高中数学解题方法谈：数形结合巧求最值

高中数学几何解题技巧之"数""形"结合策略摘要："数""形"结合策略是高中数学几何解题的重要技巧，通过将几何形状与数学关系相结合，利用数学方法解决几何问题。

关键词：高中数学；几何解题技巧；数""形"结合策略前言在高中数学几何解题中，"数""形"结合策略是一种重要的技巧。

通过将几何形状与数学关系相结合，可以更好地理解和解决几何问题。

一、介绍"数""形"结合策略的概念和重要性"数""形"结合策略是在解决高中数学几何问题时常用的一种方法。

它结合了数学的抽象思维和几何的形象思维，通过数学的计算和几何的图形分析相互支持，从而更全面地理解和解决问题。

这种策略的重要性在于它能够帮助我们从不同的角度来理解几何问题。

几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征，而数学则提供了精确的计算和推理工具。

通过将数学和几何结合起来，我们可以更好地理解几何问题的本质，并找到解决问题的有效方法。

"数""形"结合策略的基本思路是将几何问题转化为数学问题，然后利用数学的方法进行计算和推理，最后再将结果转化回几何语言。

这种策略使我们能够通过数学的计算和推理来揭示几何问题的隐藏规律和性质，从而更深入地理解几何概念。

例如，在解决三角形的问题时，我们可以利用角度和边长的关系，通过数学计算来推导出三角形的性质和关系。

同时，我们也可以通过几何图形的分解和组合，利用图形的对称性和变换来简化问题的解决过程。

这种数形结合的策略使我们能够更全面地理解和解决几何问题[1]。

二、解释为什么这种策略在解决几何问题时很有用"数""形"结合策略在解决几何问题时非常有用，原因如下：首先，几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征。

考点透视数形结合思想是高中数学中的重要思想之一，特别是在解答与圆有关的综合问题时，将题设中所给的数量关系和图形结合起来，能有效地避免大量的代数运算，提升解题的效率.与圆有关的最值问题通常运算量较大，这让很多同学感觉“头疼”.我们不妨从图形的特点出发，结合代数关系，运用数形结合思想来解答最值问题.例1.已知P 是直线l :3x -4y +11=0上的动点，PA ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.分析：本题中涉及了动点，直接求解较为困难.不妨依题意画出图形，根据圆与切线的位置关系及其性质来分析四边形PACB 面积最小时的情形.由图可知S 四边形PACB =2S △PAC ,那么只要求得S △PAC 的最小值，即可求得四边形PACB 面积的最小值.解：因为PA ,PB 是圆的切线，所以PA =PB ,S △PAC =12AC ⋅AP ,设|AC |=r ,|AP |2=|CP |2-r 2，当|CP |取最小值时，|AP |取最小.过圆心C 作直线l 的垂线，如图1所示，此时|CP |最小.由x 2+y 2-2x -2y +1=0可得(x -1)2+(y -1)2=1，则r =1.由点到直线的距离可知||CP =2，则||AP 2=||CP 2-r 2=3，所以S △PAC =12AC ⋅AP =12×1×3，可得S 四边形PACB =2S △PAC =3.在解答与圆有关的最值问题时，要善于利用题目中所给的数量关系，根据代数式的几何意义，将代数关系转化为几何关系，通过数形结合,快速求得问题的答案.例2.已知点A (0,m )，B (0,-m )(m >0),圆C :(x -3)2+(y -4)2=1上有一动点P ，且∠APB =90°，求m 的最值.分析：由∠APB =90°联想到圆的直径，于是构造以AB 为直径的圆E .点P 不仅在圆E 上，还在圆C 上，那么两圆有交点，借助图形分析两圆的位置关系，通过数形结合便可求得m 的最值.解：设以AB 为直径的圆的方程为：x 2+y 2=m 2，则圆E 的圆心为E (0,0)，半径r =m ，要使两圆有交点，需使两圆的圆心距离：||r 1-r 2≤||EC ≤||r 1+r 2，通过计算得||EC =5.||r 1-r 2=||m -1，||r 1+r 2=m +1，可得m ∈[4,6].例3.如图2，点C 为半圆：(x +1)2+y 2=1(x <0)的直径AB 延长线上的一点，||AB =||BC =2,过动点P 作半圆的切线PQ ，若||PC =2||PQ ,D 为(x +1)2+y 2=1的圆心，则△PAC 的面积的最大值是.AB CPQxyxy A PCO图2图3分析：由于点P 是动点，所以点Q 、切线PQ 都会随它改变而改变.要求得△PAC 面积的最值，需先求得△PAC 的面积.可根据题意画出图形，以点B 为原点建立平面直角坐标系，求出点P 的轨迹方程，从而求出△PAC 面积的最大值.解：由题意可知||PQ 2=||PD 2-r 2，||PC =2||PQ ,||PC 2=4||PQ 2=4(||PD 2-r 2)，可得(x -2)2+y 2=4[(x +1)2+y 2]，则点P 的轨迹是一个圆，其方程为(x +2)2+y 2=163，由图3可知，当点P 在最高点时，△PAC 的高d最大，此时S △PAC =12||AC ⋅d =2d .可见，运用数形结合思想解答与圆有关的最值问题的基本思路是：（1）挖掘题目中代数式的几何意义，如将()x +a 2+()y +b 2=r 2看作圆心为(a ,b )，半径为r 的圆，将ax +by =c 看作一条直线；（2）画出相应的几何图形；（3）借助图形，分析点、直线、圆之间的位置关系，根据圆的性质找出临界的情形；（4）求得最值.（作者单位：山东省聊城第一中学）将数与形结合，提升解答与圆相关的最值问题的效率李冰图139。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析数学是一门抽象的学科，与大多数人口中的“实在”“有形”等形容词相悖。

