高考数学模拟小练习6

2021高考数学〔理〕倒计时模拟卷〔6〕1、集合{|(1)0},{1}U x x x A =-≤=,那么UA =( )A. [0,1]B. [0,1)C. (0,1)D. (,0](1,)-∞⋃+∞2、在ABC △中，45A ∠=︒，4AB AC ==，D 是ABC △所在平面上的一点，假设3BC DC =，那么DB AD ⋅=( )A.16232- B. 16232+ C. 162 D. 329-3、复数z 满足1i 4i ()z +=-，那么z =( ) A ．22i +B ．12i +C ．12i -D ．22i -4、具有线性相关关系的变量 ,x y ,满足一组数据如表所示,假设y 与x 的回归直线方程为ˆˆ332yx =-,那么 m 的值是( )x1 2 3y1- 1m8A. 4B.92C. 5D. 65、函数()ln sin f x x x =+ (x ππ-≤≤且0x ≠)的图象大致是( )A.B.C.D.6、一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O 的球面上，球O 的外表积是〔 〕A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π 7、 3353sin 5cos 1414ααππ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么5tan 14απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 5 3-B. 35-C. 35D. 538、数列{}n a 的前n 项和为n S ,且222(1),an n n nS a n b S -=-=,那么数列{}n b 的最小项为( )A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项9、,?a b 是两条不重合的直线, ,αβ是两个不重合的平面,那么以下命题中正确的选项是( )A. //,//a b b α,那么//a αB. ,,//a b αβαβ⊂⊂,那么//a bC. //,a b a α⊥,那么b α⊥a α⊂,且b α⊄时,假设//b α,那么//a b10、如图,平行四边形ABCD 的四个顶点在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上,直线AB 的斜率11k =,直线AD 的斜率212k =,那么双曲线的离心率是( )A.3B.62C.31+D.611、函数()()sin ,0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的局部图象如下图,假如1223x x π+=,那么()()12f x f x += ( )3 B. 3-C. 0D.1212、()0,xx xe a f x e a>=+,假设() f x 的最小值为1?-,那么a = ( )A. 21eB. 1eC. eD. 2e13、二项式2(nx 的二项式系数之和为1024,那么展开式中的常数项是__________ 14、()2,1M -,设()0,1N x ,假设22:1O x y +=上存在点P ,使得60MNP ∠=︒,那么0x 的取值范围是__________.15、假设函数2log y x =的图象上存在点(,)x y ，满足约束条件30220x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，那么实数m 的最大值为______．16、过抛物线22y x =焦点F 的直线交该抛物线于,?A B 两点,假设2AF FB =,那么AF =__________17、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a bc a =)(sin sin )()sin b A B c b C -=-．1.求角A 的大小；2.求ABC △的面积的最大值．18、如图,在四面体ABCD 中, 90,ABC ADC BC BD ∠=∠=︒==.1.求证: AD BD ⊥AB 与平面BCD 所成的角为60,点E 是AC 的中点,求二面角C BD E --的大小.19、某品牌经销商在一随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控〞,否那么称其为“非微信控〞,调查结果如下: 微信控 非微信控 合计男性 26 24 50 女性 302050合计56 441001. 根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控〞与“性别〞有关?5人,再随机抽取3人赠送礼品,记这3人中“微信控〞的人数为X ,试求X 的分布列和数学期望.参考公式: ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.参考数据:()20P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706? 3.841?5.02420、设直线:(1)(0)l y x k =+≠与椭圆2224(0)x y m m +=>相交于,?A B 两个不同的点,与 x 轴相交于点,C O 为坐标原点.1.证明: 222414k m k >+;3AC CB =,求△OAB 的面积获得最大值时椭圆的方程.21、函数()1x f x ae lnx =--.2x =是()f x 的极值点,求a ,并求()f x 的单调区间;()0f x ≥,求a 的取值范围,22、在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数).以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2sin p θ=l 与圆C 的交点个数C 与直线l 交于,A B 两点,求线段AB 的长度23、选修4-5:不等式选讲 函数()53f x x x =--+.x 的不等式()1f x x ≥+;f ()x 的最大值为m ,假设0,0,a b >>44a b ab m e e e -⋅=,求ab 的最小值. 答案1.B2.A解析：由题可知，22()33DB CB AB AC ==-212()333AD AB BD AB AB AC AB AC =+=--=+所以22212242()()333999DB AD AB AC AB AC AB AC AB AC ⋅=-⋅+=-+⋅24232161616cos 459999=⨯-⨯+⨯⨯︒=应选A 3.D解析：(1i 4)z +=，422i 1iz ==-+. 4.A 5.C 6.C 7.A解析：335553sin 3sin 23sin 5cos 14141414ααααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=π++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,那么55tan 143απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,应选:A8.A解析：∵1(1)n n n a S S n -=->,∴1n n n S a S --=,那么21(1)n S n -=-,即2*(N )n S n n =∈, ∴22(1)21n a n n n =--=-.易知0n b >,∵2121244144222,()(1)1n n n n n n b b n b n n -++====++,当11n >+时, 1n >,∴当13n ≤<时, 1n n b b +>,当3n ≥时, 1n n b b +<,又23132,281b b ==,∴当3n =时, n b 由最小值.9.C解析：在A 中,有可能a α⊂,也可能a α⊄,故A 错;在B 中,直线,?a b 可能平行,也可能异面,故B 错;在C 中, //,a b a α⊥,那么由线面垂直的性质定理得b α⊥,故C 正确; 在D 中,直线,?a b 也可能异面,故D 错. 应选:C .在A 中,有可能a α⊂,也可能a α⊄;在B 中,直线,?a b 可能平行,也可能异面;在C 中,由线面垂直的性质定理得b α⊥;在D 中,直线,?a b 也可能异面.此题考察命题真假的判断,考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识,考察运算求解才能,是中档题. 10.B解析：由双曲线的对称性可知,,B D 关于原点对称,设()00,A x y ,()11,B x y ,()11,D x y --,01101y y k x x -=-,01201y y k x x +=+,把,A B 两点的坐标分别代入双曲线C 的方程22221x y a b -=中,并相减,整理得2220122201y y b x x a -=-.∴2220101011222201010112y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅===-+-.∴()222222a b c a ==-,∴e =. 11.C解析：由所给图像可得,该函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 所以,当1223x x π+=时, ()()12f x f x =-,即()()120f x f x +=. 12.A解析：由()xx xe f x e a =+,得()()()()()()22'x x x x x x x x x e xe e a xe e e e ax a f x e a e a ++-⋅++==++,令()x g x e ax a =++,那么()'0x g x e a =+>,那么()g x 在(),-∞+∞上为增函数,又()110g e-=>, ∴存在01x <-,使()00g x =,即()00f x '=,000x e ax a ∴++=,①函数() f x 在0(,)x -∞上为减函数,在()0,x +∞上为增函数,那么() f x 的最小值为()00001x x x e f x e a==-+,即000x x x e e a =--,②联立①②可得02x =-,把02x =-代入①,可得21a e =,应选A. 13.1152014.3,3⎡⎤-⎢⎥⎣ 15.1解析：作出约束条件30220x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域，得到如图的三角形，再作出对数函数2log y x =的图象，可得该图象与直线30x y +-=交于点(2,1)M ， 当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 到达最大值， 即m 的最大值为1 故答案为：1．作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，观察图形可得函数2log y x =的图象与直线30x y +-=交于点(2,1)，当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 到达最大值，由此即可得到m 的最大值．此题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m 的最大值，着重考察了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题 16.38解析：2,1cos 1cos p p θθ=⋅--可得1cos 3θ=,故31cos 8p AF θ==-17.1.在ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 23a =(23)(sin sin )()sin b A B c b C -=-．整理得：()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-， 利用正弦定理得：222a b c bc -=-，即：2221cos 22b c a A bc +-==，由于：0πA <<， 解得：π3A =． 2.由于π23,3a A ==， 所以：2222cos a b c bc A =+-，整理得：22122b c bc bc bc bc =+-≥-=， 所以：113sin 123322ABC S bc A =≤⋅=△． 18.1. 由得222BC BD CD += BD BC ∴⊥又,AB BC BD AB B ⊥⋂=BC ∴⊥平面ABD又CD AD ⊥,BC CD C ⋂=AD ∴⊥平面BCDAD BD ∴⊥C BD E --的大小为60.19.()()()()()()22210026203024500.649 3.8415050564477n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯ 所以没有95%的把握认为“微信控〞与“性别〞有关. 2. 3319123105105EX =⨯+⨯+⨯= 2k X 的可能取值,计算对应的概率值,即可求出X 的分布列与数学期望值.20.1.依题意,直线l 显然不平行于坐标轴,故(1)y k x =+可化为11x y k =-. 将11x y k =-代入2224x y m +=,消去 x ,得2222(14)2(1)0k y ky k m +-+-=,①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,222244(1)(14)0k k m k ∆=--+>,整理得222414k m k >+1122(,),(,)A x y B x y .由①,得122214k y y k +=+, 因为3AC CB =,得12y 3y =-,代入上式,得2214k y k -=+. 于是,△OAB 的面积11222211221442k k S OC y y y k k =⋅-==≤=+, 其中,上式取等号的条件是241k =,即12k =±. 由2214k y k -=+,可得214y =±. 将211,24k y ==-及211,24k y =-= 这两组值分别代入①,均可解出252m =.所以,△OAB 的面积获得最大值时椭圆的方程是2228155x y +=. 21.1. ()f x 定义域为()0,+∞,()1'x f x ae x =-∵2x =是()f x 极值点∴()21'202f ae =-=,∴212a e = ∴()()22111ln 1,'22x x f x e x f x e e e x =--=- 设()()21102x g x e x e x -->,那么()2211'02x g x e e x--> 所以()g x 在()0,+∞上单调递增又()22112022g e e =⨯-= 所以当()0,2x ∈时, ()0g x <即()'0f x <所以()f x 单调递减当时()2,x ∈+∞,()0g x >即()'0f x >所以()f x 单调递增 综上212a e=,()f x 的单调递增区间为()2,+∞,单调递减区间为()0,2 2.∵()f x 定义域为()0,+∞,0x e >∴()0f x ≥恒成立ln 1x x a e +⇔≥在()0,+∞恒成立 令()()ln 10xx g x x e +=>,只需()max a g x ≥ ()()()21ln 1ln 1'x x x x e x e x x x g x e e -+⋅--== 令()()1ln 10u x x x x =-->,那么()211'0u x x x=--< ∴()u x 在()0,+∞上单调递减而()10u =,∴当()0,1x ∈时, ()0u x >即()'0g x >,()g x 单调递增当()1,x ∈+∞时, ()0u x <即()'0g x <,()g x 单调递减所以()()max 11g x g e=-, ∴1a e ≥,故a 的取值范围是1,e ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦22.1.∵直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数).∴消去参数t 得直线l10y +-=,∵圆C 的极坐标方程为2sin p θ=,即22sin p p θ=,∴由222,sin p x y p y θ=+=,得圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.∵圆心()0,1在直线l 上,∴直线l 与圆C 的交点个数为21知圆心()0,1在直线l 上,∴AB 为圆C 的直径,∵圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.∴圆C的半径1r ==, ∴圆C 的直径为2,2AB ∴=23.3x ≤-时,由531x x x -++≥+,得7x ≤,所以3x ≤-;当35x -<<时,由531x x x ---≥+,得13x ≤,所以133x -<≤;当5x ≥时,由531x x x ---≥+, 得9x ≤-,无解.综上可知, 13x ≤,即不等式()1f x x ≥+的解集为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦53538x x x x --+≤---=,所以函数f ()x 的最大值8m =.应为448a b ab e e e -⋅=,所以448a b ab +=+.又0,0a b >>,所以4a b +≥=,所以有20ab -≥,0>,2>,4ab ≥,即ab 的最小值为4四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。

