用；3.圆锥曲线中的定值问题.。

山东省文登市2015届高三质量检测理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.已知集合},01|{R x x xx A ∈≥-=，},12|{R x y y B x ∈+==，则=)(B A C R A.]1,(-∞ B. )1,(-∞ C. ]1,0( D. ]1,0[ 【答案】A考点：集合的运算.2.若复数z 满足(2)12(i z i i +=+是虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：i z i 21)2(+=+ ，i i i i i i i z 5354)2)(2()2)(21(221+=-+-+=++=∴，i z 5354-=对应的点⎪⎭⎫⎝⎛-53,54在第四象限. 考点：1.复数的概念与几何意义；2.复数的运算.3.已知,,A B C 为不共线的三点，则“0>⋅”是“ABC ∆是钝角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由0>⋅得到0<⋅,0cos <∠BAC ,即0cos <∠BAC ，可以得到BAC ∠为钝角，即ABC ∆是钝角三角形；但ABC ∆是钝角三角形时，角A 可能是钝角或锐角，不一定得到0>⋅CA AB ；所以“0>⋅CA AB ”是“ABC ∆是钝角三角形”的充分不必要条件.考点：四种条件的判定.4.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 A.3655 B.1011 C.511 D.7255【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图，可得3,4121)311[(21421311;2,31311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⨯+⨯===⨯=i S i S ； 5536)111101211(21]1119110181)5131(4121311[21,=--+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⋅⋅S ,10=i ，结束循环，输出结果为5536. 考点：1.程序框图；2.裂项抵消法. 5.不等式|1||2|4x x -++≤的解集是 A.53(,)22-B.53[,]22- C.3[2,]2- D.5[,1)2-【答案】B 【解析】试题分析：由绝对值的几何意义，得21++-x x 表示数轴上的点x 到点2,1-的距离之和，易知，当25-=x 或23=x 时，421=++-x x ；所以|1||2|4x x -++≤的解集为53[,]22-.考点：1.绝对值的几何意义；2.绝对值不等式.6.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--0,00023y x y x y x ，若目标函数 )0(2>+=m y m x z 的最大值为2，则)3sin(π+=mx y 的图 象向右平移6π后的表达式为 A.)62sin(π+=x y B.)6sin(π+=x y C.x y 2sin = D.)322sin(π+=x y 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域与目标函数基准线x my 2-=，由线性规划知识，可得当直线y m x z 2+=过点)1,1(B 时，z 取得最大值，即121=+m ，解得2=m ；则)32s i n (π+=x y 的图像向右平移6π个单位后得到的解析式为x x y 2sin ]3)6(2sin[=+-=ππ.考点：1.简单的线性规划；2.三角函数图像的变换.7.x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A.增函数 B.周期函数 C.奇函数 D.偶函数 【答案】B 【解析】试题分析：对于任意整数k ，都有[][][])()()(x f x x k x k x k x k x k x f =-=+-+=+-+=+，所以)(x f 是周期函数.考点：函数的性质.8.2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于1 B.21 D.【答案】A 【解析】试题分析:当正方体如图1放置时，其正视图是侧面11A ABB ,其面积为222=⨯；当正方体如图2放置时，其正视图为对角面11A ACC ，其面积为22，则无论如何放置，其正视图的面积在2和22，所以选A.图1 图2 考点：几何体的三视图.9.已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，点E 是该双曲线的左顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若AEB ∠是钝角，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A.(1)+∞B.(1,1C.(2,)+∞D.(2,1【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得AB 为双曲线的通径，其长度为ab AB 22=，因为2π>∠AEB ,所以4π>∠AEF ；则1tan >=∠EFAFAEF ,即1)(2>+c a a b ，即)(22c a a a c +>-，即022>--e e ，解得2>e .考点：双曲线的几何性质.10.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|2f x ax ≥，则a 的取值范围是A.(,0]-∞B.[2,1]-C.[2,0]-D.[1,0]- 【答案】D 【解析】试题分析：当0≤x 时，不等式化为ax x x 222≥-，即12-≥x a ，而112max-=⎪⎭⎫⎝⎛-x ，即1-≥a ；当0>x ，不等式化为ax x 2)1ln(≥+，即x x a 2)1ln(+≤，令xx x g 2)1ln()(+=，则2'2)1ln()1()(xx x x x g ++-=；令)1ln()1()(++-=x x x x h ，则)1ln()('+-=x x h ；当0>x 时，0)('<x h ，即)1ln()1()(++-=x x x x h 在()+∞,0为减函数，且0)0(=h ，所以2'2)1ln()1()(x x x x x g ++-=0<，即xx x g 2)1l n ()(+=在()+∞,0为减函数，即)(x g 无限接近0，则0≤a ；所以a 的取值范围是[]0,1-. 考点：1.分段函数；2.分类讨论思想.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 11.已知y x ,的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为a x y +=∧46.1，则实数a 的值为 . 【答案】61.0- 【解析】试题分析：由所给数据，得5.345432=+++=x ，5.4455.58.32.2=+++=y ，将()5.4,5.3代入到回归方程，得a +⨯=5.346.15.4，解得61.0-=a . 考点：回归直线过样本点的中心.12.若在]5,5[-内任取一个实数a ，则使0=++a y x 与圆2)2()1(22=++-y x 无公共点的概率为 . 【答案】53考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型. 13.二项式nx x )2(2+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 . 【答案】180 【解析】试题分析：因为二项式nx x )2(2+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，即10=n ；则1022⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式通项为k k kk kkk xC x x C T 255102101012)2()(---+==，令0255=-k ，即2=k ，即展开式常数项为180221023==C T .考点：1.二项式系数的性质；2.二项式定理.14.设12,e e 为单位向量，非零向量12,,a xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角为4π，则||||x a 的最大值等于 ． 【答案】2 【解析】xy y x 222++=，则121222222++⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=x y x y xy y x x x21122≥++⎪⎭⎫⎝⎛x y xy ，即2121222222≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=x y x y xy y x x x，所以||||x a 的最大值为2.考点：1.平面向量的模长；2.二次函数的最值.15.设抛物线2:2C y x =的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于,A B 两点，若||3||AF BF =，则l 的方程为 ． 【答案】)21(3-±=x y 【解析】试题分析：由题意，得抛物线x y 22=的焦点)0,21(F ，设)21(:-=x k y l ，),(),,(2221y x B y x A ；则由BF AF 3=得)21(32121+=+x x ，即1321+=x x ；联立⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy ，得041)2(2222=++-k x k x k ，则41)13(2221=+=x x x x ，解得612=x ，又22212114k x x x +=+=+，即32=k ，3±=k ，即直线l 的方程为)21(3-±=x y . 