高三人教A版数学章末综合测试题(9)数列(2).pdf

章末综合测评（四）统计(时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（）A．p1＝p2〈p3B．p2＝p3〈p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3D[在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为错误!，所以p1＝p2＝p3,故选D．] 2．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C,D四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D类产品的数量为（）A．22 B．33C．40 D．55C[根据分层随机抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D类产品的数量为110×错误!＝40。

] 3．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b］是其中的一组．已知该组的频率为m，该组上的频率分布直方图的高为h,则|a－b｜等于()A．mh B．错误!C．错误!D．m＋hC[在频率分布直方图中小长方形的高等于错误!，所以h＝错误!，｜a－b|＝错误!，故选C．]4．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位：km/h）如下表：则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（）A．28与28。

5 B．29与28.5C．28与27.5 D．29与27.5D[上班时间行驶速度的中位数是错误!＝29，下班时间行驶速度的中位数是错误!＝27。

5。

］5．为了普及环保知识，增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示,假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为错误!，则()A．m e＝m o＝错误!B．m e＝m o＜错误!C．m e＜m o＜错误!D．m o＜m e＜错误!D[由条形图可知，中位数为m e＝5.5，众数为m o＝5,平均值为错误!≈5。

第九章章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分1．原点到直线＋2－5＝0的距离为A．1 C．22．2022·安徽过点1,0且与直线－2－2＝0平行的直线方程是A．－2－1＝0 B．－2＋1＝0C．2＋－2＝0 D．＋2－1＝03．直线－2－3＝0与圆C：－22＋＋32＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为C．2错误!4．2022·咸宁调研已知抛物线2＝4的准线与双曲线错误!－2＝1 a>0交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是C．2 D．35．已知圆的方程为2＋2－6－8＝0，设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为A．10错误!B．20错误!C．30错误!D．40错误!6．2022·福建设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点1F5 m，远地点B距离地面n m，地球的半径为m，关于椭圆有以下三种说法：①焦距长为n－m；②短轴长为错误!；③离心率e＝错误!以上正确的说法有A．①③ B．②③ C．①② D．①②③11．设F1、F2是双曲线错误!－错误!＝1 a>0，b>0的两个焦点，2ac1F错误!，m∈R1若以点M2,0为圆心的圆与直线相切于点1F1F2a2c2a2c，n满足错误!解得B错误!，错误!．∴过切点A，B的直线方程为2＋－2＝0令＝0得＝1，即c＝1；令＝0得＝2，即b＝2∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为错误!＋错误!＝116．②17．解1∵AB＝－错误!，AB⊥BC，∴CB＝错误!∴BC：＝错误!－2错误!故BC边所在的直线方程为－错误!－4＝03分2在上式中，令＝0，得C4,0，∴圆心M1,0．又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为－12＋2＝96分3∵圆N过点．因为M×1＝－1，解得m＝2，即点，所以直线′的方程为＝－－m由错误!得2＋4＋4m＝0Δ＝42－4×4m＝161－m．当m＝1时，即Δ＝0时，直线′与抛物线C相切；当m≠1时，即Δ≠0时，直线′与抛物线C不相切．10分综上，当m＝1时，直线′与抛物线C相切；当m≠1时，直线′与抛物线C不相切．12分方法二1设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为－22＋2＝r2依题意，所求圆与直线：－＋m＝0相切于点，则错误!解得错误!4分所以所求圆的方程为－22＋2＝86分2同方法一．22．1证明①当直线的斜率不存在时，，由题意知m≠0，将其代入错误!＋错误!＝1，得2＋322＋6m＋3m2－2＝0，其中Δ＝362m2－122＋32m2－2>0，即32＋2>m2*又1＋2＝－错误!，12＝错误!，所以|因为点O到直线的距离为d＝错误!，所以S△O·错误!＝错误!又S△O2m22－2×错误!＝3，错误!＋错误!＝错误!3－错误!＋错误!3－错误!＝4－错误!错误!＋错误!＝2，综上所述，错误!＋错误!＝3，错误!＋错误!＝2，结论成立．4分2解方法一①当直线的斜率不存在时，由1知|OM|＝|1|＝错误!，|，错误!＝错误!＋m＝－错误!＋m＝错误!＝错误!，|OM|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!3－错误!．|＝错误!＝22＋错误!，所以|OM|2·|×2×2＋错误!＝3－错误!2＋错误!≤错误!2＝错误!所以|OM|·|＝2＋错误!，即m＝±错误!时，等号成立．综合①②得|OM|·||2＋||·||·||＝||·|PQ|的最大值为错误!3解椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝错误!证明：假设存在Du，v，E1，1，G2，2满足S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝错误!，由1得u2＋错误!＝3，u2＋错误!＝3，错误!＋错误!＝3；v2＋错误!＝2，v2＋错误!＝2，错误!＋错误!＝2，10分解得u2＝错误!＝错误!＝错误!；v2＝错误!＝错误!＝1，因此u，1，2只能从±错误!中选取，v，1，2只能从±1中选取．因此D，E，G只能在±错误!，±1这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝错误!矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G12分。

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章末综合检测(九)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A，B,C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4,为检验该公司的产品质量,用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（)A．96 B．72C．48 D．36解析：选B。

由题意得错误!n－错误!n＝8，所以n＝72。

故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15),6;［15，20），8；［20,25),13；［25，30)，35；［30，35），46;[35,40)，34；［40,45），28；［45，50),15；[50，55)，10；［55，60],5。