高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。

2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。

3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。

答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。

4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。

答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。

5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。

答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。

二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。

答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。

绝密★启用前高考模拟试题（六）数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“012<+-∈∃ax x R x ，”的否定为()01.2≥+-∈∃ax x R x A ，01.2≥+-∈∀ax x R x B ，01.2<+-∈∀ax x R x C ，01.2>+-∈∃ax x R x D ，2.抛物线x y 22=的准线方程是()1.-=x A 1.=x B 21.-=x C 21.=x D 3.若点2,2(在幂函数αx x f =)(的图像上，则=)41(f ()21.A 1.B 2.C 4.D 4.在10)(a x +的展开式中，7x 的系数为15，则=a ()21.-A 21.B 1.-C 1.D 5.已知函数4(sin 31)(2π+-=x x f ，则)(x f 的最小正周期为()2.πA π.B 23.πC π2.D 6.已知点C 在直线AB 上运动，O 为平面上任意一点，且)(4+∈+=R y x OB y OA x OC ，，则y x ⋅的最大值是()41.A 81.B 161.C 321.D 7.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为)10,,2,1(⋅⋅⋅=i a i ，且⋅⋅⋅<<21a a 10a <，若M a i 548=，则=i ()4.A 5.B 6.C 7.D 8.在ABC △中，角C B A ，，的对应边分别为c b a ，，，已知222==c b ，，且4π=C ，则ABC △的面积为()31.+A 431.+B 62.+C 462.+D 9.设椭圆1222=+y x 的右焦点是F ，右准线为L ，点L A ∈，线段AF 交C 于点F .若FB FA 3=，=()2.A 3.B 2.C 3.D 10.将函数)32sin()(π+=x x f 向右平移32π个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =与x x x ，32ππ=-=轴围成的图形面积为为()21.A 23.B 231.+C 231.-D 11.已知直三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为1，棱1BB 所在直线上的动点M 满足1BB BM λ=，AM 与侧面C C BB 11所成的角为θ，若]2,22[∈λ，则θ的取值范围是()]6,12[.ππA 4,6[.ππB 3,4[.ππC ]125,3[.ππB 12.已知x a y =（0>a 且1≠a ）是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；),(y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点，点),(111y x P 与点P 关于直线1+=x y 对称，记411-y 的所有可能取值构成集合B ，若随机地从集合B A ，中分别抽出一个元素1λ，2λ，则21λλ>的概率是()21.A 31.B 32.C 43.D 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知iibi a R b a 21711--=+∈，，(i 是虚数单位)，则=+b a ________.14.已知双曲线经过点22,1(，其一条渐近线方程为x y 2=，则该双曲线的标准方程为________.15.如框图所示，若13)(2-=x x f ，取1.0=ε，则输出的值为_______.16.已知{}]4,3[sin 2)(|上是增函数在ππ-==ax x f a M ，}013|{|1|有实数解方程=+-=--b b N x 有实数，设N M D =，且定义在R 上的奇函数mx nx x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m 的取值范围是________.三、解答题：共70分。

高三数学小练一. 选择题 1. {}{}S x x T x x x S T =+>=-+<⋂213102||，，则等于( ) A B C D R .()().()..-∞⋃+∞-，－，，2121φ2. αβ、均为锐角，cos cos αβαβ==+115CO 、，则等于( ) A B C D ....ππππππ434434323或或3. 等边∆ABC 顶点顺时针方向排列，若点A 、B 分别对应复数-+1231i 和，则顶点C 对应复数为( ) A B C D i ....-----32332234. 函数y x x =-cos 的部分图象是( )5. 一个等差数列共3n 个项，其前2n 个项之和为100，后2n 个项之和为200，那么其中间n 个项之和为( )A. 150B. 125C. 75D. 506. 以原点为顶点、椭圆C ：x y 22431+=的左准线为准线的抛物线交椭圆C 右准线于P 、Q 两点，则|PQ|等于( )A. 2B. 4C. 8D. 167. 直线y x =+cos α1的倾斜角的取值范围是( )(其中α∈R ) A B C D .[0].[0).[].[0][)，，，，，πππππππ246434-⋃8. 圆台的上、下底面半径分别为r 与R ，高为h ，且r ：R ：h ＝1：4：4，那么此圆台侧面展开图扇环的圆心角的大小等于( )A B C D ....56654554ππππ二. 填空题 9. 若抛物线的焦点为F(2，1)，准线L 的方程为20x y +=，则其顶点M 的坐标为__________。

10. 已知x ，y 为正实数，且x a a y ，，，12依次成等差数列，x b b y ，，，12依次成等比数列，那么()a a b b 12212+的取值范围是___________________。

三. 解答题11. 设数列{}a n 的前n 项和为S n ，若{}S n 是各项均为正数的等比数列，试比较a a a n n n +++212与的大小，并加以证明。

高三数学模拟试题及答案一、选择题1. 已知集合A={x | x² - 1 = 0}，则A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 若a > 0，b < 0，则a与b的和的符号为（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定答案：D3. 设函数f(x) = √(x²-2x+1)，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 在△ABC中，角A = 60°，边AC = 5cm，边BC = 4cm，则边AB 的长度为（）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm答案：C5. 某商店对现金支付的商品提供10%的折扣，小明购买了一件原价500元的商品，他需要支付多少元？（）A. 45元B. 50元C. 450元D. 500元答案：C二、计算题1. 已知函数f(x) = |x - 3| + 2，求f(5)的值。

解：当x = 5时，f(x) = |5 - 3| + 2 = 4答案：42. 解方程：3x + 5 = 2(x - 1) + 7解：展开得：3x + 5 = 2x - 2 + 7移项得：3x + 5 = 2x + 5化简得：x = 0答案：03. 已知函数f(x) = x² - 4x + 5，求f(3)的值。

解：当x = 3时，f(x) = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2答案：24. 某商品在经过两次10%的折扣后，售价为270元，求其原价。

解：设原价为x元，则经过第一次折扣后为0.9x元，经过第二次折扣后为0.9 × 0.9x元。

根据题意，0.9 × 0.9x = 270，解方程得：x = 300答案：300三、应用题1. 一辆自行车上午以每小时20公里的速度向南骑行，下午以每小时15公里的速度向北骑行。

如果来回共耗时8小时，求行程的总长度。

高考数学必考点专项第6练函数与方程习题精选一、单选题1. 函数2()=2+log ||x f x x 的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知函数若()g x 存在2个零点，则a的取值范围是( )A. [1,)-+∞B. [0,)+∞C. [1,0)-D. [1,)+∞3. 若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A. b e a <B. a e b <C. 0b a e <<D. 0a b e <<4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点个数为( )A. 0B. 2C. 4D. 65. 已知函数2()()x f x e ax x R =-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.B.C.D.6. 设a ，b R ∈，函数若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( )[6,6]-A. 1a <-，0b <B. 1a <-，0b >C. 1a >-，0b <D. 1a >-，0b > 7. 已知函数的零点为，函数()f x 的最小值为0y ，且则函数的零点个数是( )A. 3B. 4C. 3或4D. 2或38. 已知函数，若函数()()g x x f x a =⋅-的零点个数恰为2个，则( )A.2837a <<或1a =- B. 7382a <<C.7382a <<或1a =- D. 7382a <<或54a =-9. 已知函数2,0()ln ,0kx x f x x x +⎧=⎨->⎩，则下列关于[()]2y f f x =-的零点个数判别正确的是( )A. 当0k =时，有无数个零点B. 当0k <时，有3个零点C. 当0k >时，有3个零点D. 无论k 取何值，都有4个零点二、多选题10. 若关于x 的方程23--=02x x k 在(1,1)-上有实根，则( )A. k 的最大值为52B. k 的最小值为916-C. 95[-,)162k ∈D. 95(,]162k ∈-11. 已知函数，().g x kx =若方程()()f x g x =有实根，则实数k的取值可以是( )012[,),y x x ∈A.12B. 1-C. 1D. (2,+)∞上的任意一个数12. 已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中正确的是( )A. 当121122x x -<<<时，恒有12()()f x f x >B. 若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17[,]26C. 不存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D. 若关于x 的方程3[()][()]04f x f x a --=所有实数根之和为0，则34a =-13. 已知函数，若方程()0f x a -=有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围可以是( )A.B.C.D.14. 已知函数，则方程22()2()10f x f x a -+-=的根的个数可能为( )A. 2B. 6C. 5D. 4三、填空题15. 用二分法求函数()=34x f x x --的一个零点，其参考数据如下：(2,)+∞根据此数据，可得方程34=0x --的一个近似解(精确度0.01)为__________.16. 方程103x e x =-的解(,1),x k k k Z ∈+∈，则k =__________. 17. 已知()|lg |2f x x kx =--，给出下列四个结论：(1)若0k =，则()f x 有两个零点； (2)0k ∃<，使得()f x 有一个零点；(3)0k ∃<，使得()f x 有三个零点；(4)0k ∃>，使得()f x 有三个零点；以上正确结论的序号是__________. 四、解答题18. 已知二次函数2()2(,).f x x bx c b c R =++∈(1)若函数()y f x =的零点为1-和1，求实数b ，c 的值；(2)若()f x 满足(1)0f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--，(0,1)内，求实数b 的取值范围．19. 已知函数2()22(0)f x ax ax b a=-++>在区间[2,0]-上有最小值1，最大值9.(1)求a b+的值；(2)设()()f xg xx=，若不等式在区间[2,4]上恒成立，求实数k的取值范围；(3)设，若函数()F x有三个零点，求实数λ的取值范围.答案和解析1.【答案】C .【解答】解：函数2()2log ||xf x x =+的零点个数，即为函数2xy =-的图象和函数2log ||y x =的图象的交点个数，作出函数的图象如下：数形结合可得，函数2xy =-的图象和函数2log ||y x =的图象的交点个数为2. 故选.C2.【答案】A解：函数()()g x f x x a =++存在2个零点， 即关于x 的方程()f x x a =--有2个不同的实根， 即函数()f x 的图象与直线y x a =--有2个交点. 作出直线y x a =--与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1a -，解得1a -， 故选.A3.【答案】D解：函数xy e =是增函数，0xy e '=>恒成立， 函数的图象如图，0y >，即取得坐标在x 轴上方，如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线． 如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线；(,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0.a b e <<故选：.D4.【答案】D解：由，得，故，故函数是周期为4的周期函数.又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，所以，故1x =是函数()f x 的对称轴.当时，，由此画出()f x 的大致图象如下图所示，令()()10g x xf x =-=，注意到(0)0g ≠，故上述方程可化为，画出1y x=的图象， 由图可知与1y x=图象都关于点(0,0)对称，它们两个函数图象的6个交点A 与F ，B 与E ，C 与D ， 所以函数在区间[6,6]-上所有零点个数为6.故选.D5.【答案】C解：0x =时，(0)10f =≠，令2()0xf x e ax =-=，得2xe a x=，令2()x e g x x =，则问题转化为y a =与2()xe g x x=有三个交点，3(2)()xx e g x x -'=，令()0g x '=，解得2x =，()f x∴当0x <或2x >时，()0g x '>，()g x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递增，当02x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,2)单调递减，()g x 在2x =处取极小值，2(2)4e g =，作出()g x 的图象如下：要使直线y a =与曲线2()x e g x x =有三个交点，则24e a >，故实数a 的取值范围是2e (,).4+∞故选.C6.【答案】C解：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，3211()(1)32y f x ax b x a x ax ax b =--=-++-- 3211(1)32x a x b =-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0,)+∞上递增，()y f x ax b=--最多一个零点，不合题意； 当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1,),x a ∈++∞函数递增，令0y '<得[0,1),x a ∈+函数递减，函数最多有2个零点； 根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点，所以函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0,)+∞上有2个零点， 如右图：01ba∴<-且，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+，31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<，故选：.C7.【答案】D解：如图所示，函数2()(0)f x ax bx c a =++>的零点为1x ，212()x x x <，令2()0f x ax bx c =++=， 240.b ac ∴∆=->由2(())()()0f f x af x bf x c =++=，0∆>，1()f x x ∴=或2().f x x =函数()f x 的最小值为0y ，且012[,),y x x ∈画出直线2y x =，1.y x =则直线2.y x =与()y f x =必有两个交点，此时2().f x x =有2个实数根，即函数(())y f f x =有两个零点．直线1y x =与()y f x =可能有一个交点或无交点，此时1()f x x =有一个实数根2b x a=-或无实数根． 综上可知：函数(())y f f x =的零点有2个或3个．故选.D8.【答案】D解：如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意;当0x ≠时，令()0g x =，得()a f x x =， ()g x 零点个数为2个，则函数()f x 与a y x =有两个交点. 易知0a =不符合题意.若0a >，则满足，可得73;82a << 若0a <，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，故，此时无解；或，解得54a =- 综上，a 的取值范围内为7382a <<或5.4a =- 故选.D9.【答案】A解：设()f x t =，对于A ，当0k =时，函数()f x 对应的图象如下图：当0t 时，由()2f t =得22=此时方程恒成立了，即[()]2y f f x =-有无数个零点，故A 正确，D 错误．对于B ，当0k <时，对应的图象如下图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得2(0,1)t e -=∈，当0t 时，由()2f t =得0t =，由2()(0,1)t f x e -==∈，此时x 有一个解，由()0t f x ==，此时x 有一个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为2个，故B 错误， C .当0k >时，对应的图象如下图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得2(0,1)t e -=∈，当0t 时，由()2f t =得0t =，由2()(0,1)t f x e -==∈，此时x 有2个解，由()0t f x ==，此时x 有2个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为4个，故C 错误，故选.A10.【答案】BC 解：22339()2416k x x x =-=--，(1,1)x ∈-， 函数239()416y x =--的图象开口向上，对称轴为34x =， 当34x =时，min 916y =-，当1x =-时，max 52y =， (1,1)x ∈-，95[,).162k ∴∈- 故选.BC11.【答案】ACD解：由题意，可得函数()f x 的图象和函数()g x 的图象有交点，如图所示：(2,1)A ，12OA k =， ∴函数()f x 的图象和函数()g x 的图象有交点，数形结合可得12k或1k <-， 故选.ACD12.【答案】BC解：根据定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩， 如图所示：对于A ：当121122x x -<<<时，根据函数的图象12()()f x f x >不一定成立，故A 错误； 对于B ：当(0,]x m ∈时，要使()f x 的最小值为34，令13214x =-，解得76x =，故m 的取值范围为17[,]26，故B 正确；对于C ：令()f x kx =，故21x x kx -+=，整理得2(1)10x k x -++=，由于2(1)40k =+->，解得1k >，或3(k <-舍)若0k <，则当(0,1]x ∈时，0()()0y kx f x F x =<<⇒>，故3k <-舍去.又当1k >时，设1x 是方程()0F x =的较大根11x =>= 故1k >也不合题意.考虑y kx =与21y x x =-+有一个交点与121y x =-也有一个交点的情况， 因为y kx =与21y x x =-+有一个交点，故22(1)4230k k k ∆=+-=+-=，解得1k =或3(k =-舍)又当(0,)x ∈+∞时，y x =与121y x =-只有一个交点(1,1)，与y x =和21y x x =-+的交点重合综上所述不存在实数k ，使得()F x 有5个不相等的零点， C 正确;对于D ：3()04f x -=，解得112x =，276x =，所以1253x x +=， 令53x =-，则553()()337f f -=-=- 由于当23133[1,0),()()4247x f x x ∈-=---<-<-故37a =-也满足题意，D 不正确。