考点：1.抛物线的焦半径公式；2.直线与抛物线的位置关系.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）ABC ∆中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2(1,2),(cos 2,cos ),2Am n A ==且1=⋅. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若2b c a +==求ABC ∆的面积并判断ABC ∆的形状.【答案】（1）3π=A ；（2）433，等边三角形.考点：1.平面向量的数量积；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.三角形的面积公式. 17.（本小题满分12分）盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球.（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X ，求X 的分布列及期望. 【答案】（1）163；（2）分布列略；415. 【解析】试题分析：（1)利用互斥事件有一个发生的概率公式和互相独立事件同时发生的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出概率，列表得到分布列，利用期望公式求其期望.试题解析：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是5”为事件A ，……… 1分 则3223123()88886416P A =⨯+⨯== ……… 4分 （Ⅱ）X 可能取的值是6,5,4,3,2 23283(2)28C P X C ===， ……… 5分1133289(3)28C C P X C ===, ……… 6分112323289(4)28C C C P X C +===, ……… 7分 11322863(5)2814C C P X C ====， … 8分 22281(6)28C P X C ===. ……… 9分∴X 的分布列为：10分399311051523456.2828281428284EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 故所求的数学期望为154. ……… 12分 考点：1.独立事件同时发生的概率；2.离散型随机变量的分布列和数学期望. 18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 是各项均为正数的等差数列，首项11=a ，其前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，且223316,72b S b S ==. （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令k k k k k kb a c a c c +===+-2121221,,1，其中 3,2,1=k ，求数列}{n c 的前12+n 项和12+n T .【答案】（1）nn n b n a 2,12=-=；（2）12122)1(43++-++=n n n n T .【解析】试题分析：（1）设出}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为q 利用等差数列、等比数列的通项及求和公式得到关于q d ,的方程组，解得即可求解；（2）利用分组求和法和错位相减法进行求解. 试题解析：（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为q ，则0>d ，依题意有⎩⎨⎧=+==+=72)33(216)2(223322d q S b d q S b ， ………2分 解得：⎩⎨⎧==22q d 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=632q d （舍去）， ……… 4分 12)1(21-=-+=∴n n a n ，n n n b 2221=⋅=-. ……… 6分（Ⅱ）12432112+++++++=n n c c c c c T∴)()2()(212243121112n n n n nb a a b a a b a a c T ++++++++++=-+)2(1212n n nb b b S +++++= ， ……… 7分 令n n n n nb b b M 22322223221⨯++⨯+⨯+=+++= ①14322232222+⨯++⨯+⨯+=∴n n n M ②∴①-②得：22)1(22122222211112--=⨯---=⨯-+++=-++++n n n n n n n n n M22)1(1+-=∴+n n n M ……… 9分2242)141(2n n n S n =-+=， ……… 10分1212122)1(4322)1(41+++-++=+-++=∴n n n n n n n T . ……… 12分考点：1.等差数列；2.等比数列；3.分组求和法；4.错位相减法. 19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1AB =，12AA =,M 是1AB 上的动点，且1AB AM λ=,N 是1CC 的中点.（Ⅰ）若21=λ，求证：平面1ANB ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）若直线MN 与平面ABN 所成角的大小为143arcsin，试求λ的值.【答案】（1）证明略；（2）31. 【解析】试题分析：（1）：取AB 中点E ，连结CE ME ,，得到平行四边形和线线平行，利用线面垂直的性质和等边三角形的三线合一证得线线垂直，进而得到线面垂直和面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量进行求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取AB 中点E ，连结CE ME ,，则有ME 与NC 平行且相等. ∴四边形MNCE 为平行四边形，//MN CE ……1分∵⊥1AA 面ABC ,ABC CE 面⊂∴CE AA ⊥1,又ABC ∆为等边三角形，,CE AB CE ∴⊥∴⊥平面11,ABB A MN ∴⊥平面11ABB A ,…………3分又MN ⊂平面1ANB ,∴平面1ANB ⊥平面11ABB A .……………4分（Ⅱ）以1,AA AB 为x 轴，z 轴，在面ABC 内以过A 点且垂直于AB 的射线为y 轴建系如图，)2,0,(),2,0,1()1,23,21(),0,0,1(1λλM B N B ，)1,23,21(),0,0,1()21,2321(==--=，，λλ ……6分ACBA 1C 1B 1MN设),,(1z y x n =是平面ABN 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011AN n n∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=++=y z x z y x x 230023210，令1=y∴)23,1,0(1-=n …………8分设MN 与面ABN 所成角为θ 则143431)21(43)21()12(2323,cos sin 221=+-++--+=><=λλλθn MN ………10分 141272552=⋅+-λλλ,化简得,02532=-+λλ2-=λ或31=λ 由题意知0>λ， ∴31=λ . …………………12分 考点：1.空间中线面关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用. 20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线2x =的准线，且经过点3(1,)2P -. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 的方程为4x =-.AB 是经过椭圆左焦点F 的任一弦，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k .试探索123,,k k k 之间有怎样的关系式？给出证明过程.【答案】（1）22143x y +=；（2）3212k k k =+. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的方程得到其焦点坐标，即b 值，代入点3(1,)2P -即可求解；（2）联立直线与椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，用坐标表示出321,,k k k ，再进行求解.试题解析： (Ⅰ）设C 方程为)0(12222>>=+b a by a x，因为抛物线2x =的准线y =b ∴=…………1分由3(1,)2P -点在椭圆上，22191,443a a ∴+=∴=⨯ ………3分 ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. …………4分 (Ⅱ)由题意知，直线斜率存在.