矢量线相交

(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。

表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。

特殊的向量零矢量：长度为0的向量。

零向量的方向是不确定的。

单位矢量：长度为1的矢量。

向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。

反矢量：长度相同，方向相反的矢量。

共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。

共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。

关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。

矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。

一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1） 交换律：a b b a； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a。

矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。

由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数 与矢量的乘积 是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0 时， 与方向相同；当0 时， 与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。

定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。

由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。

线状相交物系交叉点的速度计算涉及到速度合成原理，该原理表明运动物体上各点的速度矢量按矢量运算法则合成。

具体到线状相交物系交叉点的速度，需要分两个步骤计算：
首先，找出与交点切线方向相切的分速度。

这个分速度等于交点处物体切向运动的速度大小。

然后，将这两个分速度矢量相加，得到交点处的总速度。

需要注意的是，以上计算过程是基于微元法的原理，即把连续的曲线或直线在微小范围内看作是直线，从而将复杂的曲线运动分解为一系列的直线运动。

以上内容仅供参考，如需更准确的解释，可查阅关于线状相交物系交叉点速度的相关文献，或者咨询物理专家或专业技术人员。

矢量线的概念矢量线是指在点集中的一条有向的连续线段。

矢量线在计算机图形学和几何学中有着重要的应用，能够描述线的方向和长度。

本文将从矢量线的定义、特性、应用和算法等方面进行详细阐述。

首先，矢量线是有向的，即有一个确定的起点和终点，并且可以表示线的方向。

矢量线可以是一条直线段，也可以是由多条线段组成的曲线。

矢量线的长度可以根据其线段的长度累加得到。

其次，矢量线在计算机图形学中有广泛的应用。

在计算机图形学中，矢量线可以用来表示线条、曲线和路径。

例如，在动画制作中，可以使用矢量线来描述物体的运动路径；在计算机辅助设计中，可以使用矢量线来表示图形的轮廓和路径；在计算机游戏中，可以使用矢量线来表示角色的移动路径等。

此外，矢量线还具有一些特性。

首先，矢量线可以通过控制点或节点进行调整。

通过调整节点的位置可以改变矢量线的形状。

其次，矢量线可以进行平移、缩放和旋转等变换操作。

通过对矢量线进行这些变换操作可以改变其方向和长度。

最后，矢量线可以进行插值操作。

通过在矢量线上插入新的点，可以生成新的矢量线。

插值操作可以用来生成平滑的曲线或路径。

在实际应用中，矢量线的生成算法是一个重要的问题。

常见的矢量线生成算法有贝塞尔曲线算法和基于物理仿真的线段生成算法。

贝塞尔曲线是一种通过控制点生成曲线的方法，可以用来生成平滑的曲线。

基于物理仿真的线段生成算法是通过模拟线段的物理特性生成线段，例如弯曲、拉伸和拖拽等。

这种算法可以生成富有物理感的线段。

总结来说，矢量线是在点集中的一条有向的连续线段。

它可以描述线的方向和长度，并且在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。

矢量线具有一些特性，例如可以通过节点调整形状，可以进行平移、缩放和旋转变换，可以进行插值操作。

矢量线的生成算法有贝塞尔曲线算法和基于物理仿真的线段生成算法等。

通过研究和理解矢量线的概念和特性，我们可以更好地应用它们在计算机图形学和几何学中。

矢量线方程
我来回答一下，希望不是太晚，我是学电磁场与电磁波的
首先，
这个矢量线方程是为了描述矢量线来提出的。

矢量线你也知道是为了描述矢量场的，线的切线方向就是它描述的矢量场的方向。

然后，
来说一下这个公式是怎么来的。

根据矢量线的定义，在矢量线上任一点的切向矢性元dl与矢量场A 平行，
=》A X dl=0（是矢量的叉乘）
在直角坐标系中A=Ax*ex+Ay*ey+Az*ez，dl=dx*ex+dy*ey+dz*ez。