2021年高考数学模拟训练卷 (6)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|y=ln(x−2)}，则A∩B等于()A. {x|2≤x<3}B. {x|2<x≤3}C. {x|1≤x<2}D. {x|1≤x≤2}2.求z=2(1+i)2的值为()A. −iB. iC. i2D. −i23.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为()A. √32B. √3C. 2D. 44.若sinα=−13，则cos2α=()A. 89B. 79C. −79D. −895.(x2+2)(x−1x)6的展开式中常数项为()A. −40B. −25C. 25D. 556.函数y=e|x|4x的图象可能是()A. B.C. D.7.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使ΔAPB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=()．A. 12B. 14C. √32D. √748. 圆x 2+y 2+4x −4y =0和圆x 2+y 2+2x −8=0相交于M ，N 两点，则|MN|= ( )A. 4B. 3√55C. 12√55D. 6√559. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2−c 2=b ，且sin(A −C)=2cosAsinC ，则b =( )A. 6B. 4C. 2D. 110. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点都在球O 上，且AB =4，AA 1=6，∠ACB =30°，则此直三棱柱的外接球O 的表面积是( )A. 25πB. 50πC. 100πD.500π311. 己知A 、F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，点D 在C 上，△AFD 是等腰直角三角形，且∠AFD =90°，则C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √2+112. 已知函数f(x)=(x −m)2+(ae x −3m)2(m ∈R)的最小值为910，则正实数a =( )A. 3B. 3e −2C. 3e 2D. 3或3e −2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k , 12)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4 , 5)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10 , k)，则k = ______ 时，点A ，B ，C 共线． 14. 若x ，y 满足{x ≥1y ≥−1x +y ≥3，则z =x +2y 的最小值为______．15. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则，f(0)=______．16. 已知直线y =x +b(b ≠0)与抛物线y =12x 2交于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点．若OA ⊥OB ，则实数b 的值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且满足a n+1=S n+2n+1(n∈N∗).}为等差数列；(Ⅰ)证明数列{S n2n(Ⅱ)求S1+S2+⋯+S n．18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每千克20元，成本为每千克15元，销售宗旨是当天进货当天销售，如果当天卖不完，那么未售出的部分全部处理，平均每千克损失3元．根据以往的市场调查，将市场日需求量(单位：千克)按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550)进行分组，得到如图的频率分布直方图．(Ⅰ)未来连续三天内，连续两天该种鲜鱼的日需求量不低于350千克，而另一天的日需求量低于350千克的概率；(Ⅱ)在频率分布直方图的日需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值，并以日需求量落入该区间的频率作为日需求量取该区间中点值的概率．若经销商每日进货400千克，记经销商每日利润为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD =√2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ，AB ⊥AD ，AD =2AB =2BC =2，O 为AD 中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值.20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，设A(0,b)，B(a,0)，F 1，F 2，分别是椭圆的左右焦点，且S △ABF 2=√32(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线与以F 2为焦点，顶点在坐标原点的抛物线交于P ，Q 两点，设F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若λ∈[2,3]，求△F 2PQ 面积的取值范围．21.已知函数f(x)=13x3−x2+ax(其中a为常数)．(1)若x=−1是f(x)的极值点，求函数f(x)的减区间；(2)若f(x)在(−2,+∞)上是增函数，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|2x−a|+|2x+3|，g(x)=|3x−2|．(1)解不等式g(x)<|2x+1|；(2)若对任意的x1∈R，任意的x2∈[0,1]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵B={x|y=ln(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，∴A∩B={x|2<x≤3}，故选：B根据集合的交集运算进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：解：z=2(1+i)2=22i=1i=−i−i2=−i，则z的值为：−i．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：B解析：解：由三视图还原原几何体如图，原几何体是正三棱柱，底面边长为2，高为1．∴底面积为S=√3，体积V=√3×1=√3．故选：B．由三视图还原原几何体，可知原几何体是正三棱柱，底面边长为2，高为1，然后由棱柱体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．4.答案：B解析：本题考查了二倍角公式的应用，利用公式可以将所求cos2α应用已知的sinα表示，属于基础题型．解：sinα=−13,cos2α=1−2sin2α=1−2×(−13)2=79.故选B．5.答案：B解析：本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用展开式的通项公式即可得出．解：因为(x−1x )6的展开式的通项公式为：T r+1=C6r x6−r(−1x)r=(−1)r C6r x6−2r，所以(x2+2)(x−1x)6的展开式中常数项为：x2(−1)4C64x−2+2×(−1)3C63x0=15−40=−25．故选B．6.答案：C解析：解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=e4<1，排除A；当x→+∞时，e|x|4x→+∞，排除D．故选：C．判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值和极限思想进行排除．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及利用排除法是解决本题的关键．7.答案：D解析：如图所示，设CD上的P1，P2两点刚好满足P1B=P2A=AB，那么，当P在P1P2之间时，就满足“ΔAPB的最大边是AB”，根据几何概型P1P2=12CD，DP1=14CD，设CD=4，AD=x，则DP2=3⇒AP 2=√7=AB ，故选D ．8.答案：C解析：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质以及弦长的计算，属于中档题． 首先求出直线MN ，根据弦心距和半径和弦长之间的关系求出|MN |解：∵两圆的方程分别为x 2+y 2+4x −4y =0，x 2+y 2+2x −8=0，两式相减可得x −2y +4=0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x −2y +4=0．∵圆x 2+y 2+4x −4y =0的圆心坐标为(−2,2)，半径为2√2， ∴圆心到公共弦的距离，∴|MN|=2√(2√2)2−(2√55)2=12√55，故选C ．9.答案：C解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．由条件利用正弦定理和余弦定理求得2(a 2−c 2)=b 2，再根据已知条件，求得b 的值． 解：在△ABC 中，∵sin(A −C)=sinAcosC −cosAsinC =2cosAsinC ， ∴sinAcosC =3cosAsinC ， ∴a ⋅a 2+b 2−c 22ab=3c ⋅b 2+c 2−a 22bc，∴2(a 2−c 2)=b 2．又已知a 2−c 2=b ，∴b =2， 故选：C ．10.答案：C解析：本题考查球的表面积公式，利用正弦定理求三角形外接圆半径，属于基础题．首先利用三棱柱和球的关系求出球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．解：根据直三棱柱ABC−A1B1C1的顶点都在球O上，且AB=4，AA1=6，∠ACB=30°，在△ABC中，ABsin30∘=8=d(d为△ABC外接圆的直径)，设外接球的半径为R，所以R=√(d2)2+(AA12)2=5，所以S球=4π⋅52=100π，故选：C．11.答案：C解析：解：由题意，|AF|=|DF|∴c+a=b2a，∴e2−e−2=0，∵e>1，∴e=2，故选：C．由题意，|AF|=|DF|，可得c+a=b2a，即可求出C的离心率．本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．12.答案：A解析：解：(x−m)2+(ae x−3m)2表示点A(x,ae x)与点B(m,3m)的距离的平方，点A在曲线y=ae x上，点B在曲线y=3x上，如图，可得a>0，设与y=3x平行的直线与曲线y=ae x相切于点P(x0,ae x0).∵y′=ae x，∴ae x0=3，…①。