(1,0),F -∴设直线AB 的方程为(1)y k x =+，代入22143x y +=，得2222(43)84120k x k x k +++-= ， ……5分 设1122(,),(,),A x y B x y 由韦达定理得221212228412,4343k k x x x x k k --+==++. ……6分 由题意知(4,3)M k --121231233331222,,11142y y kk k k k x x --+====+++-+ ………8分 1122(1),(1)y k x y k x =+=+，代人12,k k 得12123131(),(),2121k k k k x x =-=-++ 121212*********2()22112()1x x k k k k x x x x x x ++∴+=-+=-+++++ ……10分 2222222886343221412843243k k k k k k k k k -+++=-=+--+++ ………12分 1232k k k ∴+= ………13分考点：1.椭圆的标准方程；2.抛物线的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.21．（本小题满分14分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=，)(,)1()(R a x a x g ∈+=. （Ⅰ）设)()()(x g x f x h -=，求)(x h 的单调区间；（Ⅱ）若对0x ∀>，总有)()(x g x f ≥成立. （1）求a 的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数n m ,，不等式)ln(1)2ln(1)1ln(1n m m m ++++++ )(n m m n+>恒成立.【答案】（1）当0≤a 时，)(x h 的增区间为),1(+∞，)(x h 的减区间为)1,0(；当10<<a 时，)(x h 的增区间为),0(a 和),1(+∞，)(x h 的减区间为)1,(a ；当1=a 时，)(x h 的增区间为),0(+∞；当1>a 时，)(x h 的增区间为)1,0(和),(+∞a ，)(x h 的减区间为),1(a ；（2）]21,(--∞；证明略.【解析】试题分析：（1）求导，确定出导函数的三个零点1,0,a ，讨论a 与0,1的大小关系确定其单调区间；（2）作差构造函数，利用导数证明函数的最大值非负即可；利用)()(x g x f ≥恒成立，将合理放缩：xx x x x )1(11ln 12-=->，再利用裂项抵消法进行证明. 试题解析：（Ⅰ）x a x a x x g x f x h )1(ln 21)()()(2+-+=-=，定义域为}0|{>x x ， xa x x x a x a x a x x a x h ))(1()1()1()(2'--=++-=+-+=， …… 1分（1）当0≤a 时，令0)('>x h ，0>x ，1>∴x ，令0)('<x h ， 10<<∴x ；（2）当10<<a 时，令0)('>x h ，则1>x 或a x <<0，令0)('<x h ， 1<<∴x a ； …… 3分（3）当1=a 时，0)1()(2'≥-=xx x h 恒成立； （4）当1>a 时，令0)('>x h ，则a x >或10<<x ，令0)('<x h ， a x <<∴1； …… 4分综上：当0≤a 时，)(x h 的增区间为),1(+∞，)(x h 的减区间为)1,0(；当10<<a 时，)(x h 的增区间为),0(a 和),1(+∞，)(x h 的减区间为)1,(a ； 当1=a 时，)(x h 的增区间为),0(+∞；当1>a 时，)(x h 的增区间为)1,0(和),(+∞a ，)(x h 的减区间为),1(a . ……5分 （Ⅱ）（1）由题意，对任意),0(+∞∈x ，0)()(≥-x g x f 恒成立，即0)(≥x h 恒成立， 只需0)(min ≥x h . ……6分由第（Ⅰ）知：a h --=21)1( ，显然当0>a 时， 0)1(<h ，此时对任意),0(+∞∈x ，)()(x g x f ≥ 不能恒成立； （或者分1,1,01a a a >=<<逐个讨论） …… 8分当0≤a 时，021121)1()(min ≥--=--==a a h x h ，21-≤∴a ；综上：a 的取值范围为]21,(--∞. …… 9分（2）证明：由（1）知：当21-=a 时，021ln 2121)(2≥--=x x x x h ，……10分即x x x -≤2ln ，当且仅当1=x 时等号成立.当1>x 时，可以变换为xx x x x )1(11ln 12-=->， …… 12分 在上面的不等式中，令n m m m x +++=,,2,1 ，则有)ln(1)2ln(1)1ln(1n m m m ++++++))(1(1)2)(1(1)1(1n m n m m m m m +-+++++++>)111()2111()111(nm n m m m m m +--++++-+++-= )(11n m m n n m m +=+-=∴不等式)ln(1)2ln(1)1ln(1n m m m ++++++ )(n m m n +>恒成立. …… 14分考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立问题；3.放缩法；4.裂项抵消法.。

高中数学学习材料唐玲出品第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2},{1,,}A B a b ==,则“2a =”是“A B ⊆”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2.1i z i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =( )（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i --3.若a b >，则下列不等式成立的是( )（A ）ln ln a b > （B ）0.30.3a b > （C ）1122a b > （D ）33a b >4.根据给出的算法框图，计算(1)(2)f f -+=( )5.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( ) 分组[)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100人数 5 15 20 10 频率 0.10.30.40.2（A ）80 （B ）81 （C ）82 （D ）83 【答案】C6.已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，且l ∥α，则下列命题正确的是( ) （A ）若l ∥m ，则m ∥α （B ）若m ∥α，则l ∥m （C ）若l m ⊥，则m α⊥ （D ）若m α⊥，则l m ⊥7.已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是( )（A ）图象关于点(,0)3π-中心对称 （B ）图象关于6x π=-轴对称（C ）在区间5[,]126ππ--单调递增 （D ）在[,]63ππ-单调递减8.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为( ) （A ）0.125 （B ）0.25 （C ）0.5 （D ）0.8759.二项式31()nx x-的展开式中第4项为常数项，则常数项为( ) （A ）10 （B ）10- （C ）20 （D ）20-10..函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为( ) （A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< （C ）{|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<11.双曲线221x y m-=的离心率2e =，则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为( )（A ）3 （B ）93 （C ）273 （D ）36312. 已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为( )（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13. 若函数cos 23sin 2y x x a =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_________________.14.已知圆O过椭圆22162x y+=的两焦点且关于直线10x y-+=对称，则圆O的方程为__________.15. 设,x y满足约束条件2202xx ye yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y所在平面区域的面积为___________.16. 函数()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞，其图象上任一点(,)P x y 满足221x y -=，则给出以下四个命题：①函数()y f x =一定是偶函数； ②函数()y f x =可能是奇函数；③函数()y f x =在(1,)+∞单调递增； ④若()y f x =是偶函数，其值域为(0,)+∞ 其中正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）调递减，故③错；由图④可知函数是偶函数时，其值域也为(0,)+∞，故④错.