则样本在［35,60]上的频率是( )A．0。

69 B．0.46C．1 D．不存在解析：选B.由题可知,样本在［35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0。

46.3．2019年高考某题的得分情况如下:得分(分）01234百分率(%)37.08。

第九章章末检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名,从中抽取了一个样本量为200的样本,其中男生103名,则该中学共有女生为( )A．1 030名B．97名C．950名D．970名【答案】D2．高一年级有男生510人,女生490人,小明按男女比例进行分层随机抽样,总样本量为100,则在男生中抽取的样本量为( )A．48 B．51C．50 D．49【答案】B3．在中国共产党建党100周年之际,某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生2700人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动,其中高一年级抽取了16人,则该校高一年级学生人数为( )A．1680 B．1020C．960 D．720【答案】C4．若5个样本数据的平均数为3,方差为1.现加入一个数3,得到新样本的平均数为x－,方差为s2,则( )A．x－＞3,s2＞1 B．x－＝3,s2＜1C．x－＜3,s2＜1 D．x－＝3,s2＞1【答案】B5．甲组数据为：5,12,16,21,25,37,乙组数据为：1,6,14,18,38,39,则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是( )A．极差B．平均数C．中位数D．都不相同【答案】B6．假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动,利用随机数法抽取样本时,先将500名同学按000,001,…,499进行编号,如果从随机数表第8行第11列的数开始,按三位数连续向右读取,最先抽出的4名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)( )84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 63016 37859 16955 56719 9810507175 12867 35807A．455 068 047 447 B．169 105 071 286C．050 358 074 439 D．447 176 335 025【答案】B7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为( )图1 图2A．100,28 B．200,28C．100,40 D．200,40【答案】D【解析】根据图1可得出学生的总人数为：2 000＋4 000＋4 000＝10 000,样本容量为10 000×2%＝200,抽取的初中生人数为：4 000×2%＝80,根据图2得初中近视人数为：80×50%＝40,故选D．8．在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( )A．甲地：总体均值为3,中位数为4B．乙地：总体均值为1,总体方差大于0C．丙地：中位数为2,众数为3D．丁地：总体均值为2,总体方差为3【答案】D【解析】A中,中位数为4,可能存在大于7的数；同理,在C中也有可能；B中的总体方差大于0,叙述不明确,如果方差太大,也有可能存在大于7的数；D中,因为平均数为2,根据方差公式,如果有大于7的数存在,那么方差不可能为3.故选D．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列情况中,适合用抽样调查的是( )A．调查某村去年新生婴儿的数量B．调查某地区一年内的空气质量状况C．调查一条河流的水质D ．调查一个班级学生每天的睡眠时间 【答案】BC【解析】A,D 适合用全面调查,因为调查对象较少；B,C 适合用抽样调查,因为调查对象较多．故选BC ．10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个样本量为n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的学生有60人,则下列说法正确的是( )A ．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数有132C ．n 的值为200D ．若该校有2 000名学生,则一定有600人支出在[50,60)元 【答案】BC【解析】A 中,样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3,故A 错误；B 中,样本中支出不少于40元的人数有0.0360.03×60＋60＝132,故B 正确；C 中,n＝600.3＝200,故C 正确；D 中,若该校有2 000名学生,则可能有600人支出在[50,60)元,故D 错误．故选BC ．11．已知数据1：x 1,x 2,…,x n ,数据2：2x 1－1,2x 2－1,…,2x n －1,则下列统计量中,数据2是数据1的两倍的有( )A ．均值B ．极差C ．方差D ．标准差【答案】BD【解析】设数据1：x 1,x 2,…,x n 的均值为x －,标准差为s ,极差为R ＝x max －x min ,则数据2：2x 1－1,2x 2－1,…,2x n －1的均值为2x －－1,方差为4s 2,故A,C 错误,标准差为4s 2＝2s ,极差为2x max －1－(2x min －1)＝2(x max －x min )＝2R ,故B,D 正确．故选BD ．12．给出三幅统计图如图所示：A ．从折线统计图能看出世界人口的变化情况B ．2050年非洲人口将达到大约15亿C ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D ．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 【答案】AC【解析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况,故A 正确；从条形统计图中可知2050年非洲人口大约将大于15亿,故B 错误；从扇形统计图中可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故C 正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故D 错误．故选AC ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．一支田径队有男运动员48人,女运动员36人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个样本量为21的样本,则抽取男运动员的人数为________．【答案】12【解析】抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12. 14．将样本量为100的某个样本数据拆分为10组,若前七组的频率之和为0.79,而剩下的三组的频率依次相差0.05,则剩下的三组中频率最高的一组的频率为________．【答案】0.12【解析】设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x ,则另两组的频率分别为x －0.05,x －0.1.因为频率总和为1,所以0.79＋(x －0.05)＋(x －0.1)＋x ＝1,解得x ＝0.12.15．12,13,25,26,28,31,32,40的25%分位数为________． 【答案】19【解析】因为8×25%＝2,所以25%分位数为x 2＋x 32＝13＋252＝19.16．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图,已知该校共有学生3 000人,由统计图可得该校共捐款为________元．【答案】37 770【解析】由扇形统计图可知,该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人．由条形统计图知,该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元,所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．为调查某班学生的平均身高,从50名学生中抽取110,应如何抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人,女生20人),应如何抽样？解：从50名学生中抽取110,即抽取5人,采用简单随机抽样法(抽签法或随机数法)．若知道男生、女生的身高显著不同,则采用分层抽样法,按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样,则男生抽取3人,女生抽取2人．18．2021年是中国共产党成立100周年,1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章,百年来,党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试,已知该校高一年级有学生1 200人,高二年级有学生960人,高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况,按年级进行分层随机抽样得到容量为100的样本．(1)若在各层中按比例分配样本,试问在各年级中应分别抽取多少人？(2)如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分,求该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分．解：(1)该校共有学生 1 200＋960＋840＝3 000(人),高一年级应抽取100×1 2003 000＝40(人),高二年级应抽取100×9603 000＝32(人),高三年级应抽取100×8403 000＝28(人)．(2)全体学生问卷测试成绩的平均分为40100×85＋32100×80＋28100×90＝84.8(分)．19．某汽车制造厂分别从A,B 两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试,列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)：(1)(2)分别计算A,B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、方差； (3)根据以上数据,你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100,中位数为12×(100＋98)＝99.B 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100,中位数为12×(101＋97)＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26,方差为18×[(－4)2＋122＋(－3)2＋82＋02＋32＋(－14)2＋(－2)2]＝55.25,B 轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15,方差为18×[82＋12＋(－6)2＋52＋(－4)2＋(－7)2＋(－3)2＋62]＝29.5,(3)根据以上数据,A 轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同,但B 轮胎行驶的最远里程的极差和方差相对于A 轮胎较小,所以B 轮胎性能更加稳定．20．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图,其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米),样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]．(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36,求出总样本量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件,求出样本中身高位于[98,104)的人数．解：(1)由题意(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1,解得x ＝0.075. (2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1,则p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300. 而p 1＝36N ,∴N ＝36p 1＝360.300＝120.(3)样本中身高位于[98,104)的频率p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750, ∴身高位于[98,104)的人数n ＝p 2N ＝0.750×120＝90.21．为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次环保知识竞赛,共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图,解答下列问题：组号 分组 频数 频率 1[50,60)40.082 [60,70) 8 0.163 [70,80) 10 0.204 [80,90) 160.32 5 [90,100] 合计—(1)填充频率分布表中的空格；(2)如图,不具体计算频率组距,补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(结果保留整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)40.08＝50,即样本量为50.第5组的频数为50－4－8－10－16＝12,从而第5组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1,所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(2)设第一个小长方形的高为h 1,第二个小长方形的高为h 2,第五个小长方形的高为h 5,则h 1h 2＝48＝12,h 1h 5＝412＝13. 补全的频率分布直方图如图所示． (3)50名学生竞赛的平均成绩为x ＝4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×9550＝79.8≈80(分)．所以估计这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．22．共享单车入驻泉州一周年以来,因其“绿色出行,低碳环保”的理念而备受人们的喜爱,值此周年之际,某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息,在全市范围内发放5 000份调查问卷,回收到有效问卷3 125份,现从中随机抽取80份,分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总,得到如下三个表格：表(一)使用者年龄段25岁以下26岁～35岁36岁～45岁45岁以上人数2040 1010表(二)使用频率 0～6次/月7～14次/月15～22次/月23～31次/月人数510 205表(三)满意度 非常满意(9～10)满意(8～9)一般(7～8)不满意(6～7)人数1510105(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口30万,请用样本估计总体的思想,试估计年龄在26岁～35岁之间,每月使用共享单车在7～14次的人数．解：(1)(2)由表(一)可知年龄在26岁～35岁之间的有40人,占总抽取人数的12,所以30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×12＝15(万人)．由表(二)可知,年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人,占总抽取人数的14,所以年龄在26岁～35岁之间的15万人中,每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×14＝154(万人)．。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则a 7为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：∵a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝4a 7＝24，∴a 7＝6. 答案：A2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 解析：由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S 3＝3a 1＋3d ，S 2＝2a 1＋d ，代入S 33－S 22＝1，得d ＝2，故选C.答案：C3．已知数列a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 2 011等于( ) A ．1 B ．－4 C ．4 D ．5解析：由已知，得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，a 8＝5，… 故{a n }是以6为周期的数列， ∴a 2 011＝a 6×335＋1＝a 1＝1. 答案：A4．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值解析：∵S 5＜S 6，∴a 6＞0.S 6＝S 7，∴a 7＝0. 又S 7＞S 8，∴a 8＜0.假设S 9＞S 5，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＞0，即2(a 7＋a 8)＞0.∵a 7＝0，a 8＜0，∴a 7＋a 8＜0.假设不成立，故S 9＜S 5.∴C 错误. 答案：C5．设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 的值为( ) A ．－12B.12 C ．1或－12D ．－2或12解析：设首项为a 1，公比为q ， 则当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，适合题意．当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q＝3·a 1q 2，∴1－q 3＝3q 2－3q 3，即1＋q ＋q 2＝3q 2,2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1(舍去)，或q ＝－12.综上，q ＝1，或q ＝－12.答案：C6．若数列{a n }的通项公式a n ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a n ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1－252－45，∴n ＝2时，a n 最小；n ＝1时，a n 最大． 此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3. 答案：A7．数列{a n }中，a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A ．a 21a 22B ．a 22a 23C ．a 23a 24D ．a 24a 25 解析：∵3a n ＋1＝3a n －2， ∴a n ＋1－a n ＝－23，即公差d ＝－23.∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝15－23(n －1)．令a n ＞0，即15－23(n －1)＞0，解得n ＜23.5.又n ∈N *，∴n ≤23，∴a 23＞0，而a 24＜0，∴a 23a 24＜0. 答案：C8．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10×(1.16－1)a解析：由已知，得每年产值构成等比数列a 1＝a ，a n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤6)．∴总产值为S 6－a 1＝11×(1.15－1)a . 答案：C9．已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 解析：由S 20＝100，得a 1＋a 20＝10. ∴a 7＋a 14＝10. 又a 7＞0，a 14＞0，∴a 7·a 14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25.答案：A10．设数列{a n }是首项为m ，公比为q (q ≠0)的等比数列，S n 是它的前n 项和，对任意的n ∈N *，点⎝⎛⎭⎪⎫a n ，S 2n Sn( )A ．在直线mx ＋qy －q ＝0上B ．在直线qx －my ＋m ＝0上C ．在直线qx ＋my －q ＝0上D ．不一定在一条直线上解析：⎩⎨⎧a n ＝mq n －1＝x ， ①S 2nS n＝m (1－q 2n)1－qm (1－q n)1－q＝1＋q n＝y ， ②由②得q n＝y －1，代入①得x ＝m q(y －1)， 即qx －my ＋m ＝0. 答案：B11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )A ．n 2－n B ．n 2＋n ＋2 C ．n 2＋nD ．n 2－n ＋2解析：因为前n －1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(n －1)n2项，所以第n 组的首项为数列2,4,6，…的第(n －1)n 2＋1项，等于2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)n 2＋1－1·2＝n 2－n ＋2.答案：D12．设m ∈N *，log 2m 的整数部分用F (m )表示，则F (1)＋F (2)＋…＋F (1 024)的值是( ) A ．8 204 B ．8 192 C ．9 218 D ．以上都不对 解析：依题意，F (1)＝0，F (2)＝F (3)＝1，有2个F (4)＝F (5)＝F (6)＝F (7)＝2，有22个．F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．…F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．F(1 024)＝10，有1个．故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210＝2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，∴T＝8×210＋2＝8 194，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.答案：A第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n}满足关系a1＝2，a n＋1＝3a n＋2，该数列的通项公式为__________．解析：∵a n＋1＝3a n＋2两边加上1得，a n＋1＋1＝3(a n＋1)，∴{a n＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＋1＝3·3n－1＝3n，∴a n＝3n－1.答案：a n＝3n－114．已知公差不为零的等差数列{a n}中，M＝a n a n＋3，N＝a n＋1a n＋2，则M与N的大小关系是__________．解析：设{a n}的公差为d，则d≠0.M－N＝a n(a n＋3d)－[(a n＋d)(a n＋2d)]＝a n2＋3da n－a n2－3da n－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.答案：M＜N15．在数列{a n}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n－1)在直线x－y＝6上，则数列{a nn3(n＋1)}的前n项和S n＝__________. 解析：∵点(a n，a n－1)在直线x－y＝6上，∴a n－a n－1＝6，即数列{a n}为等差数列．∴a n＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，∴a n＝6n2.∴a n n 3(n ＋1)＝6n 2n 3(n ＋1)＝6n (n ＋1)＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ∴S n ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1.＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝6n n ＋1. 答案：6nn ＋116．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …则第__________行的各数之和等于2 0092. 解析：设第n 行的各数之和等于2 0092，则此行是一个首项a 1＝n ，项数为2n －1，公差为1的等差数列． 故S ＝n ×(2n －1)＋(2n －1)(2n －2)2＝2 0092， 解得n ＝1 005.答案：1 005三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，令b n ＝a n －2.(1)求证：{b n }是等比数列，并求b n ； (2)求通项a n 并求{a n }的前n 项和S n .解析：(1)∵b n ＋1b n ＝a n ＋1－2a n －2＝12a n ＋1－2a n －2＝12a n －1a n －2＝12，∴{b n }是等比数列． ∵b 1＝a 1－2＝－32，∴b n ＝b 1qn －1＝－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－32n .(2)a n ＝b n ＋2＝－32n ＋2，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－323＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n ＋2＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＋2n ＝－3×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋2n ＝32n ＋2n －3.18．(12分)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，且c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的通项公式及其前n 项和T n .解析：(1)由题意S n ＝2n， 得S n －1＝2n －1(n ≥2)，两式相减，得a n ＝2n－2n －1＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，21－1＝1≠S 1＝a 1＝2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，2n －1(n ≥2).(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)， ∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3， b 4－b 3＝5，…b n －b n －1＝2n －3.以上各式相加，得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2.∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n ，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (n ＝1)，(n －2)×2n －1(n ≥2)，∴T n ＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －2)×2n －1，∴2T n ＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n －2)×2n. ∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －2)×2n＝2(1－2n －1)1－2－(n －2)×2n＝2n－2－(n －2)×2n＝－2－(n －3)×2n. ∴T n ＝2＋(n －3)×2n .19．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n }，记该数列的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．解析：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋5×42d ＝50，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋12d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， 即a n ＝2n ＋1.(2)由已知，得b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝2n ＋1＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n ＋1＋1)＝4(1－2n)1－2＋n ＝2n ＋2－4＋n .20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且ba n －2n＝(b －1)S n . (1)证明：当b ＝2时，{a n －n ·2n －1}是等比数列；(2)求通项a n .解析：由题意知，a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋1＝(b －1)S n ＋1，两式相减，得b (a n ＋1－a n )－2n＝(b －1)a n ＋1， 即a n ＋1＝ba n ＋2n.①(1)当b ＝2时，由①知，a n ＋1＝2a n ＋2n. 于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n＝2()a n －n ·2n －1.又a 1－1·20＝1≠0， ∴{a n －n ·2n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)当b ＝2时， 由(1)知，a n －n ·2n －1＝2n －1，即a n ＝(n ＋1)·2n －1当b ≠2时，由①得a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝ba n ＋2n －12－b ·2n ＋1＝ba n －b 2－b·2n＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n ，因此a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n ＝2(1－b )2－b ·b n . 得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，12－b[2n ＋(2－2b )b n －1]， n ≥2.21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{a n }，则a n －a n －1＝－13.所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．设还需组织(n －1)辆车，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝24n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13≥20×25.所以n 2－145n ＋3 000≤0， 解得25≤n ≤120，且n ≤73. 所以n min ＝25，n －1＝24.故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．22．(12分)已知点集L ＝{(x ，y )|y ＝m ·n }，其中m ＝(2x －2b,1)，n ＝(1,1＋2b )，点列P n (a n ，b n )在点集L 中，P 1为L 的轨迹与y 轴的交点，已知数列{a n }为等差数列，且公差为1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(3)设c n ＝5n ·a n ·|P n P n ＋1|(n ≥2)，求c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n 的值．解析：(1)由y ＝m ·n ，m ＝(2x －2b,1)，n ＝(1,1＋2b )， 得y ＝2x ＋1，即L ：y ＝2x ＋1. ∵P 1为L 的轨迹与y 轴的交点， ∴P 1(0,1)，则a 1＝0，b 1＝1.∵数列{a n }为等差数列，且公差为1， ∴a n ＝n －1(n ∈N *)．代入y ＝2x ＋1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵P n (n －1,2n －1)，∴P n ＋1(n,2n ＋1)．＝5n 2－n －1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1102－2120.∵n ∈N *，(3)当n ≥2时，P n (n －1,2n －1)，∴c 2＋c 3＋…＋c n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n .。

