应用概率统计综合作业三

概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;ABACBC =或;ABACBC =或;ABACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.A ={8只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414872616()80()0.5594,143C C C P B C === 2212862616()30()0.2098.143C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C ==5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求:(1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8()1(),9P D P B =-=3328(),327P E ==311(),327P F ==2()2().27P G P A ==☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14第二次作业 1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1) ()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=-()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B ===-(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ==★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+1575710.686.54002000=--+=3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ===()()()()P A B P A P B P AB =+-47119.15151030=+-=4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i = 1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n-====-31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n--====--或 第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率.记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.(1) ();()k n kk n kk k nnna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭ (3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C CCa b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率.设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+++-∑∑∑证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列,1,2,,.k n =)分块概率重数为1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -++-任取k 个,即121(1)1k k k k k C C C --++-=⇔ 121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnn n i i i ij ij k i i i i ji j kP A P A P A A P AA A P A -===<<<=-+++-∑∑∑☆.证明 若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+- ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:⇒(())()()P A B C P A P B C =()(()()())P A P B P C P BC =+-()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+ 当0.6p =时,13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+==当0.3p =时,13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+== (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++当0.6p =时,440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯ 当0.3p =时,440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯ 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A ===(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+10.70.80.5880.088.=--+=☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+111n N m Nn m N M n m N M +=+++++++().()(1)n N n m n m N M ++=+++☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=⨯+⨯= (2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成,每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2222(44)(1)(2)p p p p p p p =⋅-++-- 23452252.p p p p =+-+第四次作业1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P X k k C -===☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X0,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.(8,2/3),X B n p ==8821(),0,1,,8.33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.(0.35),X G p =11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===⨯= ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ⎧⎪⎨⎪⎩奇偶偶奇 解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++偶4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.0001340880.999865912.=-=(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫ ⎪⎝⎭2020202040404011(20)222C P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24040!(20!)2= 402204040202e e ⎫⎪⎝⎭⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎭0.1262.=其中 1.7724538509.π==参:贝努利分布的正态近似.6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率.受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品, 求产品的合格品率.产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭ ★8. 设随机变量X求:X 的分布函数, 以及概率(||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩(36)(5)0.5,P X P X <≤===(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=第五次作业1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.50.523200111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1()3P X <.(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25<X <100) . 补分布()()|,0.x x xx x S x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rxr S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率. (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee -⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62<X <1.25), P (X ≥1.34), P (|X |>2.13). (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-0.894359956010.88995,=+-=(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4, 19). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13122⎛⎫⎛⎫=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.691460.9331910.62465.=+-=★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭ (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p ==6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1)(2)★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,XY f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=⎧=⎨⎩极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y X P X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>⎧=≤=≤=⎨'≥=-<⎩ 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dyf y dF x dx dx dy ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X XdF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =⎧==⎨-=-⎩(),()(),X Y X dx f x dy f y dxf x dy ⎧⎪=⎨-⎪⎩(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1Y X=; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y ==+ 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y =+ '21()(())|()|(arctan ).1Y X i iX i i f y f x y x y f i y y π+∞+∞=-∞=-∞==++∑∑(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数.2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤两边对y 求导得随机变量Y 的密度为()115.Y f y y =-≤≤ 或解反函数支12()()x y x y =='''112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==-≤≤★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时,2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得()Y X f y f '==0,()0.Y y f y >=⎩或反函数y x='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ϕϕ=Φ=={}2(ln ),0,2()0,0.Y y y f y y ->=≤⎩ 或 反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-.两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y =''21122()(())|()|(())|()|,0.yY X X f y f x y x y f x y x y y -=+=>6. 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律.1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y ===1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y =========(2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33P X P X ====(3) X 与Y 不独立.2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它求(,)X Y 联合密度.2(,)(,),f x y F x y x y ∂=∂∂3515,,0,(,)0,.x y e x y f x y --⎧>=⎨⎩其它★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立.分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X xf x dy x x ==-<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y yf y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q ==★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求:(1)常数A ;(2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？ (1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216ye P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<111221113()(,),0.2y yy Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>⎰⎰⎰(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求:(1)X的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1.求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律.(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11(3)(1,2).6P Z P X Y =====(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P X Y P X Y ====+===+=2. 设随机变量(求函数Z =X /Y 的分布律.(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求Z =X +Y 的概率密度.()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰20222(1),0.z zx z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->⎰⎰★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数.,01,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨⎩其它,当01z <≤时,()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰01,zz z x z xz x e dx e e -+-+-====-⎰当1z >时,11110()(,)()().zz x z xz z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-⎰⎰⎰因此11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---⎧-≤≤⎪=->⎨⎪⎩其它★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min(X , Y )的分布函数.(1) 1,01,()10,xX e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1xx x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 0,0,()1,0Y yy F y e y -≤⎧=⎨->⎩.21(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---⎧-<<⎪==-⎨⎪-≥⎩. min{,1}1(1)(1),0.1x x e e x e -----=>-(3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩.min{,1}111,0,,01x x e e x e---≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩.1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y -≤⎧-=⎨>⎩.112111()11,01,()1()()111,1x x x xV X Y e e e e e e x F x S x S x e e x ---------⎧---+-=<<⎪=-=--⎨⎪≥⎩. 1min{,1}111,01x x x e e e x e --------+=>-.6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=第九次作业★1.试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |).20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑22(5)57.2,E X EX +=+=||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i iE X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望.(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π);(2)球的体积的数学期望(体积316D π).(1) 22222()();3ba x E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰ (2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4. 设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为求E (X ), E (Y ), E (XY ).2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i iEX x p ==-⨯++++⨯+++∑20.320.350.1,=-⨯+⨯=1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j jEY y p ==⨯+++⨯+∑3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+⨯+++⨯++=,()i j i j ijE XY x y p =∑∑2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯ 1.5 1.50.=-+=★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y ey f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y .(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰3(1)114()3,3y Y EY yf y dy ye dy +∞+∞--===⎰⎰或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==24(25)25258.33E X Y EX EY +=+=⨯+⨯=(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) .(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-=(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) .(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3) 22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯=★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰2221511,412144DX EX E X DY ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭11001()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞+∞-∞-∞==--=⎰⎰⎰⎰ 因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,1.11X Y ρ==-(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-22592(1)22(1)(,).144DX DY Cov X Y =+-+⨯⨯-⨯=★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为0.45由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑22222(1)0.4500.4510.450.9,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑220.9.DX EX E X =-=(2) Y 的分布列为j (,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEY y p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯=∑22 2.1.DY EY E Y =-=(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--=第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 10000.5500,EX np ==⨯=10000.50.5250,DX npq ==⨯⨯=应用切比雪夫不等式,有239(400600)(|500|100)1.10040DX P X P X ≤≤=-≤≥-=2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.击中目标的次数~(500,0.1),X B n p ==5000.150,EX np ==⨯=5000.10.945.DX npq ==⨯⨯= 根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==(4955)P X P ≤≤=≤≤1≈Φ-Φ=Φ+Φ-⎝⎭⎝⎭ (0.74)(0.15)10.77040.559610.33.=Φ+Φ-=+-=★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N15001||15i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑15001|ii P X =⎧⎪=>=⎨⎪⎪⎩⎭∑2222(1.34)220.90990.1802.≈-Φ=-Φ=-⨯=⎝⎭(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝0.95,⎛Φ≥ ⎝1.645,≥2124.4345.1.645n ≤= 因此,最多可有4个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==(0.8)P X n≥3P ⎛=≥==-⎭0.95,3⎛≈Φ≥ ⎝⎭1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n ==(1000)P X≥P =≥=0.95,≈Φ≥1.645,0.810000.n ≥-≥ 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯= 离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X <<(20)(19.520.5)P X P X =<<0.16P ⎫=<=⎪⎭2((0.16)0.5)2(0.56360.5)0.1272.=Φ-=⨯-= 第十二次作业★1. 设X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X 10为来自N (0, 0.32)的一个样本, 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑.标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3iXN i =由卡方分布的定义,10222211~(10).0.3ii Xχχ==∑1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑10222211 1.44(10)160.1,0.30.3i i P X χ=⎧⎫==>=≈⎨⎬⎩⎭∑ 略大,卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是来自正态总体X ~(0, 1)容量为5的样本, 试求常数c , 使得统计量t 分布, 并求其自由度.由独立正态分布的可加性,12(0,2),X X N +标准化变量(0,1),U N =由卡方分布的定义,22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立.由t 分布的定义,(3),T t ===因此c =自由度为3.★3. 设112,,,n X X X 为来自N (μ1, σ2)的样本, 212,,,nY Y Y 为来自N (μ2, σ2)的样本, 且两样本相互独立, 2212,S S 分别为两个样本方差, 222112212(1)(1)2pn S n S S n n -+-=+-. 试证明22().p E S σ=证 由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得()2211112(1)(1)1,n S E E n n χσ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭221.ES σ= 类似地222.ES σ=222112212(1)(1)2pn S n S ES E n n ⎛⎫-+-= ⎪+-⎝⎭22212121212(1)(1).22n n ES ES n n n n σ--=+=+-+-。