但是，数学却可以通过数形结合的方法让我们看到它的立体感。

在高中数学中，数形结合思想尤为重要，它能够启发我们思考问题，化繁为简，找到解题的技巧性思路。

数形结合思想是一种通过图形来解决数学问题的方法。

它将数学公式和几何图形有机地结合在一起，借助图形的视觉效果，使得数学问题更加直观易懂，容易解决。

以下将通过举例说明如何巧妙地运用数形结合思想解决高中数学问题。

例1. 在平面直角坐标系内，将直线 $y = x$ 上的点分别与 $x, y, -x,-y$ 坐标轴上的点两两连成线段，把平面分成了 $8$ 个部分，求其中钝角三角形的个数。

这是一道很巧妙的数形结合题。

题目中要求我们求的是钝角三角形的个数。

我们可以从图形入手，由题意可知，随着绕点 $O(0,0)$ 以 $(x, x)$，$(y, 0)$，$(-x,-x)$ 和$(0, y)$ 为端点的线段依次连接，整个平面被分成八个区域。

根据锐角、直角、钝角三角形三种情况，可以发现，当一个三角形中必须至少有一条边与 $y=x$ 相交时，这个三角形就是钝角三角形。

因为它的另外两条边必须显著“弯曲”，而直角三角形则需要两条边与 $y=x$ 垂直。

同样的，当一条边与 $y=-x$ 相交时，也可能会构成钝角三角形。

那么我们可以可以通过观察不同的区域得到钝角三角形的数目。

对于 $A$ 区域，只有 $(3)$ 构成的三角形（实心的）是钝角三角形。

通过以上分析，我们得到：在这八个区域中，钝角三角形的个数为$1+3+4+1+1+3+3+1=17$。

例2. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(3,5)$，$P$ 点在 $\triangle ABC$ 内部，$AP$ 与 $BC$ 相交于点 $D$，$BP$ 与$AC$ 相交于点 $E$，$CP$ 与 $AB$ 相交于点 $F$，三边上的点 $D$，$E$，$F$ 互不相同。

例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。

在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。

求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。

例1：求函数的值域。

分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。

解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。

作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。

评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。

例2：已知，求的最小值。

【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。

解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。

分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。

如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。

令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。

分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。

解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。

例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。

巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。

er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。

J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。

数形结合在高中数学教学中的巧妙应用1. 引言1.1 数形结合在高中数学教学中的重要性数目。

感谢理解！数形结合在高中数学教学中的重要性体现在多个方面。

数形结合可以帮助学生更深入地理解数学概念，将抽象的数学知识具体化，让学生更直观地感受到数学的美妙之处。

数形结合可以促进学生的逻辑思维能力和空间想象能力的发展，培养学生解决问题的能力。

数形结合还能够激发学生学习数学的兴趣，提高他们学习数学的积极性与主动性。

通过数形结合的教学方法，学生可以更全面地理解数学知识，将数学与实际生活中的问题联系起来，提高数学学习的效果和质量。

数形结合在高中数学教学中扮演着重要的角色，为学生提供了更丰富多彩的学习体验，有助于他们全面提升数学素养。

2. 正文2.1 数形结合的教学方法数、格式等。

数形结合在高中数学教学中的巧妙应用是一种非常重要的教学方法，它通过结合数学中的符号和几何中的图形，使学生更直观地理解抽象的数学概念。

在进行数形结合的教学时，教师需要运用多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和提高他们的学习效果。