第九章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下面抽样方法是简单随机抽样的是（）A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查C ．从某连队200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从l0个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）2．对某校1 200名学生的耐力进行调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500 m 跑步的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（ ）A ．l20名学生B ．1200名学生C ．120名学生的成绩D ．1200名学生的成绩3．简单随机抽样和分层随机抽样之间的共同点是（ ）A ．都是从总体中逐个抽取的B ．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C ．抽样过程中每个个体被抽到的机会相等D ．将总体分成几层，然后各层按照比例抽取4．某市有大型、中型与小型商店共1 500家，它们的数量之比为l:5:9，用分层随机抽样的方法抽取其中的30家进行调查，则中型商店应抽取（ ）A ．10家B ．18家C ．2家D ．20家5．抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ）A ．88.5B ．89C ．91D ．89.56．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图9-4-1，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x 甲，x 乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则（）A ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＜B ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＞C ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＜D ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＞7．某校高中三个年级的人数扇形统计图如图9-4-2所示，按年级用分层随机抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本量为（）A ．24B ．30C ．32D ．358．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2635790033709160162038827757495032114919730649167677873399746732274861987164414870862888851916207477011l 163024042979799196835125A ．3B ．16C ．38D ．499．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（ ）甲：8121327243722202526乙：9141311181920212123A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大10．某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，高中生中男生、女生人数之比为3:7，初中生中男生、女生人数之比为6:4，为了解学生的学习状况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从初中生中抽取男生12人，则从高中生中抽取女生的人数是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．2111．如果一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 1+2，…n + ）A ，2s B +，2sC +，23s D +212．在去年某地区的足球比赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法：①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球，其中正确的有（）A．l个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某种福利彩票的中奖号码是从1~36个号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，从36个号码中选出7个号码，适宜的抽样方法是________．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．15．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”、现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的相关记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2这三地肯定进入夏季的地区有________个．16．某校为了解本校中、老年教师的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从中年教师中抽取20人，从老年教师中抽取10人参加体检，经医院反馈信息知某项体检指标：中年教师均值为90，方差为4，老年教师均值为96，方差为6．据此估计该校中、老年教师该项指标的方差为________．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）某电视台举行颁奖典礼，邀请来自三个地区的20名演员演出，其中从30名A地区演员中随机挑选10人，从18名B地区演员中随机挑选6人，从10名C地区演员中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的演员，并确定他们的表演顺序．18．（12分）某市组织了一次普法知识竞赛，从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，统计如下：甲单位职工的成绩（分）8788919193甲单位职工的成绩（分）8589919293根据表中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对法律知识的掌握更为稳定．19．（12分）某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个．（1）应从大三中抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？20．（12分）某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护仍是百姓最为关心的问题，参与调查者中关注此问题的约占80%现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,56，得到的频率分布直方图如图9-4-3所示。

人教版高三数学下学期数列多选题单元 期末复习综合模拟测评学能测试试题一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.2．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=，则（ ）A ．n n n ABC 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b b S S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当==2n n b c 时等号成立） 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

