《离散数学》代数系统的一般性质-1

定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点： - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法. - (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘ 为 S 上二元运算.

二元运算的特异元素 5.1 二 元 运 算 及 其 性 质 单位元
定义 设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得 对任意x∈S 都有 el ∘x =x (或x∘er =x)， 则称el(或er )是S中关于∘运算的左(或右)幺元（单位元）. 若e∈S关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为S上关于∘运算的幺元. 例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
【引例】 （1）在Z集合上，x∈Z,
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数： f ：Z→Z
（2）在R+ 集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数 运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。 （3）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是将两个数a， b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 → R。
合，即 a11
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算∘.
一元运算的定义与实例
定义 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元 运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元 运算: 求倒数 (3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求反 函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
运算表可知，“”满足幂等律，而“*”不满足幂等律。
（1）b(a*b)=bb=b (ba)*(bb)=a*b=b （2）a(a*b)=ab=a , (aa)*(ab)=a*a=a b(a*a)=ba=a , (ba)*(ba)=a*a=a b(b*b)=ba=a , (bb)*(bb)=b*b=a a(a*a)=aa=a , (aa)*(aa)=a*a=a a(b*b)=aa=a , (ab)*(ab)=a*a=a 所以“”对“*”是可分配的。（由于“”运算 满足交换律成立，因此右分配也成立。）
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上全体函数， |A|2.
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
集合 Z, Q, R Mn(R)
P(B)
AA
运算 普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法 并 交 相对补 对称差 函数复合
二元运算的实例（续）
(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集
M n ( R) a 21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann aij R, i, j 1, 2,..., n
上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共 同特征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯 5.1 一的,它们都是函数。
二 元 运 算 及 其 性 质
把这种 数集 中的代数运算,抽象概括推广到 一般集合上，就得到代数运算的概念。集合中的 代数运算实质上是集合中的一类函数。
二元运算的定义及其实例
运算表表示运算
∘
a1
a2
…
an a1∘an a2∘an a1 a2 . . . an
∘ai ∘a1
a1 a2 . . . an
a1∘a1 a1∘a2 … a2∘a1 a2∘a2 … ... ... ... an∘a1 an∘a2 …
∘a2
an∘an
. . . ∘an
运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运 算（{a,b}为全集） 的运算表 ∼ 的运算表
无
无 有
交 与对称差
对 可分配 对a,b}, A上的运算“*”、“。”分 别如表所示。
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
* a b
a a b
b b a
从“*”运算表可知，“*”是可交换的。 因为 (a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b (a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a 所以“*”是可结合的。
二元运算的性质
定义5.3-5.11 设“*”，“”均为集合S上的二元运算。 （1）若 x,y∈S: 5.1 x*y=y*x， 二 则称运算“*” 在S上满足交换律。 元 实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。 运 （2）若x,y,z∈S: 算 x*(y*z)=(x*y)*z， 及 其 则称运算“*”在S上满足结合律。 实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。 性 如果一个表达式中只有一种运算，该运算满足结合律 质 ，则可去掉标记运算顺序的括号： （x+y）＋（z+w）＝x+y+z+w
类似地可以证明关于零元的惟一性定理（定理 5.2）. 例：N上乘法的零元是0，加法没有零元 Mn(R)上乘法的零元是0矩阵，加法没有零元 P(S)上的零元是S ， 的零元是
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
【例4.3.5】 在实数集 R 中，对加法“+”运算，没有零元； 在实数集 R 中，对乘法"×"运算，0是零元； 对于全集E的子集的并"∪"运算，E是零元； 对于全集E的子集的交"∩"运算，是零元;
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 4 1 3
0 3 1 4 2
0 4 3 2 1
例：设N3={0, 1, 2}, 则N3 上的模3 加法+3 可以 使用运算表来表示, 如表4.1 所示。注意到，运
P(S)上的么元是 ， 的幺元是S
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
例：R*是非零实数集，是R*上的二元运算，对R*中任 意a,b, 有ab＝a 则运算不存在左幺元，存在无数个右幺元，
因此不存在幺元
定理5.1 设为S上的二元运算，el和er分别为S 中关于运算的左和右幺元，则el=er=e，且e为S 上关于∘运算的惟一的幺元. 证：el=eler=eler=er 所以el=er , 将这个幺元记作e. 假设e’也是S中的幺元，则有e’=ee’= e. 惟一性得证.
消去律
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
定义 设∘为V上二元运算， x, y, zV， 若 x ∘y = x ∘z,且 x不是零元，则 y = z 若 y ∘x = z ∘x,且 x 不是零元，则 y = z 那么称 ∘ 运算满足 消去律.

实例: - Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. - Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律;幂集P(S)上满足 消去律 - Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于 - 模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘 法不满足消去律.

5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
a b
a a a
b a b
从“”运算表可知， “”是可交换的。 因为 (aa)b=ab=a a(ab)=aa=a (ab)b=ab=a a(bb)=ab=a 所以“”是可结合的。
5.1 二 元 运 算 及 （3）b*(ab)=b*a=b (b*a)(b*b)=ba=a 其 故“*”对“”是不可分配的。 性 又由b*(bb)=b*a=a可知“”和“*”不满足吸收律。由 质
算表是对称的，这表明运算+3 满足交换律。
+3 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1

5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
定义5.2 设S是集合，n为正整数，函数 - f : SS...S→S 称为集合S上的n元运算，整数n称为运算 的阶。
-
从n元代数运算的定义可知它有三点涵义: A中任意n个元素都有运算结果; 运算是封闭的,即运算结果仍在A中; 结果是唯一的。
算有一个幂等元。
5.1 二 元 运 算 及 其 (5）设“*”，“”均可交换，若x，y∈A,有 性 x*(xy)=x x(x*y)=x 质 则称运算“*”和“”运算满足吸收律。 幂集上的和运算满足吸收律。
（4）若x, y, z∈S： x*(y z)=(x*y) (x* z), 则称“*”运算对“”运算满足左分配律； (yz)*x=(y*x)(z*x)，则称“*”运算对 “ ”运算满足右分配律。 若二者均成立，则称“*”运算对“ ”运算满 足分配律。