从线性代数知
ex ey ez
A X dl = Ax Ay Az = 0（是个行列式）
dx dy dz
把它给展开整理后就有
dx/Ax=dy/Ay=dz/Az
从上面的推导过程知，其中都是标量。

类似的你可以得到，在圆柱下，在球系下的形式。

好了，希望对你帮助～～。

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解一、矢量的分解1. 线性运算: 矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算.2. 线性组合: 由矢量,,…,与数量λ1，λ2，…，λn所组成的矢量＝λ1+λ2+…+λn叫做矢量,,…,的线性组合.我们也说矢量可以用矢量,,…,线性表示，或者说，矢量可以分解成矢量,,…,的线性组合.3. 矢量在直线上的分解：定理1 如果矢量≠，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底.证明如果＝x成立，那么由数乘矢量的定义立刻知与共线. 反过来，如果与非零矢量共线，那么一定存在实数x，使得＝x. 显然，如果＝，那么＝0，即x=0. x的唯一性：如果＝x＝，那么（x－＝，而≠，所以x＝ .4. 矢量在平面上的分解：定理 2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, 共面的充要条件是可以用矢量x+y，且系, 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, 的线性组合，即＝数x, y被, , 唯一确定. , 称为平面上矢量的基底.证明因为矢量, 不共线，所以≠, ≠.设与, 共面，如果与(或)共线，那么根据定理1有＝x+y，其中y=0(或x=0)；如果与，都不共线，则把它们归结到共同的始点O，并设=，＝（i=1，2），那么过的终点分别作OE2，OE1的平行线依次与OE1，OE2交于A，B. 因为∥,∥,那么根据定理1可设= x，＝y，根据平行四边形法则得=+，即＝x+y.反过来，设＝x+y，如果x, y有一个是零，那么与(或)共线，则与,共面.如果xy≠0，那么x∥,y∥,根据平行四边形法则得与 x，y共面，因此与, 共面.最后证明x, y被, , 唯一确定. 假设＝x+y=+,那么 ( x－)＝（y－）＝,如果x≠，那么=－,x=. 同理y =,因此x, y被唯一确定.即∥, 这与定理条件矛盾，所以5. 矢量在空间的分解：定理3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量可以由矢量, , 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, , 的线性组合，即＝x+y+z，且系数x, y, z被, , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底.证明因为矢量, , 不共面，所以≠（i=1，2，3），且被此不共线.如果与, ，之中的两个矢量, (，或，)共面，那么根据定理2有＝x+y+0(＝x+0+z或＝0+y+z).如果与, ，之中的任意两个矢量都不共面，则把它们归结到共同的始点O，并设=，＝（i=1，2，3），那么过的终点分别作三个平面分别与平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行，且分别与直线OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三点，从而作成了以、、为三棱，=为对角线的平行六面体，于是得到：=++，由定理1可设= x，= y，= z，所以＝x+y+z.下面证明x, y, z被, , , 唯一确定. 假设＝x+y+z＝++，那么 ( x－)＝（y－）＝( z－)＝,如果x≠，那么＝－＝－,有定理2可知, , 共面，这与定理条件矛盾，所以x=. 同理，y=，z=.因此x, y, z被, , , 唯一确定.二、矢量的线性关系1.定义对于n (n≥1)个矢量, , …, ，如果存在不全为零的n个数λ1, λ2，…, λn, 使得λ1+λ2+…+λn=,那么n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …, 线性无关是指，只有当λ1＝λ2＝…＝λn＝0时，上式才成立.2.判断方法推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.