章末检测试卷一(第四章)［时间：120分钟分值：150分］一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列1，3，5，7，…，2n―1，则35是这个数列的第（ ）A.20项B.21项C.22项D.23项2.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a4=8，S3=18，则S5等于（ ）A.34B.35C.36D.383.已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7等于（ ）A.1B.3C.6D.94.等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若a1011+a1012+a1013+a1014=8，则S2024等于（ ）A.8096B.4048C.4046D.20245.已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列｛a n｝，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为（ ）A.12 023B.22 023C.31 011D.15056.已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a6+a7>0，a6+a8<0，则S n最大时n的值为（ ）A.4B.5C.6D.77.已知数列｛a n｝中的项都是整数，且满足a n+1={a n2,a n为偶数,3a n+1,a n为奇数,若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（ ）A.7B.6C.5D.48.若数列｛a n｝的前n项和为S n，b n=S nn，则称数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”.已知数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”且通项公式为b n=n，设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，若T n<12m2-m-1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A.（-1，3）B.［-1，3］C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =（n +2）·(67)n，则下列说法正确的是（ ）A.a 1是数列｛a n ｝的最小项B.a 4是数列｛a n ｝的最大项C.a 5是数列｛a n ｝的最大项D.当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列10.设d ，S n 分别为等差数列｛a n ｝的公差与前n 项和，若S 10=S 20，则下列说法中正确的是（ ）A.当n =15时，S n 取最大值B.当n =30时，S n =0C.当d >0时，a 10+a 22>0D.当d <0时，|a 10|>|a 22|11.已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n=3n +39n +3，则使得a n b n 为整数的正整数n的值为（ ）A.2 B.3C.4D.14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n +1=4×3n -1，则S 2 024= .13.在等差数列｛a n ｝中，前m （m 为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且a m -a 1=14，则a 100的值为 .14.已知函数f （x ）=（x +1）3+1，正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，则2 025Σk =1f （lg a k ）= . 四、解答题（本题共5小题，共77分）15.（13分）在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=3a n .（1）求｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）数列｛b n ｝是等差数列，S n 为｛b n ｝的前n 项和，若b 1=a 1+a 2+a 3，b 3=a 3，求S n .（7分）16.（15分）已知等差数列｛a n ｝中，a 5-a 2=6，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）设b n =1a n a n +1，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，若S n =335，求n 的值.（9分）17.（15分）在数列｛a n ｝中，前n 项和S n =1+ka n （k ≠0，k ≠1）.（1）证明：数列｛a n ｝为等比数列；（5分）（2）求数列｛a n ｝的通项公式；（4分）（3）当k =-1时，求a 21+a 22+…+a 2n .（6分）18.（17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？（8分）（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？（9分）19.（17分）在如图所示的三角形数阵中，第n 行有n 个数，a ij 表示第i 行第j 个数，例如，a 43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m >0）.已知a 11=2，a 41=12a 32+2，a 22a 21=m .（1）求m 及a 53；（7分）（2）记T n =a 11+a 22+a 33+…+a nn ，求T n .（10分）答案精析1.D ［已知数列1，3，5，7，…，2n ―1，则该数列的通项公式为a n =2n ―1，若2n ―1=35=45，即2n -1=45，解得n =23，则35是这个数列的第23项.］2.B ［因为｛a n ｝是等差数列，设其公差为d ，因为S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=18，则a 2=6，所以2d =a 4-a 2=2，则d =1，所以a 5=9，S 5=S 3+a 4+a 5=18+8+9=35.］3.D ［因为等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 12=12，即log 3(a 1·a 2·…·a 12)=12，所以a 1·a 2·…·a 12=312，所以(a 6a 7)6=312，所以a 6a 7=32=9.］4.B ［由等差数列的性质可得a 1 011+a 1 012+a 1 013+a 1 014=2(a 1 012+a 1 013)=8，所以a 1 012+a 1 013=4，所以S 2 024=2 024(a 1+a 2 024)2=2 024(a 1 012+a 1 013)2=4 048，故B 正确.］5.B ［由题意，知最长弦长为直径，即a 2 024=10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a 1=252―32=8，所以d =a 2 024―a 12 024―1=22 023.］6.C ［∵等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 6+a 7>0，a 6+a 8<0，∴a 6+a 8=2a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，∴S n 最大时n 的值为6.］7.B ［a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数,若a 8=1，可得a 7=2，a 6=4，所以a 5=8或a 5=1.①若a 5=8，则a 4=16，a 3=32或a 3=5，当a 3=32时，a 2=64，a 1=128或a 1=21；当a 3=5时，a 2=10，a 1=20或a 1=3； ②若a 5=1，则a 4=2，a 3=4，a 2=8或a 2=1，当a 2=8时，a 1=16；当a 2=1时，a 1=2，故当a 8=1时，a 1的所有可能的取值集合M =｛2，3，16，20，21，128｝，即集合M 中含有6个元素.］8.D ［由题意，得数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，由“均值数列”的定义可得S nn =n ，所以S n =n 2，当n =1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1，a 1=1也满足a n =2n -1，所以a n =2n -1，所以1a n a n +1=1(2n ―1)(2n +1)=12(12n ―1―12n +1)，所以T n =12(1―13+13―15+…+12n ―1―12n +1)=12(1―12n +1)<12，又T n <12m 2-m -1对一切n ∈N *恒成立，所以12m 2-m -1≥12，整理得m 2-2m -3≥0，解得m ≤-1或m ≥3.即实数m 的取值范围为(-∞，-1］∪［3，+∞).］9.BCD ［假设第n 项为｛a n ｝的最大项，则{a n ≥a n―1,a n ≥a n +1,即{(n +2)·(67)n≥(n +1)·(67)n―1,(n +2)·(67)n≥(n +3)·(67)n +1,所以{n ≤5,n ≥4,又n ∈N *，所以n =4或n =5，故数列｛a n ｝中a 4与a 5均为最大项，且a 4=a 5=6574，故B ，C 正确；当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列，故A 错误，D 正确.］10.BC ［因为S 10=S 20，所以10a 1+10×92d =20a 1+20×192d ，解得a 1=-292d.所以S n =-292dn +n (n ―1)2d =d 2n 2-15nd =d 2［(n -15)2-225］.对于选项A ，因为d 的正负不确定，S n 不一定有最大值，故A 错误；对于选项B ，S 30=30a 1+30×292d =30×(―292d )+15×29d =0，故B 正确；对于选项C ，a 10+a 22=2a 16=2(a 1+15d )=2(―292d +15d )=d >0，故C 正确；对于选项D ，a 10=a 1+9d =-292d +182d =-112d ，a 22=a 1+21d =-292d +422d =132d ，因为d <0，所以|a 10|=-112d ，|a 22|=-132d ，|a 10|<|a 22|，故D 错误.］11.ACD ［由题意可得S 2n―1T 2n―1=(2n ―1)(a 1+a 2n―1)2(2n ―1)(b 1+b 2n―1)2=(2n ―1)a n (2n ―1)b n =a n b n ，则a n b n =S 2n―1T 2n―1=3(2n ―1)+39(2n ―1)+3=3n +18n +1=3+15n +1，由于a nb n 为整数，则n +1为15的正约数，则n +1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n 的可能取值有2，4，14.］12.32 024―12解析　根据题意，可得a 1+a 2=4×30=4，a 3+a 4=4×32，…，a 2 023+a 2 024=4×32 022，所以S 2 024=4×30+4×32+…+4×32 022=4×(30+32+…+32 022)=4×1―(32)1 0121―32=32 024―12.13.101解析　∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63，∴奇数项之和为S 奇=135-63=72，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则S 奇-S 偶=2a 1+(m ―1)d2=72-63=9.又a m =a 1+d (m -1)，∴a 1+a m2=9，∵a m -a 1=14，∴a 1=2，a m =16.∵m (a 1+a m )2=135，∴m =15，∴d =a m ―a 1m ―1=1，∴a 100=a 1+99d =101.14.2 025解析　函数f (x )=(x +1)3+1的图象可看成由y =x 3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y =x 3的对称中心为(0，0)，所以f (x )=(x +1)3+1的对称中心为(-1，1)，所以f (x )+f (-2-x )=2，因为正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，所以a 1·a 2 025=a 2·a 2 024=…=a 21 013=1100，所以lg a 1+lg a 2 025=lg a 2+lg a 2 024=...=2lg a 1 013=-2，所以f (lg a 1)+f (lg a 2 025)=f (lg a 2)+f (lg a 2 024)= (2)2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 1）+f （lg a 2）+f （lg a 3）+…+f （lg a 2 025），①2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 2 025）+f （lg a 2 024）+f （lg a 2 023）+…+f （lg a 1），②则①②相加得22 025Σk =1f （lg a k ）=［f （lg a 1）+f （lg a 2 025）］+［f （lg a 2）+f （lg a 2 024）］+…+［f （lg a 2 025）+f （lg a 1）］=2 025×2，所以2 025Σk =1f （lg a k ）=2 025.15.解　(1)因为a 1=1，a n +1=3a n ，所以数列｛a n ｝是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n -1.(2)由(1)得，b 1=a 1+a 2+a 3=1+3+9=13，b 3=9，则b 3-b 1=2d =-4，解得d =-2，所以S n =13n +n (n ―1)2×(-2)=-n 2+14n.16.解　(1)设数列｛a n ｝的公差为d ，因为a 5-a 2=6，所以3d =6，解得d =2.因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 26=a 1a 21，即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1=5，所以a n =2n +3.(2)由(1)知b n =1a n a n +1=1(2n +3)(2n +5)，所以b n =12(12n +3―12n +5)，所以S n =12[(15―17)+(17―19)+…+(12n +3―12n +5)]=n5(2n +5)，由n5(2n +5)=335，得n =15.17.(1)证明　因为S n =1+ka n ，①S n -1=1+ka n -1(n ≥2)，②由①-②，得S n -S n -1=ka n -ka n -1(n ≥2)，所以a n =kk ―1a n -1.当n =1时，S 1=a 1=1+ka 1，所以a 1=11―k .所以｛a n ｝是首项为11―k ，公比为kk ―1的等比数列.(2)解　因为a 1=11―k ，q =kk ―1，所以a n =11―k ·(k k ―1)n―1=-k n―1(k ―1)n .(3)解　因为在数列｛a n ｝中，a 1=11―k ，公比q =kk ―1，所以数列｛a 2n ｝是首项为(1k ―1)2，公比为(k k ―1)2的等比数列.当k =-1时，等比数列｛a 2n ｝的首项为14，公比为14，所以a 21+a 22+…+a 2n=14×[1―(14)n ]1―14=13×[1―(14)n ].18.解　(1)设引进设备n 年后总盈利为f (n )万元，设除去设备引进费用，第n 年的成本为a n ，构成一等差数列，前n 年成本之和为[24n +n (n ―1)2×8]万元，所以f (n )=100n -［24n +4n (n -1)+196］=-4n 2+80n -196=-4(n ―10)2+204，n ∈N *，所以当n =10时，f (n )max =204(万元)，即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元.(2)设n 年后平均盈利为g (n )万元，则g (n )=f (n )n=-4n -196n +80，n ∈N *，因为g (n )=-4(n +49n)+80，当n ∈N *时，n +49n ≥2n·49n=14，当且仅当n =49n ，即n =7时取等号，故当n =7时，g(n)max=g(7)=24(万元)，即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元.19.解　(1)由已知得a31=a11+(3-1)×m=2m+2，a32=a31×m=(2m+2)×m=2m2+2m，a41=a11+(4-1)×m=3m+2，a32+2，∵a41=12(2m2+2m)+2，∴3m+2=12即m2-2m=0.又m>0，∴m=2，∴a51=a11+4×2=10，∴a53=a51×22=40.(2)由(1)得a n1=a11+(n-1)×2=2n.当n≥3时，a nn=a n1·2n-1=n·2n.(*)又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8.a11=2，a22=8符合(*)式，∴a nn=n·2n.∵T n=a11+a22+a33+…+a nn，∴T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n，①2T n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，②由①-②得，-T n=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1-n·2n+1=2×(1―2n)1―2=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2，∴T n=(n-1)·2n+1+2.。

