第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《几类不同增长函数模型》教案与说课稿

几类不同增长的函数模型〔第一课时〕浙江省杭州第二中学詹爽姿一．内容和内容解析本节是高中数学必修1〔人教A版〕第三章?函数的应用?的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长〔衰减〕差异的方法；感受数学建模的思想．对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义．在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及根本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种根本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步稳固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定根底，．因此本节内容，既是第二章根本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的根底，起着承前启后的作用.本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想．二．目标和目标解析本节课的教学任务为：〔1〕创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸；〔2〕创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点；〔3〕通过建立和运用函数根本模型，让学生初步体验数学建模的根本思想，开展学生的创新意识和数学应用意识.根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为：〔1〕通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；〔2〕通过恰当地运用函数的三种表示方法〔解析法、列表法、图象法〕，表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明；〔3〕经历建立和运用函数根本模型的过程，初步体验数学建模的根本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.这局部内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体．因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法．结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．三．教学问题诊断学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．因此本节课教学难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究．这样的安排内容上层次清楚，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题．四．教学支持条件分析要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有时机接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法．因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型，利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．五．教学过程设计一、创设情境，引入课题1.介绍第三章章头图，提出问题．问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只开展到5亿只？澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？2.在学生答复以下问题的根底上引出各种不同类型的函数增长模型．3.揭示课题：几类不同增长的函数模型．【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望．二、分析问题，建立模型〔一〕提出问题例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方式？〔二〕分析问题1.引导审题，抓住关键词“回报〞问题3：你选择的是什么样的回报？怎样比较回报资金的大小？从解决问题的角度看：〔1〕比较三种方案的每日回报；〔2〕比较三种方案在假设干天内的累计回报.2.引导分析数量关系，建立函数模型仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.【设计意图】引发学生思考，经历建立函数根本模型的过程．【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储藏还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.三、组织探究，感性体验1.教师提出问题问题4：你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由．2.学生分组操作，比较不同增长从解决问题的方式上：〔1〕用列表方法来比较；〔2〕画出函数图象来分析.【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法．四、成果交流，阶段小结〔一〕学生交流让学生交流小组探究的成果〔表格、图象、结论〕〔二〕师生互动1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象〔突出散点图〕，引导学生关注增长量，感受增长差异．2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异．在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点．他们的增长不在同一个“档次〞上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多．〔三〕归纳小结1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识．常数函数〔没有增长〕，直线上升〔匀速增长〕，指数爆炸〔急剧增长〕．2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的．【设计意图】分享学生成果，到达生生互动、师生互动；借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的根本思想，认识函数问题的研究方法．五、深入探究，理性分析〔一〕提出问题例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个鼓励销售人员的奖励方案：在销售利润到达10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y 〔单位：万元〕随销售利润x 〔单位：万元〕的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：x y 25.0= 1log 7+=x y x y 002.1=．其中哪个模型能符合公司的要求？〔二〕引导分析问题5：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？〔三〕解决问题1.通过多媒体演示，发现增长差异；2.结合限制条件，初步作出选择；3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长；5.揭示函数问题的研究方法〔观察—归纳—猜想—证明〕．【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点．【备注】对判断模型二7log 1y x =+是否满足限制条件“7log 10.25x x +≤〞，考虑到学生现在知识储藏和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决〔因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决〕．六、拓展延伸，创新设计这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业开展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.问题8：我们的奖励方案有什么弊端？问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润到达10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加,要求如下：10万～ 50万，奖金不超过2万；50万～ 200万，奖金不超过4万；200万～ 1000万，奖金不超过20万．请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案．〔四人一组，合作完成〕【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造〞过程．七、归纳总结，提炼升华问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结．1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数〔没有增长〕；一次函数〔直线上升〕；指数函数〔爆炸增长〕；对数函数〔平缓增长〕．2.方法：函数有三种表示方法〔解析法、列表法、图象法〕；函数问题的一般研究方法〔观察—归纳—猜想—证明〕3.思想：两个例题都表达了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值．八、布置作业，稳固提高1.课本98页课后练习1，2；课本107页习题3.2〔A 组〕第1题；2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用．【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的根本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.。