证明：由矢量线性相关的定义即得.定理 4 矢量, , …,(n≥2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.证明：设, , …, 线性相关，则λ1+λ2+…+λn=,且λ1, λ2，…, λn不全为零，不妨设λn≠0，那么=－－－…－，即是其余矢量的线性组合.反过来，设n个矢量, , …, 中有一个矢量，不妨设是其余矢量的线性组合，即=λ1+λ2+…+λn-1，即λ1+λ2+…+(－1)=,且λ1, λ2，…, (－1)不全为零,因此, , …, 线性相关.定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.证明：设一组矢量, , …, ，…, (s≤r)中，有一部分矢量, , …,线性相关，那么存在不全为零的n个数λ1, λ2，…, λs, 使得λ1+λ2+…+λs=,即λ1+λ2+…+λs+0+…+λr=,且λ1, λ2，…, λs不全为零.所以这一组矢量, , …, ，…, 线性相关.推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关.证明：由推论1和定理5即得.根据矢量的分解定理和线性相关概念，可得如下定理：定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关.定理8 空间任何四个矢量总是线性相关.推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.证明：由定理5和定理8即得.例1. 设一直线上三点A, B, P满足＝λ(λ≠－1),O是空间任意一点，求证：＝证明：如图1-11，因为＝－,＝－,所以－＝λ(－),(1+λ)＝+λ,所以＝.例2. 在△ABC中，设＝，＝，AT是角A的平分线（它与BC交于T点），试将分解为,的线性组合.分析：如图1-12，利用三角形的角平分线定理.解：因为＝,且与方向相同，所以＝.由上题结论有＝＝.例3. 用矢量法证明：P是△ABC重心的充要条件是++＝.分析：如图1-13，利用三角形重心的性质.证明：) 若P为△ABC的重心，则＝2＝+, 从而+－=,即+＋=.) 若+＋=, 则+＝－＝,取E，F，G分别为AB，BC，CA之中点，则有＝(+).从而＝2. 同理可证＝2, ＝2.故P为△ABC的重心.例 4. 证明三个矢量＝－+3+2, ＝4－6+2，＝－3+12＋11共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.证明：题中的矢量, , 不共面，即它们线性无关. 考虑表达式λ+μ+v＝，即λ (－+3+2)+μ (4－6+2)+v (－3+12＋11)＝,或 (－λ+4μ－3v) +(3λ－6μ＋12v) +(2λ+2μ＋11v) ＝.由于, , 线性无关，故有解得λ＝－10，μ＝－1，v＝2.由于λ＝－10≠0，所以能用,线性表示＝－＋.例5. 如图1-14，, 是三个两两不共线的矢量，且＝λ+μ，试证A, B, C三点共线的充要条件是λ+μ＝1.证明：) 因为A，B，C共线，从而有//,有m≠－1, 使＝m,－＝m (－),(1+m)＝＋m,＝＋.但已知＝λ＋μ. 由对, 分解的唯一性可得λ＝, μ＝从而λ+μ＝+＝1.) 设λ+μ＝1. 则有＝λ＋μ＝λ＋(1－λ)=+λ(－),－＝λ(－),所以＝λ,从而//.所以A，B，C三点共线.例6. 梅尼劳(MeneLaus)定理：如图1-15，A'，B'，C'分别是△ABC三边BC，CA，AB上的定比分点，如果它们把△ABC的边分成定比λ＝, μ＝, v＝,那么A'，B'，C'三点共线的充要条件是λμv＝－1.证明：由λ＝, μ＝, v＝,可知＝λ, ＝μ, ＝v,由第1题有＝,＝＋=μ,从而＝(1+μ),＝v＝v(+),所以＝,＝+.由上题结论知三点A'，B'，C'共线的充要条件是+＝1，化简即得λμv＝－1.作业题：1. 在平行四边形ABCD中，(1) 设对角线＝,＝，求, , , ;(2) 设边BC和CD的中点为M和N，且＝, ＝,求, .2. 在△ABC中，设＝, ＝, D、E是边BC的三等分点，将矢量,分解为, 的线性组合.3. 用矢量法证明: 三角形三中线共点.4. 设G是△ABC的重心，O是空间任意一点，试证＝(+).5．设＝ (i＝1, 2, 3, 4)，试证P1, P2, P3, P4四点共面的充要条件是存在不全为零的实数λi (i＝1, 2, 3, 4)使λ1+λ2+λ3+λ4=, 且.。