章末综合检测(一)A 卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n －1，…，则21是这个数列的( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第21项解析：选B 观察可知该数列的通项公式为a n ＝2n －1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n －1，解得n ＝11.2．在等比数列{a n }中，a 4＝6，a 8＝18，则a 12＝( ) A ．24 B ．30 C ．54 D ．108解析：选C 由等比数列的性质知a 4，a 8，a 12成等比数列，则a 28＝a 4·a 12，所以a 12＝a 28a 4＝1826＝54. 3．在等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16 D ．12 解析：选D ∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52， ∴a 7＝2＋4×52＝12.4．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d .在等差数列{a n }中，a 3＝1，a 2a 4＝34.则由等差数列的通项公式得，a 3＝a 1＋2d ＝1，(a 1＋d )(a 1＋3d )＝34，∴d ＝12，a 1＝0.故选B.5．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3解析：选C ∵数列{a n }是等比数列，a 4＝2，a 5＝5， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝10，∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1×a 2×…×a 8)＝lg(a 4a 5)4＝4lg 10＝4.故选C. 6．1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋1210的值为( )A ．18＋129B ．20＋1210C ．22＋1211D ．18＋1210解析：选B 设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1211 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋1211＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12111－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1211＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－1＋1211＝20＋1210. 7．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m n的值是( )A ．4B ．2 C.12 D ．14解析：选D 由题意可知1是方程的一个根，若1是方程x 2－5x ＋m ＝0的根，则m ＝4，另一根为4.设x 3，x 4是方程x 2－10x ＋n ＝0的两个根，且x 3＜x 4，则x 3＋x 4＝10，这四个数的排列顺序只能为1，x 3,4，x 4，则公比为2，x 3＝2，x 4＝8，n ＝16，m n ＝14；若1是方程x2－10x ＋n ＝0的根，则n ＝9，另一根为9.设x 1，x 2是方程x 2－5x ＋m ＝0的两个根，则x 1＋x 2＝5，无论怎么排列均不合题意．综上可知，m n ＝14.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升B ．6766 升 C.4744 升 D ．3733 升解析：选B 设该等差数列为{a n }，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝1322＋4×766＝6766.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( ) A ．a 1＋a 3＝0 B ．a 3＋a 5＝0 C ．S 3＝S 4D ．S 4＝S 5解析：选BC 由S 7＝7a 1＋a 72＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选B 、C.10．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n ·a n ＋1，设数列{b n }的前n 项和S n ，则( )A ．a n ＝n2B ．a n ＝nC ．S n ＝4n n ＋1D ．S n ＝5n n ＋1解析：选AC 由题意得a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2， ∴b n ＝1n 2·n ＋12＝4n n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1. 故选A 、C.11．已知数列{a n }的通项为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1，则下列表述正确的是( )A ．最大项为0B ．最大项不存在C ．最小项为－14D ．最小项为－2081解析：选AD 由题意得a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫231－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫231－1－1＝1×(1－1)＝0，当n ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1＜0，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－1＜0， ∴{a n }的最大项为a 1＝0.又a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－56⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，∴当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0；当1＜n ＜3时，a n ＋1－a n ＜0. ∴{a n }的最小项为a 3＝－2081.故选A 、D.12．已知等差数列{a n }的公差d 不等于0，S n 是其前n 项和，则下列命题正确的是( ) A ．给定n (n ≥2，且n ∈N *)，对于一切k ∈N *(k ＜n )，都有a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 成立 B ．存在k ∈N *，使得a k －a k ＋1与a 2k ＋1－a 2k －3同号C ．若d ＞0，且S 3＝S 8，则S 5与S 6都是数列{S n }中的最小项D ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，S 33，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)在同一条直线上解析：选ACD A ．由等差中项的性质，可得命题正确；B ．a k －a k ＋1＝－d ，a 2k ＋1－a 2k －3＝4d .又d ≠0，故二者不可能同号；C ．因为S 3＝S 8，所以a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，即a 6＝0.又d ＞0，即数列{a n }为递增数列，因此S 5＝S 6，所以S 5和S 6都是数列{S n }中的最小项；D ．由于等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ，故S n n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，S 33，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)在同一条直线上．综上可得A 、C 、D 是正确的．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n ＞0，则a n ＝________. 解析：由a 2n ＋1＝a 2n ＋4，得a 2n ＋1－a 2n ＝4， ∴数列{a 2n }是首项为1，公差为4的等差数列， ∴a 2n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. ∵a n ＞0，∴a n ＝4n －3.答案：4n －314．已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若S 2＝34，S 4＝154，则a 6＝________，a n ＝________.解析：由题知数列{a n }为等比数列，公比q ＞0且q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝34，S 4＝154得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 21－q ＝34，a 11－q 41－q＝154，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，故a 6＝a 1q 5＝14×25＝8，a n ＝a 1q n －1＝14×2n －1＝2n －3.答案：8 2n －315．在等差数列{a n }中，前m (m 为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且a m －a 1＝14，则a 100的值为________．解析：∵在前m 项中偶数项之和为S 偶＝63， ∴奇数项之和为S 奇＝135－63＝72， 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 奇－S 偶＝2a 1＋m －1d2＝72－63＝9. 又a m ＝a 1＋d (m －1)，∴a 1＋a m2＝9，∵a m －a 1＝14，∴a 1＝2，a m ＝16. ∵m a 1＋a m2＝135，∴m ＝15，∴d ＝14m －1＝1，∴a 100＝a 1＋99d ＝101. 答案：10116．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1＞a n ， ∴(n ＋1－λ)2n ＋1＞(n －λ)2n，即λ＜n ＋2.又∵n ∈N *，∴λ＜3. 答案：(－∞，3)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在数列{a n }，{b n }中，已知a 1＝12，且2a n ＋1＝a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，b n ＝2na n ，求证：数列{b n }为等差数列．证明：法一：由2a n ＋1＝a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 得a n ＋1＝12a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2n＋1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－2na n ＝1，即b n ＋1－b n ＝1，所以数列{b n }是以b 1＝2a 1＝1为首项，1为公差的等差数列．法二：在2a n ＋1＝a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的两边同时乘以2n 得2n ＋1a n ＋1＝2na n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，所以数列{b n }是以b 1＝2a 1＝1为首项，1为公差的等差数列．18．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，即q ＝－12.(2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 19．(12分)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)． 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )．解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ≤6时，a n ≤0. 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝6a 1＋6×52d＝6×(－10)＋15×2＝－30.20．(12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.21．(12分)在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝a n2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为d ＝a 7－a 37－3＝1，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝n ＋1.(2)b n ＝a n 2n －1＝n ＋12n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1，①12T n ＝22＋322＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，② 由①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋1－n ＋12n＝1－12n1－12＋1－n ＋12n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－n ＋12n＝3－n ＋32n，所以T n ＝6－n ＋32n －1.22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝n (n －6)，数列{b n }满足b 2＝3，b n＋1＝3b n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)当 n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7.∵n ＝1适合上式，∴a n ＝2n －7(n ∈N *)． ∵b n ＋1＝3b n (n ∈N *)且b 2≠0，∴b n ＋1b n＝3(n ∈N *)． ∴{b n }为等比数列，∴b n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －7，n 为奇数，3n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝n2－5＋2n －92＋＝n n －72＋33n－18. 当n 为奇数时，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝n ＋12－5＋2n －72＋＝n ＋1n －62＋33n －1－18.综上所述：T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n －72＋33n－18，n 为偶数，n ＋1n －62＋33n －1－18，n 为奇数.B 卷——高考能力达标卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n＋1，故选B.2．一个各项均为正数的等比数列中，每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q ＝( )A.32 B ． 5 C.5－12D ．1＋52解析：选C 由题意知a n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝a n q ＋a n q 2，即q 2＋q －1＝0，解得q ＝5－12(负值舍去)．3．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8C ．±8D ．以上选项都不对解析：选A ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，且a 2＞0，a 6＞0，∴a 4＝a 2q 2＞0(q 为公比)，∴a 4＝8.4．等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝10，则该数列的前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．55 C ．44 D ．33 解析：选B 由题意得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 3＋a 92＝11×102＝55.5．若等比数列{a n }的前5项的乘积为1，a 6＝8，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D ．12解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，由题意得a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝1，所以a 3＝1，所以q 3＝a 6a 3＝8，解得q ＝2.6．已知a ，b ，c 为等比数列，b ，m ，a 和b ，n ，c 是两个等差数列，则a m ＋c n等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选C 因为b ，m ，a 和b ，n ，c 是两个等差数列，所以m ＝a ＋b2，n ＝b ＋c2，又a ，b ，c 为等比数列，所以b 2＝ac ，所以a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2ab ＋2ac ＋2ac ＋2bca ＋b b ＋c＝2ab ＋4ac ＋2bc ab ＋ac ＋b 2＋bc ＝2ab ＋2ac ＋bcab ＋2ac ＋bc＝2.7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8＝1，S 16＝0，当S n 取最大值时n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选B 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(S n )max ＝S 8，选项B 正确．8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A ．30尺B ．90尺C ．150尺D ．180尺解析：选B 由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，a 30＝1，∴S 30＝30×5＋12＝90，即共织布90尺．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等差数列{a n }和等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且(n ＋1)S n ＝(7n ＋23)T n ，则使a n b n为整数的正整数n 的值可以是( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选ACD 由题意，可得S n T n ＝7n ＋23n ＋1，则a n b n ＝2a n2b n ＝2n －1a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －12＝S 2n －1T 2n －1＝14n ＋162n ＝7n ＋8n ＝7＋8n ，经验证，知当n ＝1,2,4,8时，a nb n为整数．故选A 、C 、D.10．设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列解析：选AD 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列；对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n－a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列，故选A 、D.11．一个弹性小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下．设它第n 次着地时，经过的总路程记为S n ，则当n ≥2时，下面说法正确的是( )A ．S n ＜500B ．S n ≤400C ．S n 的最小值为7003D ．S n 的最大值为400解析：选AC 第一次着地时，共经过了100 m ，第二次着地时，共经过了⎝ ⎛⎭⎪⎫100＋100×23×2m ，第三次着地时，共经过了⎣⎢⎡⎦⎥⎤100＋100×23×2＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×2m ，…，以此类推，第n 次着地时，共经过了⎣⎢⎡⎦⎥⎤100＋100×23×2＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×2＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×2 m ．所以S n ＝100＋4003⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －11－23＝100＋400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.则S n 是关于n 的增函数，所以当n ≥2时，S n 的最小值为S 2，且S 2＝7003.又S n ＝100＋400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＜100＋400＝500，故选A 、C. 12．若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *且n ≥3，总存在i ，j ∈N *，使得a n ＝a i ＋a j (i ≠j ，i ＜n ，j ＜n )，则称数列{a n }是“T 数列”．则下列数列是“T 数列”的为( )A ．{2n }B ．{n 2} C ．{3n}D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1－52n －1 解析：选AD 令a n ＝2n ，则a n ＝a 1＋a n －1(n ≥3)，所以数列{2n }是“T 数列”；令a n ＝n 2，则a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，所以a 3≠a 1＋a 2，所以数列{n 2}不是“T 数列”；令a n ＝3n，则a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，所以a 3≠a 1＋a 2，所以数列{3n}不是“T 数列”；令a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－52n －1，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －3＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －1是“T 数列”．故选A 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－3)－(2n －1－3)＝2n －1，而21－1＝1≠－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥214．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5， 即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m . 由S m ＝(3－m )m ＋m m －12×1＝0，解得m ＝5.答案：515．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n .记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1·a 2n ＋1，则a n＝________，T n ＝________.解析：由题意有a 1＝1－a 1，得a 1＝12.当n ≥2时，有S n －1＝1－a n －1，①结合S n ＝1－a n ，②则①－②得a n ＝12a n －1，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，可得数列{a n }的通项公式a n ＝12n ，所以T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝116⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116n 1－116＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116n .答案：12n 115⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116n16．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＜0，a 203＋a 204＞0，a 203·a 204＜0，则使前n 项和S n＜0的最大自然数n 的值是________．解析：由a 203＋a 204＞0⇒a 1＋a 406＞0⇒S 406＞0， 又由a 1＜0且a 203·a 204＜0，知a 203＜0，a 204＞0， 所以公差d ＞0，则数列{a n }的前203项都是负数， 那么2a 203＝a 1＋a 405＜0，所以S 405＜0， 所以使前n 项和S n ＜0的最大自然数n ＝405. 答案：405四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知四个正数成等比数列，积为16，且第2个数与第3个数的和为5，求这四个数．解：由已知设这四个数分别为aq 3，a q，aq ，aq 3. ∵这四个数的积为16，∴a 4＝16，∴a ＝±2. ∵第2个数与第3个数的和为5，∴a q＋aq ＝5. 当a ＝2时，2q ＋2q ＝5，解得q ＝2或12，∴这四个数分别为14，1,4,16或16,4,1，14；当a ＝－2时，－2q －2q ＝5，解得q ＝－2或－12，∴这四个数分别为14，1,4,16或16,4,1，14.综上知，这四个数分别为14，1,4,16或16,4,1，14.18．(12分)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.19．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n1－2n＝1212n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n1－2n . 20．(12分)在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差是d . ∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，∴d ＝－3， ∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝qn －1，即－3n ＋2＋b n ＝qn －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n 3n －12＋(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)，故当q ＝1时，S n ＝n 3n －12＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝n 3n －12＋1－q n1－q. 21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由a n ＋1＝2a n a n ＋1，得1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12×1a n ，所以1a n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1， 又a 1＝23，所以1a 1－1＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)得1a n －1＝12×12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，所以n a n ＝n2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1.② 由①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，所以T n ＝2－12n －1－n2n .又1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋nn ＋12＝n 2＋n ＋42－n ＋22n.22．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①a 1，14，a 2成等差数列；②a 1，a 2＋1，a 3成等比数列；③S 3＝34.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，3S n ＝a n ＋2a 1(n ∈N *)，a 1≠0，且________． (1)求数列{a n }的通项公式． (2)记b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n n 为偶数，log 3a nn 为奇数，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解：(1)由已知3S n ＝a n ＋2a 1，n ≥2时，3S n －1＝a n －1＋2a 1. 两式相减得到3a n ＝a n －a n －1，即a n a n －1＝－12. 因为a 1≠0，所以数列{a n }是公比为－12的等比数列，从而a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.若选①，由a 1，14，a 2成等差数列可得a 1＋a 2＝2×14，即a 1－12a 1＝12，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.若选②，由a 1，a 2＋1，a 3成等比数列可得a 1a 3＝(a 2＋1)2， 即a 1×14a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a 12，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.若选③，由S 3＝34可得a 1＋a 2＋a 3＝34，即a 1－12a 1＋14a 1＝34，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)当n 为奇数时，b n ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－(n －1)log 32.记前2n ＋1项和T 2n ＋1中奇数项和为T 奇， 则T 奇＝b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n ＋1 ＝－(0＋2＋4＋…＋2n )log 32 ＝－n (n ＋1)log 32.当n 为偶数时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，记前2n ＋1项和T 2n ＋1中偶数项和为T 偶， 则T 偶＝b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝－23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .故T 2n ＋1＝－n (n ＋1)log 32－23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .。