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （Ⅰ）若3πα=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；βα，求a b⋅的取值范围.（Ⅱ）若=18. （本小题满分12分）一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为X，求随机变量X的分布列和数学期望.(Ⅱ) 随机变量X的可能取值为：3，4，6 --------------------6分考点：古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分） 如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB =2，1AD AF ==，60BAF ∠=，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面OBF ∆的重心.（Ⅰ）求证：PM ∥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）连结OM 延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点，13(1,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(,,0),22A B C F -- -----------------7分20. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2843,n n n S a a =++且2a 是1a 和7a 的等比中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记23[log ()]4n n a b +=，求1232n b b b b +++.①-②得21. （本小题满分13分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.试题解析：（Ⅰ）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y22.（本小题满分13分）设函数()(1)x f x ae x =+（其中 2.71828....e =），2()2gxx b x =++，已知它们在0x =处有相同的切线.(Ⅰ)求函数()f x ，()g x 的解析式；(Ⅱ)求函数()f x 在[,1](3)t t t +>-上的最小值；（Ⅲ）若对2,()()x kf x g x ∀≥-≥恒成立，求实数k 的取值范围.(0)2,(0),2,(0)(0)2,2,4f a g b a b f a g a b ''∴==∴====∴==，3,12t t >-∴+>-精心制作仅供参考唐玲出品。

2015年山东省威海市文登市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B．C．D．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2x D．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数 C．奇函数D．偶函数8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．B．2 C．D．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．C．（2，+∞）D．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x、y的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．2015年山东省威海市文登市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1， +∞），由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），则∁R（A∩B）=（﹣∞，1]，故选：A．点评：此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．解答：解：由（2+i）z=1+2i，得，∴，则z的共轭复数所对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：从两个方向判断：一个是看能否得到△ABC为钝角三角形，另一个看△ABC 为钝角三角形能否得到，这样即可判断出“”是“△ABC是钝角三角形”的什么条件．解答：解：如图，（1）若，则cos＞0；∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；∴不一定得到；∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．故选A．点评：考查数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及钝角三角形的概念，充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i ≤9，退出循环，输出S的值，由裂项法求和即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤9，S=，i=2满足条件i≤9，S=+，i=3…满足条件i≤9，S=++…+，i=10不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值．由于S=++…+=（1﹣+﹣+﹣…+﹣）=×（1+）=．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求数列的和，综合性较强，属于基本知识的考查．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B．C．D．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，通过零点分区间的方法，对x的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，再解即可．解答：解：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，则f（x）=，∴当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔﹣2x﹣1≤4，∴﹣≤x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，有3≤4恒成立，当x≥1时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔2x+1≤4，∴1≤x≤．综上所述，不等式|x+2|+|x﹣1|≤4的解集为[﹣，]．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可以通过对x的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数解决，也可以利用绝对值的几何意义解决，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2x D．考点：简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故选：C．点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数 C．奇函数D．偶函数考点：函数的周期性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可判断f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]=f（x）；从而说明周期是1即可．解答：解：由题意，f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=（x+1）﹣（[x]+1）=x﹣[x]=f（x）；故函数f（x）=x﹣[x]在R上为周期为1的周期函数，故选B．点评：本题考查了函数的周期性的判断，属于基础题．8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．B．2 C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：数形结合法；空间位置关系与距离．分析：根据题意，画出图形，求出该正方体的正视图面积的取值范围，定义ABCD选项判断即可．解答：解：根据题意，得；水平放置的正方体，如图所示；当正视图为正方形时，其面积最小=2；当正视图为对角面时，其面积最大为×=2．∴满足棱长为的正方体的正视图面积的范围为[2，2]．∴B、C、D都有可能，A中﹣1＜2，∴A不可能．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．C．（2，+∞）D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．解答：解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF∵∠AEB是钝角，∴AF＞EF∵F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴AF=，∵EF=a+c∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0解得＞2或＜﹣1双曲线的离心率的范围是（2，+∞）故选：C．