教师可以通过举例说明的方式引入数形结合的概念，让学生从具体的实例中感受数学与几何之间的联系。

在解决几何问题时，可以让学生通过画图的方式将问题可视化，再通过数学方法解决问题，从而深刻理解数学与几何之间的联系。

教师可以组织学生进行小组讨论或合作学习，让他们互相交流思想，共同探讨解决问题的方法。

通过互动交流，学生可以更好地理解数形结合的概念，并且在实践中加深对知识的理解。

教师还可以借助现代化的技术手段，如数学软件或在线资源，来辅助数形结合的教学。

通过多媒体教学，学生可以更直观地感受到数学与几何之间的联系，提高学习效果。

2.2 数形结合在几何学习中的应用数目、格式要求等。

数形结合在几何学习中起着至关重要的作用，通过将数学知识与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解几何概念，提高他们的几何思维能力。

在高中数学教学中，数形结合可以应用于各种几何问题的解决中，如计算三角形的面积、判断平行四边形的性质等。

一
图 １
，
成 立．
例 ４ 当 １ ＜ｎ ＜ ６时 ， 求证： ａ ＞
解 析 ：“ ＞ ＿ １㈢
．
ｂ ）， （ Ｃ， ０）， （ ０， ｄ） ．
（ ６ — １）ｌ ｎ ａ ＞
由 Ｆ， Ｇ分 别 为 Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ 中点 ，
知 Ｆ （ 一 旦 ２ ， 一 ｂ ） ， Ｇ （ 专 ， 导 ） ．
又 Ｅ 同时 在 ＡＣ， Ｂ Ｄ 的垂 直
／
＼ ／
（ ｎ 一 １ ） １ ｎ “ 一 半 ｌ ＞ Ｄ — ｌ ．
设 函数 ｌ ，（ ） ＝ｌ ｎ ｘ， 则 其 图 像 必 过 点 Ｃ（ １ ， ０ ） ， 在 图像 上 任取 两 点 Ａ（ “ ， ｌ ｎ ａ） ，
波利亚在《 怎样解题 》 一 书 中说 ： “ 数 学 解 题 是 命 题 的 连 续
的变 换 ． ” 可见“ 转化” 是 解 题 的 重要 手 段 ． 而数 形 结 合 ， 是 转 化 的重 要 方 法 之 一 ． 纵 观 近 年 来 的高 考 ， 熔“ 数” 和“ 形” 于 一 体 的 试 题 屡 见不 鲜 ． 本 文就 运 用 “ 数形 结合” 进 行 解 题 的 常 见题 型 进行分类解析．
一 ２ ｆ
．
『 Ｊ
图 ３
特 定 的 问题 ， 可以被转化为一个图形 ， 那 么 思 想 就 整 体 地 把 握
了问题 ， 并且能创造性地思索问题的解法． ”
即— ｌ ｎ ａ ｌ ｎ ｌ ＞
得证
．
数学 教学 中 的 数 形结合 浅 谈 ４ ． 利 用 图 形 求最 值 例 ２ 解不等式 ｌ ３ ｘ －２ ｌ ＋Ｉ ３ 十１ ｌ ≤６ （ ∈ Ｒ） ．

巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。

通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。

例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。

对于一个连续递减函数，则相反。

因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。

2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。

根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。

因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。

利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。

3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。

平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。

利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。

除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。

这些方法在不同的问题中都有所应用。

最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。

在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。

因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。

由一 — Ｘ ／３ ≤生 二 ≤
—
解得 ： ２ －
３ 。
≤ ≤
３
ｋ＋ｌ
２ ＋ 、 ／ 了， 所 以
一
的最小值 为２ 一 、 ／ 了 ， 最大值 为
Ｖ十
，
Ｉ ｙ ＋２
Ｃ Ａ 边 上分别取 一点Ｄ、 Ｅ、 Ｆ ，
设ｌ ＡＤＩ ＝ ０ ， Ｉ Ｄ Ｂｌ ＝ ｍ， Ｉ Ｂ Ｅｌ ： ｃ ． Ｂ
Ｉ ＥＣＩ －ｒ ， Ｉ Ｃ同 ＝６， Ｉ Ｉ ＝ ｎ。
‘
当 然 这 里 的ｋ 并 非 是 某 一 条直 线 的斜 率 ， 所 以 问题 比 上一题要复杂。 解： 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２ 则（ １ 一
生 问题 熟 悉 化 。
一
例３ ： 已知 ： 点Ｐ （ ， ｙ ） 是 圆 卅ｙ 的 最 大值 。
＝ ９ 上的一动点 ， 求
距。 画与直线ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ 平行的 、 ７ （ 、 、１ 直线系， 问题转化为： 求直 — ＝ ＝ ＿ ７ ＿
－
、
利 用 数 形 结 合 转化 为两 点 之 间的 距 离 问题
二、 利 用 数 形 结 合 转 过
程。
Ａ
例２ ： 已知 ＋ ≤１ ， 求 型 ± 的最值 。
’ —
ｙ ＋２
分析 ： 本 题 可 以 转化 为斜 率 问题 ， 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２
解 ：构 造 边 长 为ｋ 的 等 边 三 角形 Ａ Ｂ Ｃ ， 并 在 Ｂ、 Ｂ Ｃ、
２
＼
即： ａ ｎ ＋ ｃ ｍ ＋ ｂ ｒ ＜ Ｋ ２ 。
从 以上例子可以知道 ， 使用了数形结合 的方法 ， 很多 问题便迎刃而解了。可见巧妙运用数形结合 的 思想方法 ， 解决一些抽象的数学问题 ， 可起到事半功 倍 的效果 。利用数形结合 ， 不仅使问题更 直观 ， 而且 时也大大加快 了解题的速度。所 以我们要 注意培养

数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。

．
２
Ｆ 分别是它 的左、 ２ 右焦点 ， 椭 圆上求一点， 在 使
１ ：： ，Ｆ １１
Ｂ
Ｐ
０
得 ＩＡ ＋ＩＦ Ｉ Ｐ Ｉ Ｐ１ 最小． 分析： 此题可用椭圆的第一定义解得 （ 如图
３． １
Ｉ Ｉ Ｐ １＝（ －ＩＦ Ｉ Ｐ ＝２ ＋ Ｐ ＋ＩＦ Ｉ ２ Ｐ ２ ＋Ｉ Ｉ ａ ａ ） （ Ａ —Ｉ Ｆ Ｉ Ｉ Ｉ Ｐ ２， Ｒ ） 图 １ 而 Ｉ Ｆ Ｉ Ｐ ｌ≤ ＩＦ Ｉ显然， 、 Ｉ ２ —ＩＡ Ｉ Ａ ２ Ｐ ， 当点 此函数很难用初等方法求得最值， 但是联想 Ｐ ｚ 、Ｆ 三点共线且 ＩＦ Ｉ Ｐ ＝ＩＦ Ｉ 其 Ｐ ｚ—Ｉ Ｉ Ａ ｚ时， 抛物线定义， 注意到 ＩＦ 等于点Ｐ到抛物线准 和最小值为２ —ＩＦ Ｉ １ 一、１， Ｐ Ｉ ｎ ｚ ＝ ０ ／０ 不难通过 ／
分析： 图２ 用椭 圆的第二 定义可得， 如 ， 答案
、 ’ －
－＿一
一
—
／
图 ３
是＼ ， ／ ｆ １ ．
这类 问题的一般形式是： 已知 是 圆锥曲线
当然也可求得其最大值， Ｐ ２—Ｉ Ｉ 当Ｉ Ｆ Ｉ Ｐ ＝ ＩＦ Ｉ 其和最大值为２ ＩＦ Ｉ １ ＋ ２时， ｎ＋ ２ ＝ ０ 、 ０ 此时， ／． ／ １ 点Ｐ在点Ｑ 处．
这类问题的通法是圆锥曲线的第二定义．
—
例１ 若点 坐标为（， ， ３ ）Ｆ为抛物线 ＝ ２
＼ ＼
Ｐ
Ｂ
２的焦 ， 在该 点 点Ｐ 抛物线上移 为使Ｉ Ｉ 动， Ｐ ＋
．
／、
Ｂ
一
图 ２
—
／
ｎ
例 ３ 已知椭 圆 Ｘ －＋ ｙ ： Ｌ Ａ － ＝ （ ９ ＝