第三章章末综合检测(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)(检测范围：第三章) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )A.45B.35 C ．－45D ．－35解析 B 由⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜α＜π2＋2k πk ∈Z，sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35.2．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析 A sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形． 3．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析 A ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，∴T ＝π，且为奇函数． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14()b 2＋c 2－a 2，则∠B ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 B 根据正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C ，所以sin C ＝1.即C ＝90°.由S ＝14()b 2＋c 2－a 2得12bc sin A ＝14()b 2＋c 2－a 2，即sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝cos A ，即tan A ＝1，所以A ＝45°，所以B ＝45°，故选B. 5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是( )A ．6＋532B ．17C ．13D ．12解析 C y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ⎝⎛⎭⎪⎫φ＝arctan 512，故选C. 6．函数y ＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调增区间是 ( )A.⎝⎛⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z ) B.⎝⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋π8(k ∈Z ) C.⎝⎛⎦⎥⎤k π－3π8，k π－π8(k ∈Z ) D.⎝⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) 解析 C 由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x >0，则2k π<π4－2x <2k π＋π，k ∈Z ，即－k π－38π<x <－k π＋π8，k ∈Z .①函数的单调增区间即为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间，即2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，即k π＋38π<x ≤k π＋78π，k ∈Z ，②由①②知，k π－38π<x <k π－π8，k ∈Z .7．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析 B如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝3 2.故选B.8．(2013·武汉模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析 D ∵⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，m ＝2.∵T ＝π2，∴ω＝2πT＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.∵x ＝π3是其对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3＋φ＝±1.∴4π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．∴φ＝k π－5π6(k ∈Z )． 当k ＝1时，φ＝π6，故选D.9．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上均有可能解析 A 由题意可知c >a ，c >b ，即角C 最大．所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，所以0<C <π2，即三角形为锐角三角形，故选A.10．(2013·西安模拟)下列命题正确的是( )A ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内单调递增B ．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期为2πC ．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称的图形 D ．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于直线x ＝π6成轴对称的图形 解析 C 对于A ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6时，2x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，23π，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内不单调；对于B ，y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故最小正周期为π；对于C ，当x ＝π6时，y ＝cos π2＝0，故C 正确；D 显然错误．11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析 A 令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.12．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为 ( )A ．1 B.110C ．1或110D ．1或10解析 C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg10a ＋lg1a 1－lg 10a ·l g1a＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .解析 ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝－2－21＋－2×2＝43.【答案】 4314.(2013·黄冈模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝ .解析 由图象可得最小正周期为2π3.所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】 2315．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为 ．解析 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， 得a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴2cos C ＝1.∴C ＝60°.又∵ab ＝4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin 60°＝ 3.【答案】 316．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为 m.解析 轴截面如图，则光源高度h ＝15tan 60°＝53(m)．【答案】 5 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，π4<α<3π4. (1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)求sin α的值．解析 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且π4<α<3π4，∴0<α－π4<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45.(2)sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝7210. 18．(12分)在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lg sin B ＝lg 22，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解析 ∵lg sin B ＝lg22，∴sin B ＝22， ∵B 为锐角，∴B ＝45°.又∵lg a －lg c ＝lg 22，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22，∴2sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )，即sin C ＝sin C ＋cos C ，∴cos C ＝0，∴C ＝90°， 故△ABC 为等腰直角三角形．19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos Cc.(1)求角C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．解析 (1)因为a sin A ＝c sin C ，sin A a ＝3cos Cc，所以sin C ＝3cos C ．所以tan C ＝ 3. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12ab ＝4，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12.所以c 的值为2 3.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<⎭⎪⎫π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，试写出变换过程．解析 (1)由题图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2代入f (x )的解析式，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.又|φ|<π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m∥n .(1)求角A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．解析 (1)由m∥n 得(2b －c )·cos A －a cos C ＝0.由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0. 所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， 即2sin B cos A －sin B ＝0.因为A ，B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)y ＝2sin 2B ＋cos π3cos 2B ＋sin π3sin 2B＝1－12cos 2B ＋32sin 2B＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.由(1)得0<B <2π3，所以－π6<2B －π6<7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.22．(14分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的周期和单调增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解析 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1，∴－1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ，∴φ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，又φ∈(－π，0)，∴φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. (2)由题意，T ＝2π2＝π，由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．(3)f (x )在[0，π]上的图象如图：。