点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）和y=ax的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解答：解：作出函数y=|f（x）|的图象如图：若a＞0，则|f（x）|≥2ax，若a=0，则|f（x）|≥2ax，成立，若a＜0，则|f（x）|≥2ax，成立，综上a≤0，故选：A．点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x、y的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为﹣0.61 ．考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：本题考查回归直线方程的求法．依据所给条件可以求得、，因为点（，）满足回归直线的方程，所以将点的坐标代入即可得到a的值．解答：解：依题意可得，==3.5，==4.5，则a=﹣1.46=4.5﹣1.46×3.5=﹣0.61．故答案为：﹣0.61．点评：回归分析部分作为新课改新加内容，在高考中一直受到重视，从山东考题看，一般以选择题或填空题出现．本题给出了线性回归直线方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的a，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解答：解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点，∴≤，解得﹣1≤a≤3，∴在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为=故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．解答：解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：180点评：本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解答：解：||===，只考虑x＞0，则===，当且仅当=﹣时取等号．∴则的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，求出k得答案．解答：解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，及已知等式，利用平面向量的数量积运算法则求出cosA的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）根据已知等式求出a的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b+c，cosA的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，并判断其形状即可．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（cos2A，cos2），且•=1，∴•=cos2A+2cos2=2cos2A﹣1+1+cosA=2cos2A+cosA=1，∴cosA=或cosA=﹣1，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）由题意知a=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA），∴3=12﹣2bc（1+cos），∴bc=3，∴S△ABC=bcsinA=×3×=，由，得b=c=，∵a=，∴△ABC为等边三角形．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出第一次是3，第二次是2和第一次是2，第二次是3的概率相加即可；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，分别求出其概率值，列出分布列，求出数学期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是5”为事件A，则；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，，，，，．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P∴，故所求的数学期望为．点评：本题考查了离散型随机变量的分别列及其期望，熟练掌握公式是解题的关键，本题属于中档题．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，依题意有，解得：或（舍去），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1+（a2n+nb n）=1+S2n+（b1+2b2+…+nb n），令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；综合题．分析：（I）结合几何体中的线面关系证明线面垂直即AA1⊥面ABC，进而可得AA1⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．（II）建立坐标系求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的基本运算，求出两个向量的夹角再结合线面角的范围求出线面角即可．解答：解（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接ME，CE，则有ME与NC平行且相等．∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．（Ⅱ）以AB，AA1为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如设是平面ABN的一个法向量，则∴，令y=1∴设MN与面ABN所成角为θ则，化简得3λ2+5λ﹣2=0，λ=﹣2或由题意知λ＞0，∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，便于判断线面的位置关系以及建立坐标系通过向量法解决空间角、空间距离问题．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设C方程为，利用顶点恰好经过抛物线的准线，求出b，根据椭圆经过点，求出a，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程代入，利用韦达定理，结合斜率公式，即可探索k1，k2，k3之间的关系式．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，∵抛物线的准线，∴…（1分）由点在椭圆上，∴，∴a2=4…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在．∵F（﹣1，0），∴设直线AB的方程为y=k（x+1），代入，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得．…（6分）由题意知M（﹣4，﹣3k），…（8分）∵y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），代人k1，k2得，∴…（10分）=…（12分）∴k1+k2=2k3…（13分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答出．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ），先求出导函数，再分情况①当a≤0时②当0＜a＜1时③当a=1时④当a＞1时进行讨论（Ⅱ）（1）由题意得到即h（x）≥0恒成立，分离参数，利用导数函数最小值即可．（2）当时，，转化为，分别令x=m+1，m+2，…，m+n，利用放缩法，从而证得结论．解答：解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（1+a）x，定义域为{x|x＞0}，∴h′（x）=x+﹣（1+a）=，…（1分）①当a≤0时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1，令h′（x）＜0，∴0＜x＜1；②当0＜a＜1时，令h′（x）＞0，则x＞1或0＜x＜a，令h′（x）＜0，∴a＜x＜1；…（3分）③当a=1时，恒成立；④当a＞1时，令h′（x）＞0，则x＞a或0＜x＜1，令h′（x）＜0，∴1＜x＜a；…（4分）综上：当a≤0时，h（x）的增区间为（1，+∞），h（x）的减区间为（0，1）；当0＜a＜1时，h（x）的增区间为（0，a）和（1，+∞），h（x）的减区间为（a，1）；当a=1时，h（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞1时，h（x）的增区间为（0，1）和（a，+∞），h（x）的减区间为（1，a）．…（5分）（Ⅱ）（1）由题意，对任意x∈（0，+∞），f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．…（6分）由第（Ⅰ）知：∵，显然当a＞0时，h（1）＜0，此时对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）不能恒成立；…（8分）当a≤0时，，∴；综上：a的取值范围为．…（9分）（2）证明：由（1）知：当时，，…（10分）即lnx≤x2﹣x，当且仅当x=1时等号成立．