高考小题分项练6 平面向量1．已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b |＝________.答案3解析 ∵a ⊥(a －2b )，∴a·(a －2b )＝0， ∴a·b ＝12a 2＝12，∴|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝12＋2×12＋12＝ 3.2．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为______． 答案 23解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23.3．平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且AB ＝2，若点P (2，5)，则|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围是______． 答案 [7,11]解析 设A (a,0)，B (0，b )，a 2＋b 2＝4， AP →＝(2－a ，5)，BP →＝(2，5－b )，|AP →＋BP →＋OP →|＝|(6－a,35－b )| ＝85－62a ＋5b，令c ＝2a ＋5b ，a ＝c 2－5b 2代入a 2＋b 2＝4，得(c 2－5b 2)2＋b 2＝4， 化简得94b 2－52cb ＋c24－4＝0，Δ＝5c 24－4×94×(c24－4)≥0，解得－6≤c ≤6，则|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围是[7,11]．4．已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足AB →·AD →＋AC →·AD →＝BC →2，则|BC →|＝________. 答案 2解析 因为AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝π2，所以AB →·AD →＝AB →2，AC →·AD →＝AC →2， 所以AB →2＋AC →2＝BC →2，即∠BAC ＝π2，BC 是直径，所以|BC →|＝2.5．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为________．答案 －4解析 如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴， 则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n＝________.答案 －3解析 如图，作AE ∥DC ，交BC 于点E ，则ADCE 为平行四边形，EA →＝CD →＝mBA →＋nBC →，又EA →＝EB →＋BA →＝BA →－13BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13，故mn＝－3.7．在Rt△ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为________． 答案 [4,6]解析 以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,3)，∴AB 所在直线的方程为：x 3＋y3＝1，则y ＝3－x .设N (a,3－a )，M (b,3－b )， 且0≤a ≤3,0≤b ≤3，不妨设a >b ， ∵MN ＝2，∴(a －b )2＋(b －a )2＝2， ∴a －b ＝1，∴a ＝b ＋1，∴0≤b ≤2， ∴CM →·CN →＝(b,3－b )·(a,3－a ) ＝2ab －3(a ＋b )＋9＝2(b 2－2b ＋3) ＝2(b －1)2＋4,0≤b ≤2， ∴当b ＝0或b ＝2时有最大值6； 当b ＝1时有最小值4. ∴CM →·CN →的取值范围为[4,6]．8．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．答案5π6解析 若m ∥n ，则(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理可得：(a ＋b )(b －a )－c (3a ＋c )＝0，化为a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32.∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6.9．已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(2,1)，α∈(－π2，π2)，若m·n ＝1，则sin(2α＋3π2)＝________. 答案 －725解析 m·n ＝2cos α＋sin α＝1，sin α＝1－2cos α， 由sin 2α＋cos 2α＝1，得(1－2cos α)2＋cos 2α＝1， 即5cos 2α－4cos α＋1＝1， 又α∈(－π2，π2)，解得cos α＝45.sin(2α＋3π2)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－725.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，3b )，n ＝(sin B ，cos A )，m ⊥n ，b ＝2，a ＝7，则△ABC 的面积为______．答案32解析 ∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，3b )，n ＝(sin B ，cos A )，m ⊥n ，b ＝2，a ＝7，∴m·n ＝a sin B ＋3b cos A ＝7sin B ＋23cos A ＝0， ∴sin B ＝－23cos A7，由正弦定理得7sin A ＝2－23cos A7，整理得sin A ＝－3cos A ，∴sin 2A ＋cos 2A ＝4cos 2A ＝1，cos A <0，∴cos A ＝－12.∵0<A <π，∴sin A ＝32，A ＝2π3.∴sin B ＝37，cos B ＝1－372＝27，∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B＝32×27－12×37＝327， ∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C＝12×7×2×327＝32. 11．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝________. 答案 94解析 ∵BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →， ∴AC →2－BD →2＝4AD →·AB →＝4BC →·AB →， 则AB →·BC →＝AC →2－BD →24＝|AC →|2－|BD →|24＝94.12．平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝1，AD ＝2，P 为平行四边形内一点，且AP ＝22，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋2u 的最大值为________． 答案63解析 设∠PAB ＝θ，θ∈(0°，60°)， 则由正弦定理得：22sin 120°＝λsin 60°－θ＝2μsin θ，因此λ＋2μ＝63sin(θ＋60°)≤63，当且仅当θ＝30°时取等号． 13．设向量AB →＝(－1，－3)，BC →＝(2sin θ，2)，若A ，B ，C 三点共线，则cos 2θ＝________. 答案 79解析 向量AB →＝(－1，－3)，BC →＝(2sin θ，2)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴－6sin θ＝－2，∴sin θ＝13，∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79.14．在△ABC 中，AB ＝463，cos B ＝66，点D 在边AC 上，BD ＝5，且BD →＝λ(BA →|BA →|sin A＋BC→|BC →|sinC ) (λ>0)，则sin A 的值为________．答案7014解析 如图，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，取AC 中点F ，连结BF ，则BD →＝λ(BA →|BA →|sin A＋BC→|BC →|sin C) (λ>0)＝λ(BA→|BE →|＋BC→|BE →|)＝2λBF→|BE →|，∴BD →和BF →共线，∴点D 和点F 重合， ∴D 是AC 的中点．∵BD →＝12(BA →＋BC →)，∴|BD →|2＝14(|BA →|2＋|BC →|2＋2BA →·BC →)＝|BC →|24＋23|BC →|＋83＝5.又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ， 即AC 2＝323＋BC 2－863·BC ·66，解方程可得BC ＝2，AC ＝2213，由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，且sin B ＝1－cos 2B ＝1－16＝306， 可得sin A ＝BC ·sin B AC ＝2×3062213＝7014.。

备战2023年高考名师预测模拟卷（6）一．填空题（共12小题）1．三阶行列式374|156|200的值为 ．2．已知集合(,2)A =-∞，则A N = ．3．与角136π终边相同的最小正角的大小是 ． 4．若O 为坐标原点，点(4,0)A 、(4,4)B 、(2,6)C ，则直线AC 与OB 交点P 的坐标为 ． 5．某次体检测得6位同学的身高分别为172、178、175、180、169、177（单位：厘米），则他们身高的中位数是 （厘米）．6．在ABC ∆中，已知60C =︒，b ，3c =，则B = 度．7．从3个函数：13y x -=，2y x =和y x =中任取2个，其函数相乘所得函数在区间(,0)-∞内单调递增的概率是 ．8．已知1(2,0)F -、2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12||||PF PF ⋅= ．9．6()x y z +-的展开式中，23xy z 的系数是 ．10．已知k R ∈，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为 ． 11．已知实数0a >，函数2()1xf x ax =+，()g x x a =+，若对任意1[2x a ∈-，2]a ，总存在2[2x a ∈-，2]a ，使得21()()f x g x ，则a 的最大值为 ．12．已知边长为2的正方形ABCD 边上有两点P 、Q ，满足||1PQ ，设O 是正方形的中心，则OP OQ ⋅的取值范围是 ． 二．选择题（共4小题）13．已知复数223(1)z a a a i =-+-，a R ∈，则“0a =”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知()f x =，x D ∈有反函数1()f x -=x A ∈，则()f x 的定义域D 可能是( ) A ．13[,]22-B ．1[,0]2-C ．3[0,]2D ．[3-，3]15．若无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则2a 的取值范围是( ) A ．(0,8)B ．(0，4)(4⋃，8)C ．(8-，0)(0⋃，1)D ．(8-，0)(0⋃，1]16．设D 是(0,)+∞的一个子集，称函数()()y f x x D =∈为“机智”的，若存在奇函数()y g x =，使得()()10g lgx f x =，有两个命题：①若对任意x D ∈，都成立1D x ∈，11()()f x f x =，则()y f x =是“机智”的；②若对任意1,x D x∈，都成立11()()f x f x =，则()y f x =是“机智”的．则下列判断正确的是( ) A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①、②都是假命题 D ．①、②都是真命题三．解答题（共5小题）17．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，190ACB BCC ∠=∠=︒，四边形11ACC A 是菱形，1120ACC ∠=︒．（1）证明：11AC AB ⊥； （2）若2AC =，求点1C 到平面11ABB A 的距离．18．已知212()log (610)f x x x =-+．（1）解不等式：()1f x -；（2）若()y f x =在区间[a ，1]a +上的最小值为2-，求实数a 的值．19．某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由两节圆管组成，且两节圆管是形状、大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图1所示（单位：)cm ，将其中一个斜截园柱的侧面沿1AA 剪开并摊平，可以证明由截口展开而成的曲线11A BCDA 是函数()cos()()f x M x M x ππωωω=+-的图象，其中0M >，0ω>，如图2所示．（1）若5a =，13b =，45α=︒，求()y f x =的解析式； （2）已知函数()y f x =的图象与x 轴围成区域的面积可由公式2S M πω=计算，若制作该种类弯管的一节圆管所用材料面积（即斜截圆柱的侧面积）等于与之底面相同且高为acm 的圆柱的面积，求α的值（结果精确到0.01)︒．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线22:13612y xC-=有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为（1）求椭圆E的方程；（2）若过点(0,)P m存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围．21．已知R λ∈，一个项数为N 的有穷实数列{}(3)k a N 称为“J λ数列”，若其满足下列三个条件：①12a a <，1N N a a ->；②当11k N -时，1k k a a +≠；③当11k N -时，21111,,k k k k k kk k k a a a a a a a a a λλ+++-++<⎧=⎨->⎩．（1）若存在λ使得数列1、x 、2为“J λ数列”，求x 的值； （2）已知存在有穷等比数列为“J λ数列”，求实数λ的取值范围；（3）设{}k a 是各项均为正整数的1121+项数列，17a =，11219a +=，且当010k 时，以21k j j b a ⋅+=为通项的数列11{}(02k j b j -，)j N ∈都是“1J 数列”，求数列k a 最大项的值．。