[转帖 ]第五届全国高中数学青年教师观摩与评选活动《函数模型的应用》讲课（湖南师大附中龚红玲） doc高中数学湖南师大附中龚红玲一、教材剖析〝增强数学应用，形成和进展学生的数学应意图识〞是新课标数学教育教课的差不多理念之一，为此，新课标实验教材〔人教 A 版〕特将〝函数的应用〞独立成章，此中〝函数模型的应用实例〞是本章教材的中心内容 . 从教材系统和内容剖析，本小节教材内容彰显以下三个特色：〔 1〕教材环绕详细实例睁开研究，各例题波及的实质咨询题既有社会性，又拥有浓烈的生活气味，在感情上表达了一种亲和力，易于学生理解得和赞同.〔2〕在知识层面上本节教材没有新增内容，要修业生运用已有函数知识，领会成立函数模型的过程，感觉函数在生产、生活、科学、社会等领域中的宽泛应用，理解得函数是描绘客观世界变化规律的差不多半学模型，培育数学建模能力.〔 3〕本小节教材是上小节〝几类不一样增加的函数模型〞的连续和进展. 上小节重要学习怎样依据给定的几个函数模型，经过比较其增加速度，选择适合的函数模型解决实质咨询题.本小节要求依据背景资猜中的相关信息，成立函数模型解决实质咨询题，表达了更高层次的能力要求 .本小节是一节例题教课课，教材共安排了 4 个例题 ( 例 3～例 6) ，大概分为两类，此中例 3 和例 5 是依据图、表信息成立确立的函数模型解决实质咨询题，例4和例6是成立函数模型对样本数据进行拟合，再依据拟合函数模型解决实质咨询题. 本小节分两个教课课时，本节课是第一课时. 我将以教材例 3 和例 5 为基础，分不在图形和数表两种不一样应用情境中，指引学生自主成立函数模型来解决实质咨询题.二、教课目的剖析知识与技术目标：1.经过例 3 的教课，使学生能依据图象信息成立分段函数模型；经过例 5 的教课，使学生能依据表格供给的数据抽象出函数模型；2.学生在依据图表信息成立函数模型后，要求会利用所成立的函数模型解决实质咨询题，表达函数建模的应用价值；3.解决数学应用性咨询题，是培育学生阅读理解得、抽象归纳、数据办理、语言变换等数学能力的优秀契机 .过程与方法目标：1. 函数模型的应用实例源于生产、生活实质，经过实例剖析，学生可感觉到函数的宽泛应用，并领会到成立函数模型解决实质咨询题的思想过程；2.在实例的剖析和解决过程中，需要运用函数与方程、数形联合、分类议论、化归变换等数学思想方法，学生可从中领悟这些数学思想方法的内涵特色.感情、态度与价值观目标：1.经过函数建模解决实质咨询题，是数学〝咨询题解决〞的教课情境之一，借此可激发学生学习数学的喜好，增强学生学好数学的自信心；2.数学建模是培育学生的应意图识、创新意识、研究精神和实践能力的重要门路，经过函数建模解决实质咨询题可以优化学生的理性思想和求真求实的科学态度；3.函数看法源于生产、生活实质，经过函数建模又可以解决实质咨询题，学生可从中领悟到〝认识根源于实践又服务于实践〞的辩证看法.三、教课咨询题诊疗高一学生经过数学必修①前两章的学习，差不多理解得了函数的看法，掌握了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等差不多初等函数的图象和性质，对函数知识有了初步的应用能力，这为本节课的学习确立了知识基础.运用数学知识解决实质咨询题，需要有必定的阅读理解得、抽象归纳、数据办理、语言变换等数学能力，而高一学生的应意图识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了必定的困难 .在思想层面上，学生常常不可以深刻理解得题意，不擅长将实质咨询题抽象为一个数学咨询题来解决.所以在本节应用实例课的教课过程中，我将要点放在〝审题〞和〝建模〞两个环节上，侧重指引学生怎样样〝审题〞，以及怎样提炼图表信息成立函数模型.本节课以教材例 3 和例 5 为载体睁开教课，对例3学生可能碰到的困难是：①不明确行驶速率 v 与时辰 t 的关系图中暗影部分的面积的实质含义；②不可以正确表达各时辰段汽车里程表读数s 与时辰 t 的函数关系 .对例 5 学生可能碰到的困难是：①不理解得数据表格中销售单价与日均销售量的函数关系；②可不可以用销售单价x 表示日均销售量和日均销售收益；③不可以正确写出函数的定义域.四、教法特色与预期收效本节课我将按照〝教师的主导作用和学生的主体地位相一致的教课原那么〞，采用以咨询题为载体，以学生中心，以方法建立和能力培育为目标的教课思路，充足利用多媒体协助教课 . 经过教师在教课过程中的点拨、启迪，关怀学生体验和领悟函数建模的思想方法.高一学生从初中越过到高中，思想活跃，求知欲强，但还没有拥有优秀的思想水平易学习适应 . 本节课从学生原有的知识基础和实质能力起程，指引学生经过主动观看、探索、着手操作、自主研究、合作学习等教课活动来追求解决咨询题的方法.经过本节课的学习，希望学生领悟依据图表信息成立函数模型解决实质咨询题的差不多思想，会利用函数建模解决一些简单的实质应用咨询题，培育数学应意图识和实践能力. 在本节课的教课过程中，师生创造一个生动、和睦的教课气氛，让学生感觉学习数学的乐趣，优化思想质量.。

高中数学《几类不同增长的函数模型》说课稿一、教材分析《几类不同增长的函数模型》是高中数学课程中的重要内容之一。

该内容主要介绍了指数函数、幂函数和对数函数三种不同增长方式的函数模型。

在教学过程中，本节内容主要涉及以下几个方面：1.指数函数：介绍指数函数的基本概念，以及指数函数的图像、性质和应用。

2.幂函数：介绍幂函数的基本概念，以及幂函数的图像、性质和应用。

3.对数函数：介绍对数函数的基本概念，以及对数函数的图像、性质和应用。

4.三种函数模型的比较：通过对指数函数、幂函数和对数函数的增长方式的比较，使学生能够理解不同函数模型的特点和应用场景。

通过该节内容的学习，可以帮助学生深入理解函数与函数模型的概念，培养学生的数学思维和推理能力，为后续学习提供基础。

二、教学目标1.知识与技能：了解指数函数、幂函数和对数函数的定义、图像、性质和应用，能够运用所学知识分析和解决实际问题。

2.过程与方法：培养学生的观察能力和数学建模能力，引导学生发现问题、分析问题、解决问题的方法。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和热爱，培养学生合作意识和探究精神。

