2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附解析

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.。

【解析】
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的概念和运算，求得.【详解】根据补集的概念和运算可知.故选：D【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，为奇函数，且在上递增，符合题意.对于C选项，是奇函数，且在上递减，不符合题意.对于D选项，是奇函数，且在上递减，在上递增，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在中,点M、N分别在边BC、CA上,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得的表达式.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在区间.【详解】依题意，当时，，根据零点存在性定理可知，零点所在区间是.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则( )A. 6B. 12C. 18D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.6.不等式的解集为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集.【详解】依题意，所以，故原不等式的解集为..故选：A【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7.函数大致图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，且，所以函数为上的奇函数，由此排除A,B,C三个选项.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题.8.已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合与，求得，由此判断出正确选项.【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9.设函数,则下列结论错误的是( )A. 设,则有B. 对任意,都有C. 对任意,都有D. 对任意,都有【答案】C【解析】【分析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确.【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确.B，函数最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确.C，当时，，所以C选项错误.D，，，所以对任意,都有，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10.已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简不等式，分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】原命题等价于存在,使得成立,即存在,使得成立，即,因此.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式得.故答案为：(1). 2 (2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12.已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据图像求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值.【详解】根据图像可知，，所以，即，解得.所以，则，，由于，所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13.若,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】将对数式化为指数式，求得的值，进而求得的值以及的值.【详解】由得，所以，.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.设函数,则的单调递增区间为________,的值域为________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】画出的图像，根据图像求得的单调递增区间和值域.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，的单调递增区间为，的值域为.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线对称.若的终边经过点,则________.【答案】【解析】【分析】由终边上一点的坐标，求得，根据对称性求得终边上一点的坐标，由此求得，进而求得.【详解】由于的终边经过点，所以.点关于直线对称点为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于对称点的坐标的特点，属于基础题.16.已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.非零平面向量,,满足,且,则最小值________.【答案】【解析】【分析】首先求得与的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得的最小值.【详解】,,设与的夹角为,因此即与的夹角为（如图）,的终点在射线BA上,因此的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合,函数,记的定义域为B.(Ⅰ)当时,求,;(Ⅱ)若,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得,.（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时,得,由,得,于是,;（Ⅱ）若,则,得【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19.已知,,是同一平面内的三个向量,且.(Ⅰ)若,且,求的坐标;(Ⅱ)若,且与垂直,求向量与夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),或; (Ⅱ).【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，根据列方程，由此求得的坐标.（II）根据与垂直，则，化简后求得，利用向量夹角公式，计算出向量与夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）设,,即,故,或;（Ⅱ）,即,代入整理得,向量与的夹角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20.已知函数,满足.(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.【答案】(Ⅰ),.单调递增区间为,(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用，结合，求得的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据图象变换的知识求得的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得在上的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为,,所以,因此,又,,因为,所以,即,因此函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，又,所以.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的零点;(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解析】【分析】（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.【详解】（Ⅰ）当时,,（i）当时,令,即,解得;（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.由（i）（ⅱ）,得的零点为,（Ⅱ）方法1.（i）当时,对于,得,显然函数在上递减,要使恒成立,只需,即,得,又,所以符合题意.（ⅱ）当时,由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类当,即时,函数在上递增,在上递减.此时,只需即解得,即又,所以符合题意.当,即时,函数在上递增.要使恒成立,只需,即,得,又所以符合题意.由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.方法2.因为对任意,恒有,所以,即,解得.下面证明,当时,对任意,恒有,（i）当时,递增,故成立;（ⅱ）当时,,,,故成立.由此,对任意,恒有,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的概念和运算，求得.【详解】根据补集的概念和运算可知.故选：D【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，为奇函数，且在上递增，符合题意.对于C选项，是奇函数，且在上递减，不符合题意.对于D选项，是奇函数，且在上递减，在上递增，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在中,点M、N分别在边BC、CA上,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得的表达式.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在区间.【详解】依题意，当时，，根据零点存在性定理可知，零点所在区间是.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则( )A. 6B. 12C. 18D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.6.不等式的解集为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集.【详解】依题意，所以，故原不等式的解集为..故选：A【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7.函数大致图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，且，所以函数为上的奇函数，由此排除A,B,C三个选项.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题.8.已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是( )A. B.C. D.【分析】结合与，求得，由此判断出正确选项.【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9.设函数,则下列结论错误的是( )A. 设,则有B. 对任意,都有C. 对任意,都有D. 对任意,都有【答案】C【解析】【分析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确.【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确.B，函数最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确.C，当时，，所以C选项错误.D，，，所以对任意,都有，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10.已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简不等式，分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】原命题等价于存在,使得成立,即存在,使得成立，即,因此.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式得.故答案为：(1). 2 (2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12.已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据图像求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值.【详解】根据图像可知，，所以，即，解得.所以，则，，由于，所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13.若,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】将对数式化为指数式，求得的值，进而求得的值以及的值.【详解】由得，所以，.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.设函数,则的单调递增区间为________,的值域为________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】画出的图像，根据图像求得的单调递增区间和值域.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，的单调递增区间为，的值域为.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线对称.若的终边经过点,则________.【答案】【解析】【分析】由终边上一点的坐标，求得，根据对称性求得终边上一点的坐标，由此求得，进而求得.【详解】由于的终边经过点，所以.点关于直线对称点为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于对称点的坐标的特点，属于基础题.16.已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.非零平面向量,,满足,且,则最小值________.【答案】【解析】【分析】首先求得与的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得的最小值.【详解】,,设与的夹角为,因此即与的夹角为（如图）,的终点在射线BA上,因此的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合,函数,记的定义域为B. (Ⅰ)当时,求,;(Ⅱ)若,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得,.（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时,得,由,得,于是,;（Ⅱ）若,则,得【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19.已知,,是同一平面内的三个向量,且.(Ⅰ)若,且,求的坐标;(Ⅱ)若,且与垂直,求向量与夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),或; (Ⅱ).【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，根据列方程，由此求得的坐标.（II）根据与垂直，则，化简后求得，利用向量夹角公式，计算出向量与夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）设,,即,故,或;（Ⅱ）,即,代入整理得,向量与的夹角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20.已知函数,满足.(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.【答案】(Ⅰ),.单调递增区间为,(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用，结合，求得的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据图象变换的知识求得的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得在上的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为,,所以,因此,又,,因为,所以,即,因此函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，又,所以.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的零点;(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解析】【分析】（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.【详解】（Ⅰ）当时,,（i）当时,令,即,解得;（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.由（i）（ⅱ）,得的零点为,（Ⅱ）方法1.（i）当时,对于,得,显然函数在上递减,要使恒成立,只需,即,得,又,所以符合题意.（ⅱ）当时,由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类当,即时,函数在上递增,在上递减.此时,只需即解得,即又,所以符合题意.当,即时,函数在上递增.要使恒成立,只需,即,得,又所以符合题意.由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.方法2.因为对任意,恒有,所以,即,解得.下面证明,当时,对任意,恒有,（i）当时,递增,故成立;（ⅱ）当时,,,,故成立.由此,对任意,恒有,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A. B. C. D.2.已知向量=（4，2），=（x，3）向量，且，则x=（）A. 1B. 5C. 6D. 93.函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（）A. B. C. D.4.三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A. B. C. D.5.sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（）A. B. C. D.6.方程2x=2-x的根所在区间是（）A. B. C. D.7.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A. B. C. D.8.已知函数y=A sin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A.B.C.D.9.若平面向量=（1，），=（-，），则|+2|=（）A. B. C. 4 D. 1210.函数y=的值域是（）A. B. C. D.11.的值为（）A. B. 0 C. D. 112.在△ABC中，P为中线AM上的一点，若|AM|=3，|AP|=2|PM|，则•（+）的值是（）A. B. C. 2 D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=+lg（9-x）的定义域是______．14.已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为______．15.若||=1，||=，且（-）⊥ ，则与的夹角是______．16.定义运算则函数f（x）=1*2x的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知0＜α＜π，cosα=-．（1）求tanα的值；（2）求cos2α-cos（+α）的值．18.已知向量=（1，2），=（-2，m），=+（t2+1），=-k+，m∈R，k、t为正实数．（1）若，求m的值；（2）若 ⊥，求m的值；（3）当m=1时，若 ⊥ ，求k的最小值．19.已知函数f（x）=cos（2x-），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间[-，]上的最值，并求出取得最值时的x的值．20.已知函数f（x）=sinωx，（ω＞0），x∈R．（1）当ω=2时，写出由y=f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数y=g（x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）若y=f（x）图象过点（，0），且在区间（0，）上是增函数，求ω的值．21.已知函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（x∈R）有最大值2．（1）求实数a的值；（2）当f（）=0时，求的值．22.已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且α，β∈（-，）．（1）求α+β的值；（2）求cosαcosβ的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选D．由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合C U B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2.【答案】C【解析】解：∵向量=（4，2），=（x，3）向量，且，∴4×3-2x=0，∴x=6，故选：C．根据所给的两个向量的坐标和两个向量平行的条件，写出两个向量平行的充要条件，得到关于x的方程，解方程即可得到要求的x的值．本题考查两个向量平行的充要条件的坐标形式，只要记住两个向量平行的坐标形式的充要条件，就不会出错，注意数字的运算，本题是一个基础题．3.【答案】B【解析】解：由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），故选：B．由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），可得函数y=a x+2图象一定过点（0，3），由此得到答案．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C．5.【答案】B【解析】解：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin60°=故选：B．利用正弦的两角和公式即可得出答案本题主要考查三角函数中两角和公式．关键是能记住这些公式，并熟练运用，属基础题．6.【答案】D【解析】解：令f（x）=2x+x-2，则f（0）=1-2=-1＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）上必有零点，①又∵2x＞0，ln2＞0，∴f′（x）=2x ln2+1＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，至多有一个零点．②综上①②可知：函数f（x）=2x+x-2在R有且只有一个零点x0，且x0∈（0，1）．即方程2x=2-x的根所在区间是（0，1）．故选：D．利用函数零点的判定定理即可判断出．熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：对于A，函数是奇函数，不合题意；对于B，x＞0时，y=2-x，在（0，+∞）递减，不合题意；对于C，函数在（0，+∞）递减，不合题意；对于D，x＞0时，y=x+1，递增，且函数是偶函数，符合题意；故选：D．根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．8.【答案】C【解析】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（-）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ-∵∴φ=故选C．先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中-求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．9.【答案】B【解析】解：∵平面向量=（1，），=（-，），∴=（0，2），∴|+2|==2．故选：B．利用平面向量加法定理求出，由此能求出|+2|的值．本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】A【解析】解：2x＞0；∴-2x＜0；∴16-2x＜16，且16-2x≥0；∴0≤16-2x＜16；∴；即0≤y＜4；∴原函数的值域为[0，4）．故选：A．根据2x＞0即可得出16-2x＜16，从而得出0≤16-2x＜16，这样便可求得0≤y＜4，即得出原函数的值域．考查函数值域的概念及求法，指数函数的值域，以及不等式的运算及性质．11.【答案】D【解析】解：==tan45°=1．故选：D．直接利用两角和与差的三角函数，回家求解即可．本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．12.【答案】A【解析】解：如图，∵M是BC的中点，且=2，∴P为△ABC的重心，又AM=3，∴||=2，||=1∴•（+）=•2=2||•||•cos180°=-4．故选：A．由题意可得，P为△ABC的重心，然后利用重心的性质结合数量积运算得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查了重心的性质，是中档题．13.【答案】[3，9）【解析】解：由，得3≤x＜9．∴函数y=+lg（9-x）的定义域是[3，9）．故答案为：[3，9）．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14.【答案】1【解析】解：扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的弧长为3r-2r=r，∴扇形的圆心角（正角）的弧度数为：α==1．故答案为：1．根据题意求得扇形的弧长，再计算扇形的圆心角弧度数．本题考查了扇形的圆心角计算问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：设夹角为θ∵∴∴∴1-1×cosθ=0解得cosθ=∵0≤θ≤π∴故答案为利用向量垂直的充要条件：数量积为0，列出方程；利用向量的运算律及向量的数量积公式求出夹角余弦，求出角．本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式、向量的运算律．16.【答案】1【解析】解：定义运算，若x＞0可得，2x＞1，∴f（x）=1*2x=1；若x≤0可得，2x≤1，∴g（x）=1*2x=2x，∴当x≤0时，2x≤1，综上f（x）≤1，∴函数f（x）=1*2x的最大值为1，故答案为1；已知定义运算，利用新的定义求解，首先判断2x与1的大小关系，分类讨论；此题主要考查函数单调性的性质以及值域的求法，对于新定义的题，注意认真理解题意，是一道基础题；17.【答案】解：（1）∵0＜α＜π，cosα=-，∴sin，则tanα=；（2）cos2α-cos（+α）=1-2sin2α+sinα=1-2×=．【解析】（1）直接利用同角三角函数基本关系式求解；（2）由已知利用倍角公式及诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．18.【答案】解：（1）由可得1×m-2×（-2）=0，解之可得m=-4；（2）由 ⊥可得1×（-2）+2×m=0，解之可得m=1；（3）当m=1时，=（-2t2-1，t2+3），=（，），由 ⊥ 可得（-2t2-1）（）+（t2+3）（）=0，化简可得，当且仅当t=1时取等号，故k的最小值为：2【解析】（1）（2）由平行和垂直的条件分别可得关于m的方程，解之可得；（3）把m=1代入，分别可得向量，的坐标，由垂直可得k，x的关系式，由基本不等式可得答案．本题考查平面向量垂直于平行的判定，涉及基本不等式的应用，属中档题．19.【答案】解：函数f（x）=cos（2x-），x∈R．（1）函数f（x）的最小正周期T=；令2kπ-π≤2x-≤2kπ，k∈Z得≤x≤∴单调递增区间为[，]；k∈Z（2）由x∈[-，]⇒2x-∈[-π，]．∴当2x-=-π，即x=时，函数f（x）取得最小值为：．∴当2x-=0，即x=时，函数f（x）取得最大值为：．【解析】（1）根据周期公式求解即可，结合余弦函数的性质可得单调递增区间；（2）根据x在[-，]上，求解内层函数的范围，结合余弦函数的性质可得最值和取得最值时的x的值．本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，属于基础题．