九年级数学上册综合算式专项练习题统计与概率应用在数学学科中，统计与概率是非常重要的概念。

通过统计，我们可以对数据进行收集、整理和分析，从而得出有关事件的一些信息。

而概率则是用来描述事件发生的可能性大小。

在九年级的数学上册中，有许多综合算式专项练习题涉及到统计与概率的应用。

本文就将从几个不同的角度来讨论这些题目的解题思路和方法。

一、统计与概率概念的复习在进行综合算式专项练习题之前，首先需要复习统计与概率的相关概念。

1. 统计的概念：统计是指通过对一定范围内的个别对象进行观察、测量和实验，并对所得数据进行整理、分析和解释的一种方法。

2. 频数和频率：在统计中，频数指的是某一事件出现的次数，频率则指的是该事件发生的概率。

频率可以通过频数除以总数得到。

3. 概率的概念：概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0表示不可能发生，1表示一定发生。

二、综合算式的统计与概率应用题实例下面我们将介绍几个综合算式的专项练习题，并利用统计与概率的方法进行解答。

1. 已知小明抛掷一枚均匀的骰子，求他抛掷10次后，恰好抛出4次的概率。

解析：这道题要求我们计算小明抛出4次的概率。

根据骰子的性质，每次抛掷的结果都是独立的，而且每个数字出现的可能性相等。

假设“抛出4次”事件的概率为P，那么P = (1/6)^4，即P = 1/1296。

所以小明抛出4次的概率为1/1296。

2. 一组学生进行了一个数学测验，结果如下：90分以上的有5人，80分至89分的有12人，70分至79分的有20人，60分至69分的有8人，60分以下的有5人。

求这组学生的平均成绩。

解析：为了计算平均成绩，首先需要确定每个分数段的中间值。

根据给定的数据，我们可以计算出每个分数段的总分。

90分以上的人数是5人，所以总分为5 * 90 = 450分；80分至89分的人数是12人，所以总分为12 * 85 = 1020分；70分至79分的人数是20人，所以总分为20 * 75 = 1500分；60分至69分的人数是8人，所以总分为8 * 65 = 520分；60分以下的人数是5人，所以总分为5 * 50 = 250分。

习题一解答1.设A、E、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、E、C及其运算符号表示出来：(1) A发生，E、C不发生；(2) A、E不都发生，C发生；(3) A、E中至少有一个事件发生，但C不发生；(4) 三个事件中至少有两个事件发生；(5) 三个事件中最多有两个事件发生；(6) 三个事件中只有一个事件发生.解：(1) ABC (2) ABC (3) A 一BC (4) ABC 一ABC 一入BC(5) ABC (6) ABC ABC 一ABC2.袋中有15只白球5只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只•设A i表示“第i次取到白球” (i = 1 , 2, 3, 4 ), E表示“至少有3次取到白球”.试用文字叙述下列事件：4⑴ A二A i , (2) A ,(3) B , (4) A2 A3 .i 1解：(1)至少有一次取得白球(2)没有一次取得白球(3)最多有2次取得白球(4)第2次和第3次至少有一次取得白球3.设A、E为随机事件，说明以下式子中A、E之间的关系.(1) A B = A (2)AB = A解：(1) A 二B (2) A -B4.设A表示粮食产量不超过500公斤，B表示产量为200-400公斤，C表示产量低于300公斤，D表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事件：(1) AB , (2) BC,⑶B C ,⑷(B D)C ,⑸ ABC .解：(1) 200,4501; (2) 200,300】(3) 0,4501 (4) 200,300】(5) 0,200 丨5.在图书馆中任选一本书，设事件A表示“数学书”，£表示“中文版” ，C表示“1970年后出版”.问：(1) ABC表示什么事件？(2) 在什么条件下，有ABC = A成立？(3) C二B表示什么意思？⑷如果A=B，说明什么问题？解：(1 )选了一本1970年或以前出版的中文版数学书(2)图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书(3)表示1970年或以前出版的书都是中文版的书(4)说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书6.互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系.(1) X V 20 与X> 20 ；(2) X > 20 与X V 18 ；(3) X > 20 与X < 25 ；(4) 5 粒种子都出苗与5粒种子只有一粒不出苗；(5) 5 粒种子都出苗与5粒种子至少有一粒不出苗.解：(1)对立；(2)互斥；(3)相容；(4)互斥；(5)对立(古)7 .抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率.1 1解：p =一=0.1252 8（古）8 .在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有55个，现从？26个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率.鉀55解：p=C°.0846（古）9 •把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？解：首先将指定的三本书放在一起，共3种放法，然后将7+⑴=8进行排列，共有8!种不38 6 1同排列方法。

20天大《应用统计学》第三次在线作业习题+答案统计指数划分为个体指数和总指数的依据是（A）A.反映的对象范围不同B.指标性质不同C.采用的基期不同D.编制指数的方法不同不能提高工程能力指数的途径为（B）。

A.增大公差范围B.缩小公差范围C.减少加工工序的中心偏移量D.减少标准偏差在某高校中，管理学专业的学生占10%，如果从该高校中随机抽取200名学生进行调查，样本中管理学专业学生所占比例的期望值为（A）。

A.10%B.20%C.5%D.40%有一批灯泡共1000箱，每箱200个，现随机抽取20箱并检查这些箱中的全部灯泡，此种检验属于（C）。

A.纯随机抽样B.类型抽样C.整群抽样D.等距抽样当总体单位数越来越大时，重复抽样和不重复抽样之间的差异（B）。

A.越来越明显B.越来越小C.保持不变D.难以判断组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它（A）A.只包括随机误差B.只包括系统误差C.既包括随机误差，也包括系统误差D.有时包括随机误差，有时包括系统误差若决策者感到客观形势确实不利，宜采用（A）。