第九章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的,,,A B C D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知,,,A B C D 四种产品的数量比是2:3:2:4，则该样本中D 类产品的数量为（ ） A .22件 B .33件 C .40件 D .55件2.已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是（ ） A .1，2，…，106 B .0，1，2，…，105 C .00，01，…，105 D .000，001，…，1053.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)内的频率为（ ） A .0.11 B .0.5 C .0.45 D .0.554.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，100,[102)，102,[104)，104,[106]，则在区间[98,100)内的频数为（ ）A .10B .30C .20D .405.图甲和图乙分别表示某地区中小学生人数和近视情况.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）图甲图乙A .100，10B .100，20C .200，10D .200，206.某学校高一年级有1 802人，高二年级有1 600人，高三年级有1 499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ） A .33，33，30 B .36，32，30C .36，33，29D .35，32，31 7.若数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++的平均数和标准差分别为（ ）A . ,x sB .35,x s +C .35,3x s +D .3x +8.如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则（ ）ABA .,AB A B x x s s ＞＞B .,A B A B x x s s ＜＞C .A ,B A B x x s s ＞＜D .,A B A B x x s s ＜＜9.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（ ）A .4:3:1B .5:3:1C .5:3:2D .3:2:110.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数为1234,,,x x x x ，且满足324123x x x x x x ==，后6组的频数123456,,,,,y y y y y y ，且后6组各频数之间差值相同，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为（ ）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .2.7，83二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）A .成绩在[70,80)分的考生人数最多B .不及格的考生人数为1 000C .考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D .考生竞赛成绩的中位数为75分12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） A .平均数3x ≤B .平均数3x ≤且标准差2s ≤C .平均数3x ≤且极差小于或等于2D .众数等于1且极差小于或等于4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：3，3，4，7，9，10，11，12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.（本题第一空2分，第二空3分）14.1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度（单位：mm ），数据如下：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141则95%分位数是________mm.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组，单位：人）：16.从一堆苹果中任取20个称其重量，它们的质量（单位：克）数据分布如下：则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.15.（1）求x的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？18.（本小题满分12分）从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估算：（结果保留小数点后一位）（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.19.（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学,A B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分分别为5，8，9，9，9；B班5名学生得分分别为6，7，8，9，10（单位：分）.请你估计A，B两个班中哪个班的预防知识的问卷得分要稳定一些。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！人教A 版选择性必修第二册第四章数列综合测试2一、单选题1．设数列{}n a 满足()120,n n n a a a n N ++=¹Î，则84a a =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．在等差数列{}n a 中，276a a +=，则18a a +等于（ ）.A ．6B ．12C ．24D ．323．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ）A ．16B ．32C ．64D ．1284．设数列{}n a 的通项公式为2n n a n+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ）A ．25B ．254C ．5D ．256．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n7．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ）A ．21S B ．20S C ．19S D ．18S8．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ）A ．511B ．38C ．1D ．29．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+ÎN ，则1220aa a +++=L （）A ．10B ．145C ．300D ．32010．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）A ．12尺布B ．518尺布C ．1631尺布D ．1629尺布11．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ）A ．1009B ．1010C ．1011D ．202012．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ³且*n ÎN ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ìüíýîþ的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 4成等比数列，则该等比数列的公比为_______.14．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_________．15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+ÎN，记()321nn n n c a l =-´-，若对任意的*n ÎN ，1n n c c +>恒成立，则实数l 的取值范围为______.16．有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 22……3 5 8 12 17 23…………6 9 13 18 24………………10 14 19 25……………………15 20 26…………………………21 27………………………………28……………………………………………………………………………则第40行从左至右第6个数字为______.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ÎN ，11a =，232a =，354a =，且当2n ³时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（Ⅰ）求4a 的值；（Ⅱ）证明：112n n a a +ìü-íýîþ为等比数列．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1122n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++L ，12111n nT b b b =+++L ，求2019T .19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）若{}n a 为等差数列，求证：()12n n n a a S +=；（Ⅱ）若()12n n n a a S +=，求证：{}n a 为等差数列．20．在数列{}n a 中，112a =，1(42)(21)n n n a n a +-=+．（1）设21nn a b n =-，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：3n S <．21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足()1*12n a n T n a -=-ÎN ．（1）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由．22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，648S =，数列{}n b 满足122n n b b +=+，13b =.（1）证明：数列{}2n b -是等比数列，并求数列{}n a 与数列{}n b 通项公式；（2）若()2n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案1．D 【分析】根据等比数列的定义可得数列{}n a 是以2为公比的等比数列，由此可得选项.【详解】因为数列{}n a 满足()120,n n n a a a n N++=¹Î，所以数列{}na 是以2为公比的等比数列，所以484482162a a -===，故选：D.【点睛】本题考查等比数列的定义，属于基础题.2．A 【分析】由等差数列的性质可得选项.【详解】由等差数列的性质得18276a a a a +=+=，故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.3．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=Q ，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A 4．C 【分析】先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N Î，即可求解.【详解】记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则()()12112451232312n n n n n n n D a a a a n n -++++=××=´´´´´=-L L 依题意有()()12362n n ++>整理得()()23707100n n n n +-=-+>解得：7n >，因为*n N Î，所以min 8n =，故选：C 5．B【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案.【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +æö=£=ç÷èø，当且仅当6852a a ==时取等号．故选：B .6．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =Q ，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a Q 等差数列，2132a a a \=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-.故选：A 7．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-.又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d æö=+-=-=--ç÷èø，所以20S 最大.故选：B.8．C 【分析】令22n S n l =，()37n T n n l =+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n l =，()37n T n n l =+，可得当2n ³时，()()221221221n n n a S S n n n l l l -=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n l l l -=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T l l l ====+=，符合()221n a n l =-，()232n b n l=+故622a l =，322b l =，故631a b =.【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=ì=í-³î，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．9．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

人教版高三数学下学期数列多选题单元 期末复习综合模拟测评学能测试试卷一、数列多选题1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎫⎥=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦【答案】BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭1515()n -=+，令1nn n F b -=⎝⎭，则11n n b ++，所以1n n b b +=-，所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭以510-32-为公比的等比数列，所以1n n b -+， 所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．3．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21n n S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.5．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且112n n n S a a +=⋅-，则（ ）A ．12d =B ．11a =C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列D ．设(1)nn n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =【答案】AC 【分析】利用已知条件可得11212n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下21212n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-，所以11212n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，12d =，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112a =-，故选项B 不正确；由选项A 、B 可知，当112a =-，12d =时，()1111222n na n =-+-⨯=-，{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当()()1111122n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =+时，()221212n n b a n ==+，()212112112n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212n n n n b b a a --+=-+=，所以()()()212342122n n n n T b b b b b b -=++++++=， 当12n n a =-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213122n n n b a n ---⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭， 所以22131122n n b b n n -+=-+-=，此时()()()22212223212n n n n n n T b b b b b b ---=++++++=， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.6．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A ，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】对于A ，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.7．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.8．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，211n n n na a a a +++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32nn a =-+，2113n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.9．将()23nn ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：11a 12a 13a ……1n a21a 22a 23a ……2n a 31a 32a 33a ……3n a……1n a 2n a 3n a ……nn a该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．2m =B ．767132a =⨯C ．()1212j ij a i -=+⨯D ．()()221nS n n =+-【答案】ACD 【分析】由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D. 【详解】由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或13m =-（舍去），A 正确；()666735132a m m =+=⨯，B 错误；()()112132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++1121(12)(12)(12)121212n n n nn a a a ---=+++--- ()()()11211332(1)21212n nn n a a a n ++-⎛⎫=+++-=⨯- ⎪⎝⎭()()221n n n =+-，D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。