2023年高考数学模拟试题(六)参考答案 一㊁选择题1.A 提示:z =(1+i)33-i=-2+2i3-i=(-2+2i )(3+i )(3-i )(3+i)=-1-32-1-32i,所以z =-1-322+1-322=2㊂2.C 提示:由x >0,l o g 2x +1ȡ0,得x ȡ12,故集合A =12,+ɕ,所以0<12xɤ22,即集合B =0,22,故A ɘB =12,22㊂3.B 提示:由题意得2c o s θ=-s i n θ,所以t a n θ=-2,而s i n 3θ+2c o s 3θs i n (π+θ)=s i n 3θ+2c o s 3θ-s i n θ=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n θ(s i n 2θ+c o s 2θ)=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n 3θ+s i n θc o s 2θ=-t a n 3θ+2t a n 3θ+t a n θ=-35㊂4.D 提示:由题意知2a n =a n -1+a n +1(n ȡ2),所以数列{a n }是首项为1,公差为94-1=12的等差数列,故a 9=1+8ˑ12=5,所以a 9=25㊂5.C 提示:在区间-π,π2上满足c o s X ɤ12的X 只能在区间-π,-π3ɣπ3,π2内,所以P (X ɤ2)=59㊂6.D 提示:当i =1时,S =10;当S =9时,i =2;当S =7时,i =3;当S =4时,满足题意,所以n 的最小值为5㊂7.B 提示:设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r ,由S =π(r +3r )ˑ4=162π,可得r =2,所以圆台的高h =42-(22)2=22,所以圆台的体积为13ˑ22πˑ[(2)2+(32)2+2ˑ32]=522π3㊂8.A 提示:A 77A 22A 22A 33=210㊂9.D 提示:f (2x )=2x 2x =4x ㊃x =4f (x ),从而f (x 2-1)ȡ4f (-1-a x )⇔f (x 2-1)ȡf (-2-2a x )㊂当x >0时,f (x )=x x =x 2在[0,+ɕ)上单调递增,而f (x )为奇函数,所以f (x )在R 上单调递增㊂所以x 2-1ȡ-2-2ax 在R 上恒成立,即x 2+2a x +1ȡ0恒成立,所以Δ=4a 2-4ɤ0,解得-1ɤa ɤ1,故a 的取值范围为[-1,1]㊂图110.A 提示:将三视图还原得到三棱锥D A B C ,如图1所示,其中A B =B C =1,A D =C D =2,R =B D 2=32,所以V =43πR 3=3π2㊂11.C 提示:由双曲线m x 2-n y 2=1得渐近线方程为mnx ʃy =0,则圆心(1,0)到渐近线的距离为m n 1+m n =43-1,解得n =2m ,所以m +1n +1=m +12m +1=m+12+12m +12-12ȡ2m +12㊃12m +12-12=2-12,当且仅当2m +122=1,即m =2-12时,等号成立㊂12.B 提示:要使øA O B 最大,则A ,B两点必须在分段函数的不同部分上,不妨设A (x 1,x 1ex 1-1+1),B (x 2,y 2)(其中x 1>0,图2-1ɤx 2ɤ0),如图2,当øA O B最大时,直线O A 与y =x e x -1+1相切且A 为切点,此时有y '=(x +1)e x -1,从而k O A =x 1e x 1-1+1x 1=(x 1+1)ex 1-1,化简得x 21ex 1-1-1=0(x 1>0),令h (x )=x 2e x -1-1(x >0),易得h (x )在(0,+ɕ)上为增函数且h (1)=1,所以x 1=1,所以k O A =2;当-1ɤx ɤ0时,y =10-1-x 2,变形得x 2+(y -10)2=1(-1ɤx ɤ0,y ɤ10),则øA O B 最大时,直线O B 与圆相切,设此时直线O B 的方程为y =k x (k <0),则由0-101+k2=1得k O B =-3,所以t a n øA O B =k O B -k O A1+k O A k O B=1,故øA O B =π4㊂二㊁填空题13.3316提示:将A (1,2)代入y =a x 2,得a =4,所以抛物线C :x 2=14y ,焦点F 的坐标为0,116,准线方程为y =-116,由抛物线的定义得A F =2+116=3316㊂14.π4提示:10=2a -b =(2a -b )2=4a 2-4a ㊃b +b2=4-4㊃32c o s θ+18,解得c o s θ=22,因为θɪ[0,π],所以θ=π4㊂15.11π6 提示:由题意知π6--π3=T 4(2k +1)=π2ω(2k +1),解得ω=2k +1(k ɪZ ),由8π15ɤT 2=πω,得0<ωɤ158,所以ω=1,由f π6=0,得π6+φ=2k 1π,所以φ=2k 1π-π6(k 1ɪZ ),故φm i n =11π6㊂16.-23n -29(-2)n+29 提示:由a n +1-1=a 2n +a n -1-2a na n -1-1-1,得a n +1-1=(a n -1)2a n -1-1,所以(a n +1-1)(a n -1-1)=(a n -1)2,故{a n -1}是首项为2,公比为q 的等比数列,且a 6-1=-64=2q 5,则q =-2,所以a n -1=2(-2)n -1㊂令b n =n (a n -1),则b n =2n (-2)n -1㊂故T n =2(-2)0+4(-2)1+ +2(n -1)(-2)n -2+2n (-2)n -1;-2T n =2(-2)1+4(-2)2+ +2(n -1)(-2)n -1+2n (-2)n㊂两式相减得3T n =2(-2)0-2n (-2)n+2[(-2)1+ +(-2)n -1],化简得T n =-23n -29(-2)n+29㊂三㊁解答题17.由题得f (x )=(s i n 2ωx -c o s 2ωx )㊃(s i n 2ωx +c o s 2ωx )+23s i n ωx c o s ωx +1=s i n 2ωx -c o s 2ωx +23s i n ωx c o s ωx +1=3s i n 2ωx -c o s 2ωx +1=2s i n 2ωx -π6+1㊂所以T =2π2ω=π,所以ω=1,故f (x )=2s i n 2x -π6+1㊂由2x -π6=k π,得x =k π2+π12(k ɪZ ),故f (x )的对称中心为k π2+π12,1(k ɪZ )㊂(2)由f (A )=2s i n 2A -π6 +1=3,得s i n 2A -π6 =1,而0<A <π,故A =π3㊂由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即1=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,所以b c ɤ1,当且仅当b =c 时等号成立㊂S әA B C =12b c s i n A ɤ12㊃1㊃32=34,故әA B C 面积的最大值为34㊂18.(1)甲㊁乙两生产车间的茎叶图如图3所示㊂以下四个结论中选两个即可:图3①乙车间生产的药品的平均重量大于甲车间生产的药品的平均重量㊂②甲车间生产的药品的重量较乙车间生产的药品的重量更分散(或:乙车间生产的药品的重量较甲车间生产的药品的重量更集中(稳定))㊂③甲车间生产的药品的重量的中位数是134毫克;乙车间生产的药品的重量的中位数是140毫克㊂④甲车间生产的药品的重量的众数是119毫克;乙车间生产的药品的重量的众数是140毫克㊂(2)由题意知一件药品合格的概率为1050=15,故X ~B 3,15,X 的所有可能取值为0,1,2,3㊂P (X =0)=C 03㊃453=64125;P (X =1)=C 13㊃15㊃45 2=48125;P (X =2)=C 23㊃15 2㊃45=12125;P (X =3)=C 33㊃15 3=1125㊂故X 分布列为表1:表1X 0123P6412548125121251125所以E (X )=3ˑ15=35,D (X )=3ˑ15ˑ45=1225㊂19.(1)在面A B C D 内分别作B E ʅA D于E ,B F ʅC D 于F ㊂因为面D A A 1D 1ʅ面A B C D 且交于A D ,所以B E ʅ面D A A 1D 1,故B E ʅD D 1㊂同理得D D 1ʅB F ㊂而B E ɘB F =B ,所以D D 1ʅ面A BCD ㊂(2)由题意知A B 2=A D 2+B D 2,所以D A ʅD B ㊂由(1)知D D 1ʅ面A B C D ,所以D A ,D B ,D D 1两两垂直㊂以D 为坐标原点,图4D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系D -x yz ,设B D =1,则D (0,0,0),B (0,1,0),M 1,0,22,C 1(-1,1,2),所以B C 1ң=(-1,0,2),B D ң=(0,-1,0),B M ң=1,-1,22㊂设面B C 1M 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃B C 1ң=-x 1+2z 1=0,m ㊃B M ң=x 1-y 1+22z 1=0,可取m =(2,3,2)㊂同理可得面B C 1D 的一个法向量为n =(2,0,1),所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=105,故二面角M -B C 1-D 的正弦值为155㊂20.设直线A B 的直线为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +m 代入x 2+3y 2=3,得4x 2+6m x +3(m 2-1)=0,Δ=12(4-m 2)>0,得0ɤm 2<4,由韦达定理得x 1+x 2=-32m ,x 1x 2=3(m 2-1)4㊂由弦长公式得A B =1+12㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=62㊃4-m 2ɤ6,当m =0时,|A B |取得最大值6㊂(2)由题意知直线C D 的斜率必存在,设直线C D 的方程为y =k x +n ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线P C 的斜率为k P C =y 3x 3+2,则直线P C 的方程为x =x 3+2y 3㊃y -2,将其代入x 2+3y 2=3,得x 3+2y 3㊃y -2 2+3y 2-3=0,即(4x 3+7)y 2-4y 3(x 3+2)y +y 23=0,所以y A y 3=y 234x 3+7,则y A =y 34x 3+7,x A =x 3+2y 3㊃y A -2=-7x 3-124x 3+7=-74+14(4x 3+7),故A-74+14(4x 3+7),y 34x 3+7㊂同理B -74+14(4x 4+7),y 44x 4+7㊂故k A B=y 34x 3+7-y 44x 4+714(4x 3+7)-14(4x 4+7)=4y 3(4x 4+7)-4y 4(4x 3+7)(4x 4+7)-(4x 3+7)=(k x 3+n )(4x 4+7)-(k x 4+n )(4x 3+7)x 4-x 3=(4n -7k )(x 4-x 3)x 4-x 3=4n -7k =1,所以n =74k +14,所以直线C D 的方程为y =k ㊃x +74+14,故直线C D 过定点-74,14 ㊂21.(1)当a =1时,f (0)=0,f'(x )=e x-1c o s 2x,所以f '(0)=0,故所求切线方程为y =0㊂(2)注意到f (0)=0,f '(x )=e x-a c o s 2x=e xc o s 2x -a c o s 2x,令h (x )=e x c o s 2x -a -π2<x <π2,当a ɤ0时,h (x )ȡ0,所以f (x )在-π2,π2上单调递增,而f (0)=0,所以f (x )在-π2,π2上只有一个零点,不符合题意(舍去)㊂当a >0时,h '(x )=e xc o s 2x -2e x㊃s i n x c o s x =e xc o s 2x (1-2t a n x ),由h '(x )>0得-π2<x <x 0;由h '(x )<0得x 0<x<π2,其中0<x 0<π2且t a n x 0=12㊂故h (x )在-π2,x 0上单调递增,在x 0,π2上单调递减㊂而h -π2 =hπ2 <0,所以h (x 0)一定大于0,即0<a <e x 0c o s 2x 0=45e x其中45e x>1㊂所以∃x 1ɪ-π2,x 0,∃x 2ɪx 0,π2 ,使得h (x 1)=h (x 2)=0,且f (x )在-π2,x 1上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在x 2,π2 上单调递减㊂而当x ң-π2时,f (x )ң+ɕ;当x ңπ2时,f (x )ң-ɕ㊂又f (0)=0,所以0ɪ(x 1,x 2),故f '(0)=1-a >0,所以0<a <1㊂22.(1)直线l 的普通方程为y =3x ,故极坐标方程为θ=π3(ρɪR )㊂曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=9,即x 2+y 2-4x -5=0,故曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0㊂(2)将θ=π3代入ρ2-4ρc o s θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,ρA ㊁B =1ʃ6,所以A B =ρA -ρB =26㊂由题知点P 的直角坐标为(3,1),所以点P 到直线l 的距离d =3㊃3-12=1㊂故S әP A B =12A B ㊃d =12㊃26㊃1=6㊂23.(1)f (x )=x -1+x +5+x +5ȡ(x -1)-(x +5)+x +5=6+x +5ȡ6,当且仅当x =-5时取等号,所以f (x )的最小值为6,故m =6㊂(2)由(1)知a +3b +2c =6,即(a +2b +1)+(b +2c )=5,所以1a +2b +1+4b +2c =15[(a +2b +1)+(b +2c )]㊃1a +2b +1+4b +2c=15㊃5+4(a +2b +1)b +2c +b +2c a +2b +1 ȡ15㊃5+24(a +2b +1)b +2c ㊃b +2c a +2b +1=95㊂(责任编辑 王福华)。

新课改高三高考数学小题专项仿真模拟训练一(含答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是（ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556 B.－6556 C.－6516 D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ）A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B 二、13.（21，1） 14.6 15. 21新课改高考数学小题专项仿真模拟训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2－312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203 B ． 103C ．201 D ． 101EFDOC BA5．抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（）A.（3，0）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a，b），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（）A.（a，－b）B.（－a，b）C.（b，－a）D.（－b，－a）7. 如果S=｛x｜x=2n+1,n∈Z｝,T=｛x｜x=4n±1,n∈Z｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种 B．48种 C．72种 D．96种9．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则α∥β;(3)若α⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)。