A.最大的最小收益值准则B.等可能性准则C.最大的最大收益值准则D.折中准则样本均值与总体均值之间的差被称为（A）。

A.抽样误差B.点估计C.均值的标准误差D.区间估计无偏估计是指（ B ）。

A.本统计量的值恰好等于待估的总体参数B.所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数C.样本估计值围绕待估参数使其误差最小D.样本量扩大到和总体单元相等时与总体参数一致绘制产品质量控制图的关键是（B）。

A.数据的选取和分组B.计算控制上下限和中心线C.计算各个样本数据D.确定使用哪种控制图在下面的假定中，哪一个不属于方差分析的假定(D)A.每个总体都服从正态分布B.各总体的方差相等C.观测值是独立的D.各总体的方差等于0假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为40的样本均值的抽样分布（B）。

A.服从均匀分布B.近似服从正态分布C.不可能服从正态分布D.无法确定贝叶斯决策需要调查取得信息来修正先验概率，这个调查是在（C）中进行的。

概率统计综合测验(一)一、选择填空题(每小题3分，共18分)1. 箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为( )A.15/28B.13/28C.5/28D.3/282. 设X〜N(,2)，则随增加，概率P(|X | )( )A.单调增加B.单调减少C. 保持不变D.与有关3. 设总体错误！未找到引用源。

X : N(u, 2),X!,X2,X3是总体X的样本，贝U以下的无偏估计中，最有效的估计量是().A. 2X X1B. 1 2 X2 1 X2 3 6D. 2 4 1C. X X X2 X5 5 54. ________________________________________________________ 设P(A) 0.5, P(AUB) 0.8，且A与B互斥，则P(B) _________________________5. 设随机变量X在(1,6 )服从均匀分布，则P(2 X 4) __________________6. 若总体X ~ N( , 2)，其中2未知，则对总体均值进行区间估计时选择的枢轴量为_________二、计算题(每小题10分，共30分)1. 某保险公司把投保人分成三类：“谨慎的”、“一般的”、“冒险的”，占的比例分别为20%、50%、30%。

一年中他们出事故的概率分别为0.05、0.15、0.30.(1)求一年中投保人出事故的概率；(2)现有一投保人出了事故，求他是“谨慎的”客户的概率.2. 设随机变量X(1)求E(X) ; (2)求D(X).3.设随机变量X的概率密度为f(x)3x 小ce , x 00, 其他(1)求常数c;(2)求P(X 1).三、计算题(每小题10分，共40分) 1. 设二维随机变量(X,Y)具有联合分布律求(1)X 的边缘分布律；(2)P(X 2 Y 2 1). 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y) (1) 求X 与Y 的边缘概率密度； (2) 判断X 与丫是否独立?(说明理由)1…、x 0x13.设总体X 的概率密度为f(x, )，0 x [错误！未找到引用0,其他源。

第 1 页/共 23 页2021全国中考真题分类汇编（统计与概率）----统计与概率的综合运用一、挑选题1. （2021•湖南省衡阳市）下列说法准确的是（ ）A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，预计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人2. （2021•湖北省江汉油田）下列说法准确的是（ ）A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件B. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时光可能下雨C. 一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7D. 甲､乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同．方差分离是2 0.2s =甲，20.4s =乙，则甲的成绩更稳定二．解答题1. （2021•黑龙江省大庆市）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学比赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成績（成绩均为整数，单位：分）如下： 甲：92，95，96，88，92，98，，99，100乙：100，87，92，93， 9 ，95，92，98因为保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字含糊不清，（1）求甲成绩的平均数和中位数；（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学比赛．2．（2021•山东省济宁市）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生举行体能测试，并按照测试结果绘制了不残破的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级共有学生1200人，则预计该校“良好”的人数是；（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，倘若从中随机抽取两名学生举行体能加试，请用列表法或画树状图的主意，求抽到两名男生的概率是多少？3.（2021•湖南省常德市）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院举行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民举行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗：B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时光的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时光的疫苗；D类——还没有接种，图1与图2是按照此次调查得到的统计图（不残破）．请按照统计图回答下列问题．（1）此次抽样调查的人数是多少人？（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？（3）请预计该小区所居住的18000名居民中有多少人举行了新冠疫苗接种．（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门决定在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．4.（2021•湖南省衡阳市）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可发明经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请预计该天可回收物所发明的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识比赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．第3 页/共23 页5.（2021•怀化市）某校开展了“禁毒”知识的宣传教诲活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生举行知识测试，并将所得数据绘制成不残破的统计图表．频率等级频数（人数）优秀600.6良好a0.25合格10b50.05基本合格合计c1按照统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）补全条形统计图；（3）该小学共有1600名学生，预计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位学生的成绩均为“优秀”，现班主任决定从这四名学生中随机选取两名学生出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名学生同时被选中的概率．6.（2021•山东省泰安市）为欢庆中国共产党成立100周年，落实教诲部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教诲活动的通知》要求，某小学举行党史知识比赛，随机调查了部分学生的比赛成绩，绘制成两幅不残破的统计图表．按照统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；C组所在扇形的圆心角为度；（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，预计该校优秀学生人数为多少？（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2名学生代表小学参加上一级比赛，请用列表或画树状图的主意求恰好抽到E1，E2的概率．比赛成绩统计表（成绩满分100分）组别分数人数A组75＜x≤4第5 页/共23 页80B组80＜x≤8510C组85＜x≤90D组90＜x≤9514E组95＜x≤100合计7.（2021•广西玉林市）2021年是中国共产党建党100周年华诞.“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识比赛，为了了解学生对党史知识的控制情况，小学随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分离举行统计，并绘制了如下不残破的条形统计图与扇形统计图：请按照图中提供的信息解答下列问题：（1）按照给出的信息，将这两个统计图补充残破（不必写出计算过程）；（2）该校八年级有学生650人，请预计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位学生表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．8.（2021•湖北省随州市）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教诲部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：已接种未接种合计七年级301040八年级3515a九年级40b60合计105c150（1）表中，a=______，b=______，c=______；（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或“八”或“九”）（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，按照抽样结果预计未接第7 页/共23 页种的教师约有______人；（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感触，请用列表或画树状图的主意，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．9.（2021•山东省菏泽市）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生举行了国家义务教诲质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，小学绘制了如下不残破的统计图．按照图中提供的信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充残破；（2）合格等级所占百分比为%；不合格等级所对应的扇形圆心角为度；（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的小学运动会，请利用列表或画树状图的主意，求出恰好抽到A、B两位学生的概率．10.（2021•四川省达州市）为欢庆中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教诲实践活动，舞蹈，书法,为了解学生的参加情况，该校随机抽取了部分学生举行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种），部分信息如下：（1）这次抽样调查的总人数为人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为；（2）若该校有1400名学生，预计挑选参加书法的有多少人？（3）小学决定从推荐的4位学生（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．11.（2021•四川省广元市）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，胜利地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：甲医院乙医院年龄段频数频率频数频率第9 页/共23 页18－29周岁9000.154000.130－39周岁a0.2510000.2540－49周岁2100b c0.22550－59周岁12000.212000.360周岁以上3000.055000.125（1）按照上面图表信息，回答下列问题：①填空：a=_________，b=_________，c=_________；②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为_________；（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．12. （2021•呼和浩特市））某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）举行收拾、描述和分析，给出了下面的部分信息．大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，4，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级平均数众数中位数优秀率大一a b43m大二39.544c n请你按照上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a=__________，b=__________，c=__________，m=__________，n__________；按照样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生控制党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，预计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．13.（2021•贵州省铜仁市）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生举行调查，调查问卷设置了A：异常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并按照调查结果绘制成如图所示不残破的频数分布表和频率第11 页/共23 页直方图，按照以上信息回答下列问题：等级频数频率A200.4B15bC100.2D a0.1（1）频数分布表中a=____________，b=____________，将频数分布直方图补充残破；（2）若该校有学生1000人，请按照抽样调查结果估算该校“异常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？（3）在“异常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个参加防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的主意求所选两个学生中至少有一个女生的概率．14.（2021•湖北省黄石市）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，按照报名情况绘制了两幅不残破的统计图．请按照图中信息，解答下列问题：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有______人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是______；（2）补全条形统计图；（3）该班语文、数学两位学科教师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机参加A、B两个小组中，求两位教师在同一个小组的概率．15.（2021•辽宁省本溪市）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识比赛活动．比赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述好汉故事；D．歌颂时代精神．小学要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加比赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不残破的统计图，请你按照图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生共有________名；（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把第13 页/共23 页条形统计图补充残破；（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名学生去做宣讲员，请用列表或画树状图的主意求出恰好小华和小艳被抽中的概率．16.（2021•四川省乐山市）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．小学德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张教师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据举行收拾，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你预计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个小学选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同小学的概率．17.（2021•四川省凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给小学管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生眼力，防止学生迷恋网络和游戏，让学生在小学用心学习，促进学生身心健康发展，教诲部办公厅于2021年1月15日颁发了《教诲部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某小学团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，按照参赛学生的得分情况绘制了如图所示的两幅不残破的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）请你按照统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为______人，m _______；（2）请将条形统计图补充残破；（3）小学将从获得一等奖的4名学生（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取学生中恰有一名男生和一名女生的概率．18.（2021•四川省眉山市））吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解学生们对禁毒知识的控制情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生举行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“异常了解”四类，并按照调查结果绘制出如图所示的两幅不残破的统计图．第15 页/共23 页请按照统计图回答下列问题：（1）本次抽取调查的学生共有人，其中“了解较多”的占%；（2）请补全条形统计图；（3）预计此校“异常了解”和“了解较多”的学生共有人；（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人举行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的控制情况举行检测．请用画树状图或列表的主意，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．19.（2021•遂宁市）我市于2021年5月22－23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规矩”的了解程度举行了抽样调查（参加调查的学生只能挑选其中一项），并将调查结果绘制出以下两幅不残破的统计图表，请按照统计图表回答下列问题：类别频数频率不了解10m了解很少160.32基本了解b很了解4n合计a1（1）按照以上信息可知：a＝，b＝，m＝，n＝；（2）补全条形统计图；（3）预计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有人；（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识比赛，请用画树状图或列表的主意说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．20. 2021•四川省自贡市)为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识比赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分学生的比赛成绩，绘制了如下统计图．第17 页/共23 页（1）本次抽样调查的样本容量是_________，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中惟独两位女生比赛成绩不合格，小李决定随机回访两位比赛成绩不合格的学生，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你预计该校比赛成绩“优秀”的学生人数．21.（2021•青海省）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况举行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不残破的统计表：34567月平均用水量（吨）4a9107频数（户数）频率0.080.40b c0.14请按照统计表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝．（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是，众数是，中位数是．（3）按照样本数据，预计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户举行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的主意，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．22.（2021•湖北省荆门市）为欢庆中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识比赛活动．某年级在一班和二班举行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分离为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析收拾绘制成了如图的统计图．（1）这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？（2）分离计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加小学比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．第19 页/共23 页23. （2021•湖北省十堰市）为欢庆中国共产党成立100周年，某校举行党史知识比赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了如下不残破的统计表和统计图． 等级 成绩（x ） 人数A 90100x ≤≤ 15B 8090x ≤< aC 7080x ≤<18 D70x <7按照图表信息，回答下列问题：（1）表中a =__________；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是_________；D 等级对应的扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识比赛活动，请预计成绩为A 等级的学生共有_______人．（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一年级，小学将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率24. （2021•湖南省张家界市））为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况举行统计，统计分类为以下四种：A （彻低使用）、B （多数时光使用）、C （偶尔使用）、D （彻低不使用），将数据举行千里之行，始于足下。