三、教学重难点1.教学重点：指数函数、幂函数和对数函数的定义、图像、性质和应用。

2.教学难点：如何引导学生理解不同函数模型的特点和应用场景。

四、教学过程1. 导入引入（5分钟）首先，引入本节课的主题，通过一个生活案例，让学生了解函数与函数模型的重要性。

例如：假设有一个人的财富增长的速度可以用一个函数来表示，让学生思考财富增长速度与人们的人生选择有怎样的关系。

2. 知识讲解与示例分析（25分钟）2.1 指数函数首先，介绍指数函数的定义和图像，并通过一些具体的例子，让学生理解指数函数的性质和应用。

例如：讲解指数函数的增长趋势和应用于科学计算领域的案例。

2.2 幂函数然后，介绍幂函数的定义和图像，并通过一些实际问题的分析，让学生理解幂函数的性质和应用。

例如：讲解幂函数在物理学、化学等领域中的应用。

课题：3.2.1几类不同增长函数模型一、教材分析1、教材的地位和作用几类不同增长的函数模型是函数应用问题的基础，又是十分贴近生活的常见问题，教科书对几类不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例让学生仔细体会直线上升、指数爆炸与对数增长，进而认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异。

函数模型本身来源于现实，并用于解决实际问题，所以必须寻找更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并体会数学在实际问题中的应用价值。

本节课是在学习了基本初等函数之后的后续内容，是对学生应用函数解决实际问题能力的进一步加强，也是对前面所学的函数知识的一种完善，有助于培养学生的学以致用的数学应用意识，让学生感受到“数学无处不在，数学就在我们生活周围”。

2、教学内容安排本节内容安排两个课时，第一课时：教科书选取了投资回投和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快。

第二课时：注重在知识教学中，让学生经历掌握数学思想和方法的过程，经历进行数学思考的过程，进一步体会到指数函数、对数函数、幂函数的增长差异。

接下来，我将重点说说第一节课的设计，并对整堂课作系统介绍。

3、教学重点、难点第一课时通过问题的提出、模型的建立、问题的解决这一过程展开，因此确定本节课的教学重点为：教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

由于学生对从现实生活中发现数学问题，训练较少，加上学生学习的现有函数模型的有限，确定本节课的教学难点为：教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

而这个难点容易让学生展开讨论、探索、合作交流，加以教师适时点拨、引导来逐步突破。

二、教学目标根据教材和教学大纲要求，确定如下：1、知识目标：能够借助计算器或计算机制作数据表格和函数图象，对几种常见函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解它们的增长差异。