20.【答案】解：（1）∵函数f（x）=sinωx（ω＞0）．ω=2时，f（x）=sin2x．∴图象向右平移个单位长度得到：y=sin2（x-）=sin（2x-）．由2x-=kπ+，k∈Z，可得图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z，（2）∵函数f（x）=sinωx（ω＞0）．图象过点（，0），∴ω=kπ，即ω=，k∈z，∵函数f（x）=sinωx（ω＞0）．在区间（0，）上是增函数，得出：ω≤，即ω≤，∵ω＞0，∴ω=．【解析】（1）根据函数图象的平移得出函数解析式，利用正弦函数的性质可求对称轴方程．（2）利用零点得出ω=kπ，即ω=，k∈z，再根据单调性得出ω≤，即ω≤，判断得出ω的值．本题综合考察了三角函数的图象和性质，转化思想，方程的利用，属于中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）=2cos2x+sin2x+a=cos2x+sin2x+a+1=2sin（2x+）+a+1，当2x+=2kπ+，即x=kπ+，k∈Z，f（x）取得最大值，且为3+a=2，即a=-1；（2）由f（）=0，即2sin（x+）=0，可得x+=kπ，即x=kπ-，k∈Z，2x=2kπ-，k∈Z，==2+．【解析】（1）运用二倍角公式和正弦函数的图象和性质，解方程可得a；（2）由f（）=0求得2x，计算可得所求值．本题考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，则，tanα•tanβ=4，所以tanα＜0，tanβ＜0．故：tan（α+β）===．由于α，β∈（-，），所以-π＜α+β＜0，则．（2）由于cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=cos=-，①且tanα•tanβ=4，则：sinαsinβ=4cosαcosβ，②故由①②得：-3cosαcosβ=-，整理得cos．【解析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用三角函数的关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用．。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（附解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合，，．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】C【解析】解：要使函数有意义则解得且函数的定义域为故选：C．根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．3.运行如图所示的程序，若输出y的值为2，则可输入实数x值的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，故时，，解得：舍去；时，，解得：舍，或，综上，可得可输入x的个数为1．故选：B．模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，分类讨论即可得可输入x的个数．本题的考点是函数零点几何意义和用导函数来画出函数的图象，考查了数学结合思想和计算能力，属于基础题．4.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设20个数分别为，，，，求出的平均数为，实际平均数，求出的平均数与实际平均数的差：．故选：B．求出的平均数与实际平均数的差：，由此能求出结果．本题考查求出的平均数与实际平均数的差的求法，考查平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知函数，那么的值为A. 9B.C.D.【答案】B【解析】解：，，而，．．故选：B．首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．6.某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，其余为后勤服务人员，现用分层抽样方法从中抽取一容量为20的样本，则抽取后勤服务人员A. 3人B. 4人C. 7人D. 12人【答案】A【解析】解：根据分层抽样原理知，应抽取后勤服务人员的人数为：．故选：A．根据分层抽样原理求出应抽取的后勤服务人数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．7.已知函数，若对任意实数，且都有成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，满足对任意实数，且都有成立，则函数为减函数，又由，则有，解可得，即a的取值范围为；故选：A．根据题意，分析可得函数为减函数，结合函数的解析式可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的应用，关键是掌握函数单调性的定义．8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a可能的取值是A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】解：函数为偶函数，图象关于原点对称，排除，又指数型函数的函数值都为正值，排除，故函数的图象只能是，当时，函数为减函数，则，得，故只有4满足故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质先确定对应的图象，然后结合指数函数的图象特点确定底数的大小即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数值的符号确定对应的图象是解决本题的关键．9.一直以来，由于长江污染加剧以及滥捕滥捞，长江刀鱼产量逐年下降为了了解刀鱼数量，进行有效保护，某科研机构从长江中捕捉a条刀鱼，标记后放回，过了一段时间，再从同地点捕捉b条，发现其中有c条带有标记，据此估计长江中刀鱼的数量为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，得：，解得．故选：D．设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，列出方程能求出结果．本题考查长江中刀鱼的数量的估计，考查随机抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知偶函数在区间上是单调递增函数，若，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：偶函数在区间上是单调递增函数，则在上为减函数，若，则，即，求得，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性可得，由此求得实数m的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．11.如图程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】解：因为要求时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．通过要求时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“”，进而通过偶数的特征确定．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．12.已知函数，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，方程可化为，解得：或，又，所以当时，此时方程有一个实数根，当时，方程可化为，由题意有此方程必有两不等实数根，设，由二次方程区间根问题有：，解得：或，综合可得：实数a的取值范围为：，故选：C．含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题先通过讨论：当时，当时去绝对值符号，再结合区间根问题求解二次方程的根的个数即可．本题考查了含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题及区间根问题，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，那么______．【答案】3【解析】解：由得，，即，故答案为：3由，求出，直接代入即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数解析式直接转化是解决本题的关键．14.《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文，写于戊戌变法失败后的1900年，文中极力歌颂少年的朝气蓬勃，其中“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技年，甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：则参加运动会的最佳人选应为______．【答案】丙【解析】解：从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定，故最佳人选应该是丙．故答案为：丙．从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定．本题考查最佳人选的判断，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2019年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：已知A型汽车的销售量y与价格x符合线性回归方程：，若A型汽车价格降到19万元，预测它的销售量大约是______辆【答案】42【解析】解：由图表可得，，．代入线性回归方程，得．，当时，．预测它的销售量大约是42辆．故答案为：42．由已知求得，代入线性回归方程求得b，得到线性回归方程，取求得y值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．16.已知函数有唯一零点，则______．【答案】【解析】解：与的图象均关于直线对称，的图象关于直线对称，的唯一零点必为，，，．故答案为：．判断函数与的图象的对称性，结合函数的对称性进行判断即可．本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件判断函数的对称性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，．Ⅰ当时，求；Ⅱ若，求实数k的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，，则，分Ⅱ，则分当时，，解得；分当时，由得，即，解得分综上，分【解析】Ⅰ直接根据并集的定义即可求出由，得，由此能求出实数k的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.计算下列各式的值：；．【答案】解：原式；原式．【解析】进行分数指数幂的运算即可；进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的运算性质．19.已知是奇函数．求a的值并判断的单调性，无需证明；若对任意，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】解：是奇函数，定义域为R，，解得，验证：，，即为奇函数，，在R上为增函数，对任意，不等式恒成立，，在R上为增函数，，，即对任意，恒成立，令，，，，对于，当时取最大值，最大值为3，，，故实数k的取值范围为．【解析】由奇函数的性质可得，在判断函数的单调性；利用的奇偶性和单调性，将不等式转化为：在上恒成立，然后转化为最值，最后构造函数求出最大值即可．本题考查了奇偶函数定义、函数的单调性、恒成立问题转化为最值、二次函数求最值属中档题．20.张先生和妻子李女士二人准备将家庭财产100万元全部投资兴办甲、乙两家微型企业，计划给每家微型企业投资50万元，张先生和妻子李女士分别担任甲、乙微型企业的法人根据该地区以往的大数据统计，在10000家微型企业中，若干年后，盈利的有5000家，盈利的有2x家，持平的有2x家，亏损的有x家．求x的值，并用样本估计总体的原理计算：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性用百分数示；张先生加强了对企业的管理，预计若干年后甲企业一定会盈利，李女士由于操持家务，预计若干年后盈利情况与该地区以往的大数据统计吻合求若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半．【答案】解：，，用样本估计总体计算得：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性为：．由题意得若干年后，两人家庭财产的总数量为：万元．由于婚姻期间家庭财产为共同财产，若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半为：万元．【解析】由，求出，用样本估计总体，能求出若干年后甲微型企业至少盈利的可能性．由题意求出若干年后，两人家庭财产的总数量，由此能求出若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值．本题考查实数值、至少盈利的可能性、期望值的求法，考查用样本特征估计总体特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.当今的学校教育非常关注学生身体健康成长，某地安顺小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况，抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试，测试成绩分成，，，四个部分，并画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右前三个小组的频率分别为，，，且第一小组从左向右数的人数为5人．求第四小组的频率；求参加两分钟跳绳测试的学生人数；若两分钟跳绳次数不低于100次的学生体能为达标，试估计该校二年级学生体能的达标率用百分数表示【答案】解：第四小组的频率为：．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，解得，参加两分钟跳绳测试的学生人数为50人．由题意及频率分布直方图知：样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为：，估计该校二年级学生体能的达标率为．【解析】由频率分布直方图能求出第四小组的频率．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，由此能求出参加两分钟跳绳测试的学生人数．由题意及频率分布直方图知样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为，由此能估计该校二年级学生体能的达标率．本题考查频率、频数、达标率的求法，考查频率分布直图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.已知函数，其最小值为．求的表达式；当时，是否存在，使关于t的不等式有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数的对称轴为，当时，区间为增区间，可得；当，可得；当时，区间为减区间，可得．则；当时，即，可得，令，，可得在递减，在递增，在的图象如右图：，，由图可得，即，关于t的不等式有且仅有一个正整数解2，所以k的范围是【解析】求得的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性可得最小值；由题意可得，令，求得单调性，画出图象，可得整数解2，即可得到所求范围．本题考查二次函数的最值求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查不等式有解的条件，注意运用参数分离和对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x35．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．67．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．78．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A．D（x）的值域是{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）是奇函数D．任意x∈R，都有f[f（x）]＝19．（5分）已知函数，则f（﹣6）+f（log26）＝（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．211．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．（5分）已知a＝1.010.01，b＝ln2，c＝log20.5，则a，b，c从小到大的关系是．15．（5分）＝．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5}；∴∁A B＝{0，2，4}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．1【分析】直接利用诱导公式化简求值．【解答】解：tan225°＝tan（180°+45°）＝tan45°＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l＝2，扇形的半径r＝OA＝1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，属基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y＝e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，∵y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则y＝2x﹣2﹣x是增函数，故C正确，D．y＝﹣x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期是＝2，故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα＝6．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．7【分析】由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：AD是BC边上的中线，∴，则＝＝＝＝﹣故选：B ．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（ ）A ．D （x ）的值域是{0，1}B ．D （x ）是偶函数C ．D （x ）是奇函数D ．任意x ∈R ，都有f [f （x ）]＝1【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．【解答】解：A ．函数的值域为{0，1}，故A 正确，B ．若x 是无理数，则﹣x 也是无理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝0，若x 是有理数，则﹣x 也是有理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝1，综上f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故函数f （x ）是偶函数，故B 正确， C ．由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，D ．当x ∈R 时，f （x ）＝1或0都是有理数，则f [f （x ）]＝1，故D 正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9．（5分）已知函数，则f （﹣6）+f （log 26）＝（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （﹣6）与f （log 26）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f （﹣6）＝log 3[3﹣（﹣6）]＝log 39＝2，f （log 26）＝+1＝7，则f （﹣6）+f （log 26）＝2+7＝9； 故选：C ．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．【解答】解：∵||＝1，，，∴16＝，4＝，解可得，＝，||＝，则在方向上的投影为＝，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x，（x∈[0，π]）设A（x，﹣sin x），则A，B关于x＝对称，此时B（π﹣x，﹣sin x），当0≤x≤时，|AB|＝π﹣x﹣x＝π﹣2x，当≤x≤π时，|AB|＝x﹣（π﹣x）＝2x﹣π，则对应的图象为D，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x ，1），若⊥，则实数x 的值是 ．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【解答】解：∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14．（5分）已知a ＝1.010.01，b ＝ln 2，c ＝log 20.5，则a ，b ，c 从小到大的关系是 c ＜b ＜a ．【分析】容易得出，1.010.01＞1，0＜ln 2＜1，log 20.5＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵1.010.01＞1.010＝1，0＜ln 2＜lne ＝1，log 20.5＜log 21＝0； ∴c ＜b ＜a ．故答案为：c ＜b ＜a ．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15．（5分）＝ 1 ．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝lg（）﹣2+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a 的最大值．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得C⊆A，可得，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，，函数表达式为．补全数据如下表：（Ⅱ）∵，∴A＝[﹣4，4]，又A∪C＝A，∴C⊆A．依题意，∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【分析】（Ⅰ）直接利用二倍角公式，求得sin2的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值，可得β的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα＝，α∈（），所以cosα＝﹣＝﹣．从而sin2＝＝．（Ⅱ）因为α∈（），β∈（0，），所以α+β∈（，），所以cos（α+β）＝﹣＝﹣．∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•（﹣）﹣（﹣）•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，求出f（x）的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝＝≥3﹣1＝，∴函数f（x）的值域为[，+∞）．（Ⅱ）令t＝ax2﹣4x+3，当a≥0时，t无最大值，不合题意；当a＜0时，∵t＝ax2﹣4x+3＝a（x﹣）2﹣+3，∴t≤3﹣，又f（t）＝3t在R上单调递增，∴f（x）＝3t≤＝81＝34，∴3﹣＝4，∴a＝﹣4．【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有＝（2sin x，cos2x）•（cos x，﹣）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2x﹣＝kπ，则，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象．由，即，又x∈[0，π]，∴g（x）的单调增区间为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）又∵g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴g（x）为偶函数；（Ⅱ）依题意有g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（0）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，所以g（0）＝g（﹣2）＝g（2）＝0，要使得g（x）＜0，则x∈（﹣2，0）∪（0，2），由g（h（x））＜0得h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2）∵，∴，∴，∵a＞0，，又h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2），∴即，∴存在使得g（h（x））＜0恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，三角函数的性质，是一道综合题．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时求出总收益y＝y1+y2的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件转化为y＝+≥对任意x∈[0，5]恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5﹣x百万元当a ＝2时，y ＝y 1+y 2＝（5﹣x ）+•2＝，（0≤x ≤5），令t ＝，则0≤t ≤，y ＝﹣（t 2﹣2t ﹣5），其图象的对称轴t ＝1∈[0，]，∴当t ＝1时，总收益y 有最大值，此时x ＝1，5﹣x ＝4．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………（5分）（Ⅱ）由题意知y ＝+＝≥对任意x ∈[0，5]恒成立，即﹣2x +2a+1≥0对任意x ∈[0，5]恒成立，令g （x ）＝2x +2a +1，设t ＝，则t ∈[0，]，则g （t ）＝﹣2t 2+2at +1，其图象的对称轴为t ＝，……………（7分）①当0＜≤，即0＜a ≤时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）≥g （），∴g （t ）min ＝g （）＝2a ﹣9≥0，得a ≥，又0＜a ≤∴≤a ≤②当＜≤，即＜a ≤2时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）＜g （），可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0，符合题意∴＜a ≤2③当＞，即2＜a ≤5时，易知g （t ）＝﹣2t 2+2at +1在[0，]单调递增可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0恒成立，2＜a ≤5综上可得≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[，5]．……………（12分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，3}，B={3，5}，则A∩B=（）A. B. C. D. 3，2.下列四组直线中，互相平行的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与3.圆x2+4x+y2=0的圆心和半径分别为（）A. ，4B. ，4C. ，2D. ，24.在空间中，下列命题错误的是（）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 不共线的三个点确定一个平面5.下列各函数在其定义域内为增函数的是（）A. B. C. D.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.若x=8，y=log217，z=（）-1，则（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F、G分别为C1D1、BC1上一点，C1F=1，且FG∥平面ACE，则BG=（）A. B. 4 C. D.9.已知直线l：y=kx+2（k∈R），圆M：（x-1）2+y2=6，圆N：x2+（y+1）2=9，则（）A. l必与圆M相切，l不可能与圆N相交B. l必与圆M相交，l不可能与圆N相切C. l必与圆M相切，l不可能与圆N相切D. l必与圆M相交，l不可能与圆N相离10.