专项三概率与统计考点4 统计与概率的综合应用大题拆解技巧【母题】(2020年全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?【拆解1】已知条件不变,分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.【拆解2】已知条件不变,分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润.【拆解3】甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件,乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?2021年是中国共产党成立100周年,中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史.某社区为了解居民对党史的认知情况,举行了一次党史知识竞赛,并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析,得到成绩频率分布直方图(如图所示),其中成绩在[50,60)的试卷份数是24.(1)求m,n的值;(2)用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5份试卷,并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评,求成绩在[90,100]恰有1份试卷的概率.【拆解1】已知条件不变,求m,n的值.【拆解2】已知条件不变,且m=0.03,n=200,用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5份试卷,则成绩在[80,90)和[90,100]这两组中应分别抽取多少份试卷?【拆解3】用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中分别抽取3份试卷和2份试卷,并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评,求成绩在[90,100]恰有1份试卷的概率.通法技巧归纳1.计算古典概型事件的概率可分三步:(1)计算基本事件总个数n;(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m;(3)代入公式求出概率.2.求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的有关知识解决,一般步骤:(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;(2)判断事件是否为古典概型;(3)选用合适的方法确定基本事件个数;(4)代入古典概型的概率公式求解.<基础过关>1.党的十八大以来,习总书记在不同场合多次强调要“厉行节约,反对浪费”,要加大宣传引导力度,大力弘扬中华民族勤俭节约的优秀传统.某自助餐厅为响应号召,通过就餐人员用餐后的剩余食物情况进行调查后并采取适当的奖惩政策.(1)现有5人用餐,互相之间都不认识.若这5人中有3男2女,从这5人中任取2人,求恰有1男1女的概率.(2)若每人每次用餐需68元,用餐后若无剩余食物,则返回5元奖励;若剩余在0克到50克之间,则不奖不罚;若剩余在50克到100克之间,则罚10元;若剩余在100克以上,则罚20元.近期调查200位来就餐人员,统计结果如下表:食物剩余量(克)无剩余(0,50](50,100]100克以上人数1801262将频率当作概率,求某人来就餐消费的总费用的平均值.2.2021年3月5日,人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息,人社部表示正在研究延迟退休改革方案,两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄.现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查,随机调查了50人,他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如下表:月收入(单位:百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数123534 (1)根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异;月收入高于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成不赞成合计(2)若采用分层抽样从月收入在[25,35)和[65,75]的被调查人中选取6人进行跟踪调查,并随机给其中3人发放奖励,求获得奖励的3人中至少有1人月收入在[65,75)的概率.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.8283.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会,北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动,并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果,从A,B两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩,并作出如图所示的茎叶图.(1)计算A,B两所大学学生的考核成绩的平均值;(2)由茎叶图判断A,B两所大学学生考核成绩的稳定性;(不用计算)(3)将学生的考核成绩分为两个等级,如表所示,现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人,求2人来自同一所大学的概率.考核成绩[60,85][86,100]考核等级合格优秀4.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,若备件不足再购买,则每个500元,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)从这100台机器中随机抽取1台,求该台机器两年内更换的易损零件数为8的概率;(2)求X的分布列;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=18与n=19之中选其一,应选用哪个?<能力拔高>5.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下:甲公司乙公司职位A B C D职位A B C D 月薪/千元5678月薪/千元46810获得相应职位的概率0.40.30.20.1获得相应职位的概率0.40.30.20.1(1)若两人分别去应聘甲、乙两家公司的C职位(一人只应聘一家公司),记这两人被甲、乙两家公司录用的人数和为η,求η的分布列.(2)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司?说明理由.(3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用,求小王月薪高于小李的概率.6.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32,48,32.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有3人睡眠不足,4人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的数学期望和方差;②设事件A为“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.<拓展延伸>7.为了了解某小区业主与物业满意度情况之间的关系,某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法,从全小区中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的居民分别对物业服务进行评分,满分为100分.调查结果显示:最低分为40分,最高分为90分.随后,兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图,图表如下:男居民评分结果的频数分布表分数区间频数[40,50)3[50,60)3[60,70)16[70,80)38[80,90]20女居民评分结果的频率分布直方图为了便于研究,兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”,二者的对应关系如下:分数[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意(1)求m的值;(2)为进一步改善物业服务状况,从评分在[40,60)的男居民中随机抽取3人进行座谈,记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X,求X的分布列与数学期望;(3)以调查结果的频率估计概率,从该小区所有居民中随机抽取一名居民,求其对物业服务“比较满意”的概率.8.人耳的听力情况可以用电子测听器检测,正常人听力的等级为0~25 dB(分贝),并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀,测试值在区间(5,10]为优秀.某校500名同学参加了听力测试,从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本,制成如下频率分布直方图:(1)从总体的500名学生中随机抽取1人,估计其测试值在区间(0,10]内的概率.(2)已知样本中听力非常优秀的学生有4人,估计总体中听力为优秀的学生人数.(3)现选出一名同学参加另一项测试,测试规则如下:四个音叉的发音情况不同,由强到弱的编号分别为1,2,3,4.测试前将音叉顺序随机打乱,被测试的同学依次听完后,将四个音叉按发音由强到弱重新排序,所对应的音叉编号分别为a1,a2,a3,a4(其中集合{a1,a2,a3,a4}={1,2,3,4}).记Y=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|,可用Y描述被测试者的听力偏离程度,求Y≤2的概率.。