高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》名师教案及教学反思高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》名师教案及教学反思高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》教学设计一、教学内容与内容解析几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容.它比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异,并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（22,2,logxyxyyx===）的增长差异；（3）将结论推广到一般的指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异.其中（1）为第一课时的内容,（2）、（3）为第二课时的内容.学生在本节内容学习之前,已经有了指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,在这里进一步研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异,同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中.二、教学目标与目标解析1．教学目标：（1）借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异.（2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.（3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）,并借助信息技术解决一些实际问题.（4）在实际问题解决过程中,体会数学的作用与价值,形成分析问题、解决问题的能力.2.教学目标解析：目标（1）、（2）是教学的重点,落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证.落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景,并通过层层递进的问题串,让学生在不断观察、思考和探究的过程中,弄清几个函数间的增长差异,并培养分析问题、解决问题的能力,实现目标（4）.目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标,教学时通过学生自主探究,相互交流,教师适时提问引导,合作完成.另外利用信息技术工具,就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．还使学生接触到更多的数学知识和思想方法.三、教学问题诊断分析2诊断１:本课中,学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础,本课先让学生利用表格读表,并在分析表格的过程中发现要分析增加量,通过数据对指数爆炸有了一种感性认识,再结合图像分析,从感性认识上升到理性认识,实现自我完善.诊断２：在公司奖励模型问题的解决过程中,教材中对判断模型二1log7+=xy是否满足约束条件7log10.25xx+≤是采用了“构造函数的思想方法”,我认为就高一年级学生而言,这种处理方法在理解上会有困难,所以宜采用两种方法进行求解：方法一,利用数形结合,学生能很直观地感受xy25.0=在图像1log7+=xy的上方；有此基础后,再讲解方法二,即“构造函数的思想方法”,通过板书详细分析这一过程,帮助学生对“构造函数的思想方法”留下一个美好又深刻的第一印象.诊断３:本节课教学的内容为教材中的例１、例２,为了激发学生的学习兴趣,并保障课堂的连续性,设计了“大学生自主创业情境”、“公司奖励情境”,可将例题的题意较好地表达出来,并符合学生的认知规律.诊断４:学生在学习时,可能会因更多地关注解决数学计算问题而忽略数学思想的提炼,这个教学问题的解决,需要教师有目的地进行引导.四、教学支持条件１.在进行几类不同增长的函数模型的教学时,学生已经学习了函数概念、表示法及性质,指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,这些内容是学生分析不同函数增长差异的重要条件,因此教学时应予以充分注意,引导学生多进行归纳与概括.２．为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容,体会新学知识的要点,教学中需要用函数表格、图象来帮助学生理解分析问题,所以ppt和几何画板是重要的支持条件.教学时充分注意这一条件,不仅可以加强几何直观,节省大量时间用于学生思考,而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析．五、教学设计过程：1.创设情景引入课题[问题1]在日常生活中,增长的话题比比皆是,而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数,那么它们增长的态势是否都一样呢？设计意图：通过提问比较自然地引导学生给出一次函数、指数函数、对数函数、幂函数,同时开门见山,直击主题“增长”,自然引出课题.师生活动：教师提问,学生回答,相互补充,教师点评并板书课题：几类不同增长的函数模型.2.组织引导合作探究同学们,现在越来越多的大学生毕业以后选择了自主创业,将来你们中的一些也可能会办公司,做老板.现在给大家一个模拟的投资情境.案例假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番．请问,你会选择哪种投资方案？[问题2]你会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？请用数学语言呈现你的理由.设计意图：提此问题让学生先选择好解题的依据,是每天回报量还是累计回报量？还让学生找出问题中的数量关系,也就是函数关系.师生活动：(1)教师提问,通过学生讨论,具体计算后让学生说说自己会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？用怎样的方式表达数量关系?学生1：选择累计回报量,用函数解析式表达数量关系；学生2：选择累计回报量,直接用函数图像表达数量关系；学生3：选择每天回报量,先写出函数解析式再用列表的方式表达.(2)教师针对学生的回答,点评指出：选择投资方案的依据是累计回报量,但为了看累计回报量,可以先看每天回报量；另外,用解析式、表格及图像三种方式表达数量关系均可,但表达的同时有所区别：解析式较抽象,图表较直观.(3)教师引导,学生参与并利用计算器得出：1.函数解析式；2.每天回报表；3.结论[问题３]每天回报表（表１）中“…”部分仍是方案三最大吗？设计意图：开始切入主题,通过引导使学生体会到表格中每一列数据增长的速度是不同的,从而使学生关注增加量,列出增加量,引出表２,同时也为累计回报量与每天回报量之间的关系埋下伏笔,进而培养学生分析解决数学问题的能力.4(1)学生思考并回答:我发现到第９天的时候,方案三最多,那么只要方案三数据的增长最快或者说增加量最多,即可解决这一问题.(2)教师适时给出表２,师生共同补充完整表格,让学生初步体会各种函数增长的差异.[问题４]你能根据表２中增加量的数据,概括出这几种常见函数的增长特点吗?设计意图：进一步引导学生关注增加量,感受增长差异,尤其是对“指数爆炸”含义的理解；在与学生交流和解决问题的过程中,使学生体会函数列表法的优点.师生活动：学生回答,教师加以完善.几种常见函数的增长特点：常数函数没有增长,一次函数匀速增长,指数函数爆炸增长.[问题５]通过表格比较了每天回报量的大小,得出相应结论,但这一案例解决完整了吗?