函数f（x）=+1的大致图象为（）A. B.C. D.11.若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A. 16B. 17C. 32D. 3312.光线沿直线l：3x-4y+5=0射入，遇直线l：y=m后反射，且反射光线所在的直线经过抛物线y=x2-2x+5的顶点，则m=（）A. 3B.C. 4D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线的倾斜角是直线的倾斜角的______倍．14.直线3x-4y+5=0被圆x2+y2=7截得的弦长为______．15.若函数f（x）=是在R上的减函数，则a的取值范围是______．16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，AC⊥AB，PA=3，AC=4，PC=5，且三棱锥P-ABC的外接球的表面积为28π，则AB=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f（x）=+ln（2-x）的定义域为A，集合B={x|2x＞1}．（1）求A∪B；（2）若集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，求a的取值范围．18.（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且．（1）过点A作一条射线AG，使得AG∥BD，求证：平面PAG∥平面BDE；（2）若点F为线段PC上一点，且DF⊥平面PBC，求四棱锥F-ABCD的体积．20.已知函数f（x）=x3+e x-e-x．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数的单调性（不需要证明）；（3）求不等式f（2x-1）+f（-3）＜0的解集．21.已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．22.设函数f（x）=（）x+m的图象经过点（2，-），h（x）=ax2-2x（＜1）．（1）若f（x）与h（x）有相同的零点，求a的值；（2）若函数f（x）在[-2，0]上的最大值等于h（x）在[1，2]上的最小值，求a的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A∩B={3}．故选：A．直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：因为x+2y=0与2x+4y-3=0的斜率均为-，故平行，故选：D．两直线平行则斜率相等，计算斜率判断即可．本题考查了两直线平行与斜率的关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：圆x2+4x+y2=0，即圆（x+2）2+y2=4，它的圆心为（-2，0），半径为2，故选：C．把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心和半径．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：空间中，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行或相交货异面，故A错误；如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直，也可能相交货平行，故B正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，由平行公理可C正确；由公理3可得不共线的三个点确定一个平面，故D正确．故选：A．空间垂直于同一直线的两直线可以平行、相交或异面，可判断A；垂直于同一平面的两个平面肯相交或平行，可判断B；运用平行公理和公理3，即可判断C和D．本题考查空间线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的性质和公理的运用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=-，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，y=log（4-x），其定义域为（-∞，4），令t=4-x，则y=log tx，则t=4-x为减函数，y=log tx也为减函数，则y=log（4-x）在其定义域内为增函数，符合题意；对于C，y=1-2x2，为二次函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D，y=-x3，在其定义域上是减函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判断，关键是掌握函数单调性的性质以及判断方法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由已知三视图得到几何体如图：由团长时间得到体积为=5；故选：C．由已知几何体的三视图得到几何体为棱柱，由两个三棱锥组合成的，根据棱柱的体积公式计算即可．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．7.【答案】D【解析】解：∵x=8，∴x=4，∵z=（）-1=，y=log217＞y=log216=4，∴y＞x＞z，故选：D．分别根据对数指数幂的运算性质求出x，y，z即可比较本题考查了对数指数幂的运算性质，属于基础题8.【答案】C【解析】解：根据题意，连接BD，与AC交于点O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，则EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，而EO⊂平面ACE，则BD1∥平面ACE，又由FG∥平面ACE，则BD1∥FG，又由C1F=1，且C1D1=4，则=，则C1G=，则BG=BC1-C1G=3，故选：C．根据题意，连接BD，与AC交于点O，连接EO，分析可得EO为△BDD1的中位线，进而可得BD1∥平面ACE，由线面平行的性质可得BD1∥FG，由平行线定理分析可得答案．本题考查线面平行的性质以及应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵直线l：y=kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x-1）2+y2=6内，∴直线l必与圆M相交，∵（0，2）在圆N：x2+（y+1）2=9上，∴l不可能与圆N相离．故选：D．直线l：y=kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x-1）2+y2=6内，（0，2）在圆N：x2+（y+1）2=9上，由此得到l必与圆M相交，l不可能与圆N相离．本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．10.【答案】D【解析】解：∵f（-x）=f（x），∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C，当0＜x＜1时，log2x8＜0，x2-4＜0，∴f（x）＞1，故排除A，故选：D．先判断函数为偶函数，再求出当0＜x＜1时，f（x）＞1，故排除A，B，C本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值得变化趋势，属于基础题11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y=x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．由对数函数的单调性可得y=x2-2x+a的最小值为16，配方即可得到所求最小值，解方程可得a．本题考查函数的最值的求法，注意转化为二次函数的最值，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：抛物线y=x2-2x+5的顶点（1，6），点（1，6）关于直线y=m的对称点（1，2m-6），（1，2m-6）在直线3x-4y+5=0上，3-4（2m-6）+5=0，解得m=4．故选：C．求出抛物线的顶点坐标，求得点M关于直线y=m的对称点M'的坐标，代入直线方程求解m即可．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，考查直线的方程的求法，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：直线的倾斜角是150°，直线的倾斜角是30°，则直线的倾斜角是直线的倾斜角的5倍，故答案为：5．根据直线的斜率k=tanα，分别求出直线的倾斜角，问题得以解决．本题考查直线的倾斜角，考查了直线的斜率，是基础题14.【答案】2【解析】解：∵O到直线3x-4y+5=0的距离为1，∴所求距离为2=2．故答案为：2先求圆心O到直线的距离，再用勾股定理可得弦长．本题考查了直线与圆相交的性质．属中档题．15.【答案】[-6，1）【解析】解：由题意得：，解得：-6≤a＜1，故答案为：[-6，1）．根据一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了一次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．16.【答案】【解析】解：∵PA=3，AC=4，PC=5，∴PA2+AC2=PC2，则PA⊥AC，又PA⊥AB，AC⊥AB，∴三棱锥P-ABC可以补成一个长方体，则其外接球的半径r=，∴，即AB=．故答案为：．由已知可得三棱锥P-ABC满足过顶点A的三条侧棱两两垂直，然后补形为长方体求解．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．17.【答案】解：（1）由得，-6≤x＜2；由2x＞1得，x＞0；∴A=[-6，2），B=（0，+∞）；∴A∪B=[-6，+∞）；（2）A∩B=（0，2）；∵集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集；∴ ；解得0≤a≤1；∴a的取值范围是[0，1]．【解析】（1）可解出A=[-6，2），B=（0，+∞），然后进行并集的运算即可；（2）可解出A∩B=（0，2），根据集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，即可得出，解出a的范围即可．考查描述法、区间表示集合的定义，指数函数的单调性，函数定义域的定义及求法，子集的定义，以及交集、并集的运算．18.【答案】解：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，则x-2y+4=0，令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2），则|AB|==2；（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，当直线过原点时，此时方程为x+4y=0．【解析】（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，即可求出A，B的坐标即可求出|AB|；（2）分类讨论：当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答19.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE，又AG∥BD，同理得AG∥平面BDE，∵PA∩AG=A，∴平面PAG∥平面BDE．解：（2）∵DF⊥平面PBC，∴DF⊥PC．在Rt△PDC中，∵PD=4，CD=8，∴，∴DF==，∴FC==，∴=，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK=，∵PD⊥底面ABCD，∴FK⊥底面ABCD，∴ ．【解析】（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，从而OE∥PA，进而PA∥平面BDE，由AG∥BD，得AG∥平面BDE，由此能证明平面PAG∥平面BDE．（2）由DF⊥PC，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK⊥底面ABCD，由此能求出四棱锥F-ABCD的体积．本题考查面面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=x3+e x-e-x，则f（-x）=（-x）3+e-x-e x=-（x3+e x-e-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数；（2）f（x）=x3+e x-e-x在R上为增函数；（3）由（1）（2）的结论，f（x）=x3+e x-e-x是奇函数且在R上为增函数；f（2x-1）+f（-3）＜0⇒f（2x-1）＜-f（-3）⇒f（2x-1）＜f（3）⇒2x-1＜3，解可得x＜2，即不等式的解集为（-∞，-2）．【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）由函数的解析式结合常见函数的单调性，分析易得结论；（3）根据题意，由（1）（2）的结论，可以将原不等式转化为2x-1＜3，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的证明与应用，（3）注意分析得到关于x的不等式，属于基础题．21.【答案】解：（1）由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（，）．设C（a，0），则k CM=，∴•（-）=-1，∴a=-1，∴C（-1，0），|CM|=2，即r=2，∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x-3=0，△=4+12（1+k2）＞0，x1+x2=-，x1x2=-．（i）证明：+==为定值；（ii）|PN|2+|QN|2=（x1-2）2+（y1-1）2+（x2-2）2+（y2-1）2=（x1-2）2+（kx1-1）2+（x2-2）2+（kx2-1）2=（1+k2）（x1+x2）2-2（1+k2）x1x2-（4+2k）（x1+x2）+10=+16，令3+k=t（t＞3），则k=t-3，上式即为+16=+16≤+16=2+22．当且仅当t=，即k=-3时，取得最大值2+22．【解析】（1）由题意设C（a，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解得a，再由两点的距离公式可得半径，进而得到所求圆的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），联立圆的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，即可证得（ⅰ）+为定值；（ii）由两点的距离公式，以及韦达定理和基本不等式，化简整理，即可得到所求最大值．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得f（2）=m+=-，即有m=-，即f（x）=（）x-，由f（x）=0，可得x=1，由题意可得h（1）=a-2=0，即a=2；（2）函数f（x）在[-2，0]上递减，可得f（x）的最大值为f（-2）=4+m=，若函数f（x）在[-2，0]上的最大值等于h（x）在[1，2]上的最小值，由h（x）的对称轴为x=，当a＞0时，由＜1可得a＞1，即有h（x）在[1，2]递增，可得h（x）的最小值为h（1）=a-2，由a-2=，解得a=；当a＜0时，h（x）在[1，2]递减，即有h（x）的最小值为h（2）=4a-8，由4a-8=，解得a=，又a＜0，不符题意．综上可得a=．【解析】（1）由题意可得f（2）=-，解得m，由零点定义，即可得到所求值；（2）运用指数函数的单调性可得f（x）的最大值，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，解方程即可得到所求值．本题考查函数的零点求法，考查指数函数的单调性和二次函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，属于中档题．。

学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（试卷满分150分，考试时间120分钟）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算即可.【详解】因为或，，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了二次不等式，对数不等式，集合的交集运算，属于容易题.2.A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：三角函数诱导公式及求值3. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数成立的条件可得，解方程组得出结论.【详解】根据题目条件可得：解得：∴函数的定义域为.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域的知识点，属于简单题.4. 在中，点为的中点，若，，则=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用三角形中线的性质将，分别用表示，然后进行向量的模的运算即可.【详解】因为点为的中点，所以,所以，故选：B【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则，向量的数量积的运算，考查了运算能力，属于中档题.5. 函数的零点必落在区间( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，，，根据函数零点存在性定理可得出答案．【详解】由题得，，而，根据函数零点存在性定理可得函数在区间上存在零点．故答案为B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．6. 已知函数（其中），其部分图像如下图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据图像可知：解得，所以由且解得：，所以将其横坐标变为原来的倍，得到，再向右平移一个单位得到：，所以答案为B.考点：1.三角函数的图像；2.三角函数图像变换.7. 已知函数最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．【详解】由已知得，解得，所以，令，解得，又，所以，所以函数在上的单词递增区间为.故选：C【点睛】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．属于中档题.8. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用对数的性质判断大小即可【详解】，，故选【点睛】本题考查了对数值大小的比较方法，一般找中间量“”或“”，以及转化为底数相同的对数，再由对数函数的单调性进行判断，考查了转化思想9. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，求解即可.【详解】∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|)<f.又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|<，解得<x<.故选：.【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.10. 当时，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的图象先得到对恒成立，最后再转化不等式得到并求解即可.【详解】解：根据与的两个函数图象，如图要求在上，成立，所以，即对恒成立，所以，解得：故选：B.【点睛】本题考查含指数对数不等式问题，是中档题.11. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先利用诱导公式化为同名的三角函数，然后再进行平移，即可求得答案.详解】为了得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数图象变换，关键是利用诱导公式先化为同名三角函数，要注意图象在左右平移时，是在自变量上加减一个常数.12. 已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是A. B. [，] C. [，]{} D. [，）{}【答案】C【解析】试题分析：由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 的值等于______________【答案】1【解析】，故填：1.14. 函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．【答案】9【解析】当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为.15. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据题目意思可以得到，进一步解出答案.【详解】因为函数在上有最小值所以所以则实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查函数在区间上的最值，属于基础题型. 16. 函数的图象为，以下说法：（1）其中最小正周期为；（2）图象关于点对称；（3）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；（4）直线是其图象的其中一条对称轴．其中正确命题的序号是__________．【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案．【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：，故（1）正确；对于（2），根据正弦函数图象的对称中心为正弦型函数令，解得其对称中心坐标为当时，对称中心坐标为，故（2）正确；对于（3），将的图象向右平移个单位长度可得：将的图象向右平移个单位长度不能得到图象，故（3）错误；对于（4），根据正弦函数的图象的对称轴方程为，正弦型函数令，解得当时，，一条对称轴，故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．三．解答题：（本大题共6小题，共70分．其中17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17. 已知向量，，，．（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求与坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得，解方程即得解.【详解】（1）∵，，，，∴，，，，∴；又∵，∴；（2）当时，，∴，则，∴．【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18. 已知函数其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（1）求的解析式；（2）当，求的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入即可求得，把代入即可得到函数的解析式．（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【详解】（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，即，由点在图象上的，，即，故又，故；（2），当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值，故的值域为.19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元．（1）写出与的解析式；（2）选择哪家比较合算？请说明理由．【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用已知条件直接列出函数的解析式即可.(2)由,得或,求出,然后讨论经济实惠的乒乓球俱乐部.【详解】（1）由题设有，. （2）令时，解得；令，解得，所以：当时，，选甲家比较合算；当时，，两家一样合算；当时，，选乙家比较合.【点睛】本题考查分段函数在实际问题中的应用,难度较易.20. 已知是定义在上的增函数，且满足，.（1）求的值，（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件的关系式，赋特殊值，令，求；（2）赋特殊值可得，根据条件的关系式，可得，所有不等式转化为，再根据函数是定义在的增函数，可得不等式组求解.【详解】(1).(2) 由条件,得,由条件及,得,由题意是定义在上的增函数，得,即，解得得,所以不等式解集为.【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，比如给变量赋特殊值或是赋特殊变量，对于第二问解不等式也是抽象函数常考查类型，一般根据条件转化为的形式，然后再利用函数的单调性比较的大小，还需注意函数的定义域.21. 已知函数．（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若，求函数在上的值域．【答案】（1）答案详见解析，证明详见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据单调性的定义，进行作差变形整理，分和，对差式判断正负可求得答案；（2）根据（1）的单调性，求出函数在上的最大值和最小值即可.【详解】（1）当时，函数在上是减函数；当时，在上是增函数，证明如下：当时，任取，因为，，，所以，得，故函数在上是减函数；当时，任取，因为，，，所以，得，所以函数在上是增函数，得证.（2）当时，由（1）得在上是减函数，从而函数在上也是减函数，其最小值为，最大值为.由此可得，函数在上的值域为．【点睛】本题给出分式函数，讨论了函数的单调性并求函数在闭区间上的值域，着重考查了函数单调性的判断与证明和函数的值域等知识，属于基础题.22. 在中，满足，是中点.（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由向量的夹角公式可求；（2），则，，由此可用表示出，从而可得最小值．试题解析：（1）设向量与向量的夹角为,,令，.（2）∵，∴，设，则.而，所以.当且仅当时，的最小值是.学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（试卷满分150分，考试时间120分钟）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算即可.【详解】因为或，，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了二次不等式，对数不等式，集合的交集运算，属于容易题.2.A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：三角函数诱导公式及求值3. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数成立的条件可得，解方程组得出结论.【详解】根据题目条件可得：解得：∴函数的定义域为.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域的知识点，属于简单题.4. 在中，点为的中点，若，，则=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用三角形中线的性质将，分别用表示，然后进行向量的模的运算即可.【详解】因为点为的中点，所以,所以，故选：B【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则，向量的数量积的运算，考查了运算能力，属于中档题.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，，，根据函数零点存在性定理可得出答案．【详解】由题得，，而，根据函数零点存在性定理可得函数在区间上存在零点．故答案为B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．6. 已知函数（其中），其部分图像如下图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据图像可知：解得，所以由且解得：，所以将其横坐标变为原来的倍，得到，再向右平移一个单位得到：，所以答案为B.考点：1.三角函数的图像；2.三角函数图像变换.7. 已知函数最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．【详解】由已知得，解得，所以，令，解得，又，所以，所以函数在上的单词递增区间为.故选：C【点睛】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．属于中档题.8. 已知，则( )A. B. C. D.直接利用对数的性质判断大小即可【详解】，，故选【点睛】本题考查了对数值大小的比较方法，一般找中间量“”或“”，以及转化为底数相同的对数，再由对数函数的单调性进行判断，考查了转化思想9. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，求解即可.【详解】∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|)<f.又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x－1|<，解得<x<.故选：.【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.10. 当时，，则的取值范围是（）【分析】根据指数函数、对数函数的图象先得到对恒成立，最后再转化不等式得到并求解即可.【详解】解：根据与的两个函数图象，如图要求在上，成立，所以，即对恒成立，所以，解得：故选：B.【点睛】本题考查含指数对数不等式问题，是中档题.11. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】先利用诱导公式化为同名的三角函数，然后再进行平移，即可求得答案.详解】为了得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数图象变换，关键是利用诱导公式先化为同名三角函数，要注意图象在左右平移时，是在自变量上加减一个常数.12. 已知函数（，且）在上单调递减，且关于x 的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是A. B. [，] C. [，]{} D. [，）{}【答案】C【解析】试题分析：由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 的值等于______________【解析】，故填：1.14. 函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．【答案】9【解析】当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为.15. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据题目意思可以得到，进一步解出答案.【详解】因为函数在上有最小值所以所以则实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查函数在区间上的最值，属于基础题型.16. 函数的图象为，以下说法：（1）其中最小正周期为；（2）图象关于点对称；（3）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；（4）直线是其图象的其中一条对称轴．【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案．【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：，故（1）正确；对于（2），根据正弦函数图象的对称中心为正弦型函数令，解得其对称中心坐标为当时，对称中心坐标为，故（2）正确；对于（3），将的图象向右平移个单位长度可得：将的图象向右平移个单位长度不能得到图象，故（3）错误；对于（4），根据正弦函数的图象的对称轴方程为，正弦型函数令，解得当时，，一条对称轴，故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．三．解答题：（本大题共6小题，共70分．其中17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17. 已知向量，，，．（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求与坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得，解方程即得解.【详解】（1）∵，，，，∴，，，，∴；又∵，∴；（2）当时，，∴，则，∴．【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18. 已知函数其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（1）求的解析式；（2）当，求的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入即可求得，把代入即可得到函数的解析式．（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【详解】（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，即，由点在图象上的，，即，故又，故；（2），当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值，故的值域为.19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元．（1）写出与的解析式；（2）选择哪家比较合算？请说明理由．【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用已知条件直接列出函数的解析式即可.(2)由,得或,求出,然后讨论经济实惠的乒乓球俱乐部.【详解】（1）由题设有，.（2）令时，解得；令，解得，所以：当时，，选甲家比较合算；当时，，两家一样合算；当时，，选乙家比较合.【点睛】本题考查分段函数在实际问题中的应用,难度较易.20. 已知是定义在上的增函数，且满足，.（1）求的值，（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件的关系式，赋特殊值，令，求；（2）赋特殊值可得，根据条件的关系式，可得，所有不等式转化为，再根据函数是定义在的增函数，可得不等式组求解.【详解】(1).(2) 由条件,得,由条件及,得,由题意是定义在上的增函数，得,即，解得得,所以不等式解集为.【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，比如给变量赋特殊值或是赋特殊变量，对于第二问解不等式也是抽象函数常考查类型，一般根据条件转化为的形式，然后再利用函数的单调性比较的大小，还需注意函数的定义域.21. 已知函数．（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若，求函数在上的值域．【答案】（1）答案详见解析，证明详见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据单调性的定义，进行作差变形整理，分和，对差式判断正负可求得答案；（2）根据（1）的单调性，求出函数在上的最大值和最小值即可.【详解】（1）当时，函数在上是减函数；当时，在上是增函数，证明如下：当时，任取，因为，，，所以，得，故函数在上是减函数；当时，任取，因为，，，所以，得，所以函数在上是增函数，得证.（2）当时，由（1）得在上是减函数，从而函数在上也是减函数，其最小值为，最大值为.由此可得，函数在上的值域为．【点睛】本题给出分式函数，讨论了函数的单调性并求函数在闭区间上的值域，着重考查了函数单调性的判断与证明和函数的值域等知识，属于基础题.22. 在中，满足，是中点.（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由向量的夹角公式可求；（2），则，，由此可用表示出，从而可得最小值．试题解析：（1）设向量与向量的夹角为,,令，.（2）∵，∴，设，则.而，所以.当且仅当时，的最小值是.。

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第Ⅰ卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.2.（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：.故选：D【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.3.（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】处理即可得解.【详解】由题：.故选：A【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数，则.故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.5.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角的终边经过点，则.故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.6.若函数，则的最小正周期是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法，即可得解.详解】函数，则的最小正周期.故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.7.已知是偶函数,且在区间上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增,从而可得，解不等式即可.【详解】解析:由是偶函数且在上单调递减,知在上单调递增,则满足的实数x的取值范围为解得.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.8.为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度【答案】D【分析】根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为即可得解.【详解】由题：把函数平移得到即，只需将函数图象上的所有点向左平行移动个单位长度.故选：D【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.9.若，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【解析】【分析】对所求代数式变形，分子分母同时除以即可得解.【详解】由题：，故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以求解.10.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.【详解】指数函数单调递减，，即，所以，所以指数函数是减函数，，，考虑幂函数在单调递增，，即，综上所述：.故选：C【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因为，所以，则，当时，；故选D.点睛：求形如或的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令或，则，但要注意的取值范围.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数的图像经过，则= ________．【答案】【解析】试题分析：设，则有，所以，=9考点：幂函数点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．14.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.15.若偶函数对任意都有，且当时，，则______.【答案】【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算.【详解】由题：任意都有，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.16.下面有四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则当时，；②终边落在坐标轴上的角的集合是；③若函数，则对于任意恒成立；④函数在区间上是减函数.其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）【答案】①②【解析】【分析】①当时，，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例；④函数在区间上是增函数.【详解】①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在单调递增，则当时，所以，所以①正确；②终边落在坐标轴上的角的集合是，所以②正确；③若函数，可得，不相等，所以③说法错误；④函数在单调递增，函数向右平移得到在区间上增函数，所以④错误.故答案为：①②【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值.【答案】（1）（2）或55【解析】【分析】（1）解不等式，其解集就是定义域；（2）解方程即可得解.【详解】（1）函数的自变量应满足：，即，所以函数的定义域是.（2）因为，所以，化简得，，所以或55.【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.18.（1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；（2）结合诱导公式即可化简.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】此题考查指数对数基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点.【答案】（1）（2）零点是-1，0，1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，则，，即可得到解析式；（2）分段解方程即可得到函数的零点.【详解】解：（1）设，则，所以，因为为奇函数，所以，所以，故的解析式为.（2）由，得或，解得或或，所以的零点是-1，0，1.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.20.已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1【解析】【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，所以，所以，所以.所以函数的解析式是.（2）因为，讨论函数的增区间：令，得，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.因为，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.21.已知变量，满足关系式（且，，且），变量，满足关系式.（1）求关于的函数表达式；（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，结合，利用对数的运算法则，变形得到；（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数的取值范围.【详解】解：（1）由得，由知，代入上式得，所以，所以.（2）令，则.因为函数在上是增函数，则或，解得或，故实数的取值范围是.【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.求证：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明函数单调性.【详解】证明：任取，且，则.因为，，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取，且，通过作差法比较函数值的大小.23.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求解，，得出解集即函数定义域；（2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.【详解】解：（1）函数的自变量应满足，，即，.所以，函数的定义域是.（2）由，，解得，.因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间.【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第Ⅰ卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.2.（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：.故选：D【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.3.（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】处理即可得解.【详解】由题：.故选：A【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数，则.故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.5.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角的终边经过点，则.故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.6.若函数，则的最小正周期是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法，即可得解.详解】函数，则的最小正周期.故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.7.已知是偶函数,且在区间上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增,从而可得，解不等式即可.【详解】解析:由是偶函数且在上单调递减,知在上单调递增,则满足的实数x的取值范围为解得.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.8.为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为即可得解.【详解】由题：把函数平移得到即，只需将函数图象上的所有点向左平行移动个单位长度.故选：D【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.9.若，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【解析】【分析】对所求代数式变形，分子分母同时除以即可得解.【详解】由题：，故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以求解.10.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.【详解】指数函数单调递减，，即，所以，所以指数函数是减函数，，，考虑幂函数在单调递增，，即，综上所述：.故选：C【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因为，所以，则，当时，；故选D.点睛：求形如或的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令或，则，但要注意的取值范围.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数的图像经过，则= ________．【答案】【解析】试题分析：设，则有，所以，=9考点：幂函数点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．14.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.15.若偶函数对任意都有，且当时，，则______.【答案】【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算.【详解】由题：任意都有，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.16.下面有四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则当时，；②终边落在坐标轴上的角的集合是；③若函数，则对于任意恒成立；④函数在区间上是减函数.其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）【答案】①②【解析】【分析】①当时，，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例；④函数在区间上是增函数.【详解】①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在单调递增，则当时，所以，所以①正确；②终边落在坐标轴上的角的集合是，所以②正确；③若函数，可得，不相等，所以③说法错误；④函数在单调递增，函数向右平移得到在区间上增函数，所以④错误.故答案为：①②【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值.【答案】（1）（2）或55【解析】【分析】（1）解不等式，其解集就是定义域；（2）解方程即可得解.【详解】（1）函数的自变量应满足：，即，所以函数的定义域是.（2）因为，所以，化简得，，所以或55.【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.18.（1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；（2）结合诱导公式即可化简.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】此题考查指数对数基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点.【答案】（1）（2）零点是-1，0，1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，则，，即可得到解析式；（2）分段解方程即可得到函数的零点.【详解】解：（1）设，则，所以，因为为奇函数，所以，所以，故的解析式为.（2）由，得或，解得或或，所以的零点是-1，0，1.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.20.已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1【解析】【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，所以，所以，所以.所以函数的解析式是.（2）因为，讨论函数的增区间：令，得，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.因为，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.21.已知变量，满足关系式（且，，且），变量，满足关系式.（1）求关于的函数表达式；（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，结合，利用对数的运算法则，变形得到；（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数的取值范围.【详解】解：（1）由得，由知，代入上式得，所以，所以.（2）令，则.因为函数在上是增函数，则或，解得或，故实数的取值范围是.【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.求证：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明函数单调性.【详解】证明：任取，且，则.因为，，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取，且，通过作差法比较函数值的大小.23.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求解，，得出解集即函数定义域；（2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.【详解】解：（1）函数的自变量应满足，，即，.所以，函数的定义域是.（2）由，，解得，.因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间.【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.。

2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题（含解析）第Ⅰ卷一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定集合，由集合运算的定义求解．【详解】因为集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】使解析式有意义，因此必须有且．【详解】由，得，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．3.若直线与平行，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的充要条件计算．【详解】因为直线与平行，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．两直线平行，是必要条件，不是充要条件，仅由求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4.函数的零点所在的区间是( )A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.已知,,,则的边上的中线所在的直线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到，，再计算直线方程得到答案.【详解】的中点为,,∴边上的中线所在的直线方程为,即.故选：【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6.若直线被圆截得的弦长为,则( )A. B. 5 C. 10 D. 25【答案】B【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,可得圆心到直线的距离为,则.故选：【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7.若实数，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】与中间值 0和1比较后可得．【详解】因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．8.已知圆柱的底面圆的面积为，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径．【详解】因为圆柱的底面圆的面积为，所以圆柱的底面圆的半径为，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径，则该球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．9.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A、B，再根据函数值的正负情况，即可判断.【详解】由题意，，即是定义在上的奇函数，所以排除A，B；当时，；当时，，排除D故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案.【详解】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成，且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示由三视图可知，半球半径为，所以半球的表面积为，圆锥的底面圆半径为，母线长为，所以圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题.11.已知,,点是圆:上的动点,则的最小值为( )A. 9B. 14C. 18D. 26【答案】D【解析】【分析】设为坐标原点，，化简得到，再计算得到答案.【详解】设为坐标原点,,则,又,所以.故选：【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.12.设,,分别是方程,,的实根,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项【详解】由题,对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得或故【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想第Ⅱ卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】求出圆心坐标和半径可得．【详解】因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题．14.已知函数是幂函数，则______.【答案】27【解析】【分析】根据幂函数定义求出参数．【详解】因为是幂函数，所以，解得，即，所以.故答案为：27.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题．