卜人入州八九几市潮王学校2021年康杰高考数学模拟试卷〔理科〕〔6〕一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，总分值是60分〕1．，那么有〔〕A．M∩N=N B．M∩N=M C．M∪N=N D．M∪N=R2．复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，那么复数z的虚部为〔〕A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．α为锐角，假设sin〔α﹣〕=，那么cos〔α﹣〕=〔〕A．B．C．D．p1：函数y=a x+x〔a＞0，且a≠1〕在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β〔k∈Z〕．〕A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p35．假设双曲线x2﹣=1〔b＞0〕的一条渐近线与圆x2+〔y﹣2〕2=1至多有一个交点，那么双曲线离心率的取值范围是〔〕A．〔1，2] B．[2，+∞〕C．〔1，] D．[，+∞〕6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，假设S10：S5=1：2，那么S15：S5=〔〕A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：37．非零向量、满足|+|=|﹣|=||，那么+与﹣的夹角为〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°8．执行如下列图的程序框图，假设输出的结果是10，那么判断框内m的取值范围是〔〕A．〔56，72] B．〔72，90] C．〔90，110] D．〔56，90〕9．某多面体的三视图如下列图，那么该多面体的体积为〔〕A．2 B．C．D．410．不等式组〔a＞0〕表示的平面区域的面积为，那么a=〔〕A．B．3 C．D．211．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．假设|AF|=3，那么△AOB的面积为〔〕A．B．C． D．212．函数f〔x〕=，函数g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕，其中b∈R，假设函数y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4个零点，那么b的取值范围是〔〕A．〔，+∞〕 B．〔﹣∞，〕C．〔0，〕D．〔，2〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．〕13．在区间〔0，4〕，上任取一实数x，那么2＜2x﹣1＜4的概率是．14．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，那么异面直线AC 与BD所成的角为．15．设函数y=f〔x〕的定义域为D，假设对于任意x1，x2∈D，满足x1+x2=2a时，恒有f〔x1〕+f〔x2〕=2b，那么称点Q为函数y〔x〕=f〔x〕图象的对称中心，研究并利用函数f〔x〕=x3﹣3x2﹣sin〔πx〕的对称中心，可得f〔〕+f〔〕+…+f〔〕=．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，假设|+|=3，那么的最小值为．三、解答题：〔本大题一一共5小题，一共70分．解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．〕17．等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．〔Ⅰ〕求等差数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕假设a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．18．微信是现代生活进展信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进展了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间是在两小时以上的人被定义为“微信达人〞，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人〞，己知“非微信达人〞与“微信达人〞人数比恰为3：2．〔1〕确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；〔2〕为进一步理解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人〞和“非微信达人〞60人中用分层抽样的方法确定10人，假设需从这10人中随积选取3人进展问卷调查，设选取的3人中“微信达人〞的人数为X，求X的分布列和数学期望．频数频率使用微信时间是〔单位：小时〕] 3〔0.5，1] x p] 9〔，2] 15] 18〔，3] y q合计6019．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．〔Ⅰ〕在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；〔Ⅱ〕求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．动点M到定点F〔1，0〕和定直线x=4的间隔之比为，设动点M的轨迹为曲线C．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P〔与点F 不重合〕，使得∠APF=∠BPF，假设存在，求出P点坐标；假设不存在，说明理由．21．函数f〔x〕=lnx+．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕有零点，务实数a的取值范围；〔Ⅱ〕证明：当a≥，b＞1时，f〔lnb〕＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．〔Ⅰ〕将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；〔Ⅱ〕过点P〔2，0〕作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣a|．〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕≤m的解集为[﹣1，5]，务实数a，m的值；〔Ⅱ〕当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f〔x〕+t≥f〔x+2〕．2021年康杰高考数学模拟试卷〔理科〕〔6〕参考答案与试题解析一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，总分值是60分〕1．，那么有〔〕A．M∩N=N B．M∩N=M C．M∪N=N D．M∪N=R【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解x2﹣x≤0可得集合M，解＜0可得集合N，分析可得N⊆M，由子集的性质可得有M∩N=N、M∪N=M成立，分析选项可得答案．【解答】解：x2﹣x≤0⇔0≤x≤1，那么M={x|0≤x≤1}，＜0⇔0＜x＜1，那么N={x|0＜x＜1}，有N⊆M，那么有M∩N=N，M∪N=M，分析选项可得A符合；应选A．2．复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，那么复数z的虚部为〔〕A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=1﹣i，∴z=﹣1+2i〔1﹣i〕=1+2i，∴z的虚部为2．应选：A．3．α为锐角，假设sin〔α﹣〕=，那么cos〔α﹣〕=〔〕A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的根本关系，两角差的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵α为锐角，假设sin〔α﹣〕=，∴0＜α﹣＜，∴cos〔α﹣〕==，那么cos〔α﹣〕=cos[〔α﹣〕﹣]=cos〔α﹣〕cos+sin〔α﹣〕sin=+=，应选：C．p1：函数y=a x+x〔a＞0，且a≠1〕在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β〔k∈Z〕．〕A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p3【分析】p1：当0＜a＜1时，函数y=a x+x〔a＞0，且a≠1〕在R上不是增函数，即可判断出真假；p2：∀a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，即可判断出真假；p3：cosα=cosβ⇔α=2kπ±β〔k∈Z〕，即可判断出真假．【解答】解：p1：当0＜a＜1时，函数y=a x+x〔a＞0，且a≠p2：∀a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，因此不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜p3：cosα=cosβ⇔α=2kπ±β〔k∈Z〕，因此cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β〔k ∈因此p1∨p2，p2∧p3，p1∨￢p3￢p2∧p3应选：D．5．假设双曲线x2﹣=1〔b＞0〕的一条渐近线与圆x2+〔y﹣2〕2=1至多有一个交点，那么双曲线离心率的取值范围是〔〕A．〔1，2] B．[2，+∞〕C．〔1，] D．[，+∞〕【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线x2﹣=1〔b＞0〕的一条渐近线与圆x2+〔y﹣2〕2=1至多有一个交点，⇔圆心〔0，2〕到渐近线的间隔≥半径r．解出即可．【解答】解：圆x2+〔y﹣2〕2=1的圆心〔0，2〕，半径r=1．∵双曲线x2﹣=1〔b＞0〕的一条渐近线与圆x2+〔y﹣2〕2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是〔1，2]．应选：A．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，假设S10：S5=1：2，那么S15：S5=〔〕A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3【考点】8G：等比数列的性质．【分析】此题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出〔S10﹣S5〕：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，假设S10：S5=1：2，∴〔S10﹣S5〕：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得〔S15﹣S10〕：〔S10﹣S5〕：S5=1：〔﹣2〕：4，所以S15：S5=3：4应选A．7．非零向量、满足|+|=|﹣|=||，那么+与﹣的夹角为〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】欲求〔+〕与〔﹣〕的夹角，根据公式cos＜，＞=，需表示〔+〕〔﹣〕及|+|•|﹣|；由于|+|•|﹣|易于用||表示，所以考虑把〔+〕〔﹣〕也用||表示，这需要把等式都平方整理即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴〔+〕2=〔﹣〕2=2整理得•=0，2=2．设〔+〕与〔﹣〕的夹角为α，那么〔+〕〔﹣〕=|+|•|﹣|cosα=2cosα，且〔+〕〔﹣〕=2﹣2=2．∴cosα=，解得α=60°．应选B．8．执行如下列图的程序框图，假设输出的结果是10，那么判断框内m的取值范围是〔〕A．〔56，72] B．〔72，90] C．〔90，110] D．〔56，90〕【考点】EF：程序框图．【分析】由中该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为10，由此易给出判断框内m的取值范围．【解答】解：由于程序的运行结果是10，所以可得解得72＜m≤90．应选：B．9．某多面体的三视图如下列图，那么该多面体的体积为〔〕A．2 B．C．D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体形状，根据图中数据计算体积．【解答】解：该几何体是一个正方体去掉两个三棱锥，如下列图，所以V=2×2×2﹣2××2×1=．应选：B．10．不等式组〔a＞0〕表示的平面区域的面积为，那么a=〔〕A．B．3 C．D．2【考点】7B：二元一次不等式〔组〕与平面区域．【分析】画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，列出关于a的方程，再求出a即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影局部，由题意B〔2，0〕，A〔x，y〕不等式组所表示的平面区域的面积为：=∴y=，x=代入直线方程x+ay=2，∴a=应选A．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．假设|AF|=3，那么△AOB的面积为〔〕A．B．C． D．2【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的间隔为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ〔0＜θ＜π〕及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的间隔为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos〔π﹣θ〕∴∴△AOB的面积为S==应选C．12．函数f〔x〕=，函数g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕，其中b∈R，假设函数y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4个零点，那么b的取值范围是〔〕A．〔，+∞〕 B．〔﹣∞，〕C．〔0，〕D．〔，2〕【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f〔x〕﹣g〔x〕的表达式，构造函数h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕，作出函数h〔x〕的图象，利用数形结合进展求解即可．【解答】解：∵g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕，∴y=f〔x〕﹣g〔x〕=f〔x〕﹣b+f〔2﹣x〕，由f〔x〕﹣b+f〔2﹣x〕=0，得f〔x〕+f〔2﹣x〕=b，设h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕，假设x≤0，那么﹣x≥0，2﹣x≥2，那么h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=2+x+x2，假设0≤x≤2，那么﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，那么h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，假设x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，那么h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=〔x﹣2〕2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h〔x〕=，作出函数h〔x〕的图象如图：当x≤0时，h〔x〕=2+x+x2=〔x+〕2+≥，当x＞2时，h〔x〕=x2﹣5x+8=〔x﹣〕2+≥，故当b=时，h〔x〕=b，有两个交点，当b=2时，h〔x〕=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4个零点，即h〔x〕=b恰有4个根，那么满足＜b＜2，应选：D．二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．〕13．在区间〔0，4〕，上任取一实数x，那么2＜2x﹣1＜4的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】解不等式，求出x的范围，根据区间的长度的比值求出满足条件的概率即可．【解答】解：解不等式2＜2x﹣1＜4，得：2＜x＜3，所以，故答案为：．14．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，那么异面直线AC 与BD所成的角为60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】首先通过平行线把异面直线转化为一共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．【解答】解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得：|=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°15．设函数y=f〔x〕的定义域为D，假设对于任意x1，x2∈D，满足x1+x2=2a时，恒有f〔x1〕+f〔x2〕=2b，那么称点Q为函数y〔x〕=f〔x〕图象的对称中心，研究并利用函数f〔x〕=x3﹣3x2﹣sin〔πx〕的对称中心，可得f〔〕+f〔〕+…+f〔〕=﹣8066．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f〔x〕=x3﹣3x2﹣sin〔πx〕=〔x﹣1〕3﹣sin〔πx〕﹣3〔x ﹣1〕﹣2，分析可得x1+x2=2，那么f〔x1〕+f〔x2〕=﹣4，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，f〔x〕=x3﹣3x2﹣sin〔πx〕=〔x﹣1〕3﹣sin〔πx〕﹣3〔x﹣1〕﹣2，分析可得：假设x1+x2=2，那么f〔x1〕+f〔x2〕=﹣4，=；故答案为：﹣8066．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，假设|+|=3，那么的最小值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】推导出sin〔2B+〕+=1，从而，由，两边平方，利用余弦定理得b=3，由此能求出的最小值．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，∴+=sin〔2B+〕+=1，∵0＜B＜π，∴，∵，∴两边平方得a2+c2﹣2accosB=9=b2，∴b=3，∵，∴ac≤，∴≥．∴的最小值为．故答案为：．三、解答题：〔本大题一一共5小题，一共70分．解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．〕17．等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．〔Ⅰ〕求等差数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕假设a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【考点】8F：等差数列的性质；8E：数列的求和．【分析】〔Ⅰ〕设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{a n}的通项公式．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕和a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4，成等比数列，知|a n|=|3n﹣7|=，由此能求出数列{|a n|}的前n项和为S n．【解答】解：〔Ⅰ〕设等差数列{a n}的公差为d，那么a2=a1+d，a3=a1+2d，∵等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，∴，解得，或者，所以由等差数列通项公式，得a n=2﹣3〔n﹣1〕=﹣3n+5，或者a n=﹣4+3〔n﹣1〕=3n﹣7．故a n=﹣3n+5，或者a n=3n﹣7．〔Ⅱ〕当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2，不成等比数列；当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4，成等比数列，满足条件．故|a n|=|3n﹣7|=，记数列{|a n|}的前n项和为S n．当n=1时S1=|a1|=4；当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5；当n≥3时，S n=S2+|a3|+|a4|+…+|a n|=5+〔3×3﹣7〕+〔3×4﹣7〕+…+〔3n﹣7〕=5+=．当n=2时，满足此式．综上所述，．18．微信是现代生活进展信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进展了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间是在两小时以上的人被定义为“微信达人〞，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人〞，己知“非微信达人〞与“微信达人〞人数比恰为3：2．〔1〕确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；〔2〕为进一步理解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人〞和“非微信达人〞60人中用分层抽样的方法确定10人，假设需从这10人中随积选取3人进展问卷调查，设选取的3人中“微信达人〞的人数为X，求X的分布列和数学期望．使用微信时间是频数频率〔单位：小时〕] 3〔0.5，1] x p] 9〔，2] 15] 18〔，3] y q合计60【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】〔1〕根据分布直方图、频率分布表的性质，列出方程组，能确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图．〔2〕用分层抽样的方法，从中选取10人，那么其中“网购达人〞有4人，“非网购达人〞有6人，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：〔1〕根据题意，有，解得x=9，y=6，∴p=0.15，q=0.10，补全频率分布图有右图所示．〔2〕用分层抽样的方法，从中选取10人，那么其中“网购达人〞有10×=4人，“非网购达人〞有10×=6人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P〔ξ=0〕==，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，P〔ξ=3〕==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==．19．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．〔Ⅰ〕在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；〔Ⅱ〕求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的断定．【分析】〔I〕当Q为侧棱PC中点时，取PD的中点E，连结AE、EQ，推导出四边形ABQE为平行四边形，从而BQ∥AE，由此能证明BQ∥平面PAD．〔Ⅱ〕法一：设平面PAD∩平面PBC=l，那么BQ∥l，推导出l⊥PD，l⊥PC，那么∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．法二：建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：〔I〕当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．证明如下：如图，取PD的中点E，连结AE、EQ．∵Q为PC中点，那么EQ为△OCD的中位线，∴EQ∥CD，且EQ=CD．∵AB∥CD，且AB=CD，∴EQ∥AB，且EQ=AB，∴四边形ABQE为平行四边形，那么BQ∥AE．…∵BQ⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BQ∥平面PAD．…〔Ⅱ〕解法一：设平面PAD∩平面PBC=l．∵BQ∥平面PAD，BQ⊂平面PBC，∴BQ∥l．∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．…∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．设PA=AB=AD=，那么PD==，PC==，故cos．∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…解法二：如图建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，那么A〔0，0，0〕，B〔0，1，0〕，C〔﹣1，2，0〕，P〔0，0，1〕，那么=〔0，1，﹣1〕，=〔﹣1，1，0〕．设平面PBC的法向量为=〔x，y，z〕，那么，取x=1，得=〔1，1，1〕．…由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量为．…设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，那么cosθ===．…∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…20．动点M到定点F〔1，0〕和定直线x=4的间隔之比为，设动点M的轨迹为曲线C．〔1〕求曲线C的方程；〔2〕过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P〔与点F 不重合〕，使得∠APF=∠BPF，假设存在，求出P点坐标；假设不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】〔1〕设点M〔x，y〕，利用条件可得等式=|x﹣4|，化简，可得曲线C的轨迹方程；〔2〕通过设存在点P〔x0，0〕满足题设条件，分AB与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．【解答】解：〔1〕设点M〔x，y〕，那么据题意有=|x﹣4|那么4[〔x﹣1〕2+y2]=〔x﹣4〕2，即3x2+4y2=12，∴曲线C的方程：．〔2〕假设存在点P〔x0，0〕满足题设条件，①当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=k〔x﹣1〕．当AB与x轴不垂直时，设AB所在直线的方程为y=k〔x﹣1〕，代入椭圆方程化简得：〔4k2+3〕x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，可知△＞0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=，x1x2=，假设∠APF=∠BPF，那么k AP+k BP=0，那么k AP+k BP==∵〔x1﹣1〕〔x2﹣x0〕+〔x2﹣1〕〔x1﹣x0〕=2x1x2﹣〔1+x0〕〔x1+x2〕+2x0=0∴整理得：k〔x0﹣4〕=0，因为k∈R，所以x0=4；②当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠APF=∠BPF，满足题意；综上，在x轴上存在点P〔4，0〕，使得∠APF=∠BPF．21．函数f〔x〕=lnx+．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕有零点，务实数a的取值范围；〔Ⅱ〕证明：当a≥，b＞1时，f〔lnb〕＞．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】〔Ⅰ〕法一：求出函数f〔x〕的导数，得到函数的单调区间，求出f〔x〕的最小值，从而求出a 的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g〔x〕=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g〔x〕的最大值，从而求出a的范围即可；〔Ⅱ〕令h〔x〕=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：〔Ⅰ〕法1：函数的定义域为〔0，+∞〕．由，得．…因为a＞0，那么x∈〔0，a〕时，f'〔x〕＜0；x∈〔a，+∞〕时，f'〔x〕＞0．所以函数f〔x〕在〔0，a〕上单调递减，在〔a，+∞〕上单调递增．…当x=a时，[f〔x〕]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f〔1〕=ln1+a=a＞0，那么函数f〔x〕有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为〔0，+∞〕．由，得a=﹣xlnx．…令g〔x〕=﹣xlnx，那么g'〔x〕=﹣〔lnx+1〕．当时，g'〔x〕＞0；当时，g'〔x〕＜0．所以函数g〔x〕在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g〔x〕获得最大值．…因此函数有零点，那么．…所以实数a的取值范围为．…〔Ⅱ〕证明：令h〔x〕=xlnx+a，那么h'〔x〕=lnx+1．当时，h'〔x〕＜0；当时，h'〔x〕＞0．所以函数h〔x〕在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当a≥时，．①…令φ〔x〕=xe﹣x，那么φ'〔x〕=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x〔1﹣x〕．当0＜x＜1时，f'〔x〕＞0；当x＞1时，f'〔x〕＜0．所以函数φ〔x〕在〔0，1〕上单调递增，在〔1，+∞〕上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln〔lnb〕+a＞lnb•e﹣lnb．…所以，即．…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．〔Ⅰ〕将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；〔Ⅱ〕过点P〔2，0〕作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】〔Ⅰ〕根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；〔Ⅱ〕求出过点P〔2，0〕作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．【解答】解：〔Ⅰ〕由，可得ρ=4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即〔x﹣2〕2+〔y+2〕2=8；〔Ⅱ〕过点P〔2，0〕作斜率为1直线l的参数方程为代入〔x﹣2〕2+〔y+2〕2=8得t2+2t﹣4=0，A，B对应的参数为t1、t2，那么t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，由t的意义可得=+==．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣a|．〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕≤m的解集为[﹣1，5]，务实数a，m的值；〔Ⅱ〕当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f〔x〕+t≥f〔x+2〕．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】〔Ⅰ〕根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可务实数a，m的值．〔Ⅱ〕根据绝对值的解法，进展分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f〔x〕≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．〔Ⅱ〕当a=2时，函数f〔x〕=|x﹣2|，那么不等式f〔x〕+t≥f〔x+2〕等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为〔﹣∞，]．。