设计意图：虽然本节课的主题是研究“增长”,但必须要回归问题本身,选择一个最佳的投资方案.师生活动：教师利用幻灯片快速给出累计回报表(表３),学生根据表3得出相应结论.[问题６]通过列表法己经得出案例的结论及对常见函数增长特点的初步体会,能否通过图像法来进一步认识？请大家画出这三个函数的图像？并根据图像说明结论与增长特点？设计意图：本节课的主要教学任务就是要体会几类不同函数的增长差异.让学生自己去概括总结出从图像上直观体会到的增长特点是本节课的一个重要环节,也作为一种完整的小结.与此同时,5学生良好的画图习惯,遵循列表、描点、连线画图三步骤,以及对函数定义域的关注,从中还能体会到数形结合思想是数学解题的一个重要的思想方法.(1)学生画图,教师纠错得出（图1）:1.函数图像为什么是孤立点？（定义域为N）2.为什么用光滑的虚线连接？（方便看增长趋势）(2)教师用多媒体动画演示连接孤立的点.学生１通过图像得出案例结论:学生２通过图像用不同的语言概括增长特点:常数函数保持不变,一次函数直线上升,指数函数指数爆炸.过渡语:现在你已经建好了公司,公司寻求回报,你的员工也要寻求回报.为了激励员工,你需要对他们实行奖励,你制定了这样一个公司奖励模型.公司奖励模型问题:图1你的公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y（单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：xy25.0=1log7+=xyxy002.1=．其中哪个模型能符合公司的要求？[问题７]大家认真审题,能否用数学符号语言将公司的要求（或条件）描述出来?设计意图：解决实际问题的第一步就是审题,并将之数学化.在此更进一步培养学生解决实际问题的能力.师生活动：个别学生回答,教师在黑板上列出：条件1：[10,1000]x∈；条件2：5y≤；条件3：0.25yx≤；条件４：增函数.[问题８]我们可以如何验证5y≤?设计意图：引导学生如何利用题目条件,从数和形两方面解决数学问题,既巩固应用前面学到的数学方法,又为下面问题的解决提供方向.师生活动：学生思考并个别回答：学生１：根据条件４：增函数,只需验证当1000x=时,5y≤即可,通过计算发现：xy25.0=、xy002.1=都不符,1log7+=xy符合.学生２：通过图像直观观察得出.[问题９]如何验证7log10.25xx+≤?设计意图：在7log10.25xx+≤的验证过程中,始终不脱离本课主题,回归到函数的“增长特征”上去,并充分体现数形结合、构造函数的思想方法.6师生活动:学生思考并个别回答,教师适时提问：(1)学生１:将图像放大后观察函数1log7+=xy与xy25.0=的图像,发现在[10,1000]x∈都(2)在教师的引导下,学生２加以补充．学生２：只需将10x=代入计算,是符合条件的；再结合图像发现直线的增长比对数函数快,对数函数增长较为平缓．所以[10,1000]x∈都满足.(3)教师根据以上学生回答板书方法一：数形结合法令10.25yx=,27log1yx=+当10x=时10.25102.5,y=⨯=27log1010y=+,127771.5log10loglog0yy-=-=>12yy∴>给合图(2)得7log10.25xx+≤对[10,1000]x∈恒成立图2并通过几何画板动画演示BC=12yy-的变化情况,引导学生构造函数.(4)学生三回答,教师继续板书方法二：构造函数法令7()0.25log1,[10,1000]Fxxxx=--∈由图(3)得7()0.25log1Fxxx=--在[10,1000]x∈上单调递增.所以()(10)FxF≤,即7log10.25xx+≤对[10,1000]x∈恒成立图33．总结反思归纳提升[问题１０]通过本节课的学习,你有哪些收获？请你对本节课作一总结.设计意图：归纳总结本节内容.师生活动：学生思考交流,教师帮助总结以下内容：（1）知识：对函数的性质有了解：我们体会到同是增长型函数,但其增长差异却很大:：常数函数没有增长,一次函数直线上升,指数函数爆炸增长,对数函数平缓增长.（2）方法：建模的思想,数形结合思想,构造函数思想等等.六、目标检测设计1.教科书P98,练习１、２7设计意图：让学生巩固函数增长特征这一知识点.2.探究题：请利用计算器或计算机从图、表两方面对函数222,,logxyyxyx===的增长差异进行比较.设计意图:：引出下一课时内容,为下面研究一般指数、对数、幂函数的增长差异奠定了探究的方向.七、教学体会与反思(1)数学问题解决教学应该从创设问题情景开始，本设计的情境创设比较成功.“日常生活中，增长的话题比比皆是，而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数，那么它们增长的态势是否都一样呢？”短短几句话，不但交代了本课的研究主题，而且比较自然地引导学生引出一次函数、指数函数、对数函数、幂函数，开门见山，直击“增长”.实际教学中大多以真实的或虚拟的“生活化”材料为载体创设教学情境，如用教材章头图中的兔子问题或其它情景作为素材,以迎合“能让学生体会到数学源于生活，增长学生的应用意识”，注重“数学教育应该与现实生活密切联系”这一现代教学理念.本课的教学内容是通过两个实际问题解决，让学生体会几类不同类型的函数增长的差异，执教教师就地取材，将书本中的例1为素材得到了一个虚拟的“生活化”材料，教学过程中不但自然地出示了例1，而且激发学生的学习和解决问题的兴趣，为学生的观察、归纳、猜想和证明提供了基础.(2)问题的解决围绕着“弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾”进行教学，教学中充分发挥了学生的主体作用.在例题教学中既有动手操作的实践活动，又有动脑思考和数学思维活动.例1的教学过程中，抓隹关键词“回报”，从不同的角度看待回报，让学生辨别“每天回报量”、“累计回报量”；从函数表达的三种不同形式入手，建立函数模型，让学生经历从解析式到表格、图象的全过程.在这个过程中，让学生感受到图表的直观，解析式的抽象.在求累计回报量时，由于学生不会求等比数列的和，选取对函数模型列表计算作出判断和选择，处理有详有略，让学生体会到了常数函数、一次函数与指数型函数的增长差异.例2中在判断是否满足“约束条件7log10.25xx+≤”时，考虑到教课书上介绍的构造函数法学生理解比较困难，教师先用利用数形结合，学生能很直观地感受xy25.0=在图像1log7+=xy的上方，有此基础后，再讲解方法二，即“构造函数法”，通过板书详细分析求解过程，帮助学生对“构造函数法”的理解，给学生留下一个深刻的印象.整个例2教学让学生经历了观察、归纳、猜想、证明的完整过程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.商讨之处：(1)教学内容不能只局限于课本中两个例题,要适当进行拓展延伸,不仅巩固新知,而且让学生感觉数学是有用的,数学就在我们身边.如果对例2进行拓展延伸，效果更佳.如:为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加,要求如下：10万～50万，奖金不超过2万；50万～200万,奖金不超过4万；200万～1000万,奖金不超过20万.请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案.（四人团队合作完成）(2)更加重视与学生合作交流,让学生自己动手操作.例如,原设计中[案例]的列表画图过程,教师可事前设计好两张表格(日回报表和累计回报表)及坐标系,在课堂上由学生两人小组合作完成,再让学生分析表格和图像有哪些区别,既培养学生分析问题、解决问题的能力,又提高了整个课堂的教学效率.(3)更加重视信息技术对课堂教学的作用.例如,原设计中[案例]的图像分析过程,可利用几何画y的变化情况，使教学过程更加生动，从而调动学生的学习积极板动点演示三条曲线的增长快慢和性,更直观地体会到三个函数模型的增长差异.。