新人教A 版高中数学选择性必修第二册第四章数列:章末综合测评(一) 数列(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n －1，…，则21是这个数列的( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第21项B [观察可知该数列的通项公式为a n ＝2n －1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n －1，解得n ＝11，故选B.]2．已知等差数列{a n }满足3a 3＝4a 4，则该数列中一定为零的项为( ) A ．a 6 B ．a 7 C ．a 8D ．a 9B [∵3a 3＝4a 4，∴3a 3＝4(a 3＋d )＝4a 3＋4d ，∴a 3＝－4d ，∴a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝－4d ＋(n －3)d ＝(n －7)d . ∴a 7＝0，故选B.]3．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8C ．±8D ．以上选项都不对A [∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，且a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0(q 为公比)，∴a 4＝8.]4．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10D ．55A [a 10＝S 10－S 9.由条件知S 1＋S 9＝S 10. ∴a 10＝(S 1＋S 9)－S 9＝S 1＝a 1＝1，故选A.]5．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n 24＋7n 4B ．n 23＋5n3C ．n 22＋3n4D ．n 2＋nA [设公差为d ，则a 1(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2，把a 1＝2代入可解得d ＝12.∴a n ＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32.∴S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12n ＋322＝14n 2＋7n4.故选A.] 6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第18项为( )A ．200B ．162C ．144D ．128B [偶数项分别为2，8，18，32，50， 即2×1，2×4，2×9，2×16，2×25，即偶数项对应的通项公式为a 2n ＝2n 2，则数列的第18项为第9个偶数， 即a 18＝a 2×9＝2×92＝2×81＝162，故选B.]7．已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，则a 2 020＝( ) A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019D ．2 020C [∵a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝－(a n －n )， 即数列{a n －n }是以1为首项，－1为公比的等比数列， ∴a n －n ＝(－1)n －1，∴a n ＝n ＋(－1)n －1，∴a 2 020＝2 020－1＝2 019.]8．已知等差数列{}a n 的公差不为零，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 27成等比数列，则S 9S 3＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [由题意，知S 3，S 9，S 27成等比数列，所以S 29 ＝ S 3 ×S 27 ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤9a 1＋a 922＝3a 1＋a 32×27a 1＋a 272，整理得81a 25＝ 3a 2 ×27a 14 ，所以(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋13d )，解得d ＝2a 1， 所以S 9S 3＝9a 1＋a 92÷3a 1＋a 32＝9a 53a 2＝3a 1＋4d a 1＋d ＝27a 13a 1＝9，故选C.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，下列数列中一定是等比数列的有( ) A ．{}a 2nB ．{}a n a n ＋1C ．{}lg a nD ．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2nAB [由数列{a n }为等比数列可知，a na n －1＝q ，(q ≠0)， 对于A ，a 2n a 2n －1＝ q 2，故A 正确；对于B ，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2≠0，故B 正确；对于C ，lg a n－lg a n －1＝lga n a n －1＝lg q ，为等差数列，但是lg a nlg a n －1不一定为常数，即{}lg a n 不一定为等比数列，故C 错误；对于D ，若a n ＝(－1)n为等比数列，公比为－1，则S n 有可能为0，不一定成等比数列，故D 错误．故选AB.]10．设{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值ABD [由{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8， 则a 6＝S 6－S 5>0，a 7＝S 7－S 6＝0，a 8＝S 8－S 7<0，a 7＋a 8＝S 8－S 6<0， 则数列{}a n 为递减数列，即选项A ，B 正确；由S 9－S 5＝a 9＋a 8＋a 7＋a 6＝2(a 8＋a 7)<0，即S 9<S 5，即选项C 错误；由a 1>a 2>…>a 6＞a 7＝0>a 8>a 9>…，可得S 6与S 7均为S n 的最大值，即选项D 正确，故选ABD.]11．已知两个等差数列{}a n 和{}b n 的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝3n ＋39n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．14ACD [由题意可得S 2n －1T 2n －1＝()2n －1()a 1＋a 2n －12()2n －1()b 1＋b 2n －12＝()2n －1a n ()2n －1b n ＝a n b n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝3()2n －1＋39()2n －1＋3＝3n ＋18n ＋1＝3＋15n ＋1， 由于a nb n为整数，则n ＋1为15的正约数，则n ＋1的可能取值有3，5，15， 因此，正整数n 的可能取值有2，4，14.故选ACD.]12．在公比q 为整数的等比数列{}a n 中，S n 是数列{}a n 的前n 项和，若a 1·a 4＝32，a 2＋a 3＝12，则下列说法正确的是( )A ．q ＝2B ．数列{}S n ＋2是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{}lg a n 是公差为2的等差数列ABC [因为数列{}a n 为等比数列，又a 1·a 4＝32，所以a 2·a 3＝32，又a 2＋a 3＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，a 3＝4，q ＝12，又公比q 为整数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8，q ＝2，即a n ＝2n，S n ＝2×1－2n1－2＝2n ＋1－2，对于选项A ，由上可得q ＝2，即选项A 正确；对于选项B ，S n ＋2＝2n ＋1，S n ＋1＋2S n ＋2＝2n ＋22n ＋1＝2，则数列{}S n ＋2是等比数列，即选项B 正确；对于选项C ，S 8＝29－2＝510，即选项C 正确；对于选项D ，lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)lg2－n lg2＝lg2，即数列{}lg a n 是公差为lg2的等差数列，即选项D 错误．故选ABC.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知各项均不为0的等差数列{}a n ，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{}b n 为等比数列，且b 7＝a 7，则b 1·b 13＝________.16 [各项均不为0的等差数列{}a n ，2a 3－a 27＋2a 11＝0，∴4a 7－a 27＝0，∴a 7＝4，b 1 ·b 13＝ b 27 ＝ a 27 ＝ 16.]14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝________.768 [由a n ＋1＝3S n ，得S n ＋1－S n ＝3S n ，即S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44＝768.]15．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．429[设第n 天织布的尺数为a n ，可知数列{}a n 为等差数列，设等差数列{}a n 的公差为d ，前n 项和为S n ，则a 1＝5，a n ＝1，S n ＝90，则S n ＝n ()a 1＋a n 2＝3n ＝90，解得n ＝30，∴a 30＝a 1＋29d ＝5＋29d ＝1，解得d ＝－429，因此，每天比前一天少织布的尺数为429.]16．已知数列{}a n 满足a 1＝21，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 4＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)33415[因为a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a n ＋1－a n ＝2n ，从而a n －a n －1＝2(n －1)(n ≥2)． 所以a 4－a 3＝2×3＝6，a 3－a 2＝2×2＝4，a 2－a 1＝2×1＝2，a 1＝21，∴a 4＝6＋4＋2＋21＝33.a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×2＋2×1＝2×[1＋2＋…＋(n －1)]＝2×n －1n2＝n 2－n .而a 1＝21，所以a n ＝n 2－n ＋21，则a n n ＝n 2－n ＋21n ＝n ＋21n－1，因为f (n )＝n ＋21n－1在(0，4]递减，在[5，＋∞)递增，当n ＝4时，a n n ＝334＝8.25， 当n ＝5时，a n n ＝415＝8.2， 所以n ＝5时a n n 取得最小值，最小值为415.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16，所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×1－16n1－16＝415(16n－1)． 18．(本小题满分12分)已知正项数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝14()a n ＋12()n ∈N *.(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{}a n 是等差数列．[解] (1)由已知条件得：a 1＝14()a 1＋12，∴a 1＝1.又有a 1＋a 2＝14()a 2＋12，即a 22－2a 2－3＝0.解得a 2＝－1(舍)或a 2＝3.(2)由S n ＝14()a n ＋12得n ≥2时，S n －1＝14()a n －1＋12， ∴S n －S n －1＝14[]()a n ＋12－()a n －1＋12＝14[]a 2n －a 2n －1＋2()a n －a n －1， 即4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， ∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0， ∴()a n ＋a n －1()a n －a n －1－2＝0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2()n ≥2， 经过验证n ＝1也成立，所以数列{}a n 是首项为1，公差为2的等差数列．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }，{b n }满足a n ＋1－a n ＝b n ，{}b n ＋2为等比数列，且a 1＝2，a 2＝4，a 3＝10.(1)试判断列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (2)求a n .[解] (1)数列{b n }不是等比数列． 理由如下：由a n ＋1－a n ＝b n ，且a 1＝2，a 2＝4，a 3＝10得：b 1＝a 2－a 1＝2，b 2＝a 3－a 2＝6，又因为数列{b n ＋2}为等比数列，所以可知其首项为4，公比为2. 所以b 3＋2＝4×22＝16， ∴b 3＝14，显然b 22＝36≠b 1b 3＝28， 故数列{b n }不是等比数列．(2)结合(1)知，等比数列{b n ＋2}的首项为4，公比为2， 故b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－2，因为a n ＋1－a n ＝b n ，∴a n －a n －1＝2n－2(n ≥2)． 令n ＝2，…，(n －1)，累加得a n －2＝()22＋23＋ (2)－2(n －1)，∴a n ＝()2＋22＋23＋ (2)－2n ＋2＝2()2n－12－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n ，又a 1＝2满足上式，∴a n ＝2n ＋1－2n .20．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋kn ＋k . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋kn ＋k －2()n －12－k ()n －1－k＝4n ＋k －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2k ＋2，又数列为等差数列，故当n ＝1时，a 1＝2k ＋2＝2＋k ， 解得k ＝0. 故a n ＝4n －2. (2)由(1)可知，b n ＝14()2n －1()2n ＋1＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，故T n ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝18⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n8n ＋4 . 故数列{b n }的前n 项和T n ＝n8n ＋4. 21．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q ＞0.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0.因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋ (2)－(2n －1)×2n＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以，S n ＝(2n －3)·2n＋3，n ∈N *.22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[解] (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4500－52d ，a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322·a n －2－32d －d ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1·(3 000－3d )＋2d .由题意知a m ＝4 000，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000，解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m－2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m－1＝1 0003m －2m ＋13m －2m.故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m －2m ＋13m －2m万元时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．。

人教版高三数学第二学期数列多选题单元 期末复习测试题试题一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。