15.已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.【答案】【解析】分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．【详解】将圆：化为，联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．16.如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.【答案】【解析】【分析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.【详解】易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.故答案为：．【点睛】本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知直线的方程为，与垂直且过点.（1）求直线的方程；（2）若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由垂直求出直线斜率，写出点斜式方程后化简即可．（2）求出直线与的交点坐标可得方程．【详解】解：（1）由与垂直，则可设：，∵过，∴，解得，∴：.（2）联立与，可得与的交点坐标为，又垂直于轴，则直线的方程为.【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则，所以，所以.（2）若是上的单调函数，且，则实数满足，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．20.已知圆的圆心在轴正半轴上，且圆与轴相切，点在圆上.（1）求圆的方程；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出圆心坐标为，得圆标准方程，利用在圆上求出参数；（2）求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理列式求得．【详解】解：（1）设圆心，则圆的方程可设为.因为点在圆上，所以，解得.故圆的方程为.（2）由（1）可知圆的圆心，半径.因为，所以圆心到直线的距离，即，解得或.【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长（为弦心距）．21.如图，在三棱锥中，，，，，平面，过作于，过作于，连接.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，得，从而得平面，即得，于是有平面，从而，得出平面.最后得证线线垂直；（2）由（1）得是三棱锥的高，求出高和底面面积即可得体积．【详解】（1）证明：因为平面，所以.又，，所以平面，所以，又，，所以平面，从而.又，，所以平面.因为平面，所以.（2）解：由（1）知是三棱锥的高，所以.由已知，又，，由（1）知平面，则，所以，所以，所以.【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴上单调递增；（2）总存，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．2019-2020学年高一数学上学期期末考试联考试题（含解析）第Ⅰ卷一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定集合，由集合运算的定义求解．【详解】因为集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】使解析式有意义，因此必须有且．【详解】由，得，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．3.若直线与平行，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的充要条件计算．【详解】因为直线与平行，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．两直线平行，是必要条件，不是充要条件，仅由求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4.函数的零点所在的区间是( )A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.已知,,,则的边上的中线所在的直线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到，，再计算直线方程得到答案.【详解】的中点为,,∴边上的中线所在的直线方程为,即.故选：【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6.若直线被圆截得的弦长为,则( )A. B. 5 C. 10 D. 25【答案】B【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,可得圆心到直线的距离为,则.故选：【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7.若实数，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】与中间值 0和1比较后可得．【详解】因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．8.已知圆柱的底面圆的面积为，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径．【详解】因为圆柱的底面圆的面积为，所以圆柱的底面圆的半径为，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径，则该球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．9.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A、B，再根据函数值的正负情况，即可判断.【详解】由题意，，即是定义在上的奇函数，所以排除A，B；当时，；当时，，排除D故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案.【详解】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成，且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示由三视图可知，半球半径为，所以半球的表面积为，圆锥的底面圆半径为，母线长为，所以圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题.11.已知,,点是圆:上的动点,则的最小值为( )A. 9B. 14C. 18D. 26【答案】D【解析】【分析】设为坐标原点，，化简得到，再计算得到答案.【详解】设为坐标原点,,则,又,所以.故选：【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.12.设,,分别是方程,,的实根,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项【详解】由题,对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得或故【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想第Ⅱ卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】求出圆心坐标和半径可得．【详解】因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题．14.已知函数是幂函数，则______.【答案】27【解析】【分析】根据幂函数定义求出参数．【详解】因为是幂函数，所以，解得，即，所以.故答案为：27.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题．15.已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.【答案】【解析】分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．【详解】将圆：化为，联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．16.如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.【答案】【解析】【分析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.【详解】易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.故答案为：．【点睛】本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知直线的方程为，与垂直且过点.（1）求直线的方程；（2）若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由垂直求出直线斜率，写出点斜式方程后化简即可．（2）求出直线与的交点坐标可得方程．【详解】解：（1）由与垂直，则可设：，∵过，∴，解得，∴：.（2）联立与，可得与的交点坐标为，又垂直于轴，则直线的方程为.【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则，所以，所以.（2）若是上的单调函数，且，则实数满足，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．20.已知圆的圆心在轴正半轴上，且圆与轴相切，点在圆上.（1）求圆的方程；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出圆心坐标为，得圆标准方程，利用在圆上求出参数；（2）求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理列式求得．【详解】解：（1）设圆心，则圆的方程可设为.因为点在圆上，所以，解得.故圆的方程为.（2）由（1）可知圆的圆心，半径.因为，所以圆心到直线的距离，即，解得或.【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长（为弦心距）．21.如图，在三棱锥中，，，，，平面，过作于，过作于，连接.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，得，从而得平面，即得，于是有平面，从而，得出平面.最后得证线线垂直；（2）由（1）得是三棱锥的高，求出高和底面面积即可得体积．【详解】（1）证明：因为平面，所以.又，，所以平面，所以，又，，所以平面，从而.又，，所以平面.因为平面，所以.（2）解：由（1）知是三棱锥的高，所以.由已知，又，，由（1）知平面，则，所以，所以，所以.【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴上单调递增；（2）总存，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，，集合3，，集合，则为A. 4，B. 3，C. 2，D. 3，4，【答案】A【解析】解：全集2，3，4，，集合3，，，，4，．故选：A．根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.A. B. C. D.【答案】A【解析】解：；故选：A．利用诱导公式直接化简函数的表达式，通过特殊角的三角函数值求解即可．本题是基础题，考查三角函数的求值，注意正确应用诱导公式是解题的关键．3.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：利用任意角三角函数的定义，，故选：D．利用任意角三角函数的定义，分别计算和，再代入所求即可本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题4.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则，解得：，或所以原函数的定义域为．故选：C．根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．5.已知函数，在下列区间中包含零点的区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，是连续函数，，，根据零点存在定理，，函数在存在零点，故选：B．要判断函数，的零点的位置，根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．要判断函数的零点位于哪个区间，可以根据零点存在定理，即如果函数在区间上存在一个零点，则，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，要分类讨论．6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】解：把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：D．由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．7.已知向量，，满足，，，，则与的夹角等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，与的夹角等于故选：A．要求夹角，就要用到数量积，所以从入手，将，代入，求得向量，的数量积，再用夹角公式求解．本题主要考查向量的数量积和向理的夹角公式，数量积是向量中的重要运算之一，是向量法解决其他问题的源泉．8.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，即故选：D．要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．9.若扇形的圆心角是，半径为R，则扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：4【答案】C【解析】解：扇形的圆心角是，半径为R，扇形扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，几何知识，，所以内切圆的半径为，，圆形扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为：故选：C．确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键．10.如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是A. 减函数且最小值是2B. 减函数且最大值是2C. 增函数且最小值是2D. 增函数且最大值是2【答案】A【解析】解：偶函数在上是增函数且最小值是2，由偶函数在对称区间上具有相反的单调性可知，在上是减函数且最小值是2．故选：A．直接由函数奇偶性与单调性的关系得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，关键是明确偶函数在对称区间上具有相反的单调性，是基础题．11.已知的最大值为A，若存在实数，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：或的最大值为；由题意得，的最小值为，的最小值为．故选：B．根据题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出的最小值．本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．12.定义一种运算，若，当有5个零点时，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，，其图象如下：结合图象可知，有5个零点时，实数m的取值范围是，故选：A．画出，图象，结合图象可知，求解有5个零点时m的取值，本题考查了学生对新定义的接受与应用能力及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数是幂函数，且其图象过原点，则______．【答案】【解析】解：函数是幂函数，且其图象过原点，，且，．故填．由已知知函数是幂函数，则其系数必定是1，即，结合图象过原点，从而解出m的值．本题考查幂函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用幂函数的图象，掌握图象的性质：当指数大于0时，图象必过原点需结合函数的图象加以验证．14.已知函数是定义在上的奇函数，且，则______．【答案】【解析】解：Ⅰ函数是定义在上的奇函数，，即，，，，，解得，，．故答案为：．由题意可得，，代入可求b，然后由且可求a，进而可求函数解析式；本题主要考查了奇函数定义的应用及待定系数求解函数的解析式，考查了函数的单调性在不等式的求解中的应用．15.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则______．【答案】1【解析】解：的外接圆的圆心为O，且，为BC的中点，故为直角三角形，，为等边三角形，，则．故答案为：1．由的外接圆的圆心为O满足，可知O为BC的中点，且为直角三角形，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量基本定理，向量的数量积的定义的应用，解题的关键是找到为直角三角形的条件．16.若，则______【答案】【解析】解：，，．故答案为：．利用诱导公式和二倍角公式，计算即可．本题考查了三角函数求值运算问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量，，点．求线段BD的中点M的坐标；若点满足，求y与的值．【答案】解：设，，，解得即．同理可得．线段BD的中点M的坐标为，，，由得，解得，．【解析】利用向量中点坐标公式和向量共线定理即可得出．熟练掌握向量中点坐标公式和向量共线定理是解题的关键．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：；；；；．试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】本小题满分12分解：方法一：选择式，计算如下：分三角恒等式为．证明如下：分方法二：同方法一．三角恒等式为．证明如下：分【解析】方法一：选择式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解发现推广三角恒等式为，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．方法二：同方法一发现推广三角恒等式为由降幂公式，三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，归纳推理，属于基本知识的考查．19.销售甲、乙两种商品所得利润分别是、万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，，其中m，a，b都为常数，函数，对应的曲线、如图所示．求函数、的解析式；若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．【答案】解：由题意，解得，分又由题意得，分不写定义域扣一分设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入万元由得，分令，则有，，当即时，y取最大值1．答：该商场所获利润的最大值为1万元分不答扣一分【解析】根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a的方程组，解出m，a的值，即可得到函数、的解析式；对甲种商品投资万元，对乙种商品投资万元，根据公式可得甲、乙两种商品的总利润万元关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．20.已知函数其中，，，的部分图象如图所示．求A，，的值；已知在函数图象上的三点M，N，P的横坐标分别为，1，3，求的值．【答案】解：由图知，分的最小正周期，所以由，得分又且，所以，，解得分因为，，，所以，，，设，分在等腰三角形MNP中，设，则分所以分【解析】根据的图象特征，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值．求出三点M，N，P的坐标，在等腰三角形MNP中，设，求出、的值，再利用二倍角公式求得的值．本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．21.已知，函数．求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；当时，求函数的值域．【答案】解：分的最小正周期为，令，得，，．故所求对称中心的坐标为，分，分，即的值域为分【解析】由向量的坐标运算可求得，从而可求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；由可得，从而可求得函数的值域．本题考查平面向量数量积的运算，考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的定义域和值域及其周期，属于三角中的综合，考查分析问题、解决问题的能力．22.已知函数，．Ⅰ若在上存在零点，求实数a的取值范围；Ⅱ当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ：因为函数的对称轴是，所以在区间上是减函数，因为函数在区间上存在零点，则必有：即，解得，故所求实数a的取值范围为．Ⅱ若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集．，的值域为，下求的值域．当时，为常数，不符合题意舍去；当时，的值域为，要使，需，解得；当时，的值域为，要使，需，解得；综上，m的取值范围为．【解析】在上单调递减函数，要存在零点只需，即可存在性问题，只需函数的值域为函数的值域的子集即可．本题主要考查了函数的零点，值域与恒成立问题．。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁U B=（）A. B. C. D.2.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A. B. C. D.3.已知0＜a＜1，则log2a，2a，a2的大小关系是（）A. B. C. D.4.如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.函数f（x）=ln x+2x-6的零点x0所在区间是（）A. B. C. D.6.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，7.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为（）A.B. 2C.D.8.若函数f（x）的图象和g（x）=ln（2x）的图象关于直线x-y=0对称，则f（x）的解析式为（）A. B. C.D.9.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A.B.C.D.10.过点M（1，2）的直线l与圆C：（x-2）2+y2=9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A. B. C. D.11.在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB CD的是（）A. 且B. 且C. 且D. 且12.已知函数，若|f（x）|≥ax，则a取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点（1，1）到直线x+y-1=0的距离为______．14.已知f（x）是偶函数，当x＜0时f（x）=x（x+1）．则当x＞0时f（x）=______．15.则当（）时，．16.已知正三棱锥所有棱长均为，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}（1）当m=-2时，求∁R（A∪B）（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．18.如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．19.求圆心在直线l1：x-y-1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，截直线l3：3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．21.某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f（x）表示学生注意力指标，该小组发现f（x）随时间x（分钟）的变化规律（f（x）越大，表明学生的注意力越集中）如下：，，＜，＜（a＞0，a≠1）若上课后第 5 分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．（Ⅲ）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？22.已知函数f（x）=，g（x）=f（22x）（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）判断函数y=的奇偶性，并说明理由；（3）若方程g（x）-k+l=0有实数解，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：易知A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩C U B={x|0＜x≤1}，故选：C．利用对数函数的性质，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，利用指数函数的性质确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合此题属于以其他不等式的解法为平台，考查了交、并、补集的混合运算，是高考中常考的基本题型．2.【答案】B【解析】解：A．y=是奇函数，则定义域内不具备单调性，不满足条件．B．y=-x3是奇函数，则（-∞，+∞）上是减函数，满足条件．C．y=（）x是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=-|x|是偶函数，不满足条件．故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性判断，根据常见函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵0＜a＜1，则log2a＜0，2a＞1，a2∈（0，1）．∴log2a＜a2＜2a，故选：A．由0＜a＜1，可得log2a＜0，2a＞1，a2∈（0，1）．即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=-x-，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴-＞0，-＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．先把Ax+By+C=0化为y=-x-，再由AB＜0，BC＜0得到-＞0，-＞0，数形结合即可获取答案本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题5.【答案】C【解析】解：∵连续函数f（x）=lnx+2x-6是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（2）•f（3）＜0，故函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3），故选：C．判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，A答案中：若l∥m，lα，则mα，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A答案的情况不可能出现．B答案中：若l m，lα，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故B答案的情况不可能出现．D答案中：若l∥m，l∥α，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故D答案的情况不可能出现．故A，B，D三种情况均不可能出现．故选：C．本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，由m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，则若l∥m，lα，则mα，这与m是平面α的一条斜线矛盾；若l m，lα，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；若l∥m，l∥α，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A，B，D三种情况均不可能出现．