［转帖］第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《函数的表示法》(宁夏高晓萍) doc 高中数学宁夏银川市第九中学高晓萍一．教学目标1．明确函数的三种表示方法〔图象法、列表法、解析法〕，通过具体的实例，了解简单的分段函数及其应用。

2．通过解决实际咨询题的过程，在实际情境中能依照不同的需要选择恰当的方法表示函数，进展学生思维能力。

3 ．通过一些实际生活应用，让学生感受到学习函数表示的必要性；通过函数的解析式与图象的结合渗透数形结合思想。

二．教学重点和难点教学重点：会依照不同的实际情境需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示。

三．教学预备教具：直尺、多媒体设备。

四．教学过程设计〔一〕回忆旧知，复习引入1．复习函数的概念。

2．函数的三种表示法。

〔二〕实例引入，明白得新知回忆上节课中的三个实例：〔1〕炮弹发射：h 130t 5t2 ,(0 t 26)〔解析法〕2〕南极臭氧层的空泛：图象法〕〔3〕恩格尔系数：〔列表法〕示法表示。

学生交流讨论并回答。

解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是能够通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 中学时期所研究的要紧是能够用解析式表示的函数.图象法的优点：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质.图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等.列表法的优点：不需要运算就能够直截了当看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了.列表法在实际生产和生活中也有广泛应用.如成绩表、银行的利率表等.在研究函数时，依照咨询题的特点，往往需要同时借助几种不同的函数表示法研究函数，如同时采纳解析法和图象法表示函数，加强数形结合，这是研究函数的常用方法.〔三〕例题精析、深化明白得1 .用三种表示法表示同一个函数。

例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x 1,2,3,4,5)个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y f(x).分析：注意本例的设咨询，此处"y f (x )〃有三种含义，它能够是解析表达 式，能够是图象，也能够是对应值表。

《几类不同增长的函数模型》（第一课时）教学设计一、教学目标二、教学重点与难点三、教学方法四、教学设计附1：板书设计附2：教学设计说明1、教学内容解析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章第二节“函数模型及其应用”，教学安排为四课时，在这里我们主要研究的是第一课时的内容．学生在本册书的第二章已经学习了指数函数等基本初等函数的概念、图象和性质，本节课是对这些基本初等函数性质的进一步拓展和应用，教材在探求解决实际问题的过程中，体验到几种常见函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点，始终贯穿着函数模型的应用这条主线，从而为下一节继续研究函数的增长性和“函数模型的应用”奠定了基础，拉开高中阶段数学建模活动的帷幕．课程标准中明确指出：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容．数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力.2、教学目标分析本节课的内容脉络是：从学生熟悉的两个模拟实验入手，先动画演示摞砖的游戏，继而师生一起动手折纸．通过认真观察、动手操作，学生从不同的角度、层次挖掘其中所蕴含的数学问题，从而获得数学建模的初步体验；然后通过一组导入性问题的处理，使学生体会如何用恰当的函数模型来描述对应的数学问题，为后面的学习做出铺垫；进一步通过对例题的解决，让学生体会如何借助不同的表示方法对函数问题进行探究，弄清几类不同的增长型函数在实际问题中的应用，体会他们的增长差异.①本节课以培养学生挖掘实际背景中所蕴含的数学问题为切入点，突出了数学建模与解应用题的区别，体现了“数学是自然的，数学是有用的”这一新课程理念.②本节课以实际应用问题为主要研究的对象，以数表和图象为研究的主要依据，通过对图象以及数据的观察、分析、探究、归纳和概括得到所对应的结论，进而加强对几类函数的认识．③本节课渗透着函数与方程、数形结合的数学思想，通过将实际问题转化为函数问题，进而解决实际问题的研究经历，让学生体会到数学建模的过程和处理的方式．④通过这节课的学习，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，所采用的小组学习方式，也可以增强学生们的合作意识．3、教学问题诊断分析本节课涉及到的一次函数、二次函数、分段函数、指数函数学生在前面已经学过，基本掌握了它们的概念、图象和性质．另外，学生也熟悉了研究函数性质的一般方法，具有用函数知识解决实际问题的初步体验，这是本节课的知识基础．然而，学生前面的学习主要是针对某一类函数进行研究，很少将其综合在一起，学生没有或者很少有对这几类函数不同变化趋势的理解，让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．另外，在第二章中，学生主要是从函数的基本模型认识函数，而较少涉及到函数在生活、生产中的实际应用．学生在研究具体问题时，如何选择恰当的模型函数分析和解决实际问题是另一个困难．这节课学习的对象是平顶山市实验高中高一年级的学生．该校是河南省示范性高中，学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．在几个应用问题的理解上不会出现太大的问题．另外，学校一直十分重视新课改的研究，倡导尝试探究，学生已经习惯了小组合作学习的教学模式，参与讨论交流的积极性较高，这也是教学目标顺利实现的又一保证.4、教学策略分析①教法分析本节课选用合作探究与尝试概括相结合的教学方法．在教学中，从精心创设的问题情境出发，为学生提供更多的机会和时间，提问质疑、尝试探究、讨论交流、归纳总结等，促使学生的思维空间充分开放；积极营造出一个有利于人际沟通与合作的环境，使学生学会交流和分享自己的成果，并能把每个人的成果进行有效的整合，增强团队意识；这样做，能够丰富学生对数学与日常生活紧密联系的体验，感受数学的实际价值，增强应用意识，发展创新意识．②学法分析《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，本节课采用小组合作学习的教学组织形式，教师利用问题串来引导学生开展合作探究的学习活动．为了控制好课堂的研究方向，也为了提高小组讨论的效率，本节课设置了学案，引导学生的探究活动．在学案中为学生的讨论和探究设置了一系列的参考问题，在每一个问题之后都留给学生自己发现问题和解决问题的空间，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习的过程中，养成积极思考、主动交流的学习习惯．③教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，本节课借助信息技术工具，动画演示摞砖的游戏，绘制具体的常函数、一次函数、指数函数等基本初等函数的图象并列出相应的数据表格，通过数形结合开展数学探究活动．综上所述，本节课的设计亮点可以概括为以下三个方面：以问题为纽带；化结果为过程；把知识变成能力．通过体验数学建模的四个环节，引导学生经历知识的探究过程，对培养学生揭示数学关系的能力非常有益．。