ｘ —１
如 下变 式 ： 变 式 ｌ 求 函数ｙ — ： ＝
分 析 ：： ｙ 三二
Ｘ— ｌ
表 示 点 （ 。 与 点 （ ， ） １
，
， 一
１ 的 连 线 的斜 ）
率 ， 点 （ ， 是 抛 物 线 ｙ ｘ上 的动 点 （ ≠ １ 。如 图 ３ 直 线１ 而 ｘ ｘ） ： ｘ ） ， 与 ｌ 抛 物 线 的切 线 ， 切 点 为 ｘ ， ） 则 由导 数 知 ， 率 为２ 。 是 设 ｏｘ ， 斜 ｘ，
ｘ／３ ｃ ｓ ２ ｏ ｘ＋
分 析 ：可变 形 为ｖ ：— Ｘ ３ ｓ ｘ Ｏ ／ ｉ － ｎ
—
，
也 可 变形 为 ｖ ：
则 切 线 方 程 为ｙ ｘ＝ ｘ（ — 。 。 点 （ ， １ 代 人 ， 。 １ ｘ — ‘２ ０ｘ ｘ） 将 ｏ １ ） 一 得ｘ： ± ／２ ，
（ ／３ｅ ｓ ＋ ） ０ 、 ｏｘ ２ 一
斜 率模 式 解 析几何 中的斜率 是 这样定 义 的 ： ． ， ， 率ｋ 当ｘ ≠ｘ 时 斜 ：
一
、
（ｉｘ ｓ ｘ 是 线 段 Ａ Ｊ 的 动 点 ， 得 经 过 点 Ｃ的直 线 １、 的 斜 ｓ ，ｉ ） ｎ ｎ Ｂ２ 易 ．ｌ ， 率分 别 为 ３ 和
ｖ
— Ｖ
。
因 此 ， 于 分 式 的形 式 ． 对 视情 况 可 以将 其 转 化 为 斜 率 的
２ ｉ ｘ＋１ ｓｎ
．
１
１
Ｓ ｎＸ一 —— Ｉ
分 析 ： 数 变形 为ｖ ———厶 ， 函 ＝ ＿ 即表 示 点 （ｉｘ ｓ ｘ 与 点 Ｃ ｓ ，ｉ ） ｎ ｎ
．
１
ｓｌ ｎｘ＋ － — － —

数形结合思想在解题中的应用--以最值问题为例
发布时间：2023-06-06T08:10:56.427Z 来源：《基础教育参考》2023年6月作者：邓力铖
[导读] 数形结合是高中数学解题中重要的思想之一，特别是在解决圆的综合问题时，经常将题设中所给的数量关系和图形结合起来，避免大量的代数运算.对于圆中所涉及到动点中求最值问题，大部分学生更是一筹莫展.本文从“图形”出发，结合代数关系，呈现出动点运动状态，求出最值，简化运算，让学生体会数形结合的优势.
（四川省达州市第一中学校）
中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2023）6-261-01。

谈数形结合思想在解题中的应用数形结合是数学中一种重要的思想方法，形是数的翅膀，数是形的灵魂。

华罗庚先生曾指出，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。

数量关系借助几何图形可以使许多抽象问题变得直观形象，有利于解题思路的扩展，而有些涉及几何图形的问题如能借助数的辅助，转化为数量关系，则可获得简洁的解法，因此，数与形二者相结合便能优势互补，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

下面就几种常见的应用谈谈自己的体会。

1. 将数的问题转化为形的问题例1 已知：0求证： a2+b2+ （1-a）2+b2+ a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22 。

分析一：该题若单纯地看作一个代数不等式问题，是一个很复杂的不等式证明问题，整体把握不等式左端的结构特点，可以联想到勾股定理和四条线段的长度， 2 可以联想到边为1的正方形的对角线长，不难找到下面的简单证明方法：证明：构造以1为边长的正方形如图（1）所示，则o1a= a2+（1-b）2；o1b= （1-a）2+b2；o1c=（1-a）2+（1-b）2 ；o1d=a2+b2 ；ac=bd=2 。

∵o1a+o1b+o1c+o1d=（o1a+o1c）+（o1b+o1d）≥ac+bd=2 2 （当且仅当点o，o1重合时，等号成立）∴结论成立。

分析二：该题也可以联想到两点间的距离公式，构造点的坐标，用解析几何简单地证明。

证明：在坐标系内，设o（0，0），m（1，0），n（1，1），p（0，1），q（a，b），如图（2）所示：则：|oq|= a2+b2 |mq|= （1-a）2+b2|pq|= a2+（1-b）2 |nq|= （1-a）2+（1-b）2左边=|oq|+|mq|+|pq|+|nq|=（|oq|+|nq|）+（|pq|+|mq|）=≥|on|+|pm|=2 2 =右边当q点与pm、on的交点重合时，“=”成立∴原不等式成立上面一题是一个不等式证明题，分别用平面几何和解析几何较简单地给予了证明。