当x＞1时，可以变换为，…（12分）在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，则有==∴不等式恒成立．…（14分）点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，渗透了分类讨论的思想，属于难题．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}06|2<-+∈=x x R x M ，{}2|1||≤-∈=x R x N . 则N M = A ．(-3，-2] B ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A ．2B ．1C ．21D ．1- 8．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1）， （11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5） 变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5）， （11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．210r r << B ． 210r r <<C ． 210r r <<D ．21r r =9．在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是c b a ，，.若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为（单位：m 2）A.π）（2411+ B. π）（2412+ C.π）（2413+ D. π）（2414+ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB的斜率为7，则双曲线的离心率为A. 4B. 2C.D.12．已知函数,cos sin 3sin )(2R x x x x f ∈⋅+=αωωω，又　,21)(-=αf 21)(=βf .若βα-的最小值为43π，则正数ω的值为 A.21 B. 31 C. 41D. 51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（1），=（0，-1），=（k.若2-与共线，则k=______________. 14．若曲线）（R 1∈+=ααx y 在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 15．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数．当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为________________.16．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内的一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m 、n 、 p 分别是三棱锥M —PAB 、三棱锥M —PBC 、三棱锥M —PCA 的 体积．若),,21()(y x M f =，且81≥+yax 恒成立，则正实数a 的最小值为________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项13,0a d =≠公差,其前n 项和为n S ,且1413,,a a a 分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项.(I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (II)证明1211113.34n S S S ≤++⋅⋅⋅+< 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为32的菱形， 且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2 6，M ，N 分 别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望)(X E .20．（本小题满分12分）已知椭圆）（012222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) .(1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.(3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CE CB =（1）证明：E D ∠=∠;（2）设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ， 且MC MB =，证明：△ADE 为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴。

高三理科数学1.已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或2． 已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |4． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 5.已知1sin()44x π-=，则sin 2x 的值为( )A .78B .916C .1516D .1516±6． 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-1A BC D7．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位8．由函数y =和直线x =1，0y =所围成的图形的面积等于 （ ）A ．12B ．32 C ．31 D ．169．已知函数()212log ,.0,=()0,log -),0x x f x af a x x >⎧⎪->⎨<⎪⎩若（则实数a 的取值范围是 ( ) A (-1,0) 0,1⋃（） B (,1)(1)-∞-⋃+∞， C (10)(1)-⋃+∞，， D (,1)(01)-∞-⋃， 10.[]0,1∈偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)且在x 时，f(x)=-x+1,则 关于x 的方程[]10,310x∈f(x)=()在x 上解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C3． D ．411．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．12．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．13．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于 14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单 调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________ 15.已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.16.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值17． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．18．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．19．某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (100万元)可增加销售额约为－t 2＋5t (100万元)(0≤t ≤3)．(1)若该集团将当年的广告费控制在300万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x (100万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (100万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大．20. 已知函数()ln f x ax x =+.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在[]1,x e ∈上的最大值； （Ⅱ）若当[]1,x e ∈()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）函数2()ln F x ax x x =++在区间（0,2）上有两个极值点，求a 的取值范围.21.已知函数32()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的切线方程为122270x y +-=，且对任意的[)0,x ∈+∞，()ln(1)f x k x '≤+恒成立. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()()+2ln(1)F x f x x '=+在[)0,+∞上的极值 （Ⅲ）求实数k 的最小值；高三理科数学试题答案1----5 C C B C A 6—10 B C BA D 11 ±3 12 5x ＋y -3=0 . 13 4 14．