几类不同增长的函数模型说课稿我今天说课的课题是几类不同增长的函数模型，下面我从教材的分析、教法和学法、教学过程三个方面进行说课，首先我们来进行教材分析。

一、教材分析1、教材地位和作用方程的根与函数的零点是高中数学人教版必修1第三章第二节的内容，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述本节课通过实例来认识对几种不同增长的函数模型及其应用。

2、教学目标根据新课标标准要求及结合学生已有的认知结构，我确定本节课的教学目标为：（1）知识目标：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，（2）能力目标：恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题（3）情感目标：让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣。

3、教学重点与难点本节课的教学重点是：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．二、教学与学法本节课我采用情境教学法和自主探究法，并充分利用多媒体辅助教学.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和学习。

本节课的内容是需要学生实际操作，因此，在学法上采用教师引导，学生自主探究，在实践中发现问题、理解问题和解决问题。

三、教学过程整个教学的流程分为创设情境，引入新课；发现问题，探求新知；巩固新知，反馈调控；归纳小结，布置作业6大块： 1、创设情境，引入新课假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0．4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？用实际情景引出本节课的课题：几类不同增长的函数模型 2、发现问题，探求新知（1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？（2）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？（3）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？（4）根据以上分析，你认为就作出如何选择？教师引导学生列出数量关系式，建立模型，讨论分析，最后概括总结得出结论：指数函数模型比线性函数模型增长的快。

3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.（四）教学过程回顾复习择，这三种方案的回报如下：元；元；.三种方案所得回报的增长情况再作三个函数的图象在第1~3天，方案一最多；在第天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终y=5的下方，这说明只有按模.所以该模型不符合要求；时，是否有2变化的数据如下表．中学数学建模的主要步骤例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x 台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩在乙商场购买，费用y = 600x .（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.（4）当x ≥18时，600x ＞440x∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2+ bx + c ，y = a21x + b ，y =ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）.（1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩⎨⎧==11.0b a所以得y =0.1x +1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax 2 + bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2.121b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，所以y =52.08.4+x .因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x + c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3.12.1132c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08.0c b a ，所以y = – 0.8×(0.5)x +1.4.因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。

高一数学教案：《几类不同增长的函数模型》高一数学教案：《几类不同增长的函数模型》教学要求：①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.②借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.③恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程：一、新课引入：（国际象棋棋盘的奖赏教科书第三章的章头图：澳大利亚兔子数"爆炸'）有一大群喝水、玩耍的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有旺盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到1XX年，兔子们占据了整个澳大利亚，数量满足75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采纳各种方法毁灭这些兔子，直至二十世纪五十年月，科学家采纳载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、讲授新课：1、例题讲解：①例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？②探究：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？师生共同分析解答探究：依据例1的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么熟悉？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？依据以上分析，你认为就作出如何选择？③例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，预备制定一个激励销售部门的嘉奖方案：在销售利润满足10万元时，按销售利润进行嘉奖，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个嘉奖模型：；； . 问：其中哪个模型能符合公司的要求？④探究：本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？依据问题中的数据，如何判定所给的嘉奖模型是否符合公司要求？通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．2、探究与发觉：幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探究讨论幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行沟通、商量、概括总结，形成较为精准、详尽的结论性报告．3、尝试练习：教材p110练习1、2；教材p113练习．4、小结与反思：直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义；数学的有用价三、巩固练习：1. 教材p120习题32（a组）第1~3题；2. 作业：教材p125 2、3、4题3、课外活动：收集一些社会生活中普遍使用的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，怎样选用合理的函数模型？第三、四课时3.2.2函数模型的应用实例（2课时）教学要求：通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用.教学重点：建立函数模型的过程.教学难点：在实际问题中建立函数模型.教学过程：一、新课引入：前节课主要是讲授指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，本节课我们主要是通过一些生活中常遇到的实例来进一步说明函数模型在解决实际问题中的应用.二、讲授新课：1、例题讲解：①例1、在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势. 设某服装开头时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开头保持20元的平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周末，该服装已不再销售.（1）试建立价格p与周次t之间的函数关系；（2）若此服装每件进价q与周次t之间的关系式为，试问该服装第几周每件销售利润最大？（找出实际问题中涉及的函数变量引导同学依据变量间的关系建立函数模型利用模型解决实际问题小结：二次函数模型）②练习（图表形式）：某同学完成一项任务共花去9个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 8 9完成的百分数15 30 45 60 60 70 80 90 100（1）假如用t（h）来表示h小时后完成的工作量的百分数，请问t（5）是多少？求出t（h）的解析式，并画出图象. （2）假如该同学在早晨8：00时开头工作，什么时候他未工作？③例2、人中问题是当今世界各国普遍关注的问题，熟悉人口数量的改变规律，可以为有效掌握人口增长供应依据. 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（1766－1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率. （数据和问题见p115）（师生共析老师小结：指数型函数模型同学阅读课本，完善解题过程）③例3、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值讨论：（数据和问题见p118）分小组商量该选用何种函数模型来刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数关系并分别验证，总结商量结果，找出最恰当的函数模型，利用函数模型来解决实际问题.小结：依据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验符合实际，用函数模型说明实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.2、练习：教材p114 图形给出的函数应用讨论; 利润讨论；三、巩固练习：1. 阅读p123、p73、p79 等应用问题，小结函数模型类别2. 已知镭经过1XX年，质量便比原来削减4.24％，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为 .3. 某新型电子产品XX年投产,计划XX年使其成本降低36℅.则平均每年应降低成本℅.3.有一批影碟（vcd）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再削减20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？4. 作业：p120 1、2、4、5题。