分析后即可得到答案．要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．7.【答案】D【解析】解：将圆x2+y2-4y=0的方程可以转化为：x2+（y-2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∵直线的倾斜角为，作AN垂直直线l于N，如图在中，,∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选D．本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2-4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．8.【答案】B【解析】解：由题可知，y=f（x）与y=g（x）互为反函数，因为y=g（x）=ln（2x），所以x=ln（2y），即2y=e x，所以y=f（x）=e x，故选：B．利用反函数的概念及指对互化可得结论．本题考查函数解析式的求法及常用方法，考查反函数的概念，考查指对互化，注意解题方法的积累，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，面积是=，三棱锥的高是1，∴三棱锥的体积是=cm3，故选：C．由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出面积三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果．本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．10.【答案】D【解析】解：如图，把点M（1，2）代入圆的方程左边得：（1-2）2+22=5＜9，所以点M（1，2）在圆的内部，要使过M的直线交圆后得到的∠ACB最小，也就是过M的直线交圆所截得的弦长最短，即当CM l时弦长最短，∠ACB最小，设此时直线l的斜率为k，∵，由k•k CM=-1，得：-2k=-1，所以，．∴l的方程为：，即x-2y+3=0．经验证可知，点M在圆的内部，要使过点M的直线交圆后所得的圆心角最小，则直线交圆所得的劣弧最短，也就是弦长最短，此时直线与过圆心及M点的连线垂直，根据斜率之积等于-1求出直线的斜率，由点斜式可得所求的直线方程．本题考查了圆的标准方程，考查了直线和圆的位置关系，过⊙C内一点M作直线l与⊙C交于A、B两点，则弦AB的长最短⇔弦AB对的劣弧最短⇔弦对的圆心角最小⇔圆心到直线l的距离最大⇔CM l⇔弦AB的中点为M，此题是中档题．11.【答案】D【解析】解：①∵AB BD，AB BC，BD∩BC=B，∴AB面BCD，∵CD⊂面BCD，∴AB CD，②设A在面BCD射影为O，AO面BCD，∵AD BC，AC BD，∴O为△BCD的垂心连接BO，则BO CD，AO CD∴CD面ABO．∵AB⊂面ABO．∴AB CD，③取CD中点G，连接BG，AG，∵AC=AD且BC=BD，∴CD BG，CD AG，∵BG∩AG=G，∴CD面ABG，∵AB⊂面ABG∴AB CD，综上选项A，B，C能够得出AB CD，故选：D在几何体中选取边长的中点，运用等腰三角形的性质，直线平面的垂直，平面与平面的垂直问题判断即可得出答案．本题综合考查了空间几何体中点直线，平面的垂直问题，关键是利用平面几何知识，空间直线平面的性质定理，判定定理转化直线的位置关系判断即可．12.【答案】A【解析】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据-x2+3x的取值为（-∞，0]，|f（x）|=x2-3x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x-3，即a≥-3．综上可得，a的取值为[-3，0]，故选：A．①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2-3x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：利用点到直线的距离可得：d==．故答案为：．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】x2-x【解析】解：设x＞0，则-x＜0，适合已知条件下的表达式，所以f（-x）=-x（-x+1）=x（x-1）=x2-x，又因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x）=x2-x故答案为：x2-x先设x＞0，则-x＜0，适合已知条件下的表达式，故f（-x）=-x（-x+1），再根据f （x）是偶函数可得到答案．本题主要用奇偶性求函数在对称区间上的解析式，属于中档题．具体解法分两歩（1）在欲求区间上设自变量x，则其对称区间上的-x符合已知条件的表达式，使用这个表达式；（2）利用奇偶性将所得表达式进行化简，对称到欲求区间上，从而得到要求的表达式．15.【答案】3【解析】解：由表格可知：f（1）=2，∵f[g（x）]=2，∴g（x）=1，而g（3）=1，∴x=3．故答案为3．利用函数的定义即可得出．本题考查了函数的定义，属于基础题．16.【答案】3π【解析】解：构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．此球的直径为正方体的体对角线，即，所以该球表面积S=4πR2==3π．故答案为：3π．构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．由此能求出该球表面积．本题考查球的表面积的求法，考查正方体、正四面体、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：（1）当m=-2时，集合B={x|-2≤x≤-1}，因为集合A={x|-1≤x≤2}，所以A∪B={x|-2≤x≤2}，从而C R（A∪B）={x|x＜-2或x＞2}．（2）因为集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}且B⊆A，所以，解之得-1≤m≤1，即实数m的取值范围是{m|-1≤m≤1}．【解析】（1）当m=-2时，集合B={x|-2≤x≤-1}，再由集合A={x|-1≤x≤2}，先求出A∪B，由此能求出C R（A∪B）．（2）由集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}且B⊆A，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．本题考查并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、补集、子集定义的合理运用．18.【答案】解：（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2）-------------（2分）且k CE=-=1，-----------------------（4分）∴CE所在直线方程为y-2=x-3，即x-y-1=0．----------（6分）（II）由得C（4，3），-----------（8分）∴|AC|=|BC|=，AC BC，---------------------（10分）∴S△ABC=|AC|•|BC|=2．----------------（12分）【解析】（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2），利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（II）由得C（4，3），利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了斜率计算公式、点斜式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意，设圆心为C（a，a-1），半径为r，则点C到直线l2的距离是d1==；--------（3分）点C到直线l3的距离是d2==；--------（6分）由题意，得，------------（8分）解得a=2，r=5，-----------（10分）即所求圆的方程是：（x-2）2+（y-1）2=25．-------（12分）【解析】根据题意设圆心为C（a，a-1），半径为r，利用点到直线的距离以及勾股定理求出圆心与半径即可．本题考查了直线与圆的应用问题，是中档题．20.【答案】解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG平面ABCD，且EG=PA．在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，∴AP=AB=，EG=．∴S△ABC=AB•BC=××2=，∴V E-ABC=S△ABC•EG=××=．【解析】（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可．（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．本题考查棱锥的体积，只需与平面平行，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•a-60=140，解得，a=4；（Ⅱ）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（Ⅲ）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，-15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持-5=分钟．【解析】（Ⅰ）由题意，100•a-60=140，从而求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=-15×35+640=115，从而可得答案；（Ⅲ）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．22.【答案】证明：（1）∵函数f（x）=，∴f′（x）=，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）函数y==为偶函数．理由如下：当令h（x）==则h（-x）====h（x），故函数y==为偶函数．（3）当x≥0时，g（x）=f（22x）==1-为增函数，g（x）∈[0，1）且g（-x）=-g（x），即g（x）为奇函数．故g（x）∈（-1，1）若方程g（x）-k+l=0有实数解，则k-1∈（-1，1）即k∈（0，2）【解析】（1）求导，分析导数的符号，可得函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）函数y=为偶函数，利用奇偶性的定义，可以判断；（3）若方程g（x）-k+l=0有实数解，则k-1∈（-1，1），进而得到答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用．。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. R D.3.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与4.已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=-，则x的值为( ）A. 5B.C. 4D.5.已知a=0.70.8，b=log20.8，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.6.设函数y=x3与y=（）x-2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A. B. C. D.7.已知tanα=3，则2sin2α+4sinαcosα-9cos2α的值为（）A. 3B.C.D.8.若两个非零向量，满足|+|=|-|=2||，则向量+与-的夹角是（）A. B. C. D.9.已知函数y=f（x）是（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.10.已知函数f（x）=x-[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，如，，，则f（x）的值域是（）A. B. C. D.11.函数y=2x-x2的图象大致是（）A. B.C. D.12.定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A. 335B. 338C. 1678D. 2012二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知tan x=2，求cos2x=______．14.已知函数＞若f（x）=2，则x=______．15.把函数y=3sin2x的图象向左平移个单位得到图象的函数解析是______．16.有下列五个命题：①函数f（x）=a x-1+3（a＞0，a≠1）的图象一定过定点P（1，4）；②函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（2，4）；③已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=8，则f（2）=-8；④函数y=log（-x2-2x+3）的单调递增区间为（-1，+∞）．其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74.0分）17.已知集合A={x|1≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．18.已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（，）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=-1，求的值．19.已知二次函数f（x）=x2-16x+q+3：（1）若函数的最小值是-60，求实数q的值；（2）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围．20.辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章1y x（单位：天）的数据如下：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y=ax+b；②y=ax2+bx+c；③y=a log b x．（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．21.已知：=（2cos x，sin x），=（cos x，2cos x）．设函数f（x）=-（x∈R）求：（1）f（x）的最小正周期；（2）f（x）的单调递增区间；（3）若-=，且∈，，求α．22.设函数f（x）=log2+log2（x-1）+log2（p-x）．（1）求函数的定义域；（2）当p＞3时，问f（x）是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选D．由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合C U B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2.【答案】B【解析】解：∵函数，∴应满足，解答x≥-2，且x≠1，即定义域为[-2，1）（1，+∞）．故选：B．根据题意，函数解析式的分母不为0，且二次根式的被开方数大于或等于0，解出即可．本题考查了求函数定义域的问题，求定义域即是求使函数解析式成立的自变量的取值范围，是基础题．3.【答案】C【解析】解：要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域，观察四个选项，得到A答案中两个函数的对应法则不同，B选项中两个函数的定义域不同，C选项中两个函数相同，D选项中两个函数的定义域不同，故选C．要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域，观察四个选项，得到有一组函数的对应法则不同，有两组函数的值域不同，只有C选项，整理以后完全相同．本题考查判断两个函数是否为同一个函数，这种题目一般从三个方面来观察，绝大部分题目是定义域不同，有一小部分是对应法则不同，只有极个别的是值域不同．4.【答案】D【解析】【分析】由P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=-，利用任意角的三角函数的定义可得cosθ==-，即可求出x的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【解答】解：∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=-，∴cosθ==-，∴x=-4．故选：D．5.【答案】B【解析】解：∵0＜a=0.70.8＜0.70=1，b=log20.8＜log21=0，c=1.10.8＞1.10=1，∴b＜a＜c．故选：B．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．6.【答案】B【解析】解：∵y=（）x-2=22-x令g（x）=x3-22-x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选：B．根据y=x3与y=（）x-2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3-22-x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3-22-x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理．考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解．7.【答案】B【解析】解：因为tanα=3，则=．故选B利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为sin2α+cos2α，然后给分子分母求除以cos2α，把原式化为关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．此题是一道基础题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值的能力，做题的突破点是“1”的灵活变形．8.【答案】C【解析】解：依题意，∵|+|=|-|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==-，所以向量与的夹角是，故选C利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角．9.【答案】C【解析】解：对于A，由于不能确定sinA、sinB的大小，故不能确定f（sinA）与f（sinB）的大小，可得A不正确；对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴A+B＞，得A＞-B注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦，得sinA＞sin（-B），即sinA＞cosB∵f（x）定义在（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上单调递增∴f（x）在（0，1）上是减函数由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正确对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴B+C＞，得C＞-B注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，得cosC＜cos（-B），即cosC＜sinB∵f（x）在（0，1）上是减函数由cosC＜sinB，可得f（cosC）＞f（sinB），得C正确；对于D，由对B的证明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正确故选：C由于f（x）定义在（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上单调递增，可得f（x）在（0，1）上是减函数．而锐角三角形中，任意一个角的正弦要大于另外角的余弦，由此对题中各个选项依此加以判断，可得本题的答案．本题给出抽象函数，求用锐角三角形的内角的正、余弦作为自变量时，函数值的大小关系．着重考查了函数的单调性、奇偶性和锐角三角形中三角函数值的大小比较等知识，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵[x]是不超过x的最大整数，f（x）=x-[x]，∴函数f（x）的定义域是R，∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，即f（x）的值域是[0，1）；故选：C．由[x]是不超过x的最大整数，f（x）=x-[x]的定义域是R，从而得出值域．本题考查了新定义的函数的值域问题，解题时要充分理解[x]的含义，以便正确解答．11.【答案】A【解析】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，所以y=2x-x2=0，有3个解，即函数y=2x-x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x=-3时，y=2-3-（-3）2＜0，故排除D故选：A．根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D本题主要考查了函数图象的问题，关键是理解函数图象的交点和方程的解得个数的关系，排除是解决选择题的常用方法，属于中档题12.【答案】B【解析】解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当-1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（-1）=-1=f（5），f（0）=0=f（6）；当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，∴f（3）=f（-3）=-（-3+2）2=-1，f（4）=f（-2）=-（-2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2-1+0+（-1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选：B．由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f （1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵tanx=2，∴cos2x===；所以cos2x=2cos2x-1=2×-1=-故答案为-已知tanx=2，根据弦切互化公式得cos2x===；而cos2x=2cos2x-1，代入求出值即可．考查学生会进行弦切互化，会化简二倍角的余弦，整体代入思想的运用能力．14.【答案】log32【解析】解：由⇒x=log32，无解，故答案：log32．要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案．本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值．属于基础知识、基本运算的考查．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．15.【答案】y=3sin（2x+）【解析】解：函数y=3sin2x的图象向左平移个单位得到图象的解析式为y=3sin2（x+），即y=3sin（2x+）．故答案为：y=3sin（2x+）．直接利用三角函数图象的平移得答案．本题考查了三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．16.【答案】①【解析】解：对于①，∵f（1）=4，函数f（x）=a x-1+3（a＞0，a≠1）的图象一定过定点P（1，4），故①正确；对于②，函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（0，2），故②错；对于③．已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=8，则f（2）=-24，故③错；对于④，函数y=log（-x2-2x+3）的单调递增区间为（-1，1），故④错．故答案为：①①，利用f（1）=4，可以判定；②，函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（0，2）；③．利用f（x）+8=x5+ax3+bx，可得f（2）=-24；④，函数y=log（-x2-2x+3）的单调递增区间为（-1，1）．本题考查了命题真假判定，涉及到函数的知识，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵集合A={x|1≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，全集为实数集R．∴A B={x|1≤x＜10}，C R A={x|x＜1或x≥7}，（∁R A）∩B={x|7≤x＜10}．（2）∵集合A={x|1≤x＜7}，C={x|x＜a}，A∩C≠∅，∴a＞1．∴a的取值范围是{a|a＞1}．【解析】（1）利用并集能求出A B，先求出C R A，由此能求出（∁R A）∩B．（2）由集合A={x|1≤x＜7}，C={x|x＜a}，A∩C≠∅，能求出a的取值范围．本题考查并集、补集、交集、实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、补集、交集的合理运用．18.【答案】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵∈，．∴ ．（2）∵，∴（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=-1，∴∴ ，∴．【解析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．（2）根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案．本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题．三角函数与向量的综合题是高考的重点，每年必考的，一定多复习．19.【答案】解：（1）二次函数f（x）=x2-16x+q+3=（x-8）2+q-61，函数的最小值是-60，当x=8时，取得最小值，即q-61=-60，解得q=1，（2）二次函数f（x）=x2-16x+q+3的对称轴是x=8，∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴函数在区间[-1，1]上存在零点，∴f（-1）f（1）≤0，∴（1+16+q+3）（1-26+q+3）≤0，解得-20≤q≤12，故q的范围为[-20，12]．【解析】（1）二次函数f（x）=x2-16x+q+3=（x-8）2+q-61，根据函数的最小值是-60，即可求出q的值（2）根据解析式判断f（x）在区间[-1，1]上递减，由函数零点的几何意义知f（-1）f（1）≤0，再代入方程后求不等式得解集，即是p的范围；本题考查了函数零点的几何意义和在给定区间上求二次函数的值域，属于中档题20.【答案】解：（1）∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+b 和y=a log b x显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y=ax2+bx+c中，得解得，b=-10，c=126∴y=x2-10x+126=（x-20）2+26，∴当x=20时，y有最小值y min=26．【解析】（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论；（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y=ax2+bx+c中，求出函数解析式，利用配方法，即可求出辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．21.【答案】解：====（1）函数f（x）的最小正周期最小正周期为（2）由得∴ ，∈∴函数f（x）的单调增区间为，，（k∈Z）（3）∵，∴∴，∴∵∈，，∴∈，，∴或，∴或（13分）【解析】利用向量的数量积公式求出f（x），利用三角函数的二倍角公式及公式化简三角函数（1）利用y=Asin（ωx+φ）+k的周期公式T=求出三角函数的周期．（2）利用整体思想令整体角在正弦的单调递增区间上，解出x的范围即为函数的单调递增区间．（3）令f （x ）的x 用自变量代替，利用特殊角的三角函数值求出角． 本题考查向量的数量积公式、利用三角函数的二倍角公式及公式化简三角函数三角函数的周期公式、整体处理的思想．22.【答案】解：（1）由题意得： ＞＞ ＞，解得 ， ①当p ≤1时，①不等式解集为∅；当p ＞1时，①不等式解集为{x |1＜x ＜p }，∴f （x ）的定义域为（1，p ），（p ＞1）；（2）原函数即f （x ）=log 2[（x +1）（p -x ）]=log 2[- + ]， 即p ＞3时，函数f （x ）有最大值2log 2（p +1）-2，但无最小值．