π 15. 5 16.17．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6. --------------2分 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. --------------4分解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. --------------5分 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. --------------6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223. -----------7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29. -----------8分因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角， -----------9分因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79. -----------10分所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327. -----------12分18．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， -----------5分 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. -----------6分(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，-----------8分f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14， -----------11分所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. -----------12分19．(1)解：(1)设投入广告费t (100万元)后由此增加的收益为f (t )(100万元)，则f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， ∴当t ＝2时，f (t )max ＝4.即集团投入200万元广告费，才能使由广告费而产生的收益最大． -----------6分(2)设用于技术改造的资金为100x 万元，则用于广告的费用为100(3－x )万元，则由这两项所增加的收益为g (x )＝（－13x 3＋x 2＋3x ）＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤t ≤3)．对g (x )求导，得g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝－x 2＋4＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当0≤x <2时，g ′(x )>0，即g (x )在[0，2)上单调递增； 当2<x ≤3时，g ′(x )<0，即g (x )在(2，3]上单调递减．∴当x ＝2时，g (x )max ＝g (2)＝253.故在300万元资金中，200万元用于技术改造，100万元用于广告促销，使集团由此所产生的收益最大，最大收益为25003万21. 解：（Ⅰ）将3x =代入直线方程得2y =-，∴2792a b +=-① --------------1分 2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-，∴2766a b +=-② --------------2分①②联立，解得11,32a b =-=∴3211()32f x x x =-+ -------------4分（Ⅱ）/(23)(1)()1x x F x x +-+=+ --------------5分/()01F x x =⇒= --------------6分--------------7分()1=2ln 2F x F 的极大值为（） --------------8分（Ⅲ）2()=f x x x '-+，∴2ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立；即2ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立；设2()ln(1)g x x x k x =-++，(0)0g =， --------------9分 ∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++ --------------10分单增单减设2()21h x x x k =++-， 1）当=18(1)0k ∆--≤，即98k ≥时，()0h x ≥，∴()0g x '≥ ()g x 在[)0,+∞单调递增，∴()(0)g x g ≥ --------------12分2）当=18(1)0k ∆-->，即98k <时，设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由1212x x +=-，可知10x <， 分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥；∴10,1k k -≥≥，∴918k ≤< 综上分析，实数1k ≥，所以k 的最小值为1. --------------14分。

2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜22．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞03．（5分）对于下列四个命题p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）xp 2：∃x∈（0，1），log x＞log xp 3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log xp 4：∀x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣5．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．56．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣ C．2或1 D．2或﹣17．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[0，+∞）8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．9．（5分）△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．210．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（5分）对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为．12．（5分）设，则=．13．（5分）已知sin（+x）=，则sin2x的值为．14．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17=．15．（5分）已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．（12分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中f（x）=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k 的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？18．（12分）已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．19．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f（x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．20．（13分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n 项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．＜b n；（1）求证：b n+1（2）求数列{b2n}的前n项和T n．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2【解答】解：法一：当a=0时，符合，所以排除C．D，再令a=2，符合，排除B，故选A；法二：根据题意，分析可得，，解可得，0≤a≤2；故选：A．2．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S n}是递增数列，故正确；选项D，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，故错误．故选：D．3．