教学研究幸福生活指南28幸福生活指南巧用数形结合解决高中数学中的的最值问题彭永波辽宁省盘锦市盘山县高级中学 辽宁 盘山 124100摘 要：高中数学教学中数和形是相互联系和相互转换的。

许多数学问题都是数和形的结合。

数形结合思想就是将数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法[张福庆2013]。

高中数学的解题的本质就是要理解数和形的关系，找粗他们相互转换的规律。

高中数学中的数，一般是指实数、复数或代数对象及其关系，隶属抽象思维范畴."形"主要是指几何图形，隶属形象思维范畴。

关键词：高中数学；数形结合；函数教学；最值问题数形结合，顾名思义，就是将数学中的代数和图像相互转换，结合起来解决数学问题的数学思想。

随着教育改革进程不断加快，对于高中数学而言，其教学的最终目的是培养学生掌握学习的方法，数形结合作为高中数学的主要教学方法之一，将形与数有机结合，进而开拓思维，掌握解题思路.它能够使数学中一些抽象的题目解答变得更加直观、生动，化抽象为具体，学生在解题时会变得相对容易。

把握数形结合思想的使用，可以拓宽数学解题的思路和方法，学生能够更加快速、正确地解答出数学题目。

一、在例题讲解中运用数形结合的思想解决数学最值问题例题是教学中不可缺少的内容，教师在教学中要做到运用图形循序渐进，立足于学生已有认知，逐渐提升难度，所以，在例题中要先让学生根据图形做基础题热身。

教师可以将看图设计的题目展示给学生：（1）求函数f(x)=x 2+2x-2的最小值；（2）求函数f(x)=x 2+2x-2在[0，5]上的最大值和最小值。

”，可以看到，这道题比较基础，很多学生都能够正确的做出来，求出题目的最值，还需要展现出求二次函数最值的基本思想方法。

就两道题目来说，不同就在于（2）是在（1）的基础上增加了定义域，基于对比学习，学生就可以认识到定义域会影响到二次函数最值。

之后在图例的启示下教师可以带着学生引入参数深化研究。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析数形结合思想是数学解题中常用的一种方法，通过将抽象的数学问题转化为具体的形式，可以更直观地理解问题的本质，并且更加灵活地使用各种数学知识进行分析和解决。

在高中数学中，运用数形结合思想能够帮助学生更好地理解和掌握知识，提高解题的效率和准确性。

下面通过几个高中数学题例来具体分析运用数形结合思想巧解的方法。

例一：已知正三角形ABC的边长为s，点P在AB上，Q在BC上，PR=QB=s/3，则△PQR 的面积为多少？解析：首先我们可以将已知的情况用图形表示出来，画出正三角形ABC和点P、Q，并连接PQ。

然后我们可以根据给出的条件进行分析，发现△PQR实际上是一个梯形，因为PR 和QB是平行的，并且分别等于s/3。

我们可以通过求解梯形的面积来得到△PQR的面积。

由于梯形的面积公式为(S1+S2)×h/2，其中S1和S2分别为上底和下底的长度，h为梯形的高，因此我们可以根据已知条件求解出S1、S2和h的值，然后代入公式中进行计算，最终得到△PQR的面积。

通过上述分析，我们可以看到，利用数形结合思想可以将抽象的几何问题转化为具体的图形，然后通过图形的性质和几何知识进行分析和计算，帮助我们更好地理解和解决问题。

这种方法在高中数学中经常用到，对于解决各种几何问题都有一定的帮助。

例二：已知函数y=f(x)的图像关于y轴对称，则y=f(x-1)的图像与y=f(x)的图像有怎样的关系？解析：这个问题涉及到函数图像的平移和对称性质，我们可以通过数形结合思想来解决。

我们可以先分析y=f(x)的图像关于y轴对称的性质，可以得出当(x,y)在y=f(x)的图像上时，(-x,y)也在上面。

根据这个性质，我们可以进一步分析y=f(x-1)的图像，因为函数中x-1的变化，导致了图像在x轴上的平移，我们可以得出当(x,y)在y=f(x)的图像上时，(x-1,y)在y=f(x-1)的图像上。

也就是说，y=f(x-1)的图像相对于y=f(x)的图像向右平移了1个单位。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。

今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。

例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。

解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。

我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。

解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。

根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。

通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。

例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。

解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。

解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。

然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。

三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。