练习6-41.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．2.斜率为 1的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，则AB 的最大值为（ ）A. 2 B．554C．5104 D.5108 3.设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________.4．已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：12C C 、（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．5. 已知椭圆的右焦点为，离心率为（Ⅰ）若，求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于A ，B 两点，若，求的取值范围。

22221(0)x y a b a b+=>>F A B BF x ⊥AB y P 2AP PB =22131222(0)y px p =>F (0,2)A FA B B 1C 2C x 1C 2C l 2C F 1C ,M N 、l 22221(0)x y a b a b+=>>2(3,0)F .e 2e =y kx =220,22AF BF e ⋅=<≤且k解: 习题6-4 1．D提示：对于椭圆，因为，则 2．C提示：设直线l 的方程为m x y +=，则弦长510455422≤-⨯=m AB . 3.提示：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为，B 点坐标为（）所以点B 本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题.4．解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证4个点知（3，）、（4，-4）在抛物线上，易求设1C ：，把点（-2，0）（，）代入得：解得 1C 方程为 （Ⅱ）方法一：假设存在这样的直线过抛物线焦点(1,0)F ，设直线l 的方程为两交点坐标为，由消去，得 ∴ ① 212121212(1)(1)1()x x my my m y y m y y =++=+++ ② 2AP PB =12,2,2OA OF a c e =∴=∴=2142，324)0(2:22≠=p px y C )0(22≠=x p xy 32-x y C 4:22=)0(:22222>>=+b a by a x C 222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=121214222b a a ⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a 1422=+y x l ,1my x =-),(),,(2211y x N y x M ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-14122y x my x x ,032)4(22=-++my y m 43,42221221+-=+-=+m y y m m y y 4444342122222+-=+-⋅++-⋅+=m m m m m m m由OM ON ⊥，即，得将①②代入（*）式，得， 解得 所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+. 方法二：容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C 的交点坐标为，由2214(1)x y y k x ⎧⎪+=⎨⎪=-⎩消掉y ，得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，于是 2122814k x x k +=+，21224(1)14k x x k-=+ ① 212111212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =-⨯-=-++ 即2222122224(1)83(1)141414k k k y y k k k k-=-+=-+++ ② 由OM ON ⊥，即，得将①、②代入（*）式，得 2222224(1)340141414k k k k k k---==+++，解得2k =±； 所以存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+．5.解：（Ⅰ）由题意得，得由，解得，，所以，椭圆的方程为（Ⅱ）由 得. 设. 所以 ，又，0=⋅ON OM (*)02121=+y y x x 043444222=+-++-m m m 21±=m l l l ),(),,(2211y x N y x M 0=⋅(*)02121=+y y x x l l 33c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩23a =222a b c =+212a =23b =131222=+y x 22221,,x y ab y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩222222()0b a k x a b +-=1122(,),(,)A x y B x y 2212122220,a b x x x x b a k-+==+211(3)AF x y =--，222(3)BF x y =--，所以，即整理得 ，因为，所以所以，即222121212(3)(3)(1)90AF BF x x y y k x x ⋅=--+=++=222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-422424218818111818a a k a a a a -+==---+-2e <a <21218a <≤218k ≥2(,][,)44k ∈-∞-+∞。