【解析】（1）得到关于x 的不等式组，通过讨论p 的范围，求出函数的定义域即可； （2）结合二次函数的性质求出函数f （x ）的最大值即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的定义域以及函数的最值问题，是一道中档题．。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合1，3，，集合1，，则以下选项正确的是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：集合1，3，，集合1，，不正确，是元素与集合之间的关系，故A不正确，不正确，集合N中的元素不都是集合M中的元素，故B不正确，对于C，1，3，，1，，，故C正确，对于D，1，3，，1，，，1，3，，故D不正确．故选：C．由元素与集合之间的关系，判断A不正确，由集合N中的元素不都是集合M中的元素，判断B不正确，再由交集以及并集运算判断C，D则答案可求．本题考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．2.若点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是b，、f，，则c与e的和为A. 7B.C.D. 1【答案】D【解析】解：点关于坐标平面xoy的对称点为，点关于y轴的对称点的坐标，点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是b，、f，，，，，故选：D．点关于坐标平面xoy的对称点为，点关于y轴的对称点的坐标，求出c与e的值，即可求得c与e的和．本题主要考查求空间中的一个点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标的求法，属于基础题．3.圆与圆的位置关系是A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】C【解析】解：圆即，表示以为圆心、半径等于3的圆．圆即，表示以为圆心、半径等于2的圆．由于两圆的圆心距，故MN等于它们的半径之和，故两圆相外切，把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距MN等于两圆的半径之和，可得两圆相外切．本题主要考查圆的标准方程，圆与圆的位置关系的判定，属于中档题．4.已知过点和点的直线为，：，：若，，则实数的值为A. B. C. 0 D. 8【答案】A【解析】解：，，解得．又，，解得．．故选：A．利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.设函数，则满足的x的值是A. 2B. 16C. 2或16D. 或16【答案】B【解析】解：当时，由，可得舍当时，由可得，故选：B．要求x的值，利用，而的表达式的求解需要根据已知条件分，两种情况中的范围代入相应的解析式求值即可本题考查分段函数求值及指数函数与对数函数的基本运算，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．6.已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，，且，，函数与函数在同一坐标系中的图象可能是，根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断即可确定出其图象．此题考查了指数函数与对数函数的图象，熟练掌握指数、对数函数的图象与性质是解本题的关键．7.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：异面直线BD与AC所成角为；；三棱锥是正三棱锥；平面ADC和平面ABC垂直．其中正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由已知条件知，，所以即为二面角的平面角，又因为和互相垂直，所以，又因为，所以，所以正确因为，，所以面ACD，所以，所以正确．由正确知错误．故选：A．由已知条件知即为二面角的平面角，故，故正确．本题考查立体中的折叠问题属于简单题．8.函数的递减区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，，对称轴为，此时为增函数，当时，，对称轴为，抛物线开口向下，当时，为减函数，即函数的单调递减区间为，故选：C．讨论或，结合二次函数的单调性进行判断即可．本题主要考查函数单调区间的求解，结合二次函数的单调性是解决本题的关键．9.设a、b两条不同的直线，、是两个不重合的平面，则下列结论中正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】解：由a、b两条不同的直线，、是两个不重合的平面，知：在A中，若，，则或，故A错误；在B中，若，，则a与相交、平行或，故B错误；在C中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故C错误；在D中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故D正确．故选：D．在A中，或；在B中，a与相交、平行或；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积为A. 120B. 80C. 100D. 60【答案】C【解析】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为；故选：C．由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，画出图形，明确对应数据，计算体积即可．本题考查了由几何体的三视图求对应几何体的体积；正确还原几何体是解答的关键．11.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为A. 或B. 或C. 或D.【答案】A【解析】解：由题知：圆心，半径为2．因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，，由，得或．故选：A．利用直线被圆截得的弦长为，得到圆心到直线的距离为，求出k，即可求出直线的倾斜角．本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的倾斜角，考查学生的计算能力，属于中档题．12.方程的根为，方程的根为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：方程即为，方程即为，分别作出，的图象，可得它们关于直线对称，作出直线，可得与直线垂直，可得交点和关于直线对称，可得，，且，则，可得，故选：C．由题意可得方程即为，方程即为，分别作出，的图象，可得它们关于直线对称，即有，，再由对称点均在直线上，可得所求和．本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，注意运用对称性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.______．【答案】【解析】解：原式．故答案为：进行对数的运算即可．考查对数的定义，以及对数的运算性质．14.有一个用橡皮泥制作的半径为4的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径是______．【答案】【解析】解：由已知可得球的体积为．设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为，解得，故答案为：．由已知可得球的体积，设圆柱和圆锥的底面半径为r，再由体积相等列式求解．本题考查多面体及旋转体体积的求法，是基础的计算题．15.已知两条直线：：、：，若与间的距离是，则______．【答案】3【解析】解：两条直线：：、：，与间的距离是，，由，解得．故答案为：3．利用两平行线间的距离公式能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P使得，则m的最大值为______．【答案】6【解析】解：圆C：的圆心，半径，设在圆C上，则，，，，，，的最大值即为的最大值，等于．故答案为：6．C：的圆心，半径，设在圆C上，则，，由已知得，m的最大值即为的最大值．本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知指数函数，当时，有，若不等式解集为A，函数的值域为B．用区间表示集合A；当时，求m的取值范围．【答案】解：根据题意，指数函数，当时，有，则，函数为减函数，则，解可得，则；，则，当，则，必有，解可得，即m的取值范围为．【解析】根据题意，结合指数函数的性质可得，则函数为减函数，进而分析可得，解可得x的取值范围，用区间表示即可得答案；根据题意，求出集合B，由集合间关系可得，则，分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查集合间的计算，关键是求出集合A、B，属于基础题．18.已知的三个顶点是，，，直线l过C点且与AB边所在直线平行．求直线l的方程；求的面积．【答案】解：由题意可知：直线AB的斜率为：，，直线l的斜率为，直线l的方程为：，即．，点C到直线AB的距离d等于点A到直线l的距离，，的面积．【解析】先求出直线AB的斜率为，由，得到直线l的斜率为，由此能求出直线l的方程．先求出，再由点C到直线AB的距离d等于点A到直线l的距离，由此能求出的面积．本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.已知一次函数满足，且．求函数的解析式；设，若，求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．【答案】解：由一次函数设，代入，所以，，，代入，得，，，则的解析式为．，，证明：在上任取，因为，，，，所以函数在上是减函数．【解析】设出一次函数的方程，代入求得a．把代入求值，用定义证明在的单调性．本题考查求函数解析式的方法和用定义证明函数单调性，属于中档题20.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，E，F分别是PB，PD的中点，．求证：平面ABCD；求证：平面平面PCD．【答案】解：证明：连接BD，因为E，F分别是PB，PD的中点，所以分又因为平面ABCD，平面ABCD，分所以平面分证明：因为，F为PD中点所以．又因为ABCD是矩形，所以．因为底面ABCD，所以．因为，所以平面分因为平面PAD，所以．又因为，所以平面分又因为平面AEF，所以平面平面PCD分【解析】连接BD，证明，然后利用直线与平面平行的判断定理证明平面ABCD．证明证明推出平面得到即可证明平面PCD，然后证明平面平面PCD．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．21.已知和，若AB为圆C的直径的端点．求圆C的方程；求过点且与圆C相切的直线方程；若圆C关于直线对称，则由点作圆的切线，求切线长度的最小值．【答案】解：，圆C的半径圆C的方程为：；，点在圆C上，，切，切线方程：，即；圆C关于直线对称，直线过圆心C，，，圆心到点的距离平方切线长度为当时，切线长度的最小值为4．【解析】求出圆心坐标和半径即可；首先判断点在圆上，求直线斜率即可；由直线过圆心C得a、b的数量关系，代入切线长度中转化为二次函数求最值．本题考查了圆的方程，切线方程，切线长的最值问题，转化为二次式求最值是关键，属中档题．22.已知函数的图象过点Ⅰ求实数k的值；Ⅱ若不等式恒成立，求实数a的取值范围；Ⅲ若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数的图象过点可得，即有，解得；由知，恒成立，即恒成立令，则命题等价于，而在R上单调递增，可得，则；，可得，令，，可得，可得，，当时，对称轴，当时，函数y在递增，，解得，不符舍去；当时，函数y在递减，可得y的最小值为，解得，不符舍去；当时，函数y的最小值在区间的两端，即或，解得或，当时，，时，取得最大值；当时，在上的最小值为，综上可得m的值为，符合题意．【解析】Ⅰ运用对数的运算性质即可得证；Ⅱ由题意可得恒成立令，运用单调性求得的最小值，可得a的范围；Ⅲ可得，令，，可得，可得，，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．。

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：l.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的子集个数为（）A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】A由已知得，，则，所以，所求集合的子集个数为，故选A.2.若A（-2，3），B（3，-2），C（，m）三点共线，则m 的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题目利用三点共线,得到,说明向量对应坐标成比例,建立等式,即可.【详解】因为A,B,C三点共线,故,而,建立等式,,故选B.【点睛】本道题目考查了向量平行问题,向量平行满足对应坐标成比例,即可得出答案.3.已知两条不同直线及平面，则下列说法中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【解析】【分析】结合线面关系的判定定理和性质定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，的位置关系有平行、异面或相交，故A 错；对于B，与平面的关系是平行或，故B错；对于C，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故C正确；对于D，与平面的关系是平行或，故Ｄ错；故选：Ｃ.【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，注意动态考虑位置关系以确定是否有不同于结论中的情形发生，本题属于基础题.4.函数f(x)=的零点所在的一个区间是A. （-2，-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B【解析】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．5.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题干中的三视图可得原几何体如图所示：故该几何体的表面积=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2×12×3×4=138（cm2）.故选D.6.三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A. 0.32＜log0.32＜20.3B. 0.32＜20.3＜log0.32C. log0. 32＜20.3＜032D. log0.32＜0.32＜20.3【答案】D【解析】试题分析：由已知得：，，，所以.故选D.考点：指数函数和对数函数的图像和性质.7.过点P（1，3）且在x轴上截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( )A. x+y–4=0B. 3x-y=0C. x+y–4=0或3x+y=0D. x+y–4=0或3x-y=0【答案】D【解析】【分析】直线在x轴上的截距和在y轴上的截距相等，可分为两种情况：截距都为0和截距都不为0，分别求出即可．【详解】若直线过原点，设直线方程为y=kx，把点P（1，3）代入得k=3，此时直线为y=3x，即3x–y=0．若直线不经过原点，设直线方程为+=1，即x+y=a．把点P（1，3）代入得a=4，所以直线方程为x+y=4，即x+y–4=0，故选D．【点睛】本题考查了直线的方程，尤其是截距式，属于基础题．8.已知是上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的性质可得在上单调递增，可将问题转化为和1到对称轴的距离的大小的问题求解．【详解】由题意，根据偶函数的性质知，在上单调递增，又，所以，解得，由在上为单调递增，所以．故选B．【点睛】偶函数具有性质，利用这一性质，可将问题转化到函数的同一个单调区间上去研究，同时也可将函数值的大小转化为变量到对称轴的距离的大小的问题求解．9.当直线和曲线有两个交点时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为直线与半圆有两个交点，结合如图所示的曲线图形，考虑过时直线的斜率和与半圆相切时直线的斜率后可得的取值范围.【详解】曲线表示如图所示的半圆：：直线恒过.当直线和半圆相切时，有，解得，当直线过时，有.故当直线与半圆有两个交点时，.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意对含根号的函数解析式合理变形，这样才能找到其对应的函数图象，变形时关注等价变形，本题属于中档题.10.函数在上是增函数，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性可以得到在为增函数，且恒成立，从而可求实数的范围.【详解】令，则为及构成的复合函数.因为在上是增函数，所以在为增函数，且恒成立，故，故.故选：D.【点睛】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，可根据“同增异减”的原则来判断内函数或外函数在相应范围上的单调性，注意真数部分的内函数的函数值恒为正的要求，本题属于中档题.11.已知，互不相同的正数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨设，根据二次函数的性质可得的关系，根据对数函数的性质可得的关系，最后由的取值范围可得的取值范围.【详解】的图象如图所示：设且，故直线与的图象有4个不同的交点，故，且为方程的两个不同的根，故.为方程，的两个不同的根，且，所以，故，故.由双勾函数的性质可知在为减函数，故，所以.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点、双勾函数的值域、对数函数的性质及二次函数的性质，一般地，函数零点分布问题需结合函数的图象来考虑，本题属于中档题.12.若不等式( >0,且≠1)在[1,2] 上恒成立，则的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,)C. (0,1)(2,)D. (0,)【答案】B【解析】分类讨论：①若a>1,由题意可得：在区间上恒成立，即在区间上恒成立，则，结合反比例函数的单调性可知当时，，此时；②若0<a<1, 由题意可得：在区间上恒成立，即，，函数，结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值1，此时要求，与矛盾.综上可得：的取值范围是(2,).本题选择B选项.点睛：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点，则________.【答案】.【解析】【分析】先利用关于原点对称的点的坐标特征求出，再利用两点间的距离公式可求.【详解】因为与关于原点对称，故，所以.故答案为：.【点睛】本题考查空间中关于原点对称的点的坐标特征及两点间的距离公式，此类问题属于容易题.14.三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，平面.若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是________.【答案】.【解析】【分析】可判断该三棱柱为直三棱柱且底面为等腰直角三角形，根据球的表面积求得球的半径，再把三棱柱补成一个长方体，其对角线的长即为球的直径，从求出棱柱的高后可求棱柱的体积.【详解】因为，故，故为等腰直角三角形.又平面，故三棱柱为直棱柱，把直棱柱补成如图所示的长方体，则该长方体的外接球与三棱柱的外接球为同一个球，故，为球的半径.因为球的表面积为，故，故.所以，所以，故.所以.故答案为：.【点睛】本题考查三棱柱的体积、球的表面积，注意考虑几何体的外接球时可适当补体以便找到原几何体的一些未知量与球的半径的关系，本题属于中档题.15.如果函数的图像与函数的图像关于对称，则的单调递减区间是_______________.【答案】（注：也正确）【解析】试题分析：函数f（x）与g（x）互为反函数，所以,所以由,得，函数的递增区间是,所以函数的单调递减区间为考点：复合函数的单调性.16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.【答案】【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，过OA⊥MN，垂足为A，在中，因为∠OMN=45，所以=，解得，因为点M（,1），所以，解得，故的取值范围是.考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.求经过直线的交点，且满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，再设所求的直线为，代入求出后可得所求的直线方程.（2）设所求的直线为，代入求出后可得所求的直线方程.详解】（1）由题意知：联立方程组，解得交点，因为所求直线与直线平行，故设所求直线的方程为，代入，解得，即所求直线方程为（2）设与垂直的直线方程为因为过点，代入得，故所求直线方程为【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据平行或垂直关系合理假设直线方程，本题属于容易题.18.正方体的直观图如图所示：（1）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论.（2）证明：直线平面.（3）若，求点到面的距离.【答案】（1）平行，见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）可证平面，平面，利用面面平行的判定定理可得平面与平面平行.（2）可证，，由线面垂直的判定定理可得直线平面.（3）利用等积法可求点到面的距离.【详解】（1）平面平面，证明如下：因为为正方体，所以，，又，，所以，，于是为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面.（2）证明：连接，因为为正方体，所以平面，因为平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，同理，又，所以平面.（3）设到平面距离为，由正方体可得为等边三角形，且边长为，故，，故，故.【点睛】本题考查面面平行、线面垂直的证明以及点到平面的距离的计算，前者需结合判定定理来证明，后者可用等积法来求，本题属于中档题.19.已知二次函数（为常数），对任意实数都成立，且.（1）求的解析式；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据可得，再根据恒等式可求，从而求得的解析式.（2）关于的不等式在区间上恒成立可化为区间上恒成立，求出的最小值后可得实数的取值范围.详解】（1）由题意可知，，解得.由，可知化简得：.因为上式对任意的实数恒成立，所以解得，所以.（2）由在上恒成立，即在上恒成立.令，只需，又在单调递减，所以，所以，即取值范围为.【点睛】本题考查二次函数解析式的求法以及一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，后者可利用参变分离来求参数的取值范围，本题属于基础题.20.如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且．（1）求证：；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.（1）证明即即可；（2）分别求出平面的一个法向量为和侧面的一个法向量为，根据求出的法向量的夹角来求二面角的大小.试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得（1）证明：，所以.（2），设平面的一个法向量为，由，得，即，解得，可取设侧面的一个法向量为，由，及可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得所以.即所求二面角的大小为.考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.21.已知能表示成一个奇函数和一个偶函数的和.（1）请分别求出与的解析式；（2）记，请判断函数的奇偶性和单调性，并分别说明理由.（3）若存在，使得不等式能成立，请求出实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由函数方程组可求与的解析式.（2）利用奇函数的定义和函数单调性定义可证明为奇函数且为上的增函数.（3）根据（2）中的结果可以得到在上有解，参变分离后利用换元法可求的取值范围.【详解】（1）由已知可得，则，由为奇函数和为偶函数，上式可化为，联合，解得.（2）由（1）得定义域为，①由，可知为上的奇函数.②由，设，则，因为，故，，故即，故在上单调递增（3）由为上的奇函数，则等价于，又由在上单调递增，则上式等价于，即，记，令，可得，易得当时，即时，由题意知，，故所求实数取值范围是.【点睛】本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性和奇偶性以及函数不等式有解，前者根据定义进行判断，后者利用单调性和奇偶性可转化为常见不等式有解，本题综合性较高. 22.已知圆，直线.（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；（2）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）根据可得到直线的距离为，从而可得关于的方程，故可求的值.（2）设圆心到直线，的距离分别为，，则，利用二次函数的性质可求面积的最大值.【详解】（1）∵，∴点到直线的距离，∴，解得.（2）设圆心到直线，的距离分别为，，则，而，∴，∴，当且仅当，即时，取等号，∴四边形的面积的最大值为5.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的弦长、面积的最值等问题，前者利用垂径定理，后者利用几何性质构建目标函数，再利用常见函数的性质来求最值，本题属于中档题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：l.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的子集个数为（）A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】A【解析】由已知得，，则，所以，所求集合的子集个数为，故选A.2.若A（-2，3），B（3，-2），C（，m）三点共线，则m的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题目利用三点共线,得到,说明向量对应坐标成比例,建立等式,即可.【详解】因为A,B,C三点共线,故,而,建立等式,,故选B.【点睛】本道题目考查了向量平行问题,向量平行满足对应坐标成比例,即可得出答案.3.已知两条不同直线及平面，则下列说法中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】结合线面关系的判定定理和性质定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，的位置关系有平行、异面或相交，故A错；对于B，与平面的关系是平行或，故B错；对于C，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故C正确；对于D，与平面的关系是平行或，故Ｄ错；故选：Ｃ.【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，注意动态考虑位置关系以确定是否有不同于结论中的情形发生，本题属于基础题.4.函数f(x)=的零点所在的一个区间是A. （-2，-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B【解析】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．5.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题干中的三视图可得原几何体如图所示：故该几何体的表面积=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2×12×3×4=138（cm2）.故选D.6.三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A. 0.32＜log0.32＜20.3B. 0.32＜20.3＜log0.32C. log0. 32＜20.3＜032D. log0.32＜0.32＜20.3【答案】D【解析】试题分析：由已知得：，，，所以.故选D.考点：指数函数和对数函数的图像和性质.7.过点P（1，3）且在x轴上截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( )A. x+y–4=0B. 3x-y=0C. x+y–4=0或3x+y=0D. x+y–4=0或3x-y=0【答案】D【解析】【分析】直线在x轴上的截距和在y轴上的截距相等，可分为两种情况：截距都为0和截距都不为0，分别求出即可．