重点一坐标及投影变换1．坐标变换实质是建立两个平面点之间的一一对应关系，包括几何纠正和投影转换，他们是空间数据处理的基本内容之一。

几何纠正是对数据坐标转换和图纸变形误差的纠正。

投影变换是指投影方式的变换2．仿射变换。

在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射，由一个线性变换接上一个平移组成。

是GIS 数据处理中使用最多的一种几何纠正方法。

它的主要特性为：同时考虑到因地突变形而引起的实际比例尺在x 方向和y 方向上的变形，因此纠正后的坐标数据在不同方向上的长度比将发生变化。

注：一般的GIS 软件都有仿射变换、相似变换和二次变换等几何纠正功能3．大地基准面(Geodetic datum) ，设计用为最密合部份或全部大地水准面的数学模式。

它由椭球体本身及椭球体和地表上一点视为原点间之关系来定义。

此关系能以6 个量来定义，通常(但非必然)是大地纬度、大地经度、原点高度、原点垂线偏差之两分量及原点至某点的大地方位角。

每个国家或地区均有各自的基准面，我们通常称谓的北京54 坐标系、西安80 坐标系，指的就是两个大地基准面。

4．我国采用的椭球体及坐标系我国参照前苏联从1953 年起采用克拉索夫斯基( Krassovsky) 椭球体建立了我国的北京54 坐标系。

1978 年采用国际大地测量协会推荐的1975 地球椭球体(IAG75) 建立了我国新的大地坐标系－－西安80 坐标系。

目前大地测量基本上仍以北京54 坐标系作为参照，北京54 与西安80 坐标之间的转换可查阅国家测绘局公布的对照表。

WGS1984 基准面采用WGS84 椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心，目前GPS测量数据多以WGS1984 为基准。

5．椭球体与基准面的关系。

椭球体与基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面。

6．地图投影，就是指建立地球表面(或其他星球表面或天球面) 上的点与投影平面(即地图平面)上点之间的一一对应关系的方法。

矢量线方程式矢量线方程式是描绘直线的一种方式，它是基于矢量的概念来定义直线的，与传统的笛卡尔坐标系中的方程式不同，使用矢量线方程式能更容易地描述直线的运动和变形。

在学习矢量线方程式之前，我们需要先了解一些基本概念，例如矢量、矢量的模长和方向以及向量之间的加减法等。

矢量是具有大小和方向的量，在图形中通常用箭头来表示，大小由矢量的模长表示，方向由箭头的指向表示。

一条直线可以用两个点来确定，因此我们可以构造一条矢量表示这两个点之间的距离和方向，这个矢量我们称之为方向向量。

例如，在二维坐标系中，若直线通过点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则这条直线的方向向量为：(vx,vy)=(x2-x1,y2-y1)接下来，我们需要任选一个点作为起点，以方向向量为方向来构造直线上的任意一点。

对于任意一条直线上的点P(x,y)，我们可以将其表示为起点A(x1,y1)加上方向向量的倍数t，即：P(x,y) = A(x1,y1) + t(vx,vy)这个式子便是矢量线方程式的基本形式。

其中t是一个实数，可以取任意值，它表示我们在方向向量的方向上移动了多少个单位距离。

在三维坐标系中，矢量线方程式的形式和二维时类似，只是需要使用三维向量表示方向向量，即：P(x,y,z) = A(x1,y1,z1) + t(vx,vy,vz)矢量线方程式的优点在于它具有清晰的几何意义，而且可以简单地描述各种运动和变形。

例如，若要描述直线的旋转，我们只需要将方向向量用旋转矩阵进行变换即可。

在计算机图形学中，矢量线方程式被广泛应用于建模、动画和可视化等领域。

总之，矢量线方程式是一种简单而有效的方式来描述直线，它在表达力和运算效率方面都具有优越性。

在学习和使用时，需要熟练掌握矢量和向量运算等基本概念，并注意理解和应用方向向量的几何意义。