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学模拟考试卷六第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〔1〕化简︒--︒︒︒-160cos 120cos 20cos 20sin 212得〔〕〔A 〕︒-40sin 1 〔B 〕︒-︒20sin 20cos 1〔C 〕1〔D 〕－1〔2〕双曲线8822=-ky kx的一个焦点是〔0，－3〕，那么k 的值是〔〕〔A 〕1〔B 〕－1〔C 〕315〔D 〕－315 〔3〕)(1x f y -=过点〔3，5〕，g 〔x 〕与f 〔x 〕关于直线x =2对称，那么y =g 〔x 〕必过 点〔〕〔A 〕〔－1，3〕 〔B 〕〔5，3〕〔C 〕〔－1，1〕 〔D 〕〔1，5〕 〔4〕复数3)1(i i z-⋅=，那么=z arg〔〕 〔A 〕4π〔B 〕－4π 〔C 〕47π〔D 〕45π 〔5〕〔理〕曲线r =ρ上有且仅有三点到直线8)4cos(=+πθρ的间隔为1，那么r 属于集合〔〕〔A 〕}97|{<<r r〔B 〕}9|{≥r r 〔C 〕}9|{≤r r〔D 〕{9}〔文〕两条直线0:,:21=-=y ax l x y l ，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在)12,0(π内变动时，a 的取值范围是〔〕〔A 〕〔0，1〕〔B 〕)3,33(〔C 〕)3,1(〔D 〕)3,1()1,33(6．半径为2cm 的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面〔〕〔A 〕4cm 〔B 〕2cm〔C 〕cm 32〔D 〕cm 37．〔理〕)4sin arccos(-的值等于〔〕〔A 〕42-π〔B 〕234π-〔C 〕423-π〔D 〕4+π〔文〕函数23cos 3cos sin 2-+=x x x y 的最小正周期为〔〕〔A 〕4π 〔B 〕2π 〔C 〕π〔D 〕2π 8．某校有6间电脑室，每晚至少开放2间，那么不同安排方案的种数为〔〕 ①26C②665646362C C C C +++③726-④26P 其中正确的结论为〔〕〔A 〕仅有①〔B 〕有②和③ 〔C 〕仅有②〔D 〕仅有③9．正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为,22E 为侧棱PC 的中点，那么PA 与BE 所成 的角为〔〕〔A 〕6π 〔B 〕4π 〔C 〕3π 〔D 〕2π 10．给出四个函数，分别满足①)()()(y f x f y x f +=+②)()()(y g x g y x g ⋅=+③)()()(y x y x ϕϕϕ+=⋅④)()()(y x y x ωωω⋅=⋅又给出四个函数的图象那么正确的配匹方案是〔〕〔A 〕①—M ②—N ③—P ④—Q 〔B 〕①—N ②—P ③—M ④—Q 〔C 〕①—P ②—M ③—N ④—Q〔D 〕①—Q ②—M ③—N ④—P11．P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，那么21F PF ∆的内切圆的圆心横坐标为〔〕〔A 〕a -〔B 〕b -〔C 〕c -〔D 〕c b a -+12．某债券场发行的三种值券：甲种面值为100元，一年到期本利一共获103元；乙种面值为50元，半年期本利一共50.9元；丙种面值为100元，但买入时只付97元，一年到 期拿回100元，这三种HY 收益比例从小到大排列为〔〕〔A 〕乙，甲，丙 〔B 〕甲、丙、乙 〔C 〕甲、乙、丙〔D 〕丙、甲、乙第二卷(非选择题)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．把答案填在题中横线上． 13．一个球的内接长方体的长、宽、高分别为1，2，3，那么这个球的外表积是． 14．假设26)1()1(ax x -+展开式中的x 3项的系数为20，那么非零实数a =．15．△ABC 顶点在以x 轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，A 〔－6，8〕，且△ABC的重心在原点，那么过B 、C 两点的直线方程为．16．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对于所有的自然数n ，有2nn a t tS +=成立，假设t a S nn n <∞→lim，那么t 的取值范围是．三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 17．〔此题总分值是12分〕 设复数)23(sin cos 1πθπθθ<<+-=i z且24arg θπ=-z ． 求2sin 21)4cos(2θπθ--的值．18．〔理〕〔此题总分值是一共12分〕正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为a ，M 为 棱A 1C 1上的动点．〔Ⅰ〕当M 在何处时，BC 1//平面MB 1A ，并证明之； 〔Ⅱ〕在〔I 〕下，求平面MB 1A 与平面ABC 所成的二 面角的大小；〔Ⅲ〕求B —AB 1M 体积的最大值． 18．〔文〕〔图同理18，此题总分值是12分〕ABA 1B 1正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为a ，M 为 棱A 1C 1的中点〔Ⅰ〕求证BC 1//平面MB 1A ；〔Ⅱ〕求平面MB 1A 与平面ABC 所成的二面角的正切值； 〔Ⅲ〕求B —AMB 1的体积． 19．〔理〕〔此题总分值是12分〕设常数,01>>>b a不等式0)lg(>-x x b a 的解集为M〔Ⅰ〕当ab =1时，求解集M ；〔Ⅱ〕当M=〔1，+∞〕时，求出a ，b 应满足的关系． 19．〔文〕〔此题总分值是12分〕函数)1(log )(x a a x f -=〔其中a ＞0，且a ≠1〕，解关于x 的不等式20．〔此题总分值是12分〕一家企业消费某种产品，为了使该产品占有更多的场份额，拟在2021年度进展一系列的促销活动，经过场调查和测算，该产品的年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足：3－x 与t +1〔t ≥0〕成反比例，假设不搞促销活动，该产品的年销量只能是1万件，2021年消费该产品的固定HY 为3万元，每消费1万件该产品需再HY32万元，当该产品的售价g 〔x 〕满足xtx x g 2)332(23)(++=时，那么当年的产销量相等．〔Ⅰ〕将2021年的利润y 表示为促销费t 万元的函数；〔Ⅱ〕该企业2021年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 〔注：利润=收入－消费本钱－促销费〕 21．〔此题总分值是12分〕A 、B 是两个定点，且|AB|=8，动点M 到A 点的间隔 是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，假设以AB所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．〔Ⅰ〕试求P 点的轨迹c 的方程； 〔Ⅱ〕直线)(04R m m y mx∈=--与点P 所在曲线c 交于弦EF ，当m 变化时，试求△AEF 的面积的最大值． 22．〔此题总分值是14分〕函数f 〔x 〕在〔－1，1〕上有定义，1)21(-=f 且满足x 、y ∈〔－1，1〕有 )1()()(xyyx f y f x f ++=+．〔Ⅰ〕证明：f 〔x 〕在〔－1，1〕上为奇函数；〔Ⅱ〕对数列,12,21211nn n x x x x +==+求)(n x f ； 〔Ⅲ〕〔理〕求证;252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n 〔文〕求证.2)(1)(1)(121->+++n x f x f x f [参考答案]一、选择题〔理〕CBACDDCBCDAB 〔文〕CBACDDCBCDAB 二、填空题〔13〕14π〔14〕5〔15〕084=-+y x 〔16〕),22(3+∞三、解答题17．解：)24()(arg 24arg θπθπ+=∴+=tg z tg z 〔2分〕 即2121cos 1sin θθθθtg tg -+=-即212121θθθtgtgtg -+= 即012222=-+θθtg tg 〔6分〕2124322--=∴<<θπθπtg〔8分〕)1(22cos )sin (cos 222sin 21)4cos(2θθθθθπθtg +=+=--∴ 即22sin 21)4cos(2=--θπθ〔12分〕 18．〔理〕解：〔I 〕当M 在A 1C 1中点时，BC 1//平面MB 1A∵M 为A 1C 1中点，延长AM 、CC 1，使AM 与CC 1延 长线交于N ，那么NC 1=C 1C=a 连结NB 1并延长与CB 延长线交于G ， 那么BG=CB ，NB 1=B 1G 〔2分〕 在△CGN 中，BC 1为中位线，BC 1//GN又GN ⊂平面MAB 1，∴BC 1//平面MAB 1〔4分〕 〔II 〕∵△AGC 中，BC=BA=BG ∴∠GAC=90° 即AC ⊥AG 又AG ⊥AA 1A AC AA = 1AM AG ACC A AG ⊥⊥∴11平面〔6分〕∴∠MAC 为平面MB 1A 与平面ABC 所成二面角的平面角 ∴所求二面角为.2arg tg 〔8分〕〔Ⅲ〕设动点M 到平面A 1ABB 1的间隔为h M ．即B —AB 1M 体积最大值为.1233a 此时M 点与C 1重合．〔12分〕18．〔文〕〔Ⅰ〕同〔理〕解答，见上〔Ⅱ〕同理科解答：设所求二面角为θ，那么2=θtg〔Ⅲ〕3224323213111a a a V V ABB M AMB B =⋅⋅==-- 19．〔理〕解：〔I 〕首先,0>-x x b a 即x xb a>即0,11)(>>∴>x bab a x 得由AA 1G.1)1(1>-∴>-x x x x aa b a 〔3分〕得01)(2>--x x a a 解得251-<x a 〔舍去〕或者251+>x a251log +>∴ax ),251(log +∞+=∴a M 〔6分〕 〔II 〕令x x b a x f -=)(，先证),0()(+∞∈x x f 在时为单调递增函数).()(21x f x f <∴得证〔8分〕欲使解集为〔1，+∞〕，只须f 〔1〕=1即可，即a －b=1，∴a =b+1〔12分〕 19．〔文〕解：)1(log )1().1(log )(11a fa x fa x a -=-=--由可知0＜a ＜1〔4分〕∴不等式)0()1(log )1(log )1()1(log 1>->->--a a a f a a x a x a 即为〔8分〕∴原不等式的解集为{x |0＜x ＜1}〔12分〕20．解：〔I 〕由题意得21,0,13===+=-k x t t k x 代入得将〔2分〕从而消费本钱为3)123(32++-t 万元，年收入为]2)332(23[)(xtx x x xg ++=〔4分〕]3)123(32[]2)332(23[]3)123(32[)(++--++⋅=++--=∴t x t x x t x xg y 〔6分〕 ∴年利润为y )0()1(235982≥+++-=t t t t 〔8分〕〔II 〕y 4216250)13221(50)1(235982=-≤+++-=+++-=t t t t t 〔万元〕当且仅当42713221max ==+=+y t t t 时即〔12分〕∴当促销费定为7万元时，利润最大．21．解〔I 〕以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，那么A 〔－4，0〕，B 〔4，0〕 |PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10〔2分〕 ∴2a =102c=8∴a =5，c=4∴P 点轨迹为椭圆192522=+y x 〔4分〕〔II 〕04=--m y mx 过椭圆右焦点B 〔4，0〕整理得08172)259(22=-++y my m 〔6分〕2591814259724)(||2222122121+⨯⨯+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-∴m m m y y y y y y 2222190925m m m m +⨯+=*〔8分〕 ∵m 为直线的斜率，∴可令m=tg θ代入*得当且仅当169sin sin 9sin 162==θθθ即即43sin =θ时，.415||max 21=-y y().15415821max =⨯⨯=∴∆AEF S 〔12分〕 22．证：〔I 〕令,0==y x 那么0)0(),0()0(2=∴=f f f令,x y -=那么)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+为奇函数〔4分〕〔II 〕1)21()(1-==f x f ，)(2)()()1()12()(21n n n n n n n nn n x f x f x f x x xx f x x f x f =+=⋅++=+=+ )}({.2)()(1n n n x f x f x f 即=∴+是以－1为首项，2为公比的等比数列． 12)(--=∴n n x f 〔4分〕〔III 〕〔理〕)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f 而.2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n 252)(1)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n 〔6分〕 〔III 〕〔文〕)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f。

高考数学模拟考试卷（六）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|2}A x y x ==-+，2{|log (32)}B x y x ==-，则有( ) A ．3{|}2A B x x =<B ．{|2}A B x x =C ．3{|}2AB x x ==<D ．{|2}AB x x =<2．（5分）已知复数z 满足1z i i ⋅=-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%．甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为( ) A ．60%B ．50%C ．40%D ．30%4．（5分）已知数列{}n a 中，32a =，71a =．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5(a = )A ．23B ．32C ．43D ．345．（5分）函数2()2xf x lnx-=+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有()A ．36种B ．48种C ．72种D ．144种7．（5分）在四面体ABCD 中，ABC ∆和BCD ∆均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( )A ．224B ．212 C ．26 D ．24 8．（5分）已知函数()x xx xe ef x e e ---=+，实数m ，n 满足不等式(2)(2)0f m n f n -+->，则下列不等关系成立的是( ) A ．1m n +>B ．1m n +<C ．1m n ->-D ．1m n -<-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。