［转帖］第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《函数模型的应用》（湖南师大附中龚红玲）doc高中数学二元一次不等式〔组〕表示的平面区域教学设计辽宁省实验中学李振江二元一次不等式〔组〕表示的平面区域教学设计辽宁省实验中学李振江一.教学目标1. 知识与技能目标：〔1〕明白得"同侧同号〃并把握不等式区域的判定方法；〔2〕能作出二元一次不等式〔组〕表示的平面区域。

2. 过程与方法目标：〔1〕增强学生数形结合的思想；〔2〕明白得数学的转化思想，提高分析咨询题、解决咨询题的能力。

3. 情感态度与价值观目标：〔1〕通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探究方法与精神；〔2〕体会数学的应用价值；〔3〕体会由一样到专门，由专门到一样的思想。

二.教学重、难点重点：二元一次不等式〔组〕表示的平面区域难点：寻求二元一次不等式〔组〕表示的平面区域三.教法设计本节课采纳探究教学法，通过"猜想，验证，证明〃来探究二元一次不等式〔组〕表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。

使用多媒体辅助教学。

四.学法设计引导学生通过主动参与、合作探讨学习知识元一次不等式解集的几何意义Ax By C 0( 0)有什么关联?引导3:如何验证我们的猜想？ 3.选择直线x y 10，在平面上选择一点P(x,y)，观看其在每一侧区域运动 时，x y 1的正负符号。

4.证明：在直线Ax By C 0的同一侧 任取一点P(x 1, y 1)的坐标使式子Ax By C 的值具有相同的符号题，进行合理的猜想："同 侧同号〃。

学生给出验证方法，教 师通过多媒体进行演示，验 证猜想。

平区的法 画面域方画平面区域的方法方法一：直线定界，专门点定域 方法二：看A :右同左异；看B ： 上同下异。

例1:画出下面二元一次不等式表示的平 面区域：(1) 2x- y- 3>0; (2) 3x+ 2y- 6< 0. 例2:画出引例中的二元一次不等式组 方法应用2x 2y 1 x 2y 12x y 1表示的平面区域。

几类不同增长的函数模型各位老师，大家好！我是第xx组xx号考生，很高兴能够站在这里参加面试，我叫某某，毕业于某某大学某某专业，性格比较开朗，随和，能关心周围的人和事，和亲人朋友能够和睦相处，对生活充满信心，在某某公司从事某某一职，对教师这一职业非常崇敬。

我今天说课的题目是《几类不同增长的函数模型》，下面，我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教学方法、学习方法、教学过程和板书设计等方面进行说课。

一、教材分析本节内容是选自新人教A版高中数学必修1第3章第2节第1部分的内容。

函数模型的应用是函数的重要内容之一，在前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数，本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此本节内容起着承前启后的作用。

本节内容与现实生活联系紧密，它在研究运用函数思想解决现实问题中发挥着巨大的作用。

二、教学目标根据上述对教材的分析，我确定本节课的教学目标为:1、知识与技能目标：、在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题。

2、过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

3、情感、态度与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。

[设计意图]：教学目标的设计，要简洁明了，具有较强的可操作性，容易检测目标的达成度，同时也要体现出新课标下对素质教育的要求。

三、重点与难点根据本节课的知识要求和教学目标，本节课的教学重点是：认识常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异；教学难点是：应用函数模型解决简单问题。

，[设计意图]：首先通过教学目标和难重点的展示，让学生明确本节课的任务及精髓，带着目标去学习，才能达到事半功倍的效果。

四、教学方法新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者，基于这一教学理念和本节课的教学目标，我采用如下的教学方法：（1）在教师指导下的引导发现教学法：通过这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力。