5．某校开展为“希望小学”捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：2，3，2，2，6，7，6，5，则这组数据的中位数为（ ）A ．4B ．4.5C ．3D ．26．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ） A ．100元 B ．105元 C ．108元 D ．118元 19．（本题7分）某校为了了解本校八年级学生课外阅读的喜欢，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）。

图8是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：图8 （1）这次活动一共调查了_________名学生；（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形圆心角等于_________度； （3）补全条形统计图；（4）若该年级有600人，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是_________人。

10．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是A ．13B ．12C ．23D ．34 19．（本题7分）低碳发展是今年深圳市政府工作报告提出的发展理念．近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动．根据调查数据制作了频数分布直方图和扇形统计图，图6中从左到右各长方形的高度之比为2:8:9:7:3:1．人数常识种类（1）已知碳排放值5≤x ＜7（千克/平方米·月）的单位有16个，则此次行动调查了________个单位；（3分）（2）在图7中，碳排放值5≤x ＜7（千克/平方米·月）部分的圆心角为________度；（2分）（3）小明把图6中碳排放值1≤x ＜2的都看成1.5，碳排放值2≤x ＜3的都看成2.5，以此类推，若每个被检单位的建筑面积均为10000平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值x ≥4（千克/平方米·月）的被检单位一个月的碳排放总值约为________________吨．（2分） 6．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明从中抽出一张，则抽到偶数的概率是（ ）A ．13B ．12C ．34D ．2311．小明在7次百米跑练习中成绩如下：次成绩的中位数是 秒20．（7分）深圳大学青年志愿者协会对报名参加2011年深圳大运会志愿者选拔活动的学生进行了一次与大运知识有关的测试，小亮对自己班有报名参加测试的同学的测试成绩作了适当的处理，将成绩分成三个等级:一般、良好、优秀，并将统计结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：（1）请将两幅统计图补充完整；（2）小亮班共有 名学生参加了这次测试，如果青年志愿者协会决定让成绩为“优秀”的学生参加下一轮的测试,那么小亮班有 人将参加下轮测试；（3）若这所高校共有1200名学生报名参加了这次志愿者选拔活动的测试，请以小亮班的测试成绩的统计结果来估算全校共有多少名学生可以参加下一轮的测试。