（5分）对于下列四个命题p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）xp 2：∃x∈（0，1），log x＞log xp 3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log xp 4：∀x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：p1：∃x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0，是假命题，原因是当x0∈（0，+∞），幂函数在第一象限为增函数；：∃x0∈（0，1），log x0＞log x0，是真命题，如；p2p 3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log x，是假命题，如x=时，；p4：∀x∈（0，），＜＜1，，是真命题．故选：D．4．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．5．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．5【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，即=1，∴3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D．6．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣ C．2或1 D．2或﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时2a=﹣1，解得a=﹣综上a=1或a=﹣，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[0，+∞）【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx+1为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+2，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[0，2]，当x＞0时，函数的值域为值域为（2，+∞），故函数f（x）的值域为[0，+∞），故正确．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴=f（log4）=f（﹣2）=﹣f（2），∴．∵当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），∴，解得a=．故选：D．9．（5分）△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意可得=0，因为=λ，=（1﹣λ），所以=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理得：﹣（1﹣λ）+[λ（1﹣λ）+1]﹣λ=﹣2，即﹣（1﹣λ）﹣4λ=﹣2，解得λ=，故选：A．10．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是7+8+2=17．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（5分）对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．【解答】解：当2x≥3，即x≥时，2x﹣3﹣x≥3，解得x≥6；当2x＜3，即x＜时，3﹣2x﹣x≥3，解得x≤0；所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[6，+∞）．12．（5分）设，则=．【解答】解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．13．（5分）已知sin（+x）=，则sin2x的值为﹣．【解答】解：∵sin（+x）=sin cosx+cos sinx=（sinx+cosx）=，∴sinx+cosx=，两边平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x=，解得：sin2x=﹣．故答案为：﹣14．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17=34．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a7a11+a8a10=2e4，∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则a8a10=e4，∴lna1+lna2+…ln a17=ln（a1a2…a17）=34，故答案为：34．15．（5分）已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=﹣，数形结合可得﹣1＜k＜﹣，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由，及，可得，又由，有a=2c，所以，．（Ⅱ）在△ABC中，由，可得，∴，所以，cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．17．（12分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中f（x）=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k 的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得；…（3分）（Ⅱ）当k=4，所以y=…（5分）当0≤x≤5时，由解得x≥1，所以1≤x≤5．…（8分）当5＜x＜16时，由解得：﹣15≤x≤15所以5＜x≤15综上，1≤x≤15 …（11分）故若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14分钟…（12分）18．（12分）已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．【解答】解：（Ⅰ）===sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）﹣…（1分）∴y=f（x）的最小正周期为T=π，ω＞0，即：=π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．…（2分）由，得所以f（x）的单调递增区间为…（4分）（Ⅱ）∵∴∴…（6分）∴∴…（8分）（Ⅲ）∵f（α）=0，∴，∴∵0＜α＜π，∴，…（10分）∴∴…（12分）19．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f（x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0），f（0）=1，∴c=1，又对任意x∈R，f（x）=f（1﹣x）∴f（x）图象的对称轴为直线，则，∴a=﹣b，又对任意x∈R都有1﹣x≤f（x），即ax2﹣（a﹣1）x≥0对任意x∈R都成立，∴，故a=1，b=﹣1∴f（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）由f（x）+2x=f（m）得x2+x=m2﹣m，由题意知方程x2+x=m2﹣m在x∈[﹣2，2]有解．令，∴g（x）min=g（﹣）=﹣，g（x）max=g（2）=6，∴≤m2﹣m≤6，∴，所以满足题意的实数m取值范围[﹣2，3]．20．（13分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n 项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．＜b n；（1）求证：b n+1（2）求数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1=10，a2为整数知，等差数列{a n}的公差d为整数，又S n≤S4，故a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得，因此d=﹣3，数列{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）（1）由题意知，∴，∴数列{b n}是单调递减数列，{b n}的最大项为，所以b n＜b n．+1（2），T n=+++…+，两式相减得：=+++…+，=∴．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）≥0 得；由f′（x）≤0 得．∴f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴f′（x）min==．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0，得，解得．∴f（x）在单调递增，在上单调递减；综上可得：当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增； 当﹣1＜a ＜0时，f （x ）在单调递增，在上单调递减；当a ≤﹣1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a ＜0时，f min （x ）=，f （x ）＞1+ln （﹣a ）恒成立等价于，化为ln （4a +4）＞﹣1， ∴，又∵﹣1＜a ＜0， ∴a 的取值范围为．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。