【详解】若直线过原点，设直线方程为y=kx，把点P（1，3）代入得k=3，此时直线为y=3x，即3x–y=0．若直线不经过原点，设直线方程为+=1，即x+y=a．把点P（1，3）代入得a=4，所以直线方程为x+y=4，即x+y–4=0，故选D．【点睛】本题考查了直线的方程，尤其是截距式，属于基础题．8.已知是上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的性质可得在上单调递增，可将问题转化为和1到对称轴的距离的大小的问题求解．【详解】由题意，根据偶函数的性质知，在上单调递增，又，所以，解得，由在上为单调递增，所以．故选B．【点睛】偶函数具有性质，利用这一性质，可将问题转化到函数的同一个单调区间上去研究，同时也可将函数值的大小转化为变量到对称轴的距离的大小的问题求解．9.当直线和曲线有两个交点时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为直线与半圆有两个交点，结合如图所示的曲线图形，考虑过时直线的斜率和与半圆相切时直线的斜率后可得的取值范围.【详解】曲线表示如图所示的半圆：：直线恒过.当直线和半圆相切时，有，解得，当直线过时，有.故当直线与半圆有两个交点时，.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意对含根号的函数解析式合理变形，这样才能找到其对应的函数图象，变形时关注等价变形，本题属于中档题.10.函数在上是增函数，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性可以得到在为增函数，且恒成立，从而可求实数的范围.【详解】令，则为及构成的复合函数.因为在上是增函数，所以在为增函数，且恒成立，故，故.故选：D.【点睛】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，可根据“同增异减”的原则来判断内函数或外函数在相应范围上的单调性，注意真数部分的内函数的函数值恒为正的要求，本题属于中档题.11.已知，互不相同的正数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨设，根据二次函数的性质可得的关系，根据对数函数的性质可得的关系，最后由的取值范围可得的取值范围.【详解】的图象如图所示：设且，故直线与的图象有4个不同的交点，故，且为方程的两个不同的根，故.为方程，的两个不同的根，且，所以，故，故.由双勾函数的性质可知在为减函数，故，所以.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点、双勾函数的值域、对数函数的性质及二次函数的性质，一般地，函数零点分布问题需结合函数的图象来考虑，本题属于中档题.12.若不等式( >0,且≠1)在[1,2] 上恒成立，则的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,)C. (0,1)(2,)D. (0,)【答案】B【解析】分类讨论：①若a>1,由题意可得：在区间上恒成立，即在区间上恒成立，则，结合反比例函数的单调性可知当时，，此时；②若0<a<1, 由题意可得：在区间上恒成立，即，，函数，结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值1，此时要求，与矛盾.综上可得：的取值范围是(2,).本题选择B选项.点睛：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点，则________.【答案】.【解析】【分析】先利用关于原点对称的点的坐标特征求出，再利用两点间的距离公式可求.【详解】因为与关于原点对称，故，所以.故答案为：.【点睛】本题考查空间中关于原点对称的点的坐标特征及两点间的距离公式，此类问题属于容易题.14.三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，平面.若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是________.【答案】.【解析】【分析】可判断该三棱柱为直三棱柱且底面为等腰直角三角形，根据球的表面积求得球的半径，再把三棱柱补成一个长方体，其对角线的长即为球的直径，从求出棱柱的高后可求棱柱的体积.【详解】因为，故，故为等腰直角三角形.又平面，故三棱柱为直棱柱，把直棱柱补成如图所示的长方体，则该长方体的外接球与三棱柱的外接球为同一个球，故，为球的半径.因为球的表面积为，故，故.所以，所以，故.所以.故答案为：.【点睛】本题考查三棱柱的体积、球的表面积，注意考虑几何体的外接球时可适当补体以便找到原几何体的一些未知量与球的半径的关系，本题属于中档题.15.如果函数的图像与函数的图像关于对称，则的单调递减区间是_______________.【答案】（注：也正确）【解析】试题分析：函数f（x）与g（x）互为反函数，所以,所以由,得，函数的递增区间是,所以函数的单调递减区间为考点：复合函数的单调性.16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.【答案】【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，过OA⊥MN，垂足为A，在中，因为∠OMN=45，所以=，解得，因为点M（,1），所以，解得，故的取值范围是.考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.求经过直线的交点，且满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，再设所求的直线为，代入求出后可得所求的直线方程.（2）设所求的直线为，代入求出后可得所求的直线方程.详解】（1）由题意知：联立方程组，解得交点，因为所求直线与直线平行，故设所求直线的方程为，代入，解得，即所求直线方程为（2）设与垂直的直线方程为因为过点，代入得，故所求直线方程为【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据平行或垂直关系合理假设直线方程，本题属于容易题.18.正方体的直观图如图所示：（1）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论.（2）证明：直线平面.（3）若，求点到面的距离.【答案】（1）平行，见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）可证平面，平面，利用面面平行的判定定理可得平面与平面平行.（2）可证，，由线面垂直的判定定理可得直线平面.（3）利用等积法可求点到面的距离.【详解】（1）平面平面，证明如下：因为为正方体，所以，，又，，所以，，于是为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面.（2）证明：连接，因为为正方体，所以平面，因为平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，同理，又，所以平面.（3）设到平面距离为，由正方体可得为等边三角形，且边长为，故，，故，故.【点睛】本题考查面面平行、线面垂直的证明以及点到平面的距离的计算，前者需结合判定定理来证明，后者可用等积法来求，本题属于中档题.19.已知二次函数（为常数），对任意实数都成立，且.（1）求的解析式；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据可得，再根据恒等式可求，从而求得的解析式.（2）关于的不等式在区间上恒成立可化为区间上恒成立，求出的最小值后可得实数的取值范围.详解】（1）由题意可知，，解得.由，可知化简得：.因为上式对任意的实数恒成立，所以解得，所以.（2）由在上恒成立，即在上恒成立.令，只需，又在单调递减，所以，所以，即取值范围为.。

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.本试卷分为试题卷[含选择题和非选择题]和答题卡[含填涂卡和答题框]两大部分.2.考试在答题前，请先将自己的学校、班级、姓名、考号填在答题卡密封线内指定的地方.3.选择题的答案选出后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑.非选择题请在答题卡指定的地方作答，本试卷上作答无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，B={,n是自然数}，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据交集的概念，可得结果.【详解】由B={,n是自然数}，所以，所以故选：A【点睛】本题考查交集的概念，属基础题.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据终边相同的角的公式，大角化小角，结合该角的三角函数，可得结果.【详解】由所以故选：D【点睛】本题重在考查任意角的三角函数，属基础题.3.如果向量，，那么（）A. 6B. 5C. 4D. 3【解析】【分析】根据向量用坐标运算，以及向量模的计算公式，可得结果.【详解】由，所以所以故选：B【点睛】本题考查向量的模用坐标计算，属基础题.4.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据定义域关于原点对称以及与关系，可知函数的奇偶性，并结合函数特点，可得结果.【详解】由，定义域为又，所以为偶函数，当时，可知其为增函数，故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题.5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】由函数，则，，，由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题.6.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7.函数（且）的图像是下列图像中的（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.8.若函数在上是增函数，则a，b的值可能是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】采用排除法，根据复合函数的单调性法则，可得结果.【详解】当，时，则所以在递减，而是增函数，所以在上是减函数故A错当，时，则所以在递减，而是减函数所以在上是增函数所以B对，同理可知：C,D均错故选：B【点睛】本题重在于考查复合函数的单调性，对复合函数单调性，四个字“同增异减”，属基础题.9.在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】假设，根据向量的加法、减法运算，用表示分别出，结合数量积公式以及函数单调性，可得结果.【详解】设，所以又，可知所以化简可得又，，所以则即，又在递增所以故故选：A【点睛】本题重在考查向量用基底如何表示，还考查了数量积用参数表示，并求其范围，属中档题.10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.11.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，周期性，以及函数表达式，可得结果.【详解】由当时，，用取代可知，周期为1所以当时，所以当时，，所以故选：B【点睛】本题考查函数的性质，属基础题.12.已知函数在上的图象有且仅有3个最高点.下面四个结论：①在上的图象有且仅有3个最低点；②在至多有7个零点；③在单调递增；④的取值范围是；正确结论是（）A. ①④B. ②③C. ②④D. ②③④【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合整体法以及排除法，可得结果.【详解】当时，可知由在上的图象有且仅有3个最高点可知，得故④正确，若时，没有3个最低点，故①错如图可知②正确由，所以根据上图可知：在单调递增可知③正确故答案为：D【点睛】本题重在考查正弦型函数的性质，对这种问题要结合相对应的正弦函数的性质，掌握整体法，属难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填写在答题卡中对应的横线上.）13.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____.【答案】【解析】【分析】由弧长公式即可算出结果．【详解】由弧长公式l＝|α|r1，故答案为：．【点睛】本题主要考查了弧长公式，基础题．14.已知函数（且）的图象恒过定点，若幂函数的图象也经过点，则实数t的值为________.【答案】【解析】【分析】根据对数的图像，结合平移的知识，可得点坐标，然后代值计算，可得结果.【详解】函数过定点函数是由经过向右移动1个单位，向上移动单位得到故过定点又的图象经过点所以即故答案为：【点睛】本题重在考查对数型函数过定点问题，掌握对数函数的性质，并且熟练图像的平移，属基础题.15.在直角坐标系中，已知,,若是直角三角形，则实数t的值为________.【答案】1或5【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，可得结果.【详解】由是直角三角形当时，则所以当时，所以即则无解当时，所以即故值为1或5故答案为：1或5【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属基础题.16.已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用数形结合，根据对数函数的概念，可得，然后根据的值域，可得结果.【详解】，根据题意：由的值域是，如图：当时，由可知当时，由所以综上所述：故答案为：【点睛】本题重在于考查分段函数的值域，掌握各段函数的特点，熟练掌握数形结合的思想，属中档题.三、解答题.（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17.已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据交集的概念可知2是的元素，可得，并进行验证，可得结果.（2）根据并集概念，可得之间关系，计算出的元素，可得结果.【详解】（1），经验证不合题意所以（2）中的两根为a，【点睛】本题重在于考查集合交集和并集的概念，属基础题.18.已知点是函数的图象上的一个最高点，且图象上相邻两条对称轴的距离为.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质，可以得出的表达式，然后结合整体法，可得结果.（2）根据（1）的条件，使用整体法，可得结果.【详解】（1）由题可知：，所以，则又所以则，又所以令，，所以令，所以函数的单调递减区间为（2），在值域为函数在的值域为【点睛】本题重在考查正弦型函数的性质，对这种问题要结合相对应的正弦函数的性质，掌握整体法，属中档题.19.在四边形中，，，，.（1）用，表示向量；（2）若点为线段的中点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）采用数形结合，根据三角形法则，可得结果.（2）将分别用，表示，结合数量积公式，可得结果.【详解】（1）根据题意，如图：方法一：所以 ,又所以方法二：，又所以即（2）由点为线段的中点所以.化简可得,又，，所以所以【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，熟练应用向量的加法和减法，属基础题.20.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.（1）求a，b，c，p，q，r的值；（2）你认为谁选择的模型好.【答案】（1），，，，，；（2）乙选择的模型好【解析】【分析】（1）根据带值计算，可得结果.（2）根据（1）的条件，代值计算比较，可得结果.【详解】（1）根据题意：；，，；，，；（2）甲模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54，54，52；乙模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54.7，56.4，57.6实际4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.所以乙选择的模型好【点睛】本题主要考查函数的代值计算，属基础题.21.若是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意都有，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数，可知的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1），因为是奇函数.所以，得；经检验满足题意（2）根据（1）可知化简可得所以可知当时，所以对任意都有所以，即【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.22.设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间.（Ⅰ）判断是否是函数的ℱ区间;（Ⅱ）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围;（Ⅲ）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据新定义，即可求出判断，Ⅱ根据新定义和对数函数的性质，即可求出a的取值范围，Ⅲ根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围【详解】（Ⅰ）不是函数的ℱ区间，理由如下：因为对，，所以.所以均有，即不存在，，使得.所以不是函数的ℱ区间（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知存在，，使得.所以.因为所以，即.又因为且，所以.（Ⅲ）因为是函数的ℱ区间，所以存在，，使得.所以所以存在，使得不妨设. 又因为，所以.所以.即在区间内存在两个不同的偶数.①当时，区间长度，所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.②当时，有，所以.（i）当时，有即.所以也符合题意.（ii）当时，有即.所以符合题意.（iii）当时，有即此式无解.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了抽象函数问题，以及指数函数、对数函数，余弦函数的性质，考查了运算求解能力，转化与化归思想，属于难题2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.本试卷分为试题卷[含选择题和非选择题]和答题卡[含填涂卡和答题框]两大部分.2.考试在答题前，请先将自己的学校、班级、姓名、考号填在答题卡密封线内指定的地方.3.选择题的答案选出后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑.非选择题请在答题卡指定的地方作答，本试卷上作答无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，B={,n是自然数}，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的概念，可得结果.【详解】由B={,n是自然数}，所以，所以故选：A【点睛】本题考查交集的概念，属基础题.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据终边相同的角的公式，大角化小角，结合该角的三角函数，可得结果.【详解】由所以故选：D【点睛】本题重在考查任意角的三角函数，属基础题.3.如果向量，，那么（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】根据向量用坐标运算，以及向量模的计算公式，可得结果.【详解】由，所以所以故选：B【点睛】本题考查向量的模用坐标计算，属基础题.4.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据定义域关于原点对称以及与关系，可知函数的奇偶性，并结合函数特点，可得结果.【详解】由，定义域为又，所以为偶函数，当时，可知其为增函数，故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题.5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】由函数，则，，，由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题.6.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7.函数（且）的图像是下列图像中的（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.8.若函数在上是增函数，则a，b的值可能是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】采用排除法，根据复合函数的单调性法则，可得结果.【详解】当，时，则所以在递减，而是增函数，所以在上是减函数故A错当，时，则所以在递减，而是减函数所以在上是增函数所以B对，同理可知：C,D均错故选：B【点睛】本题重在于考查复合函数的单调性，对复合函数单调性，四个字“同增异减”，属基础题.9.在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】假设，根据向量的加法、减法运算，用表示分别出，结合数量积公式以及函数单调性，可得结果.【详解】设，所以又，可知所以化简可得又，，所以则即，又在递增所以故故选：A【点睛】本题重在考查向量用基底如何表示，还考查了数量积用参数表示，并求其范围，属中档题.10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.11.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，周期性，以及函数表达式，可得结果.【详解】由当时，，用取代可知，周期为1所以当时，所以当时，，所以故选：B【点睛】本题考查函数的性质，属基础题.12.已知函数在上的图象有且仅有3个最高点.下面四个结论：①在上的图象有且仅有3个最低点；②在至多有7个零点；③在单调递增；④的取值范围是；正确结论是（）A. ①④B. ②③C. ②④D. ②③④【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合整体法以及排除法，可得结果.【详解】当时，可知由在上的图象有且仅有3个最高点可知，得故④正确，若时，没有3个最低点，故①错如图可知②正确由，所以根据上图可知：在单调递增可知③正确故答案为：D【点睛】本题重在考查正弦型函数的性质，对这种问题要结合相对应的正弦函数的性质，掌握整体法，属难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填写在答题卡中对应的横线上.）13.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____.【答案】【解析】【分析】由弧长公式即可算出结果．【详解】由弧长公式l＝|α|r1，故答案为：．【点睛】本题主要考查了弧长公式，基础题．14.已知函数（且）的图象恒过定点，若幂函数的图象也经过点，则实数t的值为________.【答案】【解析】【分析】根据对数的图像，结合平移的知识，可得点坐标，然后代值计算，可得结果.【详解】函数过定点函数是由经过向右移动1个单位，向上移动单位得到故过定点又的图象经过点所以即故答案为：【点睛】本题重在考查对数型函数过定点问题，掌握对数函数的性质，并且熟练图像的平移，属基础题.15.在直角坐标系中，已知,,若是直角三角形，则实数t的值为________.【答案】1或5【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，可得结果.【详解】由是直角三角形当时，则所以当时，所以即则无解当时，所以即故值为1或5故答案为：1或5【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属基础题.16.已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用数形结合，根据对数函数的概念，可得，然后根据的值域，可得结果.【详解】，根据题意：由的值域是，如图：当时，由可知当时，由所以综上所述：故答案为：【点睛】本题重在于考查分段函数的值域，掌握各段函数的特点，熟练掌握数形结合的思想，属中档题.三、解答题.（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17.已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据交集的概念可知2是的元素，可得，并进行验证，可得结果.（2）根据并集概念，可得之间关系，计算出的元素，可得结果.【详解】（1），经验证不合题意所以（2）中的两根为a，【点睛】本题重在于考查集合交集和并集的概念，属基础题.18.已知点是函数的图象上的一个最高点，且图象上相邻两条对称轴的距离为.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质，可以得出的表达式，然后结合整体法，可得结果.（2）根据（1）的条件，使用整体法，可得结果.【详解】（1）由题可知：，所以，则又所以则，又所以令，，所以令，所以函数的单调递减区间为（2），在值域为函数在的值域为【点睛】本题重在考查正弦型函数的性质，对这种问题要结合相对应的正弦函数的性质，掌握整体法，属中档题.19.在四边形中，，，，.（1）用，表示向量；（2）若点为线段的中点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）采用数形结合，根据三角形法则，可得结果.（2）将分别用，表示，结合数量积公式，可得结果.【详解】（1）根据题意，如图：方法一：所以 ,又所以方法二：，又所以即（2）由点为线段的中点所以.化简可得,又，，所以所以【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，熟练应用向量的加法和减法，属基础题.20.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.（1）求a，b，c，p，q，r的值；（2）你认为谁选择的模型好.【答案】（1），，，，，；（2）乙选择的模型好【解析】【分析】（1）根据带值计算，可得结果.（2）根据（1）的条件，代值计算比较，可得结果.【详解】（1）根据题意：；，，；，，；（2）甲模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54，54，52；乙模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54.7，56.4，57.6实际4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.所以乙选择的模型好【点睛】本题主要考查函数的代值计算，属基础题.21.若是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意都有，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数，可知的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1），因为是奇函数.所以，得；经检验满足题意（2）根据（1）可知化简可得所以可知当时，所以对任意都有所以，即【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.22.设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间.（Ⅰ）判断是否是函数的ℱ区间;（Ⅱ）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围;（Ⅲ）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据新定义，即可求出判断，Ⅱ根据新定义和对数函数的性质，即可求出a的取值范围，Ⅲ根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围【详解】（Ⅰ）不是函数的ℱ区间，理由如下：因为对，，所以.所以均有，即不存在，，使得.所以不是函数的ℱ区间（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知存在，，使得.所以.因为所以，即.又因为且，所以.（Ⅲ）因为是函数的ℱ区间，所以存在，，使得.所以所以存在，使得不妨设. 又因为，所以.所以.即在区间内存在两个不同的偶数.①当时，区间长度，所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.②当时，有，所以.（i）当时，有即.所以也符合题意.（ii）当时，有即.所以符合题意.（iii）当时，有即此式无解.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了抽象函数问题，以及指数函数、对数函数，余弦函数的性质，考查了运算求解能力，转化与化归思想，属于难题。