概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲乙丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹设事件A B C 分别表示甲乙丙击中目标则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E {事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABCABC ABCABC 或;ABACBC 或;ABACBC 或;ABACBC 或().ABC ABCABC ABC (和A B 即并AB ,当,A B 互斥即AB时AB 常记为AB )2. 设M 件产品中含m 件次品计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221Mm M CC或1122(21)(1)mMm mMC CCm Mm M MC★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只计算以下事件的概率.A {8只鞋子均不成双},B {恰有2只鞋子成双},C {恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C1414872616()80()0.5594,143C C C P B C2212862616()30()0.2098.143C C C P C C★4. 设某批产品共50件其中有5件次品现从中任取3件求(1)其中无次品的概率 (2)其中恰有一件次品的概率(1)34535014190.724.1960C C(2)21455350990.2526.392C C C5. 从1～9九个数字中任取3个排成一个三位数求(1)所得三位数为偶数的概率 (2)所得三位数为奇数的概率(1){P 三位数为偶数}{P 尾数为偶数4},9(2){P 三位数为奇数}{P 尾数为奇数5},9或{P 三位数为奇数}1{P 三位数为偶数45}1.996.某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率(2)最大号码为5的概率记事件A {最小号码为5}, B {最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C(2) 243101().20C P B C7.袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率:A ={全红}B ={颜色全同}C ={颜色全不同}D ={颜色不全同}E ={无黄色球}F ={无红色且无黄色球}G ={全红或全黄}.311(),327P A 1()3(),9P B P A 33333!2(),339A P C 8()1(),9P D P B3328(),327P E 311(),327P F 2()2().27P G P A ☆.某班n 个男生m 个女生(m n 1)随机排成一列计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0 1]线段上任取两点将线段截成三段计算三段可组成三角形的概率.14第二次作业1. 设A B 为随机事件P (A)0.92P(B )0.93(|)0.85P B A 求(1)(|)P A B (2)()P A B ∪(1)()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB 0.920.930.0680.058,()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B (2)()()()()P AB P A P B P AB 0.920.930.8620.988.2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率. 记事件A {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B {(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ★.在1—2000中任取一整数求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率记事件A {能被5除尽}, B {能被7除尽}.4001(),20005P A 取整2000285,728557(),2000400P B 200057,5757(),2000P AB ()()1()1()()()P AB P AB P A B P A P B P AB 1575710.686.540020003. 由长期统计资料得知某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15刮风(用B 表示)的概率为7/15既刮风又下雨的概率为1/10求P (A |B )、P (B |A )、P (A B )()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ()()()()P AB P A P B P AB 47119.151510304设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是9/10试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破}1,2,3.i1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A 5设在n 张彩票中有一张奖券有3个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券}1,2,3.i 由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n 或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A nn nn或第一个人中奖概率为11(),P A n 前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n解得21(),P A n前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n解得31().P A n 6甲、乙两人射击甲击中的概率为08乙击中的概率为07两人同时射击假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率 (2)甲中乙不中的概率 (3)甲不中乙中的概率记事件A ={甲中靶}B ={乙中靶}. (1)()()()0.70.70.56,P AB P A P B (2)()()()0.80.560.24,P AB P A P AB (3)()()()0.70.560.14.P AB P B P AB ★7袋中有a 个红球b 个黑球有放回从袋中摸球计算以下事件的概率(1)A {在n 次摸球中有k 次摸到红球}(2)B {第k 次首次摸到红球}(3)C {第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}(1) ();()kn kk n kk k nnna b a bP A CC a b a b a b (2) 11();()k k kbaabP B a b a b a b (3) 1111().()rk rr k rr r k k kaba bP C CCa b a b a b 8一射手对一目标独立地射击4次已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率设射击一次命中目标的概率为,1.p q p 4801121,,1.818133q qp q9设某种高射炮命中目标的概率为0.6问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标(10.6)10.99,n0.40.01,n由50.40.01024,60.40.01,得 6.n☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A 证明只需证分块111,,kk nki i i ii i A A A A A A 只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列1,2,,.kn )分块概率重数为1,,ki i A A 中任取1个任取2个1(1)k 任取k 个即121(1)1k k kkk C CC121(1)(11)0.kk kk kkC CC将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A ☆.证明若A B 独立A C 独立则A B ∪C 独立的充要条件是A BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ()()()()()P A P B P A P C P ABC 充分性:(())()()()()(),P A BC P A P B P A P C P ABC 代入()()()P ABC P A P BC ()(()()())P A P B P C P BC ()(),P A P B C 即,A B C 独立.必要性:(())()()P A B C P A P B C ()(()()())P A P B P C P BC ()()()()()()P A P B P A P C P A P BC ()()()()()P A P B P A P C P ABC ()()(),P ABC P A P BC 即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立．证明因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P AB PC [()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P AB PC 所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1在做一道有4个答案的选择题时如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测设他知道问题的正确答案的概率为p 分别就p 0.6和p 0.3两种情形求下列事件概率(1)学生答对该选择题 (2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率记事件A ={知道问题正确答案}B ={答对选择题}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 113,444p p p当0.6p时13130.67()0.7,444410p P B当0.3p 时13130.319()0.475.444440p P B (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p p P A B p P B p当0.6p 时440.66(|),13130.67p P A B p 当0.3p时440.312(|).13130.319p P A B p2某单位同时装有两种报警系统A 与B 当报警系统A 单独使用时其有效的概率为0.70当报警系统B 单独使用时其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率 (1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系统B 有效的条件下报警系统A 有效的概率 (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A (1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A (2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB 10.70.80.5880.088.☆.为防止意外在矿内同时设有两种报警系统A 与B 每种系统单独使用时其有效的概率系统A 为092系统B 为0.93在A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85求: (1)发生意外时两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下A 有效的概率3设有甲、乙两袋甲袋中有n 只白球m 只红球乙袋中有N 只白球M 只红球从甲袋中任取一球放入乙袋在从乙袋中任取一球问取到白球的概率是多少记事件A ={从甲袋中取到白球}B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 111n N m N nm NM nm NM().()(1)nN n m n m NM☆.设有五个袋子其中两个袋子每袋有2个白球 3个黑球另外两个袋子每袋有1个白球 4个黑球还有一个袋子有4个白球 1个黑球 (1)从五个袋子中任挑一袋并从这袋中任取一球求此球为白球的概率 (2)从不同的三个袋中任挑一袋并由其中任取一球结果是白球问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4发报台分别以概率06和04发出信号“·”及“”由于通信系统受到于扰当发出信号“·”时收报台分别以概率08及02收到信息“·”及“”又当发出信号“”时收报台分别以概率09及0l 收到信号“”及“·”求: (1)收报台收到“·”的概率(2)收报台收到“”的概率(3)当收报台收到“·”时发报台确系发出信号“·”的概率(4)收到“”时确系发出“”的概率记事件B ={收到信号“·”}1A ={发出信号“·”}2A ={发出信号“”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P ;52.01.04.0)2.01(6.0(2) ()1()10.520.48;P B P B (3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B 0.60.8120.923;0.5213(4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B 0.40.930.75.0.4845对以往数据分析结果表明当机器调整良好时产品合格率为90%而机器发生某一故障时产品合格率为30%每天早上机器开动时机器调整良好的概率为75%(1)求机器产品合格率(2)已知某日早上第一件产品是合格品求机器调整良好的概率记事件B ={产品合格}A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 0.750.90.250.30.75,(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B 0.750.90.9.0.75☆.系统(A) (B) (C)图如下系统(A) (B)由4个元件组成系统(C)由5个元件组成每个元件的可靠性为p 即元件正常工作的概率为p 试求整个系统的可靠性. (A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常}B ={系统正常}. (A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 2222(44)(1)(2)p p pp p p p 23452252.pp p p 第四次作业1在15个同型零件中有2个次品从中任取3个以X 表示取出的次品的个数求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P Xk k CX0 1 2 P22/35 12/35 1/35☆.经销一批水果第一天售出的概率是0.5每公斤获利8元第二天售出的概率是0.4每公斤获利5元第三天售出的概率是0.1每公斤亏损3元求经销这批水果每公斤赢利X 的概率分布律和分布函数X 3 5 8P0.10.40.50,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.xF P X xF x F P XP Xx F x2抛掷一枚不均匀的硬币每次出现正面的概率为2/3连续抛掷8次以X 表示出现正面的次数求X 的分布律.(8,2/3),XB np8821(),0,1,,8.33kkk P Xk Ck 3一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数写出X 的分布律并计算X 取偶数的概率(0.35),XG p11()0.350.65,1,2.k k P Xk pqk()+()=1,()()=,P X P X P X P X q奇偶偶奇解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q偶4一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1求在同一时刻(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率(3)至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p (1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C(2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C(3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X (4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P XP X5某汽车从起点驶出时有40名乘客设沿途共有4个停靠站且该车只下不上每个乘客在每个站下车的概率相等并且相互独立试求(1)全在终点站下车的概率(2)至少有2个乘客在终点站下车的概率 (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率记事件A ={任一乘客在终点站下车}乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p (1) 40231(40)8.271810,4P X (2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P XP X P XC10.0001340880.999865912.(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车}乘客在后两站下车人数(40,1/2).YB np2020202040404011(20)0.1268.222CP YC(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e 2020202040404011(20)222CP XC24040!(20!)2402204040240202202ee10.1262.25其中3.1415926536, 1.7724538509.参贝努利分布的正态近似6已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002有2000件瓷器运到求 (1)恰有2个受损的概率 (2)小于2个受损的概率 (3)多于2个受损的概率 (4)至少有1个受损的概率受损瓷器件数(2000,0.002),X B np近似为泊松分布(4).P n p (1) 2441480.146525,2!P ee (2) 4424150.0915782,1!P ee(3) 431211130.761897,P P P e (4) 4410.981684.P e7某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品求产品的合格品率产品合格品率21.21.21.2 1.212.920.879487.1!2!Pee★8设随机变量X 的分布律是X3 5 8P0.20.50.3求X 的分布函数以及概率(36),(1),(5),(||5).P XP XP X P X 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.xF P X xF x F P XP X x F x(36)(5)0.5,P X P X (1)(5)(8)0.50.30.8,P X P XP X (5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P XP X F P XP X第五次作业1学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位小时)其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x 其他试求 (1)系数k (2)X 的分布函数 (3)在15分钟内完成一道作业的概率 (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率(1) 0.50.5232111(0.5),21,32248k k F kxxdxxxk (2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x xF x P Xx xxdx xx x F x(3) 32211119()2170.140625,442464x FP Xx xxdx (4) 3212316111111129217.6336424108PXFF xxdx2设连续型随机变量X 服从区间[a a](a 0)上的均匀分布且已知概率1(1)3P X 求(1)常数a (2)概率1()3P X (1) 1111(1),3,223aa P X dxa aa(2) 13311115()3.36639P Xdx3设某元件的寿命X 服从参数为的指数分布且已知概率P (X 50)e 4试求(1)参数的值 (2)概率P(25X 100) 补分布()()|,0.xxxxxS x P Xx edxeex(1) 504502(50)(50),0.08,25xS P Xedx ee (2) 由()(),,0,rxrS rx eS x r x 取50,x依次令1,2,2r得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P XS e0.0003354563,其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P XP X P X ee0.135334650.00033545630.1349991937.4某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布求 (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率 (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率(1) 1312008002(1200)0.2231301602,P Xee此处 1.6487212707001.e (2) 932(1200)0.0111089965.P Xe5设X ~N (0 1)求P (X 061)P (262X 125)P (X 134)P (|X |213)(1) (0.61)(0.61)0.72907,P X (2) ( 2.621.25)(1.25)(2.62)(1.25)(2.62)1P X0.894359956010.88995,(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X(4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X 6飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (419)设飞机上午1010从甲地起飞求(1)飞机下午2 30以后到达乙地的概率 (2)飞机下午2 10以前到达乙地的概率 (3)飞机在下午1 40至2 20之间到达乙地的概率(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X (2) (4)(0)0.5,P X (3) 72525/647/24261/31/3PX131220.691460.9331910.62465.★7设某校高三女学生的身高X ~N (16225)求(1)从中任取1个女学生求其身高超过165的概率(2)从中任取1个女学生求其身高与162的差的绝对值小于5的概率(3)从中任取6个女学生求其中至少有2个身高超过165的概率(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P (2)162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}()(165)0.2742,pP A P X随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B np6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P YP Y P Yp C p p 第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y |X |的分布律 (2)求Y X 2X 的分布律(1)X 211p k121416112Y0 1 2 P1/6 1/3 1/2(2)Y0 2 P2/12 7/12 ★.定理（连续型随机变量函数的密度公式）设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x 严格单调,反函数()xx y 导数连续,则()Yg X 是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,X Y f x y x y g x yg x f y 极小值极大值其它.证明1)若()0,xx y {}{()()}{},Yy g X g x Xx ()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y2)若()0,xx y {}{()()}{},Yy g X g x Xx ()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x 两边对y 求导, ()(())(),.Y X f y f x y x y y因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y X P X x F x g x F y P Yy P g X g x P Xx F x g x 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dy f y dF x dxdx dy或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X X dF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx (),()(),X Y X dx f x dy f y dx f x dy(())|()|,.X f x y x y y 2设随机变量X 的密度函数是f X (x )求下列随机变量函数的密度函数(1)Y tan X (2)1YX(3)Y |X|(1) 反函数()arctan ,x y y '21(),1x y y 由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y 或反函数支()arctan ,i x y iy i 为整数，'21(),1i x y y '21()(())|()|(arctan ).1Y X i i X iif y f x y x y f iy y (2) 1,XY 反函数1,y x y '211()()().Y X y yX f y f x x f y y(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y★3设随机变量X ~U [2 2]求Y 4X 21的密度函数2111()()(41)(11)1,115,224Y F y P Y y P X y P y Xy y y 两边对y 求导得随机变量Y 的密度为1(),115.81Y f y y y 或解反函数支1211()1,()1,22x y y x y y '''1122111()(())|()|(())|()|2(())(),115.81Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y yy ★4设随机变量X 服从参数为1的指数分布求Y X 2的密度函数(Weibull 分布)当0y 时, 2Y X 的分布()0Y F y ,当0y 时,2()()()()(),Y X F y P Yy P Xy P X y F y 两边对y 求导得1()()(),2yY X f y f y y e y1,0,2()0,0.y Y e y yf y y 或反函数,yx y '1()(),0.2yY X y yf y f x x ey y★5设随机变量X~N (0 1)求(1)Y e X的密度函数 (2)Y X 2的密度函数(Gamma 分布)(1) 当0y 时, e X Y 的分布()0Y F y ,当0y 时,()()(e)(ln )(ln ),XY F y P Yy P y P X y y 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y 2(ln )1exp ,0,2()20,0.Yy y f y y y 或反函数ln ,X Y ln ,y x y '1()()(ln )Y y yf y x x y y 2(ln )1exp ,0.22y y y(2)当0y 时,()0Y F y ;当0Y时,2()()()()()()Y X X F y P Y y P X y P y Xy F y F y两边对y 求导得Y 的密度函数为21,0,()20,0.y Y e y f y y y 或反函数支12(),(),x y y x y y ''211221()(())|()|(())|()|,0.2y Y X X f y f x y x y f x y x y e y y6设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x xx 求Y ln X 的概率密度反函数,y yx e '()()(),0.y yy Y X y yX f y f x x f e e e y第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为12345的五个盒子中去设X 为落入1号盒的球的个数Y 为落入2号盒的球的个数试求X 和Y 的联合分布律1袋中装有标上号码1 2 2的3个球从中任取一个并且不再放回然后再从袋中任取一球以X Y 分别记第一、二次取到球上的号码数求 (1)(X Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等) (2)X Y 的边缘分布律 (3)X 与Y 是否独立？(1)(X Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y 1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y (2) X Y 的分布律相同12(1),(2).33P X P X (3) X 与Y 不独立2设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.xyeex y F x y 其它求(,)X Y 联合密度2(,)(,),f x y F x y x y3515,,0,(,)0,.x yex y f x y 其它★3设二维随机变量(X Y )服从D 上的均匀分布其中D 是抛物线y x 2和x y 2所围成的区域试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数并判断Y X ,是否独立分布区域面积21311232211,333xxSdydxx x dxxx联合密度213,1,(,)0,.x y x f x y S 其它边缘X 的密度为22()33(),01,x X xf x dy x x x边缘Y 的密度为22()33(),01.y Y y f y dy y y y (,)()(),X Y f x y f x f y 因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4.设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是Y X1 351115q 151p15310问,p q 取何值时X 与Y 相互独立. 两行成比例1/151/52,1/53/103q p解得12,.1015pq★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.yAx e x y f x y 其它求(1)常数A (2)概率1(0,1);2P XY(3)边缘概率密度f X (x)f Y (y) (4)X 与Y 是否相互独立？ (1)222()(,),11,yyX f x f x y dyAx e dyAxe dyAx x 112112()1,3X f x dxAx dx A3.2A (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216yeP X Y P XP Y x dxe dy(3) 23(),11,2X f x x x111221113()(,),0.2yyyY f y f x y dxAx e dxex dxe y(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y 其它得X 与Y 独立.或因为2(,),11,0,yf x y Ax e x y可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y 2(),11,X f x Ax x 112112()1,3X f x dx Ax dx A 3.2A 112201113(0,1)(0)(1).22216yeP XYP XP Yx dxe dy6.设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,yY ey f y 其它.且,X Y 独立.求(1)X的密度(2) (,)X Y 的联合密度(1)X 的密度为()5,00.2,X f x x(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,yex y f x y 其它.第八次作业★1设随机变量(X Y)的联合分布律是XY 0 12 0 1/6 1/3 1/12 11/61/121/6求函数(1)Z 1X Y (2) Z2min{X Y } (3) Z3max{X Y }的分布律(1) 11(0)(0),6P Z P XY1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P XY 1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X YP XY11(3)(1,2).6P Z P XY(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y223(0)1(1).4P Z P Z (3) 31(0)(0),6P Z P X Y 31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y 3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P XYP XY2设随机变量(X Y )的联合分布律是XY1 1 1 0.25 0.125 10.1250.25求函数Z X /Y 的分布律(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P XYP X Y(/1)1(/1)0.5.P ZX YP Z X Y3设X 与Y 相互独立概率密度分别为220()0,xX e x f x x 0(),yY e y f y x 试求Z X Y 的概率密度()(,)()()z z Z X Y f z f x z x dxf x f zx dx200222(1),0.z z xz xzxzze edx ee dxe e z★4设X~U (0 1)Y ~E (1)且X 与Y 独立求函数Z X Y 的密度函数,01,0,(,)0,ye xyf x y 其它,当01z 时()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dxf x f zx dx1,zzz xz x zx edx ee 当1z 时11110()(,)()().z z xz xzzZ X Y x f z f x zx dxf x f zx dxedx eee 因此11,01,(),1,0,.zzzZ e z f z ee z 其它★5设随机变量(X Y )的概率密度为()101,0(,)10x y ex y f x y e 其它(1)求边缘概率密度f X (x )f Y (y )(2)求函数U max (X ,Y )的分布函数(3)求函数V min (X ,Y )的分布函数(1) 1,01,()10,x X ex f x e 其它.,0,()0,yY e y f y 其它.(2)110,0,1()(),01,111,1x x xxX X xee F xf x dx dxxeex.min{,1}10,0,1,01x xex e.0,0,()1,0Y yyF y e y .21(1),01,()()()11,1x U X Y xe x F x F x F x ee x .min{,1}1(1)(1),0.1xx e ex e(3) 111,0,()1(),01,10,1xX X x eeS x F x x e x .min{,1}111,0,,01x x eex e.1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y.112111()11,01,()1()()111,1xxx xV X Y ee eeeex F x S x S x e ex .1min{,1}111,01x xxeeex e.6设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160 202)分布随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率随机变量2(160,20),XN 180160(180)(1)0.84134,20P X没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X 第九次作业★1. 设离散型随机变量X 具有概率分布律X 2 1 0 12 3 P0.1 0.2 0.2 0.30.10.1试求E (X )E (X 25)E(|X|)20.110.210.320.130.10.4,i iiEX x p 2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i iiEXx p 22(5)57.2,E X EX ||||20.110.210.320.130.1 1.2.i iiE X x p 2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,()01,1.xx f x x x Aex 求 (1)常数A (2)X 的数学期望(1) 11111(),2xf x dx xdxAe dx Ae ,2e A (2) 121114()2.2323xe e EXxf x dxx dx xe dxe★3. 设球的直径D 在[a b ]上均匀分布试求 (1)球的表面积的数学期望(表面积2D)(2)球的体积的数学期望(体积316D )(1) 22222()();3b ax E D EDdxaab b ba(2) 33322()().6624b axEDEDdx a b a b b a ★4. 设二维离散型随机变量(X Y )的联合分布律为XY1 2 3 4 2 0.10 0.05 0.05 0.10 0 0.05 0 0.10 0.20 20.100.150.050.05求E (X )E (Y )E (XY )2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i iiEXx p 20.320.350.1,1(0.10.050.1)2(0.050.15)j jjEYy p3(0.050.10.05)4(0.10.20.05)2.65,,()ij i jijE XY x y p 2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)1.5 1.50.★5. 设随机变量X 和Y 独立且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x 其它,3(1)3,1,()0,1.y Y ey f y y (1)求(25)E X Y (2)求2()E X Y (1) 1122()2,3X EXxf x dx x dx 3(1)114()3,3y Y EYyf y dy yedy或随机变量1ZY 指数分布(3),E 141,,33EZEY EY24(25)25258.33E XY EXEY(2) 112231()2,2X EXx f x dxx dx 由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY第十次作业1. 设离散型随机变量X 的分布列为X 21 0 12 3P01 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1试求 (1) D (X ) (2) D (3X 2)(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEXx p 2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i iiEXx p 2222.20.42.04.DXEXE X (2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D XDX★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Axx x f x 其他，试求 (1)常数A (2)E (X ) (3) D (X ) (4) D (2X 3) (1) 2281()(2)4,3f x dx Axx dx A解得9.8A (2) 2295()(2).86EX xf x dxx xx dx (3) 2222294()(2),85EXx f x dx x xx dx 2224519.56180DXEXE X(4) 21919(23)24.18045D XDX★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y 其他，试求 (1),X Y 的协方差和相关系数A (2)(21).D X Y (1) 13()(,)(2),01,2X f x f x y dyx y dy x x由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y1035(),212X EXxf x dxxx dx EY 1222231(),24X EX x f x dx xx dx EY 2221511,412144DXEXE XDY 1101()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY,(,)1.11X YCov X Y DXDY (2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y 得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y 22592(1)22(1)(,).144DXDY Cov X Y ★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律YX2 1 0 1 2 1 0.1 0.1 0.05 0.1 0.1 00.050.051 0.1 0.10.05 0.1 0.1试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数(1) X 的分布列为X1 0 1 ip 0.450.10.45由变量X 分布对称得0,EX或10.4500.4510.450,i iiEX x p 22222(1)0.4500.4510.450.9,iiiEXx p 220.9.DX EXE X(2) Y 的分布列为Y21 0 12 jp0.20.250.10.250.2(,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY或20.20.250.2520.20,j jiEYy p222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEYy p222.1.DYEYE Y (3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,ij i jijE XY x y p (,)()0,Cov X Y E XY EXEY因此,(,)0.X YCov X Y DXDY5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P 随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,1.6X Y记2,Z X Y 求,.EZ DZ (1) 2,EX 063,2EY (2)2223 4.EZ E XY EXEY (2) 2(60)2, 3.12DXDY由,(,)1,6X YCov X Y DXDY 得(,)1,Cov X Y 由随机变量和的方差公式()2(,)D XY DXDYCov X Y 得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZD XY DXD Y Cov X Y DX DYCov X Y 第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大掷1000次均匀硬币出现正面的次数在400到600次之间出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p 10000.5500,EXnp10000.50.5250,DXnpq应用切比雪夫不等式有239(400600)(|500|100)1.10040DX P XP X2. 若每次射击目标命中的概率为0.1不断地对靶进行射击求在500次射击中击中目标的次数在区间(49 55)内的概率击中目标的次数~(500,0.1),X B n p5000.150,EXnp5000.10.945.DXnpq根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX 4950505550(4955)454545X P XP555049505513154545(0.74)(0.15)10.77040.559610.33.★3. 计算器在进行加法时将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(0.5 0.5)上服从均匀分布 (1)若将1500个数相加问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90(1) 误差变量,1,2,.i X i 独立同均匀分布(0.5,0.5),X U 10,.12EXDX由独立变量方差的可加性150011500125,12ii DX 15001i i X 近似(0,125).N 15001||15i i P X 1500111535||5125125i i P X 352222(1.34)220.90990.1802.5(2)1||10ni i P X 112123||2ni i P X nn n32210.90,n320.95,n321.645,n212 4.4345.1.645n 因此最多可有4个数相加误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p 0.9,EX np n 0.09.DX npq n (0.8)P X n 0.80.80.930.90.1XEX nEXn n n PDXDXn 0.95,3n 1.645,24.354.3n n因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地正品率为0.8为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p 0.8,EX np n 0.16.DXnpqn。